Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Г Б ОЛ ^ ц ЦЕН ДО*

УДК 539.375

На правах рукописи

Шумилов Андрей Валерьевич

ЗАДАЧА СОЕДИНЕНИЯ УПРУГИХ ПЛАСТИН В ПАКЕТ ВДОЛЬ КРИВЫХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары — 1998

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Сильвестров

Официальные оппоненты:

Ведущаж организация:

Самарский государственный университет

Защита состоится 25 декабря 1998 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова по адресу: 428015, г. Чебоксары, Московский проспект, д. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного унивеситета.

Автореферат разослан ноября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук В.Б. Пеньков

кандидат физико-математических наук, доцент Г.Е. Чекмарев

кандидат физ.-мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих областях техники и строительства используются различные инженерные конструкции, составленные из тонких упругих пластин, среди которых особый класс составляют пакеты пластин, соединенных друг с другом вдоль узких полос и в отдельных точках посредством заклепок, склеивания, сварки, шурупов и т.д. В практических расчетах на прочность эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями. Так же можно поступать и в случае, когда пластины соединены между собой в близко расположенных друг к другу точках вдоль некоторых линий. В связи с этим являются актуальными исследование напряженного состояния пакетов пластин, соединенных вдоль кривых, а также в отдельных точках, и разработка аналитических методов решения соответствующих задач теории упругости. Изучению указанных проблем и посвящена данная диссертационная работа.

В математической постановке задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций, к которым относятся и пакеты пластин, изучаются сравнительно недавно. К настоящему времени изучены пакеты пластин, соединенных друг с другом в отдельных точках, вдоль коллинеарных отрезков или дуг одной окружности (Г.П. Черепанов, Л.С. Рыбаков, Н.В. Лукашина, В.В. Сильвестров, Г.Е. Чекмарев). Изучены также другие типы многолистных пластинчатых конструкций и систем (Ю.И. Кудишин, Б.В. Калашников, Б.М. Нуллер, G.G. Adams, М. Bernadou, S. Fayolle, К. Fumiki и др.). Изучались вопросы прочности конструкций с позиций механики разрушения, развивались методы решения соответствующих задач теории упругости. В то же время, многолистные пластинчатые конструкции с криволинейными концентраторами напряжений, в том числе и пакеты пластин, практически не исследовались.

Цель работы. Разработка аналитических методов исследования напряженного состояния пакетов упругих пластин, соединенных друг с другом вдоль кривых и в отдельных точках; решение конкретных задач.

Методы исследования. Для исследования пакета пластин, соединенных вдоль кривых, используется разработанный львовскими механиками метод интегральных уравнений. При решении конкретных задач используются методы матричной краевой задачи Римана, степенных рядов, алгебраические и численные методы. Основой для всех исследований служат формулы Колосова-Мусхелишвили из плоской теории упругости.

Научная новизна результатов работы: сведение задачи о напряженном состоянии пакета нескольких упругих пластин, соединенных друг с другом вдоль кривых, к уже изученным самостоятельным задачам о напряженном состоянии отдельных никаким образом не связанных между собой пластин с тонкими жесткими остроугольными включениями вдоль линий соединения; решение в замкнутой форме задачи соединения пластин в пакет вдоль одной окружности, вдоль концентрических окружностей, вдоль окружности и в отдельной точке; исследование напряженного состояния пластин на линиях соединения и вблизи их концов; нахождение параметров, характеризующих прочность системы пластин к разрушению.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректностью постановок задач и математической строгостью методов их решения, совпадением результатов работы в отдельных случаях с известными результатами.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости методов решения плоских задач теории упругости для исследования пакетов пластин, сведении задачи соединения пластин в пакет вдоль кривых в общем случае к отдельным известным задачам плоской теории упругости.

Практическую ценность представляют результаты решений ряда конкретных задач, формулы для коэффициентов интенсивности напряжений и других параметров, характеризующих прочность конструкции к разрушению.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на всероссийском семинаре "Актуаль-

ные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Чебоксары, 1996), на седьмой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997), на итоговой научной конференции, посвященной 30-летию Чувашского государственного университета (Чебоксары, 1997), на научном семинаре по взаимодействию сплошных сред (руководитель — профессор А.Г. Терентьев), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела (руководитель — профессор Д.Д. Ивлев).

Основная часть результатов, отраженных в диссертационной работе, выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 94-01-00207, 98-01-00308, 98-01-03304).

Структура и объем работы. Диссертация состоит ио введения, трех глав, разбитых на 15 параграфов, и списка литературы из 83 наименований. Ее текст изложен на 96 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, приводится краткий обзор литературы по теме диссертационной работы, ее краткое содержание и формулируется задача.

