Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом

Семин, Сергей Владимирович

Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Семин, Сергей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2015 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Автореферат по механике на тему «Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом»

Автореферат диссертации на тему "Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом"

На правах рукописи

СЕМИН Сергей Владимирович

ТРАНСФОРМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ВНУТРЕННИХ ВОЛН НАД ДОННЫМ УСТУПОМ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 АПР 2015

Нижний Новгород - 2015

005566663

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Куркин Андрей Александрович

Официальные оппоненты: Морозов Евгений Георгиевич,

доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией гидрологических процессов ФГБУН «Институт Океанологии РАН»

Булатов Виталий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник лаборатории механики сложных жидкостей, ФГБУН «Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН»

Ведущая организация: ФГБУН «Институт водных проблем РАН»

Защита состоится «21 » мая 2015 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д212.165.10 при Нижегородском государственном техническим университете им. P.E. Алексеева по адресу: 603600, г. Нижний Новгород, ул. Минина, д. 24, корп. 1, ауд. 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева.

Автореферат разослан « 20 » марта 2015 г.

Учёный секретарь Диссертационного совета, д. ф.-м. н„ профессор

Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

В последнее время усилился интерес к развитию добычи полезных ископаемых как на шельфе, так и в труднодоступных районах океана, а также в целом к комплексному развитию прибрежных областей в качестве портовых и туристических кластеров. В связи с этим возникает вопрос о защите соответствующей инфраструктуры от пагубного воздействия природных аномалий. Поверхностные и внутренние волны оказывают как прямое, так и косвенное влияние на хозяйственную деятельность человека в океане, а именно: они влияют на надводную и подводную навигацию, вызывают размыв донного грунта, транспорт растворённого и взвешенного материала, в том числе и загрязнений, влияют на миграцию и репродуктивность морских обитателей и т.д. В связи с этим очевидна необходимость развития математических моделей, позволяющих оценить основные параметры и свойства поверхностных и внутренних волн в процессе их распространения в зонах хозяйственной деятельности человека.

Настоящая работа посвящена разработке математической модели трансформации поверхностных и внутренних гравитационных волн над донным уступом, аппроксимирующим шельфовый подъём дна, а также изучению поля внутренних уединённых волн большой амплитуды.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертации является исследование процессов трансформации поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом, а также изучение солитонов внутренних волн большой амплитуды. В частности предполагались следующие цели исследований:

1. Исследование процесса трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом. Сравнение результатов численных расчётов с коэффициентами трансформации, полученными в рамках строгого аналитического подхода. Получение и верификация аппроксимационных формул, позволяющих простыми средствами с обоснованной точностью оценить коэффициенты отражения и прохождения поверхностных волн.

2. Получение аналитического решения задачи о трансформации внутренних гравитационных волн над донным уступом. Сравнение аналитического решения с результатами численного моделирования волн с твёрдой и свободной верхней границей. Получение и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных внутренних волн в двухслойной жидкости над донным уступом.

3. Исследование свойств внутреннего солитона большой амплитуды и траекторий жидких частиц в рамках уравнений Навье - Стокса и сравнение полученных результатов с данными лабораторного моделирования.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами исследований:

1. Показано в рамках строгой аналитической теории, что коэффициент прохождения линейных поверхностных волн на донный уступ с ошибкой в 1% определяется уже при 50 прижатых модах, а коэффициент отражения - при 300. Получено, что амплитуды прижатых мод могут достигать 30% от амплитуды падающей волны.

2. Выведена система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов трансформации линейных внутренних волн в двухслойной жидкости с произвольным соотношением плотностей. Доказана ортогональность функций вертикальной структуры потенциалов течений, возникающих вблизи уступа. Найдено, что коэффициенты прохождения и отражения определяются с ошибкой в 1% при 150 и 400 нераспространяющихся модах соответственно. Показано, что амплитуды прижатых мод могут достигать 15% от амплитуды падающей волны.

3. Получены аппроксимационные формулы коэффициентов отражения и прохождения поверхностных и внутренних волн произвольной длины, которые с хорошей точностью оценивают коэффициент прохождения. Ошибка не превышает 5.5% для поверхностных и 10% для внутренних волн.

4. Из энергетических законов выведены формулы изменения характерной ширины огибающей пакета поверхностных и внутренних волн, определяемые соотношением групповых скоростей волн до уступа и на нём. Обнаружен эффект прохождения поверхностных и внутренних волн через уступ без изменения амплитуды при определённых условиях, при этом генерируется отражённая волна.

5. Выполнено численное моделирование генерации уединённой внутренней волны отрицательной полярности в рамках уравнений Навье -Стокса методом гравитационного коллапса. Расчётные значения предельных амплитуд солитонов оказались больше аналогичных значений в рамках слабо нелинейной модели Гарднера. Величина реверсивного потока в придонном слое за солитоном в нелинейной модели качественно согласуется с наблюдениями в лабораторном эксперименте,

6. Показано большое различие характера траекторий жидких частиц на разных глубинах в солитоне внутренних волн. Расположенные в пикноклине частицы двигаются по вытянутой по вертикали петле, перемещаясь в сторону распространения солитона. В придонном слое жидкость двигается в обратном направлении, а затем, под воздействием реверсивного потока, она перенаправляется в сторону движения уединённой волны.

Положения, выносимые на защиту

1. Аналитическое решение линейной задача о трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды в двухслойной жидкости.

2. Коэффициенты возбуждения возникающих вблизи уступа мод в нестратифицированном и двухслойном потоке.

