О мультипликативной группе скрещенного группового кольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи БОВДИ Виктор Адальбертович

О МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ГРУППЕ СКРЕЩЕННОГО ГРУППОВОГО КОЛЬЦА

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

Киев — 1992

КИЕВСКШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т.Г. 'ЛЕВЧЕНКО

На правах рунопиеи

БОВДИ Виктор Азальоертович

О МУЛЬТИПЛИКАТИШОИ ГРУППЕ СКРЕЩЕННОГО ГРУППОВОГО КОЛЬЦА

01.01.06. - 'математическая логика, алгебра и теория

Автореферат диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1592

—е.—

501-2 выполнена на кафедре алгебры Ужгородского государственного университета

НАУЧЫК РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук,

профессор Гудивок П.М..

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-махематических наук,

профессор Дрозд Ю.А. - кандидат физико-математических наук, • старший научный сотрудник Сысак Я.П.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургский'гссуниверситет

Защита диссертации состоится 1992 р.

в _ час. н& заседании специализированного совета К 068.18.11

по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук е Киевском государственном университете имени Т.Г.Шевченко по адресу: 252127, г. Киев, пр. Ак. В.М.ГлушкоЕа, 6, КГУ, корпус механико-математического факультета, ауд. В __ .

С диссертацией можно познакомится в библиотеке университета.

Автореферат разослан "_■ЛАРиХ/ 19Э2 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Сушанский В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Групповые кольца и их обобщения возникли в рамках теории представлений конечных груш и центральных простых алгебр в работах Э. Нетер, Фробениуса и Шура.

На протяжении последних десятилетий групповые кольца и их обобщения стали объектом интенсивного исследования. Одним из таких обобщений групповых колец являются скрещенные групповые кольца, развитие которых стимулировалось также теорией проективных представлений конечных групп.

За последнее десятилетие з теории скрещенных групповых колец получено очень много глубоких результатов, связанных с теоретико-кольцевыми свойствами. Основные результаты з этс.ч: направлении изложены в монографиях С.Пэссмана "Бесконечные скрещенные произведения"1 и Г.Карпиловского "Алгебраическое строение скрещенных произведений"2.

Новым направлением в исследовании скрещенных групповых колец является изучение их мультипликативной группы. Проблематика выросла в осноеном из теории мультипликативной грунты групповых колец й возникли целый ряд трудно решаемых проблем, так как многие методы исследования групповых колец не применимы к изучению мультипликативной группы скрещенных групповых колец.

Настоящая диссертация посвящена изучению мультипликативной группы скрещенного группового кольца.

1. Passman D.S., Infinite crossed products // Academic Pre33. -New York.-1991 .-460p.

2. KarpiloYsky G., The algebrlc structure of crossed products // Noth-Holland-Amsterdam-New York-Oxfoni-Tokyo.-1087.-320p.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работы является: 1 ' изучение максимальной нормальной FC-подгруппы мультипликативной группа U(K^C-) скрещенной групповой алгебры K^G i т.е. подгрупяц. состоящей из конечных клэссое сопряженных элементов группы U(K^G));

i; описание бесконечной скрещенной группогой алгебры K^G, мультипликативная группа которой является ГС-группой; 2) выяснение теоретико-кольцевых свойств /-нормальности скрещенного группового кольца;

4) изучение нормальности унитарной подгруппы Uf(K^G) мультипликативной группы U(K^G) скрещенной групповой алгебры K^G.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА Е ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть применимы при исследовании строения мультипликативной группы скрещенного группового кольца, а также быть использованы лри чтении специальных курсов по алгебре.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации используются методы, относящиеся к теории групп, теории полей, теории групповых и скрещенных групповых колец.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. .Результаты раооты докладывались на XIX Всесоюзной алгебраической конференции (Львов, 1987), на Международной конй.-ренции по алгебре (г.Барнаул, 1991), на XI Всесоюзном симпозиуме по теории груш (г.Свердловск, 1Э89). а также на научно-исследовательских семинарах по алгебре е -отделе алгеоры Математического института (г.Будапешт, ВР), в Киевском, Укгорсд-ском, Плоедевском (РБ) и Дебреценском (БР) университетах.

ПУБЛИКАЦИИ. Результата диссертации опубликованы в работах

[1]-С61, список которых приведен в конце автореферата. ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 72 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав, разбитых на параграф, и списка литературы. Библиография включает Л 5 наименований работ отечественных и Зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор исследований по тематике диссертации, постановка задач и краткое описание содержания работы.

