Управляемое демпфирование колебаний высокодобротных механических резонаторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Дмитриев Артемий Владимирович

Управляемое демпфирование колебаний высокодобротных механических резонаторов

01.04.01 - Приборы и методы экспериментальной физики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискапие ученой степени кандидата физико-математических наук

4 о ОКТ 2014

005553895

Москва - 2014

005553895

Работа выполнена на кафедре физики колебаний физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

д.ф.-м.к., профессор Митрофанов Валерий Павлович Булычев Георгий Гаврилович,

д.ф.-м.п., профессор Московского государственного университета информационных технологий, радиотехники и электроники; Манукин Анатолий Борисович,

д.ф.-м.н., профессор, зав. лаб. института физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН

Защита состоится 11 декабря 2014 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета Д 501.001.66 на базе Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Физический факультет МГУ, ауд. СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке МГУ им. М. В. Ломоносова и на сайте phys.msu.ru/rus/research/disser/sovet-D501-001-66/.

Автореферат разослан «_»_2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.66,

■ / / /

к.ф.-м.н. ' /' " Я. Я Карта-лов

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования

Управляемое демпфирование высокодобротиых механических мод колебаний физических систем используется в различных областях физики и техники. В частности можно отметить управление добротностью рабочей механической моды кантилеверов в атомно-силовой микроскопии для повышения скорости сканирования в режиме амплитудной модуляции [1]; управление добротностью детектирующей моды микроэлектромеханических гироскопов для увеличения их чувствительности [2]; компенсацию температурной зависимости добротности и резонансной частоты в механических устройствах, работающих в широком диапазоне температур [3]; создание фонопных лазеров [4]. Особо можно выделить создание систем холодного демпфирования колебаний механических осцилляторов, не впосящих дополнительных шумов в демпфируемый осциллятор. Таким образом удастся значительно снизить эффективную шумовую температуру механического осциллятора. В качестве примеров можно привести демпфирование струнных мод колебаний подвесов пробных масс интерферометрических гравитационно-волновых детекторов [5]; холодное демпфирование колебаний зеркал лазерных интерферометров [6]; различные реализации холодного демпфирования колебаний механических осцилляторов в микро- и наноалсктромеханических системах (МЭМС и НЭМС) для их охлаждения вплоть до состояний, близких к основному квантовому [7, 8] и приготовления сжатых состояний МЭМС-осцилляторов [9|.

В основе принципа работы существующих систем управляемого демпфирования, как правило, лежит силовое воздействие на демпфируемый осциллятор на его резонансной частоте со стороны некоторой демпфирующей подсистемы. Это воздействие эквивалентно внесению в осциллятор дополнительной жесткости и дополнительного затухания, величины которых зависят от амплитуды и фазы демпфирующей силы. Такие системы можно разделить на две группы:

1. Системы, основанные на использовании цепей обратных связей. В них сигнал сепсора, регистрирующего колебания осциллятора, подается на актюатор силового воздействия через цепь обратной связи (она может быть пассивной или активной), в которой выполняется соответствующее преобразование сигнала.

2. Системы, принцип действия которых основан на обратном динамическом влиянии сенсора на демпфируемый осциллятор. В результате такого воздействия в осциллятор вносятся дополнительные жесткость и затухание, знак и величина которых зависят от

параметров сенсора и режима его работы.

С точки зрения практической реализации основное различие между системами первого и второго типов заключается в том, что в первых сенсор и актюатор силового воздействия, вообще говоря, разделены физически, и механизмы их взаимодействия с демпфируемым осциллятором могут иметь различную физическую природу. В системах же второго типа для измерения динамических характеристик и оказания силового воздействия на демпфируемый осциллятор используется одно и то же взаимодействие, сенсор и актюатор в таких системах совмещены.