3. Эффект прохождения поверхностной и внутренней волны через уступ без изменения амплитуды при определённых условиях, но с образованием отражённой волны.

4. Формулы изменения характерной ширины огибающей квазимонохроматического пакета поверхностных и внутренних волн.

5. Аппроксимационные формулы коэффициентов трансформации поверхностных и внутренних волн над донным уступом.

6. Вертикальная структура течения в поле солитона внутренних волн с учётом вязкости.

7. Динамика жидких частиц на различных горизонтах, вызванная прохождением уединённой внутренней волны.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обоснована выбором апробированных физических моделей, математической корректностью постановок задач, строгим использованием аналитических и численных методов, обсуждением на научных семинарах и конференциях.

Практическая значимость результатов работы

Полученные в рамках строго сформулированной задачи о трансформации поверхностных и внутренних волн коэффициенты отражения и прохождения могут применяться для прогнозирования амплитуд и длин волн, прошедших на шельф и в обратном направлении. Предложенные простые аппроксимационные формулы коэффициентов отражения и прохождения могут быть использованы для тех же целей в прикладной океанологии, а также для более удобного анализа основных особенностей коэффициентов трансформации в зависимости от различных параметров среды. Важным практическим приложением результатов, полученных при исследовании уединённой волны в нелинейной среде с трением, является оценка скоростей в придонных, приповерхностных зонах, а также в пикноклине для расчёта транспорта донных наносов, взвесей/загрязнений и примесей.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлены на конференциях: XVIII - XX Международные научно-технические конференции «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2012 - 2014), ХШ Международная молодёжная научно-техническая конференция «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2014), ХХП, XIV Международные научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ» (Нижний Новгород, 2012, 2014), Научная школа «Non-Homogeneous Fluids and Flows» (Прага, 2012), XII Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (Архангельск, 2013), IX научный конгресс по Балтийскому морю «IX Baltic Sea Science Congress» (Клайпеда, 2013), XVIII Нижегородская сессия молодых учёных «Естественные, математические науки» (Нижний Новгород, 2013), 19th Australian Fluid Mechanics Conference (Мельбурн, 2014), European Geophysics Unity (Вена, 2015).

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Нижегородском государственном техническом университете им. P.E. Алексеева (Нижний Новгород, Россия), в Университете Южного Квинсленда (Тувумба, Австралия), в Университете Квинсленда (Брисбэн, Австралия).

Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:

• Государственный контракт № 14.В37.21.0881 Мероприятие 1.5 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами под руководством приглашённых исследователей по научному направлению «Науки о Земле» в области «Океанология»;

• Задание № 5.30.2014/К на выполнение научно-исследовательской работы в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (тема: Нелинейные внутренние волны в океане: теория и моделирование).

Диссертант является лауреатом стипендии «Президента Российской Федерации для обучения за рубежом студентов и аспирантов в 2013/2014 учебном году», стипендии имени академика Г.А. Разуваева в 2012-2014 гг. Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, куда входят 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 1 статья в рецензируемом журнале, 1 статья в трудах международной конференции и тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях.

В совместных работах научному руководителю проф. A.A. Куркину и проф. Ю.А. Степанянцу принадлежат постановки задач и выбор методов исследований. Во всех работах автор диссертации выполнял большинство численных и аналитических расчётов самостоятельно, а также принимал непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. В численных расчётах, данные которых представлены в [С 1] и в [СЗ, С5], принимали участие м.н.с. А.Р. Гиниятуллин и магистрант E.H. Чураев. Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации - 137 страниц, включая 63 рисунка и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность работы, сформулированы её цели, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту, практическая значимость результатов работы, апробация, список публикаций по теме диссертации.

Глава 1 посвящена изучению трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом в однородной жидкости.

В §1.2 представлены строгая формулировка и решение задачи о трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом.

Предполагается, что гармоническая волна бесконечно малой амплитуды А; и произвольной длины (Я,- = 2л/к,) набегает на непроницаемую подводную ступеньку с вертикальной лицевой стенкой. В результате образуются отражённое в и прошедшее на уступ в П2 возмущения (рис. 1). Жидкость принимается однородной, невязкой и несжимаемой, течение - потенциальным, давление над жидкостью постоянно, а расчётная область не ограничена слева и справа.

А 1с А „ -к- М

Ф)

);;//>///////////' Рис. 1. Схема расчётной области и процесса трансформации поверхностных гравитационных волн над донным уступом.

Задача может быть решена путём сшивки полного набора мод на границе уступа, включающих распространяющиеся и нераспространяющиеся (прижатые к уступу и спадающие с расстоянием от него) волны [Miles, 1967; Newman, 1965а; Takano, 1967]. В результате для получения Rn = Am!Ai -коэффициентов отражения и Г„=ЛтМ/ - коэффициентов прохождения необходимо решить следующую систему уравнений:

®2 = -g&n ЗЛ = ~SXn tg^A» (!)

h,2 V.

и=о 0„ —о Xn °a

n=0 n=0

¿7Г*».». "¿ТГ^.о.

n=0 Un "=-0 уСп "О

-g(cos в)ц - ctg sin fffc,)

HR»Jz.e. +ST»Kz.z. -Jz.<h'

n=0 n=0

\#-]?)*тхЬг

J x*"

Го, впФвт,

. x*e,

(2)

(3)

(4)

[о, Х,*Хш.