Конечное число тонких упругих однородных изотропных пластин Е2, ■ ■ • , Еп, занимающих всю плоскость каждая, наложены друг на друга и соединены друг с другом вдоль конечного числа определенных кривых (одной окружности, системы концентрических окружностей, одной или нескольких разомкнутых кривых) или вдоль окружности и еще в отдельной точке (конечной или бесконечной). Пластина Ек имеет толщину /г*, модуль сдвига ць и коэффициент Пуассона ¿/д.. В точке ос пластины Ек в расчете на единицу толщины пластины действуют расположенные в плоскости пластины заданные напряжения (сг^)к-, (т™)к и сосредоточенная сила Рк = Хк + ъУк\ вращение на оо пластины Ек равно Никакие другие вне-

шние усилия к пластинам не приложены. Поверхности пластин между собой не касаются или х:асаются без трения; передача усилий с одной пластины в другую происходит только через линии и точки соединения.

Требуется найти напряженное состояние каждой из пластин и параметры, характеризующие устойчивость пакета к. разрушению (коэффициенты интенсивности напряжений вблизи концов линий соединения, силы реакции в точках соединения).

Несмотря на то, что рассматриваемый пакет пластин не имеет границы, тем не менее линии соединения пластин играют роль особых линий, на которых напряжения терпят разрыв, в то время как смещения непрерывны. На них должны выполняться условия

(и + г«)* = (и + гиХ, к = 1, п, (и + ги)£ = (и + ги)£ц, к = 1 ,п - 1, (1)

п п

¿2 1гк(М + гТ)1 = £ ЫХ + гТ)-к,

к=1 к-I

где (и, у)к — компоненты вектора смещения точек пластины Ек\ (Аг, Т)к — нормальное и касательное напряжения в точках пластины Ек в расчете на единицу толщины пластины, а верхние и нижние индексы "плюс" и "минус" означают значения того или иного выражения на линии соединения слева и справа соответственно.

При указанных выше нагрузках в пластинах реализуется напряженное состояние, мало отличающееся от обобщенного плоского и определяемое в каждой из них известными формулами Колосова-Мусхелишвили1) через две функции комплексного переменного г = ж + г'г/, аналитические во всей плоскости, кроме линий и точек соединения, и имеющие определенное поведение в окрестности оо. В диссертации, в зависимости от вида линий соединения, используются различные формулы.

' Мусхелишвалп Н.И. Некоторые основные (задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

В первой главе исследуются пакеты пластин, соединенных друг с другом только вдоль одной окружности или вдоль конечного числа концентрических окружностей.

В случае соединения пластин только вдоль одной окружности Ь : \г\ = 1 поставленная выше задача, на основе формул Колосова-Мусхелишвшш для плоскости с разрезами по дугам окружности Ь и условий (1), сводится в § 1 к нахождению 2п кусочно-голоморфных функций Ф^(гг), О,¡¡(г), к = 1,п, с линией разрыва Ь из однородной матричной краевой задачи Римана с постоянной коэффициент-матрицей и из определенных условий в точках 0 и оо. Решение этой задачи и функции Ф^., находятся явно в § 2. В круге \г\ < 1 они имеют вид

Фк(г) = аоь ЗД = Ь0к ~ ^¡^ ~

а в области \г\ > 1 имеют вид

ъ ( \ Рк , а2к о / \ - I Ь2к

= ~ 2.(1 + пк)г + {2) = ^ т ^

где Кк,1к,7к^аок,С12к,Ь0к,Ь2к — постоянные, выражаемые явно по определенным формулам через исходные данные задачи (упругие постоянные и толщины пластин, нагрузки на со пластин).

На основании найденных функций и формул Колосова-Мусхелишвили в § 3 получены формулы для напряжений внутри и вне окружности исследовано их распределение на окружности. Для пакетов из двух и трех пластин при конкретных значениях исходных данных рассчитаны значения напряжений на окружности Ь изнутри и извне. Например, на рис. 1 приведены эпюры напряжений егд и на I изнутри и извне,

поделенных на величину |шах|(сг^)^| = 0.49, для пакета из

в,к

трех пластин толщины 1 с упругими постоянными — и3 = 0.37, Р2 = 0.42, /II = /х3, Цг!Иг — 1-825, что соответствует системе Си — Ре — Си, когда на оо этих пластин все нагрузки — нулевые, кроме напряжения 2 = 1 на со второй пластины.

■2

■1,3

/

2

•1,3

/

!

С£=2с£/(Зтах|о*|)

= / (Зтах|сг*|)

Рис. 1

В §§ 4-6 решается задача соединения конечного числа пластин в пакет вдоль концентрических окружностей Ь\, ,..., Ьт с центром в начале координат и радиусов гьг2,... ,ггп (г^ < г2 < ... < г,т) соответственно. Она методом степенных рядов сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов, определяемых комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили в областях, на которые разбивается плоскость окружностями Ь^- Эту систему удалось свести к отдельным конечным системам и найти ее решение явно. На основании этих решений найдены явно комплексные потенциалы и получены формулы для напряжений. Оказалось, что в данном случае задача соединения пластин в пакет вдоль окружностей Ь^, • • •, Ьт равносильна задаче соединения этих же пластин в пакет только вдоль однох1 внешней окружности Ьт, т.е. внутренние окружности ■ ■. ,Ьт-х,

независимо от их количества и радиусов, никакого влияния на распределение напряжений в пластинах не оказывают, следовательно, не являются укрепляющими элементами системы. Кроме того, напряженное состояние в круге \г\ < гт во всех пластинах не зависит также от сосредоточенных сил, приложенных в точке схз; оно зависит лишь от напряжений, действующих в точке со, упругих постоянных и толщин пластин.

