Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм

Терехова, Лидия Павловна

Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Терехова, Лидия Павловна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм»

Автореферат диссертации на тему "Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм"

На правах рукописи

094602393

Терехова Лидия Павловна

Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О МАЙ 2010

Казань - 2010

004602393

Работа выполнена в отделе теории вероятностей и математической статистики Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Чупрунов Алексей Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Колчин Валентин Федорович;

кандидат физико-математических наук, доцент

Шашкин Алексей Павлович

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 14 мая 2010 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова: http://cs.msu.su в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.44».

Автореферат разослан « /3» апреля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Н.П. Трифонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Версии почти наверное предельных теорем для сумм независимых случайных величин являются новой и интенсивно развивающейся областью теории вероятностей. Впервые такие теоремы появились в статьях G. Brosamler1 и Р. Schatte2 в 1988 г. В последующие десятилетия это направление развивалось в работах М. Lacey, W. Philipp, И.А. Ибрагимова, М.А. Лифшица, I. Berkes, Е. Csäki, I. Fazekas, Z. Rychlik, A.H. Чупрунова и других ученых.

В последние 50 лет интенсивно развивалась теория предельных теорем для сумм случайного числа случайных величин. Отметим монографии В.М. Круглова и В.Ю. Королева, А. Гута, В.В. Калашникова, Д.С. Сильвестрова, а также статьи Г. Роббинса, P.JI. Добрушина, А.Н. Колмогорова и Ю.В. Прохорова, А. Реньи, Б.В. Гнеденко и X. Фахи-ма, В.М. Круглова.

В диссертационной работе получены версии почти наверное предельных теорем для сумм независимых случайных величин со случайным индексом суммирования. Результаты диссертации являются обобщением версий почти наверное предельных теорем со случая неслучайного индекса суммирования на ситуацию, в которой индекс суммирования является случайной величиной.

Пусть С„, п € N, — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (fi, Л, Р). Рассмотрим меры:

где w 6 П, n G N и ij. ■ мера единичной массы, сосредоточенной в

1 Brosamler G. An almost everywhere central limit theorem // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. -1988. - Vol. 104. - P. 561-574.

sSWiatte P. On strong versions of the central limit theorem // Math. Nachr. - 1988. - Vol. 137. -P. 249-256.

точке х.

Классические предельные теоремы имеют дело со сходимостью по распределению случайных величин: („ (, при п оо. Во многих случаях сходимость (п (, при п —» оо, влечет слабую сходимость мер Qn(w) щ, при ti —у оо, для почти всех w Е Q. Такие предельные теоремы называются версиями почти наверное обычных предельных теорем. Если же справедлива сходимость Q„(üj) , при п ->• оо,

для почти всех ш € Í2, и при этом не существует сходимости (,

при п оо, то говорят о почти наверное предельных теоремах.

Здесь и далее к = (к\,..., k¿), п = (пь n¿), ... £ Nd. Выражение п оо означает, что n¿ оо для каждого i = 1, ...,d. Пусть log+ ж = loga;, если х > е, и log+:r — 1, если х < е. Пусть |n| = fjf=ini и | log n| = n?=ilog+ГЦ, neNd.

Пусть Cn, n G Nd, — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (П, А, Р). Рассмотрим меры

Qn(w) = Qn((Cn))(w) = щ

' k<n ' '

где w € Q и Sx - мера единичной массы, сосредоточенной в точке х.

Версия почти наверное мультииндексной предельной теоремы имеет вид: <5п(ш) > ПРИ n ~001 Для почти всех ш € ÍÍ.

В работах G. Brosamler и Р. Schatte была получена версия почти наверное центральной предельной теоремы. Впоследствии I. Berkes и И.А. Ибрагимов обобщили эти результаты на нормированные суммы одинаково распределенных независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Случай нормированных сумм независимых случайных величин рассматривался в статьях М.А. Лифшица, И.А. Ибрагимова, М. Atlagh, М. Peligrad, Р. Révész, В. Rodzik, Z. Rychlik. В диссертационной работе получено обобщение результата I. Berkes и И.А. Ибрагимова на случай нормированных случайных сумм одинаково распределенных независимых мультииндексных

случайных величин.

В ряде работ изучались версии почти наверное функциональных предельных теорем (см. работы М. Lacey, W. Phillip, Р. Schatte, P. Major,

A.H. Чупрунова, I. Fazekas, E.B. Czerebak-Morozowicz, Z. Rychlik, M. Urbanek). Была получена версия почти наверное теоремы Донскера-Прохорова (М. Atlagh) и ее обобщение на случай мультииндсксных последовательностей (I. Fazekas и Z. Rychlik), функциональные почти наверное предельные теоремы для сумм случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона (I. Berkes и Н. Dehling) и полуустойчивого закона (I. Fazekas и А.Н. Чупрунов). В диссертационной работе получена версия почти наверное функциональной предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения гауссовского закона.

Изучение полуустойчивых распределений началось с работ П. Леви.

B.М. Круглов получил полное описание полуустойчивых распределений в терминах их мер Леви. В работах S. Chörgo и Z. Megyesi дано описание полуустойчивых распределений с помощью вероятностного подхода, предложенного S. Chörgo. И.В. Гриневич и Ю.С. Хохлов дали описание областей притяжения полуустойчивых законов аналогичное описанию областей притяжения устойчивых распределений, полученному в классических работах Б.В. Гнеденко и В. Деблина. I. Berkes, Е. Csäki, S. Chörgo и Z. Megyesi получили почти наверное предельную теорему для сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона. А.Н. Чупрунов и I. Fazekas обобщили этот результат на функциональный случай. В диссертационной работе получено обобщение почти наверное предельной теоремы I. Berkes, Е. Csäki, S. Chörgo и Z. Megyesi на случайные индексы суммирования.