Среди других известных реализаций систем управляемого демпфирования можно отметить непосредственное измепение величины угла потерь в материале упругого элемента демпфируемого осциллятора, — например, с помощью лазерной накачки гетероперехода в полупроводниковых пьезоэлектрических кантилеверах [10].

В данной работе предложены, проанализированы и реализованы схемы управляемого демпфирования колебаний в двух различных высокодобротных мехапических системах. Цель диссертационной работы

1. Разработка и экспериментальная реализация системы управляемого демпфирования па основе обратной связи высокодобротных струнных мод колебаний кварцевых подвесов пробпых масс лазерных ннтерферометрических гравитационпо-волновых детекторов.

2. Разработка и экспериментальная реализация системы демпфирования колебаний кремниевых дисковых резонаторов, основанной на обратном динамическом влиянии емкости ного сенсора, регистрирующего колебания.

Задачи диссертационной работы

1. Разработка сенсора и актюатора для системы управляемого демпфирования струнных мод колебаний кварцевых подвесов и экспериментальная реализация такой системы.

2. Исследование акустических мод колебаний с большими значениями углового индекса в кремниевых дисковых резонаторах.

3. Разработка и экспериментальная реализация схемы управляемого демпфирования из-гибных мод колебаний в кремниевых дисковых резонаторах, основанной па обратном влиянии емкостного сенсора с увеличенной эффективностью преобразования механических колебаний в электрический сигнал.

Практическая значимость

Ключевым элементом подвесов пробных масс интерферометрических гравитационно-волповых детекторов второго поколения (например, Advanced LIGO) являются нити из плавленого кварца. Малые собственные потери в плавленом кварце и возможность сварки кварцевой пробной массы с нитями подвеса в монолитную конструкцию позволяют добиться крайне малой величины механического затухания в подвесах и, в соответствии с флуктуационно-дис-сипационной теоремой, низкого уровня их теплового шума [11]. Однако большое (песколько суток) время затухания колебаний в струпных модах колебаний этих нитей, а также возможный переход системы в режим параметрической нестабильности при большой мощности оптической накачки делают необходимым демпфирование этих мод колебаний. Применение традиционных схем демпфирования для такого специфического объекта, как нить из плавленого кварца, затруднено ввиду трудности осуществления эффективного бесконтактного взаимодействия тонкой оптически прозрачной диэлектрической нити с электрической, оптической или магнитной демпфирующей системой. Таким образом, для осуществления эффективного демпфирования струнных мод колебаний таких нитей требуется разработка систем демпфирования со специальными сенсорами и актюаторами.

Другая система демпфирования, разработанная и экспериментально реализованная в данной работе, предназначена для демпфирования колебаний в дисковых резонаторах, изготовленных из монокристаллического кремния. Детальное исследование структуры мод колебаний дисковых резонаторов с большими значениями углового индекса и потерь в таких модах, также составляющее часть данной работы, было выполпено в рамках исследований по созданию иптерферометрических гравитациоппо-волновых детекторов третьего поколения. В настоящий момент наиболее перспективным материалом для изготовления пробных масс и их подвесов в таких детекторах считается мопокристаллический кремний [12], при этом предполагается, что подвесы будут представлять собой тонкие полоски из монокристаллического кремния. Для проектирования таких подвесов необходимы исследования механической диссипации в тонких кремниевых полосках. Для этих исследований используются моды колебаний дисковых резонаторов с большими значениями углового индекса, поскольку в таких модах колебания локализованы в узком слое, прилегающем к боковой поверхности диска, что позволяет уменьшить влияпие потерь в креплении резонатора, если опо осуществляется в центре диска. Кроме того, акустические моды, образованные поверхностными акустическими волнами, и моды шепчущей галереи колебаний дисковых резонаторов с большими значениями углового индекса имеют перспективы применения в телекоммуникациях (в качестве фильтров), как био- и химические сепсоры вследствие потенциально высоких значений

добротности таких мод. Научная новизна

1. Впервые разработана и экспериментально реализована система управляемого демпфирования струнных мод колебаний кварцевой нити с использованием оптического сенсора и электростатического актюатора, работающего на основе взаимодействия управляющего электрического поля с локально нанесенным на поверхность нити электрическим зарядом. Продемонстрировано управление добротностью струнных мод колебаний нити из плавленого кварца (макета подвеса пробной массы гравитационно-волнового детектора) при помощи этой системы в диапазоне от 1,2 х 107 до 2 х 104.

