Одномерные полуустойчивые распределения в схеме максимума независимых случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

' л РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

' ® МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. А. СТЕКЛОВА

2 8 MAP .»

На правах рукописи УДК 519.2

Гриневич Ирина Владиславовна

ОДНОМЕРНЫЕ 1ЮЛУУСТ0ЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СХЕМЕ МАКСИМУМА НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

tt.01.05 - теория вероятностей и матеуатическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1994

Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики

Математического института им. К Л. Стеклова РАН

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-иатеыатичееких

наук, профессор В. Ы. ЗОЛОТАРЕВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор Е И. КРУГЛОВ доктор фивико-магематнческих наук, профессор Л Г. АФАНАСЬЕВА

Ведущая организация - Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится " /4 " агфлил^ 1дд4 года в 14 часов на заседании специализированного Ученого Совета Д. 002.38.03 при Штематическом институте км. К А. Стеклова РАН (г. 1£юква, 117966 ул. Вавилова, 42)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. К А. Стеклова РАЕ

Автореферат разослан " •шгрпта 1994 года

Ученый секретарь специализированного Совета, доктор физико-математических наук

А. С. Халево

СЩАЯ ШШЖСПША РАБОТЫ

йятзгеш&пооть таиа. В классической теории предельных теорем, ак известно, центральное место занимает класс возможных предельных определений - множество безгранично делимых законов. Бошью общих ритериев сходимости, в этой теории изучались критерии, связанные с гдельными семействами распределений (вырожденными, нормальными, рассоновскими и т. д.), или яэ с целыми подклассами распределений, 1кими, как класс Леви (саморазложимые), классы устойчивых и полу-зтойчивых законов. Подобные исследования давали много нового конк-зткого материала, позволяли лучше понять природу предельных тео-5М, давали облегчённые варианты условий сходимости.

В схеме максимума, как и в других схемах линейного типа, изу-;ние предельных теорем для специальных подклассов предельных зако--эв тага® имеет большой самостоятельный интерес. В частности, к телу таких задач относится описание критерия сходимости к аналогам элуустойчивых законов в схеме максимума - к так называемым зкс-полуустойчивым законам. Заметим, что до последнего времени не мо известно критериев сходимости к полуустойчивым законам" в семе суммирования, и именно результаты, полученные в схеме Максима, позволили описать области притяжения таких законов в схеме тммирования.

Спецификой схемы максимума, отличающей ее от схемы суммирова-т случайных величин, является возможность использования в качест-; нормирующих большого, класса преобразований. Это происходит за ют того, что множество изоморфизмов в группе сложения ограничивайся только умножением на постоянную, в то время как в схеме макси-гма это множество содержит широкий класс функций, в частности, 1асс всех непрерывных и строго монотонных функций на Л* . Так, работе рассматриваются предельные полуустойчивые распределения, »являющиеся в схеме максимума с использованием линейных и степен-ix нормирующих преобразований.

Цад> работа - изучение одномерных полуустойчивых рас пределе кий, появлявшихся в качестве предельных в схеме максимума независ* мых случайных величин, когда максимум берется по некоторой подпос ладовательности натуральных чисел {&("■)}, при линейной и степенной нормировках. Исследуются области притяжения найденных маке-подуус тойчивых гаконов и изучается оценки скорости сходимости в предел! ных теоремах для таких распределений.

Штоды игсялвдпвашы. фи описании областей притяжения исжш зуются теория правильно меняющихся функций и свойства так называв мых функций фон Иизеса. Метод доказательства оценок скорости ехъди мости в предельных теоремах для макс-полуустойчивых 'распределен« основывается на методе метрических расстояний (предложенном EU.Sc лотаревым в 1975 году) с использованием идеальных метрик и злемев тов известного метода композиций.