Вторая глава посвящена решению задачи соединения пластин в пакет вдоль одной окружности Ь : \г\ = 1 и в отдельной точке, которая может быть расположена внутри окружности, вне окружности или совпадать с точкой оо. Под соединением в точке со понимается соединение пластин на большом удале-

НИИ от окружности Ь вдоль кривых или по некоторым областям или частично вдоль кривых и частично по областям. При исследовании напряженного состояния эти соединения можно заменить точкой со, а приложенные к ним нагрузки — равносильными нагрузками, приложенными в точке оо. Под соединением пластин в конечной точке понимается соединение пластин по "малой" области произвольной конфигурации, содержащей эту точку и размеры которох": малы по сравнению с расстоянием от ее границы до окружности Ь. Такое соединение пластин называется "заклепкой".

Так же, как в случае соединения пластин вдоль одной окружности, для решения задачи в этой главе используется метод матричной краевох! задачи Римана. В случае соединения пластин Е-2, ■ ■ ■, Еп друг с другом вдоль окружности Ь и в точке со, в которой задаются расположенные в плоскостях пластин общие для всех них напряжения <т*, а*, т*у и вращение а;*, в § 2 на основании условий (и + ~ (м + ги)1, -г —> оо, к = 2, п, выражающих равенство смещений точек различных пластин при г —> оо, и соответствующих условий для комплексных потенциалов на окружности Ь доказывается, что задача соединения пластин Ек в пакет вдоль окружности Ь и в точке оо равносильна задаче соединения этих пластин в пакет только вдоль окружности Ь при условии, что на оо пластины Ек заданы нулевая сосредоточенная сила, вращение со^ = и напряжения

Данное утверждение справедливо также в случае соединения пластин в пакет в точке оо и вдоль любой совокупности кривых.

В случае соединения пластин ЕиЕ2,- ■ • , Еп в пакет вдоль окружности Ь : \г\ ~ 1 и в конечной точке го, расположенной вне Е, рассматриваемая задача на основе формул Колосова-Мусхелишвили для плоскости с разрезами по дугам окружности Ь сводится к матричной краевой задаче Римана для 2п функций Фус(г), {¿к(г), к — 1,п, в классе функций, имеющих заданное поведение в точках О, со' и особенности определенного характера в точках го, г* = 1 /г0. Эти функции найдены явно в § 3. Они в круге \г\ < 1 имеют вид

Фк(г) - аок,

О (Л-Ь КкРк ^__КкРь I (о\

ик{,)-Ь0к 2<1 + Кк)г г2 27г(1 + кк)(г — го) Ы

| т:—г;—;-г;-гт^т +

2тг(1 + кк){г - 1/г0) 2тг(1 + /^(г - 1/20)2'

а в области > 1 имеют вид

фМ = г , ___

Н j * ~ 2тг(1 + кк)г + 22 2тг(1 + «*)(* - г0)

1 _' | а*к /ол

+ 2тг(1 + «*)(* - 1/я0) ^ (г- 1 /г0)2' 1 '

П / \ - , Ък , ^

$¿¿(2) = а0А: + -Г" +

(¿-1 /¿о)2'

где кк,чк,Ук,аок,а<2к,а5к,Ьок,Ь2к,Ь5к — постоянные, определяемые явно через исходные данные задачи и неизвестные заранее силы реакции действующие на точку г0 со стороны пластин Ек в расчете на единицу толщины пластин. Силы находятся из условия равновесия точки и линейных условий, выражающих равенство приращений смещений в различных пластинах при переходе от фиксированной точки на оркуж-ности Ь к фиксированной точке на границе заклепки в точке 2о- В эти условия, помимо исходных данных задачи, входит еще характерный линеиныи размер заклепки — радиус заклепки. Необходимость введения такого дополнительного параметра задачи объясняется тем, что смещения, определяемые

по формулам Колосова-Мусхелишвили посредством функций (2), (3), в точке Zo обращаются в бесконечность, что не соответствует реальности. Анализ решения задачи при различных значениях размера заклепки показал, что его влияние на решение задачи невелико. На основе построенных решений при различных конкретных значениях исходных данных и размера заклепки рассчитаны значения сил и значения напряжений на окружности L\ дано их сравнение со значениями напряжений, соответствующими соединению пластин в пакет только вдоль окружности L. Например, на рис. 2 для случая двух совершенно одинаковых пластин, соединенных между собой в пакет вдоль окружности L : \z\ = 1 и в точке г0 = х0 х0 > 1, когда в точке со к первой пластине приложена сила Рх = 1, а ко второй пластине — сила Р\ = —1, приведены графики зависимости силы реакции Pj* = —Р2* в точке xq от расстояния d — х0 — 1 между точкой х'о и окружностью L для четырех различных значений "радиуса" точечного соединения Д = 0.1; 0.05; 0.01; 0.005. Соответствующие этим значениям кривые обозначены цифрами 1, 2, 3, 4. Как видно из этого рисунка, при изменении А в 20 раз сила Pj* изменяется не более чем в 1.5 раза, т. е. ошибка в определении Д несущественно влияет на величину Pf, следовательно, и на напряженное состояние в пластинах. Ранее данный факт был замечен Г.П. Черепановым.2'

