Трехмерная теория цилиндрической оболочки переменной толщины при локальном нагружении

Ле Чунг Хиеу

Трехмерная теория цилиндрической оболочки переменной толщины при локальном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Ле Чунг Хиеу АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Трехмерная теория цилиндрической оболочки переменной толщины при локальном нагружении»

Автореферат диссертации на тему "Трехмерная теория цилиндрической оболочки переменной толщины при локальном нагружении"

На правах рукописи

005056874

ЛЕ ЧУНГ ХИЕУ

ТРЕХМЕРНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 ДЕК 2012

Москва-

2012

005056874

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)».

Научный руководитель: Доктор технических наук, профессор,

Фирсанов Валерий Васильевич

Официальные оппоненты: Зверяев Евгений Михайлович,

доктор технических наук, профессор, Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, в.н.с.

Иванов Вячеслав Николаевич,

доктор технических наук, профессор,

Российский университет дружбы народов, профессор.

Ведущая организация: Институт прикладной механики РАН

Защита диссертации состоится «21» декабря 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)» по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно - технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)».

Автореферат разослан «20» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ( ^ ,__• Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

При расчете НДС оболочечных конструкций вблизи зон искажения напряженного состояния классическая теория оболочек типа Кирхгофа - Лява не дает удовлетворительного совпадения с практикой в силу существенной трехмерности НДС. Поэтому для описания объемного НДС необходимо построить уточненные теории оболочек, базирующиеся на трехмерных уравнениях теории упругости.

Учет трехмерности НДС дает возможность более точно определить характер НДС оболочечных конструкций, особенно в зонах крепления и действия локальных нагрузок, что позволяет рациональным образом распределить конструкционный материал в указанных областях, и тем самым улучшить показатель весового совершенства перспективной техники.

Поэтому разработка методов прогнозирования НДС оболочек, уточняющих результаты классической теории и применяемых на этапах проектирования перспективной авиационной и ракетно - космической техники, а также изделий машиностроения и строительных сооружений, представляет собой актуальную проблему.

Целью диссертации является построение математических моделей определения НДС цилиндрических оболочек переменной толщины, в том числе круговой цилиндрической оболочки, на основе уточненной по отношению к классическим теориям Кирхгофа - Лява и Тимошенко - Рейсснера теории; исследование НДС круговой цилиндрической оболочки постоянной и переменной толщины с типовыми краевыми условиями при действии локальных и распределенных нагрузок различной изменяемости.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые построены двумерные нелинейные уравнения и граничные условия для определения НДС цилиндрической оболочки переменной в продольном и окружном направлениях толщины с использованием разложения компонентов НДС по полиномиальным рядам, зависящим от нормальной координаты. С помощью вариационного принципа Лагранжа трехмерная проблема приведена к двумерной с согласованным количеством дифференциальных уравнений и краевых условий;

2. Для круговых цилиндрических оболочек замкнутого и открытого поперечных сечений за счет повышения порядка полиномов по нормальной координате, аппроксимирующих компоненты НДС, впервые получены системы дифференциальных уравнений в перемещениях и сформулированы граничные условия для основных случаев крепления оболочки;

3. Доказано, что по отношению к классической теории оболочек уточненная теория дает возможность получить большие и сверхбольшие корни характеристических уравнений, которые соответствуют быстро затухающим от линии искажения НДС;

4. Доказано, что дополнительные НДС типа «погранслой», возникающие в зонах искажения бывают двух типов, отличающихся друг от друга характером затухания, а также величинами соответствующих компонентов НДС;

5. Показано, что вблизи зон искажения компоненты напряженного состояния, полученные по уточненной теории, существенно отличаются от соответствующих значений, определенных по классической теории, не только в части поперечных нормальных и касательных напряжений, но и в части тангенциальных напряжений. Например, для основных нормальных напряжений дополнительные добавки могут достигать 60%, поперечные нормальные и касательные напряжения получаются одного порядка с продольными нормальными напряжениями.

Достоверность и обоснованность научных положений и результатов

обеспечивается корректным использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения краевых задач строгих математических методов, а также многочисленными сравнениями результатов расчета с известными теоретическими данными, подтверждающими их хорошее согласование для ряда конкретных задач.

Практическую ценность диссертационной работы составляют

1. Предложенные в работе математические модели, методы и алгоритмы расчета, позволяют существенно уточнить НДС оболочечных конструкций в зонах искажения напряженного состояния;

2. В проведении качественного и количественного анализа влияния вида нагружения, геометрических параметров цилиндрической оболочки на ее НДС;

3. В доказательстве наличия в тонких и менее тонких оболочках поперечных нормальных и касательных напряжений, соизмеримых с максимальными значениями основных нормальных напряжений и существенно влияющих на оценку прочности оболочек из изотропных и композиционных материалов;

4. Результаты, полученные на основе аналитических и численных исследований, могут быть использованы на этапе проектирования в методиках инженерных расчетов и испытаний на прочность типовых авиационных и ракетно -космических конструкций, их соединений, а также в первую очередь, непрерывных соединений типа фланцевых, сварных, клеевых;

5. Полученные в диссертации результаты позволяют разработать рекомендации и справочные материалы для процесса проектирования и оценки прочнрсти машиностроительных конструкций и строительных сооружений.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертационной работы докладывались на

- ХУШ-м международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Ярополец. Московская обл., 2012 г.;

- Научно — практической конференции студентов и молодых ученых МАИ «Инновация в авиации и космонавтике - 2012». Москва, МАИ, 2012 г.;

- У-й международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2012». Москва, РУДН, 2012 г.

Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры № 906 Московского авиационного института (национального иследовательского университета) и научном семинаре им. А. Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин».

Основные результаты диссертации опубликованы в 8-и печатных работах, в ом числе в 4-х статьях из Перечня, рекомендованного ВАК РФ.

Объем и структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка итературы, 5 приложений. Работа содержит 190 страниц, 74 рисунка, 2 таблицы. Список литературы содержит 125 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, представлены объект предмет научных исследований; сформулированы цель и задачи исследования; пределена научная новизна и практическая ценность полученных автором езультатов; приведены основные положения, выносимые на защиту; дано краткое одержание работы по главам.

В первой главе приведен обзор литературы по тематике диссертации; дана остановка задачи исследования; в нелинейной постановке получены двумерные равнения уточненной теории цилиндрических оболочек переменной толщины. Сформулированы граничные условия для типовых случаев крепления оболочки.

Фундаментальные исследования по теории оболочек принадлежат С.А. ^мбарцумяну, В.В. Болотину, В.З. Власову, A.C. Вольмиру, К.З. Галимову, Б.Г. алеркину, A.JI. Гольденвейзеру, А.И. Лурье, Х.М. Муштари, В.В. Новожилову, 1.Ф. Папковичу,Ю.Н. Работнову, Э. Рейсснеру.С.П. Тимошенко и др.

