Сильные предельные теоремы для урезанных сумм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГБ ОД

1 3 ФЕВ ШЬ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ПОЗДНЯКОВ ВЛАДИМИР ИВАНОВИЧ

СИЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ УРЕЗАННЫХ СУММ

01.01.05.-теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

САНКТ-ПЕТЕРВУ РГ 1995 г.

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -доктор физико-математических паук, профессор В.А.ЕГОРОВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -доктор физико-математических наук Л.В.РОЗОВСКИЙ кандидат физико-математических наук Н.Н.АМОСОВА

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова.

О /С ^

Защита состоится ". <4." 1995 г. в часов

на заседании специализированного совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 19&904, С аз кг-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2, математике-механический факультет СПбГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб. 7/9.

Автореферат разослан »^

^1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-маг. наук Рейнов О.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Помимо теоретического математического интереса предельные теоремы привлекают внимание тем, что только с их помощью можно проверять адекватность теоретических выводов теории вероятностей с окспериментальными фактами. В работе рассмотрена схема цепзурирояаниых выборок, точнее поведение с вероятностью 1 сумм случайных величия, из которых удаляется некоторое количество ыаксимальпых членов. Такие объекты принято называть урезанными суммами (trimmed sums). Это понятие естественным обрезом возникает в робаст-ной статистике. Дело в том, что отбрасывание экстремальных, часто наименее падежных, слагаемых увеличивает устойчивость (робастносгь) различных процедур оценивания и проверки гипотез. Кроме того, такое цензурирование (цензурирование второго рода) может возникать из самой природы решаемой задачи. Например, при испытаниях на долговечность партии изделий, в силу ограниченности во времени, мы вынуждены вести обработку данных на оспове цегоурировалной выборки.

Тот факт, что асимптотическое поведение сумм случайных величин сушественным образом определяется поведением относительно небольшого количества максимальных (или минимальных) членов случайной последовательности, был отмечен в ставших уже классическими работах Лепи (1935), Дарлинга (1952) и Феляера (1968).

В настоящее время большое количество работ посвящеяо нахождению условий, при которых для урезанных сумм выполнена центральная предельная теорема, усиленный лапой больших чисел и закон повторного логарифма. Отмчтим здесь статьи В. А. Егорова, И.М. Хамдамова, Мори, Мейсопа, Хеслера, Черге, Пруитта, Кэлбса, Леду и Гриффшха.

Цель работы. Иелмо настоящей работы явилось полу-

чение усиленного закона больших чисел и закона повторного логарифма для урезанных сумм независимых случайных величин. Кроме того, лажпое место занимает поиск связи усиленного закона больших чисел для урезанных сумм квадратов с законом повторного логарифма урезанных сума исходных величин.

Методы исследования. Диссертационная работа использует разложепие Марцивкевича для симметричных величин, по-зиоллющее перейти от суммы сильнозависимых случайных величин к сумме с независимыми приращениями, а также тот общий факт, что довольпо часто нри вполне приемлемых ограничениях усиленный закон больших чисел для суммы квадратов влечет закон повторного логарифма для исходных величин. Эти методы в примепепии к урезанным суммам были вперхме предложены В.А. Егоровым.

Научная новизна. В случае независимых одинаково

распределенных величин найдены новые достаточные условия, приводящие к усиленному закону больших чисел для урезанных сумм квадратов и закону повторного логарифма'урезапвщх сумм исходных величин. Те же сильные предельные теоремы получены для усеченных сумм (суммы, из которых удаляются слагаемые превысившие заранее заданный детерминированный уровень). Даны некоторые оценки скорости роста урезанных сумм неодинаково распределенных симметричных случайных величин. В некоторых важных, частных случаях указаны границы, в которых с вероягвостыо 1 находятся крайние порядковые статистики.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при исследовании асимптотического поведения урезанных сумм независимых случайных величин.