у п л.. ^ - ,

где п = О..оо - порядковый номер моды из наборов решений трансцендентных

уравнений (1) для фиксированной частоты со: вп 6 {в0 = iki, д\ = kiU вг = ка,...} и /„6 {xo = ik„Xi=k,bX2 = kt2,...}, ki и к, - волновые числа падающей и прошедшей волн, т = 0..<х> -порядковый номер уравнения. В приближении длинных волн (кц h«1) прижатыми модами можно пренебречь, тогда полученные системы (2) - (3) переходят в формулы Лэмба [Лэмб, 1947]:

1 + с2/с, 1 + с2/с,

где ct=Jgh^ и с2 = sfglh - скорости распространения длинных волн в областях Г2, и П.2 соответственно.

При рассмотрении систем (2) - (3) нужно учесть несколько особенностей. Во-первых, поскольку эти системы содержат бесконечное число уравнений, то их точное решение найти нельзя. Однако коэффициенты трансформации R0 и Т0 можно вычислить при ограниченном числе прижатых мод N, предполагая, что коэффициенты возбуждения нераспространяющихся мод Rn и Тп (п = 1 ... со) уменьшаются с ростом номера моды. Такое решение даже при большом числе N будет являться лишь приближённым. Во-вторых, метод сшивки решений линейной задачи на границе уступа [Takano, 1967] явно не предполагает отдельного рассмотрения процессов, происходящих в сингулярной точке ступеньки. Чтобы развеять сомнения, связанные с влиянием перечисленных особенностей на искомые коэффициенты отражения и прохождения, было выполнено численное моделирование процесса трансформации поверхностных волн над донным уступом с использованием модели MITgcm (Massachusetts Institute of Technology general circulation model) [Marshall et al., 1997], в которой, естественно, эти особенности исключаются. Описание численной модели и численных экспериментов представлены в §1.3, а результаты в сравнении с решением строгой задачи - в §1.4.

Сравнительные графики коэффициентов трансформации, вычисленных с помощью систем (2) - (3) при N = 500 и полученных в численной модели, представлены на рис. 2, где K = kjhi - волновое число падающей и отражённой волн, q = k,hi - волновое число прошедшей волны. Как и ожидалось, на всех графиках рис. 2 наблюдается очень хорошее согласие коэффициентов отражения и прохождения, полученных методом прямого численного моделирования и на основе решения систем уравнений (2) - (3). Это подтверждает незначительность влияния приведённых выше особенностей на решение строгой аналитической задачи при учёте N = 500 прижатых мод.

На основе эталонного решения систем (2) - (3) при N = 500, показано, что коэффициент прохождения |Го| определяется с ошибкой в 1% при N = 50, а коэффициент отражения |Я0| - при N = 150.

Из рис. 2 видно, что безотносительно к значению волнового числа падающей волны коэффициенты трансформации изменяются в следующих пределах: 0<|/?0|<1. 0 < |70| < 2. Верхние граничные значения достигаются либо в пределе длинных волн и h2/hi —* -юо, либо для произвольного волнового числа и hz/h\ —>+0. При достаточно больших значениях к= {5, 10} на рис.2 наблюдается случай, когда коэффициент отражения ¡/?0| стремится к нулю, а

прохождения |7*0| - к единице. Это связано с тем, что для соответствующих глубин возмущения могут рассматриваться в пределе волн на глубокой воде.

Рис. 2 Графики зависимости (а) волнового числа прошедшей волны q/к и (б) коэффициентов трансформации поверхностных волн |/?о| и \То\ от соотношения глубин h2/hi, вычисленные на основе строгого подхода (сплошные линии) и в численной модели (символы «У »и «•»).

Интересной особенностью графиков рис. 2 является обращение коэффициента прохождения |Г0| в единицу, при этом генерируется отражённая волна |/?0| ф 0. Это соответствует случаю, когда исходное возмущение проходит через уступ без изменения амплитуды. Из закона сохранения потока энергии коэффициент отражения для этого случая вычисляется по формуле:

= при|7у=1иув2*У„. (7)

Соответствующие графики представлены на рис. 3.

Рис. 3 Зависимость (а) волнового числа исходной волны к и (б) коэффициента отражения |/?0| от перепада глубин /г2/Л/ при |Г0| = 1 для поверхностных волн.

Как видно из рис. 3, этот эффект наблюдается только при умеренных и малых длинах волн падающей волны к > 0.678. При этом для нижнего граничного значения он характерен на луче Й2/А1 > Ю1 (рис. За). На лучах /г2/Й1 <10"' и /г2//г) > 101 коэффициент отражения, при котором |Г0| = 1, выходит на константы численно равные 0.21 и 0.175 соответственно (рис. 36).

Из систем (2) - (3) также можно определить коэффициенты возбуждения нераспространяющихся мод Я„ и Тп (п = 1..со). Графики случая к= 1, когда они максимальны, представлены на рис. 4 в сравнении с коэффициентами трансформации /?0 и Т0. Видно, что коэффициенты возбуждения прижатых мод в данном случае не превышают 30%.

Рис. 4 Коэффициенты трансформации |/?о|, |7П0| (левая шкала и зелёные графики) и возбуждения прижатых мод |/?„|, |ГЧ| (правая шкала и графики серых оттенков, где и |Г/| - чёрные, ... |/?б| |7б| - светло-серые) поверхностных волн.

На основе закона сохранения энергии и потока энергии получена формула коэффициента изменения характерной ширины огибающей квазимонохроматического волнового пакета поверхностных волн:

М2

(8)

где О, и Д - характерная ширина падающего и прошедшего волновых пакетов соответственно. Результаты численных расчётов продемонстрировали хорошее согласие с формулой (8).

