Цилиндрический сгиб пакета пластин с расчетом сил трения на поверхности раздела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Гб од АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

7 ИЮН 199*і ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ІМ. Я.С.ПІДСТРИГАЧА

На правах рукопису

ЗУБКО ВОЛОДИМИР ІВАНОВИЧ

УДК 539.3

ЦИЛІНДРИЧНИЙ ЗГИН ПАКЕТА ПЛАСТИН З УРАХУВАННЯМ ' СИЛ ТЕРТЯ НА ПОВЕРХНЯХ РОЗДІЛУ .

Спеціальність 01.02.04 т механіка деформівного

твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття вченого ступеня кандидвта фізико-натематичних наук

Львів - 1994

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки 1 математики їм. Я, С. ПІ детрите, іа АН України .

НАУКОВИЙ КЕРІВНИК офіційні опоненти

ПРОВІДНЕ ПІДПРИЄМСТВО

Захист відбудеться

0 15 годині на засіданні спеціалізованої ради К 016.59.01 по присудженню вченого ступеня кандидата фізико-математичних

1 кандидата технічних наук при Інституті прикладних проблем' механіки 1 математики їм. Я. С. Підстригача АН України

/м. Львів, вул. Матейка, 4/ .

З дисертацією мохиа ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладгшх проблем механіки 1 математики їм. Я.С. Підстригача АН України /м. Львів, пул. Наукова, З-б/.

Відгук на автореферат просимо надсилати на адресу:

290053, м. Львів, вул. Наукова З-б, вченому секретарю спеціалізованої рада .

Автореферат розіслано «25» ЫаёкЯ _____ 1994 р,

Вчений секретар спеціалізованої ради, кандидат фізико-математичних наук,

старшій науковий співробітник ШЕВЧУК П.Р

- кандидат технічних наук, старший

' науковий співробітник Шопа В.М.

- доктор фізико-математичних наук, професор Осадчук В.А.; кандидат фізико-математичних наук, доцент Сухорольський М.А.

- Івано-Франківський державний технічний університет нафти 1 газу

"23” ТлА^кЛ_____________________ 1994 р.

Актуальність теми. В різних областях сучасної техніки широке застосування набувають конструкції, в яких несучими органами, сприймаючими навантаження, в пакети пластин. Використання пакетів пластин в подібних конструкціях е актуальним, бо дає змогу •зменшити жорсткість системи, зберігаючи при цьому її міцність. В роботі моделюється пружина з жорстким 1 пружним елементами трансформації переміщень, які взаємодіють з пакетами пластин. Інтенсивне впровадження у. виробництво композиційних матеріалів зумовило те, що пластини досліджуються трансверсально-ізотропні. Механіко-математичне моделювання поведінки несучих органів даної конструкції в умовах навантаження приводить на першому етапі до постановки та розв’язання задачі про згин пакета пластин' з урахуванням сил тертя на поверхнях розділу.

Постановки та методи розв’язання контактних задач з урахуванням сухого тертя, що використовують континуальні моделі суцільного сере довша, досить розвинені. Серед них поширеними в метод сингулярних інтегральних рівнянь, варіаційно-різницевий метод, апарат варіаційних нерівностей. В числі Інших ці методи дозволяють встановити фундаментальні закономірності фрикційного контакту пружних тіл 1 розв’язувати конкретні задачі. Фундаментальні результати у цьому напрямку одержані в роботах Александрова В.М., Бабешка В.А., Вовкушвського А.В., Воровича 1.1., Га-ліна Л.А., Гольдштейна Р.В., Григолша Е.І., Гриліцького Д.В., Кизиш Я.М., Кравчука А.С., Кузьменка В.І., Левіна А.А., Мосса-ковського В.І., Спектора А.А., Толкачова В.М., Bufler Н., Johnson K.L., Hasllnger J., Keer L.M., Silva M.A.G. та іших авторів. Разом з тим дослідження з використанням названих методів нерідко відрізняє громіздкість математичного апарату, яка ще більш зросте з урахуванням анізотропії, а також відсутність аналітичних розв’язків. Тому залишається актуальним пошук нових методів розв'язання контактних задач, здатних відобразити анізотропію фізико-механічних властивостей матеріалу та задовольнити потреби Інженерної практики. Для цього, як показує досвід, найбільш придатними є підходи, які використовують моделі і методи теорії оболонок, пластин 1 стержнів. Бо пониження розмірності задачі спрощує процес виводу та розв’язання рівнянь в порівнянні з відповідними рівняннями трьохміриої задачі теорії пружності та

- 4 - • '

дозволяв отримувати достатньо точні результати. Однак свої труд-ноді тут виникають на етапі ь^делювання об’єкта дослідження.