Щучкаа гашиш. В работе получзны следующие основные резуль

татьс

1. Для полуустойчивых законов в схеме максимума независимы случайных величин получено уравнение характернаации. Показано, чт в качестве носителя макс-полуустойчивого закона, являювдзгося абсо лютно непрерывным или имэвдим непрерывную компоненту, либо в качес тве наименьшего выпуклого множества, содержащего носитель дискрет ного макс-полуустойчивого закона, могут выступать лишь полуоси (~а> (£ > + <*>) или вся числовая ось при линейной нормировке; либо о'ди из шести конечных или полубесконечных интервалов при степенной нор мировке. Найден точный вид одномерных макс-полуустойчивых распреде лений, имеющих указанные девять носителей.

2. Излучены необходимые и достаточные условия принадлежности некоторой невырожденной функции распределения к области притяжени каодого из девяти возможных макс-полуустойчивых законов при линей ной и степенной нормировке, включающие в качестве частных случае известные критерии для областей притяжения макс-устойчивых гаконов

3. Получены оценки скорости сходимости в предельных теорема для полуустойчивых законов в схеме максимума, порядок которых явля

?ся правильным. .

Тооратпчэсясз и ЩЕяладппо гпачс-кгя иссле пспшиил. Результаты 1боты носят теоретический характер. Они расширяют представление О пассе возможных предельных законов в схеме максимума независимых яучайных величин; описывают функции распределения из областей при-1ЯЕНИЯ исследуемых макс-полуусгойчивых законов, что позволило, в астности, расширить области притяжения некоторых законов за счет ^пользования нелинейной (степенной) нормировки.

Результаты, описывающие области притяжения макс-полуустойчивых аконов, позволили подучить аналогичные критерии для полуустойчивых определений в схеме суммирования.

Наконец, на основе проведенных исследований был сделан ряд вы-эдов, касающихся аналитических и структурных свойств предельных элуустойчивых распределений (см. Заключение), а также сформулиро-зн ряд задач, связанных с дальнейшим изучением аналитических свой-гв и структуры макс-полуустойчивых распределений.

Апробзцка работы. Результаты работы докладывались в разное ремя на 1£еядународной Вильнюсской конференции по теории вероятнос-ей и математической статистике (1993 год), Международных семинарах э устойчивости стохастических моделей (1991, 1992 годы), семинарах МГУ. По теме диссертации опубликовано 5 статей и принята к публи-ации 1 работа.

Структура п об'си рзботы Диссертация состоит из введения, писка обозначений, трех глав, заключения и списка литературы. 5*ем работы - 89 страниц машинописного текста, включая 3 рисунка и ^таблицу. В списке литературы 31 наименование. Во введении (12 тр.) приводятся постановка задачи, история вопроса, формулируются зновные результаты работы и кратко говорится о методе доказательна.

В главе 1 (20 стр.) получено уравнение харагсгеризации для по-рустойчивых законов в схеме максимума. С использованием этого эавнения описана связь между формой носителя одномерного макс-по-

луустойчивого распределения и предельным нормирующим преобразован* ем. Найдена точная форма одномерных иакс-полуустойчивых функщ-распределения при линейной и степенной нормировке как решений ураЕ нения характернаации в классе функций распределения. Приводите пример разложения макс-полуустойчивого распределения на дискретщ и непрерывную кошоненты, являющиеся также макс-полуустойчивыми зе конаш.

В главе 2 (24 стр.) описываются области притяжения найденнь ыакс-полуустойчивых законов при линейной и степенной нормировка? Найдены необходимые и достаточные условия принадлежности некоторс невырожденной функции распределения области притяжения каждого V девяти найденных макс-полуустойчивых законов при линейной и степей ной нормировках, включающие как частные случаи известные критер: для областей притяжения макс-устойчивых законов. Приводятся кон? ратные примеры.

В главе 3 (23 стр.) получаны оценки скорости сходимости в ср€ дельных теоремах для полуустойчивых законов в схеме максимум Оценки строятся с использованием метода метрических расстояний, тагаэ на основе ьзгода композиций с использованием идеальной метр» ки ^Ра . Приводятся примеры, показывающие правильность полученнь оценок.