¿Г о.з

0.2

0.1

0.0 я

0 2 4 6 8 d _ Рис. 2

2]

' Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука,

1983.

■——Т~ J-——

---4

В § 4 на основе решения соответствующей математической задачи для функций Ф^, Qf- показывается, что задача соединения пластин в пакет вдоль окружности L и в точке, расположенной внутри I/, как и задача соединения их вдоль концентрических окружностей, равносильна задаче соединения этих пластин только вдоль окружности L.

В третьей главе методом интегральных уравнений изучается задача соединения пластин Ei, Е2,. ■., Еп в пакет вдоль конечного числа разомкнутых кривых Ляпунова L\, L2, ■.., Lrn, не имеющих между собой общих точек. С помощью комплексных потенциалов Ф*(.г), Ф/:(г). взятых в интегральной форме, предложенной львовскими механиками3', рассматриваемая задача в § 2 сводится к системе п — 1 сингулярных интегральных уравнений относителььно неизвестных скачков 2quit) — (N -f — (N + ¿T1)^, к = 1, п — 1, нормальной и касательной напряжений при переходе через кривые Lj в пластинах и конечному числу дополнительных условий, выражающих равновесие каждой пластины по отдельности и однозначность смещений при переходе от одной кривой к другой по разным пластинам.

Данная система, ровно как и дополнительные условия, путем диагонализации матрицы-коэффициента при регулярной части уравнений (возможность такой операции доказывается исключительно алгебраическими методаим) сводится в § 3 к п — 1 отдельным интегральным уравнениям и дополнительным условиям для нахождения новых функций r^(i), fc = 1, п — 1, связанных с функциями qk{t) линейно с определенной невырожденной матрицей, элементы которой выражаются явно через упругие постоянные и толщины пластин. Полученные уравнения для нахождения функций rk(t) полностью совпадают с интегральными уравнениями и условиями второй основной задачи теории упругости для отдельных, никаким образом не связанных между собой, вообще говоря, других пластин Ес разрезами по заданным кривым Lj при следующих условиях:

' Саврук М.П. Двумерные оадачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981.

1) пластина Е*к имеет единичную толщину, модуль сдвига ^ и такую, вообще говоря, новую упругую постоянную что 1/4 является к-ым собственным значением матрицы А~1В, где А, В — матрицы с элементами

акз Нп кпцк{1+кк) кз' ^ + к к) к3'

— символ Кронекера, к, ] — 1, п — 1).

2) на берегах всех разрезов смещения равны нулю;

3) на оо пластины действуют сосредоточенная сила напряжения (ст*, а*, г*, и вращение (и;*)?0, определяемые через исходные данные по формулам

3=1

ЮТ = ф^Ь^-

- (2 - «; - ^жг + ^К- - - К - <ОМп ]>

Р-з

п-1

юг = 2 -- ъ)ыг - (4)

-(2-4- «п + - - « - «0 МГ],

Г]

ЮГ = £~ (т-)г]'

3=1 гз

где ¿кз и с^ — элементы матриц и (Л5)-1 соответственно, 5 — матрица, составленная по столбцам из собственных векторов матрицы А"1 В.

Таким образом, задача соединения упругих пластин Е\,Еч, ■ • ■, в пакет вдоль конечной системы разомкнутых кривых Ь3 эквивалентна п — 1 задачам о напряженном состоянии отдельных, никаким образом не связанных между собой, пластин Е% с абсолютно жесткими включениями нулевой толщины вдоль кривых Ь] и заданными, вообще говоря, иными нагрузками на оо, определяемыми формулами (4). При этом напряжения, вращение и коэффициенты интенсивности напряжений (КИН)) вблизи концов линий соединения в пластинах Ек, находящихся в составе пакета, находятся через соответствующие им напряжения, вращение и КИН вблизи вершин жестких включений в пластинах Е7. по формулам

п—1 га—1

ак(2) = + - 52 ^ = 1, 77. — 1,

¿=1

п-1 ^

<гп(2) = ап(оо) - т к- <тА(оо)], (5)

¿=1

{кг - гк2)3 = £ *з1-^К*1)Лк{ - j = 177Г=Т,

где зду — элементы матрицы 5"; ^(г) означает одно из напряжений ах, (Ту, тху или вращение и> в точке г пластины Ек; сг*(г) означает то же самое для пластины (&1, к2)3 — КИН вблизи концов линий соединения в пластине Еу (/с*, /с^ ): — КИН вблизи вершин жестких включений в пластине Е*.