А.Н. Чупрунов и I. Fazekas получили версии почти наверное предельных теорем для числа пустых ячеек при размещении различимых частиц по ячейкам. В диссертационной работе получены обощения этих резуль-

татов на случай неполного комплекта ячеек и в ситуации, когда число ячеек случайно.

Цель работы. Целью диссертационной работы является получение версий почти наверное предельных теорем для случайных сумм, а также для случайных размещений в случаях неполного и случайного числа ячеек.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории вероятностей. Доказательства версий почти наверное предельных теорем опираются на критерии почти наверное предельных теорем (см. I. Рагекав и Ъ. КусЬНк3,1. Рагекав и А.Н. Чупрунов4).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказана версия почти наверное предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения р -устойчивого закона.

2. Доказана версия почти наверное функциональной предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения гауссовского закона.

3. Доказана почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения р-полуустойчивого закона.

4. Доказаны версии почти наверное предельных теорем для числа пустых ячеек при размещении различимых частиц в неполном комплекте ячеек и в случае, когда число ячеек — случайная величина.

3Fazekas /., Rychlik Z. Almost sure central limit theorems for random fields // Math. Nachr. - 2003. -Vol. 259.-P. 12-18.

*Fazekas I., Chuprunov A. Almost sure limit theorems for random allocations // Studia Set. Math. Hungar. - 2005. - Vol. 42. - P. 173-194.; Fazekas I., Chuprunov A. An almost sure functional limit theorem for the domain of geometrical partial attraction of semistable laws // Journal of Theoretical Probability. - 2007. - Vol. 20(2). - P. 339-353.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней фундаментальные результаты могут найти применение в дальнейших научных исследованиях в данном направлении, а также при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов в Московском государственном университете, Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, Санкт-Петербургском государственном университете, Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова РАН (ПОМИ РАН), Казанском государственном университете, Новосибирском государственном университете.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации были изложены на 8-ой международной конференции "Computer Data Analysis and Modeling" (Минск, 2007), Седьмой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2008" (Казань, 2008), Восьмой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения - 2009" (Казань, 2009), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 2007, 2008, 2009 гг. Также результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре ВМиК МГУ "Теория риска и смежные вопросы" (руководители: д.ф.-м.н., профессор В.Е. Бенинг, д.ф.-м.н., профессор В.Ю. Королев), научном семинаре мехмата МГУ "Асимптотический анализ случайных процессов и полей" (руководители: д.ф.-м.н., профессор A.B. Булинский; к.ф.-м.н., доцент А.П. Шашкин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех тезисах [4]-[7] и трех статьях в рецензируемых журналах [1]-[3], включая две статьи в журналах из списка ВАК [1]-[2].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка условных обозначений, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе ЖГ^К и содержит 114 страниц. Список литературы насчитывает 75 наименований.

Содержание работы

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, обосновал на актуальность выбранной темы, сформулированы цели, представлены выносимые на защиту научные положения и кратко изложено содержание работы.

Глава 1 носит предварительный характер. В ней приведены предельные теоремы, версии почти наверное которых получены в главе 2.

Рассмотрим мультииндексную последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин , k G Nd, принадлежащих области притяжения р-устойчивого закона. Пусть £к имеет такое же распределение, как и случайная величина £.

Пусть ип = (via, ■••) Ща), где i/ln, : ti—>■ N, - мульти-

индексная последовательность неотрицательных целочисленных случайных векторов. Рассмотрим мультииндексную последовательность двумерных случайных векторов V^ = ^Sa ^, W^"^ , n £ Nd, где

^ = 4- Ей - «м)» Ч¥) = w Ей - ан)2-

м ¡<у„ ini »<!/„

Обозначим через тп и г распределения случайных векторов fn = и V = (i^i, i/2,..., Vd), соответственно.

Теорема 1.1.1. Предположим, что та т, при п -4 оо, n£N3, Sn —тр, при п оо, где 7Р — р -устойчивая случайная величина. Пусть семейства {г/п} и {£п} независимы. Тогда

при n оо, где V^ — случайный вектор с характеристической функ-

циеи

/(">м= [ /|u|(s,i)dr(u), s,i G R, (1.1.3)

« характеристическая функция f(s,t) определяется формулой

где ci,c2 >0, ci + c2 > 0. Рассмотрим метрику

n=l

■ + II® - 2/IU'

где г, у : R+ —> Rr - функции, ограниченные на каждом компактном множестве, x(t) = (xi{t), ...,xr(t)), y(t) = {yi{t), ...,yr(t)), и

||x-y||„= sup sup \xi(t) - yi(t)\, i€R+,

l<i<r 0<i<JV

где N= (n, ...,n) G Nd.

Пусть V - множество индикаторов вида

С = (-Wi)"> ho-rM")'

где flj < bi, щ, bi G Q+, 1 < i < r. Замыкание линейной оболочки множества V в метрике р будем обозначать с помощью 5r(R+). Заметим, что пространство непрерывных функций содержится в пространстве (Br(RiJ.), р) как замкнутое подпространство.

Рассмотрим мультииндексную последовательность случайных векторов Уц"' = (Sa\wi^) , компоненты которых имеют вид:

ifci<[fmii],l<«<d

^¿гЕ^-«!"!)2.

