Трансформации пуассоновских мер и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА 1. Квазиинвариантность пуассоновских мер относительно трансформаций пространства

1.1. Постановка задачи.

1.2. Теорема об абсолютной непрерывности пуассоновских мер

1.3. Критерий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно "линейных" трансформаций прострнства.

ГЛАВА 2. Малые уклонения пуассоновского процесса

2.1. Метод Комлоша-Майора-Тушнади.

2.2. Новый метод.

2.2.1. Случай функций ограниченной вариации производной

2.2.2. Обобщение на случай функций с правильно меняющейся производной

2.3. Сравнение методов.

ГЛАВА 3. Аналог закона Штрассена для пуассоновского процесса и для хвостовых эмпирических процессов

3.1. Случай функций ограниченной вариации производной.

3.2. Случай степенных функций бесконечной вариации производной

ГЛАВА 4. Малые уклонения процессов с независимыми приращениями общего вида 98 4.1. Вероятности малых шаров для скачкообразных процессов с независимыми стационарными приращениями.

Процессы с независимыми приращениями (ПСНП) являются одними из основных объектов теории вероятностей. Изучая трансформации пуассоновских мер, которые, как хорошо известно, характеризуют структуру скачков ПСНП, мы имеем эффективное средство для исследования свойств этих процессов.

Возможность преобразовывать ПСНП дает формула Скорохода для взаимной плотности их распределений. Существует также аналог формулы Скорохода для взаимной плотности распределений пуассоновских мер. Этот полезный инструмент используется нами в двух классах задач. Во-первых, мы исследуем квазиинвариантность пуассоновских мер относительно одной группы "линейных" трансформаций пространства, возникающей в теории представлений (см. работы А.М.Вершика, М.Йора, Н.В.Цилевич [31], [32]). Во-вторых, изучаем поведение вероятностей малых уклонений пуассоновского процесса высокой интенсивности.

Малые уклонения — новая и активно развивающаяся область современной теории вероятностей. Она берет свое начало в классических работах А.А. Могульского [44], К.Л.Чжуна [8], Г.Н. Сытой. Однако, как отдельное и важное направление теория малых уклонений сформировалось за последние 10 лет. В настоящее время обнаруживаются интересные взаимосвязи с другими областями науки такими как функциональный анализ и математическая физика, за счет чего возникают новые методы исследований. С другой стороны, развитие этого направления стимулируется все более многочисленными приложениями, например, в теории кодирования и теории аппроксимации функций. Известно также, что малые уклонения используются для доказательства функциональных законов повторного логарифма (Штрассена, Чжуна, Вичуры); они напрямую связаны с энтропией компактных операторов на банаховых пространствах; благодаря тауберовой теореме, с их помощью оценивают преобразование Лапласа норм стохастических процессов.

Современная теория малых уклонений в основном содержит результаты о гауссовских процессах (см. [24]). Причем методы, которые работают в гауссовском случае, неприменимы для других интересных разновидностей процессов, таких, например, как пуассоновский процесс, эмпирические процессы, процессы с независимыми приращениями общего вида.

Основная часть диссертационной работы посвящена исследованию вероятностей нецентральных малых уклонений для пуассоновского процесса высокой интенсивности, сложного процесса Пуассона и для эмпирических процессов. С этой тематикой тесно связана задача о функциональном законе Штрассена, поскольку оценки для вероятностей смещенных малых шаров играют ключевую роль при нахождении скоростей сходимости в этом законе. В данной работе сформулированы аналоги функционального закона Штрассена для пуассоновского процесса высокой интенсивности и для хвостового эмпирического процесса и найдены соответствующие скорости сходимости.

Отдельное внимание в диссертации уделено изучению условий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно "линейных" растяжений пространства. Решение этой вполне конкретной задачи находит свое применение в теории представлений.

