Предельные распределения чисел конфигураций, удовлетворяющих линейным соотношениям тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Учреждение Российской академии наук Математический институт им. В.А.Стеклова РАН

ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ КОНФИГУРАЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫМ СООТНОШЕНИЯМ

01.01.05— теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

003464562

Круглое Василий Игоревич

I о I

J

Москва 2009

003464562

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А. М. Зубков

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Круглов

доктор физико-математических наук A.M. Шойтов

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита диссертации состоится 9 апреля 2009 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 в МИАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН.

Автореферат разослан марта 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.01 в МИАН доктор физико-математических наук

В. А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы

При решении вероятностных задач довольно часто возникает необходимость изучения сумм случайных индикаторов, то есть сумм случайных величин, каждая из которых принимает значения из множества {0,1}. Нахождение точного распределения суммы случайных индикаторов обычно представляет собой сложную задачу и, кроме того, точные формулы могут оказаться столь громоздкими, что это помешает сделать из них какие-либо выводы или применить их на практике. Стандартным методом преодоления этих трудностей является использование аппроксимаций исследуемого распределения с помощью предельных теорем.

Самой известной теоремой о пуассоновской аппроксимации, по всей видимости, является классическая теорема Пуассона для схемы испытаний Бернулли1. Следует отметить, что эта теорема применима только к суммам независимых одинаково распределённых индикаторов, в то время как при решении практических задач исследователь может столкнуться как с зависимостью рассматриваемых индикаторов, так и с тем, что они будут иметь разные распределения, в таких случаях требуются иные методы пуассоновской аппроксимации, например, предложенные в работах Б. А. Севастьянова2,3, А. М. Зубкова4, В. Г. Михайлова5 или часто используемый в последнее время метод Чена-Стейна6,7.

Среди объектов, рассмотрение которых может привести к изучению сумм индикаторов, можно выделить т.н. "сиэйсинги" (англ. spacings) — понимаемые в том или ином смысле расстояния между элементами случайной выборки. В частности, сиэйсинги могут применяться для проверки

'См., например, Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. — М.: МЦНМО, 2004, т. 1, §6.

2Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. — М.:Наука, 1976.

Севастьянов Б.А. Предельный закон Пуассона в схеме сумм зависимых случайных величин. — Теория вероятностей и ее применения, 1972, т. XVII, вып. 4, с. 733 - 738.

4Зубков A.M. Неравенства для распределения суммы функций от независимых случайных величин. — Математические заметки, т. 22, номер 5 (1977), с. 745-758.

5Михайлов В.Г. Некоторые оценки точности пуассоновской аппроксимации для суммы зависимых случайных ицщ1каторов. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, вьш. 4, т. 1.

6Barbour A.D., Chen L.H.Y. Ал introduction to Stein's method. — World Scientific, 2005.

'Barbour A.D., Holst L. Janson S. Poisson Approximation. — Oxford University Press, 2002.

качества датчиков случайных чисел8. Для проверки датчиков случайных чисел разработаны комплексы статистических тестов, например, предложенный Национальным институтом стандартов и технологий США (NIST) комплекс тестов для проверки датчиков случайных чисел, выдающих 0 и 1 с равной вероятностью9, а также разработанный Дж. Марсальей комплекс тестов DIEHARD10.

Так, например, одна из предложенных Марсальей статистик, предназначенных для проверки качества датчиков псевдослучайных чисел, строится следующим образом11. Пусть Х\,...,Хт — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на множестве {1,..., N}, a X(i) ^ Х(2] ^ ... ^ Х(т) — построенный но ним вариационный ряд. Статистика ({Т, N) — это число таких пар (i,j), 1 < % < j ^ Т, что X(i+i) - X(i) = X(j+!) — X(j). Сформулированное Олдусом в виде задачи12 утверждение о том, что распределение Ç(T,N) сходится к распределению Пуассона с параметром А при T,N —> оо, T3/(4N) —> А, было доказано Н.В. Клыковой13.

В настоящей работе рассматриваются аналогичные задачи.

Цель работы

Цель работы — исследование предельных распределений сумм индикаторов, определяемых линейными соотношениями между элементами случайных равномерно распределённых выборок из конечных абелевых групп.