В заключении ( 4 стр.) обсувдаигся аналитические свойства пс луустойчивых распределений, связанные со свойствами периодическс функции >>(х) , входящей в представление этих законов, а такзне кр> проблем, возникающих в связи с этими свойствами, Приводится приме макс-подуустойчивой функции распределения, имеющей сингулярную коь поненту в разложении Лебега.

оррвшшнв РАКЛЫ

Пусть Tij.Jiг>... - независимые одинаково распределенш случайные величины (с.в.), принимающие значения в R , с обще функцией распределения (ф.р.) Fix.) . Пусть последовательность нат

- 7 -

льных чисел {k(n)} удовлетворяет условиям

кыиып), '. (1)

Обозначим через iК(п) соответствующую последовательность ксимумов Ъксп) - Г Лг, %к(л)) ,_а черев Ji«г^ т. по-едовательность прес..';.азованных максимумов Ъксп)- L'n(где качестве нормирующих преобразований La(sc) рассматриваются лине-ые или степенные функции на Л вида:

Lni(x)° ^xtan> ал€В,

Спрэкагэпет 1.2. Невырожденную ф. р.

будем называть макс-

луустойчивой (F е ).GS), если существует последовательность незави-: мых одинаково распределенных с. в. { Xj] , последовательность нату-льных чисел {^(ъ)} , удовлетворятся (1), и последовательность рмирупцих преобразований L^fe) вида (2) такие, что

PC L'n С max, ( Хг, Лг,Xt(rl})) < х) F(с;, п-» в, (3)

всех точках непрерывности F(x) .

Далее мы будем рассматривать только случай г> 1 в (1), так к случай 1 - i соответствует макс-устойчивым законам.

Тссрэш 1.1. Одномерная ф.р. 0(=о) является макс-полуустойчивой и нормирующих преобразованиях L^( или j'i ) тогда и

лько тогда, когда &(х) • является решением функционального уравне-

1 г /

G-(x)= & (-LjM), xeR, (4)

» 1 - число из определен™ 1.2, а предельное нормирующее премирование г. ^

Легко проверить, что Lt (х.)= Гх+л , где Г = fan. > о, . = Ьт anti ~ ^ •

и L&(x)-p\x,\%gnx , где а.= Ùm >О.

' 1 ь-со f/1 ' n--*a=s fin./

С использованием характеристического уравнения (4) дается ответ на вопрос о том, может ли макс-полуустойчивое уравнение (в отличие от макс-устойчивого) быть чисто дискретным или представлят: собой смесь дискретных и непрерывной компонент.

Ъба 1. 3. Любая макс-полуустойчивая ф. p. G(x.) , являющаяся pi шением уравнения (4) при некоторых Ъ>1 и hj(x) , представима

виде (?(*)- ес[ы С &a,t... ,

_ г

где (тс (эо) - непрерывная, а 6-а,с(х) , Иъ1 , - дискретные i р. , атомы которых нельзя перевести друг в друга при помощи преобразования Lj(xJ. и Œcfa) , и fray/cfa) являются решениями (4) с т< ми же. г>1 и Ljte) • ' g Kl к

Обратно, любая ф. р. вида (?с f-xj G-a,i M G~aJ■■■ , где k-t, ki... - неотрицательные числа, тага® будет решением топ

ж уравнения (4), а, следовательно, маке-полуустойчиЕым распределением.

Приводится пример разложения макс-полуустойчивого закона н; дискретную и абсолютно непрерывную компоненты, каждая из которьг также является макс-полуустойчивой ф. р.

Пусть теперь G~ac обозначает или непрерывную макс-полуусто чивую ф. р. , или произведение дискретных и непрерывной макс-полуустойчивых ф. р. , а &а - чисто дискретную макс-полуустойчивую ф. р. Доказана следующая лемма, описывающая возможные типы носителей G~ac или наименьшего выпуклого множества, содержащего точки носителя &а .