2. Впервые теоретически изучена структура мод колебаний с большими значениями углового индекса в акустических дисковых резонаторах со сравнимыми величинами толщины и диаметра, получены дисперсионные кривые и распределения амплитуд смещения. Результаты подтверждены экспериментально для мод квазирэлеевского, квазилэмбов-ского и квазиклинового типов, а также мод шепчущей галереи.

3. Впервые предложена, проанализирована и экспериментально реализована трехмодовая система демпфирования механических колебаний, в которой механический осциллятор взаимодействует с двумя связанными радиочастотными электрическими колебательными контурами. Осуществлено демпфирование изгибных мод колебаний дискового резонатора из монокристаллического кремния с использованием этой системы.

Положения, выносимые на защиту

1. Использование специально разработанного оптического сенсора и электростатического актюатора, осуществляющего силовое воздействие на электрически заряженный участок поверхности кварцевой нити подвеса пробной массы гравитационно-волнового детектора, позволяет осуществить управляемое демпфирование струнной моды колебаний этой нити в диапазоне значений добротности от 1,2 х 107 до 2 х 104.

2. Для нанесения электрического заряда па поверхность кварцевой нити можпо использовать различные методы: контактную электризацию, электронную бомбардировку, перераспределение электрического заряда в электростатическом поле при нагреве нити. Наибольшая плотность заряда (7 х Ю-11 Кл/см для нити диаметром кг 240 мкм) достигается при использовании последнего метода.

3. Использование аналитического метода решения уравпепия движения для мод колебаний свободных дисковых резонаторов с большими значениями углового индекса, в котором часть граничных условий удовлетворяется точно, а остальные удовлетворяются приближенно с точностью до некоторого члена разложения решения по набору базисных функций, позволяет рассчитывает собственные частоты этих мод колебаний с точностью 1%.

4. Добротность изгибных мод колебаний, возбуждаемых в дисковом резонаторе, представляющем собой стандартную пластипу из монокристаллического кремния с двусторонней полировкой поверхности, закрепленную в центре, ограничена потерями в креплении для мод колебаний с малым угловым индексом к, термоупругими потерями в промежуточной области значений к и поверхностными потерями для больших значений к.

5. Система демпфирования изгибных мод колебаний дисковых резонаторов из монокристаллического кремния с использованием параметрического емкостного преобразователя и двух связанных радиочастотных электрических колебательных контуров позволяет значительно усилить эффективность взаимодействия между механическим осциллятором и электрической подсистемой.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается многократной их проверкой с использованием современной аппаратуры и экспериментальной техники, сравнением с теоретическими расчетами и результатами численного моделирования, а также их соответствием результатам, полученным другими исследователями. Апробация работы

Результаты работы были представлены на конференциях:

• <13-я российская гравитационная конференция — международная копфсрспция ио гравитации, космологии и астрофизике» (RUSGRAV-13), Москва, 2008 г.;

• «XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», Москва, 2009 г.;

• LSC-Virgo March 2009 Meeting, Caltech, Аркадия, США, 2009 г.;

• 445th Wilhelm and Else Heraeus Seminar: Quantum Measurement and Metrology with Solid State Devices, Бад Хоннеф, Германия, 2009 г.;

• LSC-Virgo September 2010 Meeting, Краков, Польша, 2010 г.;

• IX Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем»

(ФММС-9), Воронеж, 2012 г.;

• LSC-Vrgo September 2013 meeting, Ганновер, Германия, 2013 г.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 4 статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК [Al, А2, A3, А4], а также в материалах и сборниках тезисов международных конференций [А5, А6, А7, А8, А9, А10].

