Транспортные свойства углеродных наночастиц во внешнем электрическом поле в квазиклассическом приближении тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

005555005

На правах рукописи

/ Р

с:й

J

Судоргин Сергей Александрович

ТРАНСПОРТНЫЕ СВОЙСТВА УГЛЕРОДНЫХ НАНОЧАСТИЦ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ В КВАЗИКЛАССИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

01.04.17 - Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

13 НОЯ 2014

Волгоград-2014

005555005

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет»

Научный руководитель - Лебедев Николай Геннадьевич, доктор физико-

математических наук, профессор.

Официальные оппоненты: Крючков Сергей Викторович, доктор физико-

математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей физики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный социально-педагогический университет»;

Сорокин Павел Борисович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Федеральное государственное бюджетное научное учреждение «Технологический институт сверхтвердых и новых углеродных материалов».

Ведущая организация - Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки «Институт химической физики им. H.H. Семенова РАН».

Защита состоится «19» декабря 2014 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.029.08 при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, г. Волгоград, пр. Упиверситетсыга, 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного университета и на сайте: http://www.volsu.ru.

Автореферат разослан _/ О_ 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.029.08 доктор физико-математических наук

Михайлова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Особый интерес исследователей в последние два десятилетия вызывают углеродные наночастицы, обладающие уникальной структурой и свойствами и находящие практическое применение во многих отраслях науки и техники. Применение наночастиц и соединений на их основе открывает перспективы улучшения существующих и создания принципиально новых материалов с заданными свойствами и контролируемыми характеристиками.

Углеродные нанотрубки (УНТ) являются уникальными квазиодномерными системами, обладающими нанометровым диаметром и существенно большей микронной длиной. Многочисленные эксперименты свидетельствуют об их термический и химической стабильности, высокой теплопроводности, отличных механических и прочностных характеристиках.

В последнее десятилетие физики стали изучать новый углеродный материал - графен, представляющий собой двумерную аллотропную модификацию углерода, образованную слоем атомов углерода толщиной в один атом, находящихся в 8р2-гибридизации и соединенных посредством о- и %-связей в двумерную гексагональную кристаллическую решетку. Большая подвижность электронов в графене и его уникальные транспортные свойства открывают большие перспективы на пути применения этого материала в качестве альтернативы кремнию - базовому материалу современной микроэлектроники. Двухслойный графен обладает важным с точки зрения практических приложений свойством. Прикладывая между слоями графена внешнее напряжение можно создавать в электронном спектре энергетическую щель и тем самым существенно изменять его транспортные характеристики.

Однако остается еще ряд открытых вопросов, связанных с выявлением зависимости транспортных свойств углеродных наночастиц от их геометрических размеров, концентрации и типа примесей, интенсивности внешнего электромагнитного поля.

Целью работы является исследование транспортных характеристик углеродных наночастиц (нанотрубок, графена, графеновых нанолент) во внешнем электрическом поле.

Научная новизна проведенного исследования состоит в том, что в данной работе впервые получены следующие результаты:

1. Использована апробированная в теории сверхрешеток методика расчета транспортных коэффициентов (коэффициента диффузии электронов, удельной электропроводности, коэффициента дифференциальной термоЭДС) углеродных наночастиц различных типов: однослойных углеродных нанотрубок, графена и двухслойных графеновых лент.

2. Получено аналитическое выражение зависимости коэффициента диффузии электронов, удельной электропроводности и коэффициента дифференциальной термоЭДС углеродных наноструктур (нанотрубок, графена, графеновых нанолент) от напряженности внешнего электрического

поля в квазиклассическом приближении.

3. Выявлена нелинейная зависимость транспортных коэффициентов (коэффициента диффузии электронов, удельной электропроводности, коэффициента дифференциальной термоЭДС) углеродных наночастиц от амплитуды внешнего постоянного электрического поля. Показано, что для сильных полей коэффициенты стремятся к насыщению, а с увеличением геометрических размеров (диаметра нанотрубок, ширины нанолент) возрастают.

4. Показано, что увеличение постоянного напряжения между слоями двухслойных графеновых лент приводит к уменьшению коэффициента диффузии электронов. Обнаружено, что дифференциальная термоЭДС углеродных наночастиц немонотонно изменяется при увеличении электростатического потенциала между слоями графена.

5. Изучено влияние адсорбции атомарного водорода на транспортные коэффициенты (коэффициент диффузии электронов, удельную электропроводность, коэффициент дифференциальной термоЭДС) в однослойных углеродных нанотрубках, графене и двухслойных графеновых лентах, находящихся во внешнем постоянном электрическом поле. Обнаружено уменьшение транспортных коэффициентов с ростом концентрации адсорбированных атомов водорода.

Практическая и научная ценность диссертационной работы состоит в том, что в ней изучены качественные и количественные зависимости транспортных характеристик углеродных наночастиц, их поведение под воздействием внешнего электрического поля, интересные как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения практических приложений.

Полученные результаты открывают новые перспективы, направления практического применения и дальнейшего теоретического изучения углеродных наночастиц. Например, могут быть использованы для разработки компонентов элементной базы микроэлектроники на основе однослойного и двухслойного графена и нанотрубок, сверхчувствительных сенсоров для обнаружения отдельных молекул химических веществ, для изготовления электродов в ионисторах, необходимых для создания перезаряжаемых источников тока, а также для конструирования нового типа светодиодов на основе графеновых лент. Сфера применения углеродных наноматериалов огромна - от создания структур с новыми свойствами до разработки устройств современной микро- и наноэлектроники (эмиттеров, диодов, транзисторов, светодиодов, резисторов, элементов памяти, логических схем, преобразователей энергии и др.).

Представленные в диссертации результаты могут быть интересны для широкого круга специалистов, занимающихся изучением транспортных свойств углеродных наночастиц в сильном электрическом поле.