В §1.5 рассматриваются аппроксимационные формулы коэффициентов отражения и прохождения линейных поверхностных волн. Приближенные формулы коэффициентов трансформации получены из формул Лэмба (6) путём подстановки в выражение для коэффициента отражения фазовой, а в выражение для коэффициента прохождения - групповой скорости:

V», 1+а

2к,

к.+к-

V 1+а

+ к^ъсЬ1 к,^ ШЛД + к^сЪ2 к,\ '

В длинноволновом приближении формулы (9) переходят в формулы Лэмба (6). Соответствующие графики коэффициентов трансформации совместно с результатами численных расчётов представлены на рис. 5. Как видно, полученные формулы хорошо аппроксимируют результаты численных расчётов. Они повторяют такие особенности коэффициентов трансформации, как экстремумы и асимптотическое поведение для больших перепадов глубин /г2/Й1- В результате сравнения с решениями строгой задачи было выяснено, что полученные аппроксимационные формулы позволяют оценить коэффициент прохождения с погрешностью в 5.5%.

к= 0.1 к = 1

к= 10

Рис. 5 Графики коэффициентов трансформации, вычисленных по аппроксимационным формулам (9) (сплошные линии) и полученные с помощью численной модели (символы «•» и «У »).

В заключение (§1.6) приведены полученные в главе 1 результаты.

Глава 2 посвящена изучению трансформации линейных внутренних волн над донным уступом в двухслойной жидкости (рис. 6).

Рис. 6 Схема расчётной области и процесса трансформации внутренних гравитационных волн над донным уступом.

В §2.2 представлена строгая формулировка и решение задачи о трансформации линейных внутренних волн над донным уступом в двухслойной жидкости с твёрдой крышкой на поверхности. Процесс трансформации такой же, как в случае поверхностных волн. Верхний и нижний слои плотности р0 < р\ соответственно принимаются однородными, невязкими и несжимаемыми, течение в них — потенциальным, а расчётная область не ограничена слева и справа (рис. 6).

Путём сшивки полного набора мод на границе уступа, получена следующая система уравнений относительно коэффициентов отражения и прохождения внутренних волн:

] Ох ~

р,

Ро^Л + А^ёЗЛ Ро <Я8ХЛ + Р&%ХА

Я.О С„ .=»/, Оо

Х'^».»., + Х^л^о.г. =

д=0 и=0

=~1ГК<Ц>Ш>

я=0 "я д=0 Лп °0

я=0

А,<А2:

(10) (11)

(12)

(вг-^утв^тхК

(13)

вк

2 ^ е/г,

х=в\

к,

в.в.

К,

О.0Я*0Я,

о, Х„*Х„,

2 I хА ) 2 к хА )

(14)

где п = 0..оо - порядковый номер моды из наборов решений трансцендентных уравнений (10) для фиксированной частоты со: д„ е {¿>0 = ¿Л„ в\ = кл, 02 = Лг,2,...} и Хп^ 1Х0 = 1к„Х1 = к,пХ2 = ка, ■■■}■ При получении систем (11) - (12) было использовано свойство ортогональности функций вертикальной структуры потенциалов течений, возникающих вблизи уступа:

fS^iilM, Of^zs*. [C0SZ(;4). OjrOSzS*.

у (z)~. sinЫ у Ы = . (15)

Sin A, sin*.*,

Доказательство ортогональности приведено в приложении к диссертации.

В приближении длинных волн системы (11) - (12) переходят в формулы, представленные в работе [Grimshaw et al., 2008], а в случае малой плотности верхней жидкости р0 —► 0 - в системы (2) - (3).

Чтобы проверить степень влияния ограниченного количества учитываемых мод на решение систем (11) - (12), а также отсутствия явного учёта процессов, происходящих в сингулярной точке ступеньки, было выполнено численное моделирование трансформации внутренних волн над донным уступом с использованием модели MITgcm для буссинесковского приближения а =ро/р\ = 0.9961. Описание численной модели и начальных условий представлены в §2.3, а результаты в сравнении с решением строгой задачи - в §2.4.

Сравнительные графики коэффициентов трансформации, вычисленных с помощью систем (11) - (12) при N = 500 и в численной модели с твёрдой верхней границей для а = 0.9961 и трёх положений границы раздела жидкостей h<Jh\ = {0.1,1,10], представлены на рис. 7. Как видно, результаты численного моделирования хорошо согласуются с решениями строгой задачи, что подтверждает незначительность влияния перечисленных выше особенностей на решение при N = 500. На основе численных расчётов также выявлено, что влияние свободной верхней границы на процесс трансформации внутренних волн в двухслойной жидкости можно не учитывать в буссинесковском приближении.

Анализируя решение систем (11) - (12) относительно эталонного решения при N= 500, выяснено, что коэффициент прохождения |Г0| вычисляется с ошибкой в 1% при N=150 нераспространяющихся модах, а коэффициент отражения |/?о| - при N = 400.

В целом коэффициенты отражения и прохождения имеют те же особенности, что и в случае с поверхностными волнами, однако чем ближе граница раздела жидкости располагается к твёрдой крышке, тем менее интенсивно происходит процесс трансформации. Особенно это заметно при ho/hi = 0.1 для длинных волн и волн умеренной длины. Анализ решения систем (11) - (12) коэффициентов трансформации при различных соотношениях плотностей показал, что заметные отклонения от результатов численных расчётов наблюдаются только при а < 0.6, когда приближение Буссинеска перестаёт действовать. Особенно сильно они проявляются для случая, когда граница раздела жидкостей располагается ближе к твёрдой крышке (ho/hi = 0.1). В случае соотношения плотностей «воздух - вода» а = 0.0012, решение систем (11) - (12) практически не зависит от положений границы раздела жидкостей и хорошо согласуется с результатами численных расчётов, представленных в главе 1 (рис. 2).

