Устойчивые распределения и их обобщения. Структура и предельные теоремы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

pffc v«

\ з m

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. B.A. СТЕКЛОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукоттн'.п

ХОХЛОВ ЮРИЙ СТЕПАНОВИЧ

УДК 519,2

УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ СТРУКТУРА II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

01.03.05 - Теория вероятностей п мптемптч-чреяпя статистика

Апторофграт диссертации иа соискание ученой гтепопи доктора фтогс^о-математических наук

МОСКВА , 1996

Работа выполнена в Отделе теории вероятностей Математичече-ского нпстатута им. В.А. Стеклова РАЕ!

Официальные оцпоиепты: Доктор физико-ыатеыатнческнх наук, профессор В.М. Круглов Доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Тутубалин Доктор физико-математических наук, В.Г. Михайлов

Ведущая организация-Санкт-Петербургское Отделешш Математического института им. В.А. Сгеклова РАН

Защита состоится "/А." ___1996 года в 1 часов

ла заседании Специализированного совета Д 002.38.03 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: г. Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в научпой библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН (ул. Вавилова 42).

Автореферат разослал Л 996 года.

Ученый секретарь Специализированного совета

Д.ф.-М.П.

(В.А. Ватутин)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предельные теоремы всегда занимали Центральное место в теории вероятностей. Закон больших чисел, центральная предельная теорема и закон повторного логприфма-Наяболее известные п популярные результаты из этой области. Наиболее элегантные и глубокие результаты были получены для схемы независимых и одинаково распределенных случайных величии. Эта модель приводит нас к понятию устойчивого распределении. Классические результаты в тсорли устойчивых распределений были получены в работах П. Левн, А.Я. Хинчииа, В. Феллера, В. Деблина и Б.В. Гнеденко.Эти исследования были продолжены как в нашей стране, так и за рубежом. Усиленно исследовались аналитические свойства устойчивых распределений. Большой вклад в эти исследования внесли И.А. Ибрагимов, D.M. Золотарев, A.B. Скороход п многое другие. Различные обобщения устойчивых распределений рассматривались Б. В. Гнеденко и его учениками. Современное состояние теории одномерных устойчивых законов освещено п монография В.М. Золотарева. Новый всплеск интереса к устойчивым распределениям возник в конце шестидеслтых-пачале семидесятых годов в связи с изучением свойств гос мпогомерных обобщешгй-операторно устойчивых распределений н свойств устойчивых процессов и их раенределеппй-устоЙчпиых законов в функциональных пространствах. Интерес к этой проблематики не утихает и сейчас. Регулярпо проводятся конференций по различным аспектам теорцп устойчивых распределений, существуют обширные коллективы ученых систематически изучающие устойчивые распределения па группах, лпнейпьгх ц топологических пространствах. Число исследователей работающих в этой области огромно. Назовем только некоторых нэ них: К. "Урбанпк, А. Всрон, 3. Юрек, Дж. Мейсоп, D. Хадсоп, Р. Сол-тапп, М. Таку, В. Хацод, Э. Зпберт, В.Н. Тутубалип и многие другие.

Еще в шестидесятые годы Мальдебротом ,было указало, что

устойчивые распред. ледня являются хорошими моделями в экономических задачах. Это находит подтверждение в работах последних лет, посвященных актуарной н финансовой математике. С точки зрения самой математики интересно то, что теория устойчивых распределений приводит вас к очень интересным функциональным уравнениям, имеющих приложения не только в теории вероятностей.

Цель работы-систематпческое изучение структуры устойчивых распределений и некоторых их обобщений и, в конечном итоге, построении теории, которая позволит с единой точки зрения рассматривать различные обобщения устойчивых распределений и связанные с ними предельные теоремы.

Методы исследования. Основными методами исследования являются метод характеристических функций в сочетании с теорией правильно меняющихся функций, а. также изучение сходимости непрерывных сверточных полугрупп в терминах их порождающих функционалов. В рассматриваемых нами задачах очень эффективным оказался метод перенесения задач для распределений вероятностей на группах на распределения вероятностей на алгебрах Ли ^-о есть на линейных пространствах).

Научная новизна состоит в следующем:

1) впервые систематически изучаются предельные теоремы о сходимости к устойчивым законам на группах,

2) предложен новый метод доказательства предельных теорем на группах путем сведения их к аналогичным задачам на алгебрах Ли,

3) впервые с единых позиций исследуются различные обобщения устойчивых распределений.