Лек:,а 1. 4. При линейных нормирующих преобразованиях Lui (х) hi сителем закона &ас или множеством, содержащим носитель Gq, , i жет быть либо полуось вида (~co-,t) или (ir -, + со) , либо вся чис. вая ось. Если же нормирующие преобразования есть степенные функции то в качестве носителя (Гао или множества, содержащего носитель может выступать только один из шести конечных или полубесконечных : тервалов вида: (o>i), + (-¿>0), (-со',-t), i~>О (~<*>iO),(Oi

Более того.

а) Для линейного предельного преобразования L} (sc)*Jx+fl> для тоо, чтобы вся числовая ось была носителем &ос , либо точки носите--я (га были распределены по всей числовой оси, необходило и дос-аточно f=l, jb>О.*

Иначе ДЛЯ ТОГО, ЧТОбЫ SuppGc^ Ц',*со) ИЛИ SUfp (t) + а) ( дабо

lipp бы- (~co->t) или sufp 6~а с (-со-Л) ) необходимо и достаточно f>l (либо . ) соответственно. Qr

б) Для степенного преобразования 1л(х,)=р\х\^дах. suppGhc есть -<о>0) ИЛИ (Oi-i-v), либо -SuppGaC (~са-,о) ИЛИ Supp Ga,C (о ; огда и только тогда, когда <$-=1 и рс1 или р>1

Иначе носителем G ас или множеством, содержащим носитель (га> удет (Oit) или (-coi-t) в том и только том случае, когда p=t'

0<<%<i . Еаканец, <?ас иыэет носитель- (-t>o) или (¿¡ + <о)> ибо носитель Ga содержится в (-t ; О) или (~Ь -,+а>) тогда и олько тогда, когда p=t1~1r,noqr>i.

Далее с использованием полученной информации о возможных типах осителей и их связи с Lj(x.) доказано, что сходимость (3) означает, го предельный закон либо принадлежит к одному из трех возможных ти-ов (соответствующим трем известным макс-устойчивым законам Гнеденко Рл . ^t и А ) при линейной нормировке, либо к одному из эсти возможных типов в случае степенной нормировки. Конкретный вид редставителей этих девяти макс-полуустойчквых законов дается сле-¡пошими двумя теоремами.

Teopsta 1.5. а) Дги линейного предельного преобразования г(эс)-*ух-г t(L-f) решение -уравнения (4) е классе невырожденных ф. р. сносится к одному из следующих типов :

. eccp(-(i-oc)«-»(bv(t-x))), ъе(-ъ-Л), Т<1, (5)

ни

G-i (х)^еяр(- ( oc-t))), xefhm), f>î, (б)

Здесь о6=|йэдъ/!о$р\ , ¿(эс) -периодические с периодом сожительные и всюду ограниченные функции, удовлетворяющие следую-ш условиям:

(S3-): функция x^vf&yx) является невозрастапцей при х>0 ; (15«-): функция хГ^С&ух) является невозрастаюцей при х>0 соответственно.

б) Для линейного предельного преобразования Lt(x) решение уравнения (4) в классе невырожденных ф.р. имеет вид

fyCx)- eap(-eatp(~Ux))?Cx)) , see Ж, ^

где d,= £cg-t,/ji , а ¿(х) есть периодическая с периодом T=ji положительная и ограниченная функция, удовлетворяющая условию • (И[): функция еар C-cUc)i)(x) невозрастает на R

Тсщзага 1.6. а) Для степенного предельного преобразования IJx> = t1~Чг)х\'*'х tw , решение уравнения (4) в классе к

вырожденных ф. р. относится к одному из следующих типов:

<ТЛ (*) * 'еар (fy IflJ*» f&y fy If};;, « Г-® i -il (8)

или

• hCxhvpC-Cfy ijMCty&yi», **(0>*)t (9)

где сб = - Icgi/ tcyqf и i>Cx) - периодические с периодом T=-£cgy положительные и ограниченные функции, удовлетворяющие условию (Ы-).

© Для степенного предельного преобразования ¿¿tx)~ V^ ■ ¿fix, f>l, t?0, решение уравнения (4) в классе невырожденных ф.р. относится к одному из следующих типов:

«хр (-(&>? ¡¿-¡Г*? veC-tiO), (10)

или

где = toy г! ky и д(х) - периодические с периодом положительные и ограниченные функции, удовлетворяюще условию (№-).