N к<у„

где (<1,<2| — £ Й-+- Здесь 5|п| и а|п| - соответствующие элементы последовательностей В„ и а„, при а„ = ■ 1{(<в„} •

Доказательство следующей теоремы основано на мультииндексном обобщении теоремы Скорохода (Теорема 1.2.1).

Теорема 1.3.2. Пусть 5„ 7(<т2), п оо. Предположим, что {г/п, п б Г^}, — независимые случайные вектора, семейства и {5П} независимы, и ^ г/, при п оо. Тогда

уМ .Л 1/,

при п оо, е £(11*) х , где У = (уЯ • П7, И - а2), W-

в, -параметрический винеровский процесс на 11+, и \и\ — и^...^-

Глава 2 посвящена версиям почти наверное предельных теорем для случайных сумм независимых случайных величин.

В § 2.2 доказываются версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случаных величин, принадлежащих области притяжения р-устойчивого закона.

Теорема 2.2.1. Пусть Бп 7Р при п —>■ оо, где 7Р — р-устойчивая случайная величина. Предположим, что ип — независимые случайные вектора, семейства и {£п} независимы, 1 — и та —» т; при п -> оо.

Пусть (¿п(и)) = <Зп((Уп^))(^). Тогда для почти всех шеО имеет место сходимость

—> /М-) пРи п-> оо, где У^ — случайный вектор с характеристической функцией (1.1.3).

Рассмотрим последовательность случайных самонормированных сумм:

ТМ =

---еслиЕк^Й-ан^^О,

~ «Mr

О, если -<*м)2 = 0.

Теорема 2.2.2. Пусть Р{ш : = 0} = 0. Пусть Qa(ui) = Qn((Tn"^))(w). Тогда при выполнении условий теоремы 2.2.1 для почти, всех ш Е имеем:

Qa(uj) цТм, при п оо,

где Т^ = J^l) > и — случайный вектор с характеристи-

ческой функцией (1.1.3).

Теорема 2.2.2 является версией почти наверное мультииндексной предельной теоремы для статистики Стьюдента.

В § 2.3 получены версии почти наверное функциональных предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случаных величин, принадлежащих области притяжения гауссовского закона.

Теорема 2.3.1. Пусть Sn 7(ст2), п оо. Предположим, что {fn, n £ Nd}, — независимые случайные вектора, семейства К} и {5П} независимы, и тп т, при п оо. Пусть Qn(w) = Тогда

Qn(u) -A fiv,

при п оо для почти всех и £ О, где V = (л/\й~\ ■ W, \v\ • <т2), W -d -параметрический винеровский процесс на R+ . Рассмотрим последовательность случайных полей:

если Ek< (^ь ~ а|п|)2 Ф 0|

О, если £k<„n(ik — а|п|)2 = О,

где t = (fi, ...,td) .

Теорема 2.3.2. Пусть Р{ш : v{w) = 0} ' = 0, Qn(w) = Qn{{Tn^))(u). При выполнении условий теоремы 2.3.1 для почти всех ш€0 имеем

Qa(w) № п оо,

гдеТ = ^.

В § 2.4 доказывается почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона.

Описание полуустойчивых случайных величин в терминах мер Ле-ви впервые было получено В.М. Кругловым, а описание областей притяжения полуустойчивого закона - И.В. Гриневич и Ю.С. Хохловым. Впоследствии Z. Megysi и S. Chorg6 описали полуустойчивые случайные величины и области их притяжений на основе вероятностного подхода S. Chorgo. Приведем здесь это описание.

Пусть {кп} — последовательность натуральных чисел со свойством

lim = с, (1.4.1)

П-400 кп

где с > 1.

Пусть £, £„, n G N, — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (П, А, Р), с функцией распределения F и квантилью Q{s) = inf{a; G R : F(x) > s}, 0 < s < 1. Рассмотрим суммы

1 "

где Bn > 0, An G R.

Невырожденный предел сумм Skn, где последовательность (fc„) удовлетворяет условию (1.4.1), называется полуустойчивой случайной величиной.

Пусть 0 < р < 2. Рассмотрим Щ, з = 1,2, — стандартные непрерывные слева независимые пуассоновские процессы. Предположим, что

9}{8) = -Ща)а-11*, в > 0, ¿ = 1,2,

являются неубывающими функциями, где М\, М2 — неотрицательные, непрерывные справа на (0, оо), ограниченные на (0, оо) функции такие, что М\ + М2 Ф 0, и МДся) = М^), ] = 1,2, для всех в > 0 и некоторого с > 1. Рассмотрим случайные величины

Щ(Щ) = ЩЩ,Р) = £ед Л +

+ £{N¿8) - в) <1 + МД1), ¿ = 1,2.

Пусть

IV{Ми М2) = Ж2(М2) - УГ1(Мг).

Случайная величина УУ является р-полуустойчивой случайной величиной тогда и только тогда, когда для некоторых М\, М2 и Ъ £ И выполняется равенство Ш = М2) + Ь.

Обозначим через ф(х,М1(у),М2(у)) характеристическую функцию случайной величины М2):

ф{х, Мг(у), М2(у)) = геИ.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел {кп}, для которой выполняется условие (1.4.1). Для любого а 6 (0,во), где зо е (0,1] достаточно мало, существует единственное такое, что <

в < Пусть'7(5) = акп.(в), если з € (0,50), и 7(5) = 1, если

в € [во, 1). Тогда 1 < 7(в) < с + с для некоторого фиксированного е > 0, всех в € (0,1) и константы с из (1.4.1).

