Конечные р-группы с циклическим коммутантом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
Финогенов, Антон Анатольевич
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
РГ6 од
На правах рукописи
ФИНОГЕНОВ Антон Анатольевич
КОНЕЧНЫЕ р-ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМ КОММУТАНТОМ 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Екатеринбург, 1998
Работа выполнена в отделе алгебры и топологии института математики и механики УрО РАН
Научный руководитель: доктор физико-математических
наук, профессор А. И. Старостин
Официальные оппоненты: доктор физико-математических
наук, доцент А. П. Ильиных
кандидат физико-математических наук, доцент В. М. Веретенников
Ведущая организация: Ярославский государственный
университет
Защита диссертации состоится " ' ^ " и 1998 года в
" / 7 " часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.
Автореферат разослан Л ге- ^¿Л-ЯЯ 199 Ь г.
Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент
В. В. Кабанов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
По теореме Силова конечная группа обязательно содержит подгруппы, порядок которых — степень простого числа р. Поэтому знания о детальном строении р-групп могут быть полезны при решении любых задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2 -групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.
Конечные р -группы являются весьма сложным объектом для изучения, так как с ростом порядка группы разнообразие в строении р-групп и их количество возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 2е уже более тысячи. Поэтому особый интерес представляет поиск и изучение тех классов р -групп, которые поддаются детальному описанию.
К ним относится класс конечных р-групп с циклическим коммутантом, исследованию которых посвящены работы многих специалистов. Изучение этого класса представляет интерес еще и потому, что любая не-абелева р -группа содержит подгруппу с неединичным циклическим коммутантом.
Существует множество работ, в которых с разных точек зрения изучались конечные р-группы с циклическим коммутантом и некоторыми добавочными условиями (см., например, [1], [7], [15], и [19]). Наиболее широкий класс — р-группы с циклическим коммутантом при р > 2 и 2 -группы С с циклическим коммутантом и дополнительным условием [С?, б, С] С [С, С]4 , исследован Я.Ченгом [1], показавшим, что эти группы представимы в виде центрального произведения 2 -порожденной группы и группы класса нильпотентности 2 .
Изучением строения конечных р -групп класса 2 с циклическим коммутантом, занимались многие авторы, и в [7] и [8] Леонгом получено описание (с точностью до изоморфизма) конечных р -групп класса 2 с циклическим центром (и значит, с циклическим коммутантом).
На пути описания с точностью до изоморфизма более широких классов групп В.В. Сергейчуком [15] обнаружено непреодолимое препятствие: получение описания конечных р-групп класса 2 с циклическим коммутантом порядка р2 (и без ограничений на центр) эквивалентно решению дикой матричной задачи — приведению к каноническому виду пары матриц одновременными преобразованиями подобия.
В диссертации получены следующие результаты: во-первых, исследовано строение 2 -групп с циклическим коммутантом, в которых не выполняется условие [С, (7, (3] С [<3, С?]* . Такие группы представимы в виде
Рис. 1. Конечные р -группы с циклическим коммутантрм
центрального произведения не более чем 4 -порожденной группы с группой класса 2.
Во-вторых, описаны с точностью до изоморфизма конечные р -группы с циклическим коммутантом, циклическим центром и классом нильпотентности больше 2 (при р — 2 описаны только группы с условием [б, С?, С] С [£?, С?]4 ). Такие группы представимы в виде центрального произведения 2 -порожденной группы одного из 13 типов, задаваемых пятью числовыми параметрами, с группой класса 2. Учитывая результаты В.В. Сергейчука, можно предположить, что это — максимальный естественно определяемый класс р -групп, допускающих приемлемое описание.
Другое направление исследований в диссертации — это установление связи между р -группами и кольцами Ли.
Конечную р -группу можно построить из абелевой, последовательно присоединяя автоморфизмы порядка р, поэтому коммутаторная структура р-группы в большой степени характеризует структуру всей группы, и коммутаторное исчисление — один из основных инструментов в изучении р-групп.
Известен следующий подход, облегчающий вычисления: на множестве элементов группы определяют операции кольца Ли, определенным образом связанные с групповой операцией, что позволяет линеаризовать некоторые коммутаторные вычисления в группе.
С 50'х годов был известен только один способ подобного превращения р -группы в кольцо Ли, основанный на формуле Бейкера - Хаусдорфа, которая возникла из следующих соображений.