Т«юрети"еское и прикладное значение. Работа имеет теоретический характер. Показано, что большинство предельных теорем о сходимости к устойчивым законам и их обобщениям могут

4

быть доказаны классическими методами теории пгргшши.по меняющихся фупкций в сочетания с теорией преобразований Фурье на I-руинах. Важную роль жрают гюпросы сходимости сьертсч-ных. полутрупп мер. Результаты о структуре иределъпых распределений могут найти применения J прикладных исследованиях, например, при описания динамики процессов, распределения которых имеют тяжелы" хвоста с потш-псриоднческоЦ структурой.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались в разпое время на Международных П..лыпосских конференциях по теории вероятностей п математической статистике (.1981, 1985, 1989, 1993), Соэтетско-Японских симпозиумах по теории вероятностей и математической_статисти»'е (1982,1991), международных семинарах по проблемам угтой'гивоста стохастических моделей (1987, 1989, 1991, 1992, 1994, 1995), Международной конференции " Распределения' вероятностей на группах п смежные вопросы" (Обервольфах, Гермаиня, 1994), юбилейной конференции в МГУ, посвявдеппой 80-летпго В.В.Гледенко (1992), рс лличпых семинарах в МГУ математическом институте пм.В.А.Стеклова, Университетах Германии (Дортмунд, Тюбпп-геп, Бяле^.ельд -1993, 1994). Р его по теме диссертации опубликовано 29 работ, 17 из которых цитируются в диссертации.

Структура л объем работы. Диссертация состоит гп Впеде-ппя, семи глав н списка литературы, содержащего 240 наименования. Объем работы -257 страниц.

Во введении (48 стр.) излагается история проблемы, обсужда-ютсл постановки задач и их современное состояние, описываются основные результаты, представленные в диссертации.

В главе 1 (23стр.) обсуждаются некоторые вопросы та теории топологических групп, вероятпостгые меры на них и их описание. В частности, обсуждается вопрос о задании непрерывной свер-Точпой полугруппы мер с стомотью порождающего фуркипгчлчп и его канонический вид.

Глава 2 (57 стр.} является центральной в диссертации. В ней подробно обсуждается понятие устойчивой вероятцостной меры. Прослеживается развитие этого понятия, начиная с классического одномерного случая и кончая понятием устойчивого распределения на локально компактной группе. Изложение на каждом этапе состоит ю двух частей: описание структуры устойчивого распределения и доказательство предельной теоремы о сходимости к этому распределению.

Глава 3 (22 стр.) содержит аналоги результатов из главы 2, но для полуустой чшзых распределений. 0 силу большого параллелизма доказательства проводятся не столь подробно.

В глава 4 (22 стр.) рассматривается задача Б.В.Гнеденко об описашш класса предельных распределений для нормированных композиций из последовательности распределений, среди которых лишь конечное число различных. Дается определение ц описание области нормального притяжения. Приводится многомерный аналог этой задачи.

Композиции случайного числа элементов рассматриваются в главе 5 (27 стр.). Основной результат главы - обратная теорема переноса - применяется для описания структуры геометрически устойчивых и нолуусточивых распределений.

Глава 6 (13 стр.) носвэдцеш доказательству закона повторного логарифма в форме Човера для последовательности сумм случайных векторов с операторно устойчивым предельным законом.

Харакгеризащюняые задача для распределений вероятностей и связанные с ними функциональаие уравнетш рассматриваются в главе 7 (17 стр.).

6

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть Л^Хг,... последовательн-эсть независимых н одинаково распределенных случайных иеличьа, Образуем последовательность сумм ¿о = 0, 5| ~ , 5„ = X1 +... + п > 2, и соответствующую ей последовательность нормированных: сумм

з; = лд£*о + сп, (2.1)

к=1

где /I» > 0 в (7„ б Я1. Обычно иаЙти точное распределение суммы Эп бывает затруднк :ельно, поэтому пытаются подобрать ту \_ли иную аппроксимацию для распределения £(.9*) нормированной суммы Результаты такого типа формулируются в виде предельных теорем

о . (2.2)

При этом возникают три основных задачи:

1) описать класс предельных распределений ц,

2) наР-п условия на распределение и = С(Х\) слагаемых, при которых мы имеем сходимость (2.2) к эадапному пределу /1,

3) пайти нормирующие и центрирующие констицты Л„ и С„, которые обеспечивают нам сходимость к задаппому пределу /л в схеме (2.1)-(2.2).