Применение в различных отраслях техники композиционных материалов, а акже разработка новых методов расчета оболочечных конструкций из еоднородных материалов показали неправомерность, в той или иной степени, спользования классической теории для этих материалов. Поэтому основные усилия сследователей были направлены на усовершенствование теорий типа Кирхгофа-[ява и Тимошенко-Рейсснера. В данном направлении развития теории оболочек ужно отметить работы И.Н. Векуа, H.A. Кильчевского, Э.И. Григолюка, В.В. Васильева, С.А. Лурье, Б.В. Нерубайло, В.В. Пикуля, В.В. Фирсанова, и др.

Одно из направлений развития теории оболочек, в которых учет поперечных еформаций (ими в классической теории пренебрегают) находится в полном оответствии с локальными уравнениями равновесия и сплошности материала, азвито в работах В.В. Васильева и С.А. Лурье. В этих работах решена задача ведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории ластин и пологих оболочек.

Для развития данного направления в теории оболочек можно поставить ледующие задачи:

- Построение нелинейных уравнений для цилиндрической оболочки еременной толщины, позволяющих уточнить НДС в зонах его искажения (краевые бласти в местах крепления и действия локальной нагрузки);

- Построение уточненных уравнений и решение краевых задач в линейной остановке для круговых цилиндрических оболочек замкнутого и открытого рофиля поперечных сечений;

- С помощью уточненной теории проведение расчетов круговой •»индрической оболочки для различных вариантов локального нагружения с

целью количественной оценки результатов и их сопоставления с данными классической и других теорий;

- Проведение анализа изменяемости и характера распределения НДС по поверхности и толщине цилиндрической оболочки;

— Построение уточненных уравнений и решение краевых задач для круговой цилиндрической оболочки с симметрично и несимметрично изменяющейся относительно срединной поверхности толщиной.

Таким образом, несмотря на известные достижения в теории и методах расчета оболочек, имеется еще ряд нерешенных задач в теории цилиндрических оболочек. Поэтому исследования прочности оболочек, а также оценка погрешности классической теории по сравнению с уточненной теорией продолжают сохранять свою актуальность. Решению этих задач и посвящена диссертация.

Цилиндрическая оболочка переменной в продольном и окружном направлениях толщины рассматривается как трехмерное твердое тело, отнесенное к триортогональной криволинейной системе координат Координатные оси

в совпадают с главными направлениями срединной поверхности оболочки, а ось г направлена по наружной нормали к этой поверхности.

Толщина оболочки переменная и определяется двумя функциями Аг , при этом -А, < г<И2 и г = Я соответствует срединной поверхности.

Для описания НДС используются следующие уравнения трехмерной задачи теории упругости:

Уравнения равновесия, разрешенные относительно поперечных напряжений

13 0+--Ц

(1 + п) да., 1 Ьап 2 8А, ,, , ---—и- +--+--Ц1 + к)<т„ +

А Я/Э А А ЯП V /12

Ах 84 А2 80 А,Аг 80

(1 + ^) I.

(1 + гг)2 _„

А2 80 А, 84 дв А,А2 К 22

(1 + п)1 . +(1 + Г2)г02\<к + \

-1 (1 + '"2)

-«Ц

(1 + га) 8ап .1д<гп1 8А, 0 + ")

А1 84 А2 80 Л 22 80 А,А2 23

0+«) 0+«) ^

Физические уравнения для ортотропной оболочки О-., = АиЪп + Апс22 + Л,<т22 = -^21Е11 + ^22Е22 + ^23®33' СТ12 = <Т33 = /(3|ЕМ + А32е22 + АъуЕ33, СГ13 = ацеп, <Х23 = Аме23, где Ат обозначают коэффициенты жесткости оболочки. Геометрические нелинейные уравнения

1 аи. 1 8АГТ \( 1 эи,

(1.2)

А1 84 А,А2 80 2 84

0+-) 1

1 аи2 А, 80 + Я

1 1

1 ди, и,

2(\ + п){А2 80 Я

аи,

1 8АТГ I би. \ 1 ди,( 1 31/, 1/,^ ---и. +--— +---------

12 А2{\ + г:) 60 А,А2 80 ' А, 8$ Л, (1 + 8£ {А2 30

аи.

(1.3)

1 аи, аи, 1

е„ =——^ +

аи, 1

е„ =—- + —

33 & 2

б23 = (1 + гг)

А, 80 Я) & *

Считаем, что на лицевых г = , г = и торцевых поверхностях оболочки заданы следующие граничные условия:

ст/з(+Л2) = ?Гз. ст/з(-А) = ?Гз. / = 1,2,3, (Та1=да1, » = 1,2,3, а = 1,2. Построение двумерных уравнений. Для построения метода расчета приведем систему трехмерных уравнений теории упругости к системе двумерных уравнений, зависящих от независимых тангенциальных переменных 0. Представим перемещения в виде

и,, (£,*,*) = 2«, (£.*) £,1/2 и, е. г) = ¿V, г/, (£.<?,*) =

¿-О Л! 0 л! Л !

С помощью вариационного принципа Лагранжа получим ЪК + 2 нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно обобщенных усилий

" 8%\А,) 80{А2) А,А2 80 { í ¡о =±( VI+

* 80{А2) 8^{А,) А,А2 80 Я {А, 30 Я) А,Я 8% Я

Мв

я2 '

А*-1

Мв вн/, А2Я 80

АГ—1

А, Я

+ р°в-Х°в= О,

8$\А{ 8!; ) Я А,

Ыв I 1 Зи>0 У0

а2

+—£

А, (л2 80 Я

3 н-- С —' > Мв -V, Ч 1 -— V

30 К) 30 Ы ЛЛ2 ' \ У ДЛ ' \ 1 /

80 Ь

Мв 8№, М¿Ц

А22 80 А,А2 84

| д ЩМ'ц 8м>,

+ 8£Ъ{а1А2 80 )

+ р°,-х:= О,

дМ'М^дА, ^ —

+ . - --01, -¿Ли] +Р( ~х( =0» ' = 1.^.

80 А2 А,А2 80

(1.4)

У=1

, _ 3 А/; 3 к Щ 8А, (/-1) А?»