Личный вклад автора

Все представленные в диссертационной работе оригинальные результаты получены лично автором. Постановка задач, обработка и анализ результатов, подготовка публикаций по теме работы осуществлялась совместно с соавторами, причем вклад автора был определяющим.

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список опубликованных работ автора и список цитированной литературы. Текст диссертации изложен на 127 страницах, включающих 42 рисунка. Список цитированной литературы включает 87 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов.

Первая глава представляет собой обзор литературы по теме диссертации. В ней дано общее описание и классификация основных типов систем управляемого демпфирования колебаний механических осцилляторов, предложенных в литературе ранее; приведены примеры их практических реализаций. Рассмотрены особенности задач, решение которых представляет собой оригинальную часть диссертации, изложенную в последующих главах: управляемое демпфирование струнных мод колебаний подвесов пробных масс лазерных интерферо-метрических гравитационно-волновых детекторов и управляемое демпфирование колебаний механических резонаторов — кремниевых дисковых резонаторов — в связанных электромеханических системах.

Во второй главе предложена, проанализирована и экспериментально реализована на

(а) (б)

Рис. 1. Макет кварцевого подвеса пробной массы (а) и схема его подвешивания (б).

макете схема демпфирования струйных мод колебаний подвесов пробных масс интерферо-метрических гравитационно-волновых детекторов, изготовленных из плавленого кварца, в которой для регистрации колебаний кварцевой нити использовался специально разработанный оптический сенсор, а силовое воздействие на нить осуществлялось посредством электростатического взаимодействия электродов актюатора и локально нанесенного на участок нити поверхностного электрического заряда.

Экспериментальная реализация системы демпфирования производилась на макете иод-веса пробной массы гравитационной антенны — монолитной конструкции, включавшей в себя кварцевую нить диаметром около 240 мкм и длиной 15 см, изготовленную методом вытягивания в пламени кислородной горелки. Один из концов кварцевой нити был приварен к прямоугольной кварцевой пластинке размерами (40 х 8 х 2) мм3. Кварцевая пластинка и противоположный конец нити были приварены к массивному кварцевому основанию в натянутом состоянии, как показано на рис. 1(а). Данная конструкция подвешивалась внутри вакуумной камеры к массивному основанию с помощью восьми петель из шелковых нитей ( 1(6)). Резонансная частота основной моды колебаний кварцевой нити составила 457 Гц, её добротность — 1,2 х 107 при остаточном давлении в вакуумной камере около 10~6 торр. Спектр струнных мод колебаний нити был неэквидистантным вследствие утолщения нити от центра к ее концам, что предотвращало возбуждение мод колебаний высших порядков вследствие нелинейного взаимодействия между модами.

Резонансная частота основной изгибной моды колебаний кварцевой пластинки (/р = 779 Гц) с собственной добротностью <2 = 1,0 х 10е была близка к резонансной частоте второй струнной моды колебаний кварцевой нити (/„ = 910 Гц), что позволило осуществить управляемое демпфирование второй струнной моды колебаний нити через промежуточный осциллятор — изгибвую моду пластиики. Коэффициент отношения вносимых в эти моды колебаний

Рис. 2. Блок-схема экспериментальной установки.

факторов механических потерь составил а = Дф-уД«?-1 - 0,03. Для демпфирования из-гибной моды колебаний пластинки при этом использовалось обратное влияние емкостного параметрического преобразователя — гребенчатых электродов. При помощи этой схемы удалось управлять добротностью второй струнной моды кварцевой нити лишь в относительно узком диапазоне (0,8...1,3) х 107.