На теперешній час Існує досить широке коло уточнених теорій оболонок, пластин 1 стержнів, здатних врахувати ефекти поперечного зсуву 1 обтиснення 1 дозволяючих одержати розподіл контактних напружень без фізичних невідповідностей. Про найбільш відомі з них викладено в монографіях Александрова В.М.1 Мхитаряна С.М., Амбарцумяна С.А., Васильєва В.В., Гузя А.Н., Григолика Е.І. З Толкачова В.Ы., Кантора В.Я., Моссаковського В.І., Гудрамови-ча fe.C. 1 Макеева Е.М., Осадчука В.А., Пелеха Б.Л.1 Лазька В.А., Пелеха Б.Л. 1 Сухорольського М.А., Рассказова А.О., Соколовсь-кої І.І. 1 Шульги Н.А., Саркисяна B.C. та інших авторів. Загальний огляд з проблеми контакту пластин 1 оболонок з жорсткиш штампами зроблено Поповим Г.Я. 1 Толкачовим В.Ы.

Для визначення демпфуючої здатності та довговічності пакетів незв’язаних пластин важливе значення має розподіл контактних напружень. Однак дослідження їх розподілу в пакетах пласт при наявності в них зон зчеплення, проковзування 1 відлипанні стикається з математичними труднощами 1 не е заверненим.

Таким чином, створення методики розрахунку напружено-дефор-мованого стану пакетів трансверсально-ізотропних пластин з урахуванням зон зчеплення, проковзування 1 відлипання є актуальним

Метою даної роботи в:

1. Розробка методики розрахунку : напружено-деформованого стану пакетів трансверсалбно-ізотропних пластин з урахування] зон зчеплення, проковзування 1 відлипання.

2. В рамках побудованої моделі розв’язання ряду задач зги ну пакетів пластин 1 балок.

3. Аналіз і дослідження асимптотичних (вироджених) розв’яз

ків одержаної моделі. '

Наукова новизна роботи визначається наступними результатам

- розроблено механіко-математичну модель згину" трансверсв льно-ізотропних пластин, в основі якої лежить модель Е.І.Григо люка і В.М.Толкачова, узагальнена шляхом врахування анізотропії

’ - для розв'язання задачі циліндричного згину пакета пласти з урахуванням зон зчеплення, проковзування 1 відлипання побуде вано модель, в якій проблема знаходження контактних напружен зводиться до Інтегрування системи диференціальних рівнянь;

- знайдено алгоритм переходу від задачі згину пакета плас

. - 5 -

тин до задачі згину пакета балок, з допомого» якого можуть бути отримані всі результати, що відповідають балочній моделі;

- на базі побудованої моделі розв'язано задачу згину двошарового пакета пластин та вивчено вплив сил тертя та параметрів анізотропії на розподіл контактних напружень;

- встановлено межі зміни параметрів анізотропії, у відповідності з якими виконано граничні переходи.

Достовірність основних наукових результатів забезпечується строгістю застосованого математичного апарату, строгим асимптотичним аналізом розв’язків задачі, а також добрим узгодженням одержаних результатів з уже відомими частковими випадками.

Практична цінність роботи полягав в розробці методики розрахунку папружено-деформованого стану пакетів трансверсально-ізотропних пластин, на поверхнях розділу яких діють кулонівські сили тертя. Одержано інженерні формули для розрахунку напружено-деформованого стану пластинчатих пружин з наповнювачем, які використовуються в лабораторії механіки машин ІППШ АН України для проектування та вдосконалення відповідних пружнщ .елементів. Річний економічний ефект від використання результатів досліджень у 1989 р. по Івано-Франківському виробничому об'єднанню "Карпат-пресм.аш" становив ІЗІ929 крб.

Апробація робота. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на 3 Всесоюзній конференції "Міцність, жорсткість та технологічність виробів Із композиційних матеріалів" (Запоріжжя, 1989), 12 1 ІЗ конференціях молодих вчених ШШМ ЛН УРСР (Львів, 1987 1 1989),. а гакок в завершеному вигляді представлялись на семінарі лабораторії механіки машин ІППММ АН України .(Івано-Франківськ) і спеціалізованому кваліфікаційному семінарі з механіки деформівного твердого тіла ІППММ АН України (Львів). ,

Публікації. Основні результати виконаних досліджень опубліковані в 8 наукових працях. .