Как уже отмечалось, все методы, использованные в работе, так или иначе основаны на формуле Скорохода или ее аналоге для пуассоновских мер. В частности, критерий квазиинвариантности получается непосредственным применением теоремы о необходимых и достаточных условиях абсолютной непрерывности распределений пуассоновских мер [19]. Возникающее при этом интегральное условие на спектральные меры (конечность расстояния Хеллингера-Какутани между спектральными плотностями) удается свести к удобному для проверки виду (простое интегральное условие на преобразование Фурье спектральной плотности).

К задаче оценивания вероятностей попадания пуассоновского процесса в смещенные малые шары существует несколько подходов.

Первый из них стандартен: воспользоваться сильным принципом инвариантности Комлоша-Майора-Тушнади, а именно тем, что изучаемый нами центрированный нормированный пуассоновский процесс высокой интенсивности близок к винеровскому процессу, вероятности малых уклонений которого хорошо изучены. Однако, получаемые таким образом результаты не полностью описывают картину происходящего, поскольку при медленно растущей интенсивности сильный принцип инвариантности не выполнен.

Второй способ основан непосредственно на свойствах пуассоновского процесса, и позволяет полностью проанализировать ситуацию. Он основан на простой идее: свести задачу для смещенных шаров к задаче для центральных шаров, после этого воспользоваться результатом А.А.Могульского [44] о вероятностях центральных малых уклонений для пуассоновского процесса. Чтобы это стало возможным, нужно перейти к процессам, центрированным таким образом, чтобы искомая вероятность оказалась вероятностью попадания в несмещенный шар. В винеровском случае для этой цели использовалась формула Камерона-Мартина для взаимной плотности смещенной и обычной винеровских мер. В нашем случае для перехода к центрированным шарам применяется формула Скорохода для взаимной плотности распределений пуассоновских процессов с различной интенсивностью.

Идея этого метода возникла из исследования доказательства формулы Грилла [17] для смещенных малых шаров винеровского процесса, а также из анализа работы П.Деовельса и М.А.Лифшица [39], где для пуассоновского процесса были получены оценки вероятности смещенных малых шаров при наиболее простом соотношении между радиусом шара и скоростью удаления центра.

Диссертационная работа построена следующим образом.

В первой главе сформулирована и решена задача о квазиинвариантности пуассоновских мер относительно трансформаций пространства.

В этой задаче пуассоновские меры определены на продакт-пространстве положительной вещественной полуоси и произвольного абстрактного пространства. На этом же пространстве рассматривается группа "линейных" растяжений по вещественной компоненте. Задача заключается в том, чтобы найти необходимые и достаточные условия квазиинвариантности пуассоновских мер относительно элементов этой группы. Решение найдено в терминах спектральных плотностей пуассоновских мер. Условие на спектральные плотности квазиинвариантных пуассоновских мер имеет вид простого интегрального условия на их преобразование Фурье (см. теорему 4). В разделе 1.3 приведены простые и наглядные примеры квазиинвариантных мер, сингулярных относительно гамма-меры, квазиинвариантность которой известна из работ [31], [32].

Как уже отмечалось, доказательство критерия квазиинвариантности основано на теореме о необходимых и достаточных условиях абсолютной непрерывности распределений двух пуассоновских мер. Эта теорема в виду ее важности для поставленной задачи приводится и доказывается в разделе 1.2. Результаты, представленные в первой главе, опубликованы в [41], [42].

Начиная со второй главы, в работе исследуются меры малых шаров относительно распределений ПСНП.

Во второй главе изучается поведение вероятностей попадания центрированного нормированного пуассоновского процесса высокой интенсивности в нецентральные малые шары относительно равномерной нормы в пространстве ограниченных функций. Это сделано двумя способами: стандартным методом Комлоша-Майера-Тушнади (КМТ) и новым методом, основанным на трансформациях пуассоновских процессов.

В разделе 2.1 вероятности смещенных малых шаров для пуассоновского процесса высокой интенсивности получены методом КМТ. Найденная при этом оценка совпадает с оценкой вероятности смещенных малых шаров для винеровского процесса, полученной К.Гриллом.