Пусть С - группа и ШК) - мультипликативная группа коммутативного кольца К с единицей. Систему элементов ье

еи(К)| а.ЬеС }, удовлетворяющей условию

для всех а.Ь.сеС, называют системой факторов группы 0 над кольцом К.

Поставим в соответствие всякому элементу вес символ ц^ и рассмотрим множество всевозможных формальных сумм Еида

а и I а «К >,' где лишь конечное число элементов а

отличных от нуля.

По определению £ ¡3 и а и тогда и только тогда, когда

г(.о ® 3 8 в '

яля 5Сех Множество К^С превращается в ассоциативное кольцо, если операции сложения и умножения определить следующим образом:

-6-

где ь иг системы факторов X груши G над кольцом К. Для ьлементоь х и yeK^G произведение определяется на основании зачонз дистрибутивности. Полученное кольцо оудем называть скрещенным групповым кольцом группы G и кольца К при системе . факторов X.

Системы факторов Я. и ц группы G над кольцом К называются эквивалентными, если существует такое множество {aa€U(K)|aeG }, что выполняется условие

X . =а а а'} II .

a.b аТз ab ^a.b

для всех a,bc G.

Система факторов X группы G над кольцом £ называется нормированной, если Х& = Х^ для всех aeG. Очевидао,

любая система факторов группы G над кольцом К эквивалентна некоторой нормированной системе факторов. В дальнейшем мы Оудем предполагать, чтс системы факторов группы G над кольцом К нормированы.

Пусть U(K^G) - мультипликативная группа скрещенной групповой алгебры K^G поля К и группы G при системе факторов Х=Сл ,eU(K)i a.beG). Легко видеть, что

а, t>

G=Uual\€U(K),afG)

является подгруппой в U(K^G), а подгруппа U(K) нормальна в G и факторгруппа G/U(K) изоморфна G. Элементы из U (K^G), имеющие конечное число сопряженных в U(K^G), образуют нормальную подгруппу LU в группе U(E*G). Подгруппа ли называется чьг.зимыьной ?С-яодгрупяай группы и(К^С-). Согласно теореме Немана элементы конечного порядка группы.AU образуют подтрушу t;iUVK факторгруппа Mi/t(iU) - абелева без кручения.

-7. §1 главы 1 диссертации посвящен поучению группы ли. Эiи результаты являются новыми и для групповых алгебр.

Легко видеть, что если K^G - конечная скрещенная групповая алгебра, то группа ди совпадает с U(K^G) и является конечной. Поэтому имеет смысл "поставить вопрос о строении группы ли в случае, когда К^г, - бесконечная скрещенная групповая алгебра.

Если х - нильпотентный элемент кольца K^G, то элемент .v^-r обратим в кольце K^G и называется унипотентнъм элементом группы U(K,G).

л.

Теорема 1.3. Пусть K^G - бесконечная скрещенная групповая алгебрз и t(AU) - подгруппа группы AU, состоящая из вс.;х элементов конечного порядка группы ли. Тогда коммутант группы' t(AU) состоит из уцмпотентных элементов и содержится в ir-нтре группы AU. Более того, если характеристика поля К не делит порядки элементов подгруппы ДС группы G, то группа t' ди) абелева.

На основании этих результатов получаем важный факт с строении группы ди.

Следствие 1.5. Если K^G т бесконечная скрещенная групповая алгебра, то ди - разрешимая группа класса не более 3, а ее подгруппа t(ди) нильпотентна ступени не более 2.

Проблема о строении группы G и кольца К, когда мультипликативная группа группового кольца KG является FC-rp/пггсЯ, 'ы.-э поставлена Цассенхаузом. Для групповых кол^ц KG эта задача частично рассматривалась Сегалом и Цассенхаузсм и Лолч:сг; Шипюем, а в полном объеме была решена Клифэм и Сегалем3. Но яг

3.Sehgal S.K., С11ГГ Н., Group rings nhoss units' Гога'- an FC-group // Math.Z.-1978-161.-p.169-183.

кетоды неприменимы к исследованию мультипликативной группы скрещенного группового кольца.

Однако, на основании результатов полученных з §1, нам удалось в §2 полностью описать бесконечные скрещенные групповые кольца, мультипликативная группа которых является РС-грушой.

Теореииа 1.10. Пусть - бесконечная скрещенная групповая алгебра характеристики р>0, г(О - совокупность элементов конечного порядка группы С, содержащая р-элемент, и либо поле К совершенное, либо для каждого элемента £ порядка рк группы Б элемент и* является алгебраическим элементом над простым подлолем поля К. Группа ЩК^О является ГС-группой тогда и толькс тогда, если й является РС-группой и выполняются следующие условия:

1) р-2 и коммутант С группы С имеет порядок 2;

2) г(С) подгруппа центра С(С) группы й и г(О представкма в виде прямого произведения коммутанта С и абелевой группы Н .без элементов 2-го порядка;

3) алгебра К^Н есть прямая сумма конечного числа полей;

4 , множество О*"1 _1 \ _1 X. )11€Н> - конечно для каждого

.в ъГ е.к

БкС.