В целом, полученные результаты, научная и практическая значимость диссертации, новизна положений, развитых в диссертации, позволяют

утверждать, что проведенные исследования выполнены для решения задачи химической физики наноматериалов, связанной с изучением поведения углеродных наночастиц различных типов во внешнем электрическом поле.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием современных, хорошо апробированных методов теоретической и математической физики: метода кинетического уравнения Больцмана в рамках квазиклассического приближения времени релаксации, приближения Хюккеля, модели Андерсона и компьютерного моделирования с соблюдением пределов применимости используемых моделей и приближений. Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается также их воспроизводимостью в численном эксперименте, сравнением с литературными данными в ряде предельных случаев, а также наглядной физической интерпретацией и непротиворечивостью выводов исследования основным физическим закономерностям.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методика расчета транспортных характеристик в квазиклассическом приближении адекватно описывает зависимость коэффициента диффузии электронов, удельной электропроводности, коэффициента дифференциальной термоЭДС углеродных наночастиц от их геометрических параметров и величины напряженности внешнего электрического поля.

2. Коэффициент диффузии электронов, удельная электропроводность, коэффициент дифференциальной термоЭДС однослойных углеродных нанотрубок и двухслойных графеновых лент нелинейно зависят от напряженности постоянного электрического поля.

3. Увеличение электростатического потенциала между слоями графена приводит к снижению удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов и немонотонной зависимости коэффициента дифференциальной термоЭДС в идеальных двухслойных графеновых лентах и в двухслойных графеновых лентах с адсорбированными атомами водорода.

4. Увеличение концентрации адсорбированного атомарного водорода приводит к снижению величины удельной электропроводности, коэффициента диффузии электронов и дифференциальной термоЭДС в однослойных и двухслойных углеродных наночастицах.

Соответствие содержания диссертации паспорту специальности. Диссертация Судоргина С.А. соответствует научной специальности 01.04.17 -«Химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества», а именно п. 2 - структура и свойства пленок, адсорбционных слоев, интеркалятов, дефектов; структура и свойства кристаллов, аморфных тел, жидкостей; поведение веществ в экстремальных условиях - в электрических и магнитных полях.

Апробация результатов. Основные результаты докладывались на международных и всероссийских конференциях и симпозиумах: XVI, XVII и

XVIII Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010 г.; Екатеринбург, 2011 г.; Красноярск, 2012 г.); XI и XII Молодежных ппсолах-семинарах по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2010 г., 2011 г.); X, XI, XIII и XIV Международных молодежных конференциях ИБХФ РАН-ВУЗы «Биохимическая физика» (Москва, 2010 г., 2011 г., 2013 г., 2014 г.); XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (Москва, 2011 г.); Всероссийской молодежной конференции «Успехи химической физики» (Черноголовка, 2011 г.); Международной конференции «Advanced Carbon Nanostructures» (Санкт-Петербург, 2011 г.);, 10-й всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Материалы нано-, микро-, оптоэлектроники и волоконной оптики: физические свойства и применение» (Саранск, 2011 г.); V, VI Международных научных конференциях «Актуальные проблемы физики твердого тела» (Минск, 2011 г., 2013 г.); Международной конференции «NanoPT 2014» (Порто, 2014 г.); Международной конференции «Innovative Information Technologies» (Прага, 2014 г.); XXVI Симпозиуме «Современная химическая физика» (Туапсе, 2014 г.), а также на научных конференциях и семинарах ВолГУ.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении НИР, проводящихся в Волгоградском государственном университете в рамках грантов РФФИ (проекты № 08-02-00663 и 13-03-97108 р_поволжье_а), государственного контракта Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 год (проект № НК-16(3)). Авторские научные исследования поддержаны грантом ВолГУ № 82-2013-а/ВолГУ, а также грантом РФФИ № 14-02-31801.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертационного исследования получены лично автором и опубликованы в соавторстве с научньм руководителем и доктором физико-математических наук, профессором Белоненко М.Б. Обсуждение результатов осуществлялось под руководством доктора физико-математических наук, профессора Лебедева Н.Г. и доктора физико-математических наук, профессора Белоненко М.Б. Автор принимал активное участие во всех стадиях выполнения работ — в постановке задачи, получении аналитических и численных результатов, разработке и отладке вычислительных программ для ЭВМ, обработке результатов численных расчетов и написании статей. В совместных опубликованных работах вклад автора в получение результатов исследований является определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 183 наименований цитируемых работ отечественных и зарубежных авторов, содержит 143 страницы основного текста и 50 рисунков.

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 26

научных работах, из них 4 статьи в российских и зарубежных научных журналах, рекомендованных списком ВАК, 1 свидетельство о государственной регистрации программы на ЭВМ, 2 статьи в международных сборниках научных статей, 7 статей в сборниках докладов, 12 тезисов докладов на конференциях.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель, задачи исследования и положения, выносимые на защиту, обоснованы научная и практическая значимость результатов исследования, а также их достоверность, представлены содержание и структура диссертации, определен личный вклад автора и показана апробация основных результатов исследования.

Первая глава «Классификация углеродных наночастиц и их характеристики» содержит литературный обзор, кратко обобщающий сведения о структуре, геометрии, электронных и транспортных свойствах углеродных наночастиц. Основное внимание уделено обзору научных исследований проводящих, элекгротранспортных, термоэлектрических и адсорбционных свойств углеродных наночастиц.

Во второй главе «Проводящие и диффузионные свойства углеродных наночастиц во внешнем электрическом поле» описана методика изучения проводящих и диффузионных свойств углеродных наночастиц (нанотрубок, графеновых лент) во внешнем электрическом поле [1]. Математическая модель углеродных наночастиц строится в квазиклассическом приближении. Закон дисперсии электронов наночастиц используется исходя из квантово-механического рассмотрения их динамики в рамках метода сильной связи, а движение их ансамбля описывается классическим кинетическим уравнением Больцмана для функции распределения. Функция распределения электронов /,(р,г) находится из кинетического уравнения Больцмана. Интеграл столкновений выбирается в виде, используемом в приближении времени релаксации (г-приближении). Кинетическое уравнение Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде [2]:

д/,(Р.г) , р5/Др,г) ^ /Др,г)-/0,(р,г) ^

Зг 5р г

гДе /,(р,г) - функция распределения электронов, зависящая от импульса и координат; /0,(р,г) - равновесная функция распределения Ферми-Дирака; Р = еЕ - электростатическая сила, действующая на электрон с зарядом е, находящийся во внешнем постоянном электрическом поле с напряженностью Е; индекс 5 нумерует квантование компоненты импульса в поперечном сечении наночастицы; г- время релаксации.