Апробация работы. Результаты работы докладыва-

лись на Международной конференции М(ЮА-4 (СПб, май 1994) и на общегородском семинаре по предельный теоремам в Оапкт-Петсрбургскои уииперситетс.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 работы и 1 сдала в печать.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем работы 87 страпиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дая краткий историко-библиографический обзор вопросов, касающихся темы диссертации, сформулированы основные результаты, изложена суть нашего подхода к рассматриваемой проблемы.

В первой главе получены пекоторые сильпые предельные теоремы для усеченных сумм, указаны грагощы, в которых с вероятностью X находится крайняя порядковая статистика, полу-чеп усилешгый закон больших чисел для урезанных сумм положительных случайных Ееличин.

Пусть {X, - последовательность независимых случай-

ных величин, 1-Х»,!! < ... < ^п^! - абсолютные порядковые статистики, построенные до п первым случайным величинам, {Ьп} -числовая последовательность, велде далее к г к(п) ■• делочислеп-нал посчедовательяость такая, что к(п) < п.

Введем обозначения:

Г„,* = ХП)) + ... +Х„1П_ц„)+1, Г'>4 = + +

я п

5,.(6.) = < М, Ья) = < &„},

1=1 г-г

ó

В» = ESj.

Лля усечшиых сумм верна

Теорема 1. Пусть {^„}„>i - последовательность независимых симметричных случайных величин.

Пусть Ьп ие убывает, Вя -* со, Вп/Нп+1 —» 1 и

6» = о(г~-),

1п32?„

иогда п оо. Тогда

bm —-— = 1 п.к. »—оо Вп

Sn(bn)

urn аир — = 1 п.н.

п—*оэ

Пусть {У„}„>1 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с обшей непрерывной функцией распределения F, VB(i < ... < Y„in - порядковые статистики, построенные по т» первым случайным величинам.

Пусть ¿(и) - целочисленная последовательность, удовлетворяющая условиям:

fc(n)~a„, где а„/*оо (п-юо) (1)

fc(n)/n~/?„, где /?„\0 (п —► оо) (2)

к(п) < п, к(п)/ 1п2 п оо (» -* оо) (3) Введем обозначения:

Tlk = +-••• + V»,»-Jt(n)+1)

6.(0) = тт{х: Р(У > х) = /?/?„}, р > 0; Ь. = Ь„(1),

В» = пЕУ1{У < Ь„}, Мп = £:1{У, > Ьп}.

i-1

Лемма 1. Преть к(п) удовлетворяет условиям (1) (2) а (3).

Тогда

М.

щ-*1 п-н>

ч с вероятностью 1 для всея достаточно больших п при любом ß > 1

м»)+1 е (М^.М/г1)).

Теорема 2. Пусть для последовательности к(п) верна соотношения (1), (2) к (3), а F удовлетворяет условию

Тогда

lim Tl JB„ = 1 п.н.

И-»»

Теорема 3. В форму лировке теоремы 2 можно опустить требование непрерывности функции распределения F. Тогда нормирующая последовательность определяется следующими соотношениями:

Ь„ = nin{j : Р(У > х) < /?„} В„ = п(Е(У,У < Ь„) + ¿»(Р(У > Ь.) - ßn))-

Во второй главе получены различные варианта закона повторного логарифма для урезанных суми.

Теорема 4. Пусть {Х,Х„}*>\ - неэавиюмне одинаково распределенные симметричные случайные величины с непрерывной

функцией распределения F, E-Y* = оо. Пусть k{n) - целочисленная последовательность, для которой верно (1), (2) и (3), a F удовлетворяет условию

Тогда ^

lim sup ■■ *'k = = 1 п.н.

»-00 V'inn ln3 fl„

Лемма 2. Пусть {Xj}j> 1 - последовательность независимых симметричных случайных величин, к(п) - целочисленная последовательность (к(п) < п). Предположим, что существует Ьл -числовая последовательность такая, что Ья не убывает и для всех достаточно больших п с вероятностью 1

> К-

Обозначим

п

S, = £Х,1{Х?<6»}.