Устойчивы распределения возникают в качестве предельных для нормнровалпых п дентрпровашгых сумм 5*. Те распределения V = С{Х\), для которых распределение 5* сходятся к устойчивому распределению ц для некоторого выбора Л„ и С„, образуют область устойчивого притяжения ОвА((л) распределении /<. С каждым устойчивым распределенном Ц можно связать некоторое число 0 < « < 2, называемое его характеристическим показателем. Случай о — 2 соответствует нормальному распределению. Класс всех устойчивых распределений имеет полное описание в терминах характеристических функций. В частности, для 0 < а < 2 спектральная функция Левя Н[х) устойчивого распределения ;( имеет чид

7

где ci, C2 > 0, Ci+Cj > 0. В классических работах П. Леви, В. Фел-лера, А.Я. Хинчина, В. Деблида и В.В. Гнедеако получено описание областей притяжения устойчивых законов. В современной формулировке их результаты звучат следующим образом. Пусть F(x) есть функция распределения для v — С[Х\).

Теорема 0 1. Распределение вероятностей v припадлеэюит области приткнеепия гауссаеского распределения тогда ti только тогда, когда либо Xi имеет конечную дисперсию, либо

Р(|*,| > s) = F(-x) + 1 - F(x) = <2,14)

при х —» оо, еде L(s)-некоторая медлен ю меняющаяся функция.

£. Распределение вероятностей v принадлежит области при-тяясения некоторого негауссоесхого устойчивого распределении со спектральной мерой Леей айда (2.7) (0 < а < 2) тогда и только тогда, когда

а) F(-x) = + /.,(«))!(»),

б) 1 — F(s) =я-а(с2 + h/x))L(x). (2.16)

при х —► оо, где Ь[х)-медленно меняющаяся функция, a hi(x) —* U, i= 1,2.

Если нормирующие константы А„ имеют вид А„ — п1'™, то мы приходим к определению области нормального притяжения NDSA(n).

Рассмотренная выше модель обладает следующими специфическими особенностями:

1) случайные величины независимы н одинаково распределен: х,

2) Х\ принимает свои значения в группе О = II1 вещественных чисел, , •

8

3) число слагаемых г» в сумме Sn пробегает множество всех натуральных чисел,

4) число слагаемых п в су мме S„ неслучайно.

Цель нашей работы состоит в том чтобы, отказываясь от тех или иных ограничений, с формулированных выше, рассмотреть различные обобщения устойчивых законов. При этом мы ставим перед собой две основные задачи: описание структуры возникающих распределений и доказательство предельных теорем о схо-дамастп к такому распределепгао.

Первым направлением обобщения понятия устойчивого распределения является переход к случайным элементам Х\, А2,... cj значениями в локально компактной группе G. При этом мы по следовательно рассматриваем три ситуации: конечномерное ли-кейпоз пространство, односвязная'нильпотснгаая группа Jin и полунрямею произведение компактной и однссвязпой нильпотент-ной; трупа. Эти трп этапа являются нршщтшапьпыми при построении общей теории.

В случае конечномерного лпнейпого пространства нормировка протподитсп линейными операторами Ап н предельные распределения д позываются операторно устоИчнвымп. В н г. стоящее время структура таких распределений хорошо .пучена. С ка-кдш.1 таким распределение!.! мохпо связать некоторую однопзра-метрачсскута сгшмагощу.и группу Т — (tB,t > 0) автоморфизмов лтгпс!Ьтого про гроастпа Rd. Коздое оперзгорно устойчивое распределение является безгранична делимы» и центральную роль в теории таких распределений играет следующее уравнение:

а-1 = 1в(„)*б(ъ), (2.19)

где Ct 6 ft"*. Распределение /I допускает разложение ц = * /if. в виде свертки гауссовского распределения fjf и безгранично делимого распределения fip без гау-совской компоненты, которые сосредоточены на Т-щтарпаптных взаимно дополнительных подпространствах Rg и Rp. Спектральная мера Лепя Г, распредели

вия имеет вид

Н(В) =/]ы^)Г2<и А№), (2.20)

« и

где Л-огранячевная борелевская мера на единичной сфере Q в Я* относительно некоторой специальной нормы. Описанию областей притяжения оаераторно устойчивых распределений было посвящено много работ, но удовлетворительные результаты получены только для гауссовского предельного распределения. Но если ограничиться случаем так называемого псевдоскалярного притяжения, когда А„ € Т, то удается получить хорошие результаты (в этом случае будем писать 1> € Р5£)5А(/а)). В частности, для негауссовского предельного распределения мы доказали следующий результат. Для Е 6 В и 4 > 0 определим

£>(£;,<) = {«V «б£,в>().

Теорема 13 . Пусть ц есть оператор по устойчивое распределение без гауссоеской компоненты. Распределение V € Р5.£><5А(/|) тогда и только тогда, когда для любого борелевского множества Е С () такого, ■что А(дЕ) = 0, ми имеем

0) - Г1(ЦЕ) + И(Е, 1))Щ), (2.23)

где /»(£,4) —»0, * —♦ оо, Ь^)-медленно меняющаяся функция при 4 —► со, Х-мера на ф из представления (20) спектральной меры Н распределения ¡1.