Пусть

я+(я) = -в-1/^(в)[М1(7(в)) + ы (в)], (1.4.2)

Q( 1 - s) = S-^1(S)[M2(7(S)) + Ла(в)], (1.4.3)

для любого s G (0,1), где Q+ — непрерывная справа версия квантили Q, /(■) — непрерывная справа, медленно меняющаяся в нуле функция, Mi, М2 — неотрицательные, непрерывные справа на (0, оо), ограниченные на (0,оо) функции такие, что М\ + М2 ф 0, и M;-(cs) = Mj(s), j = 1,2, для всех s > 0, и константы с из (1.4.1), a h\ и h2 — непрерывные справа функции такие, что lim Л,- ( г- ] = 0 в любой

Т1—>00 \к»/

точке непрерывности i > 0 функции Mj, j — 1,2.

Случайная величина £ принадлежит области притяжения р -полуустойчивого закона тогда и только тогда, когда ее квантиль Q имеет вид (1.4.2), (1.4.3).

Мы будем использовать следующие нормирующие и центрирующие константы:

Bn = nVr.l(-),An = — Q{s)ds, о = 1,2,„. (1.4.4)

W вп Jl/n

Пусть vn - последовательность независимых целочисленных случайных величин, определенных на вероятностном пространстве ($1, Л, Р). Рассмотрим случайные суммы

ап ■ , 1=1

Теорема 2.4.1. Предположим, что ^ —> v, при кп оо, где последовательность кп удовлетворяет условию (14.1). Пусть семейства {vkn} « {Си} независимы. Тогда

Qn{(SM)){w)С, прип^оо

для почти всех ш 6 О, где распределение С имеет характеристическую функцию

m=J- Г гемшьш* „ш, t е r

logcJo Ух s

где константа с удовлетворяет условию (1.4-1).

В главе 3 получены версии почти наверное предельных теорем для случайных размещений.

В § 3.2 получены версии почти наверное предельных теорем для неполного комплекта ячеек с нормировкой - среднеквадратическим отклонением.

Пусть имеется N ячеек, в которые независимо друг от друга случайным образом бросаются п различимых частиц. Вероятность попадания каждой фиксированной частицы в ячейку с номером у равна l/N для

любого j = 1, Лг. Мы будем рассмотривать следующую реализацию этой схемы размещения.

Рассмотрим независимые случайные величины гс £ N, равномерно распределенные на отрезке [0,1]. Пусть п, Аг £ N, Д* = Ддг. = [тГ1 Ь) > 1 — ® — ^ ■ Введем событие А{, которое состоит в том, что в г -ый интервал не попала ни одна частица:

4=АМ0= П

Число пустых среди первых Ы', №< N, ячеек равно

ЛГ' п

м», до=£П 1=1 .7=1

Пусть ЛГ' = ЛГ/(ЛГ). Рассмотрим суммы

ЭnNlN = -п-)

¿ЛгЛГ'ЛГ

где ВпН'я ~~ дисперсия случайной величины 1±о(п, Ы\ Аг).

Теорема 3.2.1. Предположим, что 0 < с*1 < аг < оо, К' — К'{К), существует Ко, такое что К' > (3К, 0 < /? < 1, для любых К' > Ко ■

Пусть

9n(w) = (ioga2-logQl)IognE Е ¿«W«)- (3.2.8)

Тогда при n -» оо имеем:

Qn(w) —* Цу, для почти всех u>E.il.

Теорема 3.2.3. Предполооким, что 0 < а\ < < оо, К' — К'(К), существует Ко, такое что К' > ¡ЗК, 0 < /3 < 1, для любых К' > Ко ■ Пусть

Е Е (3-2.10)

~ од J logn k<n {K:ai<%<a2}

Тогда при п —> оо имеем:

Q* (ш) —> /i7, для почти всех weft.

Результаты § 3.3, полученные для нормировки

//V, позволяют получить версии почти наверное предельных теорем для случайных размещений в случае, когда число ячеек — случайная величина (§ 3.4).

Пусть vy,'v - независимые случайные величины, заданные на вероятностном пространстве (Q'} Л', Р'), распределенные на отрезке [0,1].

Пусть \х] обозначает наименьшее целое, не меньше х. Рассмотрим число пустых ячеек среди первых \ujfN] ячеек:

КЛП п N п

Ho(n,N) = Yj = ЕЦ^Л-к^О-

¿=1 j=1 «=1 i=1

Пусть а = jj. Рассмотрим суммы

- _ ¡ло(п, N) — Efio(n, N) KnN_ _ .

Теорема 3.4.1. Пусть 0 < ai < ol% < оо, семейства {&} и {i/jv}

d „г

независимы, vу —>■ v, при N —>• оо, и

= (log а2 - log аЛ log п ^ Ж^кМ'

у о Ч о fc<n{K:Ql<^<a2}

Тогда имеет место сходимость

QnM-AA

при п —>• оо, для почти всех и £ Q, где распределение С имеет следующую характеристическую функцию:

1 logo2

1 f f П1"

^^(loga2-logQl)/ J

0 logai

(3.4.1)

Теорема 3.4.3. Пусть 0 < с*1 < аг < оо, семейства {&} и {г/дт} независимы, им г/, при N со, и

= 71 ГУ, ^ ^26Йкк(шГ

Тогда при п —> со имеет место сходимость

Я» А

¿ля почти всех ш € С1, где С имеет следующую характеристическую функцию:

Vaii щ / О Д. % ' «2

1 01 ¡2 0(l-«-'/*(l+»/»))

¡I7J dxdftv(z), t£ R. (3.4.3)

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук А.Н. Чупрунову за постановку задач, постоянное внимание к работе и ценные советы.