Обсяг роботи. Дисертація складається Із вступу, чотирьох розділів, висновків, додатку, бібліографічного списку (85 назв), ілюстрацій (34 рис-.). Загальний обсяг, дисертації складає 150 сторінок.

- 6 - '

КОРОТКИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЩІ ' У вступі обгрунтовується актуальність теми роботи, її наукова 1 првктична цінність, визначається мета роботи та відмічається новизна одержаних результатів. Лана анотація дисертації по розділах.

Перший розділ присвячений розробці уточненої математичної моделі згину пакета незв’язаних трансверсально-ізотропних пластин. На пакет діє симетричне відносно середини нормальне навантаження q(x). Кожній пластині відповідав декартова система координат у. 2. (1=1 ,г}), початок якої знаходиться в центрі шіас-тини. Припускається, що переміщення точок пластини задовольняють умовам плоскої деформації

ио = ио(х,г) , Уо = 0 , «о = їМя.г) , (1)

де ио, Уо, Ио - переміщення в напрямку осей І, у 1 2 відповідно.

Пери за все, розглядаючи окрему пластину з пакета, на верхній та нижній поверхнях якої прикладено довільні навантаження, здійснюється побудова прикладної моделі згину трансверсально-ізотропних пластин. Для цього за основу було взято метод, запропонований для Ізотропних тіл в моделі Е.І.Григоллка 1 В.М.Толка-’ чова. Згідно з цим методом,побудова уточненої моделі згину пластин умовно розбивається на два етапи. Однак, якщо на першому етапі у вихідній моделі приймаються гіпотези Кірхгофа.то в даній моделі вводяться два малих параметри Е/Е1 і Е/С1 (Е, Е, - модулі пружності в напрямку осей х (у) 1 й відповідно; С, - модуль зсуву в площинах Х2 і уг ). Показано, що на першому етапі результати обох моделей будуть однакові.

Другий етап побудови уточненої моделі можна рахувати начебто наступним наближенням. Тут, як 1 у вихідній моделі, за основу прийнято одержаний в наближенні Кірхгофа та задовольняючий рівняння рівноваги закон зміни напружень ох, оу, оя } тхг по товщині пластини (Тху =0, =0). При цьому Ох і Оу мають ліній-

ний по товщині розподіл, алж - квадратичний, а о& - кубічний. Інтегруючи співвідношення закону Гука ДЛЯ Єг. 1 7х2, по товщині пластини, отримано закон зміни переміщень ио 1 ю . Із варіаційного рівняння Кастиліаю одержано співвідношення узагальненого закону Гука, в яких замість переміщень серединної площини пластини й їй стоять середні по товщині переміщення и 1 V. Між й, й 1 и, V» знайдено зв’язок та одержано вирази для переміщень

поверхонь пластини, які використовуються при розв'язанні контактних задач. Використовуючи рівняння рівноваги та співвідпо-шення узагальненого зькону Гука, одержано ключові рівняння згину (четвертого порядку по » 1 другого ти). Нарешті, Із рівності нулю поверхневого інтегралу в варіаційному рівнянні Кастиліа-но отримано граничні умови. Слід відзначати, що при переході до ’ Ізотропного тіла результати приведеної моделі будуть збігатися з результатами моделі Е.І.Григолша 1 В.М.Толкачова.

На цьому побудова прикладної моделі згину трансверсально-Ізотропних пластин завершується. Проте залишилась нерозв'язаною проблема . знаходження контактних напружень. Для її розв'язання прийнято припущеня, що між 1 та 1+1 пластинами (1= 1,п-1) може знаходитися довільна кількість зон зчеплення та спряження (контакту). В зоні спряження виконуються умови рівності поверхневих

- прогинів 1 умова стиску

яоі(-1,х) = іго.і+1 (1,х) , Ояі < О . |х-і£ |< ае£± . (2)

В зоні зчеплення до цих умов додадуться ще дві умови

иоі(-1,Х) = ІІО,1+1(1 ,Х), І “ЇЖІ І < Ц.1|0г1| , ІХ-Х^^ ае|1, (3)

де ае^. я£± - невідомі границі зон зчеплення 1 спряження; х^. х^1 - довільні величини; огі, г*і - контактні напруження; ці -коефіці іт тертя (1с, 1 = 1,2,3,...). За межами зони зчеплення розміщена зона проковзування, де сили тертя підлягають закону Кулона. Далі йде зона відлипання, в якій контактні .напруження рівні нулю.