В. Хацод проанализировал определения понятия устойчивости в одномерном и многомерном случаях и предложил определение, которое применимо и в случае произвольной локально компактной группы С Обозначим через Л11(С) пространство вероятностных мер на группе в. Пусть Б — > 0) есть К-непрерывная спер-точил я полугруппа вероятностных мер па (7, тп есть

1) № * p, - **!+» , i. i > o,

2) /i< => ho - ujk , t 0,

гдо шк-пормпровпннап мера Xaapa на компактной группе К. Пусть, далез, Г = (т<,£ > 0) есть непрерывная одиопараметра-чеснаа груша автоморфизмов группы G.

Определенно 14 . К-п.с.п. S = (/<(,£ > 0) поэт -дается Т-строго устойчивой, если

= <>0,а>4. (2.27)

Вероятностная мера у, € Af(G) пазы a at шея Г-строго у ;той-чиоой, если она вложима в некоторую Т-строго устоЧчш jto

h.c.ft.

В. Хацод и Э. Зиберт показали, что производное Г-устойчпвое распределение ft сосредоточено на некоторой подгруппе, которс i изоморфна полупрямому произведению if ®„iV компактной группы К н одпосаязпой нллънотеитной группы N. Распределение /< допускает представление ц = ur ® ft, где /г-Т-устойчивос распределение па N. Экпояенциалыюе отображение ехр : (! -> G I случае связных п односвяэпых ппльнотеппшх групп Ли устанавливает взаяшюодпоэначноэ и бесконечно диффер-ецпруемое соответствие и позволяет каждому объекту на группе G (функции, автоморфизму, мере, попадающему функционалу) сопоставить аналогичный г 'Нскт па алгебре <7 , который будет обозначаться той же буквой, по со значком "о" вверху. Хацод показал, что

О

н.с.л. S (мера ц) на G Г-устоЙчстатогда а только тогда, когда S (А) является (Г)-устоЙчнвоЫ. Мы переносим это соответствие и на предельные теоремы. Определение областей притяжения в нашем случае дословно то же самое, что и раньше. Пусть G-односвязная ншшготентная трудна Лн.

Теорема 18 . Пусть р-полпая 2 -устойчивая мера т группе G, а 1-соответствующая ей Т-устойчивая мера на алгебре Jin Q. Er*u v G Ml(G), то и € PSDSA(fi,T) тогда v только тогда, когда PSDSA(y,T).

И

При доказательстве этой теоремы мы получили некоторый результат, который иыеэт и самостоятельное значило.

Предложение О . Пусть мы имеем последовательность п.с.п. {£>'П1п > 0} на группе Ли С? с п.ф. {Л„}. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) 5. ,

2) Лн(/) Д)(/) для любой / 6 £(<?).

Пусть теперь О есть полупряиое произведите К N, где <р : К —* Ли1(//)-гомоморфизм, определяющий полупрямое произведение, р — устойчивая мера на О. Если ^-вероятностная мера па <7, то иц п V обозначают проекции V на К н N соответствен ю. Определим К-спшдетризащпо меры и по правилу

¡>9 •= }к ■

Основной целью наших исследований является доказательство следующего результата.

Теорема 17 . Пусть и 6 М1(й) такаа, ■что виур (^к) порождает группу К. V 6 МОБА(ц,Т) тог ал и только тогда, когда

1) =>• шц , п-+(» , ^¿уе МВЗА^Т) .

I11ы доказываем его для случая N — Пл. Эта теорема обобщает результаты Б.Н. Тутубалцяа, Г. Горостшцл н Б. Руапе, в которых исследует«.л сходимость к гауссовскому предельному закону. Метод доказательства является развитием метода, предложенного Руане, и есть, по-сущсству, вариант метода С.Н. БершптеЙаа. В силу асимптотической независимости слагаемых для йомподенти сдвига ыа В.л задачу удается свести к случаю суммы Независимых случайных векторов с распределением Р^.