Функция распределения электронов /5 (р,г) должна удовлетворять уравнению непрерывности

Ы

Учитывая условие (2), уравнение Больцмана с интегралом столкновений в приближении времени релаксации записывается в операторном виде:

(3)

(4)

где оператор определяется соотношением р Л др т

а V, (р) = 3£,(р)/Эр - групповая скорость электронов в зоне Бриллюэна

углеродной наночастицы.

Решение уравнения (1) должно удовлетворять условию нормировки:

Е/.(р,г) = и(г), (5)

р.*

где «(г)-концентрацияэлектронов.

Плотность тока ]{г) вычисляется по формуле

Яг) = еЕу-(Р)/ДР'г)"

В стационарном случае и при отсутствии источников зарядов решение уравнения (1) примет вид:

|Г/о,(Р»г)" т

(7)

(8)

/ЛР>г)=<

Обратный оператор находится по следующему правилу:

где р(г) - решение уравнения движения ¿ф / ей = Е, с начальным условием Р(0) = 0.

Функцию распределения /,(р,г), используя разложение в ряд по степеням градиента концентрации электронов, можно записать в первом приближении:

/, (р,Р)=/,(0)(р.Г)^(р,Г)=/;о)(Р>г)+ ^ кч^_,,(¥(р)/о)(р>г))|- (9)

Плотность тока с функцией распределения (9) определяется соотношением

/оДР.г)4

Цг) = ^(г) + е^у,(Р)г; \-div

р.*

ей V г

(10)

где f > (г) = e£vs (р)/(0) (р,г) = v, (р)£"

V

p,s p,i

■/оДр>г) I _ плохносхь тока,

I г )

получающаяся из выражения (6), если принять функцию распределения fs=f,(0). Используя соотношения (9)-(10) и . раскладывая закон дисперсии для конкретного типа углеродных наночастиц в ряд Фурье, находим продольную компоненту плотности тока j =jx

Л*) = + £>(£)—• С11)

п

где <у(Е) - удельная электропроводность; D(E) - коэффициент диффузии электронов; Vxn - градиент концентрации электронов.

Для случая однородного распределения температуры T(r) = const в линейном приближении по величине градиента концентрации электронов Vхп из формулы (10) получено выражение для транспортных характеристик углеродных наночастиц: удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов.

В конечном итоге, после несложных преобразований удельная электропроводность углеродных наночастиц задается выражением

л £

а(Е) = U Z Дш^/оЛЛ.*) Е1 2+1 [sin(wA) + Emzos{mpx)]lpx. (12)

s -к m HI

Формула для коэффициента диффузии электронов в углеродных наночастицах имеет вид:

*[EmR(E,m,m',px)+M(E,m,m',px)] +

E4m*-2m2m') + Erri (13) + V -7.-T(E,m,m',px)}dpx +

к J

+11 --F(E,m,m',pJdpx-

i m m' r\JL,m,m )

Здесь обозначено:

K{E,m,m') = [£4 (иг4 + m'4 - 2mV2) + 2E2 (m2 + m'2) +1 ][eW +1]; P(E,m,m') = [E2m2 + lj \E2m'2 +1];

R(m,m',px) = cos(mpx)sin(m'px) + cos(mpx)cos(m'px)-s\n(mpx)sm(m'px); M(m,m',px) = sln(mpx)sin(m'px) + s'm(mpx)cos(m'px) + QOs(mpx)sm(m'px); T{E,m,m',px) = [cos(mpx)cos(m'px) - Emsm(mpx)cos(m'px)]; F(E,m,m',px) = [s'm(m'px) +Emcos(m'px)]* *[sm(mpx) + 2Emcos(mpx)-E2m2sin(mpx)^

где Аш и Am.s - коэффициенты разложения энергии электронов в ряд Фурье.

Для удобства визуализации и качественного анализа используются безразмерные единицы измерения напряженности электрического поля Е0 4.64*106 В/м, удельной электропроводности <т0 = 1.9-103 См/м,

коэффициента диффузии электронов Д> = 3.5 • 10"4 м2/с.

Электронная структура однослойных зигзагообразных УНТ типа (и, 0) описана в рамках анализа динамики только л-электронов в приближении Хюккеля, и закон дисперсии имеет следующий известный вид [3]:

£(р) = ±ул1±4 соБ(арх) соз(—) + 4 сое2 (—), (14)

V пп

где у «2>7 эВ - интеграл перескока электронов между соседними узлами

кристаллической решетки; а =ЗЬ/2к; Ь = 0.142 нм - характерное расстояние

между соседними атомами углерода в графене; р = (р„ я) - квазиимпульс

электронов углеродной нанотрубки; рх - параллельная оси нанотрубки

компонента квазиимпульса; 5 = 1, 2нумерует квантование компоненты

импульса по окружности нанотрубки.

В работе используется разложение периодического закона дисперсии наночастиц в ряд Фурье:

Ш = (15)

где А^ - коэффициенты разложения в ряд Фурье:

+ 4со8(аЛ)соз(Н) + 4со52(^) со . (16)

Проведены численные расчеты транспортных характеристик как функции амплитуды напряженности внешнего электрического поля для четырех типов полупроводниковых УНТ (5,0), (10,0), (20,0) и (40,0) с заданными параметрами системы: температура Г» 300 К, время релаксации т»1.4-10""с [4]. На рис. 1а представлены зависимости удельной электропроводности однослойных нанотрубок от амплитуды электрического поля.