"Л

Рис. 7 Графики зависимости коэффициентов трансформации внутренних волн от соотношения глубин /г2//г/, вычисленные на основе строгого подхода (сплошные линии) и в численной модели (символы «V », «*») при а = 0.9961.

При трансформации внутренних волн также наблюдается эффект прохождения падающего возмущения через уступ без изменения амплитуды, при котором |Г0| = 1, |До| и д/кф 1. Коэффициент отражения в этом случае определяется по формуле (7). Соответствующие графики - на рис. 8.

Л0/Л, = 0.1. Системы (11Н12)|;

= Системы (11Н12) Л//), . 10, Системы (11Н12)

' ' ' ■ 1 ■ ! ■ ■ Ч " ....... — Формула (7) |

1— ■4-

4----- -ь

МК

Рис. 8 Зависимость (а) волнового числа исходной волны к и (б) коэффициента отражения |/?0| от перепада глубин йз/Л/ при \То\ = 1 для внутренних волн.

Как видно из рис. 8, этот эффект свойственен для любого положения границы раздела жидкостей Выход коэффициента отражения на

константы для рассматриваемого диапазона волновых чисел падающей волны к имеет место только при /г^ = {1,10}.

В случае трансформации пакетов линейных внутренних волн изменение характерной ширины огибающей определяется так же, как и для поверхностных волн, по формуле (8). Результаты численных расчётов продемонстрировали хорошее согласие с этой формулой.

При решении системы (11) - (12) также были получены коэффициенты возбуждения нераспространяющихся мод /?„ и Тп (и = 1 ..да). Случай Л0/Л1 = 1 и к= 1, при котором они принимают максимальные значения, продемонстрирован на рис. 9 совместно с коэффициентами трансформации /?0 и Т0. Для внутренних гравитационных волн амплитуды прижатых мод, возникающих вблизи уступа, не превышают 15% амплитуды падающей волны.

Сг 0.5

Рис. 9 Коэффициенты трансформации |/?о|, \То\ (левая шкала и зелёные графики) и возбуждения прижатых мод |/?„|, \Тп\ (правая шкала и графики серых оттенков, где |/?/| и |Г;| - чёрные, ... |/?б| \Т6\ - светло-серые) внутренних

волн при а = 0.9961.

В §2.5 представлены и верифицированы два вида аппроксимационных формул коэффициентов трансформации. Первые из них получены тем же способом, что и для поверхностных волн - путём подстановки фазовых и групповых скоростей внутренних волн в формулы Лэмба (6). В результате были выведены следующие выражения:

1-йг - 2

1+е/

Т =-

1 П —

1+а

К Р(к,к,,1,к,Н0Л)-Р[к,к2,Е(кХ),к\,Е{к,Иг)]

к,' ' О^ЛЛ^ О^Е^Л^Е^)]'

(16)

у, £) = а0&а+ (01 у, Е(а) = \ + а(сО\а-Ша),

которые при а —* 0 преобразуются к аппроксимационным формулам коэффициентов трансформации поверхностных волн (9). Графики выражений (16) хорошо согласуются с результатами численных расчётов. При этом

коэффициент прохождения оценивается с максимальной погрешностью 10%. Другой вид приближённых формул был получен путём решения систем (11) -(12) без учёта нераспространяющихся мод (формулы в приближении Майлса). Предложенные выражения хорошо аппроксимируют коэффициент прохождения, оценивая его с той же максимальной ошибкой в 10%.

С точки зрения удобства формулы (16) являются оптимальными, поскольку описывают коэффициенты трансформации более компактными выражениями, чем формулы в приближении Майлса. К тому же они лучше оценивают коэффициент отражения.

В заключение (§2.6) приведены результаты исследований главы 2.

Результаты, полученные в главах 1 и 2, могут быть использованы для прогнозирования характеристик поверхностных и внутренних волн при прохождении над резкими донными неоднородностями в линейном приближении, когда крутизна возмущений до уступа и на нём является малой величиной: 2А;/Я, «1. При учёте слабой нелинейности, предложенные формулы позволяют предсказывать амплитуды волн непосредственно вблизи уступа, поскольку вдали от него нелинейные эффекты, накапливаясь, меняют форму возмущений. По аналогии с работой [СтптвЬаху й а1., 2008], где представлены результаты исследований трансформации солитонов уравнения Кортевега - де Вриза, приведённые в главах 1 и 2 формулы коэффициентов трансформации и изменения огибающей волновых пакетов могут быть использованы для исследования характеристик слабо нелинейных волн произвольной длины, например, солитонов огибающей в рамках нелинейного уравнения Шрёдингера.

Вдали от уступа волны становятся нелинейными. В главе 3 представлены результаты исследований характеристик сильно нелинейных уединённых внутренних волн (солитонов) в рамках уравнений Навье-Стокса. Их генерация производилась методом гравитационного коллапса, позволяющего быстро получить волну заданной формы. Численное решение уравнений Навье-Стокса производилось с помощью комплекса МП^ст. Тестирование задачи выполнялось на данных лабораторного эксперимента [Сагг, Вау1ев, 2006; Сагг е1; а1., 2008; ТЫеш й а1., 2011]. Эти данные приводятся в §3.2.