Еще одпо обобщение Бозыакает, если мы откажемся от ограничения 3. А именно, выберем некоторую подпоследовательность (*(п)} натуральных чисел и исследуем асимптотическое поведе-пи. иоследоватащ.ностя распределений {£(.9^)} случайных руым

(3-3)

Хпнчньым было показано, что в качестве предельного для последовательности распределений ¿(67,) может появиться произвольное безгранично делимое распределение. Таким образом, если мы хотпм выделить некоторый нетривиальный подкласс предоль-¿пдх распределений, то необходимо наложить какие-либо доги,л-пительпые ограничения на подпоследовательность {/>(«)}. Такое обобщение было цезаппспмо рассмотрено в работах Р.Шимипу, Р.Н.Ппллап и В.М.Круглова. Они рассмотрели случай, когда

к(п) -»со , к(п) < к(п+ 1) , к(п+-])/А(п) -»ге [1,оо) . (3.4)

Предельные распределения, получаемые в модели (3.3)-(3.4), называются полуустойчпвыми. Было показано, чю нормирующие константы А„ удовлетворяют условиям

В.М.Круглоп показал, что распределение вероятностей V является полуусюНигпым когда опо является либо гауссоьскгш, либо бсзграпггепо делимым без гауссовскоЙ компоненты со спек тральной функцией Я (г) впда

где а £ (0,2), 0;(т/)-перподгггеские фупкд1ти с общим периодом. Как н в случае устойчивых распределений можно дать определе-ппо области полуустойчпвого притяжения БвБА (р) распрелене нпя /I. Мы доказываем следующий аналог классического критерия Гпеденко-Деблш$а. Пусть х„ = хап.

Теорема 18 . Пусть ц-ПолуустоИчивое негауссовское распределение со спектральной функцией Н (ж) вид,> (Я. в). Если распределение вероятностей и с функцией распределения Р(х) принадлежит области притяжения /I г некоторая последовательностью

Ап-> оо , Ап < Ап+1 , Ап+\/Ал а б [1,со) . (3.5)

, х < 0 , , х > 0 ,

■13

нормирующих коьстант {а,,}, удовлетворяющей (3.5), то необходимо

1) F{~xn) =x-"L(xn}(e1(lax) + hi(x,n)),

2) 1 ->(*„) = х-«Цхп)(в2(Ы х) + h2(x,»)), (3.9)

для любого х > 0, такого, что lux есть точка непрерывности' функций и i>2i где L(x)-медленно меняющаяся функция, &,(х)~ периодические функции с об {им периодом 1л а, входящие в представление (3.6) спектральной функции Н{х), a hi{x,n) —> 0 при

п —♦ OD.

Обратно, если для некоторой последовательности констант {а,,}, удовлетворяющей (3.5), имеют место соотношения (3.9), то распр-деление и принадлежит оС iacmu притяжения ¡J, причем о качестве последовательности нормирующих констант мсгжет бить выбрана {аг,}.

Другие результаты, описанные памп выше, также переносятся на случай иолуустоИчивых распределений (теоремы 19 и 20).

Раасмотршг теперь случай, когда с.в. A"i, А'г,... могут быть рзашраспределешшмн, по все их распределения принадлежат конечному множеству {v%,... ,vr] распределений. Б.В. Гиодыто была поставлена задача описания класса QT всех предельных распределений норлшронаиных сумм S' в этой ситуации. A.A. Зингер показал, что любое распределение из этого класса есть свертка ис более г псеццоустойчивых распределений. Псепдоустойчп-вое распределение является либо гауссовскнм, либо безгранично долимым без гаусовскоЛ компоненты, спектральная функция Ле-вп которого имеет вид

Н{±х) = х-°е±{Ых), х >0, •

где 0 < q < 2, в± (г/)-непрерывные почти периодические функции с конечным спектром Фурье (сравни с описанием устойчивых и чолуустойчивых распределений). Более того,

(4 0)

i=i У

где x > O, y > 0, функции Q¡¡(y) и ifl*(x) неотрицательны, непрерывны, монотонно убывают и допускают представления:

lk

0t(x) = х а[а1о + £ (аь„ 008(0»,,, lux) (btm ып(и>ш lu ж))], (4.7)

т=1 U

Рк(у) - У_а[с*о + £ (4т cos(wm ln х) (dlhn ein(u»„, lu ж))], (1-Я)

m=1

у > 0, 1 + 2íjfc < i ,

где О < а < 2, ш,п > 0. Пусть Fi,...,Fr есть функции распре деления,"соотвествукшще распределениям {¿'i,... nj(n) значает число с.в. Xk среда первых п, которые имеют распределение v¡. В это)., случае будем говорить, что мы имеем схему {7*1,..., fr,ni,.. .,пг). Обозначим

i=i

Определение 23 . Будем говорить, что схема {i'\,..., F,, ;i¡,..., nr} принадлежит области нормального иритпхжения пееадиус-тпойчивого распределения /i, спектральная функция II{х) %-огпоро го допускает представление (j.8) (4-8), если имеет место сю димость (2.8) для распределений нориирооянпит сумм S* вида (2.1) н

ем-1)-», («-£»)

^■(Л-1)-«!,^) (ПО)

при п—♦ оо.

