Тождества линейных представлений конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

о О $

¿П и-3 й '

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Ка правах рукописи

Н17ЕН ХУНТ ШОН

УДК 512.547

ТОЖДЕСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

(01.01.Об - математическая логика, алгебра я теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матеиатяческих наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета шлевв М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.Ю.ОЛШАНСКИЙ

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор Б.И.ШЮТКШ

кандидат физико-математических наук, доцевт Ю.А.КОЛМАКОВ

Ведущая организация - МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАПШЯЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Заззита диссертации состоится " -< О " ' .-ич'.уч 1992 г. в 16 час.05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственной университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москве, Ленинские Горы, МГУ, ыеханико-ыатеыатический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией ыогно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этак).

Автореферат разослан " - 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук

В.Н.Чубариков

сгдчп I ОЕДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одним из центральных вопросов теории многообразий групп и вообще, теории многообразий произвольных алгебраических структур, впервые появившейся в работах Г.йркгофз [I] и Б.Неймаяна [2] , является вопрос конечной базируемости, т.о. определимости многообразия конечным базисам тождестз.

Определяющее влияние за тему диссертации оказала работа Оутс и Пауэлла |~3] , в которой изучаются локально конечные многообразия, порожденные одной конечной группой. Такие многообразия, получившие название многообразий Кросса, были введены в [4] и исследованы в разрешимом случае Пауэллом

[5] . Основным следствием их изучения стала теорема о конечном базисе тоздестэ любой конечной группы. (В более широком контексте отметим так.та- положительное решение проблемы конечного базиса Линдоном [б] для нильпотентных мнегообра-

1. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras. -Proc. Cambridge Phil. Soc. , 1935, 31, p. 433-454.

2. Neumann B. H. Identical relations in groups. ¡. -Math. Ann. , 1937, 114, p. 506-525.

3. Oates S. , Powell id B. Identical relations in finite groups. - J. Algebra, 1964, v. 1, N3, p. 11-39.

4. Higman G. Identical relations in finite groups.

-Conv. Internas, di Teoria dei gruppi finiti, Firenze, 1960, p. 93-100.

5. Powell M B. Identical relations in finite soluble groups. - Quart. J. Math. Oxford, 1964, 15, 2, p. 131-143.

6. Lyndon R. C. Two notes on nilpotent groups. - Proc. Amer. Soc. , 1952, 3, p. 579-583.

зе£, Коэаом [7] - для метабелевнх многообразий, А.Н.Кра-сильниковым [8] - для. групп с кильпотентным коммутантом. В общем Ее случае отрицательное решение проблемы дано А.Ю. Ольшанским [9] , С.И.Адяном [ю] и М.Вон-Ли [II] , цричем е [з ] и [п] - ухе , б случае локально конечных к разрешимых многообразий).

Б.И.Плоткиным [12] , [13] были заложены основы теории многообразий представлений групп. В последующие годы на всех этапах развития теории многообразий представлений групп задачи, связанные с проблемой конечной базируемости всегда находились е центре внимания.

Цель работы - изучение многообразий представлений групп, порожденных почти стабильным представлением и такке

7. Cohen D. Е. On the laws of a metabelian variety.

- J. Algebra, 1967, 5, N3, p. 267-273.

8. Красилъников Л. П. О конечности базиса создаете групп с

■нильпотентнкм коммутантом. - ИАН СССР : Сет>. мат. ,1990,54,

с. 1181-1195.

9. Ольшанский А. Ю. 0 проблеме конечного базиса тождеств £ группах. - ИАН СССР : Сер. мат., 1970 , 34, №2, с. 376-38410. Аден С. И. Бесконечные неприводимые системы групповых

тождеств. - ДАН СССР, 1970,- 190, о. 499-501.

11. Vaughan - Lee М. R. Uncountably many varieties of groups. - Bull. London Math. Soc. , 1370, 2, N6, p. 280-286.

12. Плотник Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических састе«.

- ¡аосква : Наука, 1966.

13. Плоткин Б. И. Радикалы и многообразия в представлениях групп. - Латв. матеь:. ежегодник, 1972, 10, с. 75-132. '

многообразий пар-представлений групп автоморфизмами ассоциативных алгебр, алгебр Ли и групп. Решение проблемы конечной базируемости для этих многообразии.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты следующие:

1. Доказательство конечной базируемости тождеств линейного представления конечной группы, а такге почти стабильных представлений групп.

2. Доказательство конечной базируемости тондестз конечных представлений груш автоморфизмами конечных ассоциативных алгебр .

3. Получен частичный аналог 2.в случае автоморфизмов нильпотентных алгебр Ли.

4. Частичный аналог 2. в случае автоморфизмов нильпотентных груш.

Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть применены при исследовании задач теории многообразий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском-семинаре кафедры высшей алгебры МГУ, на семинаре по теории групп МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [I] (совместно с С.М.Вовси) и [2] .