Рассмотрим степенной ряд ех = 1 + х/1! + х2/2!... в ассоциативной алгебре А над полем характеристики 0 [12]. Операция х © у = г , определенная по правилу схеу = ег , является групповой операцией на множестве элементов А . Оказывается, если брать х и у из подалгебры L алгебры Ли, ассоциированной с А , то z тоже лежит в L . Более того, существует формула х Qy = х + у + (х, у)/2 + ... (под (х, у) имеется в виду лиево коммутирование — (х, у) — ху —ух ), известная как формула Кемпбелла - Бейкера - Хаусдорфа - Дынкина, позволяющая выразить групповую операцию © через сложение и лиево коммутирование. Таким образом, можно определить на некоторых алгебрах Ли групповую структуру [12].
Основываясь на этой формуле А.И.Мальцев [13], установил связь между полными нильпотентными группами без кручения и нильпотентными алгебрами Ли над полем рациональных чисел, а Лазар в [6], установивил связь между конечными р-группами класса нильпотентности, меньшего р , и соответствующими кольцами Ли.
Следует заметить, что группы и кольца Ли, связанные формулой Бейкера - Хаусдорфа, обладают похожими алгебраическими свойствами, так как групповой гомоморфизм одновременно является кольцевым гомоморфизмом, подгруппа является подкольцом и т.п. Этот факт был успешно использован Сановым [14], Магнусом [9], Хухро [16] и некоторыми другими авторами для получения значительных результатов о строении р -групп, в частности, при решении ослабленной проблемы Бернсайда.
Возникает естественный вопрос: существует ли другой способ определять на р-группе структуру кольца Ли, при котором сохраняются основные алгебраические свойства.
В диссертации доказано, что на конечных р-группах класса нильпотентности, меньшего р, может быть определена только одна пара лиевых операций со свойствами:
Al) a + b = a b (mod (a, b)') и (a, 6) = [a, 6] (mod 73((a, 6»),
A2) каждый групповой гомоморфизм является кольцевым гомоморфизмом.
Начало следующему этапу исследований в этом направлении положил Куппер, когда ввел в [2] понятие всрбально-абелевой группы. Это — группа, на которой можно ввести при помощи группового слова IV(а,6) операцию а+Ь~ \№(а,Ь) , относительно которой множество элементов группы является абелевой группой. Там же Куппер доказал, что вербально-абелевыми являются р -группы класса 3 при р > 3 (вербальная абелевость р-групп класса 2 при р > 2 была известна уже давно). В [3] Гроуз установил вербальную абелевость конечных р -групп класса нильпотентности, меньшего р, не используюя формулу Бейкера - Хаусдорфа. Им же было замечено, что вербально-абелевы р-группы регулярны. В действительности, из доказательства Гроуза следует, что р-группа с определенной на ней парой лиевых операций, удовлетворяющих условиям А1 и А2, регулярна.
Но не на всякой регулярной р -группе можно определить лиевы операции с нужными нам свойствами, что было показано Е.И.Хухро в [17], построившим пример регулярной 3-порожденной р-группы экспоненты р и класса р, обладающей автоморфизмом, который не может быть автоморфизмом абелевой группы.
В связи с этим представляет интерес поиск других классов регулярных р-групп, допускающих превращение в кольца Ли с сохранением основных алгебраических свойств. '
В диссертации найден достаточно широкий класс р-групп (содержащий, в частности, все конечные р -группы с циклическим коммутантом), •допускающих подобного рода превращение в кольцо Ли.
Кроме того, в диссертации приводится новое доказательство собирательной формулы Ф.Холла, точнее, доказательство регулярности р-групп, класса нильпотентности, меньшего р , -— утверждения, с которого началось изучение регулярных р-групп. Все предыдущие доказательства этого факта [5], [12], [4] основаны на использовании собирательного процесса1, и поэтому в них необходимо применение специфических комбинаторных вычислений. Предлагаемое доказательство не использует собирательный процесс, а основано на методах, развитых при изучении строения минимальных нерегулярных р -групп [10] [11], благодаря чему оно небольшое по объему и содержит только стандартные теоретико-групповые рассуждения.
В работе используются методы, конструкции и результаты теории конечных р-групп.
1 Это процесс перестраивания слова арЬр в слово (аЬ)р ■ с* ..., используя тождество аЬ = Ьа[о, Ь].
Все перечисленные результаты являются новыми.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении конеч- ' ных групп и р -групп.
Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 100-летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), IV Международной Алебраической конференции (Санкт-Петербург, 1997), заседании семинара "Алгебра и логика" СО РАН, заседании семинара "Алгебраические системы" (УрГУ) и заседаниях алгебраического семинара отдела алгебры ИММ УрО РАН.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19]—[24].
Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 31 наименование. Общий объем диссертации составляет 68 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении даны основные определения, обоснование и описание рассматриваемых вопросов и обзор результатов диссертации.
Первая глава диссертации содержит необходимые предварительные сведения, вспомогательные результаты и новое доказательство собирательной формулы Ф.Холла. Во второй главе рассмтриваются группы с циклическим коммутантом, в третьей главе — вопросы связанные с построением кольца Ли по конечной р -группе.
Нам понадобятся некоторые определения и обозначения. Под I , ] , к , 1, 771, п , I, з будут подразумеваться неотрицательные целые числа, Z{G) —центр и 7,(6) — I -ый член нижнего центрального ряда группы С, Са[Н) — централизатор Н в б.
Будем говорить, что группа С разложима в центральное произведение групп А и В , и обозначать О = А* В , если в = АВ и [А, В] = 1 . Центральное произведение играет важную роль в строении р -групп с циклическим коммутантом, как это видно из следующего утверждения, обобщающего известную лемму Шериева [18].
. Лемма 3. Пусть <3 — конечная р -группа, а , Ь — такие ее элементы, что-(а,Ь)' — циклическая группа и [(а,Ь),С] < (6,а) . Пусть при р = 2 выполняется 7з((а,Ь)) < ((а, б)')4 . Тогда С? = (а,6) * Сс((а,6)) .
Строение 2-порожденных р -групп с циклическим коммутантом описывается в следующих двух утверждениях:
Лемма 4. Пусть G — конечная 2 -порожденная р -группа с циклическим коммутантом и при р ;= 2 выполняется уз(G) < (G')4 . Тогда
1) G абелева,
2) G = (а) (6) , где [a,b] = bpk , k> 1 и при р = 2 еще и k > 1 или
3) G = {а){Ь){с) , где с& Z(G) , [а, Ь] = i/с , А; > 1, а при р = 2 еще и к > 1.
Теорема-1. Пусть G — конечная 2-группа с циклическим коммутантом и условием 7з(G) £ (G')4 . Тогда, G = А* В , где |В'| <2 , а А — одна из следующих групп:
"J («Ж9) , где [„,&] = g , [a,fl] 6 (я'Ш) , [Ь,я] € (д*) ,
b) (а)(Ь)(з)(с) , где а, Ъ, g удовлетворяют условиям пункта а) и [а2,Ь] = [а, с] = 1, [Ь,С] G (д2), far.c] € {д*), |[fl,b]| > \[д,с]\ или [Ь,<7] = 1,
c) (a)(b)(g){c)(d) , где a, b, g, с удовлетворяют условиям пункта Ь) и [а, <4 = (М = [g,d\ = 1 , [c,d] € (g) , |[c,d]| = 2 , |[6,с]| > 2 .
Описание (с точностью до изоморфизма) р -групп с циклическим коммутантом и циклическим центром формулируется в трех утверждениях: лемме 8, теореме 2 и теореме 3. В лемме 8 описано строение 2-порожденных групп, в теореме 2 — групп с произвольным числом образующих, и в теореме 3 — необходимые и достаточные условия изоморфизма этих групп.
Лемма 8. Существует всего тринадцать типов конечных 2 -порожденных р -групп G класса больше 2 с циклическим центром, циклическим коммутантом порядка р' и с двумя условиями: 1) [G' : 7з(С)] = рк , 2) при р — 2 к > 1. А именно:
1) а) (Ъ)\(а) ; |а| = р' , |Ь| = pí+fc , [а, Ь] = У* ;
b) (а)(Ь) ; |а| = p'+m+fc , |¿¡ = р'+" , = Ы>' , [а,Ь] = {/ , т < t;
c) {а)(Ь) ; |а| = р'+т+к , |6| = р,+* , а"'+т = 6*' , [а , 6] = , т > t ;
2) a) ((b) X (с)) А(а) ; \а\ = |6| = |с| = р' , [а, с] = [6, с] = 1 ; [а,Ь] =
b) ((b) х(с))(а>; \а\ = р'+-т , |6| = |с| = р* , а"' = с"", [а, с] = 1, [6,с] = 1, [а,Ь] = V с, з > т > к и при р = 2 я > m + 1;
c) ((b) х (с)) (а); |а| = р>+'~т , |6| = |с| = р' , а"' = с"", [а,с] = 1, [6, с] = 1, [а, Ь] = У* с , к > т > 0 ;
3) а) ((Ь)(с)) А (а) ; |а| = р' , |6| = Р«+'+* , |с| = р«+'+к ; (V'cf =
с^Ч [а,с] = [6,с] = 1 , [а,Ъ] =№кс , где t = s - к , I > О и Ч> £ О (mod р)
Ъ) (a)(6)(c) ; |а| = р'+'+"» , |Ь| = , |с| = p«+'+fc , а"' =
c"m , (VkcY' = с"'*'*, [а, с] = [Ь, с] = 1, [о,Ь] = Ыкс, где t = s — k, 1> 0 , i > т > О и v Й О (mod р)
«б)(с» А(«>И = Р\ |б| = р'+х-1, |с| = р', (^с)"' = cp'cp,+,v) [Q)C] _ [Ь( с] _ ! f [atb) = Vk с, где t = s-k, к > г > 0 и V5 ^ О (mod р) .
