Трехмерное численное моделирование эволюции плазменных неоднородностей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

российская академия наук

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.А.Ф.ИОФФЕ

На правах рукописи УДК 550.388.2

Веселова Ирина Юрьевна ТРЕХМЕРНОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ПЛАЗМЕННЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ (Специальность 01.04.08. - физика и химия плазмы)

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С.-Петербург - 1998

То Ой

; 2 МАЙ Ш8

Работа выполнена в С.-Петербургском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, Рожанский В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Мальцев Ю.П.

доктор физико-математических наук,

профессор,

Гусаков Е.З.

Ведущая организация - СПбГУ

Защита состоится "¿1 " мая 1998 г. в часов на

заседании диссертационного совета № Д 003.23.01 Физико-технического института им. А.Ф.Иоффе по адресу: 194021, С.-Петербург, Политехническая ул., д.26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИ им. А.Ф.Иоффе РАБ.

Автореферат разослан "^0" апреля 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного ученого совета ), _ —-—-

кандидат физико-математических наук

Орбели А.Л.

Актуальность темы.

Тема диссертационной работы связана с наиболее интенсивно развивающимися направлениями теории эволюции плазменных образований, о чем говорят многочисленные уникальные эксперименты, активно проводящиеся в настоящее время в реальной ионосфере и магнитосфере, на установках токамак, в лабораторной плазме. Неодномерная постановка задач, учет реальных параметров плазмы, произвольный выбор формы и степени неоднородности, учет самосогласованных электрических полей позволяют дать единственно адекватную картину пространственно-временного развития нелинейных плазменных возмущений. Актуальность темы определяется особой значимостью и широкой распространенностью рассмотренных в работе процессов, а также возможными практическими приложениями, связанными с образованием и эволюцией плазменных неоднородностей. Наиболее актуальной задачей является формулировка на основании выполненных численных расчетов аналитических аппроксимационных выражений для описания эволюции плазменных облаков в реальных ситуациях.

Цель работы.

Целью работы является построение теоретических моделей и проведение трехмерного численного моделирования а) эволюции ионосферных неоднородностей произвольной нелинейности и формы для реальных параметров ионосферы; б) неодномерной термодиффузии частично ионизованной плазмы в магнитном поле, вызванной градиентом электронной температуры; в) эволюции и стратификации плазменного облака, окружающего пеллет в токамаке с учетом неоднородного магнитного поля.

Научная новизна.

В целом ряде работ было выполнено моделирование эволюции плазменных неоднородностей в рамках так называемой двуслойной модели ионосферы. При этом делается предположение об эквипотенциальности силовых линий магнитного поля. Это позволяет описать только эволюцию крупномасштабных неоднородностей, причем в качестве результата получаются лишь интегральные характеристики ионосферы. Трехмерное моделирование, ввиду сильного различия продольных и поперечных коэффициентов переноса, было выполнено лишь для однородной плазмы с модельными значениями коэффициентов переноса или для неоднородностей специальной формы. Трехмерные расчеты эволюции плазменных облаков в реальной ионосфере на момент написания диссертации отсутствовали и реализованы в диссертации впервые.

При анализе явлений, связанных с термодиффузией, обычно ограничивались одномерным рассмотрением, когда градиент температуры параллелен или перпендикулярен магнитному полю. При таком подходе перенос плазмы описывается уравнением амбиполярной диффузии, а электроны и ионы перемещаются совместно, их потоки равны. Однако это справедливо лишь при выполнении жесткого условия на размеры температурного возмущения, которое часто нарушается. В работе впервые показано, что неодномерная термодиффузия определяется механизмом короткого замыкания токов по фоновой плазме, а характерные масштабы возмущения неоднородности определяются униполярными коэффициентами переноса и намного превосходят масштабы температурного возмущения.

Задача о растекании плазмы вблизи пеллета, инжектированного в токамак, до настоящего времени была решена в квазиодномерной постановке. В существующих моделях не было последовательно учтено самосогласованное электрическое поле. Двумерное численное моделирование поперечной эволюции плазменного облака в токамаке с учетом неоднородного магнитного поля выполнено впервые. Это позволило обнаружить и теоретически обосновать целый ряд принципиально новых явлений. Важнейшим из них является тот факт, что образующаяся плазма наряду с растеканием вдоль магнитного поля выбрасывается с ускорением в направлении внешнего обвода и стратифицируется. В работе предложен механизм образования страт, связанный с поляризацией плазменного сгустка в неоднородном магнитном поле.