Для осуществления управляемого демпфирования колебаний кварцевой нити в широком диапазоне потребовалась разработка специальных сенсора и актюатора, осуществляющих взаимодействие непосредственно с демпфируемой струнной модой колебаний. Блок-схема экспериментальной установки приведена на рис. 2. Для детектирования колебаний использовался оптический сенсор: непрерывное излучение Не-Ие-лазера через световод передавалось в вакуумную камеру, фокусировалось и подавалось на кварцевую нить так, как показано на рис. 3(а). Дважды преломляясь на поверхностях нити (которую в данном случае можно рассматривать как цилиндрическую линзу), луч фокусировался на поверхности секционированного фотодетектора. Сигнал с фотодетектора усиливался с помощью трансим-педансного усилителя. Калибровка сенсора производилась с помощью оптического микроскопа.

Цепь обратной связи включала в себя узкополосный усилитель (полоса 6 Гц), настроенный на резонансную частоту кварцевой нити, и фазовращатель с регулируемой величиной сдвига фазы (см. рис. 2).

Линза

Луч па.

Нить

-О ЧМ О

Электроды

х

Детектор смещения

(а)

(6)

Рис. 3. Схема оптического сенсора (а) и электростатического актгоатора (б).

Для осуществления силового воздействия на кварцевую нить использовалась пара параллельных медпых электродов, закрепленных на кварцевом блоке таким образом, что нить проходила между ними параллельно их поверхностям (рис. 3(6)). На поверхность участка нити, непосредственно расположенного между электродами, наносился электрический заряд. Время его релаксации на поверхности нити в вакууме может превышать 3 х 107 с [13]. Электрическое поле, действующее на заряд, создавалось путем приложения напряжения с выхода цепи обратной связи к электродам актюатора.

Электрическое заряжение участка поверхности нити осуществлялось различными способами: контактной электризацией при помощи специального механизма, размещенного внутри вакуумной камеры и управляемого оператором; посредством облучения нити электронным пучком с различной энергией; посредством перераспределения заряда в кварцевой нити во внешнем электрическом поле при ее нагревании. Последним способом достигнуто максимальное значение величины электрического заряда, нанесенного на участок нити, в условиях эксперимента: линейная плотность нанесенного заряда составила 2,6 х 10_1: Кл/см.

Начальное возбуждение колебаний основной струнной моды колебаний кварцевой нити осуществлялось посредством той же цепи обратной связи путем внесения в нее дополнительного фазового сдвига, равного -к. После выключения дополнительного фазового сдвига производилось измерение зависимости амплитуды колебаний кварцевой нити от времени при различных величинах коэффициента усиления в цепи обратной связи (рис. 4(а)). Величина

о

1000 2000 3000 Время, с

X

ю

10

100

(а)

Коэффициент усиления в цепи обратной связи

(б)

Рис. 4. Затухание амплитуды колебаний нити при различных значениях (указаны рядом с кривыми) коэффициента усиления в цепи обратной связи (а) и вносимый фактор механических потерь в зависимости от коэффициента усиления (б).

вносимого в нить дополнительного фактора механических потерь Д<Э-1 вычислялось как разность факторов потерь для случаев включенной и выключенной цепи обратной связи (рис. 4(6)). Таким образом, было продемонстрировано управление добротностью струнной моды колебаний кварцевой нити подвеса в диапазоне от 2 х 104 до 1,2 х 107.

Результаты второй главы опубликованы в работе [А1].

Третья глава содержит исследование структуры мод механических колебаний в свободных дисковых резонаторах. Основное внимание уделено модам колебаний свободно™ однородного дискового резонатора с отличными от нуля значениями углового (азимутального) индекса к — числа узловых диаметров. При расчетах учитывалась толщина дискового резонатора.