В разделе 2.2 вероятности малых шаров пуассоновского процесса исследуются с помощью формулы Скорохода. В отличии от КМТ этот метод изучает непосредственно пуассоновский процесс и дает более тонкие результаты. Получаемые при этом оценки отличаются от асимптотики Грилла. Они зависят от смещения шара, попадание в который траектории процесса мы исследуем.

В подразделе 2.2.1 оценки найдены при функциях смещения, имеющих ограниченную вариацию производной. Асимптотика, полученная в этом подразделе, применима в гораздо более широкой области параметров, нежели область действия КМТ. Результаты этого раздела опубликованы в [49].

В подразделе 2.2.2 оценки вероятностей малых шаров пуассоновского процесса получены для монотонных функций смещения правильно меняющихся в нуле, имеющих неограниченную вариацию производной.

Результаты методов КМТ и метода, использующего формулу Скорохода, сравниваются в разделе 2.4. В этом разделе показано, что второй метод дает асимптотику при более слабых условиях на параметры и что, благодаря этому, обнаруживается зона параметров, при которых асимптотика вероятностей малых шаров пуассоновского процесса отлична от винеров-ской. Соотношение результатов для винеровского и пуассоновского процессов становится ясным из рисунка 1.

Рис. 1. Обозначения: .г - параметр малости радиуса шара, р - параметр роста интенсивности.

На рисунке горизонтальная ось соответствует радиусу шара: чем правее мы находимся, тем меньший радиус рассматривается в выражении для вероятности малых уклонений. Вертикальная ось соответствует интенсивности пуассоновского процесса. Зона высокой интенсивности находится сверху, и там пуассоновский процесс особенно похож на винеровский, настолько, что работает метод КМТ, и аппроксимация вероятностей малых шаров любого радиуса совпадает с винеровской. Однако ниже некоторой границы дают о себе знать особенности пуассоновского процесса. Зона особой, типично пуассоновской, аппроксимации выделена на рисунке "штрихом". Еще ниже скачки пуассоновского процесса становятся больше радиуса шара, и вопрос о какой-либо асимптотике отпадает сам собой, поскольку искомая вероятность обращается в нуль.

В главе 3 исследуются скорости сходимости в аналоге закона Штрассена для пуассоновского процесса и для хвостовых эмпирических процессов.

В разделе 3.1 рассмотрен случай функций с ограниченной вариацией производной. При этом используются результаты раздела 2.2.1.

В разделе 3.2 рассмотрен случай степенных функций бесконечной вариацией производной, используются результаты раздела 2.2.2В главе 4 результаты о смещенных малых шарах обобщаются на случай достаточно произвольных ПСНП. Доказательство также проводится с использованием формулы Скорохода.

В приложениях приведены необходимые сведения о законе Штрассена для винеровского процесса и принципах инвариантности (слабом и сильном).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Найден критерий квазиинвариантности случайных пуассоновских мер относительно "линейных" трансформаций пространства. Приведены простые и наглядные примеры квазиинвариантных мер. Предложен универсальный способ решения задач поиска таких мер.

2. Получены асимптотические оценки вероятностей малых уклонений для пуассоновского процесса высокой интенсивности. Установлены границы применимости метода Комлоша-Майера-Тушнади (КМТ) в этой задаче. Разработан новый метод, основанный на трансформациях процессов с независимыми приращениями, охватывающий более широкую чем метод КМТ область параметров. Показано, что при медленно возрастающей интенсивности процесса асимптотика вероятностей малых уклонений отличается от винеровской.

3. Получены оценки вероятностей малых уклонений для широкого класса скачкообразных процессов с независимыми приращениями.

4. Изучены скорости сходимости в аналоге закона Штрассена для пуассоновского процесса высокой интенсивности и хвостовых эмпирических процессов. Обнаружено, что если интенсивность пуассоновсого процесса растет медленно (иными словами, "ширина окна" хвостового эмпирического процесса убывает медленно) скорость сходимости может отличаться от аналогичной скорости для винеровского процесса. К тому же при медленно растущей интенсивности нарушается симметрия результата: сходимость к отрицательным функциям из множества Штрассена медленнее, нежели к положительным.