Тогда для любой последовательности а» —♦ оо

lim sup Sn/а» < ПшеирГж^/а» п.к.

Лемма 3. Пусть {Xj}j>i - последовательность независимых симметричных случайных величин, fc(n) - целочисленная последовательность (к(п) < п), Ь„ - числовая последовательность такая, что Ьш не убывает. Обозначим

Я

Г».* = < тт{6„,Х^_4(п)+1}.

Тогда для любого а > 0 верно

Р(тах(Т1Л(1).....¿V*) > «) < > «>■

Лемма 3 есть аналог неравенства Леви , а лемма 2 средство для поиска нижних оценок в теоремах типа закона повторного логарифма.

Лемма 4. Пусть - последовательность независимых

симметричных случайных величин, к, т - фиксированные целые числа, к > т.

Тогда для любой последовательности ая —> оо

Кроме того, была рассмотрена пссколысо иная схема отбрасывания, связанная с представлением Скорохода.

Пусть {Х,Х„}„>, - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с непрерывной строго монотонной функцией распределения Р .

Предположим, что ЕХ2 = оо и

Определим функцию С? : Я -* Н. следующим соотношением

НтзирУ„>/а„ < Нт аир Т„,т/ап п.н.

или ЕХ = 0. (в)

<7(х) = у такое, что

Пусть {У,У"„}П>1 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, задаваемых равенствами:

У = -XG(X), У» = -X,G(X„).

Предположим, что функция распределения F удовлетворяет условию "стохастической компактности" (5) и условию "соизмеримости хвостов", т.е. существуют положительные константы с„ са, Т такие, что

Cl < < с, прИ t > т. (7)

Введем обозначения:

я

= Еъ*(у> й V.^-K.H,},

9(i) = min{t: Р(У > t) - в}, где 0 < а < 1, 4„ - ?(/?„)>

я »

В, = ESS = Шя.

Теорема 5. Пусть {X,X«}n>i ~ иезпвисомие одинаково распределенное случайные величин» с непрерывной строга монотонной функцией распределения- F, ЕХ3 = оо.

Пусть к(п) - целочисленная последовательность, для которой верно (1), (2) и (3), а F удовлетворяет условиям (5), (6) и (7).

Тогда

limsup -; — = 1 т.н.

В третьей главе рассматриваются те же проблемы в случае, когда случайные величины имеют разные распределения.

Так, для абсолютных порядковых статистик получены следующие результаты.

Пусть {Уя}п>1 ~ последовательность независимых положительных случайных величин с непрерывным распределением; {bl1'}, {Ь(„а)} положительны, не убывают.

Для произвольного 7 > 1 введем следующие обозначения:

е„ = [7м]. = Нет), т е N; = шах Р(У„ > ), ФУ = min Р(У, > ); = max Р(У, > b£>), = min Р(У„ > b£>);

Н(а,р) = aln- 4 (l-a)ln^—-, 0 < a,p < 1;

Р 1 - Р

= > х).

п •

1) если £> такова, что для некоторого у > 1 ц для всех доста-

Лемма 5. если Ь„ ш точно больших т

«т+1

1 + ф'.'.> - *2>

Тогда

Р(У„,„-*»+> < Ь? б.ч.) = 0. .

2) если Ь^ такова, что для некоторого 7 > 1 и для всех достаточно больших т

> 4$

| » " 1 + - №

Тогда

Р(У„,„-*.)+, > б.ч.) = 0.

Лемма в. Пусть выполнено условие 4>Щ*)

limsupeup »-»00 <>г

№

= о.

Положим

Ьп(Р) - mm{t: <t>(t) = ft»,}, (/J > 0).

Тогда с вероятностью 1 для всех достаточно больших п и для любого (S > 1

Ш) < l'n,„-*(n)+l < bnir1)-

Для урезанных сумм, симметричных развораспределенвых случайных величин были доказаны следующие сильные предельные теоремы.