•<«---1-------У«» --н--

30 Л2 3£ 4 Л,Л2 30 1 я вг я

1 ди>0 У0

уА2 30 Л

М'у ЗУУ0 Л,Л 3£

P[A2R Эв)

j-'

lie

{A,R 84 J a M'tl д М'в, M'g +a{K^L

84 A, 80 A2 R ' 8$ ^

-I^-v. -£г>, = 0, / = 1 ,K,

i-1 л y-i

1 gM'o Vp v/42 80 R

1 5W0 Vq A, 80 R)

q* в»,

MK 8w0

Л A Si J

Л,Л2 00 I 56» jx

4; Syyj {¿Л J

a Af 4

Af 84

80 ^{Al 80 )

8 ^(4

= 0, / = 1,(^-1),

80%{A2R ' J dffi[A,R 11 Обобщенные усилия представляются как

{N(,N(I),Q(,)= (сги,(т12,<т13)х(1 + rz)dz, {N„,N„¡,0,,)= ] (er22,crn,a2,)<h,

-Л, -Л,

*>h 1-1 *>h _'+/-2 +*| _(+./ Д 23 (/-1)! Д 33 V (/-l)'(y-l)! * Д 12 Яу!

Pf =?Гз|0 + «)-Т|-

(—♦A.)

Ofl = ?23

"023

Рг = ?33

,[N(,N(«,QU)= \{qn,qn,qn)x{\ + rz)dz,

-S +lb

_. _. _. . *h z< _ _ _ *'ti

M(,M'l>,M'(,\= f(qu,qi2,qn)x(l + rz)—dz, [Ne,Nes,Qei)=

С помощью ЗК + 2 уравнений (1.4) известным способом можно получить полную систему двумерных уравнений, содержащих (ЗЛГ + 2) обобщенных перемещений uk,vk,wk.

Определение краевых условий.

Для края 4 - const имеем следующие варианты краевых условий:

N( = N{ v Uq =и0г, N(0 = Nfe v v0 = Vq M\ = M\ v и, = u[, M'(g =м\в v v, = v,r, / = I, AT,

Ni dw* . Г 1 v0

rZ. -7Г"- T "2 — " J w й , <-l

+ gfA/f Эй-, ) . х=!Г '

^ S^ J J

= wf V Л/;, = +

8wn И

A fs

A, 84

"[A, 80 R

(1.6)

J' 1

^в! dWj К Г Я ^в!

u ~дв ;=1 R J Ч /

, / = 1,АГ-1,

Краевые условия на краю в = const представляются как

Ngr^Nef v и0 , Ns=Ne v v0 = = м'вс v к,. =uf, М'в = м'о v v, =vjr, i = l,K,

v м'„,=м' От*.-*

' 1 А Э0 Л

tye Sw,

ЛГ—1

, 4 , у

Л ц м

Me 1 Л

/ \ Л/« <5wf Л^Й. dw,

Л2 Э0

4 Si

AT—1

4 Si

(1.7)

Очевидно, что краевые условия (1.6), (1.7) охватывают все разнообразие возможных условий закрепления оболочки в реальных конструкциях, а их количество полностью соответствует порядку системы дифференциальных уравнений (1.4) согласованной теории.

Алгоритм решения задачи. Решая дифференциальные уравнения (1.4) относительно (ЗА'+ 2) обобщенных перемещений ик, у*, и>4, получим общее решение, содержащее неизвестные постоянные интегрирования. Они определяются из краевых условий (1.6), (1.7).

С помощью (1.2), (1.3) получим выражения деформаций и тангенциальных напряжений аи, а22, ст12 оболочки. Остальные компоненты напряжений определяются из уравнений (1.1), что обеспечивает их полное удовлетворение.

Во второй главе на основе дифференциальных уравнений и краевых условий, полученных в первой главе, построены уравнения теории круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины и метод решения постановленных задач.

1. Вывод уравнений теории круговых цилиндрических оболочек. Для изотропной круговой цилиндрической оболочки имеем

Будем предполагать в дальнейшем, что искомые упругие перемещения {/,, иг, из допускают асимптотические представления вида

I/, (£0,2) = щ (£*) + «, (е.в)2 + иг + (£.0)^.

В данном случае уравнения (1.4) приводятся к уравнениям в перемещениях

КГ' + КГ' Д- + Kill -^r к + Щ v0 + Л7Г» — w0 + [ КГ0> + Щ ~ + Щ )«, ч 0 11 S^2 22 дв2 ) 0 11 д£дв 0 ' д£ { " д%2 дв2 ) 1

+ЛТ' V, + КГ —w.+1 КГ' + КГ! Дг + + КГ' v, + КГ —w2 +

12 8фО ' 1 ^ 0 " д£2 22 дв2) 2 12 д£дв 2 ' 84 2

+ Kin = Ki«>q»(2.1)

+K,;i +Ki;>i wY=~ qn• +Kj- &У>+** iov'+^ h+¿Ь+(^+^ wh+

+*/',"' W ¿v3= *7oS3+, - / = 1,2,3,4; / = 5,6,7,8; y = 9,10,11.

где коэффициенты с буквенными и цифровыми индексами представляют собой постоянные величины, зависящие от геометрических и физических параметров оболочки; R - радиус оболочки, £ - относительное (измеренное в долях R) расстояние по образующей, в - центральный угол.

2. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов по переменной в. Разложение в тригонометрические ряды по окружной переменной в, как правило, используется к расчету замкнутой круговой цилиндрической оболочки. При этом условия периодичности по окружному направлению автоматически выполняются. Представим нагрузки и перемещения в виде тригонометрических рядов

4% (<Г,0) = Q^з (<?) + + (i)sinтО], i = 1,2,3,

= + + * = 0,1,2,3, (2.2)

v, {4,в) = ) + ¿[>i2>(<f)cosm0 + у® (<f)sinтв], k = 0,1,2,3,

Щ (#•в) = (i) + (i) cos + (f )sin тб], / = 0,1,2.

Подставляя (2.2) в (2.1), получим обыкновенные дифференциальные уравнения для ш-х членов разложений (2.2). В данной главе приведены общие решения соответствующих однородных дифференциальных уравнений, которые здесь не приводятся.

В общем случае характеристическое уравнение имеет 22 корня вида:

±pt ± iq,, ±р2 ± iq2, ±р, ± /<73, ±pt, ±Pi, ±р6, ±Pl, ±рв. (2.3)

и разделяются на три группы: малые корни ±pi±iql, соответствующие обобщенным основным НДС; большие корни ±p2±iq2, соответствующие НДС простых краевых

эффектов; сверхбольшие корни ±ръИд3, ±р4, ±р5, ±рй, ±р7, ±ps соответствующие НДС дополнительных краевых эффектов.

3. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов по переменной £ Как правило, разложение в тригонометрические ряды по £ применяется к расчету открытых круговых цилиндрических оболочек, имеющих прямолинейные края. Разложим нагрузки и перемещения в виде

& (#,*) = е(0),з (*) + i (^)cos Л,„£ - (ff)sm« = 1,2,3,

= + * = 0,1,2,3,

I" (2-4)

= + cos^i + KW^sm^i], * = 0,1,2,3,

щ ы = wa (0) + (0)sin^£ + W® (ffjoos^i], / = 0,1.2.

