Краевые задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

Чувашский государственный университет им. И. Н. Ульянова

• ЧЕКМАРЕВ Георгий Евгеньевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ Л1НОГОЛ ИСТНЫХ ПЛАСТИНЧАТЫХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

На правах рукописи

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕБОКСАРЫ 1994

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И. Н. Ульянова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, лрофессор В. В. Сильвестров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. Д. Кулиев,

доктор физико-математических наук В. Б. Пеньков

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится

о?3 . ¿¿¿/и

1994 года в

часов

на заседании специализированного совета K064.I5.02 при Чувашском государственном университете им. И. Н. Ульянова (428015, г. Чебоксары, Московский пр., 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского госу^ дарственного университета им. И. Н. Ульянова.

Автореферат разослан .. ^ .. _1994 года

Ученый секретарь

специализированного

Никитин

ОБЩАЯ

ХАРАКТЕРИСТИКА

РАБ.О Т Ы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. Математическим аппаратом для решения . ;огих важных проблем механики разрушения, теории трещин, теории миозитов, механики контактного взаимодействия- тел и других зделов механики деформируемого твердого тела, связанных с :ределением напряжений и смещений, слуяат краевые задачи теории ругоети, среди которых довольно широкий и вахный класс ставляют плоские задачи.

Для расчета на прочность элементов мвоголистных инженерных нструкций с позиций механики разрушения представляют -оретический и практический интерес задачи теории упругости для оголистных поверхностей,.. составленных из пластин. Как оголистную пластинчатую конструкцию с разрезами можно осматривать в рамках классической теории упругости так&е которые реальные кристаллы, заменив атомные слои упругими . оскостями.

Модель мпогОдистнсП пластинчатой конструкции с разрезом можно пользовать также для исследования напряженно-деформированного стояния многослойного композиционного материала со сквозной или гквозной поперечной к слоям трещиной, вблизи которой произошло ^слоение материала,особенно, если материал имеет "мягкие" нкие слои. При некоторых допущениях слои материала в рестности такой трещины мояно рассматривать как отдельные зстинн с трещиной, связанные меяду собой на бесконечности, и ?ега трещин у разных пластин соединить между собой так, чтобы пучилась более устойчивая к раэрупеиию многодетная . «струкгшя, чем исходная с поперечной трещиной. В математической постановке задачи теории упругости л ля. «деленных типов многолистных. пластинчаты): конструкций

(поверхностей) начали рассматриваться лишь в последнее время ( Г.П. Черепанов, Б.М.Нуллер, В.В.Сильвестров, М.Вегпайои и др.), хотя метод римановых поверхностей давно применяется для решения ряда плоских задач теории упругости и других разделов механики ( Л. И. Чибрикова, 1967 ; Э.И.Зверович, 1971 и др. ). В связи с этим проблема разработки методов решения задач теории упругости для новых типов многолистных пластинчатых конструкций, а также решения самих задач все еще остався актуальными.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является разработка аналитических методов решения основных краевых задач теории упругости для новых типов многолистных пластинчатых конструкций, решение этих задач для конкретных поверхностей, разработка методов расчета этих поверхностей на изгиб, получение расчетных формул для параметров разрушения рассматриваемых поверхностей.

1. Разработаны эффективные методы решения краевых задач теории упругости. для многолистных пластинчатых конструкций, основанные на теории матричной "краевой задача Римана. В рамках плоской теории . упругости решена первая . основная -краевая задача для следующих трех типов многолистных пластинчатых конструкций, составленных из тонких упругих бесконечных изотропных пластин с разрезами: пакета бесконечных пластин, соединенных между собой вдоль некоторого мнокества коллинеарннх отрезков; многолиетной конструкции со сквозными пространственными разрезами, берега которых принадлежат одновременно. Есем листам; п - листной конструкции со скьозными пространственными разрезами, каждый из которых имеет п верхних берегов, принадлежащих разным листам, и лишь один низкий берег, принадлежащий одновременно всем листам.

2. Проведен анализ напряженного состояния вблизи особых точек указанных конструкций, какими являются точки, в которых стыкуются несколько пластин. Получены асимптотические представления напряжений и производных от смещений вблизи этих точек. Получены аналитические формулы для коэффициентов' интенсивности напряжений ( К И Н ) в отдельных случаях.

3. Проведены исследования по изгибу этих конструкций в рамках классической теории.