При малых полях (до 20 В/м) удельная электропроводность однослойных УНТ квазилинейно возрастает, что соответствует линейному отклику системы на внешнее электрическое поле. Из рис. 1а видно, что зависимость электропроводности УНТ от величины напряженности внешнего постоянного электрического поля имеет вид, характерный для полупроводниковых структур: при увеличении амплитуды внешнего поля сначала проводимость стремится к насыщению и монотонно уменьшается с увеличением напряженности. Данное явление объясняется увеличением заполнения электронами всех возможных состояний зоны проводимости при конечной температуре. Подобный характер изменения удельной элеиропроводности является типичным для полупроводниковых структур, обладающих периодическим и ограниченным законом дисперсии [1]. При амплитуде внешнего поля порядка Е~ 1.2-107 В/м удельная электропроводность достигает насыщения. При температуре Т= 300 К максимальная удельная электропроводность при напряженности поля Е = 20 В/м для УНТ типа (5,0) равна 202 См/м, (10,0) - 287 См/м, (20,0) - 441 См/м,

10

(40,0) - 745 См/м. Полученные значения удельной электропроводности однослойных УНТ согласуется с литературными данными [5]. С ростом диаметра УНТ их удельная электропроводность возрастает, что связано с увеличением числа квантовых состояний электронов в зоне проводимости.

Из рисунка 16 следует, что коэффициент диффузии электронов имеет ярко выраженный нелинейный характер. Увеличение поля сначала ведет к росту коэффициента, а потом к его убыванию до стационарного значения. Коэффициент диффузии электронов можно считать постоянным при амплитудах поля Е > 9.3-106 В/м. Максимальные значения коэффициента диффузии электронов для всех рассмотренных типов трубок наблюдаются при напряженности поля Е » 4.8-105 В/м и равны для УНТ типа (5,0) - 0.168 м2/с, (10,0) - 0.336 м2/с, (20,0) - 0.644 м^с, (40,0) - 1.316 м2/с. При увеличении диаметра нанотрубки, как отмечалось выше, растет число квантовых состояний электронов, описываемых законом дисперсии УНТ (14), поэтому коэффициент

а) б)

Рис. 1. Зависимости: а) удельной электропроводности, б) коэффициента диффузии электронов от амплитуды внешнего постоянного электрического поля для различных УНТ: 1 - (5,0), 2 - (10,0), 3 - (20,0), 4 - (40,0)

Изучены диффузионные и проводящие транспортные свойства двухслойных графеновых лент типа (10,0) шириной в 10 элементарных ячеек, состоящих из двух слоев углерода с гексагональной структурой, упакованных по типу АВАВ. Между слоями приложен электростатический потенциал С/. Зонная структура в приближении сильной связи выражается следующим

соотношением [6]: ' _

Е?(и) = ±^е2р + у2/2 + и4 /4±^Г4/4 + (Г2 +и2)е2р > (17)

где ер - дисперсионное соотношение однослойного графена (15); у = 0.4 эВ —

интеграл перескока между слоями графена.

Зависимость удельной электропроводности от амплитуды внешнего электрического поля для различных значений электростатического потенциала между слоями ленты типа (10,0) показана на рис. 2а. Электропроводность двухслойных графеновых нанолент оказывается выше по сравнению с электропроводностью однослойных УНТ, содержащих в поперечном сечении

одинаковое число элементарных ячеек. Например, при V = О электропроводность двухслойной ленты равна 331 См/м, а однослойной УНТ (10,0) - 287 См/м. Данные зависимости качественно согласуются с литературными данными [7].

Увеличение постоянного напряжения между слоями графена приводит к уменьшению электропроводности, поскольку происходит сдвиг уровня Ферми, приводящий к заполнению состояний электронного спектра в зоне проводимости. Увеличение напряжения между слоями на 1 В снижает величину удельной электропроводности с 285 См/м до 233 См/м. Проводимость двухслойных нанолент стремится к постоянному значению с ростом амплитуды напряженности, что обусловлено ограниченным числом носителей заряда, которые участвуют в транспорте электрического тока по поверхности ленты.

Исследованы зависимости удельной электропроводности двухслойных графеновых лент различной ширины для заданного значения электростатического потенциала между слоями ленты V = 2 В. С ростом ширины ленты проводимость ее увеличивается, т.к. увеличивается число носителей заряда, обеспечивающих проводимость. Удельная

электропроводность двухслойных графеновых нанолент при напряженности поля Е = 103 В/м и электростатическом потенциале между слоями графена и = 2 В для лент типа (10,0) равна 233 См/м, (20,0) - 341 См/м, (30,0) - 449 См/м, (40,0) -557 См/м.

Рис. 2. Зависимости: а) удельной электропроводности, б) коэффициента диффузии электронов двухслойных графеновых лент (10,0) от величины напряженности Е внешнего электрического поля при различных значениях электростатического потенциала между слоями графена 17: 1-1 В, 2-2 В, 3-ЗВ.4-4В

Зависимости коэффициента диффузии электронов от напряженности внешнего постоянного электрического поля для различных значений электростатического потенциала между слоями двухслойной ленты типа (10,0) показаны на рис. 26. Увеличение напряжения между слоями графена приводит к снижению значений коэффициента диффузии электронов. Это объясняется тем, что происходит сдвиг уровня Ферми, который приводит к увеличению локализованных состояний ограниченного электронного спектра в зоне проводимости. Максимальное значение коэффициента диффузии для

б)

двухслойных графеновых лент типа (10,0) зафиксировано при напряженности поля Е« 4.8-105 В/м и составляет 0.333 м2/с при £/= 1 В, 0.289 м2/с при 17= 2 В, 0.202 м2/с при I/ = 3 В, 0.124 м2/с при V = 4 В. Зависимости коэффициента диффузии электронов от амплитуды внешнего постоянного электрического поля для двухслойных лент различной ширины качественно похожи на аналогичные зависимости для однослойных УНТ различных диаметров. С ростом ширины ленты коэффициент диффузии электронов увеличивается при равных значениях электростатического потенциала между слоями ленты. При напряженности внешнего поля Е ~ АЛ-105 В/м и напряжении V - 2 В коэффициент диффузии для ленты типа (10,0) равен 0.289 м/с, (20,0) -0.580 м2/с, (30,0) - 0.871 м2/с, (40,0) - 1.162 м7с.

