Управление сложными нелинейными колебаниями в распределенных автоколебательных системах, содержащих электронные потоки со сверхкритическим током тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

РЕМПЕН Ирина Сергеевна

УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ, СОДЕРЖАЩИХ ЭЛЕКТРОННЫЕ ПОТОКИ СО СВЕРХКРИТИЧЕСКИМ ТОКОМ

01 04 03 - Радиофизика 01.04.04 - Физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

17420Э

Саратов - 2007

003174209

Работа выполнена на кафедре электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и в Научно-исследовательском институте естественных наук (отделение физики нелинейных систем) Саратовского государственного университета

Научные руководители чл -корр РАН, д ф -м н , профессор,

Трубецков Дмитрий Иванович д ф -м н , профессор, Храмов Александр Евгеньевич

Официальные оппоненты

д ф -м.н , профессор, Казанцев Виктор Борисович д ф -м н , профессор, Железовский Борис Емельянович

Ведущая организация

Челябинский государственный университет г Челябинск

Защита состоится " " ноября 2007 г в 30 часов на заседании диссертационного совета Д 212 243.01 по специальности 01.04 03 в Саратовском государственном университете (410012, г Саратов, ул Астраханская, 83)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ

Автореферат разослан а " октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

¡/ / В М Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы. Исследование сложного поведения распределенных динамических систем и управление их динамикой представляет собой актуальную задачу современной радиофизики, физической электроники и науки о колебаниях и волнах1

Сложные динамические системы, образуемые множеством более простых или элементарных систем или элементов, взаимосвязанных и взаимодействующих, всегда находились в центре интересов исследователей Одним из важных направлений в их изучении является исследование процессов управления Более того, процессы, происходящие в динамической системе, можно трактовать как результат некоторых управляющих воздействий, направленных на реализацию определенной цели Основным способом достижения цели управления являются обратные связи К ним иногда добавляются стабилизирующие или корректирующие связи В свете сказанного целесообразно использовать единый подход к анализу динамических систем, в основе которого лежит синтез двух подходов, а именно 1) расчленение сложной системы на части и рассмотрение ее движения как следствия преобразований, осуществляемых ее взаимодействующими частями и 2) использование качественной теории нелинейных колебаний и волн2 Подобный подход в разное время относили к разным научным направлениям — к теории автоматического регулирования, к теории динамических систем, к системному анализу, к кибернетике3 Качественно новое взаимодействие естествознания и теории управления началось с развития теории хаоса при появлении области исследований, называемой "управление хаосом" Начало развития нового подхода связывают с появлением статьи Э Отта, Ч. Гребоджи и Дж Йорке "Управление хаосом"4, благодаря которой теорию управления ассоциируют с нелинейной динамикой

Развитие теории динамических систем привело к появлению нового научного направления, посвященного вопросам управления в физических системах Большинство работ в этой развивающейся области посвящено изучению вопросов управления хаотической динами-

1 Рабинович M И Трубецков Д И Введение в теорию колебаний и волн M -Ижевск РХД, 2000

Трубецков Д И , Храмов А Е Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков, Т 1,2 M Физматлит, 2003, 2004

2 Неймарк Ю й Динамические системы и управляемые процессы M Наука, 1978

3 Моисеев H H Математические задачи системного анализа M Наука, 1981 Винер H Кибернетика или управление и связь в животном и машине M

Наука, 1983

Фрадков АЛ О применении кибернетических методов в физике УФН 175 (2005) 113

4 Ott Е , Grebogi С , Yorke J A Controlling chaos Phys Rev Lett 64 (1990) 1196

кой с помощью различных типов обратной связи в системах с малым числом степеней свободы Существенно меньше работ, в которых рассматривались бы задачи управления хаотической динамикой распределенных автоколебательных систем При изучении данных вопросов исследователи чаще всего рассматривают модельные колебательные системы, представляющие собой либо цепочки связанных осцилляторов, либо модельные системы уравнений в частных производных (например, комплексные уравнения Гинзбурга-Ландау или уравнения Свифта-Хогенберга), в то время как модели реальных распределенных систем анализируются значительно реже

Классическими примерами реальных распределенных автоколебательных систем со сложной динамикой являются электровакуумные приборы сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, содержащие в качестве активной среды электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями, которые являются объектами исследования в радиофизике и в физической электронике В настоящее время наблюдается активизация исследований в области сложной динамики приборов и устройств СВЧ- диапазона, предназначенных прежде всего для технологических целей, радиолокации, радиопротиводействия, информационно-телекоммуникационных систем передачи и обработки информации и тд на основе идей динамического хаоса5 Потребности вышеназванных областей техники и технологий стимулируют развитие методов управления сложной динамикой подобных систем, что делает актуальным разработку и исследование методов управления хаосом в распределенных электронно-волновых системах СВЧ-диапазона, в частности, с помощью различных типов обратной связи.

Другим способом управления хаосом является воздействие на систему внешнего сигнала В 1980-х годах была показана возможность превращения хаотический динамики под воздействием внешнего гармонического сигнала в периодическую, что можно рассматривать как управление через подавление хаоса6 Поэтому управление хаосом через воздействие внешних сигналов на автоколебательные системы СВЧ-электроники представляется весьма перспективным и важным направлением исследований, позволяющим осуществить эффективное управление электронно-волновыми системами наряду с методами, основанными на использовании различных обратных связей

Вышеназванные направления исследований (управление хаосом в системах радиофизики и физической электроники) представляются весьма важными и актуальными, так как позволяют решить целый

5 Дмитриев А С , Панас А И Динамический хаос новые носители информации для систем связи М Физматлит, 2002

Special Issue on Applications of Nonlinear Dynamics to Electronic and Information Engineering / Proc IEEE 2002 V 90, № 5

6 Неймарк Ю И , Ланда П С Стохастические и хаотические колебания М Наука, 1987

ряд прикладных задач, а именно стабилизацию частоты и фазы ВЧ излучения мощных генераторов, возможность получения близкой к одночастотной генерации или, наоборот, установление режимов хаотической генерации, фазировку генераторов для повышения выходной мощности путем сложения ВЧ излучения (фазированные антенные решетки на сверхмощных СВЧ-генераторах), в ряде случаев повышение к п д и мощности выходного излучения неавтономных СВЧ-систем

Среди активных устройств СВЧ-электроники, демонстрирующих пространственно-временное хаотическое поведение, особый интерес вызывают электронные системы со сверхкритическим током, которые характеризуются разнообразными режимами колебаний и с точки зрения теории допускают математическое описание на разном уровне сложности (гидродинамическое описание колебаний электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса, приближенное описание с помощью метода Галеркина, метод частиц для описания колебаний виртуального катода, формирующегося в пучке со сверхкритическим током, дискретные модели типа клеточного автомата) Характерной особенностью всех подобных систем является сложный спектральный состав СВЧ-колебаний пространственного заряда электронного потока Потребности практики диктуют необходимость изучения методов управления сложной динамикой СВЧ-устройств со сверхкритическими токами (диод Пирса, релятивистские виркаторы, низковольтные виркаторы)7

Сказанное выше позволяет считать тему диссертации, посвященную исследованию различных методов управления хаотическими колебаниями в электронных СВЧ устройствах со сверхкритическим током, актуальной и важной для современной радиофизики и физической электроники

Поскольку исследуемые в диссертации объекты (электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями) являются предметом изучения физической электроники, а используемые методы исследования и анализа сложных нестационарных режимов колебаний относятся к области радиофизики и нелинейной теории колебаний и волн, то можно заключить, что диссертационная работа выполнена на стыке двух специальностей 01 04 03 - радиофизика и 01 04 04 - физическая электроника

7 Дубинов А Б , Селемир В Д Электронные приборы с виртуальным катодом РЭ, 47 (2002) 575

Анфиногентов В Г , Трубецков Д И Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса РЭ, 37 (1992) 2251

Привезендев А П , Фоменко Г П Сложная динамика потока заряженных частиц, с виртуальным катодом Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 2, 5 (1994) 56

Калинин Ю А , Короновский А А , Храмов А Е и др Экспериментальное и теоретическое исследование хаотических колебательных явлений в нерелятивистском электронном потоке с виртуальным катодом Физика плазмы, 31 (2005) 1009

Цель диссертационной работы определена кругом вышеперечисленных вопросов и заключается в изучении возможностей управления сложными режимами пространственно-временных колебаний в системах сверхвысокочастотной электроники типа "электронный поток со сверхкритическим током — электромагнитное поле" с помощью воздействия внешних сигналов и различных типов обратной связи

Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи

1 Теоретически изучено влияние внешней запаздывающей обратной связи на хаотические колебания в электронном потоке со сверхкритическом током в режиме без образования виртуального катода в гидродинамической модели диода Пирса и конечномерной модели на основе Галеркиновской аппроксимации

2 Предложены методы выделения неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в гидродинамической модели диода Пирса и рассчитаны различные характеристики выделенных неустойчивых состояний

3 Исследованы методы стабилизации неустойчивых периодических пространственно-временных состояний с помощью различных типов непрерывной обратной связи на примере гидродинамической модели диода Пирса

4 Теоретически и экспериментально изучены возможности управления спектральными характеристиками и режимами генерации в низковольтных электронно-волновых системах с виртуальным катодом, формирующемся в тормозящем поле, с помощью воздействия внешнего сигнала

5 Теоретически исследованы совместные колебания и управление ими в связанных системах с виртуальным катодом за счет изменения связи между виртуальными катодами, формирующимися во встречных электронных потоках

Обоснование и достоверность полученных в работе численных результатов подтверждается их воспроизводимостью, совпадением с данными аналитических исследований, соответствием известным из литературы экспериментальным результатам для аналогичных моделей и приборов, обоснованным выбором параметров численных схем Часть теоретических результатов подтверждена проведенным экспериментальным исследованием

, Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты

• Впервые изучено влияние внешней запаздывающей обратной связи на хаотические колебания в электронном потоке со сверхкритическом током в режиме без образования виртуального катода в рамках гидродинамической модели диода Пирса и конечномерной модели на основе Галеркинской аппроксимации Показано, что подключение к системе со сверхкритическим током цепи обратной связи с малым вре-

менем запаздывания приводит к подавлению хаотических колебаний и установлению периодических колебаний, причем переход к регулярным колебаниям происходит через обратный каскад бифуркаций удвоения периода Подобное поведение системы определяется динамикой системы вблизи неустойчивого состояния равновесия

• Предложен метод выделения неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в гидродинамической модели диода Пирса Определены количественные характеристики неустойчивых периодических пространственно-временных состояний (период, максимальная ляпуновская экспонента, распределение времен возврата)

• Впервые использованы различные модификации метода стабилизации неустойчивых периодических пространственно-временных состояний с помощью различных типов непрерывной обратной связи на примере гидродинамической модели диода Пирса Показана возможность управления хаосом через стабилизацию неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в диоде Пирса, рассчитаны характеристики стабилизируемых состояний и выделены области в пространстве параметров, в которых возможна стабилизация неустойчивых состояний

• Впервые теоретически (в рамках одномерной математической модели, основанной на решении самосогласованной системы уравнений Пуассона-Власова методом частиц) и экспериментально (с помощью макета низковольтной системы с виртуальным катодом для разборной вакуумной установки) изучены методы физического управления характеристиками генерации в низковольтных электронно-волновых системах с виртуальным катодом, формирующимся в тормозящем поле, с помощью воздействия внешнего гармонического сигнала Экспериментально и теоретически обнаружен эффект синхронизации колебаний виртуального катода в низковольтном виркаторе, а также возможность перестройки режимов генерации низковольтного виркатора при изменении частоты и мощности внешнего гармонического сигнала Аналогичные результаты впервые получены при численном исследовании совместных колебаний двух виртуальных катодов в системе со встречными электронными потоками

Личный вклад. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с научными руководителями и другими соавторами научных работ, опубликованных соискателем Основные результаты диссертации получены лично автором В большинстве совместных работ автором выполнены все численные и аналитические расчеты Экспериментальные результаты, изложенные в 3 главе, получены совместно с научной группой д т н , проф Ю А Калинина в НИИ ЕН (отделение физики нелинейных систем) СГУ

, Научная и практическая значимость Исследования возможностей управления нелинейной динамикой распределенных систем, со-

держащих электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями, проведены на основе моделей, являющихся базовыми для физической электроники, а также для нелинейной теории колебаний и волн Полученные в диссертации результаты позволяют продвинуться в понимании таких проблем как управление сложной динамикой в системах со сверхкритическим током с помощью введения различных типов обратной связи и воздействия внешнего сигнала Предложенные методы исследования нелинейных распределенных динамических систем позволяют провести выделение неустойчивых периодических пространственно-временных состояний распределенных систем и анализ таких их количественных характеристик как максимальная ляпуновская экспонента и распределение времен возврата

Наряду с этим, проведенные исследования имеют практическую направленность и могут найти применение при решении задач, связанных с разработкой электровакуумных приборов СВЧ-электроники, с возможностью управления энергетическими (уровень генерируемой мощности) и спектральными (частота, ширина полосы, модовый состав) характеристиками их выходного излучения с помощью различных типов обратной связи и внешних сигналов Анализ физических процессов, приводящих к усложнению динамики в системах СВЧ-электроники, позволяет дать обоснованные рекомендации специалистам, проектирующим электровакуумные приборы сверхвысоких частот, по достижению необходимых выходных характеристик данных устройств, а также по созданию методов управления выходными характеристиками генераторами с виртуальным катодом