Уравнение для вектора смещения и в изотропной упругой среде имеет вид

где А и ¡л — коэффициенты Ламэ, р — плотность материала. Граничные условия для свободного диска математически формулируются как равенство нулю соответствующих компонент тензора напряжений на основаниях и боковой поверхности диска. Для расчета резонансных частот и распределений компонент вектора смещения использован аналитический метод, который заключается в построении решений в виде линейных комбинаций трех последовательностей решений, в точности удовлетворяющих уравнению движения и трем из

ри = (А + 2/1)'V (V • и) - /Л7 х (V х и),

шести граничных условий. Оставшиеся три граничных условия затем удовлетворяются наложением требования ортогональности соответствующих компонент тензора напряжения на границах диска некоторым полным базисным наборам функций на этих границах. В результате получается одпородная система линейных алгебраических урависпий, решение которой дает значения собственных частот и распределения компонент вектора смещения в диске. Точность полученного решения зависит от числа функций базисного набора, взятых при наложении требования ортогональности (таким образом, полученные решения являются аналитическими, но не точпыми — точное решение данной задачи не выражается в элементарных функциях).

Указанным методом были построены последовательности резонансных частот мод колебаний различного вида — квазирэлеевских, квазиклиновых, квазилэмбовских, мод шепчущей галереи — и проанализирована форма колебаний в этих модах, показана связь решений с известными для предельных случаев точными решениями.

Результаты этих расчетов были подтверждены нами экспериментально. В качестве дискового резонатора был использован круговой цилиндр толщиной 16 мм и диаметром 2а = 180,5 мм, изготовленный из дюралюминия Д16, закрепленный в центре па стержне диаметром 20 мм. Поскольку колебания в модах с большими значениями углового индекса в основном сосредоточены в областях, близких к боковой поверхности диска, такое закрепление вносит минимальные дополнительные потери и практически не искажает форму мод колебаний резонатора по сравнению с полностью свободным случаем. Регистрация колебаний осуществлялась посредством бесконтактного параметрического преобразователя с использованием емкостного сенсора, работавшего на склопе резонансной кривой. Чувствительность сенсора составляла около 0.1 нм/уГц- Изучение распределения амплитуды колебаний осуществлялось с помощью перемещения электрода сенсора вдоль поверхности дискового резонатора.

На рис. 5 точками с заливкой отмечены безразмерные (отнесенпые к скорости распространения поперечных волн) скорости волн, соответствующих различным модам колебаний дискового резонатора в зависимости от значения углового индекса к, полученные в эксперименте. Точками без заливки на том же рисунке отмечены результаты теоретического расчета. Сплошными кривыми отмечена область, доступная для измерений в нашей установке. Отличие экспериментальных значений резонансных частот диска от расчетных не превышало 1%. Добротность всех изученных мод колебаний, измеренная в вакууме при остаточном давлении порядка 1СГ4 торр, лежала в диапазоне (2...3) х 105, что типично для дюралюминиевых механических резонаторов в ультразвуковом диапазоне [14].

> II

ле

а

а"

Расчет Эксперимент

□ Квазиклиновые моды ■

О Квазилэмбовские моды • Д Моды шепчущей галереи А V Изгнбные моды V

ггп

□ □

▼ ▼ ▼

■у т

25 30

Угловой индекс к

Рис. 5. Расчетные (символы с заливкой) и полученные в эксперименте (символы без заливки) приведенные скорости волн, соответствующих модам колебаний дюралюминиевого диска с отношением толщины к диаметру к = 0.08864. Тонкими сплошными линиями ограничена область, доступная для измерений в нашей экспериментальной установке.

В отдельном разделе приведено описание распределения амплитуд компонент вектора смещения в различных семействах мод колебаний.

Результаты этой работы опубликованы в [А2].

Среди изученных мод колебаний наименьшее значение эффективной массы имеют из-гибные моды. Поэтому в качестве демпфируемого объекта для системы демпфирования были выбраны изгибные моды колебаний дисковых резонаторов — тонких пластин из монокристаллического кремния, что потребовало дополнительного их изучения — в частности, были исследованы собственные потери в таких модах колебаний при комнатной температуре. Кроме того, изучение этих мод связано с созданием подвесов пробных масс для гравитационно-волновых детекторов третьего поколения.