в) В случае f=t предельное преобразование ¿¿(х) является линейным и решение (4) дается соотношениями (5), (6) теоремы 1.5 при t=0 и .

Глава 2 посвящена описанию областей притяжения макс-полуустойчк вых законов вида (5)-(11).

Сярадагзжэ 2.1. Невырожденная & р. Я*) принадлежит области* ритязпения кикс-полуустойчивого закона при линейной или сте-

енной нормировке ( Ее. МЗдАс (&) или Ее М$дАрС&) ), если су-ествупг последовательность натуральных чисел {к(п)\ , удовлетворявшая (1), и последовательность нормирующих преобразований {¿/у] вида 2), ; = 1 или У-й , такие, что

до х - точка непрерывности (т(х>) .

В главе 2 приводятся критерии принадлежности к областям притя-эния указанных девяти полуустойчивых распределений. Приведем здесь олько два из них - по одному для линейной и степенной нормировок; се остальные подобны им с некоторыми поправками и ьюгут быть най-,ены в самой работе.

Рассмотрим макс-полуустойчивый закон ' вида (7) с носите-

ли (-со', + а>) . Его "устойчивая" часть еяр (-е"**) обладает своей Сластью притязания и всегда иягао указать некоторую ф. р. ИоСх), ей ринадлегэщую, такую, что с необходимостью

1- К(*)ш сСх)«хр ¿ы

По некоторой ф.р. Р(я) определим функцию д(х) следующим об-азом:

X, их£ Г=а>,

: (-ихТАГ^Ааз.

Рассмотрим последовательность { йг} положительных чисел, удов-:етворяющих условиям: а -си

аа-* &пг -Г1 (12)

П-чо Т(Оъ)

Ьуно показать, что для любого х>0 существует п- (единственное да х , достаточно близких к тюсЬ Я ) такое, что Оп, Оп^. ш-;ожим, по определению, а.(х.) - Оп, . тогда мы имеем представление х -$(аЫ)1(х,) + а (я) , где I £ С(х) * для х .достаточно лиаких к Р .

Теорем 2.2а. Если невырожденная ф. р. Р(=с) принадлежит области ритяжения макс-полуустойчивого закона ) вида (7) с некоторыми

последовательностями нормирующих и центрирующих констант и {ол,}

удовлетворяющих условию (12), то необходимо - ' » , *

1-РСх)= еар(- с($(*))(»(ЩШ+Щ(ос)}), (13) где Цу) - шдленно меняющаяся на «> функция, ¿(у) - периодическая с периодом Т*£од р функция, входящая в ф. р. , —* О ' при ^ -> со , а 2о и определятся иа ф.р. Г0(х.) га

области пригяЕзнкя "устойчивой'' части

. .. Обратно, если для некоторой последовательности {} , удовлет-ворякЕэй условиям (12), имеет место соотношение (13), то Ре МБЬА^бч, причем в качестве последовательности центрирующих констант может бшь выбрана именно { ал] , а нормирующие константы шгут быть взяты гяк оъ'^Сол) . Последовательность выбирается в виде

где Г у] - целая часть числа у, .

Далее, рассмотрим закон (гц,(х) вида (11) с носителем (£■,+*>), появляющийся в качестве предельного при степенном норшровании. Цусть для простоты = / .

Поскольку в этом случае при п-> со и необходимо

. Им , (Е^)"^-1, (14)

п,-*оо Цп, * П.-»со V рп 1

то для любого х,>о существует п (единственное для достаточно больших х ) такое, что е^ б х< е . Положил, по опреде-

лению, • Тогда мы шеем представление где

I 6 ¿(х.) йсг для достаточно больших X:

Творзт 2. За. Если невырожденная ф. р. РСх) принадлежит области притязания закона в^Сэо) вида (11) при с некоторыми после дотельностяыи нормирующих констант (рл) и {, удовлетворяющих условиям (14), то необходимо 1) иаХ ,

11 ^ 1- Лх; - Г ¿у Ь$£Ы) + кЫ)), (15)

где Ь Су) - медленно меняюдаяся на да функция, ¿Су) - периодическая с периодом Т= ку функция, входялря в представление ££

О при ж-» со .