Результаты диссертации использованы при выполнении ряда НИР и научныхтрантов, названных в конце автореферата. Материалы диссертационной работы внедрены в учебный процесс в Саратовском государственном университете на факультете нелинейных процессов и физическом факультете по специальности 013800 Радиофизика и электроника и по направлению подготовки бакалавров по направлению 03510 Радиофизика

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения Она содержит 160 страниц текста и 49 иллюстраций Библиографический список содержит 176 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, описана новизна и практическая значимость проведенных исследований, сформулирована цель работы и приведены основные результаты, выводы и положения диссертационной работы, выносимые на защиту, дано краткое изложение содержания работы

В первой главе диссертационной работы приведены результаты исследования влияния внешней запаздывающей обратной связи (ОС), а также изменения плотности нейтрализующего ионного фона

на сложную нелинейную динамику электронного потока со сверхкритическим током в распределенной пучково-плазменной системе

В качестве исследуемой модели распределенной электронной системы со сверхкритическим током выбран диод Пирса8 Рассмотрение проведено в рамках гидродинамического приближения Диод Пирса представляет собой плоский пролетный промежуток, ограниченный входной и выходной заземленными сетками, находящимися на расстоянии L друг от друга, в который инжектируется плоский, бесконечно широкий однородный на входе электронный поток, имеющий начальную скорость г*о и плотность ро Движение пучка предполагается одномерным Пространство между сетками заполнено нейтрализующим фоном неподвижных ионов, плотность которых равна невозмущенной плотности пространственного заряда электронного потока Единственным управляющим параметром системы является параметр Пирса, который представляет собой невозмущенный угол пролета электрона по плазменной частоте ljp а = ljpL/vq При а > п в системе формируется виртуальный катод, от которого часть электронов отражаются обратно к плоскости инжекции9 Однако, при а ~ Зтг существует возможность полного прохождения электронного потока через диодный промежуток В этом случае моделирование сложной пространственно-временной динамики электронной жидкости в диоде Пирса может быть осуществлено с помощью гидродинамического приближения, которое заключается в решении самосогласованной системы уравнений движения, непрерывности и Пуассона.

dv dv dip dp dp dv . d2<p 0, . ,„.

с граничными условиями

w(0,t) = l, p(0,t) = 1, v(0,t)=v>(M) = 0, (2)

где ср, p, v — безразмерные переменные потенциала поля пространственного заряда, плотности и скорости электронной жидкости, соответственно, тг — \рг/ро\ - безразмерная плотность ионного фона В небольшой области значений параметра а € [2,7it, 37г] данная система демонстрирует разнообразные колебательные режимы, от периодических колебаний до развитого хаоса, переход между этими режимами осуществляется через каскад бифуркаций удвоения периода

В начале первой главы приведены результаты решения задачи управления колебаниями в диоде Пирса с помощью запаздывающей

8 Pierce J , Limiting currents гп electron beam гп presence гопа, J Appl Phys , 15 (1944) 721

9 Godfrey В В , Oscillatory nonlinear electron flow m Pierce diode Phys Fluids, 30 (1987) 1553

О 15

010

А

0 05

00

00

025

05

075

d/x

Рис 1 Динамическая карта режимов на плоскости параметров обратной связи And Символами Тп обозначены области периодических колебаний с циклами периода п С - хаотические автоколебания, VC - область появления виртуального катода а — 2 774тг (соответствует случаю хаотического режима в автономной системе)

обратной связи Внешняя обратная связь вводилась в рассматриваемую систему путем модуляции разности потенциалов между входной и выходной сетками диода сигналом, снимаемым из некоторого сечения пространства взаимодействия В качестве такого сигнала использовались колебания плотности пространственного заряда p(xoc,t) В модели это учитывалось путем изменения граничного условия для потенциала на правой границе системы

где А - коэффициент ОС, характеризующий, какая часть мощности колебаний ответвляется в цепь обратной связи, й - запаздывание в цепи ОС

Исследования предложенной численной модели показало, что в зависимости от значений основных управляющих параметров с? и А в системе возможно подавление хаотической динамики электронного потока и установление регулярных колебаний (см рис 1) При малых амплитудах сигнала ОС возможна эффективная перестройка динамических режимов в исследуемой системе в пределах значений длительности задержки в цепи ОС (0,1 - 0,5)т, где т - характерное время колебаний в автономной системе. С ростом амплитуды ОС в системе наблюдается переход от хаотических колебаний к регулярным через обратный каскад бифуркаций удвоения периода

При больших А > г/2 в системе наблюдается усложнение хаотических колебаний, заканчивающееся формированием ВК и появлением

V(M) = foc(t) = А(р(хос, I- ~ d) - ро),

(3)

отраженных частиц в потоке, что делает неприменимым гидродинамическое описание

Были рассмотрены физические процессы, сопровождающие воздействие обратной связи на механизмы хаотизации динамики электронного пучка Было показано, что возможность приближения системы к состоянию неустойчивого однородного равновесия (р0 = 1,г?о = 1,о = 0) отвечает за процесс хаотизации колебаний Также обнаружено, что в зависимости от длительности задержки в цепи обратной связи, сигнал обратной связи может способствовать уменьшению накопления заряда в выходной области диода, не позволяя системе приблизиться к состоянию неустойчивого равновесия, или же, напротив, приводить к увеличению амплитуды электронных волн, и, как следствие, усложнению динамики пучка

Таким образом, сигнал внешней ОС, воздействуя на распределение поля в пространстве взаимодействия, позволяет осуществлять управление динамикой электронного пучка со сверхкритическим током

Исследование влияния обратной связи было также проведено в рамках конечномерной модели динамики электронного потока10, построенной на базе Галеркинской аппроксимации и описывающей поведение амплитуд трех колебательных мод с максимальной энергией. Результаты, полученные с помощью конечномерной модели, находятся в хорошем качественном и количественном соответствии с результатами исследования пространственно-распределенной гидродинамической модели диода Пирса

Также в первой главе рассмотрен вопрос о влиянии изменения степени нейтрализации неподвижного ионного фона, заполняющего пролетный промежуток, на сложные режимы колебаний электронного потока со сверхкритическим током Обнаружено, что с ростом плотности ионного фона происходит расширение области значений параметра Пирса а, в которой поддерживается колебательная динамика с полным пролетом электронного потока через диодный промежуток и, в частности, области, в которой имеют место хаотические колебания При этом существует оптимальное значение плотности ионного фона п « 1 03, при котором ширина указанной области превышает соответствующую величину при п = 1 0 более чем в 3 раза Ширина области значений параметра Пирса, в которой наблюдаются хаотические колебания, также расширяется с ростом п и достигает максимума при п ~ 1 02 — 1 04

Исследованы механизмы возникновения хаотической динамики в диоде Пирса при изменении плотности положительного заряда ионного фона и показано, что основным сценарием перехода к хаосу в распределенной электронной системе является каскад бифуркаций удвоения периода Одновременно, были обнаружены жесткие переходы

10 Анфиногентов В Г Электронный поток в диодном промежутке и пространстве дрейфа (нелинейные явления, хаос и образование структур) Дисс кф-м н Саратов (1997)

между различными типами периодической и хаотической динамики при изменении управляющих параметров, которые связаны с существованием мультистабильных состояний в электронной системе.

Во второй главе диссертационной работы приведены результаты изучения применения методов управления пространственно-временным хаосом в распределенной электронной системе со сверхкритическим током, описываемой гидродинамическими уравнениями (1) Управление хаосом осуществлялось, во-первых, путем стабилизации состояния неустойчивого однородного равновесия (ро = 1; vq = 1, <ро = 0) в электронном потоке с помощью непрерывной обратной связи Во-вторых, были выделены неустойчивые пространственно-временные состояния хаотической динамики (соответствующие периодическим неустойчивым орбитам систем с малым числом степеней свободы), и осуществлена их стабилизация с помощью различных типов обратной связи

Для стабилизации состояния неустойчивого равновесия в режиме сложной хаотической динамики активной среды использовалась следующая схема управления с помощью непрерывной внешней ОС 11 Обратная связь осуществлялась путем изменения значения потенциала на правой границе системы:

ф = 1 0, t) = ftb(t) = K(p(xRx, t) - p(xfix, t - d)), (4)

где К - коэффициент обратной связи и d - длительность задержки в цепи обратной связи, р(хцх, t) представляет собой колебания плотности пространственного заряда в фиксированной точке х = х&х пространства (жйх = 0.2). В случае установления режима стабилизации неустойчивого состояния, когда система находится точно в неустойчивом состоянии равновесия, сигнал обратной связи fa, очень мал. Преимущество данной схемы заключается в том, что сигнал ОС приводит к изменению только граничных условий (которые становятся нестационарными), что делает подобную схему управления более простой для реализации на практике 12.

Показано, что для стабилизации неустойчивого состояния равновесия длительность задержки d в цепи непрерывной обратной связи (4) должна быть достаточно малой d < Тр/2, где Тр - характерный временной масштаб колебаний в распределенной системе без обратной связи Было показано, что при подключении непрерывной ОС к распределенной автоколебательной системе, находящейся в режиме развитого хаоса, в диоде Пирса наблюдается быстрое уменьшение амплитуды колебаний, заканчивающееся стабилизацией состояния неустой-

11 Pyragas К , Continuous control of chaos, by self-controlhng feedback, Phys Lett A, 170 (19Ô2) 421-428

12 Долов A M , Кузнецов С П , Применение методики контроля хаоса для устранения автомодуляции в лампе обратной волны, ЖТФ, 73 (2003) 139-142

чивого равновесия. После короткого переходного процесса управляющий сигнал в цепи обратной связи становится относительно малым по сравнению с сигналом до начала стабилизации (он составляет менее 0 01% по амплитуде) Последнее означает, что в предложенной и рассмотренной схеме реализуется управление хаосом (стабилизация неустойчивого состояния системы) за счет обратной связи с весьма малой амплитудой управляющего сигнала Для точного определения областей значений управляющих параметров К и d обратной связи, в которой возможно управление хаосом в пучково-плазменной системе, были построены карты динамических режимов для различных значений параметра Пирса, соответствующих разным режимам хаотических колебаний

Был также рассмотрен вопрос о стабилизации неустойчивого состояния равновесия в присутствии флуктуаций в системе Показано, что в этом случае также возможна успешная стабилизация состояния неустойчивого равновесия с помощью схемы (4), а присутствие шума приводит только к увеличению средней по времени амплитуды управляющего сигнала в цепи ОС (|/я>(01) и флуктуациям системы возле состояния равновесия

Подробно рассмотрены неустойчивые периодические пространственно-временные состояния (НППВС) распределенной активной среды, которые аналогичны неустойчивым периодическим орбитам хаотического аттрактора динамической системы с малым числом степеней свободы 13. Для выделения наборов НППВС были построены гистограммы времен возврата фазовой точки в восстановленном фазовом пространстве к фиксированным "стартовым" состояниям, а также исследовалось распределение р(т) по длительности времен возврата т фазовой траектории к тем или иным "особым" состояниям и показано, что, как и для случая систем с малым числом степеней свободы, оно хорошо подчиняется степенной зависимости р(т) ~ где (г) -

среднее время возврата

Для стабилизации НППВС исследуемой распределенной системы использовалась схема (4), где в качестве длительности задержки в цепи обратной связи выбиралась величина d = Тк, равная временному периоду к-го неустойчивого периодического состояния Численное моделирование показало, что подобная схема является весьма эффективной для стабилизации НППВС с небольшими периодами. Количественный анализ устойчивости того или иного состояния стабилизируемой распределенной хаотической системы с управляемой обратной связью производился с помощью расчета максимального ляпуновско-го показателя Л, а также среднего значения {£) сигнала в цепи ОС, которые показаны на рис для случая стабилизации НППВС с наименьшим периодом

13 Lathrop D Р , Kostebch Б 3 Characterization of an experimental strange attractor by periodic orbits, Phys Rev A, 40 (1989) 4028-4031

Вий

-0.04

Л

1о.оз

V - 0.02

' ' -0.01 : /I I

у\\

-0.01

-о

-0.0 5

О

0.04 0.08 0.12 0.16 К

Рис. 2: Зависимость максимальной ляпуновской экспоненты Л (сплошная линия) и среднего значения сигнала в цепи обратной связи (штриховая линия) от коэффициента обратной связи К в режиме спирального хаоса (а = 2.857-Л"). Область С - режим стабилизации неустойчивого периодического состояния наименьшего периода Т = 4.173 (сигнал в цепи обратной связи близок к нулю: {£} « 0), Л < 0. Область Р - периодические колебания, сигнал в цепи обратной связи велик, но Л < 0; область Р2 - режим удвоения периода.

Однако стабилизация в режиме развитого хаоса неустойчивых состояний с периодом Т/с > 4.2, как показал численный эксперимент, оказывается невозможной, поскольку для эффективной стабилизации неустойчивых периодических орбит с помощью непрерывной обратной связи вида (4), должно удовлетворяться условие ЛТ^ < б, где й - константа, зависящая от исследуемой системы.