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 89 страницах и состоит из введения, списка обозначений и трех глав, йблиография - 45 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, дается обзор результатов, связанных с вопросами, рассматриваемыми в диссертации, и кратко изложено содержание диссертации.

Пешая глава состоит из трех параграфов. В ней рассматриваются почти стабильные цредставления групп. Доказана конечная базируемость этих представлений.

Определение 1.2. Представление С V - & ) называется стабильным, если в V имеется ряд <3- -инвариантных подпространств

V = V«, з Ч з ... 5 Ч. = {о}

в факторах которого группа 0 действует тождественно. Минимальное возможное п назовем ступенью стабильности цредставления (V, (х) •

Определение 1.3. Представление ( \/, (3-) назовем почти стабильным, если в 0 имеется нормальная подгруппа Н конечного индекса, действущая стабильно в \/ .

Первый параграф является вспомогательным. В нем приведены основные определения и стандартные результаты для многообразий представлений групп по схеме Козача-Ньюмена в доказательстве теореш Оутс и Пауэлла [3^ для групповых тождеств.

Пусть ~ многообразие представлений групп. Если существует натуральное п , для которого 93 порождается представлениями п -порожденных групп, то наименьшее п< с этим свойствам называется базисным рангом многообразия 92 • Определение 1.9. Многообразие представлений групп нгзы-

вается многообразием ограниченного ранга, если оно локально конечно, конечно базируемо и если базисные ранги всех его подмногообразий конечны и ограничены в совокупности.

Во втором параграфе изучаются критические представления групп.

Определение 1.10. Представление группы называется критическим, если оно конечно и не лежит в многообразии, породненном его собственными факторами.

Оказывается, что если ( \/ ) (3-) - критическое представление, то при определенных условиях порядок группы 0-и число образующих в ней ограничено некоторыми параметрам.

Ле?.ма 1.16. Пусть ступени стабильных факторов критического цредстаЕления £ \/, (3-) не превосходят А , индексы неприводимых централизаторов не превосходят с! и порядки главных факторов группы ^ ие превосходят тл Тогда количество образующих группы (5- ограничено числом, зависящим только от А, , с! и т , а порядок этой группы - числом, зависящим от А , с! , т и р , где р = сЬаг А - характеристика основного поля Д .

Лемма 1.17. Пусть ступени стабильных факторов критического представления не превосходят Л , индексы неприводимых централизаторов не превосходят с! и е = е^Р ((3-/Ор) не делится на р , р=сЬаг Д , Гд9 Ор - наибольшая нормальная р -подгруппа группы О • Тогда количество образующих группы ограничено числом, зависящим только от А ,. с! и е , а порядок этой группы - числом, зависящим от л , Л. , е и р .

Третий параграф первой главы посвящается доказательству

основной теоремы. Презде всего введем следующее определение по аналогии с [14]

Определение I.I2. Скакем, что представление ( \J, Q-} принадлежит классу Qf (d.H ; е.т.с ) > если его ин~ дексы неприводимых централизаторов не превосходят d , ступени стабильных факторов не превосходят А и уточнение действующей эдуппы принадлежит классу групп Q (е.-т.,с ) (см. [14] , стр.201).

Доказывается

Лемма I.I9. Пусть chao А = р и ( V, От) ~ почти стабильное представление над Д . Пусть - маг ( \Jj G~)

Тогда существуют такие натуральные Я , d , л . е , т. ЕС, что

С CÍCd,* : e.m.e)

На основе приведенных лемм формируется и доказывается следующая основная теорема первой главы. Отметим, что в случае поля нулевой характеристики здесь использованы результаты работы [15] , связанные с поведением многообразий при изменении основного кольца.

Теорема I.I. Многообразие, порожденное произвольным почти стабильным представлением является многообразием ограниченного ранга.

14. Нейиак X. Ьшогообразия групп. - тосква : Мир, 1869.

15. Плоткик Б. И. Локально конечные к локально ограниченные многообразия лар-представлеыий групп. - В кн. : Сб. работ

по алгебре., Рига, 1978, с.'188-245.

Отсюда, конечно, следует, что тождества произвольного почти стабильного представления конечно базируемы. Результаты [15] , [1б] , [17] , касающиеся вопроса конечной базируемости содержатся з этой теореме в качестве частных случаев. Кроме того

Следствие 1.1. Тождества представления конечной группы конечно базируемы.

Во второй главе изучаются многообразия представлений групп автоморфизмами ассоциативных алгебр. В первом параграфе второй главы приведены основные понятия и определения, приведены примеры представлений групп автоморфизмами ассоциативных алгебр и указаны явные тоддества в них.

Во втором параграфе второй главы строится аналог теории Фраттини для конечных представлений.