4. Указана схема решения основных краевых задач теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций с разрезами, расположенными вдоль дуг единичной окрузности.

ПРАКТИЧЕСКУЮ ЦЕННОСТЬ представляют полученные в работе формулы К И Н и их числовые значения в ряде случаев, которые могут быть использованы при проектировании!! отдельных узлов многодетных конструкций.

ДОШВЕШШЪ результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и методов их решения, а такяе совпадением полученных решений з частных случаях с изв.естнымк ранее решениями.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результата диссертации по мере их получения докладывались и обсуадались : . /

- на ежегодных итогоеых научных конференциях преподавателей и сотрудников Чувашского государственного университета им. И.Н.Ульянова ( 1989-1991 гг. ) ,

- на научных семинарах по механике деформируемого твердого тела Чувашского государственного университета им.И.Н.Ульянова, рук.-1?оф. Д.Д.Ивлев ( 1990-1993 гг.),

- на Республиканской научно-практической конференции " Высзаа

школа - народному хозяйству Чувашии " ( Чебоксары, 1992 г. ), - на Международной конференции " Колебания и волны в экологии, •технологических процессах и диагностике " ( Минск, 1993 г. ).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 7 работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из трех глав, введения и списка литературы, содержащего 77 наименований. Общий объем работы 95 страниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности т-змы, приводится краткий обзор литературы по теме диссертации и краткое содержание работы.

ПЕРВАЯ ГДВА. 1. Решена первая основная задача теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций, образованных из конечного числа тонких бесконечных изотропных пластин Ек, к=1,2,...,п с коллинеарной системой разрезов, расположенных по отрезкам 1п-=Са.,Ь.],- 3=1,2,. действительной оси, путем

ь) 3 0

наложения пластин одной на другую так, что разрезы с одинаковыми номерами располагаются друг над другом ( рис.1 ) и их берега соединяются одним из способов, указанных на рисунках 2-4.

Поверхность, изображенная на рис.2 , представляет собой пакет бесконечных пластин без разрезов, соединенных между собой вдоль системы кодлинеарных отрезков, и характеризуется тем, что не имеет границы. Конструкция, представленная на рис.3, обладает сквозными пространственными разрезами, берега которых принадлежат одновременно всем пластинам. На рис.4 изображена конструкция, которая такге имеет сквозные пространственные разрезы, однако каждый 113 разрезов имеет п разных верхних ..берегов, принадлежащих

разным листам и лишь один нижний берег, принадлежащий всем пластинам одновременно.

Считается, что соответствующие берега разрезов соединены без натяга и без всяких промежуточных прослоек между берегами путем склеивания, сварки, штамповки и т.д., пространственный эффект концентрации напряжений на линиях соединения берегов пренебрежимо мал, также пренебрежимо малы изгибные эффекты в самих пластинах. Пластины находятся в обобщенном плоском напряяекном состоянии и взаимодействуют между собой, только через линии соединения, их поверхности между собой не касаются или касаются без трения. На бесконечности в каждой из пластин задаются главные напряжения, их направления, вращение и сосредоточенная сила. В вершинах разрезов напрякения и производные от смещений могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1, а во всех остальных точках они непрерывны, причем при переходе с одной пластины на другую через линию соединения смещения меняются непрерывно. Все пластины имеют одинаковую толщину и характеризуются одними и теми ке упругими постоянными.

2. Все рассмотренные задачи решены явно в квадратурах путем сведения к матричной краевой задаче Римана с постоянными коэффициентами порядка 2п. Например для конструкции, изображенной на рис. 2, представляющей пакет тонких упругих пластин,. на основании формул Колосова-Мусхелишвили имеем следующие краевые условия :

+ _ I ( I [ У^ЛШ ), и Ь= Д1.,

к=1

к=1

где граничные значения на линии Ь комплексных

потенциалов Фк(з), в пластине Ек, а ж - упругая

постоянная. Условия ( 1 ) можно записать в матричной форме :

А Ф+(г)= в Ф~(г), г е ь , ( 2 )

где Ф(г>= со1{Ф1, Ф2..... Фп, >- вектор-столбец,

А =

А1 Б

А2 АЗ

В1 ^ Е В2 Вз

А1=В2= жЕ , А3= -В2, Е - единичная матрица порядка п.