Для стабилизации НППВС с высшими периодами исследуемой распределенной системы использовалась следующая схема: 14

v(l-0,0 = К( 1 -r)£ - p(X6x,t - md)) = Кф), (5)

где К - сигнал обратной связи, с? - длительность запаздывания обратной связи, выбираемая равной периоду Тк неустойчивого состояния,

14 Franceschini G., Bose S., Scholl, E. Control of chaotic spatiotemporal spiking by time-delay auto synchronization, Phys. Rev. E. 60 №5 (1999) 5426-5434

M

771=1

М - достаточно велико (М 1), а величина г (0 < г < 1) характеризует вклад в сигнал обратной связи предыдущих состояний системы В этом случае сигнал непрерывной обратной связи формируется таким образом, что на поведение системы в момент времени 4 оказывает влияние не только состояние системы в момент времени {р — Тк), но и в моменты времени [Ь — тТ\) с некоторыми весовыми коэффициентами. Как показали исследования, при использовании схемы (5) становится возможной стабилизация неустойчивых периодических состояний высших периодов

В третьей главе изложены результаты численного и экспериментального исследования управления хаосом в электронном потоке с виртуальным катодом с помощью воздействия внешнего сигнала на динамику системы. Внешний сигнал вводился путем предварительной скоростной модуляции электронного потока, а также с помощью воздействия встречного потока с виртуальным катодом через общее поле пространственного заряда

В качестве объекта исследования используется диодная схема с тормозящем полем (схема низковольтного виркатора)15, в которой электронный пучок, формируемый электронно-оптической системой, инжектируется в диодный промежуток, ограниченный двумя сеточными электродами На первую сетку подается ускоряющий потенциал И), а на вторую сетку - тормозящий (отрицательный по отношению к первой) потенциал Уг Движение пучка предполагается одномерным. Моделирование нелинейных нестационарных процессов в одномерном приближении осуществлялось методом частиц в ячейке, самосогласованное высокочастотное поле пространственного заряда рассчитывалось в квазистатическом приближении с помощью одномерного уравнения Пуассона16.

Полученные численные результаты в рамках одномерной модели качественно подтверждаются данными экспериментальных исследований Последние проводились на разборном вакуумном макете низковольтного виркатора17 Для анализа колебаний в электронном пучке использовались отрезок спирали, нагруженный на поглощающую вставку, а также отрезок широкополосной коаксиальной линии — ВЧ-зонд, дополненный тормозящей сеткой для анализа спектра скоростей электронов

При превышении критического значения тормозящего поля в электронном потоке происходит образование виртуального катода, от ко-

15 Калинин Ю А , Короновский А А , Храмов А Б и др Экспериментальное и теоретическое исследование хаотических колебательных явлений в нерелятивистском электронном потоке с виртуальным катодом Физика плазмы, 31 (2005) 1009

16 Рошаль А С , Моделирование заряженных пучков, М Атомиздат, 1979

17 Исследования проводились совместно с научной группой д т н , профессора Калинина Ю А

торого часть электронов отражается обратно к первой сетке В зависимости от значений основных управляющих параметров (ток пучка I и тормозящий потенциал Т/^), система демонстрирует разнообразные колебательные режимы, начиная от регулярных колебаний с простым спектральным составом и заканчивая сложными хаотическими колебаниями Как показали исследования, характерная частота колебаний виртуального катода практически линейно зависит от тормозящего потенциала

Па первую сетку подавался управляющий гармонический сигнал с амплитудой, намного меньшей значения постоянного потенциала сетки, в результате воздействия которого осуществлялась предварительная модуляция электронного потока по скорости у(х = 0) = г>о(1 + Мвтс^хй), где М - глубина модуляции, и)± - частота внешнего сигнала

Для подробного изучения влияния внешнего сигнала на колебания виртуального катода были построены карты динамических режимов на плоскости управляющих параметров "амплитуда внешнего управляющего сигнала" — "частота внешнего управляющего сигнала" - "тормозящий потенциал" для различных значений параметра Пирса а

При сближении частоты внешнего сигнала и собственной частоты (что может быть достигнуто путем изменения как частоты управляющего сигнала, так и величины тормозящего напряжения), на карте режимов можно видеть клювы, соответствующие синхронизации колебаний виртуального катода, которые расширяются по мере роста амплитуды управляющего сигнала

На рис. 3 показаны зависимости частоты и амплитуды выходного сигнала от частоты внешнего управляющего сигнала внутри области регулярных колебаний (клюва синхронизации), полученные из численного расчета (а) и из эксперимента (б) Как можно видеть, имеет место захват частоты колебаний виртуального катода в низковольтном вир-каторе

Также было показано, что режимы синхронизации с установлением одночастотных колебаний ВК возможны при соотношении частот внешнего воздействия и собственной частоты колебаний виртуального катода как 1 1 и 1 2. Было обнаружено расширение клювов синхронизации за счет режима "квазисинхронизации" (режим, которому соответствует спектр выходного сигнала, где на фоне шумового пьедестала выделяется частота, соответствующая управляющему сигналу18) Помимо этого, система демонстрирует различные сложные режимы колебаний биения, а также хаотические колебания, характеризующиеся качественно различными видами спектров мощности Переходы между различными режимами осуществляются либо мягким образом,

18 Трубецков Д И , Короновский А А , Храмов А Е , Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной, Изв вузов Радиофизика ХЬ\Ш №5-6 (2004) 343-372

Рис. 3: Зависимость частоты и амплитуды выходного излучения низковольтного виркатора от частоты управляющего сигнала: а - численное исследование, б - эксперимент.

либо через перемежаемость.

В работе были также исследованы физические процессы, протекающие в электронном потоке в диодном промежутке, и определяющие динамику системы. Для анализа состояния электронного потока в области виртуального катода была использована такая характеристика как распределение по скоростям электронов, прошедших через область виртуального катода ко второй сетке. Было проведено рассмотрение распределения по скоростям для различных значений тормозящего потенциала и амплитуды управляющего сигнала. Показано, что с ростом тормозящего поля в диодном промежутке в автономном режиме и для малых значений амплитуды управляющего сигнала, средняя скорость электронов, прошедших виртуальный катод, уменьшается, а разброс скоростей увеличивается. Спектр скоростей становится более изрезанным, что связано с усложнением электронных структур, формирующихся в потоке. Однако, с увеличением амплитуды сигнала, когда в системе наблюдается режим синхронизации, средняя скорость электронов начинает возрастать, в то время как разброс скоростей уменьшается. В натурном эксперименте с помощью дополнительной тормозящей сетки снимались аналогичные характеристики, и при сравнении их с полученными при численном моделировании наблюдалось хорошее качественное соответствие. Таким образом, физически управляющее воздействие внешних сигналов сводится к влиянию на формирование и взаимодействие электронных структур в электронном потоке.

При наблюдении хорошего качественного совпадения картин динамики системы, получаемых из численного и натурного эксперимента, было показано, что совместное действие предварительной модуляции электронного потока и тормозящего потенциала обеспечивает возможность эффективного управления колебаниями виртуального катода.

В рамках исследования способов управления динамикой систем с виртуальными катодами также численно изучено поведение двух элек-

тростатически связанных виркаторов 19 Система представляет собой два ускорителя, каждый из которых формирует электронный поток, направленный навстречу другому потоку, при этом в каждом из потоков формируется виртуальный катод Связь между ними осуществляется через общее поле пространственного заряда

Проанализированы характерные режимы динамики такой системы в зависимости от входных токов обоих виркаторов В результате численного эксперимента на плоскости управляющих параметров выделены области одночастотных колебаний в каждом из виркаторов, области биений, широкополосных хаотических колебаний с шумопо-добным спектром Подробно изучен режим взаимной синхронизации колебаний в виркаторах Изучены физических процессы, протекающие в обоих генераторах, рассмотрена связь электронных структур, формирующихся в потоках, со сложными режимами колебаний в системе Показано, что хаотизация колебаний связана с возникновением дополнительных внутренних структур в области виртуального катода, связанных с воздействием на поток внешнего сигнала за счет встречного потока

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫВОДЫ И ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1 В гидродинамической модели диода Пирса в режиме хаотических колебаний при включении запаздывающей обратной связи наблюдается подавление хаотической динамики и установление различных типов периодических колебаний Переход от хаотической динамики к регулярной имеет место при длительности задержки в цепи ОС меньшей половины характерного временного масштаба колебаний и происходит через обратный каскад удвоений периода

2 Хаотизация динамики пучка в диоде Пирса с обратной связью определяется приближением системы к неустойчивому состоянию однородного равновесия, и, как следствие, повышению неустойчивости колебаний в электронном потоке При длительностях запаздывания обратной связи порядка характерного временного масштаба колебаний сложность колебаний увеличивается в результате увеличения амплитуды колебаний, и, как следствие, роста нелинейности fig и увеличении уровня мощности сигнала, ответвляемого в цепь обратной связи, механизм нелинейного ограничения развития неустойчивости разрушается, так что развитие неустойчивости заканчивается формированием виртуального катода

3 В гидродинамической модели диода Пирса наблюдается существенное расширение области колебательной динамики в электронном

19 Hendricks К J , Adler R , Noggle R С , Experimental results of phase locking two virtual cathode oscillators J Appl Phys ,68 (1990) 820-828

потоке со сверхкритическим током без образования виртуального катода, в том числе и хаотических автоколебаний, при превышении плотностью \рг\ положительного заряда неподвижного ионного фона плотности (ро| пространственного заряда электронного пучка

4 Для управления сложной динамикой в гидродинамической модели диода Пирса предложены схемы с непрерывной обратной связью, в которых сигнал обратной связи воздействует только на границе распределенной электронной системы Предложенные схемы позволяют стабилизировать как неустойчивое состояние равновесия, так и неустойчивые периодические во времени пространственно-временные состояния, аналогичные неустойчивым периодическим орбитам хаотического аттрактора динамических систем с малым числом степеней свободы

5 Воздействие внешнего гармонического сигнала на колебания электронного потока с виртуальным катодом, формирующимся в тормозящем поле, в низковольтном виркаторе позволяет синхронизовать колебания как на частоте колебаний виртуального катода, так и ее гармониках При больших отстройках частоты внешнего воздействия от частоты колебаний в автономном низковольтном виркаторе при росте мощности внешнего сигнала наблюдается усложнение динамики электронного потока с виртуальным катодом

Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы использовались при выполнении проектов Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 05-018-08030, 05-0216286, 06-02-72007), были поддержаны программой "Университеты России - Фундаментальные исследования" (проекты УР 01 01 379, УР.01 01 051, УР01 01 065), Президентской программой поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1250 2003 2), программой Министерства образования и науки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы" (проекты 332, 333), Федеральной целевой научно-техническая программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники на 2002-2006 годы» (проект РИ-112/001/240), НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" при СГУ (грант REC-006 of CRDF)

Представленные результаты неоднократно докладывались на различных семинарах и конференциях, среди которых 2-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы физики"(Саратов, 914 октября, 2000), 2-я Международная межвузовская конференция "Современные проблемы СВЧ электроники и радиофизики" (Саратов, 20-24 Марта, 2001) XI Международная зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 17-20 марта, 2001), XII Международная зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 28 января - 3 февраля, 2003), XIII Международная зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 31 января - 5 февраля 2006), 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (Saratov, October 2-7, 2001), 7th Int School on

Chaotic Oscillations and Pattern Formation (Saratov, October 1-6, 2004), VIII Всероссийская школа-семинара "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 26-30 мая 2001), VIII Всероссийская школа-семинар "Нелинейные явления в неоднородных средах" (Красновидово, 22-27 мая 2002), IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 26-30 мая 2003), IX Всероссийская школа-семинар "Нелинейные явления в неоднородных средах" (Звенигород, 22-26 мая 2004), X Всероссийская школа семинар «Физика и применение микроволн» (Звенигород, 22-26 мая 2005), VI научная конференция "Нелинейные колебания механических систем"(Н Новгород, 16-19 сентября 2002), 4th IEEE International Vacuum Electron Source Conference (IVESC'2002) (Saratov, Russia, July 15-19, 2002), Всероссийская научная школа "Нелинейные волны - 2002" (Нижний Новгород, 2-9 марта 2002), 14-я Международная Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (Севастополь, Украина, 13-17 сентябрь 2004), 17-я Международная Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии'' (Севастополь, Украина, 13-17 сентябрь 2006), III Международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" (Казань, июнь 2005), Международная научно-технической конференции "Радиотехника и связь" (Саратов, май 2005), XI Школа молодых ученых "Актуальные проблемы физики" (Звенигород, 26-29 ноября 2006)

Результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и на научных семинарах НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" СГУ

По материалам диссертации опубликована в соавторстве глава в монографии [1], 12 статей в научных журналах (в том числе и в рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций) [2-13] и 26 тезисов докладов в трудах конференций, наиболее значимые из которых приведены в списке публикаций [15-24]

Основные публикации по теме диссертационной работы:

[1] Трубецкое Д И, Ремпен И С, Рыскин Я M, Титов В H, Храмов А Е Управление сложными колебаниями в распределенных системах СВЧ-электроники / Глава в монографии "Генераторы и усилители СВЧ" Под ред И В. Лебедева M Радиотехника 2005 СС 336-351

[2] Hramov А Е, Koronovskii А А , Rempen IS Controlling chaos m spatially extended beam-plasma system by the continuous delayed feedback CHAOS 16 (2006) 013123

[3] Калинин Ю A , Ремпен И С, Храмов А Е Влияние внешнего сигнала на колебания в электронном потоке с виртуальным катодом (эксперимент и численное исследование) Изв РАН Сер физическая 69, 12 (2005) 1736-1740