Практическая ценность работы.

Проведенные трехмерные расчеты эволюции ионосферных неоднородностей позволили объяснить ряд явлений, наблюдавшихся при проведении экспериментов с бариевыми облаками в ионосфере, например, в эксперименте "Сполох". В частности, удалось объяснить наблюдавшееся нелинейное растяжение профилей концентрации на краях облака и определить время жизни облака - одну из важнейших характеристик плотных плазменных образований. Предложенные в работе агшроксимационные формулы позволяют предсказывать свойства подобных искусственных образований и вырабатывать рекомендации при планировании и интерпретации результатов активных экспериментов в околоземном пространстве.

Выполненное численное моделирование неодномерной термодиффузии в магнитном поле позволит описать явления в ионосфере, возникающие при воздействии на нее интенсивного электромагнитного излучения, создание искусственных возмущенных областей с заданными свойствами, перераспределение концентрации, возникающее при любых нагревных процессах. Результаты численных расчетов позволили описан.

лабораторный эксперимент по моделированию нагрева ионосферы мощной радиоволной.

Результаты двумерною численного моделирования эволюции плазменного облака в токамаке позволили теоретически обосновать наблюдавшееся в экспериментах появление вторичной плазмы на более внешних магнитных поверхностях н оценить степень экранировки пеллета плазменным облаком. По результатам работы был сделан вывод о более эффективной инжекции пеллетов с внутренней стороны токампков, подтвержденный в настоящее время экспериментально на токамаке АБОЕХ-ир^е.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Результаты трехмерного численного моделирования эволюции ионосферных неоднородностей произвольной нелинейности и формы с учетом реальных ионосферных параметров.

2. Разработка на основании проведенных расчетов аппроксимационных выражений, описывающих эволюцию плазменного облака в зависимости от его формы и степени нелинейности.

3. Результаты численного моделирования неодномерной термодиффузии частично ионизованной плазмы в магнитном поле.

4. Демонстрация доминирующей роли эффекта короткого замыкания токов по плазме при неодномернон термодиффузии.

5. Результаты численного моделирования эволюции плазменного облака при инжекции пеллета в токамак.

6. Обнаружение эффекта ускорения плазмы в направлении большого радиуса токамака и выяснение механизма стратификации плазменного облака.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на Всесоюзном совещании "Математические модели ближнего космоса" (Москва, 1988 г.), на конференции по явлениям в верхней ионосфере (Красноярск, 1987 г.), на Международной конференции по явлениям в ионизованных газах (19 ICP1G, 1989), на Международных конференциях по УТС и физики плазмы (18th EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys.. Berlin, 1989; 20th EPS Conf., Lisboa, 1993, 21st EPS, Montpellier. 1994) на семинарах ИЗМИРАН, института физики плазмы имени Макса Планка, СПбГТУ, ФТИ им, Иоффе, Полярного геофизического института (ПГИ), СПбГУ.

Структура и объем диссипации.

Диссертация содержи! введение, три 1лавы, заключение и приложение. В диссертации 170 страниц печатного текста, в том числе 44 рисунка и список литературы, включающий 125 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель работы, показана ее новизна и актуальность, изложено краткое содержание работы, приведены положения, выносимые на зашигу.

Первая глава диссертации посвящена решению задачи о трехмерной эволюции плазменных облаков в ионосфере для неоднородностей произвольной нелинейности н формы с учетом реальных ионосферных параметров.