А2 =

эе -эе________О О

О эе ... О О

0 0 ... й -ж

1 1 ... 1 1

' 8г

О 0...0 о

0 О...о о

1 1...1 • 1

Зз =

1 -1 О 0 ... 0 0 0

0 1 -1 0 ... 0 0 0

0 0 1 -1 ... 0 0 0

-1 -1 -1 -1 ...-1 -1 -1

- 1С -■■■ _

С помощью равенства

Ф<z)= S F(z), • ( 3 )

-1

.где S - диагонализирующая матрица для матрицы А В, а F(z)-вектор-столбец с компонентами Fk, k= 1,2,...,2п задача (2) распадается на 2п самостоятельные краевые задачи Римана

Fk(t) = Fk (t)» te L '

( 4 )

F>) = -Fjjít), t€ L, k= n+2,n+3,...,2n.

ЗапШсав решения задач (4), по формуле (3) определим комплексные потенциалы Фк, Qk, к=1,2,...,п , которые вблизи концов линий соединения пластин имеют точно такие же представления, как в случае второй основной задаче теории упругости для плоскости с разрезами, расположенными вдоль кол-линеарных отрезков прямой.( Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. ).

Следовательно,. рассматриваемая задача об упругом взаимодействии конечного числа тонких бесконечных изотропных пластин, наложенных друг на друга и соединеных между собой в "пакет" вдоль. коллинеарюй системы отрезков,равносильна второй основной задаче теории упругости для плоскости с разрезами.

3. Для конструкции, изобрааенной•на рис.3, исследован случай, когда на берегах пространственного разреза заданы непрерывные внешние усилия. На основании построенных решений получено асимптотическое распределение напряжений ( ох,о ,х ) на каадом листе конструкции в следующем виде : . -

1 А 5-Э 5$ Ъ

7<Г5Г { М3соз£ - С08Г> + - Зв1п—) +

$ Ь - 1/2

+ 2к3соз- + 2К4б1п— Зт • + 0(1п г),

1 А 5$ $ 5«

°х=4 4 г % 1 к1(5с0Б 2 + сов1~) - 1с2(5з1п — + — )-

$ 1/2 2к3соз-.- 2к4е1п— >г + 0(1п г), (5.)

1 $ 5$ ■ 0 ' 5$

{ к^Бз.!!— + ) -i- к2(соз- + сое—)-

ХУ 441%

3 9-1/2

- 2кэзл.п— + 2к4соз- >г 0(1п г),

где г, . $ - локальная полярная система координат с центром в вершине ъ = а.., или'2 = Ь., 1,2,..., га пространственного разреза, к^ к2, к3>, к4 - линейно-независимые между собой действительные коэффициенты, выражающие интенсивность напряжений вблизи вершин пространственных разрезов, следовательно, если в случае одной отдельной пластины с разрезами асимптотика напряжений вблизи вершин разрезов зависит от двух действительных параметров , то в нашем случае многолистной пластинчатой . конструкции со сквозными пространственными разрезами она на . каждой пластине зависит от четырех действительных параметров. Коэффициенты к , к2 , к3, кд длл разных пластин, вообще говоря, различные. Для п - листной конструкции таких коэффициентов всего

4п, хотя ИЗ. них линь 2п между собой линейно-независимы,, а остальные выражаются линейно через них. Например, для двулистной конструкции таких коэффициентов будет 4, через которые выражаются напряжения как на первом, так и на втором листе. В случае, когда в конструкции имеется лишь один пространственный разрез вдоль отрезка [ -а,а ], свободный от внешних усилий, верхняя Пластина Е1 на бесконечности растягивается только единичным напрянением • ( <?.,).,= 1, действующим ортогонально отрезку С -а, а ], а в остальных пластинах напряжения, вращения и - сосредоточенные силы на бесконечности отсутствуют, вблизи точки й=а имеем к2 = = 0. Зависимость К И Н к1 и к3 от числа пластин в конструкции в данном случае показана в таблице.

N 1 2 .3 4 5 б 7 8

Л 1,77245 1,12685 0,7164 0,4555 0,2896 0,1Ш 0,1<70 0,0Ж

у 1,77245 1,47778 0,939 0,5973 0,3797 0,2414 0,15346

■ При п=1 из ранения задачи ( 4 ) получается известное реаение первой основной задачи теории упругости для плоскости I с разрезами. В этом случае К1 = кэ, к2 = к4 и из ( 6 ) получим известные представления для напряжений вблизи вершины трещина в одной отдельной пластине { Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышии А.П. Распределение'напряжений-около трещин в пластинах и оболочках. Киев : Наукова думка, 1976. ).