Обозначим а(i --- («jo), <n - (ац), Ьц — (bjt)t b = i,/, <pj(x) -

Теорема 21 . Схема {Р1,.,.,Рг,гц,...,пг} принадлежит области нормального притяжения иегауссовского псевдоустойчивого распределения, спектральная функция Н(х) которого иопускает представление (4-б)-(4.8), тогда и только тогда, когда

1) х) = г

2) 1 -Г(х) + (4.13)

при х —* оо, у = Т^г, где функции } — 1,г, таковы, что

векторы /г1 (ас) = асимптотически ортогональны при

х —► оо к линейному пространству, порожденному векторрми а0,ак,Ьк, к

Б более общей ситуацп I, используя понятие правильно меняющейся функции, можно записать некоторые достаточные условия, аналогичные критерию Гпедеяко-Деблпиа.

Представление предельного закона п условна сходимости к нему переносятся я на многомерный случай для псевдоскалярных нормировок (теоремы 23 п 24).

В последнее время в связи с различными прикладными задачами появилось большое число работ, посвященных исследование случайных сумм. В свяэа с нашими исследованиями это приводит к еще одному обобщению понятия устойчивого распределения, когда мы рассматриваем случайное число независимых И одинаково распределенных величин. В связи с одной задачей В.М. Золотарева Л.В. Клебанов, Г.М. Мания п И.А; Меламед определили геометрически безгранично делимые п устойчивые распределения. В главе 5 мы рассматриваем аналог этого понятия для распределений на грушах. Пусть (7-односвгоная ашхмютентлая группа Ли, ^"-распределение композиции случайного числа случайных элементов со значениями в 0,ц,-общее распределение этих случайных члементов, £„-распределения числа элемептов в композиции. Для п.с.н. 5 — {¡Ц^ > 0) п распределения вероятностей р на определим

го

о

Фиксируем некоторую однопараыетрпческую группу автоморфыз-моз Т — (r(, i > 0). Вначале мы доказываем так называемую обратную теорему переноса, которая для G — R1 была доказана • Д.Саасоы.

Теорема 27 Пусть G есть одпосвяэная нилъпотентная группа JIu, ип eMl{G),in € Л1'(Я+). Далее, предположим, что

(1) существует последовательность Л„ 6 /V, Л„ / со, такая, что семейство (ry^f,,)},^¡-относительна компактно и лира f n не является его предельной тонкой,

(2) 4' к € Ml[Q). ' Тогда

(а) семейство распределений {^[¡'^пьг-относительио компакт

но,

, (Ь) существуют н.с.п. (ци t > 0) в At^G), р 6 Л41(11>.) и под последовательность (п') такие, что имеет место сходимость

"Iм ft, t > 0, rlA.(f„) =-> р, п 6 (в'),

и

(с) к =

Пусть 4(р) есть геометрическое распределение с параметром р, £?-показательное распределение с параметром 1.

Определение 20 к £ AI^G) называется геометрически безгра-. иично делимым, если для любого р g (0,1) существует к,, & A4:(G), тахая,.что ~ к.

Мы получаем следующую харакхеризацшо геометрически С лгра нично делимых распределений.

Теорема 29 . Следующие утверждения эквивалентам для не Ml(G):

(i) к-геометрически безгранично делима,

(ii) существуют последовательности р„ | 0, р„ f- А11 (О) такие, что tffi^ — к,

17 .

(ш) существуют последовательности рп | 0, ип € М1(в) такие, что 1$?") —*■ к,

(гу) существует ■ с.п. (/а)г>о « Л41(С) такая, что к = (¡е-

Теперь ясно, как определить геометрически (полу-) устойчивые распределения.

Онределени' 27 . Мера к € 1 (С7) называется геометрически ((/*,/>)—) полуустоИчивой, если Дач некоторых а 6 /!«£(&), р 6 (0,1) имеет л<ссто соотношение

к яа.гяетсп геометрически устойчивой, если для любого р 6 (0,1) существует ор £ Л«£((7) такое, что

ар(к«>•)) = «

Очевидно и определение областей притяжения. Показало, что области притяжения исхгусты тогда и только тогда, когда распределение является геометрпчески (полу-) устойчивым. Более того, имеет мое! следующий результат.