Обратно, если для некоторой последовательности { fri] , удов-[етворящей первому из условий (14), имеют место соотношения (1Б), ■о F(x)e MSVApf&А) , причем в качестве последовательностей нор-мрующих констант могут быть выбраны Iрп) н { , где p^l , i в качестве последовательности {l(n)] - &(п) = pn.)°iL'f&fpn)] ■

Щп®253> 2.G. Ф. p. Fix.) вида

О, X<-Xi>,

/_ ( - ^jrcw£ij3c,)(Z +sin, tcya>), зс г -¿о,

■де есть корень уравнения jfciwfy xfe+Sta&yx)*

¡ринадлелит области протяжения вагона G~i Сх)^ С- х (¿ + со$ бух.)), х>0, ;ри степенной нормировке Lni(x) с коэффициентами ,

[последовательности к(п) вида Afo)*[ ЗГе^ гл] . , где l=t

Глава 3 работы посвящэна нахопдению оценок скорости сходгояэсти ! предельных теоремах для одномерных макс-полуустойчивых законов, ¡аметим. что все эти теоремы допускают сведение к случав, когда ¡редельный закон шеет $ид (6). Пусть, для простоты, t-O, <¿ = 1 ; i W с. в., ииоиаая &i (х) - кср (- -^v(togx)), сс>о, своей ункцией распределения..Запомним, что J fx) является периодической, сюду ограниченной и положительной функцией, поэтоьеу существуют та-ие константы cL>0 и С < со , что для любого осе R

¿±i>(x)±d. (16)

Нас интересует скорость стремления к нулю величины

<к- p(Zm), Ю = sup | Fc(ri)(U] j-,, . хбП ' -

огда ф.р. rix.) принадлежит области притяяэния закона Сх) . как шо показано выше, сходимость (3) будет иметь место при п->со , ес-и ф. p. F удовлетворяет определенным условиям, а последовательность k(п)} и нормирующие константы в Lni (х.) или L^Cx) выбираются яедуппим образом: п' = , 1 или а^-О ,

ifn.) = [гл] . Для самого простого случая, когда % есть це-ое число, и, следовательно, к(ть)= , с учетом такого выбора нор-

FM

ыировок, используя иетод метрических расстояний, можно получить следуйте неравенство:

где р4 есть идеальная метрика степени £

№ ( X, Ю- I ^у(х)\ : хеЮ,

а Ь (у)* у(1+ + Ьд(г/(?у)))*.

Присутствие ыяоштеля (г) в оценке (17) об'яс-няется том фактом, что метрика ^ плохо учитывает различие между ф. р. и Гу(х) -в окрестности точки я*О .

Возшжный путь преодоления этой трудности состоит в кодировании метода композиций и свойств идеальной метрики . Получение оцэнок скорости сходимости на основе этого метода и представляет собой основной результат третьей главы. Рассштрш по отдельности оценивание с использованием ^ при 1 * и 0<£ ± 1 .

Теа®еаа & 8. Пологаш М: =■ лю® Сх, х 1/(3'°) > х » О, з>1. Пусть ■ 1 & . Тогда суп^ствует константа С 21 ,

С'(С' (Те)' Д» тлого , .

с" СМ1 £ г« *

(г* г )

г>-я ^ для нецелого г

б (г-:) Г* такая, что _

/ с * Сгпасс (¿М^)) г*гМ1~5\ (18)

Здесь 1р'<р(Х1У^), ^'^(Х^, Ъ = тох,(/>,и С^ 1* 1- 32 с<£~ге~г , где с и сЬ - числа из условия (16).