Вп.1.1 дан краткий обзор основных результатов теории эволюции плазменных неоднородностей в частично ионизованной плазме, обсуждены известные численные модели для описания эволюции сгустков. Механизм расплывания неоднородности определяется несколькими факторами: наличием или отсутствием фонового электрического поля в системе, степенью нелинейности (превышением концентрации в плазменном сгустке над фоном), размером неоднородности. Строгое решение задачи об эволюции малого точечного возмущения концентрации в неограниченной однородной плазме было получено А.В.Гуревичем и Е.Е.Цедилиной. Как показано в работах В.А.Рожанского и Л.Д.Цендина, определяющую роль в эволюции неоднородностей в безграничной плазме играет эффект короткого замыкания токов по фоновой плазме. Критерием эффективности этого механизма является относительная глубина областей обеднения, возникающих в фоновой плазме. Сходные идеи развивал Д.Херендел с сотрудниками при анализе экспериментов с бариевыми облаками в ионосфере.

В п 1.2 приведены уравнения переноса, описывающие трехмерную эволюцию неоднородностей в реальной ионосфере. Обсуждаются принципиальные особенности таких систем, главной из которых является сильное, на несколько порядков, различие продольных и поперечных коэффициентов переноса. С этим связаны значительные трудности прямого численного моделирования исходной системы Обсуждены известные двумерные модели эволюции и их недостатки Приведена теоретическая модель, являющаяся исходной для численных расчетов, разработанная В.А.Рожаиским. В этой модели возмущенный потенциал может быть представлен в виде

(/ /е)|пн /н„ -i У<,г, |-.:).

где Ч' - функция, изменяющаяся вдоль - с большим масштабом, намною превышающим продольный размер исходной неоднородности, п0 -концентрация фоновой плазмы вдали от неоднородности. Обоснованность такого разбиения подтверждена выполненными в диссертации численными расчетами. Это разбиение позволило преобразовать исходную систему к виду, не содержащему сильно различающихся коэффициентов переноса и являющемуся эффективным для численного моделирования. Система состоит из эллиптического уравнения для определения Ч/ со смешанным граничным условием на высоте неоднородности и двух параболических уравнений для концентрации фоновых и инжектированных ионов. Дано краткое описание методов численного решения задачи.

В п. 1.3 приведены результаты численного моделирования для типичных ионосферных параметров. На основании проведенных расчетов обсуждены основные физические механизмы эволюции плазменных облаков в ионосфере. Показано, что мелкомасштабные неоднородности расплываются в основном из-за диффузии, а их эволюция происходит практически так же, как в однородной безграничной плазме. Эволюция крупных неоднородностей определяется нелинейным растяжением в самосогласованном электрическом поле. В ходе численного эксперимента найдены соответствующие значения характерных поперечных размеров неоднородностей. Определен критерий применимости двуслойной модели ионосферы. Получены аппроксимационные выражения, позволяющие предсказывать свойства подобных плазменных образований в реальных ситуациях, а именно: величину возмущенного электрического поля в центре неоднородности, скорость движения и время жизни плазменного облака и различных его частей. Обнаружено удовлетворительное согласие аналитических формул с результатами численных расчетов. Показано, что для мелкомасштабных неоднородностей распределение возмущенного электрического поля становится симметричным и можно пользоваться формулой, полученной для безграничной однородной плазмы :

/■;' 4а п.,\Ь /Л

— = <14 —^------)/■; =0,

/-о Г4'

Л' .-- \n.dz

где Л^™"' - максимальное значение интегральной концентрации инжектированных ионов. а - поперечный размер исходной неоднородности, Л, - продольный коэффициент подвижности электронов, Ь - коэффициент подвижности фоновых ионов в педерсеновском

направлении, /.'„ - фоновое электрическое ноле, г||/•-'„, л"I' (/•/„ - Н\. Для неоднородное чей с поперечными размерами и 01км точность составляет 8°о. Продемонст[)нровано, что только для случая весьма крупномасштабных неоднородностей с поперечными размерами ч >5км величина возмущенного электрического поля внутри облака дается формулой, полученной в предположении эквипогенциальности силовых линии магнитного поля .-

>■',______1____

где 2], - интегральная педерсеновская проводимость ионосферы, />, -коэффициент подвижности ионов неоднородности в иедерсеновском направлении. Показано, что результаты моделирования хорошо согласуются с данными эксперимента "Сполох" по эволюции бариевых облаков в ионосфере.

Во второй главе диссертации выполнено моделирование неодномерной термодиффузии частично ионизованной плазмы в магнитном поле, связанной с локальным нагревом электронов.