Предложение 18 . Пусть мера к полная. Тогда V принадлежит области геометрического полуустойчиоого (устойчивого) притяжения мери к тогда и только тогда, когда сущсствует полуустойчиоая (устойчивая) их.п. {(М)1>о, для которой к. = це и V лежит в области ьолуустоНнипого (устойчивого) притяжс-•тл полугруппы

Наряду с законом (ольщпх чисел и центральной 1гредельпой тсоромой в;1лст1 оп место в теории вероятностей занимает закон поп горкою логарифма. Удачную формулировку для устойчивых случайных величии предложил Дж. Чспер, по хотелось бы до-ка?ать яиалошчпос утверждение душ распределений из области притяжения устойчивою закона. В главе 6 мы доккшваем такой результат для случайных пекторпи с опертпрпи устойчивым предел* пым законом. В одн'.»мгрном спуча« аиолоппный результат бык Л'чипан Р. Пч<уд?ва.

Теорема 30 Пусть Лд, Хг, ■ • .-последовательность п.о.р.с.и., таких, что С(Х 1) принадлежит области нормального притяжения полного строго операторно устойчивого негуссовского распределения с экспонентой В. Тогда

Нтвцр ||(г» 1ое= 1 п.н. (6.1)

Определение строго устойчивого распределения, данное Г1. Лови, можно переформулировать следующим образом: если Хг,Х2, -Хз-ц.о.р. с.в. со строго устойчивым распределением с показателем 0 < а < 2, то для любых Аи Л2 > 0 : Л',' + ,1!] = 1

Х3 = Л + 12 Л'2 .

Это приводит нас к задаче харакхеризации распределения /I свойством одинаковой распределенности Л1 и линейной формы

¿1 = Л1Х1 + ... 4- ЛпХп

где Х\,. ■ ., Л*г,-н.о.р. и имеют распределение ц. Такие задачи часто возникают в теории вероятностей и математической статистике. Они приводят1 к следующему функциональному уравнению для характеристической функции р распределения //.

■ 1

1п ,»(») = / 1н р(су)к(Ас) , у € Я1 , (7.3)

1)

Р. Шимяцу показал, что его решениями (при Некоторых естественны* условиях на меру к) являются только полуустойчивые распределений. В многомерном случае, когда А{,..., Л,,-матрицы, мы приходим к аналогичному уршшевто

1пМу) = ¡ЫЫСуЫЖ) , у 6 Л', (7.5)

к

где К-коыпактная подполугруппа топологической иолу группы В1 невыреждетшк линейных операторов С, обладающих свойством ||С|| < 1. В общем случае решение этого уравнения неизвестно. В. Чорны решил это уравнейне для случая К — 0 <

19

t < 1). Мы рассматриваем другой частный случай, когда К-комаактпая полугруппа днагональпых матриц.

Теорема 34 . Пусть ц есть распределение вероятностен, характеристическая функция ft которого является решением уравнения (7.5). Тогда /t является безгранично делимым и допускает предсто ленип /л = * рТ, где ця-гауссовское распределение на подпространстве Ня, n¡,-безгранично делимое распределение без гауссовс.кой компоненты на подпространстве Rp, и П9ППР— {0}, Ru ® ПР — R1. Если Н(хт,...,Xt¡)-oduH из хвостов спектральной меры Леей L распределения /•,, например,

H{xm,...,xd) = L((xm,oо) х ... X (xd,oo)) , ,. ,x,i > 0, vio

. lHx,n,...,x4 = x-mQ-...Xja<K{\nxm,...,\nxd) , (7.15)

где 0 < at < 2, fe = m,...,d, a K(ym,...,yj) есть неотрицательная функция, которая периодична относительно каждой переменной у^, и существуют константы с и d такие, что О < с < d < оо. Другие хвосты спектральной меры L имеют аналогичные представления с теми оке a¡¡ « периодами.

Мы рассматриваем также аналог этого уравнения для нильпо-теншых групп. Аналогом логарифма х.ф. является в этом случае .юрождаюнжй функционал А н.с.н. S ~ (pt, t > 0). Мы показываем, что ргптгештямя ур.-чшепия

A- J rt(A)n(dt) , (7.6)

о

где к коночная борелевская мера па (0,1), являются только по-луустоАчпвыо распределения (теорема 31), и применяем этот результат для характерязации нолз'устойчивых распределений wBi)í¡<TB'»M одиглкопой рпепррдедглшп ти монома и лилейной фор мы.