Отметим, что если К^ является групповой алгеброй, то . условие 3) теовемы 1.10 равносильно тому, что Е - конечная аоелева группе.

Теореиа 1.1 А. Пусть К^ - бесконечная скрещенная групповая алгебра и характеристика поля К не дели'х порядки элементов группы г(01. Если К^г(С) содержит только лишь конечное число

идэмпотентов, то группа и'К^О является ГС-группой, тогда и

* «

•только тогда, когда С- является РС-группой и•'■ выполняются

следующие условия:

1) все вдемпотенты алгебры К^г(С) центральны в К^С;

2) множество {Х-1 , X . х )ЬеН) - конечно для каждого

ъ.ь ъ~\е к в.ь

3) алгебра есть прямая суша конечного числа полей;

4) при бесконечности алгебры К^г(С) она содержится в центре К^;

Теорема 1.15. Цусть К^ - бесконечная скрещенная группоЕая алгебра и характеристика поля К ни делит порядки элементов группы 1;(С). Если алгебра содержит бесконечное число

вдемпотентов, то группа и (К^) является РС-грушой тогда и только тогда, когда С является РС-группой и выполняются следующие условия:

1) алгебра К^г(С) содержится в центре К^ и обладает минимальным идемпотентом;

2) множество {А.-1 , Я . Л. . |1цН} - конечно .для кавдого

ь.ь ь-1 ,в ь в.ь

3) коммутанты групп Б к & изоморфны и С* либо конечная группа, либо груша типа q00 и найдется'такое щм, что поле К не содержит корни степени ф1 из единицы;

4) для каждой конечной подгруппы Н крммутанта группы С элемент ец=Тп'"^ ь является ненулевым идемпотентом алгебры К^МО и

алгебра К^ОО-вд) является прямой суммой конечного числа полей.

Известно, что групповая алгебра КС бесконечной абелевой q-гpyшн в обладает минимальным идемпотентом • тогда и • только тогда,- когда выполняются следупще условия: 1) где Я - конечная группа, 2^") .- груша типа

(p,q)=i, где p характеристика поля К;

2) найдется такое n€«. что поле К не содержит корни степени qn из единицы.

Условие 4) теоремы для групповой алгебры Kt(G) выполняется

всегда, когда в Kt(G) существует минимальный идемпотент.

Пусть /: G —> Ч(К) - отображение группы G в U(K),

удовлетворяющее условию /П)=1. Всякому элементу а и еКлС

sta s г

поставим в соответствие элемент а f(g)u~' eKjG.'

e€G * 8 Л

В §1 главы 2 выясняется вопрос, когда отображение х—>х£ является инволюцией кольца K^G.

Леша 2.1. Отображение х—>xi кольца K^G является инволюцией тогда и только тогдаj когда

I J,(gh) h =Лв>ЯЮ (g.h € G).

Отметим, что если K^G групповое кольцо, то отображение

х—>х* является инволюцией тогда и только тогда, когда

отображение /:G—> U(K) является гомоморфизмом групп.

Пусть отображение х—>xt является инволюцией кольца K^G.

Кольцо K^G называется /-нормальным, если для всякого xeK^G

выполняется равенство

I хх*=х*х.

I ,

Теорема 2.2. Пусть т-—>хг - инволюция кольца K^G. Кольцо

K^G /-нормально тогда и только тогда, когда выполняется одно из еледующих условий: . j

) G - абелева группа и система факторов симметрическая, т.е. Vb=\>.a ' a>bf ° ):

-') G - абелева группа показателя 2 и система факторов удовлетворяет -условию

для зсвх ?,b(G;

3) G - полупрямое произведение абелевой группы Н показателя п*2 и циклической группы <а> второго пирядка, примем aha=tr1 для всех hfH и система факторов X удовлетворяет условиям:

a) система факторов группы Н симметрическая;

b) /<а)=-А. и

Q« ц

К.Ъ = Ь.1 ' \.а= тт V-1 А ;

п,п п. .a n,h a.h

4) G - лисЗо прямое произведение групп L и W, где W - группа, показатель которой делит 2, a L - прямое произведение экстраспе-диальной 2-групш Е и циклической группы <с> порядка 4 с объеда-нзнной подгруппой <с2^, совпадащей с коммутантом группы Е; либо G - прямое.произведение экстраспециальной 2-групш Е и группы, показатель которой делит 2.

