Конечные p-группы с циклическим коммутантом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

УрО РАН

На правах рукописи

Финогенов Антон Анатольевич

УДК 512.542.3

КОНЕЧНЫЕ р-ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМ КОММУТАНТОМ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор А. И. Старостин

Екатеринбург 1998

Оглавление

1 Введение 3

1.1 Обсуждение тематики ..................3

1.2 Основные результаты................................8

1.3 Апробация результатов..............................13

2 Определения и вспомогательные результаты 14

2.1 Обозначения и определения........................14

2.2 Собирательная формула Ф.Холла ................15

Лемма 1............................................16

Предложение 2....................................16

Предложение 3....................................17

2.3 Группы с циклическим коммутантом..............18

Лемма 2............................................18

Лемма 3............................................19

Лемма 4............................................20

Лемма 5.............................21

Лемма 6..................................22

Предложение 4....................................23

Лемма 7............................................23

3 Группы с циклическим коммутантом 25

3.1 Конечные 2-группы с циклическим коммутантом 25

Теорема 1 ..........................................25

3.2 Группы с циклическим коммутантом и циклическим центром ........................................28

Лемма 8............................................28

Теорема 2..........................................33

Лемма 9..................... . 35

Теорема 3..........................................36

Лемма 10............................................41

Лемма 11............................................46

4 Группы и кольца Ли 50

4.1 Случай с1(в) <р.........................50

Лемма 12.....................................50

Лемма 13............................50

Определение 2......................................51

Предложение 5....................................51

Предложение б .................................53

Теорема 4....................................54

Предложение 7 .........................54

4.2 Случай с/(67) > р....................................55

Определение 6 .... ......................56

Теорема 5....................................56

Лемма 14............ ...................59

Следствие 1 ...................................59

Лемма 15....................................60

Лемма 16............................................61

Теорема 6..........................................63

Лемма 17 ... ..........................63

Лемма 18............................................63

Лемма 19.....................................64

Литература 66

1 Введение

1.1 Обсуждение тематики

По теореме Силова конечная группа содержит подгруппы, порядок которых — степень простого числа р. Поэтому знания о детальном строении р -групп могут быть полезны в решении многих задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р— группы являются весьма сложным объектом для изучения, так как с ростом порядка группы разнообразие в строении р -групп и их количество возрастает черезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому особый интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые поддаются детальному описанию.

Один из таких классов — конечные р-группы с циклическим коммутантом. Он интересен и тем, что любая неабелева р -группа обязательно содержит подгруппу с неединичным циклическим коммутантом.

Первая часть диссертации посвящена изучению этого класса р-групп. Одним из первых результатов на эту тему было описание (с точностью до изоморфизма) экстраспециальных1 групп, полученное Ф.Холлом [15]. Эти группы особым образом (при помощи центрального произведения2) собираются из двух двупорожденных групп порядка р3.

Существует множество работ, в которых с разных точек зрения изучались группы с циклическим коммутантом и некоторыми добавочными условиями (смотри, например, [8], [19], [24], [4], и [26]). Наиболее широкий класс — р-группы с циклическим коммутантом при р > 2 и 2 -группы С с циклическим коммутантом и дополнительным условием [С?, (?, О] С [С, С?]4,

^то р-группы, у которых центр и подгруппа Фраттини имеют порядок р.

2Центральное произведение — это гомоморфный образ прямого произведения, в кото-

ром "склеиваются" только подгруппы из центров сомножителей.

исследован Я.Ченгом [8], показавшим, что эти группы пред-ставимы в виде центрального произведения 2-порожденной группы и группы класса нильпотентности 2.

Что касается групп класса 2 с циклическим коммутантом, то изучением их строения занимались многие авторы, и в [19] и [20] Леонгом получено описание (с точностью до изоморфизма) конечных р -групп класса 2 с циклическим центром (и значит, с циклическим коммутантом).

На пути описания с точностью до изоморфизма более широких классов групп В.В. Сергейчуком [4] обнаружено непреодолимое препятствие: получение описания конечных р-групп с коммутантом типа (и без ограничений на центр) эквивалентно решению дикой матричной задачи — приведению к каноническому виду пары матриц одновременными преобразованиями подобия.

В диссертации получены следующие результаты: во-первых, исследовано строение 2-групп, в которых не выполняется условие [О, С, С] С [(7, С]4. Такие группы представимы в виде центрального произведения не более чем 4-порожденной группы с группой класса 2.