8L'Ecuyer P. Tests Baaed on Sum-Functions of Spacings for Uniform Random Numbers. — Journal of Statistical Computation and Simulation, 59 (1997), 251-269

9 A statistical test suite for random and pseudorandom number generators for cryptographic applications. - NIST Special Publication 800-22, http://csrc.nist.gov/groups/ST/toclkit/rng/docuinents/SP800-22b.pdf

10Marsaglia G. The Marsagiïa Rajidom Number CDKOM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. — http://www.stat.fsu.edu/pub/diehard/

"Кнут Д. Искусано программирования, том 2. Лолучнсленные методы. — М.: ООО "И. Д. Вильяме", 2007 (глава 3, §3.3.2, пункт J.)

12Aldous D.J. Probability approximations via the Poisson clumping heuristics. — Springer, New York, 1989.

Клыкова H.ß. Предельное распределение числа совпадающих промежутков. —Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, вып. 1, с. 147-152.

Научная новизна

Все полученные результаты являются новыми. Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Для независимых случайных величин х\,... имеющих равномерное распределение на конечной абелевой группе (по сложению), и набора целочисленных коэффициентов aj,..., a^ указаны условия, при которых распределение количества упорядоченных наборов (ji,-..,jk) попарно различных элементов множества {1,...,Г}, для которых справедливо линейное соотношение

aiXj1 + ... + a^Xj,. = О,

сходится к распределению Пуассона (или к сложному распределению Пуассона).

2. Для независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на группе Zjy, доказаны теоремы о сходимости числа образованных этими величинами "параллелограммов" (удовлетворяющих дополнительным условиям двух различных видов) к распределению Пуассона.

Методы исследования

В диссертации используются метод моментов для суммы случайных индикаторов в форме, предложенной Б. А. Севастьяновым14, а также метод А. М. Зубкова15 и метод Чена-Стейна16 оценки скорости сходимости к предельному распределению.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты могут найти практическое применение при проверке датчиков случайных чисел.

14Колчин В. Ф-, Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения. — М.:Наука, 1976 (глава Ш, §2, стр. 117, теорема 1).

15Зубков A.M. Неравенства для распределения суммы функций от независимых случайных величин. — Математические заметки, т. 22, иомер 5 (1977), с. 745-758.

"Barbour A.D., Chen L.H.Y. An introduction to Stein's method. — World Scientific, 2005 (глава 2).

Апробация работы

Изложенные в диссертации результаты докладывались на Тринадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (2006, Йошкар-Ола), Четырнадцатой Всероссийской школе-коллоквиуме но стохастическим методам (2007, Сочи-Адлер), заседаниях Отдела дискретной математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из оглавления, введения, четырёх глав и списка литературы, насчитывающего 34 наименования. Общий объём диссертации — 127 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведён краткий обзор но тематике работы, изложены цели исследования, а также перечислены основные полученные результаты. Кроме того, для удобства читателя приведены формулировки применяемых в данной работе методов Севастьянова, Зубкова и Чена-Стейна.

В первой главе диссертации доказываются предельные пуассоновские теоремы для количества упорядоченных наборов, удовлетворяющих линейным соотношениям с целыми коэффициентами, в выборке независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на конечной абеле-вой группе.

Пусть С — конечная абелева группа по сложению и случайные величины Х\,... ,хт независимы и имеют равномерное распределение на (7. Пусть к — фиксированное натуральное число и £ц,..., а^ — ненулевые целые числа. Обозначим через J множество всех упорядоченных наборов (^1,..., из к попарно различных элементов множества {1,...,Т}, = = т^ш.

Поставим в соответствие каждому набору ..., д.) е 3 линейное соотношение

аххк +... + акх}к = 0.

Доказано, что

Р(£ц®Л + ... + = 0) = /(аг,..., ак, С) ^/(л,...,€

где /(С) = /(аь...,аьС?) = нод(а,,..,а.,1^),.,нод(а1.....аь|С,|) и д = 01 х

...хб|- разложение группы С? в произведение примарных циклических групп.