В п 2.1 описаны представления об одномерной термодиффузии, имевшиеся на момент написания диссертации.

В п.2.2 приводятся уравнения, описывающие неодномерную термодиффузию, вызванную градиентом электронной температуры. Приведены значения коэффициентов диффузии и термоднффузии в неодномерном случае.

В п.2.3 проанализирована одномерная термодиффузия частично ионизованной плазмы. Приведенные решения демонстрируют принципиально различное поведение плазмы вдоль и поперек магнитного поля, что не позволяет даже качественно оценить решение исходной системы в неодномерном случае.

В п 2.4 обсуждается физический механизм неодномерной термодиффузии, вызванной градиентом электронной температуры. Показано, что эволюция плазмы, как и при диффузии, определяется эффектом короткого замыкания по фоновой плазме. Получено и проанализировано аналитическое решение в случае малою возмущения температуры. Показано, что неодномерная термодиффузия вдоль магнитною поля определяется электронной диффузией, а поперек -ионной. Характерные масштабы возмущения концентрации растут при этом со временем как /4(Т+~/'/'/')/) / вдоль /Ь' и ./4(1 < / <"'/,)/> /

поперек В .

В п.2 5 описана теоретическая модель, являющаяся исходной для численных расчетов Приведены основные результаты моделирования

Показано, что плазма вытесняется из нагретой области, а ее концентрация возмущается на масштабах, намного превосходящих масштабы температурного возмущения, что обусловлено механизмом короткого замыкания по плазме. Поперечный профиль концентрации имеет два характерных максимума, что связано с влиянием термоснлы. Выполнено моделирование затекания области пониженной концентрации после выключения источника нагрева. Дано сравнение результатов моделирования с полученными в ИПФАН экспериментальными данными по моделированию воздействия на ионосферу мощной радиоволны. В экспериментах распадающаяся плазма создавалась в однородном магнитном поле высокочастотным импульсным источником, установленным в торце вакуумной камеры, а локальный нагрев электронов производился сфокусированным волновым пучком. Продемонстрировано количественное совпадение эволюции рассчитанных и измеренных профилей концентрации плазмы и потоков частиц.

Третья глава диссертации посвящена решению задачи об эволюции и стратификации плазменного облака, окружающего пеллет в токамаке.

В п.3.1 обсуждаются описанные в литературе модели эволюции плазменных облаков в токамаке. Проанализированы основные физические механизмы, связанные с инжекцией пеллетов в токамак. Дано краткое описание рассмотренных в диссертации задач.

В п.3.2 обсуждается полная теоретическая модель, описывающая трехмерную эволюцию плазменного облака в токамаке. Нейтральное облако вокруг пеллета моделируется заданием постоянного источника электронов и ионов.

В п.3.3 приведено решение квазиодиомерной задачи о разлете холодной плазмы в горячую с учетом нелокальной теплопроводности, что позволяет учесть температурные эффекты. На основании численных расчетов разработана простая аналитическая модель, описывающая эволюцию профиля концентрации плазменного облака при постоянной температуре. Показано, что продольную эволюцию плазмы вблизи пеллета в первом приближении можно описать как одномерный разлет с холодной звуковой скоростью. Дано сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными по пеллет-инжекцни.

В п 3.4 описано решение одномерной задачи о разлете холодной плазмы в горячую на поздней стадии, соответствующей уходу пеллета с данной магнитной поверхности. Показано, что характер эволюции определяется величиной скорости испарения пеллета и температурой фоновой плазмы. Обнаружено, что на поздней стадии, когда температура в облаке близка к фоновой, эволюцию плазмы можно описать изотермическим автомодельным решением. Показано, что возникновение скачков па профиле концентрации является характерным для нагреваемого плазменного облака, распространяющегося вдоль

магнитного ноля. Эют вывод согласуется с данными экспериментов на токамаках ТРТИ, Нс1ю1гоп-Н, Т-10. ТОЯЕ-БиРКА.