Были экспериментально исследованы изгибные моды колебаний в стандартных пластинах монокристаллического кремния n-типа с ориентацией (111) с удельным электрическим сопротивлением 0,02 Омхсм диаметром 76.2 мм и толщиной 0.34 мм. Исследуемая пластина зажималась в центре между двумя фторопластовыми шайбами диаметром 10 мм. Для регистрации колебаний использовался емкостный сенсор. Измерения проводились в вакууме при остаточном давлении около Ю-4 торр.

Зависимость измеренной величины фактора механических потерь Q-1 изгибных мод колебаний диска с радиальным индексом (числом узловых окружностей), равным нулю, от

О 20 40 60 80 100

Резонансная частота, кГц

Рис. 6. Зависимость фактора механических потерь в модах колебаний диска от резонансной частоты (точки). Расчетная кривая термоупругих потерь в пластине (штриховая линия).

Рис. 7. Трехмодовая система, образованная механическим осциллятором и двумя связанными радиочастотными электрическими контурами.

резонансной частоты приведена на рис. 6 (точки). В средней части диапазона частот, в котором производились измерения, уровень механических потерь близок к уровню термоупругих потерь для данной последовательности мод колебаний диска, рассчитанному в соответствии с модификацией [15] модели термоупругих потерь Лифшица-Роукса [16], в которой учитывается форма мод колебаний диска и приведенному на том же рисунке (штриховая кривая). С уменьшением углового индекса (и резонансной частоты) увеличивается эффективная глубина проникновения колебаний от боковой поверхности диска, имеющая порядок величины длины стоячей волны, соответствующей данной моде колебаний; при этом возрастают потери в креплении резонатора, что обуславливает возрастание фактора механических потерь в области низких частот. В области высоких резонансных частот наблюдается частотно-независимый уровень потерь, соответствующий типичному уровню поверхностных потерь в кремниевых резонаторах аналогичного размера [17].

Также были получены резонансные кривые при увеличении амплитуды колебаний в рассматриваемых модах, зависящие от амплитуды вследствие геометрической нелинейности. Измеренная величина коэффициента кубической нелинейности для моды колебаний с к — 19 составила 3 х 108 м~2.

Результаты этой работы опубликованы в [АЗ].

В четвертой главе предложена система управляемого демпфирования изгибных мод колебаний дисковых резонаторов — на примере пластин из монокристаллического кремния, описанных в предыдущей главе. В основе предлагаемой системы лежит параметрическое вза-г. содействие между механическим осциллятором с резонансной частотой П,г> и системой из

катушки индуктивности

Емкостный сенсор

Переменный конденсатор

■f Актюатор

Высоковольтный усилитель:

Амплитудный детектор

Синтезатор „ ■

УЗКОПОЛОСНЫЙ

нановольтметр

Вакуумная камера

j Радиочастотный;! генератор

Рис. 8. Экспериментальная реализация схемы демпфирования колебаний кремниевого дискового резонатора.

двух индуктивно связанных между собой электрических радиочастотных колебательных контуров, осуществляемое посредством емкостного преобразователя. Система представлена на рис. 7. Предполагается, что система работает в режиме разрешенной боковой полосы (resolved sideband), т.е. частота механических колебаний мвого больше полосы пропускания каждого из контуров. От обычных одноконтурных схем демпфирования с разрешенной боковой полосой данную схему отличает наличие второго резонансного контура. Если парциальные частоты радиочастотных контуров равны, а разность нормальных частот равна механической частоте, т]г - щ = íím, то при подаче на первый контур переменного напряжения с частотой 7/1 происходит резонансное усиление как антистоксовой компоненты электрических колебаний на частоте tíi + fim = r¡2, так и колебаний на рабочей частоте щ. Решение системы уравнений, описывающих поведение этой схемы, получено приближенно методом разложения по малому параметру xa/d (гц — амплитуда механических колебаний, d —расстояние между электродами емкостного преобразователя).