Если коэффициенты Пуассона у всех пластин одинаковы или чередуются, то формулы (4) и (.5) намного упрощаются. Эти случаи подробно изучены в § 4.

Все положения и выводы третьей главы остаются в силе также в случае соединения пластин Ек в пакет вдоль расположенных вне друг друга замкнутых кривых Ляпунова Ь^, если считать, что в новые пластины Е^ впаяны абсолютно жесткие

включения, занимающие внутренности кривых Lj. В частности, в § 5 на основе построенных интегральных уравнений повторно найдены решения задачи соединения пластин в пакет вдоль одной окружности и отдельно вдоль коллинеарных отрезков. В первом случае решение совпадает с решением, полученным другими методами в первой главе, а во втором случае — решением, полученным ранее В.В. Сильвестровым и P.E. Чекмаревым методом краевой задачи Римана.

Таким образом, в диссертации получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту.

1. В замкнутой форме решена задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль одной окружности и вдоль конечного числа концентрических окружностей. Исследовано напряженное состояние пластин и характер распределения напряжений на линиях соединения пластин.

2. Решена явно задача соединения пластин в пакет вдоль окружности и в отдельной точке. Изучено влияние точки соединения на распределение напряжений на линии соединения и обратно.

3. Разработан метод решения задачи соединения пластин в пакет вдоль разомкнутых кривых. Доказана ее эквивалентность конечному числу задач теории упругости для отдельных, не связанных между собой, пластин с жесткими включениями вдоль линий соединения. Установлена связь между напряжениями и КИН в пластинах, находящихся в составе пакета, и соответствующими напряжениями и КИН в отдельных пластинах с жесткими включениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Сильвестров В.В., Шумилов A.B. Соединение упругих пластин в пакет вдоль окружности // Известия Инженерно-технологической Академии Чувашской Республики. 1996. N 1. С. 68-79.

2. Сильвестров В.В., Шумилов A.B. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль концентрических окружностей // Известия Инженерно-технологической Академии Чу-

вашской Республики. 1996. N 3-4. С. 142-148.

3. Сильвестров В.В., Шумилов A.B. Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых // Известия РАН. Механика твердого тепа. 1997. N 1. С. 165-170.

4. Сильвестров В.В., Шумилов A.B. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль окружности и в отдельной точке // Известия НАНИ Чувашской Республики. 1997. N 4. С. 118127.

5. Сильвестров В.В., Шумилов A.B. Интегральные уравнения задачи соединения упругих пластин в пакет вдоль кривых // Алгебра и анализ. Материалы 2-й Казанской школы-конф. Казань. Изд-во КГУ, 1997. С. 197-198.

6. Сильвестров В.В., Шумилов A.B. Соединение упругих пластин в пакет вдоль кривых // Итоги развития механики в Туле: Тезисы докладов международной конференции. Тула: ТУлГУ, 1998. С. 94-96.

7. Шумилов A.B. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль окружности // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 6-й межвуз. конф. Самара. Изд-во СамГТУ, 1996. С. 122-123.

8. Шумилов A.B. Задача о напряженном состоянии пакета пластин, соединенных вдоль кривых // Естественные науки: сегодня и завтра. Тезисы докладов юбил. итог. науч. конф. Чебоксары: Изд-во ЧувГУ, 1997. С. 103-104.

9. Шумилов A.B. Напряженное состояние пакета тонких упругих пластин, соединенных вдоль замкнутых контуров // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 7-й межвуз. конф. Самара. Изд-во СамГТУ, 1997: С. 154-157.

10. Silvesirov V.V., Shumilov А. V. Joining elastic plates into a package along curves // Mechanisms and. Mechanics of Damage and Failure. Vol. 1. Proc. of 11th. European Conference on Fracture. West Midlands (U.K.): EMAS, 1996. P. 379-383.

61: 9 9 --//309-3

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова

УДК 539.375

На правах рукописи

ШУМИЛОВ АНДРЕИ ВАЛЕРЬЕВИЧ

ЗАДАЧА СОЕДИНЕНИЯ УПРУГИХ ПЛАСТИН В ПАКЕТ ВДОЛЬ КРИВЫХ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Сильвестров В.В.

Чебоксары - 1998

Содержание

Введение 4

Глава 1. Задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль окружностей 16

§ 1. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль одной

окружности............................... 16

§ 2. Решение задачи соединения упругих пластин в пакет

вдоль одной окружности....................... 20

§ 3. Исследование напряженного состояния и числовые расчеты 26 § 4. Пакет упругих пластин, соединенных вдоль концентрических окружностей.......................... 32

§ 5. Решение задачи соединения пластин в пакет вдоль концентрических окружностей..................... 34

§ 6. Исследование напряженного состояния............ 40

Глава 2. Задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль окружности и в отдельной точке 42

§ 1. Постановка задачи......................... 42

§ 2. Соединение упругих пластин в пакет вдоль окружности

и в бесконечно удаленной точке .................. 43

§ 3. Соединение упругих пластин в пакет вдоль окружности

и в конечной точке, расположенной вне окружности..... 47

§ 4. Соединение упругих пластин в пакет вдоль окружности и в точке, расположенной внутри окружности........