[4] Hramov A E , Koronovskn A A , Popov P V, Rempen IS. Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves CHAOS 15 (2005) 013705

[5] Ремпен if С, Храмов A E Стабилизация нестойчивых периодических состояний хаотической динамики в диоде Пирса Изв РАН Сер физическая 68, 12 (2004) 1789-1793

[6] Короновский А А , Ремпен И С, Храмов А Е Численное исследование управления хаотической динамикой в распределенной активной среде Изв Вузов Прикладная нелинейная динамика 12, 1-2 (2004) 51-79

[7] Hramov А Е, Rempen IS Investigation of the complex dynamics and regime control m Pierce diode with the delay feedback Int J Electronics 91, 1 (2004) 1-12

[8] Короновский A A , Ремпен И С, Храмов А Е Исследование неустойчивых периодических пространственно-временных состояний в распределенной активной системе со сверхкритическим током Изв РАН Сер физическая 67, 12 (2003) 1705-1708

[9] Короновский А А , Ремпен И С, Храмов А Е Управление хаосом в электронном пучке со сверхкритическим током в гидродинамической модели диода Пирса Письма в ЖТФ. 29, 23 (2003) 67-74

[10] Hramov А Е, Koronovskit А А , Rempen IS Investigation of Complex Dynamics and Regime Control m Pierce Diode with Delay Feedback Nonlinear Phenomena m Complex Systems 6, 2 (2003) 687-695

[11] Трубецков ДИ, Ремпен И С, Рыскин ИМ, Титов В Н, Храмов А Е Управление сложными колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники Радиотехника. 67, 2 (2003) 40-52

[12] Храмов А Е , Ремпен И С Влияние обратной связи на сложную динамику в гидродинамической модели диода Пирса Радиотехника и электроника 47, 6 (2002) 732-738

[13] Ремпен И С, Храмов А Е Управление режимами колебаний электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса Изв РАН Сер физическая 65, 12 (2001) 1689-1694

[14] Ремпен И С Управление хаосом в распределенной электронно-волновой системе со сверхкритическим током XI Всероссийская школа молодых ученых "Актуальные проблемы физики" 26 - 29 ноября Звенигород, 2006, СС 59,

[15] Ремпен И С, Храмов А Е Управление режимами колебаний электронного пучка в двухпотоковом виркаторе Материалы 17-й Международной Крымской конференции "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" 13-17 сентября Севастополь, Украина, 2006 СС 18

[16] Калинин Ю А Ремпен И С, Храмов А Е Влияние внешнего сигнала на динамику электронного потока в диодном промежутке с тормозящим полем 15-я Международная конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" 12-16 сентября 2005 Севастополь, Украина (2005) СС 167

[17] Трубецков Д И, Короновский А А , Пономарепко В И; Прохоров М Д. Ремпен И С, Храмов А Е Развитие методов исследования хаотической синхронизации и выявления направленности связи в системах различной природы с помощью вейвлетного анализа 3-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" 13-18 июня Казань, Россия (2005) СС 97

[18] Hempen IS, Hramov А Е Controlling Chaos m Distributed Nonlinear Active System by Continuous Delay Feedback 12th International School-Conference "Foundations and Advances m Nonlinear Science" Minsk, Belarus 27-30 September (2004) PP 68

[19] Ремпен И С, Храмов А Е Синхронизация систем на виртуальном катоде Материалы XII зимней школы по СВЧ электронике и радиофизике 28 января - 3 февраля Саратов, 2003 СС.22-23

[20] Короновский А А, Ремпен И.С, Храмов АЕ Исследование неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в диоде Пирса Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн" Звенигород, Московская область 26-30 мая 2003 Часть 2 С 79

[21] Ремпен ИС, Трубецков ДИ, Храмов АЕ Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике Материалы VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 16-19 сентября 2002) С 132

[22] А Е Hramov and IS Rempen Nonlinear dynamics of electron beam with overcntical current m Pierce diode with delay feedback // Proc of 4th IEEE International Vacuum Electron Source Conference (IVESC'2002) July 15-19, 2002, Saratov, Russia PP 376-378

[23] И С Ремпен, A E Храмов Управление режимами колебаний электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса // VIII Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн" 26-30 мая 2001, Звенигород, Россия, СС 96-97

[24] А Е Hramov and IS Rempen Investigation of the chaotic dynamics and regime control in Pierce diode with the delay feedback // The Book of Abstracts of 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation October 2-7, 2001 Saratov, Russia P 29

РЕМПЕН Ирина Сергеевна

УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМИ ХАОТИЧЕСКИМИ КОЛЕБАНИЯМИ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ, СОДЕРЖАЩИХ ЭЛЕКТРОННЫЕ ПОТОКИ СО СВЕРХКРИТИЧЕСКИМ ТОКОМ

Автореферат

Ответственный за выпуск — профессор Ю И Левин

Подписано к печати 28 09 07 Формат 60 х 84 1/16 Бумага "Снегурочка". Гарнитура "Times" Усл. печ л 1,39(1,5) Тираж 120 экземпляров. Заказ 398

Введение

1 Влияние запаздывающей обратной связи и степени ионной нейтрализации на сложную динамику электронного пучка со сверхкритическим током в рамках гидродинамической модели диода Пирса

1.1 Введение.

1.2 Исследуемая система и схема численного моделирования

1.3 Влияние обратной связи на хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса.

1.4 Изучение влияния обратной связи в рамках конечномерной модели.

1.5 Влияние степени ионной нейтрализации электронного потока на сложные колебания в диоде Пирса

1.6 Выводы.

2 Управление хаосом в гидродинамической модели диода Пирса

2.1 Введение.

2.2 Методы управления хаосом в нелинейных динамических системах

2.3 Стабилизация неустойчивого состояния равновесия с помощью непрерывной обратной связи.

2.4 Расчет максимальных ляпуновских экспонент для распределенной активной среды.

2.5 Выделение неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики диода Пирса

2.6 Характеристики неустойчивых периодических пространственно-временных состояний

2.7 Стабилизация неустойчивых периодических состояний с помощью непрерывной обратной связи.

2.8 Выводы.

3 Синхронизация и неавтономные колебания в распределенной активной среде "электронный пучок с виртуальным катодом"

3.1 Введение.

3.2 Схема численного моделирования нестационарных процессов в плоском пролетном промежутке.

3.3 Влияние предварительной модуляции электронного потока на колебания виртуального катода.

3.4 Теоретическое и экспериментальное исследование влияния внешнего сигнала на генерацию колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом в тормозящем поле.

3.5 Сложная динамика и режимы синхронизации в системе связанных виркаторов с электростатической связью.

3.6 Выводы.;.

Актуальность исследуемой проблемы.

Исследование сложного поведения распределенных динамических систем и управление их динамикой представляет собой актуальную задачу современной радиофизики, физической электроники и науки о колебаниях и волнах [1-3]. Сложные динамические системы, образуемые множеством более простых или элементарных систем или элементов, взаимосвязанных и взаимодействующих, всегда находились в центре интересов исследователей. Одним из важных направлений в их изучении является исследование процессов управления. Более того, процессы, происходящие в динамической системе, можно трактовать как результат некоторых управляющих воздействий, направленных на реализацию определенной цели. Основным способом достижения цели управления являются обратные связи. К ним иногда добавляются стабилизирующие или корректирующие связи. В свете сказанного целесообразно использовать единый подход к анализу динамических систем, в основе которого лежит синтез двух подходов, а именно: 1) расчленение сложной системы на части и рассмотрение ее движения как следствия преобразований, осуществляемых ее взаимодействующими частями и 2) использование качественной теории нелинейных колебаний и волн [4].

Подобный подход в разное время относили к разным научным направлениям - к теории автоматического регулирования, к теории динамических систем [5], к системному анализу [6], к кибернетике [7,8]. Качественно новое взаимодействие естествознания и теории управления началось с развития теории хаоса при появлении области исследований, называемой "управление хаосом". Начало развития нового подхода связывают с появлением статьи Э. Отта, Ч. Гребоджи и Дж. Йорке "Управление хаосом" [9], благодаря 3 которой теорию управления ассоциируют с нелинейной динамикой. Развитие теории динамических систем привело к появлению нового научного направления, посвященного вопросам управления в физических системах [8]. Большинство работ в этой развивающейся области посвящено изучению вопросов управления хаотической динамикой с помощью различных типов обратной связи в системах с малым числом степеней свободы [10,11]. Существенно меньше работ, в которых рассматривались бы задачи управления хаотической динамикой распределенных автоколебательных систем. При изучении данных вопросов исследователи чаще всего рассматривают модельные колебательные системы, представляющие собой либо цепочки связанных осцилляторов, либо модельные системы уравнений в частных производных (например, комплексные уравнения Гинзбурга-Ландау или уравнения Свифта-Хогенберга), в то время как модели реальных распределенных систем анализируются крайне редко.

Классическими примерами реальных распределенных автоколебательных систем со сложной динамикой являются электровакуумные приборы сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, содержащие в качестве активной среды электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями, которые являются объектами исследования в радиофизике и в физической электронике [1,12,13]. Следует отметить, что способность различных приборов СВЧ-электроники демонстрировать сложное нерегулярное поведение была известна еще в 70-е годы ХХ-г'о столетия. На сегодняшний день имеется немало работ, посвященных математическому и физическому моделированию подобных систем, как, например, лампа обратной волны [14-21], лампа бегущей волны с запаздывающей обратной связью [22-26], клистронные генераторы с внешней запаздывающей обратной связью [27], приборы с виртуальным катодом (виркаторы) [28-34], приборы плазменной электроники [35].

В настоящее время наблюдается активизация исследований в области сложной динамики приборов и устройств СВЧ-дИапазона, предназначенных прежде всего для технологических целей, радиолокации, радиопротиводействия, информационно-телекоммуникационных систем передачи и обработки информации и т.д. на основе идей динамического хаоса [36,37]. Потребности вышеназванных областей техники и технологий стимулируют развитие методов управления сложной динамикой подобных систем, что делает актуальным разработку и исследование методов управления хаосом в распределенных электронно-волновых системах СВЧ-диапазона, в частности, с помощью различных типов обратной связи [38-41].

Другим способом управления хаосом является воздействие на систему внешнего сигнала. В 1980-х годах была показана возможность превращения хаотический динамики под воздействием внешнего гармонического сигнала в периодическую, что можно рассматривать как управление через подавление хаоса [4]. Поэтому управление хаосом через воздействие внешних сигналов на автоколебательные системы СВЧ-электроники представляется весьма перспективным и важным направлением исследований, позволяющим осуществить эффективное управление электронно-волновыми системами наряду с методами, основанными на использовании различных обратных связей.

Вышеназванные направления исследований (управление хаосом в системах радиофизики и физической электроники) представляются весьма важными и актуальными, так как позволяют решить целый ряд прикладных задач, а именно стабилизацию частоты и фазы ВЧ излучения мощных генераторов, возможность получения близкой к одночастотной генерации или, наоборот, установление режимов хаотической генерации, фа-зировку генераторов для повышения выходной мощности путем сложения ВЧ излучения (фазированные антенные решетки на сверхмощных СВЧ-генераторах), в ряде случаев повышение к.п.д. и мощности выходного излучения неавтономных СВЧ-систем.

Среди активных устройств СВЧ-электроники, демонстрирующих пространственно-временное хаотическое поведение, особый интерес вызывают электронные системы со сверхкритическим током, которые характеризуются разнообразными режимами колебаний и с точки зрения теории допускают математическое описание на разном уровне сложности (гидродинамическое описание колебаний электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса [12,42]; приближенное описание с помощью метода Галеркина [43]; метод частиц [44] для описания колебаний виртуального катода, формирующегося в пучке со сверхкритическим током; дискретные модели типа клеточного автомата [45]). Характерной особенностью всех подобных систем является сложный спектральный состав СВЧ-колебаний пространственного заряда электронного потока. Потребности практики диктуют необходимость изучения методов управления сложной динамикой СВЧ-устройств со сверхкритическими токами (диод Пирса, релятивистские виркаторы, низковольтные виркаторы) [33,42,46,47].

Проведение численных и экспериментальных исследований поведения нерелятивистских электронных пучков в тормозящем поле в режиме образования виртуального катода позволит проанализировать спектральные и энергетические характеристики генерации в пучке; позволит изучить процессы образования структур в электронно-ионных пучках с виртуальным катодом; позволит установить связи между режимами работы устройств с выходными характеристиками СВЧ-излучения (мощность, ширина спектра, изрезанность, к.п.д.), а также определить эффективные способы управления этими характеристиками.

Сказанное выше позволяет считать тему диссертации, посвященную исследованию различных методов управления хаотическими колебаниями в электронных СВЧ устройствах со сверхкритическим током, актуальной и важной для современной радиофизики и физической электроники.

Цель диссертационной работы определена кругом вышеперечисленных вопросов и заключается в изучении возможностей управления сложными режимами пространственно-временных колебаний в системах сверхвысокочастотной электроники типа "электронный поток со сверхкритическим током — электромагнитное поле" с помощью воздействия внешних сигналов и различных типов обратной связи.

Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи.

1. Теоретически изучено влияние внешней запаздывающей обратной связи на хаотические колебания в электронном потоке со сверхкритиче6 ском током в режиме без образования виртуального катода в гидродинамической модели диода Пирса и конечномерной модели на основе Галер-киновской аппроксимации.