Обозначим через ги(аь..., а^.) количество таких перестановок <7 е ¿д, что уравнение

+ а2у2 + ... + акУк = 0

равносильно уравнению

аа(\)у1 + 0,7(2)2/2 + • • - + аа(к)ук - о, то есть множества их целочисленных решений совпадают. Лемма 1 Пусть уравнение

ат + а2у2 + ... 4- акук = О

представлено в виде

. а\У1 + • ■ • + а[ук1 + а!2ук1+1 + ... + а'2ук1+к2 + ... + а\ук1+...+к1 = О,

где кх +... + кц = к и при ифу.

Если существует такая перестановка сто 6 что

(-аь..., ~ак) = (0^(1), ■ ■ ■, а<г0(*)) , то го(а1,... ,ак) = 2 • к\\ • •... ■ Ы, иначе -ш(сц,..., ак) = • к?}. •... ■ £¡1.

С использованием метода Б. А. Севастьянова доказана предельная пуас-соиовская теорема.

Теорема 1 Пусть ненулевые целые числа ах,..., од фиксированы, независимые случайные величины х\,... ,ху имеют равномерное распределение на конечной абелевой группе (по слооюению) G и

иь—Jicjej

Пусть число Т и группа G изменяются так, что

1) |G| = N —> оо,

2)Т~* оо,

3)

= 0<Л<оо,

4) для любых фиксированных 8 G N, е > 0, для имеющей равномерное распределение на группе G случайной величины у

/NeS

= =

Тогда

Am

' lim Р (С = m) = —-е~х, ш = 0,1,2,...

N,T-*oo К т\

Показано, что последовательность групп где d фиксировано и М —» оо, удовлетворяет условиям данной теоремы. С использованием метода Чена-Стейна получена предельная пуассоновская теорема для последовательности групп Zq, где q — фиксированное простое число и d —> оо, а также доказано, что для последовательностей групп Zf{ и Z^ расстояние полной вариации

рту(СМЮ) = sup |Р(С е А) - Р(тг(ЕС) € А)|

A CZ+

между распределением случайной величины £ и пуассоновским распределением с параметром, равным Е£, убывает как О (Т"1).

Доказано, что случайная величина соответствующая последовательности групп Z4 х (Z2)d~2, где d —* 00, и линейным соотношениям вида —Xjl + Xj2 + xj3, имеет в пределе сложное пуассоновское распределение, причём скорость сходимости и в этом случае есть О (Т-1).

Сформулирована и доказана теорема о сходимости к сложному луас-соновскому распределению для распределения количества упорядоченных наборов, удовлетворяющих линейным соотношениям с целыми коэффициентами, в выборке независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на абелевых группах более широкого класса.

Теорема 2

1. Пусть независимые случайные величины x\,...,xf имеют равномерное распределение на G и

С = I(alXji + • • • + CLkXjb = 0).

Ui,~jk)eJ

Тогда

Е C = AJj.f{au...,ak,G).

2. Пусть |G| —> оо и Т —» оо так, что Е£ —» Л, где 0 < Л < оо. Обозначим

рОЧ, ■ • •,ifc) = |{1, •..,*} (~){h, ■ ■ ■, Jfc}| •

Пусть для всех (ji, ■ • • ,jk) € J таких, что 0 < p(ji, ■ ■ ■ ,jk) < k, справедлива равномерная оценка

P(fliai + ... + a kXk ~ 0, ai xh + ...+ акх}к = 0) .

ТМ.....ан-нр(ед + • ■ - + akxk = 0))2 ^ n{U' >'

причём h(G,T) = o(l) при |G|,T —► oo.

Введём обозначения

С' ~ I(aa(i)Xi + ... + aa(k)Xk = 0), ffS sk

Ar

ar = —P(aiX! +...+ akxk = 0,c' = r), r = 1,2,...,

00

■и пусть к — r(r, где случайные величины (г независимы, и каж-

Г=1

дал случайная величина распределена по пуассоновскому закону с параметром Аг. Тогда

ptv(c^) = ост-1) + о (h(g,t)) = 0(1).