Работы автора по теме диссертации

Научные статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Терехова Л.П., Чупрунов А.Н. Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин // Известия вузов. Математика. - 2010. - №2. - С. 86-96.

2. Терехова Л.П., Чупрунов А.Н. Почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона // Известия вузов. Математика. - 2009. - №11. - С. 85—88.

Научные статьи и материалы научных конференций:

3. Terekhova L.P. Almost sure limit theorems for random sums of multiindex random variables // Lithuanian Mathematical Journal. - 2009. - Vol. 49. - Issue 3. - P. 318—330.

4. Терехова Л. П. Версии почти наверпое предельных теорем для случайных размещений со случайным числом ячеек // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.39. Лобачевские чтения — 2009: материалы Восьмой молодеж. науч. шк.-конф., Казань, 1-6 ноября 2009 г. - Казань, 2009. - С. 359—361.

5. Терехова Л.П. Версии почти наверное предельных теорем для случайных размещений со случайным числом частиц // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.37. Лобачевские чтения — 2008: материалы Седьмой молодеж. науч. шк.-конф., Казань, 1-3 декабря 2008 г. - Казань, 2008. - С. 174—176.

6. Chuprunov A.N., Terekhova L.P. Almost sure versions of limit theorems for random sums of multiindex random variables 11 Computer Data Analysis and Modeling. Proceedings of the 8th International Conference, Minsk, September 11-15, 2007. - Minsk, 2007. - P. 10-13.

7. Terekhova L. The class of limit distributions in multiindex almost sure limit theorems // 9th international Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of Communications, June 25-30, 2006. - Vilnius, 2006. - P. 311.

Во всех совместных работах А.Н. Чупрунову принадлежит постановка задач и выбор метода, а Л.П. Тереховой — поиск и разработка доказательств.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 12.04.2010 г. формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 164. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Терехова, Лидия Павловна

Перечень условных обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

1.1 Предельные теоремы для случайных сумм мультииндексных случайных величин.

1.2 Многомерная мультииндексная теорема Скорохода

1.3 Функциональные предельные теоремы для случайных сумм мультииндексных случайных величин.

1.4 Полуустойчивый закон распределения, область притяжения полуустойчивого закона.

ГЛАВА 2. Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм независимых случайных величин

2.1 Критерий почти наверное предельных теорем для сумм мультииндексных случайных величин.

2.2 Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин.

2.3 Версии почти наверное функциональных предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин

2.4 Почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона.

2.5 Почти наверное предельная теорема для Санкт-Петербургской игры со случайным количеством партий

ГЛАВА 3. Версии почти наверное предельных теорем для случайных размещений

3.1 Предварительные результаты.

3.2 Версии почти наверное предельных теорем для неполного комплекта ячеек

3.3 Версии почти наверное предельных теорем для нормировки

3.4 Версии почти наверное предельных теорем для случайного числа ячеек.

Введение диссертация по математике, на тему "Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм"

Версии почти наверное предельных теорем для сумм независимых случайных величин являются новой и интенсивно развивающейся областью теории вероятностей. Впервые такие теоремы появились в статьях G. Brosamler [26] и P. Schatte [64] в 1988 г. В последующие десятилетия это направление развивалось в работах М. Lacey и W. Philipp [50], A. Fisher [43], И.А. Ибрагимова [10], М.А. Лифшица ([12], [52], [11]), I. Berkes и Б. Csaki [22], I. Fazekas и Z. Rychlik ([40], [39]), I. Fazekas и А.Н. Чупрунова ([18], [38], [37], [33]), S. Chorgo [28], Z. Megyesi [57] и других ученых.

В последние 50 лет интенсивно развивалась теория предельных теорем для сумм случайного числа случайных величин. Отметим монографии В.М. Круглова и В.Ю. Королева [16], Б.В. Гнеденко и В.Ю. Королева [44], В.Е. Бенинга и В.Ю. Королева [1], А. Гута [45], В.В. Калашникова [48], Д. С. Сильвестрова [67], а также статьи Г. Роббинса [61], P.JI. Добрушина [9], А.Н. Колмогорова и Ю.В. Прохорова [13], А. Реньи [60], Б.В. Гнеденко и X. Фахима [7], В.М. Круглова [15].

Пусть Сп, те £ N, — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве Р). Рассмотрим меры: где мера единичной массы, сосредоточенной в точке х.

Классические предельные теоремы имеют дело со сходимостью по распределению случайных величин: Сп —+ С; ПРИ п * 00 • Во многих случаях сходимость Сп ——> С ? ПРИ п ~> 00 ? влечет слабую сходимость мер Qn(u) lie, j при п —¥ 00 j Для почти всех о; 6 . Такие предельные теоремы называются версиями почти наверное обычных предельных теорем. Если же справедлива сходимость Qn(w) при п оо, для почти всех ш£0,и при этом не существует сходимости Сп С) при п оо, то говорят о почти наверное предельных теоремах.

Здесь и далее к = (к\,.,kd), n = (roj, , . £ Nd. Выражение п —> оо означает, что щ —> оо для каждого ъ — 1, .,d. Пусть log+a? = log ж, если х > е, и log+a; = 1, если х < е. Пусть |п| = П^=1 пг и | log n| - nil !og+ nh n <= Nd.