Наступним кроком виконується операція диференціювання. Підставивші в рівності (2) 1 (3) вирази для переміщень поверхонь пластини, диференціюєм першу з них чотири рази, а другу - двічі. Ця операція, виконана з урахуванням рівнянь рівноваги та співвідношень узагальненого закону Гука, дозволяв виключити з виразів, що диференціюються, зусилля, моменти 1 переміщення, залишивши тільки поверхневі навантаження. В результаті одержимо рівняння для знаходження контактних напружень в пакеті

(АГ + АІИ)0г1 = + в;*; ог.1+1 + (с;*’- с“;)т*і +

+ ^‘Чх.і-і - ”Гх,і+і , 1=Гп-Т, (4)

(Al' + = ВІЯЧ*.±-1 +■ B[*’ Xx,i+1 + (Cja>- Cj*j)02i +

+ D^’uz,i-1 - Dj'J ог,і+- , lz-х^К aejlt 1=1 ,n-1, (5)

да Л”’2’ і в;*'11 - диференціальні оператори четвертого порядку , і В”‘ - п’ятого порядку, С.'^’ і D^2’ - третього порядку. Загальний аналітичний розв’язок рівнянь (4) і (5) стикається з математичними труднощами. Однак у випадку пластин а однаковими фізико-механічниш властивостями при відсутності сил тертя на поверхнях розділу такий розв’язок було знайдено. В-нього, крім доданків, що відображають вклад зовнішнього навантаження, увійшли функції Крилова, Таким чином, в побудованій моделі задэча визначення напрукено-деформованого стану пакета послідовно зводиться до розв’язання системи диференціальних рівнянь, інтегрування ключових рівнянь згину та задоволення граничних умов.

При побудові уточненої моделі згину пакета пластин були використані умови плоскої деформації (1). Для розробки аналогічної моделі згину пикета балок розпишуто задачу плоского напруженого стану оу =0, -try =0, tjrz =0. Припускається, до розмір балок в напрямку осі у надто малий в порівнянні з іншими розмірами. Крім того, вважається, що точки балок будуть в основному переміщуватись В ПЛОЩИНІ JZ. Керуючись схемою побудови уточненої моделі згину пакета пластин, мокна одержати всі результати, що стосуються балочної моделі. Встановлено, що перехід від пластинчатої моделі до балочної можна здійснити з допомогою замін пружних постійних E/d-v2) - Е, w, -• 0 і - О (v.v^ коефіцієнти Пуассона ). Решта постійних Еу , G, 1 vy залишається без зміни.

У другому -розділі в рамках побудованої моделі розглянуто задачу згину двошарового пакета пластин, що знаходиться під дією постійного зовнішнього навантаження q(x) = % = const. Ширино пластин - 2а, товщина шару- h. Припускається наявність Mis пластинами лише однієї прицентрової зони зчеплення (ІХІ< ЗЕЛ ) те однієї зони спряження (ІхК а^). На границях зон зчеплення 1 спряження виконуються умови Неперервності (стиковки) по зусиллях Гл,*., О**,* , моментах М»,* та переміщеннях и, 2 , *?, г , кутах повороту перетину q>x1 г (Індекси 1,2 означають номер пластини). Разом а тим на границях зон накладаються умови на контактні напруження '

'с.і(ге1~0)='Гх(ае1+0)=-ііаг(зе1), тз’Сж^О) = г»’(ае^-О) = -[хог'(ж,),

Оа(Ж2-0) = Ог(аег+0) = 0 . (б)

Зауважимо, що неперервність’ в точці ае1 дотичних напружень випливав з умов неперервності по а 1 т* (а = а* - я~, тг = Шя* +

, , X Л А д Я

+ q~}/2; ч* - дотичні навантокзгаш на поверхнях ъ = ±1і/2), а першої похідної від них - з умов неперервності ПО Є* 1 7* (Є* 1 7* - моменти від переміщень; штрих у другій умові (6) означай першу похідну по х). Торці пакета дружньо защемлені. Виходячи з симетрії задачі, розглянуто лише половину пакета (0 < х < а).

£ спочатку визначаються контактні напруження. Для цього розв’язуєш диференціальні рівняння, які при п=2 приводять до двох, незв'язаних між собою, лінійних диференціальних рівнянь четвертого яорядку. Знайшовши їх загальний розв'язок (розв'язко!» однорідних рівнянь в функції Кршова), інтегруймо ключові рівняння згину 1 задовольняємо граничні умови.