Здесь Am - константа, которая пропорциональна m.

Подстановкой (2.4) в (2.1) находятся обыкновенные дифференциальные уравнения для ш-х членов разложений (2.4). В диссертации приведены общие решения соответствующих однородных дифференциальных уравнений.

Далее, с помощью операционного метода, основанного на преобразовании Лапласа, получены аналитические решения для замкнутой круговой цилиндрической оболочки с различными краевыми условиями при действии распределенной и локальной нагрузок. Применение преобразования Лапласа дает существенное преимущество по сравнению с классическими методами. При этом краевые условия на одном конце оболочки автоматически выполняются, что вдвое сокращает число произвольных постоянных при интегрировании дифференциальных уравнений.

Рассматривается оболочка, находящаяся под действием радиальной локальной нагрузки, изменяющейся по закону

npuO<Z<^ui2<^40=LIR, ) (£) cos тО, при £ ^ f < £, где L - длина оболочки.

В диссертации представлены выражения частных решений для оболочки под действием следующих локальных нагрузок:

- радиальной кольцевой нагрузки, изменяющейся в продольном направлении по закону

JO, npuQ<Z<^ и при$2<4^0,

^Нй. «put&ib, (2-5)

- радиальной кольцевой нагрузки, изменяющейся в продольном направлении по параболическому закону

0, ири0<с?<£ и пРи42<^<§0, Qif + Q^+Qo, пРи£<£^2,

- распределенной в окружном направлении силы Р, приложенной в произвольной точке £ = ,

- распределенного в окружном направлении изгибающего момента М, приложенного в произвольной точке 4 = £ •

В виду громоздкости здесь они не приводятся.

Отдельно рассматриваются случаи, когда на оболочку действуют изменяющие по закону (2.5) и по закону со${тО) в окружном направлении нагрузки для случаев т = 1 (ветровая нагрузка) и т > 2 (общий случай феформации).

В данной главе приведены выражения частных решений для вышеназванных случаев.

В третьей главе проведены результаты параметрических расчетов по исследованию влияния геометрических параметров и изменяемости нагрузки на НДС оболочки, дано сравнение результатов, полученных в данной работе, с классической теорией.

1. Анализ корней характеристического уравнения.

Для сравнения результатов расчета НДС оболочки по разным теориям в таблице 3.1 приведены значения корней характеристического уравнения для осесимметричной задачи при различных значениях относительной полутолщины £■„. В таблице 3.1 аббревиатура «Кл. теория» соответствует результатам, полученным по классической теории, К = 2 полученным в работе [1], К = 3 - полученным в данной работе.

__Таблице 3.1

// = 0,30

Ео 1/40 1/60 1/80 1/100 1/200

Р\ к=з 5,797 7,080 8,163 9,119 12,875

К = 2 5,499 6,720 7,752 8,661 12,233

Кл. теория 5,749 7,040 8,130 9,089 12,854

Ч\ А>3 5,702 7,002 8,096 9,059 12,833

К = 2 5,431 6,665 7,704 8,618 12,203

Кл.теория 5,749 7,040 8,130 9,089 12,854

Рг К = 3 90,979 136,469 181,959 227,449 454,898

К = 2 90,988 136,475 181,963 227,453 454,900

Чг к=з 37,692 56,532 75,373 94,215 188,426

К = 2 37,686 56,528 75,371 94,213 188,425

Рг К = 3 159,481 239,219 318,957 398,696 797,390

Рл К = 3 207,701 311,549 415,397 519,245 1038,488

Очевидно, что корни ±р1г±д4 могут быть определены только по теории К = 3.

Расхождение между значениями р2, д2, соответствующими вариантам К = 2 и К = 3 составляет около 0,025% и следовательно результаты краевых эффектов, соответствующие корням ±р2±1ц2, определяемым в данной работе и по теории К = 2, практически совпадают. Размер зоны действия краевых эффектов, соответствующих корням ±р2Ид2, примерно равен /г от края оболочки (зоны искажения напряженного состояния).

Поскольку р}> р4 приблизительно в два раза больше чем р2, скорость затухания краевых эффектов, соответствующих корням ±р3, ±р4, в два раза больше чем скорость затухания краевых эффектов, соответствующих корням ±p2±iq2. Поэтому размер зоны действия краевых эффектов, соответствующих корням ±ръ, +р4, примерно составляет А/2 от края оболочки.

2. Сравнение результатов, полученных в данной работе, с классической теорией. В качестве примера рассматривается круговая цилиндрическая оболочка со следующими параметрами: относительная длина £0=¿//? = 4, радиус /? = O.Lw, относительная полутолщина е0 = h/R = 0.005, коэффициент Пуассона /л = 0.3. Оболочка жестко защемлена на двух концах. Локальная нагрузка приложена в середине оболочки и имеет следующие параметры: = 1, = 3. го, при0<£<& и

[а, при^<42,

На рис. 3.1 - 3.4 . показаны результаты расчета НДС оболочки для случая т = 0, где аббревиатура «Gol» соответствует результатам классической теории.

о у? /У у

У7

¿Г'* ш'' У У/ v'

■ДГ=3---К=2--Ooi\

■к=3---ЛГ= 2--оы

Рис. 3.1, а Рис. 3.1,6

Рис. 3.1. Изменение продольных нормальных напряжений аи по толщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии % = Ба! 2 от края оболочки.

Рис. 3.2, а Рис. 3.2, б

Рис.3.2. Изменение тангенциальных нормальных напряжений сг22 по толщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии £ = /2 от края оболочки.

Рис. 3.3, а Рис. 3.3, б

Рис. 3.3. Изменение поперечных нормальных напряжений сг}3 по толщине: а) на краю оболочки;б) на расстоянии £ = г0/2 от края оболочки

Рис. 3.4, а Рис. 3.4, б

Рис. 3.4. Изменение поперечных касательных напряжений а 13 по толщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии £ = / 2 от края оболочки.

Анализируя графики на рис. 3.1 - 3.4, можно установить:

- Максимальные нормальные напряжения сги, определяемые по уточненной теории «АГ = 3», превышают величину этих же напряжений, соответствующих классической теории, на 35%, что подтверждается результатами работы [5], полученным для круговой пластинки другим методом;

- Максимальные нормальные напряжения <т22, полученные по уточненной теории, вдвое больше соответствующих напряжений, определяемых по классической теории; результаты уточненных теорий «ЛТ = 3»,«К = 2» относительно этих напряжений практически совпадают;

- Максимальные поперечные нормальные напряжения а33, достигающие значений порядка 40% от <тп, отличаются друг от друга по обеим уточненным теориям примерно на 13%;

- Максимальные поперечные касательные напряжения сг13, составляющие 22% от <ти, отличаются друг от друга по обеим уточненным теориям на 30%.