В диссертационной работе обнаружен ряд новых явлений. Ее результаты описывают устройство вероятностей малых уклонений негауссовских процессов, что представляется наиболее ценным, т.к. результаты в этом направлении редки из-за неразработанности методологической базы.

Автор благодарит профессора М.А. Лифшица за полученные знания и поддержку при написании работы, сотрудников НТЦ Альфа за полезные советы в области ТеХ'а, Е.Беляева за помощь в графическом оформлении работы.

1. Alvarez-Andrade S. Small deviations for the Poisson process // Statistics and Probability Letters. - 1998. - Vol. 37. - Pp. 195-201.

2. Bdrtfai P. Die Bestimmung der zu einem wiederkehrenden Prozess gehorenden Verteilungfunction aus den mit Fehlern behafteten Daten einer einzigen Realisation // Studio, Sci. Math. Hungar.— 1966.— no. 1.— Pp. 161-168.

3. Berthet P., Lifshits M. Some exact rates in the functional law of the iterated logarithm // Ann. Inst. Henri Poincare. — 2002. — Vol. 38, no. 6. Pp. 811-824.

4. Berthet P. Vitesses de recouvrement dans les lois fonctionnelles du logarithme itere pour les incr6ments du processus empirique uniforme avec applications statistiques: Ph.D. thesis / Th^se du doctorat de PUniversite Paris VI. 1996. - 396 pp.

5. Berthet P. On the rate of clustering to the Strassen set for increments of the uniform empirical process //J- Theor. Prob.— 1997.— Vol. 10.— Pp. 557-579.

6. Bingham N. H., Goldie C., Teugels J. Regular Variation. — Cambridge University Press: Encyclopedia of Mathematic and its Applications. Vol. 27, 1987. 490 pp.

7. Cameron R., Martin W. T. Transformation of Wiener integrals under translation // Ann. Math. 1944. — no. 45. - Pp. 386-396.

8. Chung K. L. On the maximum partial sums of sequences of independent random variables // Trans. Am,er. Math. Soc. — 1948. — no. 64. — Pp. 205233.

9. Csorgo M. Mo,son D. M. On the asymptotic distribution of weighted uniform empirical and quantile processes in the middle and in the tails // Stock. Processes Appl. — 1985. — Vol. 21. Pp. 119-132.

10. Csorgo M., Revesz P. Strong Approximations in Probability and Statistics. — New York San Francisco London: Academic Press, 1981.— 282 pp.

11. Deheuvels P., Lifshits M. Small ball probability for centered Poisson processes and applications // Preprint.

12. Deheuvels P., Ma,son D. M. Nonstandard functional laws of the iterated logarithm for tail empirical and quantile processes // Ann. Probob. — 1990. Vol. 18. - Pp. 1693-1722.

13. Gel'fand I. M., Graev M. I., Vershik A. M. Models of representations of current groups // in Representations of Lie Groups and Lie Agebras (A.A Kirillov eel), АкаЛётгал Kiado, Budapest. 1985. - Pp. 121-179.

14. Gorn N., Lif shits M. Chung's law and the Csaki Function //J. of Theoret. Probab. 1999. - Vol. 12, no. 2. - Pp. 399-419.

15. Grill K. A lim inf result in Strassen's law of the iterated logarithm // Probob. Theor. Rel. Fields. 1991. - Vol. 89. - Pp. 149-157.

16. Grill К. Exact rate of convergence in Strassen's law of the iterated logarithm // J. Theoret. Prob. 1992. - Vol. 5.- Pp. 197-204.

17. Kerstcm J., Matthes K., Mecke J. Unbegrenzt Teilbare PunktProzesse. — Berlin: Akademie-Verlag, 1974. — 416 pp.

18. Kingm,an J. F. C. Poisson Processes. — Oxford: Clarendon Press, 1993. — 101 pp.

19. К от,los ,/., Major P., Tusnady G. An approximation of partial sums of independent r.v.'s and the sample DF.I // Z. Wahrsch. Verw. Geb.— 1975. Vol. 32. - Pp. 111-131.