В п.3.5 приведены уравнения, описывающие трехмерную эволюцию холодною плазменного облака в токамаке с учетом неоднородного магнитного поля, построена исходная теоретическая модель для двумерного численного моделирования, состоящая из уравнения непрерывности для определения интегральной концентрации с заданным плазменным источником и уравнения завихренности для определения потенциала. Приводится ряд простых аналитических оценок, подтвержденных в ходе выполнения расчетов. Описан метод численного решения задачи.

В п.3.6 приведены результаты расчетов. На основании выполненного численного моделирования получены аппроксимационные выражения, определяющие основные характеристики эволюции плазмы в токамаке и дано их сравнение с результатами расчетов. Обнаружен и обоснован ряд принципиально новых явлений, важнейшим из которых является тот факт, что образующаяся плазма наряду с растеканием вдоль магнитного поля выбрасывается с ускорением в направлении внешнего обвода и стратифицируется. Ускорение вызвано дрейфом частиц в направлении Ёх В в результате поляризации плазменного облака в неоднородном магнитном поле. Скорость движения переднего края облака в направлении большого радиуса (ось х) есть

с,2

"'-Г'

где с\ = ———, Я - большой радиус токамака. Ось у направлена V

вертикально. Показано, что, форма плазменного облака напоминает гриб и состоит из двух облаков, соединенных узкой перетяжкой. Продемонстрировано, что в области перетяжки ^-компонента электрического поля возрастает как функция расстояния от пеллета - х - и эквипотенциали сходятся

В с, г-

Двигаясь по эквипотенциалям, частицы плазмы заворачиваются вокруг экстремумов потенциала и формируют шляпку гриба. Показано, что шляпка ускоряется в направлении х, так как в этой области электрическое поле нарастает линейно со временем :

В с] ! с л'

Обнаружен и обоснован механизм стратификации плазменного облака, состоящий в следующем. Со временем часть частиц, формирующих шляпку, замыкает полный круг и возвращается обратно в перетяжку, образуя новый максимум концентрации, позади первого. Новый максимум поляризуется в неоднородном магнитном поле, образуя дополнительную пару экстремумов потенциала. Вращение плазмы вокруг этих новых экстремумов порождает новый максимум концентрации позади предыдущих. Этот процесс продолжается и перетяжка разделяется на отдельные страты. Проведен анализ механизма стратификации плазменного облака в токамаке, для чего выполнен расчет с искусственно возмущенным профилем концентрации. Показано, что небольшое (10%) возмущение профиля концентрации плазменного облака стимулирует процесс его разбиения на страты. Проведено сравнение результатов моделирования с имеющимися экспериментальными данными. Сделан вывод о более эффективной инжекции пеллета с внутренней стороны токамака, подтвержденный экспериментально на токамаке АБОПХ-ир^а<3е.

В заключении изложены основные результаты диссертационной

работы:

1 Реализовано трехмерное численное моделирование эволюции плазменных неоднородностей в реальной ионосфере на основе модифицированных уравнений переноса в широком диапазоне параметров.

2 Продемонстрировано, что так же, как и в безграничной плазме, определяющую роль в эволюции плазменных сгустков играет эффект короткого замыкания токов по фоновой плазме. Критерием эффективности этого механизма является относительная глубина областей обеднения ионосферной плазмы. На основании проведенных расчетов разработаны аппроксимационные выражения, описывающие эволюцию плазменного облака в зависимости от его формы и степени нелинейности.

3 Показано, что мелкомасштабные неоднородности с поперечными размерами д1<0.1км расплываются в основном из-за диффузии. Их эволюция происходит практически так же, как в однородной плазме. Эволюция очень сильных неоднородностей. когда области обеднения в фоновой плазме достаточно глубоки, обусловлена нелинейным растяжением в самосогласованном электрическом поле, а максимальная концентрация в облаке спадает при этом линейно со

временем. Продемонстрировано, что для описания эволюции крупномасштабных неоднородностей с поперечными размерами -35км можно пользоваться приближением двуслойной модели.

4 Проанализирована неодномерная термодиффузия частично ионизованной плазмы в магнитном поле, вызванная фадиентом электронной температуры. Показано, что характерные размеры области, где возмущается концентрация плазмы, существенно превосходят масштабы области температурного возмущения Определяющую роль при термодиффузии, как и при диффузии, играют механизм короткого замыкания токов по фоновой плазме и формирование в ней областей обеднения.