Во-вторых, описаны с точностью до изоморфизма конечные р-группы с циклическим коммутантом, циклическим центром и классом нильпотентности больше 2 (при р = 2 описаны только группы с условием [С, С, О] С [С, (?]4). Описание получилось весьма громоздким (такие группы представимы в виде центрального произведения 2-порожденной группы одного из 13 типов, задаваемого пятью числовыми параметрами, с группой класса 2). Учитывая результаты В.В. Сергейчука, можно даже предположить, что это — максимальный естественно определенный класс р-групп, допускающий приемлемое описание.

Другое направление исследований в диссертации — это установление связи между р-группами и кольцами Ли.

Конечную р-группу можно построить из абелевой, после-

довательно присоединяя автоморфизмы порядка р, поэтому коммутаторная структура ^-группы в большой степени характеризует структуру всей группы, и коммутаторное исчисление — один из основных инструментов в изучении р-групп.

Известен следующий подход, облегчающий вычисления: на множестве элементов группы определяют операции кольца Ли, определенным образом связанные с групповой операцией, что позволяет линеаризовать некоторые коммутаторные вычисления в группе.

С 50'х годов был известен только один способ подобного превращения р -группы в кольцо Ли3, основанный на формуле Бейкера-Хаусдорфа, которая возникла из следующих соображений.

Рассмотрим степенной ряд ех — 1 + х/1! + х2/2\... в ассоциативной алгебре А над полем характеристики 0. Возникают некоторые проблемы с определением сходимости подобных рядов, но их можно преодолеть, ограничившись нильпотент-ными алгебрами (в этом случае ряд превращается в конечную сумму), или вводя на алгебре некоторую топологию [1]. Операция хОу — г, определенная по правилу ехеу = ег, является групповой операцией на множестве элементов А. Оказывается, если брать х и у из Ь — подалгебры алгебры Ли, ассоциированной с А, то г тоже лежит в Ь. Более того, существует формула х<Эу = х + у+ (х,у)/2 + ... (под (х, у) имеется в виду лиево коммутирование — (х, у) = ху — ух), известная как формула Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа - Дынкина, позволяющая выразить групповую операцию О через сложение и лиево коммутирование. Таким образом, можно определить на некоторых алгебрах Ли групповую структуру [1].

Эта формула впервые была открыта в 1898 году Кемпбел-лом для некоторых матричных алгебр, затем передоказана независимо Бейкером и Хаусдорфом в более абстрактном случае, и в 1947 году Дынкиным были в явном виде вычислены

3Можно строить градуированное кольцо Ли на факторах нижнего центрального ряда [16], но при этом заведомо теряется некоторая информация о строении группы.

ее коэффициенты.

Основываясь на этой формуле А.И.Мальцев [2], установил связь между полными4 нильпотентными группами без кручения и нильпотентными алгебрами Ли над полем рациональных чисел.

Изучение коэффициентов в формуле Бейкера - Хаусдор-фа показывает, что знаменатели коэффициентов при слагаемых, не лежащих в р-ом члене нижнего центрального ряда, взаимно просты с р. Это позволяет перенести результаты Мальцева на конечные р -группы (так как их можно считать "полными" группами, если ограничиться извлечением корней степени, взаимно простой с р). Это и было проделано Лаза-ром в [18], установившим связь между конечными р-группами класса нильпотентности, меньшего р, и соответствующими кольцами Ли.

Следует заметить, что группы и кольца Ли, связанные формулой Бейкера - Хаусдорфа, обладают похожими алгебраическими свойствами, так как групповому гомоморфизму соответствует кольцевой гомоморфизм, подгруппе соответствует подкольцо и т.п.

Этот факт был успешно использован Сановым [3], Магнусом [21], Хухро [5] и некоторыми другими авторами для получения значительных результатов о р-группах, в частности, при решении ослабленной проблемы Бернсайда.

В связи с этим представляется интересным поиск других классов регулярных р-групп, допускающих превращение в кольца Ли с сохранением основных абстрактных алгебраических свойств.

Начало следующему этапу исследований в этом направлении положил Куппер, когда ввел в [10] понятие вербалъно-абелевой группы. Это — группа, на которой можно ввести при помощи группового слова }¥(а,Ь) операцию а + Ь = 1У(а,Ь),

4Группа называется полной, если в ней разрешается вычислять корни, то есть для любого элемента х из группы и натурального п в группе существует такой у , что у" = х .