b) (a)(6)(c) ; |а| = р*+'-т , |6| = р'+*~' , |с| = р', (&"cf = cp'cp'+'v, а"' = с"т, fa,с] = [6, с] = 1, [а, 6] = V*с, где t = s - к , к >1> 0, I < т <1 + t и <р£0 (mod р);
5) а) ((Ь)(с))\(а) ; |а| = р' , |6| = р'+* , |с| = р'"', (6"V =
с?'1* , fa, с] = [6, с] = 1, fa, 6] = Ьрк с , где |z| = р* , t = s-k, t > I > 0 , у £ 0 (mod р) ;
b) (a)(6)(c); |а| = p®+a-,""m f |6| = ps+\ |C| = p""' , (6"'c)"' = cp"'v> ( ap* _ cPm t [a>c] _ [fciCJ = x t [ait)] _ fcP*Ci гЭе |2| = pk , t = s — k, ¿> I >0, t- I > m> О, <p£0 (mod p) ;
6) ((b)(c)) (a) ; |a| = |6| = , |c| = 2' , [a,c] = [6,c] = 1 ,[a,6] = 62kc, a2' = b2' =c2,_1 = [a,6]2*-1 .
Вообще говоря, центральное произведение р -групп не определяется только своими множителями (в отличии, например, от прямого произведения). Но, Как замечено в [7], если произведение G = Ai * Аг *... имеет циклический коммутант, циклический центр и при р = 2 выполняется включение [G, G, G] С [G, G]4 , то центральное произведение однозначно
(с точностью до изоморфизма) определяется своими сомножителями. В дальнейшем нам будут встречатья только такие центральные произведения.
Для формулировки следующей теоремы приведем список конечных 2-порожденных р -групп класса 2 с циклическим центром из [7] и [8]:
1) При 2г <п и р> 2: д(м,г) = (Ь)\{а) , арГ = V" = 1, ЬР"~" = [а, 6].
2) При 2г > п и р > 2: С}(п, г) = (а) ((Ь) х (с)), ар" = V" = 1, с = [а,Ь] , ар — с"
3) При р = 2 : С}{п) = (а)(с)(6) , ар" = У" = ср"~' , |с| = р" , с =
КЧ.
4) 0) — циклическая р-группа порядка рп .
Теорема 2. Существует тринадцать типов конечных р -групп Р класса больше 2 с циклическим коммутантом, циклическим центром и с условиями:
[р> ■ 7з(Р)] = рк, а прир = 2 еще и к> 1. (*)
А именно: Р — центральное произведение О на О , где И — конечная р -группа класса 2 с циклическим центром, £(С!) С V , < рк , Л
представима в виде центрального произведения групп
<Э(»1 , П ), • • • , д(г»а, Га), <?(*! , ), • ■ • , , Ь),
где о > 0 , /3 > 0 ,
г»1 > ... > па , рк > ¿1 > ... > , рк >г\ > ... > га > 0, по < — Г1 < ... < ма — га , (где по такое, что ехр(С) = р"0+' ), а группа С удовлетворяет условию (*) и одному из условий:
A) а) С — группа типа (1.а) из леммы 8 и ехр(О) < р' ,
b) (7 — группа типа (1-Ь) и ехр(£7) < р,+* ,
c) С — группа типа (1.с) и ехр(£>) < рт+'+к ,
B) а) О — группа типа (2.а) и ехр (£>) < р' ,
b) С — группа типа (2.Ь) и ехр (О) < р' ,
c) в — группа типа (2.с) и ехр {О) < ,
a) С — группа типа (З.а) и ехр(В) < |с| -рк ,
b) в — группа типа (З.Ь) и ехр(£>) < |с| • рк ,
a) в — группа типа (4-а) и ехр(С) < |£>|,
b) й — группа типа (4-Ь) и ехр(О) < |Ь|,
a) С — группа типа (4-а) и ехр(£>) < |с| • рк ,
b) в — группа типа (4-Ь) и ехр(£>) < |с| • рк ,
Р) й — группа типа (6) и ехр(О) < р5 .