Подведем итоги. Основными результатами, полученными и диссертации являются следующие:

1) нолучены необходимые и достаточные условия сходимости непрерывных сверточных ucuiyipymi на односвязиых пилыютент-ных грушхах Ли в терминах соответствующих им порождающих функционалов,

2) дано полное описание областей псевдоскалярного пригЛасе-ния для устойчивых распределений иа односвязных шшыютент-ных группах Ли,

3) получено полное описание областей нормального притяжения устойчивых распределений иа полупрямой произведении компактной группы и Rd,

4) получены необходимые и достаточные условия сходимости к полуустойчивым распределения),! в одномерном и многомерном случаях, а также на некоторых локально компактных группах,

б) доказан закон повторного логарифма в форме Човера для сумм случайных векторов с оиераторно устойчивым предельным законом,

6) дано описание предельных распределений в многомерной задаче Гнеденко и получены условия сходимости к псевдоустойчивому закону в одномерной к многомерной задачах Гнеденко,

7) дл5ГКомпозшц1Й случайного числа случайных элементов на нильпотентной rpynde доказана обратная теорема нере/тосн и исследованы некоторые свойства геометрически устойчивых и по луустойчивых распределений,

8) для распределений вероятностей иа нильиотепггшх группах рассмотрен аналог уравнения Шиыипу и нпйдеаы его решения, полученные результаты применяю!ся для характер" »ацнн устойчивых и полуустойчпвых распределений на группях свойством одинаковой распределенности моппма a лилейной фпри/1 специального тина.

?1

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Гриненич И.В., Хохлов Ю.С. Области притяжения полуустойчивых законов.- Теория вероятн. и се применен., 1995, т. 40, N 1, с. 417-422.

2. Хохлов Ю.С. О сходимости распределения параметра сдвига композиции случайных движений сиклидова пространства к многомерному устойчивому закону.- Теория вероятн. И ее прймен., -1982, т.26, вып. 2, с.342-344.

3. Хохлоц Ю.С. Устойчивые распределения на группе Гейзенберга,-В сб.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.: ВНИИСИ, 1987, с.128-131.

4. Хохлов Ю.С. Устойчивые и полуустойчивые распределения на пильпотептных группах.- В кн.: Пятая международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статпстике.-Вильшос, 1989.- Тезисы докладов.- T.4.-C.324-325.

5. Хохлов Ю.С. Аналог уравнения Шнмицу для распределений вероятностей па ншгьпотептной группе.- Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.: ВНИИСИ, 1900, с.123-127.

6. Хохлов Ю.С. Закон повторного логарифма для случайных векторов с операторно устойчивым предельным законом.- Вест-ннк МГУ, сер. Вычпсл. матем. п кпберпетика, 1995, N3, с. 62-68.

7. Khokhlov Yu. S. Limit theorems for random motions of Euclidean space.- IV Советско-Японский симпозиум по теорш вероятностей и математической статистике. Тбшшсп, 23-29 августа 1982 г. Тезисы докладов, т.1, с.255-256 (1982).

8. Khokhlov Yu. S. The domain of normal attraction of stable probability measures on groups.- Теория вероятн. и ее нримен., т. 36, вып. 4, с. 819-820 (1991).

9. Khokhlov Yu. S. The domain of normal attraction of a stable probability measure on a nilpotent group.-In: Probability Measures on Groups. X.- Plenum, New York, p.239-248 (1991).

10. Khokhlov Yu. S. The domains of normal attraction of semistable

probability measures on groups.-Sixth International Vilnius Coufeience on Probability Theory and Mathematical Statistics.-Vilnius, June 28-July 3, 1993. Abstracts of communications, v.l, p.175-176 (1993).

11. Khokhlov Yu. S. The domain of normal attraction of stable distribution on seraidirect product of compact group and R4.- In: Stability Problems for Stochastic Models, Perm 1992. Moscow/Utrecht: TVP/V3P, p.84-97 (1994).

12. Khokhlov Yu. S. On domains of attraction in Giiedenko problem.-Seminar on Stability Problems of Stochastic Models.- Abstracts of papers.- Debrecen, p. 31 (1994).

13. Khokhlov Yu. S. Multidimensional Gnedenko problem.- Frontiers in Pure and Applied Probability, II, TVP, Moscow (1994).

14.Khokhlov Yu. S. The Domain Of Normal Attraction of a Semistable Distribution on a Semidirect Product Compact group and It1.- Proceeding of the Seminar on Stability Problems, Moscow, 1993,- J.Math.Sciences, v.76, N1, August, p. 2147-2152 (1995).

15. Khokhlov Yu. S. Stable distributions and their generalizations: Structure and limit theorems.- In: Probability Measures on Groups and related structures XI.- Proceedings, Oberwolfach, 1994, ed. H.Heyer, World Scientific Pub. Co., p. 210-224 (1995).

16. Khokhlov Yu. S. The Domains of Attraction of Semistable Laws on R? and Symply Connected Nilpotent Lie Groups.- J. Math. Sciences, v. 78, Nl, p. 54-59 (1996).

17. Hazod W. and Khokhlov Yu.S., On Sza^z's compactness theorem and applications to geometric stability on gToups, Prob. Math. Stat- . v. 16, N1, p. 143-15(5 (1996).

23