' . Так,' скористаь іясь умовами повного фізичного контакту в зо-

ні зчеплення, зпаходаш зв'язок міа стати інтегрування плечових рівнянь згину пертої та другої пластин, змешиига та,і самим їх кількість у два рази. Дальша, задовольвшп умови нзгшрзрп-ності в.точках щ 1 $г по Т*»,*, 0»,*, Нзы,* та и, 2, «г, г,

2 , .находимо зв'язок мія сталиш інтегрування ключоюа рівнянь в зоні зчеплення (О «ї < а,) 1 відповідана сталиш в еонах проковзування < х < гг2) 1 відлітання (гг2< х < а). В результаті залишається дев'ять невідома (три сталій інтегрування ключовій рівнянь, чотири сталих інтегрування рівнянь для знзход-нзння контактних напружень, з яких сталі сп 1 с)2 входять у ш-раэ для нормальних наярукень, а с21 1 сй2 - для дотичних, та невідомі границі гз( і агг), яким відповідає дев’ять граничних указ (шість на торцях пакета 1 трз умови (6)).

Спочатку з розв'язку системи трьох рівнянь визначаються яр-ВІДОМІ еп, Сіа і Хг. Пря цьому сп 1 С12 увійяли в систему лінійно, а проблема визначення зг2 зводиться до знаходееїш корони трансцендентного рівняння. Дальнє, використовуючи чясольиі згга-чешя трьох перша сталих, із системи трьох рівнянь визначаються невідомі с21, с22 і ге^. Сталі с21 1 сг2 тея увійшш в систему лінійно, а проблема визначення ге1 зводиться до знаходження кореня трансцендентного рівняння. Нарешті, за готовими формулами о<3-

- 10 - ' числюються сталі Інтегрування ключових рівнянь згину..

- У третьому розділі в задачі згину двошарового пакета пластин виконано два ланцюжки граничних переходів. Перший полягає в переході від уточненої теорії до теорії, що не враховує поперечне обтиснення (Е/Е,- 0, Е * 0),1 вїд останньої до теорії Кірхго-фа (Е/43,- 0, Е/Е:= 0). Другий - в граничних переходах Е/Е,- 1/г^ та Е/С,- 2(1+у)^, (Е/Е,» 1/тф.

Пери ніж розпочати першій граничний перехід, виконуються підз^отовчі перетворення. В результаті у всіх співвідношеннях задачі здійснюється перехід від функцій Крилова до гіперболічних функцій (синусд 1 косинуса), від невідомих с,, і с,2, с2, 1 с£2

до невідомих с, 1 Є,, с£ 1 Єг ( с,= (с,, - Іс12)/2, С,= (с,, +

+ ісіг)/2; с2= (с21 - 1сгг)/2, Сг = (с21 + ісгг)/2; Іг = -1 ).

З Іншого боку, цей перехід можна представити у вигляді відповідних замін, виконавши які, переходимо до границі Е/Е,- 0. ■ .

Після ряду перетворень, перейшовши до границі Е/Е,- 0 у співвідгіошеннях для знаходження сталих Інтегрування і границь зон, одержиш, що . '

С,| ~ е--‘, -о , В2| . • (7>'

І ^-*0 ) у-*» 11)-*0 • І (•»-*«

Тут т) = Е/Е,. З першої границі випливає, що при Е/Е,= 0 нормальні напруження на границі зони контакту зазнають розриву, з другої - те, що похідна від дотичних напружень має розрив на границі зони зчеплення. Тому в моделі, цо ке враховує поперечне обтиснення, з розгляду виключаються дві останні умови (6). В результаті заляпається сім невідомих, яким відповідає сім граничних умов.

Перохід до теорії Кірхгсфа виконується на основі результатів попереднього граничного переходу. Було знайдено, що при Е/С,= 0 (Е/Е,=0) поперечні зусилля на границі зони контакту зазнають розриву. Величину його визначає стала й. Розрив пов’язаний з виникненням в точці ае2 нормальної реакції. Відзначимо,що наявність останньої зумовлює появу в точці аег такої; дотичної реакції Т= цН. Стола Т у даному випадку визначає величину розриву нормальних зусиль на границі зони контакту. Виконуючи перехід до границі Е/С,- 0 р репту спїввідноаоннях, було доведено, що

Н(7і Ж. = О . (8)

Е/О^О

>му величина зони зчеплення прямую до нуля прямо' пропорційно іраметра зсуву К/б,. Порушення умови (8), як показує аналіз, дать до перевизначеності задачі. Таким чином, в рамках тео-Кірхгсфа маємо шість невідомих, яким відповідає .шість умов рцях пакета,в