Доказано, что второе условие теоремы 2 выполняется, если все коэффициенты (¡1,... ,йк взаимно просты с порядком группы <3. Для этого случая выведена более точная оценка скорости сходимости распределения случайной величины ( к сложному пуассоновскому распределению.

Теорема 3

1. Пусть НОД(ат, |£|) = 1 для всех т = 1,..., к. Тогда ЕС = Ц.

2. Пусть |<7| —> оо и Т —> оо так, что ЕС —<> А, где 0 < А < оо. Тогда выполняются условия п. 2 теоремы 2 и

РТУЫ < (ЕС)2 + ^(1+о(1)) = ОСТ-1) = 0(1).

На основе полученных результатов предложен статистический критерий проверки гипотезы Но о том, что выборка х\,...,хт элементов конечной абелевой группы С? состоит из независимых реализаций случайной величины, имеющей равномерное распределение на группе С.

Критерий 1

Зафиксируем некоторое число I е N.

Вычислим статистику С = ^ . ■ = 0) для выборки

XI,... ,ХТ-

Будем принимать гипотезу Щ, если ( ^ I, и будем данную гипотезу отвергать, если £ > I.

Доказано, что для вероятности ошибки первого рода при применении данного критерия справедлива оценка

Е V"

т\

т=1+1

Во второй, третьей и четвёртой главах диссертации доказаны предельные пуассоиовские теоремы для количества "параллелограммов" (удовлетворяющих дополнительным условиям двух различных видов), образованных независимыми случайными величинами ... имеющими равномерное распределение на группах G — G(N) — Z^ = {0,..., N — l}tI.

Во второй главе определяются величины r,j — — 1 < i,j ^ Т, и событие

В(д, h, l, m) = (J {Цц - Ça{g) = - ф 0} =

ffëS

~ U {r<KsW0 = М'М™) ^ °}> ^ = Si(g,h,l,m),

aeS

где под £4(5,Л,/,m) мы понимаем множество всех перестановок чисел g, h, I, m, то есть событие В(д, h, l, m) заключается в том, что линейное соотношение

&(ft) ~ &(s) = &(m) - Ф 0 выполняется хотя бы для одной перестановки <т G «S^g, /1, l, m).

Определённые нами объекты допускают геометрическую интерпретацию: если группа Zjy понимается как ci-мерный дискретный тор, величина Tjj = — & — как вектор с началом в & и концом в то событие B(g,h,l,m) означает, что случайные величины £г>£т образуют параллелограмм.

Рассматривается случайная величина

С = ^B(g,h,l,m) 1

1<0<А</<т<Т

равная количеству построенных таким образом параллелограммов.

Методом Чена-Стейна доказано, что для случайной величины ( справедлива предельная нуассоновская теорема.

Теорема 4 Если N —> 00 u Т —> оо так, что то

\ m

lim Р(С=:т) = — е~\ ш = 0,1,2,...

Л Г or»______V ' /уи I ' III

Замечание 1 Пусть

С =g H^ji ~~ £/2 = £?'з — Cii) = g I(Th,ji — Тшз)>

Uu-JjeJ (ju-Ji)eJ

где, напомним, J — множество всех упорядоченных наборов (ji, ■ ■ ■ ,ji) попарно различных элементов множества {1,..., Т}. Из теоремы 1 следует, что если ЕС* = ^¡j — + о(1)) А 6 (0, оо), то распределение случайной величины сходится к пуассоновскому распределению с тем же параметром А, то есть предельные распределения С u С* совпадают.

В третьей и четвёртой главах для элементов групп ZJy определяется величина

р(х, у) = тах (|ж4 - у^\ц),

где

х = (хь ...,xd) eZ fr, у = (уъ • • • ,yd) G Z ff, \xi - yi\N = min flzj - ytI, N - \xi - . В данных двух главах рассматриваются параллелограммы, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, сформулированным в терминах введённого таким образом расстояния. В третьей главе определяются векторы

Ti,3 = (£; - < Ртах}, hj 6

где величина ртах представляет собой некий дополнительный параметр, вводятся соответствующие данным векторам события

B{g,h,l,m) = |J {rff(3)iff(h) = rCT(i)i<7(m) ф О}, S = S4{g,h,l,m), и рассматривается случайная величина

С = Y1 ^(зМ™)'

14,g<h<l<m^T

равная, таким образом, количеству параллелограммов, в которых расстояние между точками и а также между £„(т) и 4ff(() не превышает Ртах■

С использованием метода Б. А. Севастьянова для случайной величины £ доказана предельная пуассоновская теорема.