Теорема 3. Если Р и Р — группы, удовлетворяющие условиям теоремы 2, к, ¡,ё,т,(р — параметры группы Р, аналогичные соответствующим параметрам группы Р, то Р = Р тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) Р и Р — группы одного типа (в смысле теоремы 2);
2) т = т (в случае, если Р и Р — группы типа (Ь));
3) 1 = 1 (в случае, если Р и Р — типа (В), (О) или (Е));
4) пары чисел {(п], п),{1\ ,/1),...}, определящие группу й совпадают с соответствующими паралш определяющими £) ;
5) пусть и — целое число такое, что |с| • рк~" = ехр(О) . Тогода выполнено одно из условий:
V = V (тос! рт'"<'.-)), в случае, если Р и Р —типа (С.а),
б) V = V (тос! если Р и Р — типа (С.Ь);
V = V (тос! р™1"«'-»)) , если Р и Р - — типа (О.а);
г) <р V (тоар™"^'"»), если Р и Р — типа (Б-Ь);
3) <р = V (тоарЫп''-''и>), если Р и Р — типа (Е.а);
е) <р ¥> (шос1рт!п(т'и1), если Р и Р — типа (Е.Ъ).
Для формулировки результатов третьей главы нам понадобятся следующие определения (в дальнейшем через д будем обозначать некоторую степень р).
С) О) Е)
Пусть Wq(x,у) и Vq(x,y) —некоторые групповые слова, для которых в свободной группе класса р — 1 со свободными образующими а , b выполнено
a4" = (abW4(a,b)y, [а«,69] = ([а,Ь]У,(а,6))Л
(Существование слов W4(x,y) и Vq(x, у) ¡вытекает из собирательной формулы Холла.)
Определение 2. Обозначил« через и ( , )ч операции, действующее по правилу х +, у = xyWq(x, у) и (х, у), = у) .
В лемме 12 показало, что группы класса р — 1 и экспоненты q будут кольцами Ли относительно определенных таким образом операций. (В частности та,м доказано, что это определение корректно.)
Теорема 4. На конечных р -группах класса нильпотентности не выше р — 1 , может быть определена одна и только одна пара лиевых операций2 a-f. b и (a,b)Ф со свойствами:
1) a+.b-a-b (mod (о,6)') и (а,Ь), = [а,Ь] (mod 7з({а,Ь))) ,
2) каждый групповой гомоморфизм между группами из этого класса является кольцевым гомоморфизмом.
На группах экспоненты q эта пара операций совпадает с лиевыми операциями а +, b и (а, Ь)ч из определения 2.
Будем называть эту пару лиевых операций стандартной парой лиевых операций.
Введение на группе стандартных лиевых операций фактически устанавливает отображение из класса конечных р -групп класса нильпотентности не выше р— 1 в класс колец Ли. Это отображение инъективно, так как формула Бейкера - Хаусдорфа, определяющая связь между кольцами Ли и группами, устанавливает обратное отображение. В диссертации (предложение 6) приводится и другое доказательство инъективности этого отображения, не использующее формулы Бейкера - Хаусдорфа.
Назовем класс р -групп (q, fc) -замкнутым ( k < р ), если у всех групп из этого класса экспонента не превосходит q , и он замкнут относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и прямого произведения на любые р -группы класса нильпотентности не выше к и экспоненты не выше Ч •
2То есть пара операций связанных аксиомами кольца Ли.
Назовем пару лиевых операций, определенных на группах из некоторого класса р -групп к -стандартной, если для нее выполнены условия 1 и 2 из теоремы 4, и на р-группах класса нильпотентности не выше к эти лиевы операции образуют стандартную пару лиевых операций.