Перехід до границі Е/Е,- 1/і^ (V, -задане) здійснюється, ви-товуючи рівняння 1 вгрззи, одержані в результаті підготов-перетворень до першого ланцюжка, граничних переході) При використовується аналогія з граничним переходом Е/В,- 0. Після ряду перетворень, дотримуючись схеми граничного пере-Е/Е,~ О, було отримано, що

, ~ е *1 - 0. вг| . іе ‘І - 0. (9)

•1/*4 і 7-М |^-<А

, при т}= 1/і>^ кількість невідомих в задачі зменшується з га до семи і відповідно з розгляду виключаються дві останні (в). •

Аналогічно, дотримуючись схеми граничного переходу Е/С,- 0,

шайдопо, що при Е/С, = 2( і )/V, (Е/Е,= 1/і^; V, V, - зада-

юпорвчні зусилля на границі зоїш контакту зазнають роз-

Стала Н' характеризує велггину розриву і відображає паяв-

в точці ж2 нормальної реакції. Остання приводить до розри-

ірмальних зусиль на границі зони контакту 1 появи дотичної

,ї Т’= цй'. .

:уло доведено, що

їіл х. - О . (10)

. Е/о^го+і*)

у величина зони зчеплення прямує до нуля прямо пропорційно аметра <)^, до і|Я= Е/С,- 2(і+г>)Л> ( 0). В результаті

невідомим, які залишились, відповідає шість умов на горцях

ри порівнянні рзультатів граничних переходів періюго та э лашдакків зверіг рбся увага на схскість між кили, цо, до проявляється в аналогіях,які використовуються в роботі.То-ржані в результаті граничних переходів моделі можна раху-лметричними. Відмінність же полягаь в тому, що в сіті ввід-

. - 12 - ■ іоленнях другого ланцюжка додатково присутні доданки з множником 0у (Qy= h2/(5v1(1-v)))t виникнення яких пов’язане з доданками з множником (X-KjVj/d-v)), що стоять в співвідношеннях уточненої моделі. '

Результати, одержані в розділі, е дійсними такой для зов-иішнгас навантажень типу qoch(£x) 1 qacoa(£x) 1 при довільних умовах на торцях пакета. 1

Четвертий розділ в основному відведений для результатів чисельних розрахунків напруженого стану двошарового пакета пластин, торці якого пругньо защемлені. Розрахунки виконано для трьох типів навантажень: q,(x)= (^сІКЄх)' Ца = 2), q2(x)= .const 1

q3(x)= ОоСоа(|х) (£а = 1,57). .

В рамках побудованої моделі вивчено вшив параметрів Е/Е, 1 Е/с, на розподіл контактних напружень. Обчислення проюдились' при різних значеннях коефіцієнтів a/h (a/h>5), v, v, (v,> О) 1 ц. Область аміни параметрів знаходилась в меках 0 < Е/Е,< 1/v® 1 0 < E/G, < а>.

Було показано, що з ростом E/G, ( Е/Е, - задане ) валютна, зони контакту збільшується. При цьому розподіл нормальних напружень став все більш рівномірним 1 зменшується їх концентрація, біля граннці зони. Вплив ае параметра Е/Е, не в таким однозначним 1 його модоа умовно розділити на два вилазки. В першому ви-, падку (E/G,< 2(1+v)/v,) з ростом Е/Е, ( Е/С, - задана ) в розподілі нормальних напружень з'являються осциляції,тоді як в другому (EXG, > 2 (1+v)/!»,) їх немае. При цьому ■ зміна концентрації нормальних напружень біля границі зони- нтакту б обох- випадках буде однакова. Спочатку з ростом Е/Е, концентрація зменшується, досягав мінімального значення, а потім поступово зростав.' Крім того, викликав Інторос вплив параметра Е/Е, на величину зоїш контакту. Спочатку з ростом Е/Е, ( E/G, - задане ) величина зони контакту зростає, досягає максимального чаченчя, а потім поступово зменшується. Як показують розрахуй.л,з ростом Е/G, вшшв параметра зсуву на величину зона контакту все білш переважає над впливом параметра Е/Е,. І при E/G,> 2(1+v)/v, вплив остан-• нього поступово зменшується до нуля. -

Ще до розподілу дотичних напружень в зоні зчеплення, то •вплив параметрів Е/Е, 1 Е/С, зводиться в основному до зміни во-' .шчіши зони зчеплення, яка більш, нік на порядок, мвниа від товщини пластини h. При цьому вшшв цих параметрів на ае, буде ана-