При этом система факторов удовлетворяет следующим условиям: а) если С(а) - централизатор элемента а 4-го порядка группы G, то X для всех й€С(а) и X =V для любых двух переста-

а. а а,a u.v vtu

новочныХ элементов и и v второго порядка подгруппы С(а); ь; если элементы а-и b 4-го порядка группы G поровдают подгруппу кватернионов Q и C(Q) - централизатор подгруппы Q в G, то

a,a b.a b.b Ь ,а

и

• к К J + , к ,=0

Ti.a ba.d. , .-1 a.b , .-1

d.. ti ab, а

•

для элемента d 4-гэ порядка из C(Q)'H f(v)= Xv v для элемента v 2-го порядка из C(Q);

с/ если элемент а 4-го порядка и элемент Ъ 2-го порядка группы G

пороадают подгруппу диэдра 8-го порядка, то /(Ь)=-А^ь и

= ><а> -1 Л ь -1' \.а = -1 * -1 ■

а.а в,а а,а а .ь

Отметим, что 2-группа называется экстраспециальной, если ее центр, коммутант и подгруппа Фраттини совпадают и имеют порядок

Ьспрос о нормальности групповых колец решен С.Д. Берманом, П.ГЛ. Гудивком и др.

Элемент называется /-унитарным, если существует

такой элемент ееШК), что

Множество всех »унитарных элементов образуют подгруппу в группе и(К^С), которая называется унитарной подгруппой мультипликативной группы кольца К^С.

В §2 главы 2 исследуется вопрос ' о .нормальности группы

Отметим, что если Кй - групповая алгебра аболевой группы С над коммутативным кольцом характеристики р>0, то группа (К^С) была исследоЕанз многими авторами.

Леша 2.11. Группа (К^) нормальна в ЩК^С) тогда и только тогда, когда для всякого элемента х^ЩК^С) элемент хг1 централен по модулю и (К) в груше ЬЧК^С).

Пусть КО - групповое кольцо и %(х)~суша коэффициентов элемента Тогда отображение х—является гомомор-

физмом КО на К и

хси(КО) I *(х)=1 ) является подгруппой мультипликативной группы ЩКО.

Следствие 2.12. Группа У1(КС) нормальна в У(КС) тогда и

толъко тогда, когда хх2 центральный элемент группы V(КС).

Теорема 2.13. Пусть С - локально конечная р-группа, К поле характеристики р>0. Унитарная подгруппа У,(КС) нормальна V(КС) тогда и только тогда, когда выполняется одно из еледугам? условий:

1) К - поле характеристики р и 0 - абелева р-группа;

2) К - поле характеристики 2 и С - полупрямое произведение абелевой группы Н и группы <а> порядка 2, причем . айа=Ь"1 для всех

3) К - поле характеристики 2 и С - прямое произведение экстрз-с^ецизльно|[ 2-группы Е и группы Я, показатель которой делит 2;

4) К - поле характеристики 2 и С - прямое произведение групп 1 Я, где № - группа, показатель которой делит 2, а - прямое произведение экстраспециальной 2-группы Е и циклической группы <с> порядка 4 с объединенной подгруппой совпад:;гаг?й с коммутантом группы Е.

ЛКГЕРАТУРА

Бовди В.А., О мультипликативной группе скрещенной групповой алгебры V XI Всесоганый симпозиум по теории груш, тезисы докладов.-Свердловск.-1989.-с.17.

2. Бовди В.А., Нормальные скрещенные групповые кольца // Деп iKpHlQfflTJl, 28.02.89 (Укгород-89). *63С1-Ук.89.-22с.

3. Бовди В.А., Об PC-подгруппе мультипликативной группы скрещенной групповой алгебры // Acta at commentatlones unlversitatls Tartuensls.-1990.-878.-p.17-22.

4. Бовди В.А., Строение скрещенной групповой алгебры мультипликативная груша которой является группой с конечными классами сопряженных элементов // VI Симпозиум по теории колец, алгебр и мощ'лей, тезисы сообщений.-Львов.- 1990.-е. 22.

5. Бовди В.А., Скрещенные групповые алгебры с конечными классами сопряженных элементов // Международная конференция по алгебре, тезисы сообщений. -Барнаул.-1991.-с.25.

6. Бовди В.А., Нормальные скрещенные групповые кольца // ДАН УССР. Сер. А, {из.-мат. и тех. наук. -1990.- *7-с.6-8.