В третьей главе «Транспортные характеристики углеродных наночастиц с адсорбированными примесями» описаны результаты исследования транспортных характеристик углеродных наночастиц с учетом адсорбции одновалентных атомов водорода. Рассмотрено влияние адсорбции атомарного водорода на проводящие и диффузионные свойства углеродных наночастиц, помещенных во внешнее электрическое поле. Используется модель адсорбции атомарного водорода на поверхности углеродных наночастиц, построенная на основе однопримесной периодической модели Андерсона [8].

Периодическая модель Андерсона рассматривает две группы электронов: коллективизированные и локализованные. В модели состояние электронов кристалла, содержащего примеси, в приближении ближайших соседей и п-электронном приближении описывается эффективным гамильтонианом, имеющим следующий общепринятый вид [8]:

н=ЕФКл.++2>Х+

■ " ' (18)

1,к,<т

где г (к) - зонная структура углеродных наночастиц в приближении Хюккеля; с1 и с4<т - фурье-образы ферми-операторов рождения и уничтожения электронов в состоянии с волновым вектором к и спином о; и с1*а - ферми-операторы уничтожения и рождения электронов на примеси / со спином о; -оператор числа электронов на примеси I со спином о; еш - энергия электрона на примеси I со спином а; и - константа кулоновского отталкивания электронов примеси; У!к - матричный элемент гибридизации состояния электрона примеси 1 и состояния | ко) кристалла.

Зонная структура однослойных УНТ с примесями адсорбированных

атомов водорода может бьггь представлена в следующем виде [9]: г

где ек - зонная структура идеальной углеродной наночастицы (УНТ,

(19)

графеновой ленты); Е1а = - 5.72 эВ - энергия электрона примеси; Щтр - число адсорбированных атомов водорода на поверхности УНТ; N - число атомов углерода в решетке, определяющее размеры кристалла; V = - 1.43 эВ -потенциал гибридизации.

Рассчитаны зависимости удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов от величины напряженности Е внешнего электрического поля для идеальных однослойных УНТ (10,0) с одним адсорбированным атомом (адатомом) водорода. Добавление одного адатома водорода снижает электропроводность на величину 1.6-10'2 См/м (0.006 %), уменьшение коэффициента диффузии составляет около 0.005 %. Понижение транспортных коэффициентов при адсорбции атома водорода происходит вследствие того, что один из электронов кристаллита образует локализованную химическую связь с атомом примеси и уже не участвует в процессе переноса заряда.

Из рис. 3 следует, что увеличение концентрации адсорбированных атомов снижает и удельную электропроводность, и коэффициент диффузии электронов УНТ. Добавление 100 адатомов Н снижает удельную электропроводность УНТ (10,0) на 0.6 %, 300 адатомов - на 1.8 %, 500 адатомов - на 3 % (рис. За). Такое поведение удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов характерно для примесных полупроводниковых УНТ различных диаметров. Коэффициент диффузии электронов УНТ с адатомами водорода принимает максимальное значение при напряженностях поля порядка Е ~ 4.6-105 В/м, как и для идеальных нанотрубок. Удельную электропроводность можно считать постоянной величиной при амплитуде внешнего электрического поля Е > 1.2-107 В/м, а коэффициент диффузии электронов становится постоянным при Е> 9.3-106 В/м (рис. 36). В целом, зависимости транспортных коэффициентов однослойных примесных УНТ качественно аналогичны полученным для идеальных УНТ.

Рис. 3. Зависимости: а) удельной электропроводности, б) коэффициента диффузии электронов от величины напряженности Е внешнего электрического для примесных УНТ (10,0): 1 адатом Н - сплошная линия; 100 - штриховая линия; 300 - пунктирная линия; 500 - штрихпункгарная линия

, Изучены транспортные характеристики двухслойных графеновых нанолент типа (10,0) с адсорбированными атомами водорода. Закон дисперсии

электронов данной структуры можно представить в виде:_

Ef(U) = ±4El(k) + у2 /2 + i/4 /4 ±4/14 + (r2 + U2)E2 (k) f (20)

где £o(k) - дисперсионное соотношение для однослойного графена с адатомами

водорода, определяемое (19).

Снижение величины транспортных коэффициентов при адсорбции уже одного атома водорода происходит вследствие того, что один из электронов кристалла вместе с электроном примеси оказывается преимущественно в локализованном состоянии, созданном одним из атомов углерода и связанным с ним атомом примеси, и перестает принимать участие в процессе переноса заряда по поверхности ленты. Изменение удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов при адсорбции равного числа атомов водорода одинаково по абсолютной величине для двухслойных углеродных наночастиц и для однослойных, так как адсорбция одного атома водорода приводит к образованию одной локализованной адсорбционной связи.

Изучены зависимости удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов от величины напряженности Е внешнего электрического поля для двухслойных графеновых нанолент с различной концентрацией адатомов водорода; при различных значениях электростатического потенциала между слоями и для лент различной ширины. Полученные результаты качественно аналогичны зависимостям для однослойных примесных УНТ. Согласно данным численных расчетов, при напряженности внешнего электрического поля Е = 106 В/м удельная электропроводность двухслойной ленты типа (5,0) равна 152 См/м, а ленты (10,0) типа - 285 См/м.

В четвертой главе ^Дифференциальная термоЭДС углеродных наночастиц во внешнем электрическом поле» представлены результаты исследования термоэлектрических характеристик углеродных наночастиц. Изучено поведение дифференциальной термоЭДС углеродных наночастиц различных типов, находящихся во внешнем постоянном электрическом поле.