относительно которой множество элементов группы является абелевой группой. Там же Куппер "вручную" доказал, что вербально-абелевыми являются р -группы класса 3 при р > 3 (вербальная абелевость р -групп класса 2 при р > 2 была известна уже давно). А в [13] Гроуз установил вербальную абелевость конечных р-групп класса нильпотентности, меньшего р1 методами, не использующими формулу Бейкера - Хаусдор-фа. Им же было замечено, что вербально-абелевы р -группы регулярны. Отметим, что не все регулярные группы являются вербально-абелевыми.

Критерий регулярности до сих пор не найден, но известны два условия, каждое из которых влечет регулярность р-группы: коммутант экспоненты5 не выше р, или "узкий" коммутант — условие типа [С, С,..., С] С (С)р.

В [6] Е.И.Хухро построил пример регулярной 3-порожденной р-группы экспоненты р и класса р, допускающей автоморфизм со свойствами, которых не может быть у автоморфизма абелевой группы (в частности это означает, что эта группа не вербально-абелева и не может быть превращена в кольцо Ли). В связи с этим было принято решение искать группы, допускающие превращение в кольца Ли, среди групп с "узким" коммутантом.

В диссертации найден специфически определенный класс р -групп (содержащий все конечные р -группы с циклическим коммутантом), допускающих подобного рода превращение в кольцо Ли.

Кроме того, в диссертации приводится новое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, точнее, доказательство регулярности р-групп, класса нильпотентности меньшего р, — утверждения, с которого началось изучение регулярных р-групп. Все предыдущие доказательства этого факта [17], [1],

5 Говорят, что группа имеет экспоненту п , если п — наименьшее число для которого хп = 1 является тождеством в группе.

[16] основаны на использовании собирательного процесса6, и поэтому в них необходимо применение специфических комбинаторных вычислений. Предлагаемое доказательство не использует собирательный процесс, а основано на методах, развитых при изучении строения минимальных нерегулярных р-групп [22] [23], благодаря чему оно небольшое по объему и содержит только стандартные теоретико-групповые рассуждения.

1.2 Основные результаты

Нам понадобятся некоторые определения и обозначения.

Под г, 2 з к, I, т, п, /, я будут подразумеваться неотрицательные целые числа, Z(G) — центр и 7¿(С) — г-ый член нижнего центрального ряда группы (2,

Будем говорить, что группа С разложима в центральное произведение групп А и В, и обозначать С = А*В, если С = АВ и [А, Б] = 1. Центральное произведение играет важную роль в строении р-групп с циклическим коммутантом, как это видно из следующего утверждения, обобщающего известную лемму Шериева [7].

Лемма 3 Пусть О — конечная р-группа, а, Ь — такие ее элементы, что (а^Ь)' — циклическая группа и [(а, 6), (7] < (а, Ъ)'. Пусть при р — 2 выполняется 73({а, 6)) < ((а,Ь)')4. Тогда в = (а,Ъ) * Сс{(а,Ь}).

Строение 2-порожденных р-групп с циклическим коммутантом описывается в следующем утверждении:

Лемма 4 Пусть С — конечная 2 -порожденная р-группа с циклическим коммутантом и при р = 2 выполняется 7з(С) < (С)4. Тогда выполнено одно из утверждений:

1) С абелева,

6Это процесс перестраивания слова арЬр в слово (аЬ)р ■ сРг ..., используя тождество аЬ = Ьа[а, Ь] .

2) G = (a)(b), где [a:b] = Ьрк и при р = 2 выполняется к > 1 или

3) G = {а){Ь){с), где с Е Z(G), [а,Ъ] = У?с, к > 1, а при р = 2 выполняется к > 1.

Теорема 1 Пусть G — конечная 2 -группа с циклическим коммутантом и условием 73(G) (С)4. Тогда, G = А * В, где \В'\ <2, а А — одна из следующих групп:

a) (а)(Ъ)(д), где [a,b] = g, [а,д] Е (¡ГШ), [М е (д4),

b) (а)(Ь)(д)(с), где а, Ъ, g удовлетворяют условиям пункта а) и [а2, Ь] = [а, с] = 1, [b,c] Е (р2), [р,с] Е (#4),

41 > |Ь,с]| пли [Ь,р] = 1,

c) (a)(b)(g)(c)(d), где a, b, д, с удовлетворяют условиям пункта Ъ) и [а, d] = [Ь, с?] = [д, с?] = 1; [с, (¿] Е (р), \[c,d]\ = 2, j [Ь, с] | > 2 .