Конечную р-группу б назовем г -узкой ( г —натуральное число), если все ее секции3 N обладают свойством:
Кроме того, обозначим: Сп = (д | д £ С!,дп = 1) и С = (дп | д € С) •
Теорема 5. На группах из (9, (г + 1)) -замыкания класса, образованного конечным числом групп О = С/Счз (С)4 , где <3 берутся из класса г -узких р -групп и 2 + 2г < р, можно определить (г +1) -стандартную пару лиевых операций.
Доказано также, что отображение из класса групп в класс колец Ли, задаваемое этой парой операций, инъективно.
Классы групп, определенные в теореме 5, достаточно широки. В частности, они содержат р-группы с циклическим коммутантом при р > 5 . Более того, выполнена
Теорема 6. На конечных р -группах с циклическим коммутантом при р > 5 можно определить одну и только одну 2 -стандартную пару лиевых операций.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А.И. Старостину за постановку задачи и постоянное внимание.
Литература
[1] Y.Cheng, On finite р -groups with cyclic commutator subgroup // Arch. Math., 39 N 4 (1982), 295-298.
[2] C.D.H.Cooper, Word which give rise to another group operation for a given group // LNM N 372.
[3] J.R.J .Groves, Regular p -groups and words giving rise to commutative group operations // Israel J.Math. 1976, vol. 24, p. 73-77.
[N',N,...,N] С {N')p.
3Секциия — это факторгруппа подгруппы
[4] B.Huppert, Endliche Gruppen I. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York, 1976.
[5] P.Hall, A contribution to theory of groups of prime power order // Proc. London Math. Soc. 1933, vol. 36, p. 25-95.
[6] M.Lazard, Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie // Annales Sci. Ecole Normale Supérieure (3), 71, (1954), 101-190.
[7] Y.K.Leong, Odd order nilpotent groups of class two with cyclic center // J.Austral. Math. Soc., 17 (1974), 142-153.
[8] Y.K.Leong, Finite 2-groups of class two with cyclic center // J. Austral. Math. Soc., 27 (1979), 125-140.
[9] W.Magnus, A connection between the Baker - Hausdorff Formula and Problem of Burnside // Annals of Math., 52, (1950), 111-126; 57, (1953), 606.
[10] Avinoam Mann, Regular p-groups II // Israel J.Math. 1973, vol 14, p. 294-303.
[11] Avinoam Mann, Regular p-groups // Israel J.Math. 1971, vol 10, p. 471-477.
[12] В.Магнус, A.Kappac, Д.Солитер, Комбинаторная теория групп. H.: Москва 1974, 455 С.
[13] А.И.Мальцев, Нилытотентные группы без кручения, Изв. АН СССР, сер. матем.,,13, (1949), 195-212.
[14] И.Н.Санов, Установление связи между периодическими группами с периодом — простым числом и кольцами Ли // Изв. АН СССР, сер. матем., 16, (1952), 23-58.
[15] В.В.Сергейчук, О классификации метабелевых р-групп // Матричные задачи. - Киев: Ин-т математики, 1977, 150-161.
[16] Е.И.Хухро, Конечные р -группы, допускающие р-автоморфизмы с малым числом неподвижных точек // Матем. сборник, 184, N 12, (1993), 53-64.
v[17] Е.И.Хухро, Вербальная коммутативность и неподвижные точки р-автоморфизмов конечных р-групп If Матем. заметки, 25, N 4, (1979), 505-512.
[18] В.А.Шериев, Конечные 2 -группы с дополняемыми неинвариантными подгруппами // Сиб. матем. ж., 8, N 1 (1967), 195-212.
Работы автора по теме диссертации
[19] А.А.Финогенов, Конечные р-группы с циклическим коммутантом // Алгебра и логика 34, N 2 (1995), 233-240.
[20] А.А.Финогенов, О р-регулярных группах // Труды института ма-тетматики и механики УрО РАН том 5, (1997) ,
[21] А.А.Финогенов, Конечные 2-группы с циклическим коммутантом // Международная конф. "Алгебра и анализ": Тезисы докладов. Казань, 1994. С.97.
[22] А.А.Финогенов, Конечные р-группы с циклическим коммутантом и циклическим центром // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева: Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С.297.
[23] А.А.Финогенов, О конечных р -группах с циклическим коммутантом и циклическим центром // Деп. в ВИНИТИ 20с.
[24] А.А.Финогенов, О задании структуры кольца Ли на конечной р-группе. // Деп. в ВИНИТИ 15с.
Отпечатано на ротапринте ИММ УрО РАН тираж 100 заказ 80
формат 60x84 1/16 объем 1 п.п.
620219 г.Екатеринбург ул.С.Ковалевской, 16