Глава 3. Задача соединения упругих пластин в пакет вдоль

кривых 60

§ 1. Постановка задачи..................................................60

§ 2. Интегральные уравнения задачи................................61

§ 3. Исследование системы интегральных уравнений и коэффициенты интенсивности напряжений............................66

§ 4. Некоторые частные случаи........................................76

§ 5. Случаи соединения пластин вдоль коллинеарных отрезков и вдоль окружности ..............................................80

Список литературы 88

Введение

Во многих областях техники и строительства используются различные инженерные конструкции, составленные из тонких упругих пластин, среди которых особый класс составляют пакеты пластин, соединенных между собой вдоль узких полос и в отдельных точках посредством заклепок, склеивания, сварки, шурупов и т.д. В практических расчетах на прочность с позиций механики разрушения эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями. Так же можно поступать и в случае, когда пластины соединены между собой в близко расположенных друг к другу точках вдоль некоторых линий.

В связи с этим являются актуальными исследование напряженного состояния пакетов пластин, соединенных вдоль кривых, а также в отдельных точках, и разработка, аналитических методов решения соответствующих задач теории упругости. Изучению указанных проблем и посвящена данная диссертационная работа.

В математической постановке задачи теории упругости для мно-голистных пластинчатых конструкций, к которым относятся и пакеты пластин, изучаются сравнительно недавно, хотя метод многолистных римановых поверхностей для решения задач теории упругости и других разделов механики сплошной среды применяется давно [9, 18, 70-73]. Непосредственно относящиеся к теме данной диссертационной работы пакеты пластин, соединенных между собой только в отдельных точках или только вдоль кривых изучаются в работах [37 39, 46, 47, 53, 64-66, 69].

В монографии Г.П.Черепанова [69] изучается пакет из двух бесконечных пластин, вообще говоря, из различных упругих материалов, соединенных между собой заклепками в двух точках. При заданных на бесконечности в каждой из пластин напряжениях, действующих в плоскостях пластин, посредством инвариантных Г-интегралов находятся силы реакции в заклепках и исследуется влияние размеров заклепок на их величину. Аналогичная задача рассматривается в данной диссертации во второй главе.

В работах Л.С.Рыбакова и Н.В.Лукашиной [37-39] изучаются пакеты двух и трех бесконечных пластин, соединенных между собой периодическими рядами заклепок. С использованием комплексных потенциалов Колосова-Мухелишвили нахождение сил реакции в заклепках сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, зависящими от разности индексов. Решение системы находится методом преобразования Лорана.

В работах В.В.Сильвестрова и Г.Е.Чекмарева [46, 47, 53, 64-66] изучаются пакеты тонких бесконечных упругих пластин, соединенных между собой вдоль коллинеарных отрезков или вдоль дуг одной окружности. При заданных, вообще говоря, разных нагрузках на бесконечности каждой из пластин, исследуется напряженное состояние, мало отличающееся в каждой пластине от обобщенного плоского, и изгиб пластин; находятся коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) вблизи концов отрезков и дуг соединения. Исследования основаны на использовании комплексных потенциалов К о ло с ова Мусхе лишви ли и матричной краевой задачи Римана.Этот лее метод будет использоваться в данной диссертационной работе для изучения пакета пластин, соединенных между собой только вдоль одной окружности или вдоль окружности и в отдельной точке.

Указанными авторами метод краевой задачи Римана в сочетании с другими методами используется также для исследования напряженно-

го состояния и решения соответствующих задач теории упругости для других типов многолистных пластинчатых конструкций (поверхностей): многолистной римановой поверхности с разрезами, соединяющими ее точки ветвления, берега которой принадлежат крайним листам [42-45, 48]; конструкции со сквозными разрезами вдоль коллинеарных отрезков, образованной из нескольких пластин с одинаковыми разрезами путем наложения их друг на друга и соединения между собой отдельно верхних берегов соответствующих разрезов всех пластин и отдельно нижних берегов [49, 52, 67] ; конструкции, образованные из нескольких пластин с одинаковыми коллинеарными разрезами, которые наложены друг на друга и соединены между собой только вдоль верхних берегов соответствующих разрезов (при этом нижние берега разрезов всех пластин никаким образом не контактируют между собой) [45, 63, 67]; слабоизогнутой винтовой поверхности [51].