Предложенный в [1] метод позволяет рассчитывать дифференциальную термоЭДС как в слабых полях, когда еЕЬт!tiT<\, где b - расстояние между соседними атомами углерода в графене, г - время релаксации, Г - температура, выраженная в энергетических единицах, так и в сильных полях. При постоянной концентрации электронов проводимости п = const в линейном приближении по величине градиента температуры VХТ из формулы (10) получено выражение для дифференциальной термоЭДС углеродных наночастиц во внешнем электрическом поле:

У > ,'ждТ„ Ъ ' 1 K(E,m,m ) *[ЕтЦЕ,т,т',рх)+М(Е,т,т',рх)] +

Ег(т'г-2т2т') + Ет' (21) + V ^г-к-ПЕ,т,т\рх)}с1р,+

+

Р(Е,т,т)

-F(E,m,m',px.,px.)dpx,dpx. ■

Здесь введены следующие обозначения:

К(Е,т,т') = [Е\т* +т'*-2т2т'2) + 2Е\т2 + m'2) + l][£W +l],

Р(Е, т, т') = \_Е2т2 +1]2 [_Егт'2 +1],

R(m, т', рх) = cos(mpx ) sin( т'рх ) + cos(mpx) cos(m'px) - sini/M^) sii^m'/?,, ), M(m,m',px) = sm(mpx)s'm(m'px) + sm(mpx)cos(m'px) + cos(mpJs'm(m'px), T(E,m,m',px) = [cos(mpx)cos(m'px)-Emsm(mpx)cos(m'px)], F(E,m,m',px) = [sin(m'px) + Emcos(m'px)]* *[sin(mpx) + 2Emcos(mpx)-E2m2sin(mpx)]

где Ams и Am.s — коэффициенты разложения энергии электронов в ряд Фурьер-функция распределения Ферми-Дирака. Относительная единица измерения S(E) равна 3.1 В/К.

Исследованы зависимости дифференциальной термоЭДС от амплитуды напряженности внешнего постоянного электрического поля для идеальных и примесных однослойных УНТ типа «zig-zag» и двухслойных графеновых нанолент. Полученные экспериментально значения величины S для однослойных УНТ достигают 200 - 260 мкВ/К [10], а для листов графена и графеновых нанолент: 100-120 мкВ/К [11] при температуре Т = 300 К.

Дифференциальная термоЭДС однослойных УНТ отрицательна и нелинейно зависит от амплитуды внешнего постоянного электрического поля: сначала убывает в отрицательную область, а затем возрастает и стремится к постоянному значению (рис. 4а). Подобная зависимость термоЭДС от амплитуды поля наблюдается для всех рассмотренных типов УНТ: (5,0), (10,0) и (20,0). Минимальное значение дифференциальной термоЭДС для УНТ типа (5,0) наблюдается при напряженности поля Е да 5.06-105 В/м и составляет 26.4 мкВ/К, для (10,0) наблюдается при Е я 3.12-105 В/м и составляет 97.6 мкВ/К, для (20,0) наблюдается при Е ~ 1.94-105 В/м и составляет 347.2 мкВ/К, что качественно согласуется с экспериментальными данными [10]. При амплитуде поля Е > 1.2 ■ 107 В/м величину S можно считать практически постоянной величиной. Минимум S однослойных УНТ обуславливается теми же причинами, что и максимум коэффициента диффузии электронов D(E).

Изучено влияние температуры внешней среды на дифференциальную термоЭДС однослойных углеродных нанотрубок. Численный анализ температурных зависимостей термоЭДС проведен для трубки (10,0). Зависимости S(E) при различных температурах показаны на рис. 46. При низких температурах термоЭДС значительно больше по абсолютной величине. При увеличении температуры от 50 К до 300 К абсолютные значения термоЭДС уменьшаются более чем в 30 раз, с 3.36 мВ/К до 97.6 мкВ/К для УНТ (10,0) типа, что происходит за счет собственной динамики носителей заряда;

это подтверждается результатами экспериментальных работ [10].

а) б)

Рис. 4. Зависимости дифференциальной термоЭДС Б(Е) от амплитуды внешнего электрического поля: а) 1 - для УНТ (5,0); 2 - (10,0); 3 - (20,0); б) для УНТ (10,0) при разных температурах Т: 1 - 50 К; 2 - 100 К; 3 - 200 К; 4 - 300 К Увеличение напряжения между слоями ленты (10,0) до 2.2 В ведет к росту коэффициента ¿(Е) по абсолютной величине, а затем к его снижению (рис. 5а), что обусловлено перестройкой электронного спектра двухслойных лент при наличии внешнего постоянного электрического поля. Характер температурных зависимостей дифференциальной термоЭДС двухслойных графеновых лент от напряженности внешнего электрического поля качественно аналогичен зависимости для однослойных УНТ. С ростом ширины увеличивается и значение термоЭДС при заданном электростатическом потенциале между слоями ленты (рис. 56), что объясняется увеличением числа

а) б)

Рис. 5. Зависимости дифференциальной термоЭДС 5(£) двухслойной графеновой ленты типа (10,0) от величины напряженности Е внешнего электрического поля: а) для различных значений электростатического потенциала С/между слоями графена:1 - 0 В; 2 - 1 В; 3 - 2 В; 4 - 3 В; 5 -4 В; 6 -5 В; 7-6 В; 8-7 В; б) для лент различной ширины (л,0) при £/ =1 В: 1 -л = 5;2-и=10;3-л = 20

Величина дифференциальной термоЭДС в однослойных УНТ незначительно уменьшается при адсорбции атомарного водорода (рис. 6а), один адатом водорода снижает дифференциальную термоЭДС однослойной УНТ

типа (10,0) на 0.01 мкВ/К. При добавлении одного адатома водорода величина 5 однослойных УНТ типа (10,0) снижается на 0.001 %, при 100 адатомов - на 0.1 %, при 300 адатомов - на 0.3 %, при 500 адатомов - на 0.5 %.

Температурные зависимости £(£) однослойных УНТ с адатомами водорода качественно аналогичны тем, которые наблюдаются для идеальных УНТ. С ростом диаметра УНТ по абсолютному значению увеличиваются и коэффициенты дифференциальной термоЭДС (рис. 66).