Описание (с точностью до изоморфизма) р -групп с циклическим коммутантом и циклическим центром формулируется в трех утверждениях: лемме 8, теореме 2 и теореме 3. Поскольку их формулировки черезвычайно громоздки, здесь приводится только их часть.

Лемма 8 (Сокращенный вариант). Существует всего тринадцать типов конечных 2-порожденных р-групп G класса больше 2 с циклическим центром, циклическим коммутантом порядка ps и с двумя условиями: 1) [G' : 73(G)] = рк , 2) при р = 2 к > 1. (Полный список групп следует искать в лемме 8, а ниже приводится представление только одной из них):

G = (a)(6)(c); |aj - > |6j = ps+i+k ^ |с| = pt+i+k ^

ар° = ^>kcy = [a?c] = = [a?&] = tf>kC} где

t — s - к , I > 0, t > т > 0 и ip ф 0 (mod р);

а

Рис. 1: Иллюстрация к лемме 8

Теорема 2 (Сокращенный вариант). Существует тринадцать типов конечных р-групп Р класса больше 2 с циклическим коммутантом, циклическим центром и с условиями:

\Р'\ = [Р' : 7з(Р)] = р*, а при р = 2 еще и к > 1.

А именно: Р — центральное произведение £ на И, где И — конечная р-группа класса 2 с циклическим центром, 2{Сх) С И, \П'\ <рк,В — группа класса 2; более полно определенная в теореме 2, а С — группа из леммы 8.

Теорема 3 (Сокращенный вариант). Если Р и Р — группы, удовлетворяющие условиям теоремы 2 у з у 1ь у ^) ^) т, (р — параметры группы Р, аналогичные соответствующим параметрам группы Р, то Р = Р тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) Р и Р — группы одного типа (в смысле теоремы 2);

2) Параметры з, к, t, I и т совпадают СБ, к, / и ТП

3) £> = £>;

4) (f> = <p (mod £>min(m>u))} где и такое число, что |с|р' " = exp(D) (если G и G — группы того типа, который приведен в сокращенном варианте леммы 8. Для других типов групп на <р и (р накладываются другие ограничения).

Для формулировки дальнейших результатов нам понадобятся следующие определения (через q будем обозначать некоторую степень р, а парой лиевых операций называть операции сложения и коммутирования, связанные аксиомами кольца Ли).

Определение 2 Пусть Wq(x,y) и Vq(x,y) — некоторые групповые слова, для которых в свободной группе класса р— 1 со свободными образующими {а, b} выполнено

aqbq = (abWq(a, б))9, [а\ bq] = ([a, b]Vq(a, b))q2.

(Их существование вытекает из собирательной формулы Холла.)

Определим пару операций х -\-q у = xyWq(x,y) и (x,y)q = [x,y]Vq(x,y).

В лемме 12 показано, что группы класса не выше р — 1 и экспоненты не выше q будут кольцами Ли относительно определенных таким образом операций. (В частности там доказано, что это определение корректно — значения a b и (a, b)q не зависят от выбора слов Wq(x, у) и Vq(x,y)).

Теорема 4 На конечных р -группах класса нильпотентности не выше р — 1, может быть определена одна и только одна пара лиевых операций а-\-*Ь и (а, &)* со свойствами

1) а+*Ъ=а-Ъ (mod (а, Ъ)') и (а, Ь)* = [а, 6] (mod 7з((а, Ь))),

2) Каждый групповой гомоморфизм между группами из этого класса является кольцевым гомоморфизмом.

На группах экспоненты q эта пара операций совпадает с лиевыми операциями a +qb и (a,b)q из определения 2.

Будем называть эту пару лиевых операций стандартной парой лиевых операций.

Введение на группе стандартных лиевых операций фактически устанавливает отображение из класса конечных р-групп класса нильпотентности не выше р — 1 в класс колец Ли. Это отображение инъективно, так как формула Бейкера -Хаусдорфа, определяющая связь между кольцами Ли и группами, устанавливает обратное отображение.

В диссертации (в предложении 7) приводится и другое доказательство инъективности этого отображения, не использующее формулы Бейкера - Хаусдорфа.

Назовем класс р-групп (g, к) -замкнутым, если у всех групп из этого класса экспонента не превосходит g, и он замкнут относительно подгрупп, гомоморфных образов и прямого произведения на р-группы класса нильпотентности не выше к и экспоненты не выше д.

Назовем пару лиевых операций, определенных на