4. Аналогично решена первая основная задача теории упругости

для многолистной конструкции, образованной из тонких бесконечных

однородных пластин Е1, Ег.....&п ( рис.4 ), у которой на

несклеенных верхних берегах разрезов заданы Н-непрерывные

напряжения, и на линии соединения пластин заданы Н-непрерывные

внешние усилия. Получены асимптотические представления

напряжений и производных от смещений вблизи вершин

пространственных разрезов, которые имеют вид :

У ■ 1 - У шзе .

где г, 3 - локальные полярные координаты, 1<1у, к - К И Н. Таким

образом установлено, что наибольшая асимптотика'имеет особенность

степенного и осциллирующего характера, олредеделяемую множителем г-( 1-2п)/(2п)-1( 1-п) (1лЖ)/(23Сп) '

ВТОРАЯ ГЛАВА. По аналогии со случаем одной отдельной пластины с разрезами проведены исследования по малому изгибу в рамках классической теории для описанных в первой главе конструкций. Предполагается, что пластины взаимодействуют друг с другом только

через линию соединения берегов разрезов, главный вектор «

изгибающих нагрузок, приложенных ко всей совокупности разрезов равен нулю, а на линиях соединения пластин заданы обобщенная поперечная сила и изгибающий момент. В бесконечно удалетсй точке каждой пластины действует главный момент изгибающих: нагрузок, приложенных ко всей совокупности берегов

пространственных разрезов или линий соединения пластин. В процессе изгиба листы пластин, а таре берега разрезов не контактируют между собой. ' ■ . . • ■

Путем сведения к матричной краевой задаче Рймаиа решены явно в квадратурах задачи упругого изгиба пакета пластин, соединенных

вдоль коллинеарных отрезков, многолистной пластинчатой конструкции со сквозным;! пространственными разрезами и одной конструкции специального вида. В ряде случаев получены формулы для вычисления К И Н. .

ТРКУЬЯ ГЛАВА. Результаты, ' полученные в первых двух главах, обобщаются на случай многолистных пластинчатых конструкций, образованных из конечного числа тонких однородных бесконечных изотропных пластин с разрезами, располоаенными вдоль дуг единичной окружности. Для случая обобщенного • плоского напряженного состояний тонких пластин, соединенных в пакет и для многолистной конструкции со сквозными пространственными разрезами, расположенными вдоль дуг единичной окружности, путем сведения к краевой задаче Римана построены . комплексные потенциалы Колосова-Муехелишвили. Для упругого изгиба данных конструкций в рамках классической теории указана схема решения.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. . Сильвестров В.В., Чекмарев Г.Е. Напряженно деформированное состояние одной многолистной конструкции // Краевые задачи и их приложения / Чуваш, ун.-т., Чебоксары, 1989, с.109-114.

2. Чекмарев Г.Е. Первая основная задача теории упругости для многолистной конструкции специального вида. Чебоксары, 1990.-11с. Дел. в ВИНИТИ 30.07.90, й 4311-В90.

3. Сильвестров В.В., Чекмарев Г.Е.• Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков // Исследования по краевым задачам и их приложениям /Чуваш, ун.-т., Чебоксары, 1?32, с.33-42.

4. Чекмарев Г. Е. Упрушй изгиб пакета тонких пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков. Чебоксары, 1992. — 10 е. Деп. в ВИНИТИ 26.05.92, № 1753-В92.

5. Чекмарев Г. Е. Упругий изгиб некоторых мпоголистпых конструкций Ц Высшая школа — народному хозяйству Чувашии, Тез. докл. рес-публ. научно-практ. конф. Чебоксары, 1992, с. 5.

6. Сильвестров В. В., Чекмарев Г. П. Анализ напряженного состояния вблизи особой точки многолистноп пластинчатой конструкции // Колебания и волны в экологии, технологических процессах п диагностике. Теч. докл. междунар. конф. Минск, 1993, с. 110.

7. Чекмарев Г. Е. Пакет тонких упругих пластин, соединенных вдоль дуг окружностей // Молодые ученые — науке. Тез. докл. научн. конф. Чебоксары, 1993, с. 14—16.