б)

Рис. 6. Зависимости дифференциальной термоЭДС £'(£) от величины напряженности Е внешнего электрического поля: а) для примесных УНТ (10,0): 1 - для одного адатома водорода; 2 - для 100; 3 - для 300; 4 - для 500; 6) для УНТ разных диаметров со 100 адатомами водорода: 1 - для УНТ (5,0); 2 -(10,0); 3-(20,0)

Исследованы зависимости дифференциальной термоЭДС двухслойных примесных графеновых нанолент от амплитуды внешнего постоянного электрического поля. Двухслойная лента с одним атомом примеси имеет коэффициент термоЭДС приблизительно на 0.01 мкВ/К ниже, чем аналогичная бездефектная лента. Уменьшение дифференциальной термоЭДС двухслойных графеновых нанолент пропорционально концентрации адсорбированных на их поверхности атомов водорода (рис. 7а).

а)

б)

Рис. 1. Зависимости дифференциальной термоЭДС 5(Е) двухслойных примесных лент (10,0) от величины напряженности Е внешнего электрического поля: а) 1 - один адатом водорода; 2 - 100; 3 - 300; 4 - 500, электростатический потенциал С/ = 1 В; б) для 100 адатомов водорода для различных значений /У: 1-0 В; 2-1 В; 3-2 В; 4-3 В; 5-4 В; 6-5 В; 7-6 В; 8-7В

Зависимости дифференциальной термоЭДС от напряженности внешнего постоянного электрического поля при различных значениях электростатического потенциала между слоями ленты типа (10,0), показанные на рис. 76, являются качественно аналогичными зависимостям для идеальных двухслойных графеновых лент и объясняются перестройкой собственного электронного спектра под воздействием внешнего постоянного электрического поля.

Рост ширины двухслойных лент ведет к увеличению по абсолютному значению коэффициента Б(Е), что, как показано выше, связано с большей концентрацией электронов, участвующих в транспорте заряда. При напряженности внешнего электрического поля Е = 2.32-10 В/м дифференциальная термоЭДС двухслойной примесной ленты типа (5,0) с 100 адатомами водорода равна 12.6 мкВ/К, а ленты типа (10,0) - 39.3 мкВ/К.

В заключении приведены результаты диссертационной работы и сформулированы основные выводы.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1) Проведено теоретическое исследование транспортных свойств углеродных наночастиц (идеальных однослойных УНТ и двухслойных графеновых нанолент, а также однослойных УНТ и двухслойных графеновых нанолент с адсорбированными атомами водорода). Установлено, что методика теоретического расчета транспортных коэффициентов, апробированная в теории сверхрешеток, корректно описывает транспортные характеристики углеродных наночастиц различных типов с периодическим и ограниченным законом дисперсии.

2) Получены аналитические выражения для транспортных коэффициентов (удельной электропроводности, коэффициента диффузии электронов и коэффициента дифференциальной термоЭДС) в присутствии внешнего постоянного электрического поля в рамках квазиклассического приближения времени релаксации и реализована численная схема их расчета. Описаны основные приближения, используемые при построении модели углеродных наночастиц.

3) В рамках построенной модели показан существенно нелинейный характер зависимости удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов всех исследованных углеродных наночастиц от напряженности постоянного внешнего электрического поля и их стремление с увеличением напряженности поля к асимптотическому насыщению. Такое поведение транспортных коэффициентов во внешнем электрическом поле обуславливается периодическим и ограниченным законом дисперсии электронов рассматриваемых наночастиц.

4) Исследованы зависимости транспортных коэффициентов двухслойных графеновых нанолент от амплитуды внешнего электрического поля при различных значениях поперечного электростатического потенциала между

слоями графеиа. Показано, что увеличение постоянного напряжения снижает и удельную электропроводность, и коэффициент диффузии электронов. Дифференциальная термоЭДС при увеличении электростатического потенциала между слоями графена вначале возрастает по абсолютной величине, а затем снижается. Данное явление обусловлено тем, что при увеличении поперечного напряжения между углеродными слоями происходит сдвиг уровня Ферми, приводящий к заполнению состояний электронного спектра в зоне проводимости.

5) Зависимость транспортных коэффициентов как однослойных, так и двухслойных углеродных наночастиц с адсорбированными атомами водорода от напряженности приложенного внешнего электрического поля качественно аналогична той, которая наблюдается для идеальных углеродных наночастиц без примесей. Добавление адатомов водорода приводит к незначительному снижению транспортных коэффициентов (в среднем около 0.006 % на каждый адсорбированный атом). Уменьшение удельной электропроводности, коэффициента диффузии электронов и дифференциальной термоЭДС примесных углеродных наночастиц пропорционально числу адсорбированных атомов и при большой их концентрации может достигать 3 % от значений транспортных коэффициентов.

6) Величина удельной электропроводности, коэффициента диффузии электронов и дифференциальной термоЭДС увеличивается с ростом диаметра УНТ и ширины графеновых лент, что объясняется возрастанием числа квантовых состояний электронов в зоне проводимости, заполняемых по закону распределения Ферми-Дирака.

7) Дифференциальная термоЭДС углеродных наночастиц различных типов нелинейно зависит от амплитуды внешнего постоянного электрического поля. При увеличении напряженности поля термоЭДС всех рассмотренных наночастиц стремится к постоянному значению. Дифференциальная термоЭДС рассмотренных углеродных наночастиц отрицательна, т.к. носителями заряда в углеродных наночастицах являются электроны.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Булыгин, A.C. Дифференциальная термоЭДС сверхрешетки в сильном электрическом поле [Текст] / A.C. Булыгин, Г.М. Шмелев, И.И. Маглеванный // ФТТ. - 1999. - Т. 41. - № 7. - С. 1314-1316.

2. Лифшиц, Е.М. Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика [Текст] / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. -М.: Физматлит, 1979. - 528 с.

3. Дьячков, П.Н. Электронные свойства и применение нанотрубок [Текст] / П.Н. Дьячков. - М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2010. - 488 с.

4. Jishi, R.A. Electron-phonon coupling and the electrical conductivity of fiillerene nanotubules [Text] / R.A. Jishi, M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus // Phys. Rev. B. - 1993. - Vol. 48. - № 15. - P. 385-389.