Теорема 5 Если параметры N, Т, ртах стремятся к бесконечности так, что = о(1) и

ЕС = j^r (1 + 0(1))-+л, (КАсоо,

то

lim P« = т) = -~те'х, т = 0,1,2,....

00 тп!

Кроме того, получены оценки сходимости распределения £ к предельному распределению. Методом Чена-Стейна доказано, что справедлива оценка

PrviCAEOXhiW.T,/^),

где hi(N,T,ртах) — некоторая величина, имеющая асимптотику

h^N, Т, pmax) = \к2(Х) [Цх + ig^L) (1 + о(1)).

\ V Ртах/

С использованием метода А. М. Зубкова доказана оценка

< h2(N,T,pmax), где величина h2(N, Т,ртах) имеет асимптотику

ьштп 1+°(1) (ш2 i зду a*+1 ^ i 1 + °(1) 36л1 ВД Т, Ртах) - (Ш + 32 ^ jj-^ j 4-

В четвёртой главе определяются векторы

Чз = < р(ЪЛт) Vm ф г}, i,j 6 ТД\

вводятся соответствующие им события

B(g,h,l,m) = (J {^(^(h) = т^,)^) ф 0}, 5 = Si{g,h,l,m),

aeS

и рассматривается случайная величина

С = lB(g,h,l,m),

l<g</i<i<m<T

Е

fc=0

PK = *) -

равная количеству параллелограммов, в которых точка £„(/,) является ближайшей точкой из ... к но не совпадает с ней, а (,а(т) является ближайшей к и не совпадает с (,а(1)-

Для случайной величины С в двумерном случае, т.е. при d = 2, с использованием метода Севастьянова доказана предельная иуассоновская теорема.

00 -t

Теорема 6 Пусть са = f ~—e'atdt, где а > 0. Если параметры N иТ

о

стремятся к бесконечности так, что

1-2 свТ3 ч „ ч hm —т-^Т^ = Л> 0 < Л < оо, N.T-.00 4 N2

то

ДТП

lim Р(С = т) = —-е~\ т = 0,1,2,.... лг,г-»оо то!

С помощью программы Maple вычислено, что Сб = 0.1541...

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н.

А. М. Зубкову за постановку задач, внимание и критические замечания.

Работы автора по теме диссертации

[1] Круглов В.И. Обобщения задачи о числе одинаковых промежутков на двумерный случай. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, т. 13, выи. 6, с. 1030-1031.

[2] Круглов В.И. Предельная теорема для числа упорядоченных подвыбо-рок, удовлетворяющих линейному соотношению. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007, т. 14, выи. 3, с. 499-500.

[3] Круглов В.И. Предельные распределения числа наборов, удовлетворяющих линейному соотношению. — Дискретная математика, 2008, т. 20, вып. 4, с. 120-135.

Подписано к печати 20.02.09. Заказ № 111 Объем 0,75 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 263-62-01

Введение

1 Пуассоновская аппроксимация

2 Рассматриваемые задачи

3 Апробация работы и публикации

4 Структура работы

5 Обозначения

6 Используемые методы

6.1 Теорема Б. А. Севастьянова

6.2 Метод Чена-Стейна.

6.3 Метод А. М. Зубкова

7 Полученные результаты

I Предельные распределения для числа наборов, удовлетворяющих линейному соотношению

8 Постановка задачи

9 Комбинаторные свойства линейных соотношений

10 Вероятностные свойства линейных соотношений

11 Предельная пуассоновская теорема

12 Замечания и примеры

12.1 Группы вида где М -> оо и d= const.

12.2 Группы вида Zfj, где q - фиксированное простое число и d —» оо

12.3 Пример предельного сложного пуассоновского распределения.