Аналогичная оценка получена и для а* , 0< 1 .В этом

__V _ /тс

случае скорость сходимости имеет порядок х , и в оценке,

подобной (18), ^ заменяется на , з - на (й+1).

Обе оценки имеют правильный порядок по п , что показано на соответствующих примерах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Оказывается, что по своему аналитическому и структурному разно-Зразию класс макс-полуустойчивых распределений существенно отличайся от класса макс-устойчивых и класса макс-саморазложимых законов, га последних характерно свойство логарифмической выпуклости гнкций распределения на их носителях меры, чего нет в случае 1кс-полуустойчивых законов. Более того, среди них мы находим разно-)разные варианты, встречающиеся в разложениях Лебега функций распре->ления. В схеме суммирования же все полуустойчивые законы являются ¡солютно непрерывными и даже сколь угодно гладкими.

Изучение структуры макс-полуустойчивых законов не было специаль-1М предметом проводившегося исследования и накопленные здесь . факты юдует рассматривать как побочный продукт. Тем не менее они могут ■ать началом ряда новых интересных задач для структур полуустойчи-_ и законов в схеме максимума независимых случайных величин.

Рассмотрим выраления для функций распределения макс-полуустойчи-пс законов. Ранее уме отмечалось, что все они (за исключением дисковых) могут быть представлены в виде ( 0. С*-)), где 0(х.) - со-:ветствующий макс-устойчивый закон, - некоторая периодическая

икция. Если же макс-полуустойчивый закон имеет скачки, но не яеля-:ся дискретным, то было доказано, что такая ф. р. представима в виде юизведения двух макс-полуустойчиЕых ф. р. , одна из которых - диск-^. >тная, а другая - непрерывная, имеющая одно из представлений (О(х)) .

Наличие периодической функции неопределенной структуры вносит !екно то большое разнообразие в строение класса макс-полуустойчивых 1конов,- которое отмечалось Еыше. А именно, из свойств макс-полуус-)йчивых распределений, приведенных в Заключении, а также примеров 1ключения и п. 1. 2 работы следует, что макс-полуустойчивый закон мо-!Т иметь в разложении Лебега:

- только дискретную компоненту;

- только абсолютно непрерывную компоненту;

- дискретную и абсолютно непрерывную компоненты;

- сингулярную и абсолютно непрерывную компоненты.

Пока остается открытым вопрос о том, могут ли в разложении Лета для маки-полуустойчивого распределения присутствовать:

- только сингулярная компонента;

- смесь дискретной и сингулярной компонент;

- все три компоненты - дискретная, сингулярная и абсолют» непрерывная - одновременно.

Эти задачи представляют собой самостоятельный интерес и рошо иллюстрируют богатство класса предельных распределений, появл. щихся при переходе к суммированию по подпоследовательности.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Гриневич И. В. Макс-полуустойчивые предельные распределения

><е.

отвечающие линейной и степенной нормировке. - Теория вероятн. и е примен. , 1992, т. XXXIX, в. 4, с. 774-776.

2. Grineyich I. V. Domains of the normal attraction о max-semistable laws. - 1л: VI International Vilnius Conference о Probability Theory arid Mathematical Statistics. Abstracts о communications, Vol. 1. Vilnius: Vilnius University Press, 1993, p 127-123.

3. Grinevich I.V. Max-semistàble laws under linear and powe normalizations. - In: Stability Problents for Stochastic Models Perm, 1992. Moscow\Utrecht : TVPWSP, p. 65-73.

4. Гриневич И. В. Области притяжения макс-полуустойчивых зако нов при линейной и степенной нормировках. - Теория вероятн. и е примен., 1993, т. XXXVIII, в. 4, с. 787-799.

5. " Гриневич К В. , Хохлов ¡0. С. Области притяжения полуустойчи вых законов. - Теория вероятн. и ее примен., 1994,т. XXXIX, в. 2.

6. Гриневич И. В. Скорость сходимости в предельных теоремах дл полуустойчивых законов в схеме максимума. - Теория вероятн. и е примен. (принята к публикации).

ПП ,П*тент" За*. &С