Пусть Cm n € Nrf, — последовательность случайных величин, определенных на вероятностном пространстве (Г2, Л, Р). Рассмотрим меры

QnM = Qn((Cn))H = щц Щ где и Е О, и дх - мера единичной массы, сосредоточенной в точке х.

Версия почти наверное мультииндексной предельной теоремы имеет вид: Qn(co) fi^ , при n —> оо, для почти всех со 6 Q .

В работах G. Brosamler [26] и P. Schatte [64] была получена версия почти наверное центральной предельной теоремы. Впоследствии I. Berkes в [24] и И.А. Ибрагимов в [10] обобщили эти результаты на нормированные суммы одинаково распределенных независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона. Случай нормированных сумм независимых случайных величин рассматривался в статьях М.А. Лифшица ([12], [52]), И.А. Ибрагимова и М.А. Лифшица ([46], [47]), М. Atlagh [20], T.F. Mori [58], М. Peligrad и P. Revesz [59], В. Rodzik и Z. Rychlik ([62], [63]). В работе [22] I. Berkes и Е. Csaki показали, что каждая слабая предельная теорема для случайных величин, удовлетворяющих некоторому условию, имеет почти наверное версию.

В диссертационной работе получено обобщение результата I. Berkes и И.А. Ибрагимова на случай нормированных случайных сумм одинаково распределенных независимых мультииндексных случайных величин.

В ряде работ изучались версии почти наверное функциональных предельных теорем (см. М. Lacey and W. Phillip [50], P. Schatte ([65], [66]), P. Major ([53], [54]), A.H. Чупрунов и I. Fazekas ([33], [37]), I. Fazekas и Z. Rychlik [40], E.B. Czerebak-Morozowicz, Z. Rychlik и M. Urbanek [34]). Была получена версия почти наверное теоремы Доискера-Прохорова (М. Atlagh, [20]) и ее обобщение на случай мультииндексных последовательностей (I. Fazekas и Z. Rychlik, [40]), функциональные почти наверное предельные теоремы для сумм случайных величин, принадлежащих области притяжения устойчивого закона (I. Berkes и Н. Dehling, [25]) и полуустойчивого закона (I. Fazekas и А.Н. Чупрунов , [37]). В диссертационной работе получена версия почти наверное функциональной предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения гауссовского закона.

Изучение полуустойчивых распределений началось с работы П. Леви [51]. В.М. Круглов в [17] получил полное описание полуустойчивых распределений в терминах их мер Леви. В работах S. Chorgo и Z. Megyesi [27], Z. Megyesi [56] дано описание полуустойчивых распределений с помощью вероятностного подхода, предложенного S. Chorgo в [32]. И.В. Гри-невич и Ю.С. Хохлов в [8] дали описание областей притяжения полуустойчивых законов, аналогичное описанию областей притяжения устойчивых распределений, полученному в классических работах Б.В. Гне-денко [5] и В. Деблина [35]. I. Berkes, Е. Csaki, S. Chorgo и Z. Megyesi в [21] получили почти наверное предельную теорему для сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона. А.Н. Чупрунов и I. Fazekas [37] обобщили этот результат на функциональный случай. В диссертационной работе получено обобщение почти наверное предельной теоремы I. Berkes, Е. Csaki, S. Chorgo и

Z. Megyesi [21] на случайные индексы суммирования.

А.Н. Чупрунов и I. Fazekas в [38] получили версии почти наверное предельных теорем для числа пустых ячеек при размещении различимых частиц по ячейкам. В диссертационной работе получены обощения этих результатов на случай неполного комплекта ячеек и в ситуации, когда число ячеек случайно.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории вероятностей. Доказательства версий почти наверное предельных теорем опираются на критерии почти наверное предельных теорем (см. I. Fazekas и Z. Rychlik [39], I. Fazekas и А.Н. Чупрунов [38], [37]).

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказана версия почти наверное предельной теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения р—устойчивого закона.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации были изложены на 8-ой международной конференции "Computer Data Analysis and Modeling" (Минск, 2007), Седьмой молодежной научной школ е-конференции "Лобачевские чтения - 2008" (Казань, 2008), Восьмой молодежной научной школ е-конференции "Лобачевские чтения - 2009" (Казань, 2009), итоговых научных конференциях Казанского государственного университета в 2007, 2008, 2009 гг. Также результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре ВМиК МГУ "Теория риска и смежные вопросы" (руководители: д.ф.-м.н., профессор В.Е. Бенинг, д.ф.-м.н., профессор В.Ю. Королев), научном семинаре мехмата МГУ "Асимптотический анализ случайных процессов и полей" (руководители: д.ф.-м.н., профессор А.В. Булинский; к.ф.-м.н., доцент А.П. Шашкин).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех тезисах [72]—[75] и трех статьях в рецензируемых журналах [69]—[71], включая две статьи в журналах из списка ВАК [69]-[70].

Краткое содержание работы.

Во введении дан обзор литературы по теме диссертации, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели, представлены выносимые на защиту научные положения и кратко изложено содержание работы.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Терехова, Лидия Павловна, Казань

1. Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Введение в математическую теорию риска. - М. : МАКС Пресс , 2000. - 184 с.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М. : Наука, 1977. - 352 с.

3. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 400 с.

4. Вероятность и математическая статистика: энцикл. под ред. Ю.В. Прохорова. М. : Большая Российская энциклопедия, 2003. - 912 с.- Репр. изд.