13 Теоремы о сходимости к сложному пуассоновскому распределению

14 Статистические критерии

II Параллелограммы: общая часть

15 Геометрическая интерпретация линейного соотношения х3\ ~ ХП = Х3я ~~ ХМ

16 Ограничения, налагаемые на параллелограммы

17 Обозначения

18 Техническая лемма

19 Общие свойства

20 Предельная пуассоновская теорема

21 Лемма о распределении индикаторов

III Параллелограммы: ограничения на расстояния

22 Постановка задачи

23 Технические леммы

24 Метод Б.А. Севастьянова

24.1 Предельная пуассоновская теорема.

25 Метод Чена-Стейна

25.1 Оценка скорости сходимости.

26 Метод А.М. Зубкова

26.1 Технические леммы.

26.2 Оценка скорости сходимости.

IV Параллелограммы: ближайшие точки

27 Постановка задачи

28 Технические леммы

29 Доказательство предельной пуассоновской теоремы

1 Пуассоновская аппроксимация

При решении вероятностных задач довольно часто возникает необходимость изучения сумм случайных индикаторов, то есть сумм случайных величин, каждая из которых принимает значения из множества {0,1}. Так, например, исследуя задачу о нагрузке на телефонную сеть, насчитывающую п абонентов, мы можем рассмотреть п случайных индикаторов, каждый из которых равен единице, если в данный момент соответствующий данному индикатору абонент пользуется телефонной сетью. Тогда общая нагрузка на сеть, т.е. общее количество активных в некий момент абонентов, будет равна сумме п введённых нами индикаторов.

Нахождение точного распределения суммы случайных индикаторов обычно представляет собой сложную задачу и, кроме того, точные формулы могут оказаться столь громоздкими, что это помешает сделать из них какие-либо выводы или применить их на практике. Поэтому практические задачи часто решают путём аппроксимации исследуемого распределения, то есть вычисляя такое распределение вероятностей, которое в том или ином смысле близко к распределению рассматриваемой суммы индикаторов и представляет собой более "простое" распределение вероятностей, например, нормальное распределение или распределение Пуассона. Правомерность данного подхода подтверждается не только работами в области теории вероятностей, но в том числе и исследованиями, проводимыми как в сфере прикладной математики (см., например, [24],[29]), так и в иных областях науки, таких как физика и биология ([33],[34],[20],[23]).

Самой известной теоремой о пуассоновской аппроксимации, по всей видимости, является классическая теорема Пуассона для схемы испытаний Бернулли (см., например, [15], т. 1, §6). Из данной теоремы следует в частности, что если телефонная сеть состоит из п абонентов, каждый из которых принимает решение воспользоваться телефоном независимо от остальных абонентов, и если для каждого абонента вероятность того, что он в данный момент использует телефонную сеть, фиксирована и равна р, причём число пр является сравнительно небольшим, то распределение нагрузки на телефонную сеть может быть достаточно хорошо аппроксимировано распределением Пуассона с параметром Л = пр.

Следует отметить, что эта теорема применима только к суммам независимых одинаково распределённых индикаторов, в то время как при решении практических задач исследователь может столкнуться как с зависимостью рассматриваемых индикаторов. так и с тем, что они будут иметь разные распределения, в таких случаях требуются иные методы пуассоновской аппроксимации, например, предложенные в работах Б.А.Севастьянова ([6],[14]), А.М.Зубкова ([2]), В.Г.Михайлова ([12]) или часто используемый в последнее время ([22],[31],[19],[21],[32]) метод Чена-Стейна (см., например, [17], [18]).

1. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев A.A. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Том L М.:Гелиос АРВ, 2003. - 336 е., ил. 1.BN 8-85438-071-4

2. Зубков A.M. Неравенства для распределения суммы функций от независимых случайных величин. — Математические заметки, т. 22, номер 5 (1977), стр. 745758.

3. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.

4. Клыкова Н.В. Предельное распределение числа совпадающих промежутков. — Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, вып. 1, с. 147-152.