В работе В.В.Сильвестрова [82] изучается многолистная пластинчатая конструкция со сквозным криволинейным разрезом, образованная путем наложения друг на друга нескольких одинаковых тонких однородных пластин с разрезами, одноименные берега которых соединены между собой. На берегах разреза задаются внешние усилия, а на бесконечности каждой пластины — напряжения, вращение и сосредоточенная сила, которые действуют в плоскостях пластин так, что все листы конструкции находятся в напряженном состоянии, мало отличающемся от обобщенного плоского. Методом интегральных уравнений устанавливается асимптотика напряжений вблизи концов разреза и находятся инварин-тные Г-интегралы Черепанова. В отличие от одной отдельной пластины с разрезом, вблизи вершины которого интенсивность напряжений, имеющих степенную особенность порядка 1/2, зависит от двух действительных КИН, на рассматриваемой конструкции вблизи вершины разреза напряжения, хотя и имеют степенную особенность порядка 1/2, но их интенсивность зависит от четырех КИН. В работе [50] указанным мето-

дом устанавливается порядок особенности напряжений вблизи вершины криволинейной щели в конструкции, образованной из двух бесконечных пластин, одна из которых разрезана вдоль заданной кривой, затем наложена и присоединена вдоль одного из берегов разреза к другой сплошной пластине.

В работе Ю.И.Кудишина и Б.В.Калашникова [15] исследуется напряженное состояние конструкции из двух однородных изотропных пластин, пересекающихся под прямым углом. Одна из пластин занимает всю плоскость, а другая — полуплоскость. Пластины равномерно растянуты на бесконечности-на части границы полуплоскости, симметричной относительно другой пластины, заданы нормальные постоянные усилия. С помощью комплексных потенциалов Колосова- Мусхелишвили задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, решение которого строится приближенно через интерполяционные многочлены Лагранжа. Аналогичным образом этими же авторами ранее был изучен случай взаимодействия бесконечной пластины с полубесконечной полосой [14].

В работе Б.М.Нуллера [25] предложена методика, позволяющая свести некоторые статические и динамические задачи для конструкций, составленных из нескольких упругих полуплоскостей, соединенных между собой вдоль произвольных участков границ, к краевым задачам Римана-Гильберта на многолистных римановых поверхностях. Рассматриваемые конструкции представляют собой одну из симметричных половинок соответствующей римановой поверхности.

В работе G.G.Adams [77] изучается Т-образное соединение под прямым углом упругой полуполосы вдоль торца с упругой полосой. Полуполоса вдавливается в полосу, но система остается в равновесии, благодаря наличию двух симметрично расположенных сосредоточенных сил, приложенных к полосе. Решение соответствующей задачи теории упругости строится путем сопряжения решений для полосы и полуполосы, удовлетворяющих заданным граничным условиям. Условие непрерывности

напряжений и смещений вдоль линии соединения полуполосы с полосой приводит к системе трех сингулярных интегральных уравнений, которая с учетом характера особенностей искомых функций в угловых точках линии соединения решается численно. Аналогичная задача Т-образного соединения полубесконечной пластины с бесконечной заклепками в двух точках изучается в книге [69]. Решение строится методами ТФКП.

Напряженное состояние различных конструкций, составленных из прямоугольных и круговых пластин при различных способах соединения между собой, изучается в работах [33, 78-81]. Используются методы конечных элементов, тригонометрических рядов и другие. Технологические проблемы, связанные с проектированием различных тонкостенных пластинчатых конструкций, и проблемы их прочности изучаются в книгах [20, 62]. Большинство из описанных выше конструкций исследуются с позиций механики разрушения, основные положения которой изложены в работах В.В.Панасюка, М.П.Саврука, Л.Т.Бережницкого, Н.Г.Стащука, А.П.Дацышин, А.Е.Андрейкив [3, 26 28. 41], В.В.Партона, Е.М.Морозова [29, 30], Г.П.Черепанова [68, 69], Ю.Н.Работнова [35, 36], Д.Д.Ивлева [И], Н.Ф.Морозова [22], Д.Броека [4]. Т.Екобори [8], К.Хеллана [61] и других. Рассматриваемые в данной диссертационной работе пакеты пластин также изучаются с позиций механики разрушения. Для исследования их напряженного состояния и решении соответствующей задачи теории упругости в зависимости от вида кривой, вдоль которой пластины соединены между собой в пакет, используются методы матричной краевой задачи Римана, степенных рядов и интегральных уравнений. Суть этих методов применительно к классическим задачам теории упругости изложена в монографиях Н.И.Мусхелишвили [23], А.И.Каландия [12], А.С.Космодамианского [13], Г.Я.Попова [34], В.З.Партона и П.И.Перлина [31, 32], В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин [28, 40], С.М.Бело-носова [2], Л.А.Толоконникова и В.Б.Пенькова [60], С.А.Кулиева [16] и других.

По своему характеру и методам исследований решаемая в данной диссертационной работе задача относится к классу плоских задач теории упругости. В ней решается следующая задача.