5. Гнеденко Б.В. К теории областей притяжения устойчивых законов // Ученые записки МГУ. 1939. - Т. 30. - С. 61-81.

6. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л. : Гос. изд-во тех-технич. лит., 1949. - 264 с.

7. Гнеденко Б.В., Фахим X. Об одной теореме переноса // ДАН СССР. 1969. - Т. 187. - №1. - С. 15-17.

8. Гриневич И.В., Хохлов Ю.С. Области притяжения полуустойчивых законов // Теория вероятностей и ее применения. 1995. - 40(2).- С. 417-423.

9. Добру шин Р. Л. Лемма о пределе сложной случайной функции // Успехи математических наук. 1955. - Т.10. - №2. - С. 157-159.

10. Ибрагимов И.А. О почти всюду версиях предельных теорем // Доклады РАН. 1996. - Т. 350. - С. 301-303.

11. Лифшиц М.А. Предельные теоремы типа "почти наверное" Учебно-метод. пособие. СПб., 2007. - 32 с.

12. Лифшиц М.А. Предельная теорема типа "почти наверное" для сумм случайных векторов // Записки научных семинаров ПОМИ. 1999.- Т. 260. С. 186-201.

13. Колмогоров А.Н., Прохоров Ю.В. О суммах случайного числа случайных слагаемых // Успехи математических наук. 1949. - Т. 4. -№4. - С. 168-172.

14. Колчин В.Ф., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Случайные размещения. М. : Наука, 1976. - 223 с.

15. Круглов В.М. Слабая компактность случайных сумм независимых случайных величин // Теория вероятностей и ее применения. -1998. Т. 43. - №2. - С. 248-271.

16. Круглов В.М., Королев В.Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. М. : Изд-во Моск. ун-та, 1990. - 269 с.

17. Круглов В.М. Об одном расширении класса устойчивых распределений // Теория вероятностей и ее применения. 1972. - Т. 17(4).- С. 723-732.

18. Фазекаш И., Чупрунов А.Н. Почти наверное предельные теоремы для статистики Пирсона // Теория вероятностей и ее применения.- 2003. Т. 48. - №1. - С. 162-16.9

19. Хакимуллин Е.Р., Энатская Н.Ю. Предельные теоремы для числа пустых ячеек // Дискретная математика. 1997. - Т. 9(2). - С. 120130.

20. Atlagh М. Theoreme central limite presque sur et loi du logarithme itere pour des sommes de variables aleatoires independantes // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I. 1993. - T.316. - P. 929-933.

21. Berkes I., Csaki E. A universal result in almost sure central limit theory // Stoch. Proc. Appl. 2001. - Vol. 94. - P. 105-134.

22. Berkes I, Csaki E., Chorgo S. Almost sure limit theorems for the St.Petersburg game // Statistics and Probability Letters. 1999. - Vol. 45.- P. 23-30.

23. Berkes I. On the almost sure central limit theorem and domains of attraction // Probab. Theory Related Fields. 1995. - Vol. 102. - P. 1-18.

24. Berkes I., Dehling H. Some limit theorems in log density // Ann. Probab. 1993. - Vol. 21. - P. 1640-1670.

25. Brosamler G. An almost everywhere central limit theorem // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1988. - Vol. 104. - P. 561-574.

26. Chorgo S., Megyesi Z. Merging to semistable laws // Теория вероятностей и ее применения. — 2002. Vol. 47(1). - P. 90-109.

27. Chorgo S. Almost sure limit theorems for the St.Petersburg game // Statistics and Probability Letters. 1999. - Vol. 45. - P. 23-30.

28. Chorgo S. The St. Petersburg paradox // Polygon. 1995. -Vol. 5(1). - P. 19-79.

29. Chorgo S., Horvath L. Invariance principles for logarithmic averages // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1992. - Vol. 112. - P.195-205.

30. Chorgo S., Dodunekova R. Limit theorems for the Petersburg game // In: Hahn, M.G., Mason D.M., Weiner D.C. (Eds.), Trimmed Sums and Extremes. Progress in Probability. Boston: Birkhauser, 1991. - Vol. 23.- P. 285-315.

31. Chorgo S. A probabilistic approach to domains of partial attraction // Adv. Appl. Math. 1990. - Vol. 11. - P. 282-327.

32. Chuprunov A.N., Fazekas I. Almost sure versions of some functional limit theorems // Proceedings of the 21st Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. New York: J.Math. Sci. 2002. - Vol. 111(3). - P. 3528-3536.

33. Czerebak-Morozowicz E.B., Rychlik Z., Urbanek M. Almost sure functional central limit theorems for multiparameter stochastic processes // Condensed Matter Physics. 2008. - Vol. 11. - No 2(54). - P. 371-381.

34. Doeblin W. Sur l'ensemble de puissances d'une loi de probabilite // Studia Math. 1940. - Vol. 9(1). - P. 71-96.

35. Dudley R.M. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1989.

36. Fazekas I., Chuprunov A. An almost sure functional limit theorem for the domain of geometrical partial attraction of semistable laws // Journal of Theoretical Probability. 2007. - Vol. 20(2). - P. 339-353.

37. Fazekas I., Chuprunov A. Almost sure limit theorems for random allocations // Studia Sci. Math. Hungar. 2005. - Vol. 42. - P. 173-194.

38. Fazekas I., Rychlik Z. Almost sure central limit theorems for random fields // Math. Nachr. 2003. - Vol. 259. - P. 12-18.