- На краю оболочки дополнительные краевые эффекты, соответствующие корням ±р3, ±р4, существенно влияют на величину и распределение по толщине поперечных нормальных напряжений <т33. Тангенциальные нормальные и касательные напряжения, полученные в данной работе и по теории К-2, практически совпадают, есть некоторые отличия непосредственно на краю оболочки.

На рис. 3.5 - 3.8. показаны результаты расчета нормальных напряжений оболочки для случая т = 2.

Рис. 3.5, а Рис. 3.5, б

Рис. 3.5. Изменение продольных нормальных напряжений сги по толщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии ¿; = е0/2 от края оболочки.

Рис.3.6. Изменение тангенциальных нормальных напряжений а22 по толщине: а) на краю оболочки; б) на расстоянии % = е0 /2 от края оболочки.

Рис. 3.7. Изменение поперечных нормальных напряжений сг33 по толщине: а) на краю оболочки;б) на расстоянии £ = £0 /2 от края оболочки

Рис. 3.8, а Рис. 3.8, б

Рис. 3.8. Изменение поперечных касательных напряжений <т|3 по толщине;

а) на краю оболочки; б) на расстоянии £ = £0 / 2 от края оболочки. Очевидно, что в случае т — 2 сохраняются те же особенности изменения НДС, что и в случае т = 0.

В четвертой главе представлены результаты построения уточненных краевых задач для цилиндрических оболочек с симметрично и несимметрично изменяющейся относительно срединной поверхности толщиной.

1. Расчет оболочки переменной толщины, симметрично изменяющейся относительно срединной поверхности

В качестве примера, рассматривается оболочка, жестко защемленная по двум концам, закон изменения толщины которой представляет собой функцию только одной переменной £, т.е Л, = = .

Тогда уравнения в перемещениях принимают вид

d — Jкп + кп A)». Jкп + КГ'

dq "

Ki-' +ki+ \и0 +| кц- +KI;° — +| ю? +к!? — |w, +

о ■ГЛ,| -77Tiv'ii Г" ""1 "ГЛ,1 ^ ' —"

Tld__ „„. ¿2 1 |\„„. ..... d ...... d2

+| KQ + Д" + Щ —т\Щ+\ Д>"! + W — + Д>! — Ь +

+1 ДГ'+К/,

'Г +А7,- 4 + ^Г |"з = О,

(4.1)

^ + ^ + ^ £ Iw, +

W2 +1 А/0" + ^ |"о +| KR

+[кя + + + КД> = I = 1,2,3,4; у = 9,10,11,

и граничные условия

и. =0, / = 07з, у = 0^2,при £=0 и £ =

Уравнения (4.1) решаются конечно-разностным методом. Производные 1-го и 2-го порядков аппроксимируются с помощью отношения центральных разностей со 2-м порядком аппроксимации.

+ = (4.2)

ЛГ 25 К ' <1? . 52 '

Из уравнений (4.1) и (4.2) получим следующую конечно-разностную систему:

. s1 2s

( at/,"1 ,t1

isus

Ш ki? | M

-2 AT,1

-2ЛГ/,7

и +

А'С

2i J

Г ^п'

U2 "irj

KI"1

.M ^ Kl?

Un +

2 s

2s 2s

s~ ! 1. s~ 2s i 2s

"'ii. + JH? k+l^-=0, / = 1,2,3,4,

-ki?

s' ' ) ~ v S

Ki? K +

(4.3)

---Щ + —uo +А/о "о H--

Kj\

il Ц-I + Лгу>; +

s 2s

m kj:

27 J"' "vo"1' 2s

Ц"1 + + Kf0>u'2 + -г^иГ' +

+ + = Ау,?"^'0, У = 9,10,11, / = 1,(^-1),

где +1), л- - соответственно число узлов и шаг конечно-разностной схемы.

',».„' 4- KJ"' ,,'-' = Г/У»/7^')

Уравнения (4.3) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Она имеет семидиагональную матрицу, которую можно представить следующей системой векторно-матричных уравнений:

4 + В,Х, + С,ХМ = /<, ,' = 1,(Л'С-1),Д = С>АН = 0.

Здесь 0 - нулевая матрица размером 7x7; Fi - векторы правых частей

/• =[0, О, О, 0, К9$д$\ КЮ^д^, К1V» ;

X, - векторы искомых перемещений X, = , , и[, и>,' , и[, , и'} ^ ;

4, Д, С, - квадратные матрицы коэффициентов размером 7x7, определяемые следующим образом:

А, =

„2

К 4Г:

-К9",'

К1Г-

25 ' К2"° 25

2.? : К 4Г1

-А'ЗР1

ЛГ9Г"

25 '

25 -А'ЮГ'

Алоа

2 5

25 А1

25~^

лгз,'

25 ' '

ЛГ4"' -

52 2 5 ' " 25 ' 52

КУ[\

-К\? 25 '

-кг?

25 -КЗ? 2* -К4?

52 52 52

-АГ1Г

25 '

25 ' КЗ"'

25 '

ЛГ4Г'

-кг?

25 -АГЗр

-К4Г*

52 25

кги.'

К 2Й

5 25 АГЗ"; А'3"!

КА\' 25

ЛГ9? -АГ9'' 25

К9Ъ

К9?

-К 9?

-/ПО!" А10Г! АГ10Г

Ю1,";

25 ЛГ11? 25

-АЮ"2 /по;-;

25 -АГ11"'

А:иг?

25 25 ЛГЮГ' -КЩ 25

ЛГИ? 25

К\\

А1-, Ю?-^-, А'1"1, А1„!

10 5

кг;-, кг*

5 5'

—, ЛГЗ?--КЗ^, КЗ^'

К 21'

5 5

2ЛГ2";

■Зм ¡ты 2Л_

2 КЗ"'

кэ?, КЗ-

5 5

—2

5 ^ о

КЩ',

ЛГПо", ЛГПУ"

2£3£_

2КЩ

5 5

2^9""° 2^9^ 2К9"'

щ;, К9^ -—А-9?, А'9^

5 5 5

«о?. «о?-^. «о?