2. Предложены методы выделения неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в гидродинамической модели диода Пирса и рассчитаны различные характеристики выделенных неустойчивых состояний.

3. Исследованы методы стабилизации неустойчивых периодических пространственно-временных состояний с помощью различных типов непрерывной обратной связи на примере гидродинамической модели диода Пирса.

4. Теоретически и экспериментально изучены возможности управления спектральными характеристиками и режимами генерации в низковольтных электронно-волновых системах с виртуальным катодом, формирующемся в тормозящем поле, с помощью воздействия внешнего сигнала.

5. Теоретически исследованы совместные колебания и управление ими в связанных системах с виртуальным катодом за счет изменения связи между виртуальными катодами, формирующимися во встречных электронных потоках.

Обоснование и достоверность полученных в работе численных результатов подтверждается их воспроизводимостью, совпадением с данными аналитических исследований, соответствием известным из литературы экспериментальным результатам для аналогичных моделей и приборов, обоснованным выбором параметров численных схем. Часть теоретических результатов подтверждена проведенным экспериментальным исследованием совместно с научной группой проф., д.т.н. Ю.А. Калинина в НИИ ЕН (отделение физики нелинейных систем) С ГУ.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие основные научные результаты:

• Впервые изучено влияние внешней запаздывающей обратной связи на хаотические колебания в электронном потоке со сверхкритическом током 7 в режиме без образования виртуального катода в рамках гидродинамической модели диода Пирса и конечномерной модели на основе Галеркинской аппроксимации. Показано, что подключение к системе со сверхкритическим током цепи обратной связи с малым временем запаздывания приводит к подавлению хаотических колебаний и установлению периодических колебаний, причем переход к регулярным колебаниям происходит через обратный каскад бифуркаций удвоения периода. Подобное поведение системы определяется динамикой системы вблизи неустойчивого состояния равновесия.

• Предложен метод выделения неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в гидродинамической модели диода Пирса. Определены количественные характеристики неустойчивых периодических пространственно-временных состояний (период, максимальная ляпуновская экспонента, распределение времен возврата).

• Впервые использованы различные модификации метода стабилизации неустойчивых периодических пространственно-временных состояний с помощью различных типов непрерывной обратной связи на примере гидродинамической модели диода Пирса. Показана возможность управления хаосом через стабилизацию неустойчивых периодических пространственно-временных состояний хаотической динамики в диоде Пирса, рассчитаны характеристики стабилизируемых состояний и выделены области в пространстве параметров, в которых возможна стабилизация неустойчивых состояний.

• Впервые теоретически (в рамках одномерной математической модели, основанной на решении самосогласованной системы уравнений Пуассона-Власова методом частиц) и экспериментально (с помощью макета низковольтной системы с виртуальным катодом для разборной вакуумной установки) изучены методы физического управления характеристиками генерации в низковольтных электронно-волновых системах с виртуальным катодом, формирующимся в тормозящем поле, с помощью воздействия внешнего гармонического сигнала. Экспериментально и теоретически обнаружен эффект синхронизации колебаний виртуального катода в низковольтном виркаторе, а также возможность перестройки режимов генерации низковольтного виркатора при изменении частоты и мощности внешнего гармонического сигнала. Аналогичные результаты впервые получены при численном исследовании совместных колебаний двух виртуальных катодов в системе со встречными электронными потоками.

Личный вклад. Постановка задач, разработка методов их решения, объяснение и интерпретация результатов были осуществлены совместно с научными руководителями и другими соавторами научных работ, опубликованных соискателем. Основные результаты диссертации получены лично автором. В большинстве совместных работ автором выполнены все численные и аналитические расчеты. Экспериментальные результаты, изложенные в 3 главе диссертации получены совместно с научной группой д.т.н., проф. Ю.А. Калинина в НИИ ЕН (отделение физики нелинейных систем) СГУ.

Научная и практическая значимость Исследования возможностей управления нелинейной динамикой распределенных систем, содержащих электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями, проведены на основе моделей, являющихся базовыми для физической электроники, а также для нелинейной теории колебаний и волн. Полученные в диссертации результаты позволяют продвинуться в понимании таких проблем как управление сложной динамикой в системах со сверхкритическим током с помощью введения различных типов обратной связи и воздействия внешнего сигнала. Предложенные методы исследования нелинейных распределенных динамических систем позволяют провести выделение неустойчивых периодических пространственно-временных состояний распределенных систем и анализ таких их количественных характеристик как максимальная ляпуновская экспонента и распределение времен возврата.

Наряду с этим, проведенные исследования имеют практическую направленность и могут найти применение при решении задач, связанных с разработкой электровакуумных приборов СВЧ-электроники, с возмож9 ностью управления энергетическими (уровень генерируемой мощности) и спектральными (частота, ширина полосы, модовый состав) характеристиками их выходного излучения с помощью различных типов обратной связи и внешних сигналов. Анализ физических процессов, приводящих к усложнению динамики в системах СВЧ-электроники, позволяет дать обоснованные рекомендации специалистам, проектирующим электровакуумные приборы сверхвысоких частот, по достижению необходимых выходных характеристик данных устройств, а также по созданию методов управления выходными характеристиками генераторами с виртуальным катодом.

Материалы диссертационной работы внедрены в учебный процесс в Саратовском государственном университете на факультете нелинейных процессов и физическом факультете по специальности 013800 Радиофизика и электроника и по направлению подготовки бакалавров по направлению 03510 Радиофизика. Результаты диссертации были использованы при выполнении ряда НИР и научных грантов.

Основные результаты, выводы и положения, выносимые на защиту.

1. В гидродинамической модели диода Пирса в режиме хаотических колебаний при включении запаздывающей обратной связи наблюдается подавление хаотической динамики и установление различных типов периодических колебаний. Переход от хаотической динамики к регулярной имеет место при длительности задержки в цепи ОС меньшей половины характерного временного масштаба колебаний и происходит через обратный каскад удвоений периода.

2. Хаотизация динамики пучка в диоде Пирса с обратной связью определяется приближением системы к неустойчивому состоянию однородного равновесия, и, как следствие, повышению неустойчивости колебаний в электронном потоке. При длительностях запаздывания обратной связи порядка характерного временного масштаба колебаний сложность колебаний увеличивается в результате увеличения амплитуды колебаний, и, как следствие, роста нелинейности. При увеличении уровня мощности сигнала, ответвляемого в цепь обратной связи, механизм нелинейного ограничения

10 развития неустойчивости разрушается, так что развитие неустойчивости заканчивается формированием виртуального катода.

3. В гидродинамической модели диода Пирса наблюдается существенное расширение области колебательной динамики в электронном потоке со сверхкритическим током без образования виртуального катода, в том числе и хаотических автоколебаний, при превышении плотностью положительного заряда неподвижного ионного фона плотности \ро | пространственного заряда электронного пучка.

4. Для управления сложной динамикой в гидродинамической модели диода Пирса предложены схемы с непрерывной обратной связью, в которых сигнал обратной связи воздействует только на границе распределенной электронной системы. Предложенные схемы позволяют стабилизировать как неустойчивое состояние равновесия, так и неустойчивые периодические во времени пространственно-временные состояния, аналогичные неустойчивым периодическим орбитам хаотического аттрактора динамических систем с малым числом степеней свободы.

5. Воздействие внешнего гармонического сигнала на колебания электронного потока с виртуальным катодом, формирующимся в тормозящем поле, в низковольтном виркаторе позволяет синхронизовать колебания как на частоте колебаний виртуального катода, так и ее гармониках. При больших отстройках частоты внешнего воздействия от частоты колебаний в автономном низковольтном виркаторе при росте мощности внешнего сигнала наблюдается усложнение динамики электронного потока с виртуальным катодом.

Апробация работы и публикации. Настоящая диссертационная работа выполнена на кафедре электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и в НИИ естественных наук (отделение физики нелинейных систем) СГУ.

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении проектов Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 05018-08030, 05-02-16286, 06-02-81013, 06-02-72007), были поддержаны программой "Университеты России - Фундаментальные исследования" (про

11 екты УР.01.01.379, УР.01.01.051, УР.01.01.065); Президентской программой поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1250.2003.2); программой Министерства образования и науки РФ "Развитие научного потенциала высшей школы" (проекты 332, 333); Федеральной целевой научно-техническая программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники на 2002-2006 годы» (проект РИ-112/001/240); HОЦ "Нелинейная динамика и биофизика" при Саратовском госуниверситете (грант REC-006 of U.S. Civilian Research к Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union).

Представленные результаты неоднократно докладывались на различных семинарах и конференциях, среди которых:

2-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 9-14 октября, 2000); 2-я Международная межвузовская конференция "Современные проблемы СВЧ электроники и радиофизики" (Саратов, 20-24 Марта, 2001). XI Международная зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике ( Саратов, 17-20 марта, 2001); XII Международная зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике. ( Саратов, 28 января - 3 февраля, 2003); XIII Международная зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 31 января -5 февраля 2006); 6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 01) (Saratov, October 2-7, 2001); 7th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 04) (Saratov, October 1-6, 2004); VIII Всероссийская школа-семинара "Физика и применение микроволн"(Звенигород, Московская область, 26-30 мая 2001); VIII Всероссийская школа-семинар "Нелинейные явления в неоднородных средах" (Красновидово, Московская обл. 22-27 мая 2002); IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн "(Звенигород, Московская обл., 26-30 мая 2003); IX Всероссийская школа-семинар "Нелинейные явления в неоднородных средах" (Звенигород, Московская обл. 22-26 мая 2004); X Всероссийская школа семинар «Физика и применение микроволн.» (Звенигород, Московская обл. 22-26 мая 2005); VI научная конференция "Нелинейные колебания механических систем"(Нижний Новгород, 16-19 сентября 2002); 4th IEEE International Vacuum Electron Source Conference (IVESC'2002). (Saratov, Russia, July 15-19, 2002); Всероссийская научная школа "Нелинейные волны - 2002"(Нижний Новгород, 2-9 марта 2002); 14-я Международная Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (КрыМиКо'2004) (Севастополь, Украина, 13-17 сентябрь 2004); 17-я Международная Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (КрыМиКо'2006) (Севастополь, Украина, 13-17 сентябрь 2006); III Международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" (Казань, июнь 2005); Международная научно-технической конференции "Радиотехника и связь" (Саратов, май 2005); XI Школа молодых ученых "Актуальные проблемы физики" (Звенигород, Московская обл. 26 - 29 ноября 2006);

Результаты диссертационной работы неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и на научных семинарах НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика"СГУ.

По материалам диссертации опубликована в соавторстве глава в монографии [48], 12 статей в научных журналах (в том числе и в рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций) [49-61] и 26 тезисов докладов в трудах конференций [62-75].

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Она содержит 160 страниц текста и 49 иллюстраций. Библиографический список содержит 176 наименований.

3.6 Выводы

В данной главе диссертационной работы представлены результаты исследования возможности управления режимами системы "электронный поток с виртуальным катодом" с помощью внешнего сигнала. В качестве исследуемой модели рассматривался плоский диодный промежуток без нейтрализующего ионного фона; для численного моделирования нестационарных процессов, протекающих в электронном потоке с ВК, применялся метод "частиц в ячейке".

Было показано, что с помощью предварительной скоростной модуляции электронного потока внешним гармоническим ВЧ сигналом, возможна синхронизация колебаний виртуального катода на частоте = п/о/2, где п = 2,3,4. Показано, что физически управляющее действие внешних сигналов сводится к влиянию на формирование и взаимодействие электронных структур в потоке.

Далее было проведено численное и экспериментальное исследование влияния предварительной скоростной модуляции на электронный поток с ВК, помещенный в тормозящее поле - низковольтный виркатор. Показана возможность синхронизации колебаний виртуального катода при сближении автономной частоты колебаний и частоты внешнего управляющего сигнала, при этом в данном случае указанная цель может быть достигнута двумя способами - путем изменения как величины тормозящего потенциала в диодном промежутке, так и характеристик управляющего сигнала.

Для анализа воздействия предварительной скоростной модуляции на колебания ВК были также исследованы физические процессы, протекающие в электронном потоке в диодном промежутке и определяющие динамику системы. Для изучения состояния электронного потока в области виртуального катода была использована такая характеристика как распределение по скоростям электронов, прошедших через область виртуального катода ко второй сетке. Было проведено рассмотрение распределения по скоростям для различных значений тормозящего потенциала и амплитуды управляющего сигнала. Показано, что с ростом тормозящего поля в диодном промежутке в автономном режиме и для малых значений амплитуды управляющего сигнала, средняя скорость электронов, прошедших виртуальный катод, уменьшается, а разброс скоростей увеличивается. Спектр скоростей становится более изрезанным, что связано с усложнением электронных структур в потоке. Однако, с увеличением амплитуды сигнала, когда в системе наблюдается режим синхронизации, средняя скорость электронов начинает возрастать, в то время как разброс скоростей уменьшается. В натурном эксперименте с помощью дополнительной тормозящей сетки снимались аналогичные характеристики, и при сравнении их с полученными при численном моделировании наблюдалось хорошее качественное соответствие. Таким образом, было показано, что физически управляющее воздействие внешних сигналов сводится к влиянию на формирование и взаимодействие электронных структур в электронном потоке.