5. Елецкий, А.В. Транспортные свойства углеродных нанотрубок [Текст] / А.В. Елецкий Н УФН. - 2009. - Т. 179. -№ 3. - С. 225-242.

6. Guinea, F. Electronic states and Landau levels in graphene stacks [Text] / F. Guinea, A.H. Castro Neto, N.M.R. Peres // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 73. - P. 245426.

7. Елецкий, А.В. Графены: методы получения и теплофизические свойства [Текст] / А.В. Елецкий, И.М. Искандарова, А.А. Книжник, Д.Н. Красиков // УФН. - 2011. - Т. 181. - № 3. - С. 233-268.

8. Изюмов, Ю.А. Теория сильно коррелированных систем. Метод производящего функционала [Текст] / Ю.А. Изюмов, И.И. Чащин, Д.С. Алексеев. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. -384 с.

9. Пак, А.В. Модель множественной адсорбции атомов водорода на поверхности углеродных нанотрубок [Текст] / А.В. Пак, Н.Г. Лебедев // Химическая физика. - 2012. - Т. 31. - № 3. - С. 82-87.

10. Small, J. Thermopower measurement of individual single walled nanotubes [Text] / J. Small, P. Kim // Microscale thermophysical engineering. - 2004. - Vol. 8. - P. 1-5.

ll.Sharapov, S.G. Anomalous growth of thermoelectric power in gapped graphene [Text] / S.G. Sharapov, A.A. Varlamov // Phys. Rev. В - 2012. - Vol. 86. - P. 035430.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных журналах:

1. Белоненко, М.Б. Коэффициенты диффузии и проводимости полупроводниковых углеродных нанотрубок во внешнем электрическом поле [Текст] / М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев, С.А. Судоргин // Физика твердого тела. -2011. -Т. 53. -Вып. 9. С. 1841-1844.

2. Белоненко, М.Б. Электропроводность и коэффициент диффузии электронов в бислое графена [Текст] / М.Б. Белоненко, Н.Г. Лебедев, С.А. Судоргин // Журнал технической физики.-2012.-Т. 82.-Вып. 7.-С. 129-133.

3. Sudorein. S.A. Effect of electric field on the transport and diffusion properties of bilayer graphene ribbons [Text] / S.A. Sudorgin, N.G. Lebedev, M.B. Belonenko // Physica Scripta. - 2013. -№. 87. - P. 015602.

4. Судоргин. С.А. Влияние адсорбции атомарного водорода на транспортные характеристики полупроводниковых углеродных нанотрубок [Текст] / С.А. Судоргин, Н.Г. Лебедев // Химическая физика. - 2014. - Т. 33. - Вып. 8. -С. 69-75.

Статьи в сборниках трудов конференций:

5. Судоргин. С.А. Транспортные коэффициенты углеродных нанотрубок в приближении времени релаксации [Текст] / С.А. Судоргин, Н.Г. Лебедев, М.Б. Белоненко // Материалы конференции «ВНКСФ-16». - Волгоград. -2010.-С. 224-226.

6. Судоргин. С.А. Коэффициент диффузии электронов углеродных нанотрубок типа «zig-zag» во внешнем электрическом поле [Текст] / С.А. Судоргин // Материалы XV Региональной конференции молодых исследователей

. Волгоградской области. - Волгоград. - 2010. - С. 45-48.

7. Судоргин. С.А. Транспортные коэффициенты углеродных зигзагообразных нанотрубок в присутствии электрического поля [Текст] / С.А. Судоргин, Н.Г. Лебедев, М.Б. Белоненко // Материалы Всероссийского научного семинара «Методы и технологии получения графенов и квантоворазмерных структур». - Астрахань. - 2010. - С. 5-8.

8. Sudorgin. S.A. Effect of electric field on the transport of carbon zigzag nanotubes [Text] / S.A. Sudorgin, N.G. Lebedev, M.B. Belonenko // Modern problems in biochemical physics. New horizons.-New York.-2011.-P. 133-139.

9. Судоргин. С.А. Влияние электрического поля на транспортные коэффициенты двухслойной графеновой наноленты [Текст] / С.А. Судоргин, Н.Г. Лебедев, М.Б. Белоненко // Материалы V школы-семинара «Квантово-химические расчеты: структура и реакционная способность органических и неорганических молекул». - Иваново. - 2011. — С. 57-60.

10. Sudorgin. S.A. Transport coefficients of bilayer graphene [Text] / S.A. Sudorgin, N.G. Lebedev, M.B. Belonenko // Book of abstracts. International conference «Advanced carbon nanostructures». - St.-Petersburg. - 2011. -P. 107.

11. Судоргин. С.А. Зависимость от электрического поля транспортных коэффициентов двухслойной графеновой наноленты [Текст] / С.А. Судоргин, Н.Г. Лебедев, М.Б. Белоненко // Материалы V Международной научной конференции «ФТТ-2011». - Минск. - 2011. -С. 332-334.

12. Судоргин. С.А. Коэффициент диффузии электронов и удельная электропроводность однослойных УНТ полупроводникового типа с адсорбированными атомами водорода [Текст] / С.А. Судоргин, Н.Г. Лебедев // Материалы XIII Международной молодежной конференции ИБХФ РАН-ВУЗы «Биохимическая физика». - Москва. - 2013. - С. 221-224.

13. Sudorgin. S.A. Effect of the hydrogen atomic adsorption on the transport properties of single-walled carbon nanotubes [Text] / S.A. Sudorgin, N.G. Lebedev // Book of abstracts. International conference «NanoPT 2014». -Porto.-2014.-P. 123-124.

Свидетельства о государственной регистрации программ на ЭВМ:

14. Судоргин С.А. Программа для расчета удельной электропроводности и коэффициента диффузии электронов углеродных зигзагообразных нанотрубок: свид. о гос. per. программы на ЭВМ. Рос. Федерация. № 2014611267; заявл. 02.12.13; опубл. 29.01.14.

Подписано в печать 27.10 2014 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 225.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100. E-mail: izvolgu@volsu.ru