Анализ полей течений в уединённой волне представлен в §3.3. На рис. Юл изображены поле плотности р, а также вертикальный профиль плотности до и после прохождения уединённой волны (рис. 106). Поле горизонтальной скорости при прохождении внутренней волны изображено на рис. 10е. Как и следовало ожидать, под впадиной скорость отрицательна, а над ней положительна. Чёрными кривыми на рис. 10е обозначены изолинии и = 0. Особо необходимо отметить наличие изолинии нулевой скорости в придонном слое за уединённой волной, под которой горизонтальная скорость принимает положительный знак. В этом слое, называемом «реверсивный поток», частицы жидкости двигаются в том же направлении, что и солитон, в отличие от основного поля скорости уединённой волны под пикноклином, где жидкость движется в обратном направлении. 16

Рис. 10. (а) Возмущение поля плотности, (б) вертикальный профиль плотности до и после прохождения солитона, (в) поле горизонтальной скорости.

Сравнительные графики придонной вертикальной и горизонтальной скорости приведены на рис. 11 для различных координат придонных точек в лабораторном эксперименте (символы) и в численных моделях MITgcm и ВОМ (Bergen Ocean Model) (линии). Результаты численного моделирования с помощью модели ВОМ взяты из работы [Thiem et al., 2011].

MITgcm BOM

t t Рис. 11. (а) Горизонтальная и (б) вертикальная скорости в придонной точке, измеренные в лабораторном эксперименте (символы) и в численных моделях

MITgcm и ВОМ (линии).

Поле горизонтальной скорости (рис. 11а) лучше описывается моделью MITgcm, чем моделью ВОМ, особенно в хвостовой части солитона. Здесь следует выделить реверсивный поток, о котором уже говорилось выше, образующийся в придонном слое и следующий непосредственно за основным полем скорости течений солитоноподобной волны. В целом можно выделить

четыре состояния придонного слоя (рис. 1 la): 1 - невозмущённое состояние, 2 - прохождение солитона, 3 - реверсивный поток (движение жидких частиц направлено в противоположную сторону скоростного поля состояния 2), 4 -релаксация (рис. 1 la, MITgcm).

Вертикальные скорости хорошо согласуются с лабораторными измерениями в обеих численных моделях. Но стоит отметить, что в модели ВОМ присутствует хорошо выраженная точка перегиба в момент смены знака вертикальной придонной скорости, в то время как в MITgcm и в лабораторном эксперименте она отсутствует (рис. 116). Это различие объясняется тем, что в ВОМ солитон получился шире, чем в MITgcm и в лабораторной среде.

Эволюция толщины реверсивного потока, измеренной в лабораторном эксперименте и наблюдаемой в численной модели MITgcm, представлена на рис. 12. Как видно, ход обеих кривых примерно одинаков, однако есть небольшое запаздывание в численной модели. Если сопоставить кривые толщины реверсивного потока, исключив временную задержку, то максимальная разница глубин в численном и лабораторном экспериментах не будет превышать 30%.

0.4 0.3 N 0.2 0.1 0.0

Эксперимент MITgcm_

100

110

Рис. 12. Толщина реверсивного потока в лабораторном эксперименте (символ «У ») и в численной модели MITgcm (символ «*»).

В §3.4 представлены результаты сравнения параметров уединённых волн в нелинейной модели с параметрами солитона уравнения Гарднера для заданной в экспериментах стратифицированной среды. В слабо нелинейном уравнении Гарднера зависимость ширины солитона от его амплитуды определяется по формуле:

2 (\ \ со =—arcch —+ 2 ,

у Is J

' v ,__(17)

f-л ¿О г, а\ . \аа(ъ ¿О А=а\ 2 +а— , B = a-L +1, У =. - 2 + Й— ,

V се) а а)

где а - амплитуда солитона (изменяется от нуля до предельного значения ант = -« /а = -0.81), а, а\ и fi - коэффициенты квадратичной, кубической нелинейности и дисперсии соответственно. В нелинейной численной модели ширина и амплитуда уединённой волны варьировались путём изменения координаты положения ворот Lg и глубины залегания пикноклина слева от ворот. Соответствующие графики изображены на рис. 13.

Рис. 13. Зависимость ширины уединённых волн от амплитуды для уравнения Гарднера (17) (сплошная кривая) и в численной модели MITgcm (символы).

В нелинейной численной модели предельная амплитуда уединённой волны превышает предельную амплитуду в уравнении Гарднера (аПт). Ширина солитонов в нелинейной модели также оказывается больше, чем в модели Гарднера, если амплитуда солитона не превышает предельного значения. Отметим, что аналогичная разница экспериментальных данных и оценок слабо нелинейной модели отмечалась в работе [Michallet, Barthélémy, 1998]

В §3.5 представлены результаты исследований динамики жидких частиц в поле скорости уединённой волны. Для этого в численной модели на каждом временном шаге решалось обыкновенное дифференциальное уравнение относительно радиус-вектора положения лагранжевой частицы по известному полю скорости. В начальный момент времени частицы располагались вблизи свободной поверхности, в пикноклине и около дна. На рис. 15 представлены рассчитанные в рамках численной модели MITgcm траектории лагранжевых частиц для уединённой волны, поле скорости которой исследовалось в §3.3.

Рис. 14. Траектории жидких частиц, в начальный момент времени расположенных (а) около поверхности, (б) в пикноклине и (в) около дна.