При наблюдении хорошего качественного совпадения картин динамики системы, получаемых из численного и натурного эксперимента, было показано, что совместное действие предварительной модуляции электронного потока и тормозящего потенциала обеспечивает возможность эффективного управления колебаниями виртуального катода.

В рамках исследования способов управления динамикой систем с виртуальными катодами также было рассмотрено поведение двух электростатически связанных виркаторов. В качестве рассматриваемой модели была взята система, состоящая из двух источников электронов, каждый из которых формирует электронный поток, направленный навстречу другому потоку, при этом в каждом из потоков формируется виртуальный катод. Связь между ними осуществляется через общее поле пространственного заряда.

Проанализированы характерные режимы динамики такой системы в зависимости от входных токов обоих виркаторов. В результате численного эксперимента на плоскости управляющих параметров выделены области одночастотных колебаний в каждом из виркаторов, области биений, широкополосных хаотических колебаний с шумоподобным спектром. Подробно изучен режим взаимной синхронизации колебаний в виркаторах. Изучены физических процессы, протекающие в обоих генераторах, рассмотрена связь электронных структур, формирующихся в потоках, со сложными режимами колебаний в системе. Показано, что хаотизация колебаний связана с возникновением дополнительных внутренних структур в области виртуального катода, определяющихся воздействием на поток внешнего сигнала за счет встречного потока.

Несмотря на то, что недостатком последней из рассматриваемых систем является слабая возможность перестройки режимов колебаний с изменением управляющих параметров (так как управляющими параметрами могут служить только токи обоих пучков), простота конструкции и разнообразие сложной динамики, демонстрируемой данной системой, делает ее удобной и эффективной для реализации на практике, например, в качестве модуля антенных решеток.

Заключение

В настоящей диссертационной работе рассмотрены различные методы и подходы к управлению сложной динамикой электронного потока со сверхкритическим током с помощью воздействия внешних сигналов и различных типов обратной связи. Исследуются физические механизмы, приводящие к сложным хаотическим колебаниям в электронном потоке, а также возможность получения близких к одночастотным режимам генерации.

Исследования возможностей управления нелинейной динамикой распределенных систем, содержащих электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями, проведены на основе моделей, являющихся базовыми для физической электроники, а также для нелинейной теории колебаний и волн. Полученные в диссертации результаты позволяют продвинуться в понимании таких проблем как управление сложной динамикой в системах со сверхкритическим током с помощью введения различных типов обратной связи и воздействия внешнего сигнала. Предложенные методы исследования нелинейных распределенных динамических систем позволяют провести выделение неустойчивых периодических пространственно-временных состояний распределенных систем и анализ таких их количественных характеристик как максимальная ляпуновская экспонента и распределение времен возврата.

Наряду с этим, проведенные исследования имеют практическую направленность и могут найти применение при решении задач, связанных с разработкой электровакуумных приборов СВЧ-электроники, с возможностью управления энергетическими (уровень генерируемой мощности) и спектральными (частота, ширина полосы, модовый состав) характеристиками их выходного излучения с помощью различных типов обратной связи и внешних сигналов.

При помощи численного моделирования проведен анализ влияния запаздывающей обратной связи на хаотические колебания в электронном потоке со сверхкритическим током в режиме полного прохождения электронного потока через диодный промежуток. В качестве исследуемой модели был рассмотрен диод Пирса в гидродинамическом приближении. Управляющий сигнал в цепи обратной связи задавался пропорциональным значению плотности пространственного заряда в фиксированном сечении диодного промежутка и регулировал изменение потенциала на правой границе электронной системы. Показано, что при определенных параметрах обратной связи наблюдается подавление хаотической динамики в диоде Пирса и установление различных типов периодических колебаний. С точки зрения физических процессов подавление хаотических колебаний связано с изменением условий распространения волн пространственного заряда в исследуемой системе в результате воздействия на пучок сигнала обратной связи.

Обнаруженный эффект подавления хаоса с помощью непрерывной запаздывающей обратной связи представляет практический интерес в связи с возможностью устранения нежелательных паразитных и шумоподоб-ных колебаний в случае возникновения в электронных и ионных потоках неустойчивости Пирса (например, в электронных пушках, потоках заряженных частиц в устройствах термоядерного синтеза и т.д.). Это открывает определенные перспективы управления режимами распределенных систем, включающих электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями.

Также было рассмотрено влияние степени нейтрализации ионного фона на сложные режимы колебаний электронного пучка со сверхкритическим током в гидродинамической модели диода Пирса. Показано, что при увеличении степени нейтрализации существует возможность существенного расширения области колебательной динамики, в том числе и хаотических автоколебаний. Исследованы механизмы возникновения хаотической динамики в диоде Пирса при изменении плотности положительного заряда ионного фона и показано, что основным сценарием перехода к хаосу в распределенной электронной системе является каскад удвоений периода. Одновременно, были обнаружены жесткие переходы между различными типами периодической и хаотической динамики при изменении управляющих параметров, которые связаны с существованием мультистабильных состояний в электронной системе.

Исследованы возможности управления сложной динамикой распределенной системы электронно-плазменной природы с использованием ряда классических идей "управления хаосом", разработанных для динамических систем с малым числом степеней свободы. Особый интерес к рассматриваемому методу обуславливается тем, что для управления сложной динамикой используется схема с непрерывной обратной связью, что делает достаточно простой практическую реализацию предложенного метода. Предложенная схема позволяет стабилизировать как неустойчивое однородное состояние равновесия электронного пучка, так и неустойчивые периодические во времени пространственно-временные состояния, аналогичные неустойчивым периодическим орбитам хаотического аттрактора динамических систем с малым числом степеней свободы. Указанный эффект управления проанализирован с помощью количественной характеристики, имеющей смысл максимальной ляпуновской экспоненты, применительно к распределенной нелинейной системе. Разработана методика вычисления максимальной ляпуновской экспоненты для распределенной электронной среды, а также неустойчивых пространственно-временных состояний распределенной системы. Предложенный метод позволяет с высокой точностью задавать требуемые параметры режима колебаний в исследуемой электронной системе, являющейся распространенной моделью приборов, работающих на основе электронных потоков со сверхкритическим током. Как следствие, это дает широкие возможности управления характеристиками генерации с помощью изменения параметров - амплитуды и времени задержки сигнала в цепи обратной связи.

Исследованы возможности управления режимами системы "электронный поток с виртуальным катодом" с помощью внешнего сигнала. В качестве исследуемой модели рассматривался плоский диодный промежуток без нейтрализующего ионного фона; для численного моделирования нестационарных процессов, протекающих в электронном потоке с ВК, применялся метод "частиц в ячейке".

Показано, что с помощью предварительной скоростной модуляции электронного потока внешним гармоническим ВЧ сигналом, возможна синхронизация колебаний виртуального катода на частоте = тг/о/2, где п = 2,3,4. Показано, что физически управляющее действие внешних сигналов сводится к влиянию на формирование и взаимодействие электронных структур в потоке.

Проведено численное и экспериментальное исследование влияния предварительной скоростной модуляции на электронный поток с ВК, помещенный в тормозящее поле - низковольтный виркатор. Показана возможность синхронизации колебаний виртуального катода при сближении автономной частоты колебаний и частоты внешнего управляющего сигнала, при этом в данном случае указанная цель может быть достигнута двумя способами - путем изменения как величины тормозящего потенциала в диодном промежутке, так и характеристик управляющего сигнала.

Для анализа воздействия предварительной скоростной модуляции на колебания ВК исследованы физические процессы, протекающие в электронном потоке в диодном промежутке и определяющие динамику системы. Для изучения состояния электронного потока в области виртуального катода была использована такая характеристика как распределение по скоростям электронов, прошедших через область виртуального катода ко второй сетке. Было проведено рассмотрение распределения по скоростям для различных значений тормозящего потенциала и амплитуды управляющего сигнала. Показано, что с ростом тормозящего поля в диодном промежутке в автономном режиме и для малых значений амплитуды управляющего сигнала, средняя скорость электронов, прошедших виртуальный катод, уменьшается, а разброс скоростей увеличивается. Спектр скоростей становится более изрезанным, что связано с усложнением электронных структур в потоке. Однако, с увеличением амплитуды сигнала, когда в системе наблюдается режим синхронизации, средняя скорость электронов начинает возрастать, в то время как разброс скоростей уменьшается. В натурном эксперименте с помощью дополнительной тормозящей сетки снимались аналогичные характеристики, и при сравнении их с полученными при численном моделировании наблюдалось хорошее качественное соответствие. Таким образом, было показано, что физически управляющее воздействие внешних сигналов сводится к влиянию на формирование и взаимодействие электронных структур в электронном потоке.

При наблюдении хорошего качественного совпадения картин динамики системы, получаемых из численного и натурного эксперимента, было показано, что совместное действие предварительной модуляции электронного потока и тормозящего потенциала обеспечивает возможность эффективного управления колебаниями виртуального катода.

Рассмотрено поведение двух электростатически связанных виркаторов. В качестве рассматриваемой модели была взята система, состоящая из двух виркаторов, каждый из которых формирует электронный поток, направленный навстречу другому потоку, при этом в каждом из потоков формируется виртуальный катод. Связь между ними осуществляется через общее поле пространственного заряда. Проанализированы характерные режимы динамики такой системы в зависимости от входных токов обоих виркаторов. В результате численного эксперимента на плоскости управляющих параметров выделены области одночастотных колебаний в каждом из виркаторов, области биений, широкополосных хаотических колебаний с шумоподобным спектром. Подробно изучен режим взаимной синхронизации колебаний в виркаторах. Изучены физических процессы, протекающие в обоих генераторах, рассмотрена связь электронных структур, формирующихся в потоках, со сложными режимами колебаний в системе. Показано, что хаотизация колебаний связана с возникновением дополнительных внутренних структур в области виртуального катода, определяющихся воздействием на поток внешнего сигнала за счет встречного потока.

В заключение я выражаю глубокую благодарность своим научным руководителям чл.-корр. РАН, профессору, д.ф.-м.п. Тру бецкову Дмитрию Ивановичу и профессору, д.ф.-м.н. Храмову Александру Евгеньевичу за постоянную поддерэюку, неоценимую помощь и плодотворное обсуждение результатов при подготовке диссертационной работы. Также выражаю огромную признательность профессору, д.т.н. Калинину Юрию Александровичу за плодотворное сотрудничество при проведении совместных научных исследований и доценту, к.ф-м.п. Короновскому Алексею Александровичу за успешное сотрудничество, помощь в обсуждении научных результатов и за неизменную поддержку и содействие в течение всех лет работы над диссертацией. Также хотелось бы поблагодарить всех коллег по кафедре электроники, колебаний и волн Саратовского госуниверситета, по факультету нелинейных процессов СГУ, научно-исследовательской лаборатории №5 НИИ Естественных наук (отделение физики открытых нелинейных систем) СГУ, а также мою семью и близких, чье участие, поддержка и вера в меня помогли мне завершить эту работу.

1. M. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М.-Ижевск: РХД, 2000.

2. Г. Г. Малинецкий, А. Б. Потапов. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

3. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

4. Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда, Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

5. Ю.И. Неймарк. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

6. H.H. Моисеев. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

7. В. Норберт. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. М.: Наука, 1983.

8. A. JI. Фрадков. О применении кибернетических методов в физике// УФН. 2005, Т.175 №113.

9. Е. Ott, С. Grebogi, and J. A. Yorke. Controlling chaos// Phys. Rev. Lett. 1990, Vol. 64, No. 11, PP. 1196-1199.

10. С. П. Кузнецов. Динамический хаос, серия "Современная теория колебаний и волн". М.: Физматлит, 2001.

11. И. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1999.

12. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Т. 1. М.: Физматлит, 2003.

13. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков Т. 2. М.: Физматлит, 2004.

14. Н. С. Гинзбург, С. П. Кузнецов, Т. Н. Федосеева. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ// Изв. вузов. Радиофизика 1978, Т. 21, N0. 7, СС.1037-1052.

15. Б. П. Безручко, С. П. Кузнецов, Д. И. Трубецков. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе "электронный пучок — обратная электромагнитная волна"// Письма в ЖЭТФ. 1979, Т. 29, N0. 3, СС. 180-184.

16. Б. П. Безручко, Л. В. Булгакова, С. П. Кузнецов, Д. И. Трубецков. Стохастические колебания и неустойчивость в лампе обратной волны// Радиотехника и электроника. 1983, Т. 28, N0. 6, С. 1136.

17. В. А. Балакирев, А. О. Островский, апд, Ю. В. Ткач. К теории автомодуляционных процессов в системе связанных гофрированных волноводов, возбуждаемых прямолинейными электронными потоками// ЖТФ. 1991, Т. 61, N0. 9, С. 94.

18. Д. И. Трубецков, А. П. Четвериков. Автоколебания в распределённых системах "электронный поток — встречная (обратная) электромагнитная волна"// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994, Т.2, N0. 5. С. 3.

19. И. В. Пегель. Моделирование нестационарных процессов в релятивистской лампе обратной волны методом макрочастиц// Изв. вузов. Физика. 1996, Т. 39, N0. 12, С. 62.

20. Н. М. Рыскин, В. Н. Титов, Д. И. Трубецков. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна// Доклады Академии Наук. 1998, Т. 358. С. 620.

21. Н. С. Гинзбург, Н. И. Зайцев, Е. В. Иляков, И. С. Кулагин, Ю. В. Новожилова, А. С. Сергеев, А. К. Ткаченко. Наблюдение автомодуляционных режимов генерации в мощной JIOB// Письма в ЖТФ. 1998, Т. 24, No. 20, С. 66.