39. Fazekas I., Rychlik Z. Almost sure functional limit theorems // Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska Sect. A 2002. - Vol. 56. - P. 1-18.

40. Fazekas I., Klesov O. A general approach to the strong laws of large numbers // Theory of Probability and its Applications. 1999. - Vol. 45(3). - P. 568-583.

41. Feller W. Note on the law oflarge numbers and "fair"games // Ann. Math. Statist. 1945. - Vol. 16. - P. 301-304.

42. Fisher A. A pathwise central limit theorem for random walks // Preprint.

43. Gnedenko B.V., Korolev V.Yu. Random Summation: Limit Theorems and Applications. CRR Press, Bca Raton, FL, 1996.

44. Gut A. Stopped Random Walks. Springer, New York, 1988.

45. Ibragimov I.A., Lifshits M.A. On almost sure limit theorems // Th. Probab. Appl. 1999. - Vol.44. - P. 254-272.

46. Ibragimov I.A., Lifshits M.A. On the convergence of generalized moments in almost sure central limit theorem // Statist. Probab. Letters. -1998. Vol. 40. - P.343-351.

47. Kalashnikov V. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Risk Analysis, Reliability, Queueing. Kluwer Academic Publisher. - Dordrecht-Boston-London, 1997.

48. Kruglov V.M., Petrovskaya G.N. Weak convergence of self-normalized random poligonal lines // Journal of Mathematical Sciences. -2002. Vol. 112. - P. 4145-4154.

49. Lacey M., Philipp W. A note on the almost everywhere central limit theorem // Statist. Probab. Letters. 1990. - Vol. 9. - P. 201-205.

50. Levy P. Theorie de 1'Addition des Variables Aleatoires. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

51. Lifshits M. An almost sure limit theorem for sums of random vectors // Preprint.

52. Major P. Almost sure functional limit theorems. Part I. The general case // Studia Sci.Math. Hungar. 2000. - Vol. 34. - P. 273-304.

53. Major P. Almost sure functional limit theorems. Part II. The case of independent random variables // Studia Sci.Math. Hungar. 2000. -Vol. 36. - P. 233-273.

54. Martin-Lof A. A limit theorem which clarifies the 'Petersburg paradox' // J. Appl. Probab. 1985. - Vol. 22. - P. 634-643.

55. Megyesi Z. Domains of geometric partial attraction of max-semistable laws, structure, merge and almost sure limit theorems // J. Theor. Prob. 2002. - Vol. 15. - P. 973-1005.

56. Megyesi Z. A probabilistic approach to semistable laws and their domains of partial attraction // Acta Sci.Math. (Szeged). 2000. - Vol. 66(1-2). - P. 403-434.

57. Mori T.F. On the strong law of large numbers for logarithmically weighted sums // Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Math. 1993. - Vol. 36. - P. 35-46.

58. Peligrad M., Revesz P. On the almost sure central limit theorem // In: Bellow, A., Jones, R. (Eds.), Almost Everywhere Convergence II. -Academic Press, New York, 1991. P. 209-225.

59. Renyi A. On the the theory of order statistics // Acts Math. Acad. Sci. Hung. 1953. - Vol. 4. - P. 191 - 231.

60. Robbins H. The asympyoyic distribution of the sum of a random number of random variables // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. - Vol. 54. -No. 12. - P. 1151-1161.

61. Rodzik В., Rychlik Z. An almost sure central limit theorem for independent random variables // Ann. Inst. H. Poincare. 1994. - Vol.30. -P. 1-11.

62. Rodzik В., Rychlik Z. On the central limit theorem for independent random variables with almost sure convergence // Probab. Math. Statist. -1996. Vol. 12. - P. 299-309.

63. Schatte P. On strong versions of the central limit theorem // Math. Nachr. 1988. - Vol. 137. - P. 249-256.

64. Schatte P. On the central limit theorems with almost sure convergence // Probab. Math. Statist. 1991. - Vol. 11. - P. 315-343.

65. Schatte P. Two remarks on the almost sure central limit theorem // Math. Nachr. 1991. - Vol. 154. - P. 225-229.

66. Silvestrov D.S. Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes // Research reports 2002 1-4, Department of Mathematics and Physics, Malardalen University, Vasteras, 2002. P. 405.

67. Wichura M.J. Inequalities with applications to the weak convergence of random processes with multi-dimensional time parameters // Ann. Math. Statist. 1969. - Vol. 40(2). - P. 681-687.Работы автора по теме диссертации

68. Терехова Л.П., Чупрунов А.Н. Версии почти наверное предельных теорем для случайных сумм мультииндексных случайных величин // Известия вузов. Математика. 2010. - №2. - С. 86—96.

69. Терехова Л.П., Чупрунов А.Н. Почти наверное предельная теорема для случайных сумм независимых случайных величин, принадлежащих области притяжения полуустойчивого закона // Известия вузов. Математика. 2009. - №11. - С. 85—88.

70. Terekhova L.P. Almost sure limit theorems for random sums of multiindex random variables // Lithuanian Mathematical Journal. 2009. -Vol. 49. - Issue 3. - P. 318-330.

71. Chuprunov A.N., Terekhova L.P. Almost sure versions of limit theorems for random sums of multiindex random variables // Computer Data Analysis and Modeling. Proceedings of the 8th International Conference. Minsk, September 11-15, 2007. P. 10-13.

72. Terekhova L. The class of limit distributions in multiindex almost sure limit theorems // 9th international Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. June 2530, 2006. P. 311.