Наибольшее смещение частиц жидкости в горизонтальном направлении наблюдается у поверхности (рис. 15а). При этом частицы жидкости

перемещаются в сторону движения солитона на расстояние, в два с половиной раза превышающее ширину движущейся уединённой волны. Направление перемещения лагранжевых частиц на пикноклине (в начальный момент времени располагающихся на линии невозмущённой плотности) также совпадает с направлением движения солитона, однако траектории имеют петлеобразную структуру (рис. 156). Отметим, что величина вертикального перемещения частиц в этом случае уменьшается по мере того, как солитон продвигается ближе к правой границе. Это связано с диссипацией поля скорости уединённой волны в связи с наличием вязких эффектов. В придонном слое (рис. 15в) частицы жидкости двигаются уже в обратном направлении (в полном соответствии с направлением горизонтальной скорости). Однако под воздействием реверсивного потока траектории частиц перенаправляются в положительную сторону оси х. При этом величина перемещения в обратном направлении не превышает полуширины солитона.

В заключение (§3.6) приведены результаты главы 3.

Результаты, представленные в §33, могут быть добавлены в набор стандартных тестов программного комплекса MITgcm, выступающего в качестве средства моделирования сильно нелинейных внутренних волн в неидеальной жидкости. С другой стороны, исследования характеристик и поля скорости солитонов расширяют понимание о гидродинамических процессах в сильно нелинейной уединённой волне, которые следует ожидать при изучении динамики таких волн в неоднородных средах, например, с сингулярностью в виде уступов и т.д. Также они служат базисом для дальнейшего изучения параметров сильно нелинейных внутренних волн при различной начальной стратификации расчётной области. Результаты исследования траекторий жидких частиц могут быть использованы для прогнозирования динамики пассивных трассёров, как зоо- и фитопланктон, а также растворённого и взвешенного материала в поле сильно нелинейных внутренних волн.

В Заключении диссертационной работы перечислены основные результаты исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

модах соответственно. Показано, что амплитуды прижатых мод могут достигать 15% от амплитуды падающей волны.

5. Выполнено численное моделирование генерации уединённой внутренней волны отрицательной полярности в рамках уравнений Навье -Стокса методом гравитационного коллапса. Расчётные значения предельных амплитуд солитонов оказались большими аналогичных значений в рамках слабо нелинейной модели Гарднера. Величина реверсивного потока в придонном слое за солитоном в нелинейной модели качественно согласуется с наблюдениями в лабораторном эксперименте.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лэмб Г. Гидродинамика / под ред. H.A. Слезкина. Москва, СССР: ОГИЗ, Государственное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1947. Вып. 6.

2. Carr М., Davies P.A. The motion of an internal solitary wave of depression over a fixed bottom boundary in a shallow, two-layer fluid // Phys. Fluids. 2006. V. 18. № l.P. 1-10.

3. Carr M., Davies P.A., Shivaram P. Experimental evidence of internal solitary wave-induced global instability in shallow water benthic boundary layers // Phys. Fluids. 2008. V. 20. № 6. P. 1-12.

4. Grimshaw R„ Pelinovsky E.N., Talipova T.G. Fission of a weakly nonlinear interfacial solitary wave at a step // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2008. V. 102. № 2. P. 179-194.

5. Marshall J.S. et al. Hydrostatic, quasi-hydrostatic, and nonhydrostatic ocean modeling / Marshall, J.S., Hill, C., Perelman, L., Adcroft, A.J. // J. Geophys. Res. 1997. V. 102. № C3. P. 5733-5752.

6. Michallet H., Barthélémy E. Experimental study of interfacial solitary waves // J. Fluid Mech. 1998. V. 366. P. 159-177.

7. Miles J.W. Surface-wave scattering matrix for a shelf // J. Fluid Mech. 1967. V. 28. № 4. P. 755-767.

8. Newman J.N. Propagation of water waves over an infinite step // J. Fluid Mech. 1965a. V. 23. № 02. P. 399-415.

9. Newman J.N. Propagation of water waves past long two-dimensional obstacles // J. Fluid Mech. 1965b. V. 23. № 1. P. 23-29.

10. Takano K. Effet d'un changement brusque de profondeur sur une houle irrotationelle // La mer. 1967. V. 5. № 2. P. 100-116.

11. Thiem 0. et al. Numerical simulation of internal solitary wave—induced reverse flow and associated vortices in a shallow, two-layer fluid benthic boundary layer / Thiem, 0., Carr, M., Berntsen, J., Davies, P.A. // Ocean Dyn. 2011. V. 61. № 6. P. 857-872.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК: CI. Giniyatullin A.R., KurkinA.A., SeminS.V., Stepanyants Yu.A. Transformation of narrowband wavetrains of surface gravity waves passing over a bottom step // Mathematical Modeling of Natural Phenomena, - 2014, -v.9,-№5,-p. 32-41. C2. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А. Трансформация поверхностных волн над донным уступом // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, - 2015, - т.51, - №2, с. 242 - 252. СЗ. Churaev E.N., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Transformation of internal waves passing over a bottom step // Journal of Fluid Mechanics, - 2015, -v.768.

Статьи в других рецензируемых журналах: С4. Терлецкая Е„ Семин С.В., Степанянц Ю.А., Бровченко И., Мадерич В. Моделирование трансформации волновых пакетов поверхностных волн в водоёме с резким изменением глубины // Прикладная гщромехашка, -2015, - т. 19,-№1, с. 3-10.

Статьи в трудах международных и всероссийских конференций: С5. Churaev E.N., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Transformation of internal waves at a bottom ledge // 19th Australian Fluid Mechanics Conference, Melbourne, 8-11 December 2014, - Melbourne: RM3T University, - 2014, -AFMC2014-116.

Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях: Сб. Семин С.В., Куркина О.Е., Куркин А.А. Численное моделирование полнонелинейных уединённых внутренних волн в стратифицированной жидкости: сравнение с лабораторным экспериментом // XVIII международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2012» (Нижний Новгород, 2012): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - 2012. -с. 364 - 365.

С7. Крюков И.А., Куркин A.A., Куркина O.E., Гиниятуллин А.Р., Семин C.B. Сравнительный анализ эффективности геофизических расчётов с использованием аппаратных вычислительных средств различных классов на примере трёхмерного моделирования внутренних гравитационных волн в жидкой среде // XXII Международная научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ 2012» (Нижний Новгород, 2012): сборник материалов. -Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2012. - с. 42 - 43.

С8. Semin S.V., Kurkin O.E., Kurkin A.A. Internal solitary waves: adjustment and verification of the fully nonlinear model using the laboratory experimental data // Non-homogeneous Fluids and Hows (Prague, 2012): workshop abstracts. -Prague: Charles University. - 2012. - p. 22 - 23.

C9. Семин C.B., Куркин O.E., Куркин A.A. Анализ полей течений, индуцированных уединённой внутренней волной: сравнение результатов численного и лабораторного экспериментов // XIX всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-19 (Архангельск, 2013): материалы конференции. - Архангельск: СФУ им. М. В. Ломоносова. - 2013. - с. 420 - 421.

СЮ. Семин C.B., Куркина O.E., Куркин A.A. Генерация солитона в гидрологическом лотке: сравнение результатов лабораторного и численного экспериментов // XIX международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2013» (2013, Нижний Новгород): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. -2013.-е. 408.

СИ. Гиниятуллин А.Р., Куркин A.A., Панфилова Ю.А., Семин C.B., Степанянц Ю.А. Математическое моделирование процесса трансформации поверхностных волн на уступе дна // XIX международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2013» (Нижний Новгород, 2013): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2013. -с. 396.

С12. Giniyatullin A.R., Kurkin A.A., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Surface wave transformation at the coastal zone with a sharp bottom jump // IX Baltic Sea Science Congress (Klaipeda, 2013): abstract book. - Klaipeda: Klaipeda University.-2013.-p. 178.

C13. Чураев E.H., Семин C.B., Куркина O.E., Куркин A.A. Исследование процесса генерации уединённых внутренних волн с помощью численной модели примитивных уравнений гидродинамики // XVIII Нижегородская сессия молодых учёных «Естественные, математические науки» (Нижний Новгород, 2013): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2013. - с. 272 - 273.

С14. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Чураев E.H. Трансформация линейных внутренних волн над шельфовым уступом // ХШ Международная молодёжная научно - техническая конференция «Будущее технической науки БТН-2014» (Нижний Новгород, 2014):

сборник материалов. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. -2014.-с. 480-481.

С15. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Чураев E.H. Численное моделирование трансформации внутренних гравитационных волн над континентальным уступом // XXTV Международная научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ 2014» (Нижний Новгород, 2014): сборник материалов. -Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2014. - с. 165 - 167.

С16. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Чураев E.H. Исследование процесса трансформации квазимонохроматических внутренних гравитационных волн над донным уступом // XX международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2014» (Нижний Новгород, 2014): материалы конференции. -Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2014. - с. 371.

С17. Semin S.V., Kurkin А.А, Pelinovsky E.N., ChuraevE.N. Current structure of strongly nonlinear interfacial solitary waves // European Geophysical Research General Assembly (Vienna, 2015): Geophysical Research Abstracts. - v. 17, EGU2015-5108.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Трансформация поверхностных гравитационных воли малой амплитуды над донным уступом в однородной жидкости §1.1 Введение

§ 1.2 Строгая постановка задачи о трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом и её приближённое решение

§ 1.3 Численное моделирование процесса трансформации поверхностных волн малой амплитуды

§ 1.4 Анализ решения строгой задачи о трансформации поверхностных волн и сопоставление с результатами численных расчётов

§ 1.5 Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом § 1.6 Заключение

Глава 2. Трансформация внутренних гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом в двухслойной жидкости

§ 2.1 Введение

§ 2.2 Строгая постановка задачи о трансформации линейных внутренних волн над донным уступом и её приближённое решение

§ 2.3 Численное моделирование процесса трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды

§ 2.4 Анализ решения строгой задачи о трансформации внутренних волн и сопоставление с результатами численных расчётов

§ 2.5 Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных внутренних волн над донным уступом § 2.6 Заключение

Глава 3. Динамика сильно нелинейных уединённых внутренних волн в квазидвухслойной жидкости

§ 3.1 Введение

§ 3.2 Описание лабораторного эксперимента и численной модели § 3.3 Анализ полей течений в уединённой внутренней волне § 3.4 Форма уединённой волны § 3.5 Траектории жидких частиц § 3.6 Заключение

Заключение Список литературы

Приложение. Ортогональность набора функций вертикальной структуры потенциалов распространяющихся и нераспространяющихся внутренних волн в двухслойной жидкости

СЕМИН Сергей Владимирович

ТРАНСФОРМАЦИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ВНУТРЕННИХ ВОЛН НАД ДОННЫМ УСТУПОМ

Автореферат

Подписано в печать 7.03.2015 г. Формат 60x84 '/i6. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 150 экз. Заказ №160.

Отпечатано в типографии НГТУ им. P.E. Алексеева 603950, г.Н.Новгород, ГСП-41, ул.Минина, 24.