22. В. Я. Кислое, Е. А. Мясин, Н. Н. Залогин. О нелинейной стохастиза-ции автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью// Радиотехника и электроника. 1980, Т. 25, No. 10, С. 2160.

23. В. Я. Кислое. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием// Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 5-я зимняя школа-семинар Кн. 5, Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1981, С. 78.

24. С. П. Кузнецов. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью// Изв. вузов. Радиофизика. 1982, Т. 25, С. 1410.

25. В. В. Афанасьева, Д. И. Трубецков. Динамический хаос в электронных СВЧ приборах. Ч. II. Релятистская СВЧ электроника// Обзоры по электронной технике. Серия 1. Электроника СВЧ. Выпуск 4(1615)., М.: ЦНИИИ "Электроника", 1991.

26. В. Я. Кислое, Е. А. Мясин, Е. Н. Залогин. Исследование стохастических автоколебательных режимов в автогенераторах с запаздыванием// Радиотехника и электроника. 1979, Т. 24, No. 6, С. 1118.

27. Б. С. Дмитриев, Ю. Д. Жарков, Н. М. Рыскин, А. М. Шигаев, Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических колебаний клистронного генератора с запаздыванием// Радиотехника и электроника. 2001, Т. 46, No. 5, С. 604.

28. А. H. Диденко, Я. Е. Красик, С. Ф. Перелыгин, Г. П. Фоменко. Генерация мощного СВЧ-излучения релятивистским электронным пучком, в триодной системе// Письма в ЖТФ. 1979, Т. 5, No. 6, С. 321.

29. А. Н. Диденко, В. И. Ращиков. Генерация мощных СВЧ колебаний в системах с виртуальным катодом// Физика плазмы. 1992, Т. 18, С. 1182.

30. А. А. Рухадзе, С. Д. Столбецов, В. П. Тараканов. Виркаторы (обзор)// Радиотехника и электроника. 1992, Т. 37, No. 3, С. 385.

31. В. Д. Селемир, Б. В. Алёхин, В. Е. Ватрунин, А. Е. Дубинов, Н. В. Степанов, 0. А. Шамро, К. В. Шибалко. Теоретические и экспериментальные исследования СВЧ-приборов с виртуальным катодом// Физика плазмы. 1994, Т. 20, No. 7,8, С. 689.

32. В. Г. Анфиногентов, А. Е. Храмов. К вопросу о механизме возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на виртуальном катоде// Изв.вузов. Радиофизика. 1998, Т. XLI, No. 9, СС. 1137-1146.

33. А. Е. Дубинов, В. Д. Селемир. Электронные приборы с виртуальным катодом// Радиотехника и электроника. Т. 47 (2002), No. 6, 575.

34. А. А. Короновский, А. Е. Храмов. Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлетной бикогерентности// Физика плазмы. 2002, Т. 28, No. 8, СС. 722-738.

35. T. Klinger, A. Latten, A. Piel, Е. Bonhomme, and Th. Pierre. Chaos and turbulence studies in low-/? plasmas// Plasma Phys. Control. Fusion. 1997, Vol. 39, P. 145.

36. A. С. Дмитриев, A. И. Панас, С. О. Старков. Динамический хаос как парадигма современных систем связи// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997, No. 10, СС. 426.

37. А. С. Дмитриев, А. И. Панас. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи// М.: Физматлит, 2002.

38. В. А. Бондаренко, А. О. Островский, Ю. В. Ткач. К нестационарной теории релятивистского карсинотрона с дополнительной обратной связью// ЖТФ. 1990, Т. 60, N0. 6, СС. 134-137.

39. В. Г. Анфииогентов, А. Е. Храмов. Исследование численной модели редитрона с модуляцией электронного потока и внешней управляемой обратной связью// Изв. РАН, сер. физич. 1999, Т. 63, N0. 12, СС. 2308-2315.

40. Ю. П. Блиох и др. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 1 (1993), N0. 1, 2, 34.

41. В. Г. Анфииогентов, Д. И. Трубецков.Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса// Радиотехника и электроника. 1992, Т. 37, С. 2251.

42. В. Г. Анфииогентов. Электронный поток в диодном промежутке и пространстве дрейфа (нелинейные явления, хаос и образование структур). Дисс. к.ф.-м.н. Саратов, 1997.

43. А. С. Рошаль. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979.

44. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, В. Г. Анфииогентов. Феноменологическая модель электронного потока с виртуальным катодом// Изв.

45. РАН, сер. физич. 1999, Т. 63, N0. 12, СС. 2308-2315.145

46. А. П. Привезещев, Г. П. Фоменко. Сложная динамика потока заряженных частиц с виртуальным катодом// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994, Т. 2, No. 5, С. 56.

47. Д.И. Трубецков, И.С. Ремпен, Н.М.Рыскин, В.Н. Н.М. Титов, А.Е. Храмов. Глава в монографии Генераторы и усилители СВЧ п/р И.В.Лебедева М.: Радиотехника, 2005.

48. А. Е. Храмов, И. С. Ремпен. Влияние обратной связи на сложную динамику в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотехника и электроника. 2002, Т. 47, No. 6, СС. 732-738.

49. Ю. А. Калинин, И. С. Ремпен, А. Е. Храмов. Влияние внешнего сигнала на колебания в электронном потоке с виртуальным катодом (эксперимент и численное исследование) // Изв. РАН, сер. физич. 2005, Т. 69, No. 12, СС. 1736-1740.

50. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, А. Е. Храмов. Исследование неустойчивых периодических пространственно-временных состояний в распределённой автоколебательной системе со сверхкритическим током // Изв. РАН, сер. физич. 2003, Т. 67, No. 12, СС. 1705-1708.

51. И. С. Ремпен, А. Е. Храмов. Управление режимами колебаний электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса // Изв. РАН, сер. физич. 2001, Т. 65, No. 12, СС. 1689-1694.

52. И. С. Ремпен, А. Е. Храмов. Стабилизация неустойчивых периодических состояний хаотической динамики в диоде Пирса // Изв. РАН, сер. физич. 2004, Т. 68, No. 12, СС. 1789-1793.

53. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, А. Е. Храмов Численное исследование управления хаотической динамикой в распределенной активной среде // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004, Т. 12, No. 1-2, СС. 51-79.

54. И. С. Ремпен, А. А. Короновский, А. Е. Храмов Управление хаосом в электронном пучке со сверхкритическим током в гидродинамической модели диода Пирса // Письма в ЖТФ. 2003, Т. 29 No. 23, СС. 67-74.

55. Д. И. Трубецков, И. С. Ремпен, Н. М. Рыскин, В. Н. Титов, А. Е. Храмов. Управление сложными колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники // Радиотехника. 2003, Т. 67, No. 2, СС. 36-44.

56. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen. Investigation of complex dynamics and regime control in Pierce diode with delay feedback // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2003, V. 6, No. 2, PP. 687695.

57. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen. Controlling chaos in spatially extended beam-plasma system by the continuous delayed feedback // Chaos. 2006, V. 16, No. 1, C. 013123.

58. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen, D. I. Trubetskov. Investigation of transient chaos in gyro-backward-wave-oscillator synchronized by the external signal // Izvestija vuzov. Prikladnaja Nelinejnaja Dinamika. 2002, V. 10, No. 3, PP. 97-108.

59. A. E. Hramov, I. S. Rempen. Investigation of the complex dynamics and regime control in Pierce diode with the delay feedback // Int. J.Electronics. 2004, V. 91, No. 1, PP. 1-12.

60. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, I. S. Rempen. Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves 11 Chaos. 2005, V. 15, No. 1, P. 013705.

61. A. E. Hramov, I. S. Rempen. Investigation of generation characteristic of high power microwave virtual cathode generator with input cavity // Proc. Int. Vacuum Electron Source Conf. (IVESC'2002). July 15-19 2002, Saratov, Russia, 2002, PP. 379-381.

62. И.О. Ремпен. Управление хаосом в распределенной электронно-волновой системе со сверхкритическим током //XI Всероссийская школа молодых ученых "Актуальные проблемы физики". 26-29 ноября 2006, Звенигород, Московская область, Россия, 2006, С. 59.

63. А.Е. Hramov, I.S. Rempen. Controlling chaos in distributed nonlinear active system by continuous delay feedback // 12th International School

64. Conference "Foundations and Advances in Non-linear Science". 27-30 September 2004, Minsk, Belarus. 2004, P. 68.

65. И.С. Ремпен, A.E. Храмов. Синхронизация систем на виртуальном катоде // Материалы XII зимней школы-семинара по СВЧ электронике и радиофизике. 28 января 3 февраля 2003. Саратов, 2003. СС. 22-23.

66. Ремпен И.СТрубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике. // Материалы VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем". 16-19 сентября 2002, Нижний Новгород. 2002. С. 132

67. С. Л. Гинзбург, В. Ф. Дьяченко, В. В. Палейчик, К. В. Ходатаев. Расчет характеристик излучения генератора на виртуальном катоде // ЖТФ. 1999, Т. 69, No. 2, СС. 87-92.

68. А. Е. Храмов. Хаос и образование структур в электронном потоке с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа // Радиотехника и электроника. 1999, Т. 44, No. 5, СС. 551-556.

69. В. Г. Анфиногентов. Взаимодействие когерентных структур и хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным катодом // Письма в ЖТФ. 1995, Т. 21, No. 8, С. 70.

70. А. П. Привезенцев, Г. П. Фоменко. Нелинейные когерентные структуры в колебаниях виртуального катода // Лекции по СВЧ электронике и радиофизике: 9-я зимняя школа-семинар, Саратов. Изд-во ГосУНЦ "Колледж". 1993, С. 130.

71. I.I. Magda, S.I. Najsteter, Yu.V. Prokopenko, Yu.P. Bliokh. Study of the frequency spectrum of a one-dimensional virtual-cathode microwave system // Sov. J. Plasma .Phys. 1992, V. 18, PP. 1191-1197.

72. V. D. Selemir A. E. Dubinov, К. E. Mikheev, A. V. Sudovtsev. Stochatron—an shf generator with a virtual cathode realizing the stochastic resonance mode // Russ. Phys. J. 1999, V. 42, No. 6, PP. 574580.

73. Flepp L. Reyl, C. et al. Control of nmr-laser chaos in high-dimensional embedding space // Phys. Rev. E. 1993, V. 47, P. 267.

74. Brun E., Finardi M., Badii R. et al. Progress in the analysis of experimental chaos through periodic orbits // Rev.of Modern Phys. 1994, V. 66, No. 4, P. 324.

75. H. Friedel, R. Grauer, H. K. Spatschek. Contolling chaotic ststes of a Pierce diode // Physics of plasmas. 1998, V. 5, No. 9, PP. 3187-3194.

76. G. Franceschini, S. Bose, E. Scholl Control of chaotic spatiotemporal spiking by time-delay autosynchronization // Phys. Rev. E. 1999, V. 60, No. 5, PP. 5426-5434.

77. H. H. Гадецкий, И. И. Магда, С. И. Найстетпер, Ю. В. Прокопенко, В. И. Чумаков. Генератор на сверхкритическом токе РЭП с управляемой обратной связью — виртод // Физика плазмы. 1993, Т. 19, No. 4, С. 530.

78. Генератор СВЧ широколосных колебаний // Заявка No 984513/19-09 от 31.07.68.

79. Н. Matsumoto, Н. Yokoyama, D. Summers. Computer simulations of the chaotic dynamics of the Pierce beam-plasma system // Phys.Plasmas. 1996, V. 3, No. 1, P. 177.

80. Д. И. Трубецков, A. E. Храмов. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков, В 2-х томах. М.: Физматлит, 2003.

81. J. R. Pierce. Limiting currents in electron beam in presence ions 11 J.Appl.Phys. 1944, V. 15, P. 721.

82. W. B. Bridges, С. K. Birdsall Space-charge instabilities in electron diodes. 1// J.Appl.Phys. 1961, V. 32, P. 2611.

83. H. В. Незлин. Динамика пучков в плазме. М.: Энергатомиздат, 1982.

84. П. Роуч. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

85. С. К. Birdsall, А. В. Langdon. Plasma physics, via computer simulation. NY: McGraw-Hill, 1985.

86. В. B. Godfrey. Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode // Phys. Fluids. 1987, V. 30, P. 1553.

87. S. Kuhn, A. Ender Oscillatory nonlinear flow and coherent structures in Pierce-type diodes // J.Appl.Phys. 1990, V. 68, P. 732.

88. F. Tokens. Detecting strange attractors in dynamical systems and turbulence. // Lectures Notes in Mathematics (D. Rand and L.-S. Young, eds.), N. Y.: Springler-Verlag, 1981, P. 366.

89. H. Yagata. Competition of the two unstable modes in the Rayleigh-Benard convection // Progr. Theor. Phys. 1987, V. 78, No. 282.

90. P. Grassberger, I. Procaccia Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D. 1983, V. 9, PP. 189-208.

91. S. Kuhn. Linear longitudional oscillations in collisionless plasma diodes with thin sheaths, part ii: Application to an extended pierce-type problem // Phys. Fluids. 1984, V. 27, P. 1834.

92. Храмов A.E. Анфиногентов В.Г. Неавтономные колебания электронного потока с виртуальным катодом в диодном промежутке // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997, V. 5, No. 6, PP. 61-75.