Конечное число тонких упругих однородных изотропных пластин Е\, Е2, • • •, Еп, занимающих всю плоскость каждая, наложены друг на друга и соединены друг с другом вдоль конечного числа определенных кривых (одной окружности, системы концентрических окружностей, одной или нескольких разомкнутых кривых) или вдоль окружности и еще в отдельной точке (конечной или бесконечной). Пластина Ек имеет толщину модуль сдвига ¡1к и коэффициент Пуассона ик. В точке оо пластины Е/, в расчете на единицу толщины пластины действуют расположенные в плоскости пластины заданные напряжения (п ,ч ),,.. (т^)к и сосре-

доточенная сила Рк = Хк + г¥к\ вращение на ос- пластины Ек равно Никакие другие внешние усилия к пластинам не приложены. Поверхности пластин между собой не касаются или касаются без трения; передача усилий с одной пластины в другую происходит только через линии и точки соединения.

Требуется найти напряженное состояние каждой из пластин и параметры, характеризующие устойчивость пакета к разрушению (КИН вблизи концов линий соединения, силы реакции в точках соединения).

Несмотря на то, что рассматриваемый пакет пластин не имеет границы, тем не менее линии соединения пластин играют роль особых линий, на которых напряжения терпят разрыв, в то время как смещения непрерывны. На них должны выполняться условия

(и + гь)I = (и + гу)1, к = 1, п, (и + ¡у)^ = (и + гу)^+1, к = 1,п-1, (1)

п п

¿=1 к=I

где (ад, у)к — компоненты вектора смещения точек пластины Ек; (ТУ, Т)к

— нормальное и касательное напряжения в точках пластины Ек в расче-

те на единицу толщины пластины, а верхние и нижние индексы "плюс" и "минус" означают значения того или иного выражения на линии соединения слева и справа соответственно.

При указанных выше нагрузках в пластинах реализуется напряженное состояние, мало отличающееся от обобщенного плоского и определяемое в каждой из них известными формулами Колосова-Мусхелишвили [23] через две функции комплексного переменного г = х + г;у, аналитические во всей плоскости, кроме линий и точек соединения, и имеющие определенное поведение в окрестности оо. В диссертации, в зависимости от вида линий соединения, испльзуются различные формулы.

В первой главе исследуются пакеты пластин, соединенных друг с другом только вдоль одной окружности или вдоль конечного числа концентрических окружностей.

В случае соединения пластин только вдоль одной окружности Ь :

\г\ = 1 поставленная выше задача, на основе формул Колосова......Мус-

хелишвили для плоскости с разрезами по дугам окружности Ь и .условий (1), сводится в §1 к нахождению 2п кусочно-голоморфных функции ФДг), к = 1 , п, с линией разрыва Ь из однородной матричной кра-

евой задачи Римана с постоянной коэффициент-матрицей и из определенных условий в точках 0 и оо. Решение этой задачи и функции Фь ик находятся явно в §2. На основании найденных функций и формул Колосова-Мусхелишвили в §3 получены формулы для напряжений внутри и вне окружности Ь, исследовано их распределение на окружности. Для пакетов из двух и трех пластин при конкретных значениях исходных данных рассчитаны значения напряжений на окружности Ь изнутри и извне.

В §§4-6 решается задача соединения конечного числа пластин в пакет вдоль концентрических окружностей 1/2,..., Ьт с центром в начале координат и радиусов гь г2,..., гт (г2 < г2 < ... < гт) соответственно. Она методом степенных рядов сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов, опреде-

ляемых комплексные потенциалы Колосова Мусхелишвили в областях, на которые разбивается плоскость окружностями Ьк. Эту систему удалось свести к отдельным конечным системам и найти ее решение явно. На основании этих решений найдены явно комплексные потенциалы и получены формулы для напряжений. Оказалось, что в данном случае задача соединения пластин в пакет вдоль окружностей Ь\, Ь2,..., Ьт равносильна задаче соединения этих же пластин в пакет только вдоль одной внешней окружности Ьт, т.е. внутренние окружности Ь\, Ь2,... ,

независимо от их количества и радиусов, никакого влияния на распределение напряжений в пластинах не оказывают, следовательно, не являются укрепляющими элементами системы. Кроме того, напряженное состояние в круге \г\ < гт во всех пластинах не зависит также от сосредоточенных сил, приложенных в точке оо; оно зависит лишь от напряжении, действующих в точке оо, упругих постоянных и толщин пластин.

Вторая глава посвящена решению задачи соединения пластин в пакет вдоль одной окружности Ь : |.г| — I ив отдельной точке, которая может быть расположена внутри окружности, вне окружности или совпадать с точкой оо. Под соединением в точке оо понимается соединение пластин на большом удалении от окружности Ь вдоль кривых или по некоторым областям или частично вдоль кривых и частично по областям. При исследовании напряженного состояния эти соединения можно заменить точкой оо, а приложенные к ним нагрузки равносильными нагрузками, приложенными в точке оо. Под соединением пластин в конечной точке понимается соединение пластин по "малой" области произвольной конфигурации, содержащей эту точку и размеры которой малы по сравнению с расстоянием от ее границы до окружности Ь. Такое соединение пластин называется "заклепкой".

Так же, как в случае соединения пластин вдоль одной окружности, для решения задачи в этой главе используется метод матричной краевой за