5. Кнут Д. Искусство программирования, том 2. Получисленные методы. — М.:000 "И. Д. Вильяме", 2007

6. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. — М.:Наука, 1976.

7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — М.:Физико-математическая литература, 2000. — 272 с. — ISBN 5-92210017-3.

8. Круглов В.И. Обобщения задачи о числе одинаковых промежутков на двумерный случай. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, т. 13, вып. 6, с. 1030-1031.

9. Круглов В.И. Предельная теорема для числа упорядоченных подвыборок, удовлетворяющих линейному соотношению. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 2007, т. 14, вып. 3, с. 499-500.

10. Круглов В.И. Предельные распределения числа наборов, удовлетворяющих линейному соотношению. — Дискретная математика, 2008, т. 20, вып. 4, с. 120-135.

11. Ленг С. Алгебра. М.:Мир, 1968.

12. Михайлов В.Г. Некоторые оценки точности пуассоновской аппроксимации для суммы зависимых случайных индикаторов. — Обозрение прикладной и промышленной математики, 1994, выпуск 4, том 1.

13. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — М.: Наука, 1982.

14. Севастьянов Б.А. Предельный закон Пуассона в схеме сумм зависимых случайных величин. — Теория вероятностей и ее применения — 1972, т. XVII, вып. 4, с. 733 738.

15. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО,2004.

16. Aldoiis D.J. Probability approximations via the Poisson clumping heuristics. — Springer, New York, 1989.

17. Barbour A.D., Chen L.H.Y. An introduction to Stein's method. — World Scientific,2005.

18. Barbour A.D., Hoist L. Janson S. Poisson Approximation. — Oxford University Press, 2002.

19. Chatterjee S., Diaconis P., Meckes E. Exchangeable pairs and Poisson approximation.- Probability Surveys 2005, Vol. 2, 64-106

20. Coupier D. Two sufficient conditions for Poisson approximations in the ferromagnetic Ising model. — Annals of Applied Probability 2008, Vol. 18, No. 4, 1326-1350

21. Couronne O. Poisson approximation for large clusters in the supercritical FI\ model.- Markov Process. Related Fields 12, 4 (2006) 627-643

22. Eichelsbacher P., Reinert G. Stein's method for discrete Gibbs measures. -- Annals of Applied Probability 2008, Vol. 18, No. 4, 1588-1618

23. Ferrari P., Picco P. Poisson approximation for large-contours in low-temperature Ising models. — Physica A: Statistical Mechanics and its Applications Volume 279, Issues 1-4, 1 May 2000, Pages 303-311

24. Grubel R., Stefanoski N. Mixed Poisson approximation of node depth distributions in random binary search trees. —Annals of Applied Probability 2005, Vol. 15, No. 1A, 279-297

25. L'Ecuyer P. Tests Based on Sum-Functions of Spacings for Uniform Random Numbers. — Journal of Statistical Computation and Simulation, 59 (1997), 251-269.

26. Marsaglia G. The Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. — http://www.stat.fsu.edu/pub/diehard/

27. A statistical test suite for random and pseudorandom number generators for cryptographic applications. — NIST Special Publication 800-22http://csrc.nist.gov/groups/ST/toolkit/rng/documents/SP800-22b.pdf

28. Pardoux E., Veretennikov A.Yu. On the Poisson equation and■ diffusion approximation 3. — Annals of Probability 2005, Vol. 33, No. 3, 1111-1133

29. Rollin A. On Stein factors and the construction of examples with sharp rates in Stein's method. — http://arxiv.org/abs/0706.0879

30. Schuhmacher D. Stein's method and Poisson process approximation for a class of Wasserstein metrics. — http://arxiv.org/abs/0706.1172

31. Schuhmacher D. Upper bounds for spatial point process approximations. — Annals of Applied Probability 2005, Vol. 15, No. IB, 615-651

32. Vergne N., Abadi M. Poisson approximation for search of rare words in DNA sequences. — http://arxiv.org/abs/0711.2382

33. Yucheng Hu, Xiang Peng, Tiejun Li, Hong Guo. On the Poisson Approximation to Photon Distribution for Faint Lasers. — http://arxiv.org/abs/math-ph/0609063.