93. Ю. А. Калинин, Н. Н. Кузнецов Исследование шумоподобных колебаний ЛБВО с виртуальным катодом в области коллектора // Мате152риалы конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ". 20-24 марта 2001, Саратов, Россия.

94. Ю. А. Калинин, А. В. Муштаков, А. Е. Храмов. Исследование хаотических СВЧ-колебаний в коллекторе-рекуператоре лампы бегущей волны // Письма в ЖТФ. 2007, Т. 33, N0. 15, СС. 56-61.

95. Ю. И. Неймарк. Стохастические движения динамических систем. Динамика систем, Горький: Изд.-во ГГУ, 1974, С. 3.

96. А. В. Андрушкевич, А. А. Кипчатов, Л. В. Красичков, А. А. Короновский. Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний // Изв. вузов. Радиофизика. 1995, Т. XXXVIII, N0. И, СС. 1195-1203.

97. М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. М.: Наука, 1990.

98. М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, П. С. Стрелков. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. М.: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

99. Д. Н. Клочков, А. А. Рухадзе Электромагнитная теория излучатель-ной неустойчивости Пирса // Физика плазмы. 1997, Т. 23, N0. 7, СС. 646-649.

100. Н. М. Рыскин, Д. И. Трубецков. Нелинейные волны, серия "Современная теория колебаний и волн". М.: Физматлит, 2001.

101. Д. И. Трубецков, А. А. Короновский. Нелинейная динамика в действии. Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки. Саратов: изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002.

102. C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke. Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors // Phys. Rev. A. 1988, V. 37, No. 5, PP. 1711-1724.

103. D. P. Lathrop, E. J. Kostelich. Characterization of an experimental strange attractor by periodic orbits // Phys. Rev. A. 1989, V. 40, No. 7, PP. 4028-4031.

104. P. Schmelcher, F. K. Diakonos Detecting unstable periodic orbits of chaotic dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1997, V. 79, No. 25, PP. 4734-4736.

105. M. Dhamala, Y.-C. Lai. Unstable periodic orbits and the natural measure of nonhyperbolic chaotic saddles // Phys. Rev. E. 1999, V. 60, No. 5, PP. 6176-6179.

106. T. L. Carroll. Approximating chaotic time series through unstable periodic orbits // Phys. Rev. E. 1999, V. 59, No. 2, P. 1615.

107. J. A.C. Galias. Infinite hierarchies of nonlinearly dependent periodic orbits // Phys. Rev. E. 2001, V. 63, P. 016216.

108. F. J. Romeiras, C. Grebogi, E. Ott, W. P. Dayawansa. Controlling chaotic dynamical systems // Physica D. 1992, V. 58, PP. 165-192.

109. W. L. Ditto, S. N. Rauseo, M. L. Spano Experimental control of chaos 11 Phys. Rev. Lett. 1990, V. 65, No. 26, PP. 3211-3214.

110. E. R. Hunt. Stabilizing high-period orbits in a chaotic system: The diode resonator // Phys. Rev. Lett. 1991, V. 67, No. 15, PP. 1953-1955.

111. S. Bielawski, D. Derozier, P. Glorieux. Experimental characterization of unstable periodic orbits by controlling chaos // Phys. Rev. A. 1993, V. 47, No. 4, R2492-R2495.

112. T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J. A. Yorke Using small perturbations to control chaos // Nature. 1993, V. 363, P. 411.

113. M. Ding, W. Yang, V. In, W. L. Ditto. Controlling chaos in high dimensions: Theory and experiment // Phys. Rev. E. 1996, V. 53, No. 5, PP. 4334-4344.

114. K. Pyragas. Continuous control of chaos, by self-controlling feedback // Phys. Lett. A. 1992, V. 70, PP. 421-428.

115. Y. H. Chen, M. Y. Chou. Continuous feedback approach for controlling chaos // Phys. Rev. E. 1994, V. 50, No. 3, PP. 2331-2334.

116. D. J. Gauthier, D. W. Sukow, H. P. Concannon, J. E.S. Socolar. Stabilizing unstable periodic orbits in a fast diode resonator using contininuous time-delay autosynchronization // Phys. Rev. E. 1994, V 50, No. 3, PP. 2343-2346.

117. F.-J. Elmer Controlling friction // Phys. Rev. E. 1998, V. 57, No. 5, PP. 4903-4906.

118. R. Roy, T. W. Murphy, T. D. Maier, Z. Gills, E. R. Hunt. Dynamical control of a chaotic laser: Experimental stabilization of a globally coupled system // Phys. Rev. Lett. 1992, V. 68, No. 9, PP. 1259-1262.

119. R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F. T. Arecchi. Experimental control of chaos by means of weak parametric perturbations // Phys. Rev. E. 1994, V. 49, No. 4, R2528-R2531.

120. R. Meucci, M. Ciofini, R. Abbate. Suppressing chaos in lasers by negative feedback // Phys. Rev. E. 1996, V. 53, No. 6, R5537-R5540.

121. E. Tziperman, H. Scher, S. E. Zebiak, M. A. Cane. Controlling spatiotemporal chaos in a realistic El Nino prediction model // Phys. Rev. Lett. 1997, V. 79, No. 6, PP. 1034-1037.

122. W. Lu, D. Yu, R. G. Harrison. Control of patterns in spatiotemporal chaos in optics // Phys. Rev. Lett. 1996, V. 76, No. 18, PP. 3316-3319.

123. R. Martin, A. J. Scroggie, G.-L. Oppo, W. J. Firth. Stabilization, selection, and tracking of unstable patterns by fourier space techniques

124. Phys. Rev. Lett. 1996, V. 77, No. 19, PP. 4007-4010.155

125. H. Gang, Q. Zhilin. Controlling spatiotemporal chaos in coupled map lattice systems // Phys. Rev. Lett. 1994, V. 72, No. 1, PP. 68-71.

126. R. 0. Grigoriev, M. C. Cross, H. G. Schuster Pinning control of spatiotemporal chaos // Phys. Rev. Lett. 1997, V. 79, No. 15, PP. 27952798.

127. P. Parmananda, M. Hildebrand, M. Eiswirth Controlling turbulence in coupled map lattice systems using feedback techniques // Phys. Rev. E. 1997, V. 56, No. 1, PP. 239-244.

128. R. Montague, P. Colet. Nonlinear diffusion control of spatiotemporal chaos in the complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. E. 1997, V. 56, No. 4, PP. 4017-4024.

129. S. Boccaletti, J. Bragard, F. T. Arecchi Controlling and synchronizing space time chaos // Phys. Rev. E. 1999, V. 59, No. 6, PP. 6574-6578.

130. M. E. Bleich, D. Hochheiser, J. V. Moloney, J. E.S. Socolar Controlling extended systems with spatially filtered, time-delayed feedback // Phys. Rev. E. 1997, V. 55, No. 3, PP. 2119-2126.

131. D. Hochheiser, J. V. Moloney, J. Lega. Controlling optical turbulence // Phys. Rev. A. 1997, V. 55, No. 6, R4011-R4014.

132. G. Benettin, L. Galgani, J.-M. Strelcyn. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976, V. A14, P. 2338.

133. P. J. Aston, P. K. Marriot Waiting time paradox applied to transient times // Phys. Rev. E. 1998, V. 57, PP. 1181-1182.

134. N. Hadyn, J. Luevano, G. Mantica, S. Vaienti. Multifractal properties of return time statistics // Phys. Rev. Lett. 2002, V. 88, No. 22, P. 224502.

135. W. Just. Handbook of Chaos Control (H. G. Schuster, ed.), Weinheim: Wiley-VCH, 1999.

136. J. E.S. Socolar, D. W. Sukow, D. J. Gauthier. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems // Phys. Rev. E, 1994, V. 50, No. 4, PP. 3245-3248.

137. M. E. Bleich, J. E.S. Socolar. Stability of periodic orbits controlled by time-delay feedback // Phys. Lett. A, 1999, V. 210, PP. 87-94.

138. C. Simmendinger, D. Preiber, 0. G. Hess. Stabilization of chaotic spatiotemporal filamentation in large broad area lasers by spatially structured optical feedback // Optics Express. 1999, V. 5 No. 3, CC. 4854.

139. A. Kittel, J. Parisi, K. Pyragas. Delayed feedback control of chaos by self-adapted delay time // Phys. Lett. A, 1995, V. 198, PP. 433-436.

140. В. Г. Анфиногентов, A. E. Храмов. Сложное поведение электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сигналов в виртодных системах // Изв. РАН, сер. физич. 1997, Т. 61, No. 12, СС. 2391-2401.

141. М. Ю. Антошкип, В. П. Григорьев, Т. Р. Коваль, Н. И. Саблин. Численное исследование релятивистского электронного пучка с виртуальным катодами // Радиотехника и электроника. 1992, Т. 37, С. 1115.

142. А. М. Афонин, А. Н. Диденко, А. Ф. Пауткин, А. С. Рошаль. Нелинейная динамика виртуального катода в триодных системах // Радиотехника и электроника. 1992, Т. 37, No. 10, С. 1889.

143. V. D. Alyokhin, А. Е. Dubinov, V. D. Selemir, О. A. Shamro, N. V. Stepanov, V. Е. Vatrunin. Theoretical and experimental studies of virtual cathode microwave devices // IEEE Trans. Plasma Sci. 1994, V. 22, No. 5, P. 954.

144. А. И. Плютто и др. Ускорение ионов в электронных пучках // Письма в ЖЭТФ. 1967, Т. 6, No. 3, С. 540.

145. А. Е. Дубипов, И. Ю. Корнилова, В. Д. Селемир. Коллективное ускорение ионов в системах с виртуальным катодом // УФН. 2002, Т. 172, No. И, СС. 1225-1246.

146. Н. Sze, J. Benford, В. Harteneck. Dynamics of virtual cathode oscillator driven by a pinched diode // Phys. Fluids. 1986, V. 29, No. 11, P. 5875.

147. D. I. Trubetskov, E. S. Mchedlova, V. G. Anfinogentov, V. I. Ponomarenko, N. M. Ryskin. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave devices // Chaos. 1996, V. 6, No. 3, P. 358.

148. Найстетер С.И. Прокопенко Ю.В. Блиох Ю.П., Магда И.И. Исследование частотного спектра одномерной СВЧ системы на виртуальном катоде // Физика плазмы. 1992, Т. 18, С. 1191.

149. W. Woo, J. Benford, D. Fittinghoff, В. Harteneck, D. Price, R. Smith, H. Sze. Phase locking of high-power microwave oscillator // J.Appl.Phys. 1989, V. 65, No. 2, P. 861.

150. H. Sze, J. Benford, T. Young. A radially and axially extracted virtual cathode oscillator (vircator) //IEEE Trans. Plasma Sci. 1985, V. 15, No. 6, P. 592.

151. D. Price, H. Sze, D. Fittinghoff. Phase and frequency locking of a cavity vircator driven by a relativistic magnetron // J.Appl.Phys. 1989, V. 65, No. 12, P. 5185.

152. В. П. Григорьев и др. О возможности изменения частоты излучения внешним сигналом в СВЧ-триоде с виртуальном катодом // Письма в ЖТФ. 14 (1988), 2164.

153. М. Friedman, V. Serlin. Modulation of intense relativistic electron beams by an external microwave sources // Phys. Rev. Lett. 1985, V. 55, No. 26, P. 2860.

154. Е. Н. Егоров, Ю. А. Калинин, А. А. Короновский, А. Е. Храмов. Исследование зависимости мощности СВЧ-генерации низковольтного виркатора от управляющих параметров // ЖТФ. 2007, Т. 77, No. 10, СС. 139-142.

155. Ю. А. Калинин, А. Е. Храмов. Экспериментальное и теоретическое исследование влияния распределения электронов по скоростям на хаотические колебания в электронном потоке в режиме образования виртуального катода // ЖТФ. 2006, Т. 76, No. 5, СС. 25-34.

156. Ю. А. Калинин, А. Д. Есин. Методы и средства физического эксперимента в вакуумной СВЧ электронике. Саратов: Изд-во СГУ, 1991.

157. В. Н. Шевчик, Г. Н. Шведов, А. Н. Соболева. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1962.

158. Н. Sze, D. Price, В. Harteneck. Phase locking of two strongly coupled vircators // J.Appl.Phys. 1990, V. 7, No. 5, PP. 2278-2282.

159. K. J. Hendricks, R. Adler, R. C. Noggle. Experimental results of phase locking two virtual cathode oscillators // J.Appl.Phys. 1990, V. 68, No. 2, PP. 820-828.

160. В. Г. Маханьков Ю. Г. Полляк Об адекватности математического моделирования сложных систем упрощёнными системами (метод макрочастиц) // ЖТФ. 1976, Т. XLVI, No. 3, С. 439.

161. V. L. Granatstein, I. Alexeff. High power microwave sources. Artech House Microwave Library, 1987.

162. В. Г. Анфиногентов. Хаотические колебания в электронном потоке с виртуальным катодом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994, Т. 2, No. 5, С. 69.

163. А. П. Привезенцев, Г. П. Фоменко, Н. М. Филипенко Колебания электронного потока в плоском пролетном промежутке// ЖТФ. 1981, Т. 51, No. 6, С. 1161.

164. В. Н. Шевчик, Д. И. Трубецков. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Сов. радио, 1970.