- ІЗ -

логічний до їх впливу на величину зони контакту. З тією лиш різницею, що зміна параметра Е/Е1 дає приріст у величині зони зчеплення на два порядки більшій, ніж зміна параметра E/G,.. •

. В роботі дослідкується вплив навантаження ть умов на торцях пакета.зокрема нормальних зусиль і коефіцієнтів короткості пружних опор, на розподіл контактних напружень. При цьому до розгляду приймаються*Ізотропні пластини (Е/Е1=1; Е/С^г.б; г=г> = 0,3). Було встановлено, до з ростом відлипання концентрація нормальпих напружень біля границі зони контакту збільшується, при згг/а =

= 0,012 + 0,015 <a/h=2Q) досягаз свого максимального "'ачсння і потім падав до нуля. Розрахунки показують, що при наявності відлипання концентрація напружень визначається головним чином величино» зони контакту. Якщо ж відлипання відсутнз, то на неї безпосередній вплив здійснюють короткості зовнішню; пор.

Далі вивчається випадок, коли на пакет, крім зазначених вище навантажень, діє двостороннє стискуюче навантаження р= 3(^/2=

= const (в - параметр навантаження). Було виявлено, що з ростом стискуючих напружень величина зони контакту збільшується і при деякому рпіп величина ае?= а. Разом з тим відбувається зміна концентрації нормальних напружень біля границі зони контакту. Спочатку вона зростає, досягає максимального значення і при хг ~

~ a-3h поступово зменшується. Позначимо загальне навантаження,що діє на пакет через Q (Q = J“q(x)dx). Нами встановлено, що мік . Рщіл 1 ^ існує прямо пропорційна залежність. Із збільшенням в It раз загального навантаження (q(x)- монотонна на проміжку 0< х< а функція; qe- задане) у стільки хе разів зростають необхідні для усунення відлипання мінімальні напруження. З іншого Соку, якщо загальне навантаження постійна, то зміна густини його розподілу майже не впливає на величину стискуючих мінімальних напружень.

В роботі досліджується розподіл дотичних напружень в зоні зчеплення при різних значеннях коефіцієнта тертя. Було виявлено, що Із збільшенням коефіцієнта ц величина зони зчеплення зростає. Причому зростання відбувається нелінійно. Чим більше ц, тим менше приріст ізє1 при збільшенні коефіцієнта тертя на лц. Як показують розрахунки, . іалогічним чином відбувається збільшення я

з ростом однопараметричного стискуючого навантаження р= sq^/2 = =const. тому визначити р^, при якому повністю відсутнє проков-. зування міх пластинами, в даній моделі не виявилось можливим.Напевно, розв’язок проблеми можна знайти, якщо узагальнити модель.

. приклад, замінити прийняте вище припущення про наявність м пластинама тільки одаїеї прицентрової зони зчеплення на Інше, якому допускається довільне число зон. З Іншого боку, обчислен в роботі проводились, коли параметр а змінювався від 0 до З Тому не виключено, що розширення цього проміжку могло би вирію та поставлене питання.

Відзначимо, що в роботі також проводились порівняння раз льтатів уточненої моделі з відповідними результатами моделі, не враховуз обгиснення, та моделі Кірхгофа. Так,в рамках модел яка не враховує обтиснення, було виявлено,що величина зони зче лення, більш, ніж на три порядки, маша від товщини пластини Із звільненням коефіцієнта тертя вона зростає.причому прямо пр по і іійно до коефіцієнта тертя. Аналогічним чином, як показую розрахунки, відбувається збільшення х з ростом параметра зсув що може служити підтвердженням того, що при Е/С -• 0 величи ас,- о. Розглядаючи Ізотропні пластини, було виявлено, що із зб льаенззям параметра а/її зменшується відмінність між відповідай інтегральними характеристиками задачі (зусилля, моменти і пер щення) в рамках уточненої моделі і в рамках моделі Кірхгофа.

Основні результати 1 висновки: •-

І. Розроблено нову механіко-математичну модель згину тран версально-ізотрошак пластин, в основі, якої лежить модель

І.Григолюка і В.М.Толкачова, узагальнена шляхом врахування . ан зотропії. . •

. 2. Для розв'язання задачі циліндричного згину пакета пла

тин побудовано нову модель, яка враховує наявність між пластин ми зон зчеплення, проковзування і віддання. Проблема знахо кошт контактних напружень в моделі зводиться до іятегруван систеї . диференціальних рівнянь. •

3. У випадку пластин з однаковими фізико-механічним вла •кшостлш при відсутності сил тертя на поверхнях розділу одерж но загальний аналітичний розв’язок систем диференціальних рі някь, що є дійсний для пакетів з довільною кількістю пластин.