5 5 5

с,=

КС 52 К\\" KVt\ < KY' s1 2 s К1? t кîp к 1Г= K\-x\ ( Kl\<

2s ' 2 s ' ' 2s '' i2 2s ' 2s ' s2 2 s

S2 К2"" 2 s ' K2? 2 s ' | К2" s2 2 s ' K2? ' 2 s K2\\ ^ K2\> s2 2s K2? ' 2s ' K2\\ ' î2 K2"> +-— 2s

S2 КЗ? 2 s ' Kl? 2 s ' Kff, | Kl? s2 2s КУ? ' 2 s • К T.) КУ> —5^ + —- s2 2 s КЪ? ' 2 s КЪ\\ ' s2 2 s

52 К4"° 2 s ' K4? 2 s ' K4\\ К 4P K4"> s2 2s ' 2s • К4",] | кг- s2 2 s K4? ' 2s K4n ' s2 К 4? -+—— 2s

К9"° 2 s ' К9п s2 К 97" + ——, 2s K9? 2 s ' K9Û K9? î2 ' 2s K9"' 2 s ' K9;; s2 K9? 2 s ' K9"> 2 s

КЩ' 2 s ' по* s2 KW? - +-L 2s КЩ ' 2 s ' /по"; k\ç>;> КЩ' i2 1 2s ' 2 s ' K\Q"; ЛГ10Г2 -+-— s2 2 s КЩ' ' 2 s

кп? 2s ' JCIIÏÏ s2 ku:° +—— 2s Kll? /П1Г' АГ1 2s s2 2s ' 2s ' Ю1Г? i2 ATllp 2s ' Kl\"> 2 s

Векторы искомых перемещений X, находятся методом прогонки

X, = Р,ХМ + 0. = « (4-4) где Х0=Х^ =®,Р, =-(В, + Д^-i) ' С,, /J =-(В,)1 Ср_

а = (д+дГ1 (г, -4в,л а = (дг1 '=2,(л/0 -1).

Таким образом, с помощью формулы (4.4) определяются перемещения в узлах сетки. Для аппроксимации перемещений используются сплайны. Затем деформации оболочки получаются с помощью геометрических уравнений, а напряжения находятся с использованием соотношений закона Гука и уравнений равновесия трехмерной теории упругости.

В качестве примера, рассматривается оболочка, толщина которой линейно изменяется. Тогда имеем й, =(е0 +kaÇ)R, e0=h0/R.

Расчет проводится для оболочки, имеющей следующие параметры: относительная длина £0=1/Л = 4, радиус R = 0.\m, h,jR = 1/40, коэффициент Пуассона /л = 0.3. Локальная нагрузка изменяется по закону ГО, лраО<£<1,иЗ<£<;4.

la. nPu\<4<3,

На рис. 4.1 — 4.3 показаны результаты расчета нормальных напряжений и перемещений при различных значениях к0.

Й(#) =

(4.5)

-0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003

/ / /

о ...2,_ / / / .......

е» ¿Г , У ✓ ✓ ✓

х' ✓ „.-л" Ч

-0.004 - 0.002 0 0.002 0.004

---Ы1--о22-аЗЗ |

|---о11--- а22-аЗЗ |

Рис. 4.1, б

Рис. 4.1, а

Рис. 4.1. Изменение нормальных напряжений по толщине на краю % = при: а) к0 = 1 / 640; б) к0 = 1 /160.

0.2 п

Рис. 4.2, а

Рис. 4.2, б

Рис. 4.2. Изменение продольного перемещения по длине оболочки на внешней поверхности при: а) к0 = 1 / 640; б) к0 = 1 /160.

Рис. 4.3, а

Рис. 4.3, б

Рис. 4.3. Изменение поперечного перемещения по длине оболочки на внешней поверхности при: а) к0 = 1 / 640; б) к0= 1 /160.

2. Расчет оболочки переменной толщины, изменяющейся несимметрично относительно срединной поверхности

Рассматривается оболочка, толщина которой изменяется по закону /г, =ЕйК = сот1,к1 =(е0 + £„£)/?, Л^ =(г0 + £<,£,)/?, имеющая следующие параметры: относительная длина £> = £//? = 4, радиус Л = 0.1 м, Ло/д = 1/40, коэффициент Пуассона ¡л = 0.3. Локальная нагрузка определяется формулой (4.5).

На рис. 4.4 — 4.6 показаны результаты расчета нормальных напряжений и перемещений при различных значениях к0.

Рис. 4.4, а Рис. 4.4, б

Рис. 4.4. Изменение нормальных напряжений по толщине на краю

Рис. 4.5. Изменение продольного перемещения по длине оболочки на внешней поверхности при: а) ка= 1 / 320; б) к0 =1/160.

Рис. 4.6. Изменение поперечного перемещения по длине оболочки на внешней поверхности при: а) =1/320; б)к0 =1/160.

На основании полученных результатов можно установить, что что для эолочек, имеющих одинаковое значение толщины, способ изменения толщины :имметричный иди несимметричный относительно срединной поверхности) не 1ачительно влияет на перемещения и максимальные величины нормальных апряжений, но существенно влияет на распределение напряжений по толщине эолочки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Для цилиндрической оболочки переменной в продольном и окружном аправлениях толщины построены нелинейные и линейные уравнения, озволяющие уточнить по сравнению с классической и уточненной теориями эмпоненты НДС в зонах его искажения (краевые области в местах крепления и гйствия локальной нагрузки).

2. Для круговых цилиндрических оболочек замкнутого и открытого профиля □перечных сечений за счет повышения порядка аппроксимирующих полиномов в изложении компонентов НДС по нормальной к срединной поверхности координате тервые получены уточненные системы дифференциальных уравнений равновесия в гремещениях и сформулированы граничные условия для основных случаев репления оболочек.

3. Для круговых цилиндрических оболочек замкнутого и открытого профиля эперечных сечений уточненные уравнения равновесия и граничные условия с □мощью разложения перемещений и внешних нагрузок в тригонометрические вды по окружной и продольной координатам приведены к системам обыкновнных ифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями.

4. Для круговых цилиндрических оболочек замкнутого и открытого профиля □перечных сечений с помощью операторного метода и аппарата операционного счисления решены уточненные краевые задачи в линейной постановке для ряда тучаев действия локальных радиальных нагрузок.

5. На основании анализа соотвествующих характеристических уравнений оказано, что по отношению к классической теории оболочек уточненная теория ает возможность получить большие и сверхбольшие корни, которые соответствуют вум типам быстро затухающих от линии НДС типа «погранслой».

/ ;

6. Показано, что в зоне искажения напряженного состояния, соизмеримой с

толщиной оболочки, поперечные напряжения соизмеримы с основными

напряженями, определяемыми по классической теории, которые также существенно

уточняются.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ

1. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Ле Чунг Хиеу. Исследование напряженно -деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе трехмерных уравнений теории упругости // Проблемы машиностроения и автоматизации. 2012. №2. С. 98- 105.

2. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Ле Чунг Хиеу. Исследование напряженно -деформированного состояния цилиндрической оболочки по уточненной теории //Вестник МАИ. 2012. Т. 19. №5. С. 158-171.

3. Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Ле Чунг Хиеу. Исследование напряженно -деформированного состояния открытой цилиндрической оболочки на основе уточненной теории // Вестник МАИ. 2012. Т. 19. № 3. С. 175 - 183.

4. Фирсанов В.В., Ле Чунг Хиеу. Напряженно-деформированное состояние краевого эффекта в цилиндрической оболочке переменной толщины // Вестник МАИ. 2012. Т. 19. № 1. С. 157 - 162.

5. Фирсанов В.В., Ле Чунг Хиеу. Расчет на прочность круглой пластинки с учетом трехмерности НДС в зоне жесткого защемления // Материалы XVI международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2009. Т. 2. с. 131139.

6. Фирсанов В.В., Ле Чунг Хиеу. Уравнения краевого эффекта в цилиндрической оболочке переменной толщины // Материалы XVIII международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. 2012. Т. 1. С. 180 - 182.

7. Фирсанов В.В., Ле Чунг Хиеу. Напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической оболочки вблизи нерегулярностей // Научно -практическая конференция студентов и молодых ученых МАИ «Инновация в авиации и космонавтике - 2012». 17 - 20 апреля 2012 года. Москва. Сборник тезисов докладов. 2012. С. 275 - 276.

8. Фирсанов В.В., Ле Чунг Хиеу. Об уточнении напряженно - деформированного состояния круговой цилиндрической оболочки // V международная научно-практическая конференция «Инженерные системы - 2012» 16 - 18 апреля 2012 года. Москва. РУДН. Сборник тезисов. С. 74.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от^О,. -/'/201 г. Тираж(50 экз.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Ле Чунг Хиеу, Москва

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

ЛЕ ЧУНГ ХИЕУ

04201350308

ТРЕХМЕРНАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель Доктор технических наук, профессор Фирсанов В.В.

Москва-2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................5

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАНТА УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ............13

1.1. Обзор литературы и постановка задачи.........................................................13

1.1.1. Обзор литературы.........................................................................................13

1.1.2. Постановка задачи........................................................................................21

1.2. Нелинейная теория цилиндрических оболочек переменной толщины........25

1.2.1. Уравнения равновесия и граничные условия..............................................25

1.2.2. Методика определения напряженного состояния цилиндрической оболочки.................................................................................................................32

1.3. Основные уравнения нелинейной теории круговых цилиндрических оболочек..................................................................................................................34

1.4. Выводы к первой главе...................................................................................36

ГЛАВА II. ВАРИАНТ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК.................................................................37

2.1. Построение уравнений теории и формулировка краевых условий..............37

2.2. Замкнутая цилиндрическая оболочка. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений....................................................41

2.3. Открытая оболочка. Приведение краевой задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений..............................................................................47

2.4. Цилиндрическая оболочка под действием осесимметричной нагрузки.......53

2.4.1. Общие решения однородных уравнений.....................................................54

2.4.2. Частные решения краевых задач для оболочки, находящейся под действием различных видов радиальной нагрузки..............................................57

2.5. Общий случаи деформации цилиндрической оболочки...............................68

2.5.1. Цилиндрическая оболочка под действием ветровой нагрузки..................68

2.5.1.1. Общее решение однородных уравнений..................................................69

2.5.1.2. Частные решения краевых задач..............................................................74

2.5.2. Цилиндрическая оболочка под действием нагрузки, изменяющейся по

закону cosmO в окружном направлении................................................................81

2.5.2.1. Общее решение однородных уравнений..................................................81

2.5.2.2. Частные решения краевых задач..............................................................83

2.6. Выводы ко второй главе..................................................................................90

ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПО УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ ДЛЯ ТИПОВЫХ ВАРИАНТОВ НАГРУЖЕНИЯ.....................................................91

3.1. Анализ корней характеристического уравнения и НДС оболочки...............91

3.1.1. Осесимметричная нагрузка..........................................................................91

3.1.2. Ветровая нагрузка.........................................................................................97

3.1.3. Общий случай деформации оболочки.......................................................101

3.2. Выводы к третьей главе................................................................................106

ГЛАВА IV. РАСЧЕТ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ ПО УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ....................107

4.1. Основные уравнения линейной теории цилиндрических оболочек переменной толщины...........................................................................................107

4.2. Расчет оболочки переменной толщины, симметрично изменяющейся относительно срединной поверхности................................................................109

4.2.1. Основные уравнения..................................................................................109

4.2.2. Методика расчета оболочки под действием осесимметричпой внешней радиальной локальной нагрузки..........................................................................111

4.2.3. Исследование влияния изменения толщины на НДС оболочки..............115

4.3. Расчет оболочки переменной толщины, изменяющейся несимметрично относительно срединной поверхности................................................................123

4.3.1. Основные уравнения..................................................................................123

4.3.2. Исследование влияния изменения толщины на НДС оболочки..............126

4.4. Выводы к четвертой главе............................................................................131

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................................................................132

ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Современная техника выдвинула в теории пластинок и оболочек более сложные проблемы, чем те, которые исследуются классической теорией типа Кирхгофа - Лява. Один из аспектов этих проблем заключается в построении более достоверных методов определения напряженно - деформированного состояния (НДС) вблизи зон искажения напряженного состояния (области вблизи крепления конструкций, действия локальных и быстро изменяющихся нагрузок), а также элементов конструкций, выполненных из неоднородных материалов. Это объясняется тем, что для этих случаев классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой в силу существенной трёхмерной НДС.

Поэтому для описания объемного НДС необходимо построить уточненные методы расчета пластинок и оболочек, базирующиеся на трехмерных уравнениях теории упругости. Такой подход позволит более точно определить НДС для тонких оболочек вблизи соединений и стыков, в том числе выполненных из неоднородных материалов, в местах приложения локальных нагрузок, а для нетопких оболочек - и во внутренних областях.

Построение уточненных теорий и методов определения НДС указанных элементов строительной механики позволит решить проблему расчета на прочность таких авиационных конструкций, как силовые корпуса летательных аппаратов, различные переходные зоны и соединения, а также элементов конструкций в различных отраслях машиностроения и в строительном деле.

Учет трёхмерной НДС в элементах конструкций в сочетании с методами механики разрушения дает возможность оценить трещиностойкость в наиболее нагруженных зонах, более обоснованно выбрать тип конструкционного материала и рациональным образом распределить его вблизи концентраторов напряжений.