Пусть {Х,Л„}„>1 - независимые симметричные случайные величины, {У, У"»},«21 - последовательность соответствующих квадратов. А(п) - целочисленная последовательность, удовлетворяющая как и ранее условиям (1)-(3).

1

Введем обозначения:

фп{х) = Р(У„ > а), ф) = Р(У > х),

= ^¿P(V> > *),

ф) = min{i : Ppt3 > 1) = 4, где 0 < а < 1.

Теорема 7. Предположим, что семейство случайных величин удовлетворяет следующим условиям:

1) для некоторого 6 > 1

.. IM») - „

lim вир вир 1-—г-' = 0;

2) ф - непрерывна, ЕУ — оп и

¿Р(У > О

Тогда

lim ТЦ к/Вл = 1 л.н.

lim аир •—: = = 1 n.M.,

л—»eo V2BÄ LDJ

где ¿?Л задаете* соотмсшекшгжи:

6„ = ЯШ, Д. = пЕ(У,У < 6.).

Теорема 8. Предположим, что семейство случайных величин {-Х«}»>1 уиовлетворяет следующим условиям: II ф непрерывна, и для некоторого Т > О

»—«от <Кч

2) существует М < оо такое, что

tP(Yn>t) _ hm вир вир < М.

1—оо „6I\J < t)

Тогда

lim TlJBn = 1 п.н.

«—»OO

V 1

lim 6up ■ . , = 1 n.w.»

n—»TO П

где Dn задается соотношениями:

n

К = giß.), = EE(yi.y> 5

Дааее приведены некоторые оценки скорости роста урезанных сумм.

Пусть к(х) - непрерывная линейная интерполяция к(п). Определим класс функции следующим образом

/ € F* тогда и только тогда, когда 1) /(*) > 1,

2) f{x) ue убывает,

3) для некоторого я0 > 0

Г

dx

4) }{х)1Ку) 1. если х/у —»1, х оо.

Пусть д(х) - четная непрерывная функция, положительная и строго возрастающая в области я > 0, причем д{х) -* оо при г —► оо. Пусть, кроме того, выполнено условие

ас

——— не убывает в области х > 0.

Введем в рассмотрение последовательность положительных независимых случайных величин {!?„}„>!, задаваемых равенством 2п = д(Уп). Предположим, что

Ег. = Ед(Уп) < 00 (г. » 1,2,3,...), (8)

Мя -* оо, (9)

где Мя = Е;=1 Ег, = Е,(*)). Тогда имеет место Теорема 9.

1. Если к - фиксированное натуральное число и функции / принадлежит классу то имеет место соотношение

»-оо \2т»А 1\Мпз(М„))}

2. Пусть к(х) У оо при х - > оо и выполнено условие к(х)/к(у) -* 1 при х/у —► 1, у —* оо. Тогда выполняется неравенство для произвольного е > О

З'п ^

ИШ8Чр—. . — —--' = <1 п. К.

»-<*, ■ + е)еМ.ПМ„))Ъ1 ¡г>((2 + фМп/(Мп)) ■

для любой функции / из масса Р*.

3. Если в условиях предыдущего пункта выполнено

то неравенство (11) можно усилить до неравенства

lim вир— — <1 п.м.

—~ тУ2д~Ч(1 + ()Мл/(Мл))1п3д-Щ1 + е)М„}(М„))

Более того, если f(x) оо при х —» оо, то справедливо неравенство (10), а если lim f(z) < оо при х —* оо, то выполняется неравенство

.нп аир . ' .. < 1 п.к.

По теме диссертация опубликованы работы:

[1] Поздняков В.К. Об усиленном законе больших чисел для урезанных сумы. // Вестник С.-Петербургского университета. 8(3994), 20-25.

[2] Егоров В.А., Поздняков В.И. О законе повторного логарифма для урезанных сумм. // Вестник С.-Петербургского университета. 22(1994), 29-34.