20. Komlos J., Ma,jor P., Tu-snddy G. An approximation of partial sums of independent r.v.'s and the sample DF.II // Z. Wahrsch. Verw. Geb.— 1975. Vol. 34. - Pp. 34-58.

21. Lifshits M. Lecture notes on strong approximation // Pub. I.R.M.A. Lille. 2000. - Vol. 53, no. XIII. - Pp. 1-25.

22. Mason D. M. A strong invariance theorem for the tail empirical process // Ann. Inst. Henri Poincare. — 1988. — no. 24. — Pp. 491-506.

23. Memin ,J., Shiryayev A. N. Distance de Hellinger-Kakutani des lois correspondant a deux processus a accroissements independants // Z. Wahrsch. Verw. Geb. 1985. - Vol. 70. - Pp. 67-90.

24. Newman С. M. The inner product of path space measures corresponding to random processes with independent increments // Bull. Am,er. Math. Soc. 1972. - Vol. 78. - Pp. 268-272.

25. Sato K. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions. — Cambridge: University Press, 1999. — 404 pp.

26. Shorack G., Wellner J. A. Empirical Processes with Applications to Statistics. — New York: Wiley, 1986. — 927 pp.

27. Talagrand M. On the rate of convergence in Strassen's LIL // Progress in Probability, Birkhauser, Boston. — 1992. — Pp. 339-351.

28. Tsilevich N., Vershik A., Yor M. Distinguished properties of the gamma process and related topics // Prepublication 575, Universites Paris VI & Paris VII. 2000.

29. Tsilevich N., Vershik A. Quasi-invariance of the gamma process and multiplicative properties of the Poisson-Dirichlet measures // C.R.Acad.Sci. Paris Ser. I Math. 1999. - no. 329. - Pp. 163-168.

30. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.— 351 с.

31. Боровков А. А., Могульский А. А. О вероятностях малых уклонений для случайных процессов // Труды Инст. Матем. СО АН СССР.— 1989. Т. 13. - С. 147-168.

32. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — Киев: TBiMC, 2003. 395 с.

33. Гмъфа,нд И. М., Граев М. И., В ершик А. М. Коммутативная модель представления группы токов SL(2, М)х, связанная с унипотентной подгруппой // Функц. анализ и его прил. — 1983. — Vol. 17, по. 2. — Pp. 7072.

34. Давыдов Ю. А., Лифшиц М. А., Смородина Н. В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов.— М.: Наука, 1995.— 254 с.

35. Деовелъс П., Лифшиц М. А. Эффект протуберанцев в обобщенном функциональном законе штрассена-ревеса // Зап. научи, семин. ЛОМЯ. 1994. - Т. 216. - С. 33-41.

36. Деовелъс П., Лифшиц М. А. Вероятности попадания центрированного пуассоновского процесса в смещенные малые шары // Зап. научн. семин. ПО МИ. — 2001. — Т. 278.- С. 63-85.

37. Ж о,код Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов. — М.: Наука, 1994. — 544 с.

38. Лифшиц М. А. Шм,илева Е. Ю. Критерий квазиинвариантности пуассоновских мер относительно линейных трансформаций пространства // УМН. 2001. - Vol. 56, по. 6. - Р. 159.

39. Лифшиц М. А., Шмилева Е. Ю. Пуассоновские меры, квазиинвариантные относительно мультипликативных преобразований // Теория, вероятностей и ее применения. — 2002. — Т. 46, № 4. — С. 697-712.

40. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции.— Киев: TBiMC, 1995. 246 с.

41. Могулъский А. А. Малые уклонения в пространстве траекторий // Теория вероятностей и ее применения. — 1974.— Т. 19. — С. 755-765.

42. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции.— М.: Наука, 1985,— 140 с.

43. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми приращениями. — М.: Наука, 1964. — 290 с.

44. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, Том.2, 1984. 742 с.

45. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — 572 с.

46. Шмилева Е. Ю. Вероятности малых шаров центрированного пуассоновского процесса высокой интенсивности // Зап. Научи. Семин. ПО-МИ. 2003. - Т. 298. - С. 280-303.