Определение 2.8. (3* -подалгебра Фраттини С А )

алгебры Д в представлении (_ Д , &) - это пересечение всех максимальных (3- -инвариантных подалгебр алгебры Д , если они существуют и ф^^Д) = Д , если их нет. Максимальный двусторонний идеал алгебры Д , содеряащийся в

Фе СА) назовем (3- -идеалом Фраттини и обозначим через Ч>& СА) •

Главным результатам второго параграфа является следук-

15. см. стр. 6

16. Вовсл С. М. О критических представлениях групп. - Латв.

матем. ежегодник, 1976, 20, с. 141-159.

17. Гринберг А. С. Два замечания о многообразиях пар.

- Латв. матем. ежегодник, 1973, 13, с. 64-74.

щая теорема:

Теорема 2.1. Пусть (А.СэЛ - конечное представление, N ( А ) = N - нильпотентный радикал алгебры Д ,

фс_Ш = Ф . >р&СА}= у . 80 С А) -

сумма всех минимальных О- - инвариантных идеалов с нулевым умножением в Д . Тогда Ч)е-(А/^) = {.о] и

а. Ф Л N = Ч1 2 К!г

б. N (А/^) = МД, = 20(АЛ)

в. Идеал N1/^ дополняем в АД> , т.е. существует (3" - инвариантная подалгебра МД, алгебры А/<р такая, что А/ф = 1% © М/р

В третьем параграфе второй главы изучаются критические представления и классы ( т,с , ^ ,т0. с0 ) , определяе-

мые следующим образом:

Определение 2.11. Представление (Д , &) принадлежит классу (ш.с ; «ь.тП^Со) . есл2

а. Для любого главного фактора М алгебры А , | М 1 < -т. (Под главным фактором понимаем фактор

& -алгебры А В/с .где В . С - б -инвариантные идеалы в Д , в котором нет собственных (3-. -инвариантных идеалов).

б. Для любого нильпотентного фактора N алгебры Д выполняется условие N 0+1 = о

в. Уточнение действующей группы (Зг / Кег (А .О) принадлежит классу групп £ во . . )

Доказываются следующие результаты:

Лемма 2.9. Класс ' £ с ; еа ,т0 , Со ") локально конечен.

Теорема 2.2. Число критических представлений в любом классе (У С™-с; с», т0 ,0 конечно с точностью до изоморфизма .

Теорема 2.3. Класс С? С тп,с ;е0,т0.с0) является многообразием представлений.

Доказательству основной теоремы второй главы посвящается последний четвертый параграф. Если ЯХ - многообразие представлений, то через Т_ХСУ1'*5 обозначим многообразие всех дредставлений, удовлетворяющих всем тождествам многообразия IX , зависящим ве более чем от -п, переменных ^ и & переменных и .

Значение таких многообразий для изучения тождеств в конечных представлениях показывает следующая

Лемма 2.11. Если IX локально конечное многообразие представлений, и и ^ - натуральные числа, то конечно базируемое многообразие.

Ввиду теоремы 2.2 справедлива также

Лемма 2.13. Пусть IX конечно базируемое многообразие \Х с С? (т,с ; ео.«1о.<0 • Тогда любое подмногообразие ~и/ Я IX тоже конечно базируемо.

Из этих лемм заключаем, что

Лемма 2.14. Пусть £ /\ ,&) - конечное представление. Тогда = Уаг СА.&) конечно базируемо тогда и только тогда, когда для некоторых чг- , , т , С , , то . Со

^ С С т. с ; е0,т0,с0)

Задача сводится к нахождению таких параметров "п ,

, то. , с , е0 , -го0 , с0 , после чего можем утверждать ипехтовость многообразия, порожденного конечным цредставлениеы. Еместо тождества главного централизатора здесь строится неявная формула для ограничения порядков главных факторов. Доказательство основной теоремы теперь завершается применением идеи Кросса (см. [з] , [к] ).

Теорема 2.4. Тождества конечного представления группы автоморфизмами конечной ассоциативной алгебры конечно базируемы .

В третьей главе диссертации рассматриваются представления группы автоморфизмами алгебр Ли и представления группы автоморфизмами групп. Приведены примеры этих представлений групп. Так же как во второй главе, строится теория Фрат-тини для этих цредставлений и доказываются следующие результаты.

Теорема 3.5. Тождества представления группы автоморфизмами конечной нильпотентЕой алгебры Ли конечно базируемы.

Теорема 3.6. Тождества цредставления группы автоморфизмами конечной нильпотентной группы конечно базируемы.

В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.Ю.Ольшанскому за постановку задач и всестороннюю поддержку при работе над диссертацией.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Вовси С. ГЛ., Нгуен Хунг Шон Тождества почти стабильных представлений групп. - Матем. сб., 1387, 132/174/, И,с.578-591.

2. Нгуен Хунт Шон Тождества представлений групп автоморфизмами конечных ассоциативных алгебр. - Вестник МГУ: мат. ,мех. ,КЗ, 1992.