Результаты расчета общего, местного НДС пластинок и оболочек могут быть использованы при обосновании режимов лабораторных испытаний на действие статических нагрузок, вибраций и ударов.

Поэтому разработка методов прогнозирования НДС пластинок и оболочек, уточняющих результаты классической теории и применяемых на этапах проектирования перспективной техники, представляет собой актуальную проблему.

Объект диссертационного исследования - оболочечные конструкции.

Предмет исследования - методы расчета НДС цилиндрических оболочек переменной толщины, позволяющие уточнить результаты классической теории.

Задачи работы, решаемые для достижения поставленной цели:

1. Построение нелинейных уравнений для цилиндрической оболочки переменной толщины, позволяющих уточнить НДС в зонах его искажения (краевые области в местах крепления и действия локальной нагрузки);

2. Построение уточненных уравнений и решение краевых задач в линейной постановке для круговой цилиндрической оболочки замкнутого и открытого профиля поперечных сечений;

3. С помощью уточненной теории проведение расчетов круговой цилиндрической оболочки для различных вариантов локального нагружения с целью количественной оценки результатов и их сопоставления с данными классической и других теорий;

4. Проведение анализа изменяемости и характера распределения НДС по поверхности и толщине цилиндрической оболочки;

5. Построение уточненных уравнений и решение краевых задач для круговой цилиндрической оболочки с симметрично и несимметрично изменяющейся относительно срединной поверхности толщиной.

Методы исследования

В диссертационной работе основу исследований составляют трехмерные уравнения теории упругости в трнортогональной криволинейной системе координат; вариационный принцип Лагранжа па основе уточненного выражения для полной энергии за счет повышения порядка аппроксимаций компонентов НДС по нормальной к срединной поверхности оболочки координате; применение тригонометрических рядов для приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям; операторный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений; аппарат операционного исчисления; метод конечных разностей.

Научная новизна работы заключается в следующем:

5. Показано, что вблизи зон искажения компоненты напряженного состояния, полученные по уточненной теории, существенно отличаются от соответствующих значений, определенных по классической теории не только в части поперечных нормальных и касательных напряжений, по и в части тангенциальных напряжений. Например, для основных нормальных напряжений дополнительные добавки могут достигать 60%, поперечные нормальные и касательные напряжения получаются одного порядка с продольными нормальными напряжениями.

Достоверность и обоснованность научных положении и результатов

Практическую ценность диссертационной работы составляют

1. Предложенные в работе математические модели, методы и алгоритмы расчета, позволяют существенно уточнить НДС оболочечиых конструкций в зонах искажения напряженного состояния;

2. Качественный и количественный анализ влияния вида нагружсния, геометрических параметров цилиндрической оболочки на ее НДС;

3. Доказательство наличия в топких и менее тонких оболочках поперечных нормальных п касательных напряжений, соизмеримых с максимальными

значениями основных нормальных напряжений и существенно влияющих па оценку прочности оболочек из изотропных и композиционных материалов;

4. Результаты, полученные на основе аналитических и численных исследований, могут быть использованы на этапе проектирования в методиках инженерных расчетов и испытаний па прочность типовых авиационных конструкций и их соединений, в первую очередь, непрерывных соединений типа фланцевых, сварных, клеевых;

5. Полученные в диссертации результаты позволяют разработать рекомендации и справочные материалы для процесса проектирования и оценки прочности машиностроительных (авиационных, ракетно - космических и др.) и строительных конструкций.

Основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту

1. Математические модели определения НДС цилиндрических оболочек переменной толщины, в том числе замкнутых и открытых круговых цилиндрических оболочек, позволяющие существенно уточнить НДС в зонах искажения напряженного состояния;

2. Методики расчета замкнутых и открытых круговых цилиндрических оболочек под действием локальных и распределенных нагрузок, основанные на операторном методе решения систем дифференциальных уравнений и преобразовании Лапласа, упрощающего решение соответствующих краевых задач, в части определения частных решении уравнений;

3. Доказательство существования быстро затухающих при удалении от зон искажения напряженного состояния поперечных нормальных и касательных напряжений, что подтверждается наличием дополнительных корней характеристических уравнений задачи;

4. Результаты анализа изменяемости и характера распределения НДС по поверхности и толщине круговых цилиндрических оболочек постоянной и

переменной толщины.

Апробация работы и публикации

Результаты диссертационной работы докладывались на

- Научно - практической конференции студентов и молодых ученых МАИ «Инновация в авиации и космонавтике - 2012». Москва, МАИ, 2012 г.;

- V международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2012». Москва, РУДН, 2012 г.

Работа в целом обсуждалась на заседании кафедры № 906 Московского авиационного института (национального исследовательского университета) и научном семинаре им. А. Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин».

Основные результаты диссертации опубликованы в 8-и печатных работах [99 - 106], в том числе в 4-х статьях из Перечня, рекомендованного ВАК РФ.

Объем и структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, 5 приложений. Работа содержит 190 страниц, 74 рисунка, 2 таблицы. Список литературы содержит 125 наименований.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, представлены объект и предмет научных исследований, сформулированы цель и задачи исследования, определена научная новизна и практическая ценность полученных автором результатов, приведены основные положения, выносимые на защиту; дано краткое содержание работы по главам.

В первой главе приведен обзор литературы по тематике диссертации; дана постановка задачи исследования; в нелинейной постановке получены двумерные уравнения уточненной теории цилиндрических оболочек

переменной толщины. Сформулированы граничные условия для типовых случаев крепления оболочки.

Во второй главе па основе полученных в первой главе краевых задач построены уравнения и грапнчные условия для круговой цилиндрической оболочки замкнутого и открытого профиля поперечных сечений. С помощью тригонометрических рядов по продольной и окружной координатам уравнения в частных производных приведены к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями. С помощью операторного метода построены общие решения однородных систем уравнений для осесиммегричного и общего случаев деформации цилиндрической оболочки. На основании анализа характеристических уравиеппй определены и классифицированы его корни, соответствующие различным видам НДС оболочки, включая основное НДС, простые краевые эффекты и дополнительные самоуравновешенные НДС типа «погранслой». Получены частные решения систем дифференциальных уравнений для ряда случаев локального пагружения типа распределенной постоянной, синусоидальной, параболической нагрузок, кольцевых сосредоточенных сил и изгибающих моментов. Рассматриваются также случаи действия на оболочку ветровой (антисимметричной) и коспнусоидальной нагрузок.

В третьей главе приведены результаты расчетов НДС по уточненной теории в виде графиков тангенциальных, поперечных нормальных п касательных напряжений. Дано сравнение полученных в диссертации результатов с данными классической и других теорий. Показано, что поперечные нормальные и касательные напряжения, которыми в классической теории пренебрегают, вносят существенный вклад в