4. Знайдено алгоритм переходу від задачі згину пакета пла тин до задачі згину пакета Оалок, з допомогою якого можуть бу отримані всі результати, що відповідають балочній моделі.

6. Ні базі побудованої моделі розв'язано задачу згину дв шарового пако-га пластин з урахуванням зон зчеплення, проковз взння і відліїпзішя. Вивчено вплив сил тертя та параметрів ан

зотропії на розподіл контактних напружень. Дослідження проводились для різних типів навантажень та при змінних граничних умовах. . . ■

6. Досліджено вплив параметрів анізотропії на величину.зоїш

контакту в двошаровому пакеті пластин та двошаровому пакеті балок. _ ;

7. Досліджено вплив одаопараметричного стискуючого наванга-' ження на величину зони зчеплення.

8. Встановлено теж! зміни параметрів анізотропії. Параметр Е/Е, обмежений знизу нулем, а зверху величиною 1/^. У свою чергу, параметр Е/G, мав межу знизу зліва нуль, а зверху зліва 2(1+v)/v1 .У відповідності із знайденими межами виконано два ланцюжки граничних переходів. Висловлюється припущення, що між значеннями Е/Е^ 0 і Е/Е1 =і /г^ параметр E/Gy обмежений зліва

кривою E/G.|= 2TJV, (1+v) - 2(т)(1-тїі^) (1 —V2))1/2 (т^Е/Е,). '

9. Встановлено, що міх отриманими в результаті граничних переходів моделями існує певна симетрія. Це дозволяє їх систематизувати ( наприклад, теорія Кірхгофа та псевдотеорія Кірхгофа; теорія, що враховує тільки зсуви, та псевдозсувна теорія ).

10. Виявлено, що для досліджуваних, навантажень при переході до теорії Кірхгофя (псевдотеорії Кірхгофа) зона зчеплення зникав.. Причому величина зони зчеплення прямує до нуля прямо пропорційно до параметра зсуву (параметра = E/G,- 2(1 ч-v)/v(). •

. У додатку представлені документи, що підтверджують використання результатів роботи на практиці.

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Шопа В.М., Полевой Б.Н., Зубко в.И. Цилиндрический изгиб двухслойной пластины с учетом сил трения //Прикладная механика. - 1988. - 24, №11. -С. 63-68.

2. Зубко В.И., Полевой Б.Н., Шопа В.м. Влияние сил трения, эф-

фектов поперечного сдЕига и обжатия на изгиб пакета пластин //Доклада АН УССР. Сер.А. - 1988. - ЛИ. - С. 36-40. '

3. Зубко В.И. К вопросам теории многослойных пластин //Матер.

12 конф. мол. у\jrf. Ин-та прикл. пробл. мех. и мат. АП УССР, Львов, 21-23 октября, 1987 /йн-т прикл. пробл. мех. и мат._ АН УССР. - Львов, 1987.. - С. 71-76. ’

4. Зубко В.И. Расчет двухслойной пластины при наличии зон сцепления, проскальзывания, отслоения //Матер. 13 конф.мол.учен.

Ин-та прикл. пробл. мех. и мат. АН УССР, Львов, 11-12 мая, 1989 /Ин-т прикл. пробл. мех. и мат. АН УССР.- Львов, 1989.-С. 47-51. .

5. Зубко В.И., Полевой Б.Н., Шопа В.М. Влияние сил трения, эффектов поперечного сдвига и обжатия на изгиб пакета транс-версалыю-изотропных пластин //Тез. докл. 3 Всес.конф. "Прочность, жесткость и технологичность изделий из композиционных материалов": 24-25 окт., 1989. - Запорожье, 1939. - С.91.

6. Зубко В.И., Полевой Б.Н., 12опа В.М. Цилиндрический изгиб пакета пластин при наличии зон сцепления, проскальзывания, от-

слоения //Прикладная механика. - 1990. - 26, ЖЗ. - С. 61-69;

7. Зубко В.И., Полевой Б.Н., Шопа В.М. Цилиндрический изгиб па-

, кета трансверсально-изотропных пластин при наличии зон сцепления, проскальзывания, отслоения //Механика композитных материалов. - 1990. — КЗ. - С. 508-512. .

8. Зубко В.И., Полевой Б.Н., Шопа В.М. Построение аналитического решения задачи изгиба пакета трансверсально-изотропных

пластин //Доклады АН УССР. Сер.А. - 1990. - .1610. - С. 44-48.