5 Выполнено одномерное моделирование эволюции плазменного облака вблизи пеллета, инжектированного в токамак, с учетом нелокальной теплопроводности. Сформулирована простая аналитическая модель облака холодной плазмы вблизи пеллета и показано, что продольную эволюцию в первом приближении можно описать как одномерный разлет с холодной звуковой скоростью. Показано, что после выключения источника плазмы на профиле концентрации возникает скачок. Обнаружено, что скорость фронта облака для плазмы средних электронных температур является сверхзвуковой, а для плазмы реакторного типа - дозвуковой.

6 Выполнено двумерное численное моделирование поперечного движения ионизованного облака плазмы с учетом эффектов неоднородного магнитного поля токамака. Показано, что вертикальный ток внутри ионизованного облака вызывает поляризацию, которая является причиной дрейфа облака плазмы в направлении большого радиуса токамака. Форма плазменного облака довольно сложна и напоминает гриб с двумя облаками, соединенными узкой перетяжкой. Перетяжка неустойчива, и облако со временем разделяется на отдельные страты. Эти страты двигаются независимо, подобно шляпке гриба, и также ускоряются в направлении большого радиуса. Результаты моделирования объясняют экспериментально наблюдаемый факт, что вторичная плазма оказывается на более внешних, по отношению к испаряющемуся пеллету, магнитных поверхностях

В приложении приведены алгоритмы и разностные схемы решения

задач.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих печатных работах:

1. С.П.Воскобойников, И.Ю.Гурвич. В.А.Рожанский. Моделирование трехмерной эволюции ионосферной плазмы. Сб. Математические модели ближнего космоса, тез. докл., М. 1988, С. 109111.

2. С.П.Воскобойников, И.Ю.Гурвич, В.А.Рожанский. Неодномерная термодиффузия в магнитном поле. Физика плазмы, 1989, Т. 15, N7, С.828-837.

3. С.П.Воскобойников, И.Ю.Гурвич, В.А.Рожанский. Трехмерное численное моделирование эволюции ионосферных неоднородностей. Геомагнетизм и аэрономия, 1989, Т.29, N4, С.583-589.

4. И.Ю.Веселова, В.А.Рожанский. Трехмерная термодиффузия в магнитном поле. 19 Междунар. конференция по явлениям в ионизованных газах, 1989, Т.1, С.168-169.

5. V.A.Rozhansky, l.Yu.Veselova, S.P.Voskoboynikov. Three-dimensional computer simulation of plasma cloud evolution in the ionosphere. Planet. Space Sci., 1990, V.38, No. 11, P. 1375-1386.

6. И.Ю.Веселова, В.А.Рожанский. Плазменное облако вблизи пеллета, инжектированного в токамак. Физика плазмы, 1991, Т. 17, N12, С.1411-1424.

7. V.A.Rozhansky, l.Yu.Veselova. Plasma cloud near the pellet injected into a tokamak. Proc. 18th EPS Conf. On Contr. Fusion and Plasma Phys. Berlin, 1991, Part 1, P.341-344.

8. V.A.Rozhansky, l.Yu.Veselova. Plasma propagation along magnetic field lines after the pellet injection. Proc.20th EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys., Lisboa, 1993, V.17C, Part 2, P. 843.

9. И.Ю.Веселова, В.А.Рожанский. Одномерный разлет холодной плазмы в горячую. Письма в ЖТФ, 1993, 19, С.75.

10. V.A.Rozhansky, l.Yu.Veselova. Plasma propagation along magnetic field lines after the pellet injection. Nucl. Fusion, 1994, 34, 665.

П. V.A.Rozhansky, l.Yu.Veselova, S.P.Voskoboynikov. 2D simulation of pellet plasma cloud evolution and stratification. 21st EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Phys., Montpellier, 1994, V.18B, Part 1, P.302-305.

12 V.A.Rozhansky, l.Yu.Veselova, S.P.Voskoboynikov. Evolution and stratification of a plasma cloud surrounding a pellet. Plasma Phys. Control.Fusion 37, 1995, 399-414.