Описанная схема была реализована экспериментально. Блок-схема экспериментальной установки приведена на рис. 8. В качестве демпфируемой моды использовалась изгибная мода колебаний с угловым индексом к = 21 дискового резонатора из монокристаллического кремния, аналогичного описанному в первой части настоящей главы. Резонансная частота

этой моды 46478 Гц, собственная добротность 1,0 х 105, эффективная масса 2,6 х 10~4 кг.

Емкостный преобразователь включал в себя гребенчатый электрод с пространственным периодом 10 мм, близким к длине стоячей волны, соответствующей возбуждаемой моде (»11 мм), и дополнительный заземленный электрод. Эти электроды, включенные параллельно с катушкой индуктивности и паразитной емкостью, составляли основной электрический колебательный контур с резонансной частотой около 2,86 МГц. Эффективное расстояние между пластинами емкостного преобразователя рассчитывалось с помощью конечпоэлемент-ного моделирования и составляло около 28 мкм.

Второй (вспомогатачьный) колебательный контур состоял из катушки индуктивности и переменного конденсатора, использовавшегося для управления соотношением парциальных частот. Величина индуктивной связи между контурами регулировалась посредством изменения относительного положения катушек индуктивности. Добротность обоих контуров равнялась ~ 390.

Регистрация колебаний осуществлялось с помощью диодного детектора, частично включенного в основной контур. Измерения проводились в вакууме при остаточном давлении около Ю-4 торр.

Рис. 9. (а): Расчетная зависимость вносимого фактора механических потерь Дф^1 для изгибной моды кремниевого дискового резонатора от безразмерной расстройки (а> —*/)/£2тп (сплошная кривая). Экспериментальные значения вносимого фактора механических потерь (точки), (б): Зависимость ДС?"1 от квадрата амплитуды напряжения на индуктивности 1,1, рассчитанная (сплошная кривая) и полученная в эксперименте (точки) при оптимальной настройке трехмодовой системы. Штриховой линией обозначена линейная аппроксимация экспериментальных данных.

о

-а* -14 -1.0 -о,5 од cj

Расстройка Ito-vVа

(а)

1Д Г 5 2,0

(б)

Теоретический анализ показывает, что для идентичных радиочастотных контуров с ' ".пищальными частотами vx = i/2 = v, добротностями Qel = Qe2 = Q« и коэффициентами

связи ki = к2 = к. вносимое в механический осциллятор дополнительное затухание максимально, если разность нормальных частот электрических коптуров равна механической частоте, ф — i) 1 ~ ки — ilm. На рис. 9(a) представлена расчетная кривая вносимого фактора мехапических потерь в зависимости от безразмерной расстройки (и—u)/Um, где и — частота ВЧ-генератора. Точками отмечены экспериментально полученные значения.

Максимальная величина вносимого затухания, которая была получепа в эксперименте, ограничена перегрузкой сенсора при увеличении амплитуды ВЧ-папряжения вследствие возбуждения низкочастотных изгибных мод с мепьшим количеством узловых диаметров. В эксперименте наибольшая величина вносимого в осциллятор фактора механических потерь составила 7,6 х Ю-6.

Максимальное положительное зпачение вносимого в осциллятор фактора механических потерь достигается в случае, когда частота ВЧ-генератора равна нижней из нормальных частот связанных электрических контуров. В этом случае вносимый фактор потерь равен

ДО"1 ~ Wm ~ 32d?m№m

и в (ilmQe)2/(2и2) раз превосходит максимальное значепие для классической схемы с одним радиочастотным контуром. Здесь 5 — площадь пластины емкостного преобразователя, коэффициент /3 равен отношению рабочей емкости преобразователя к полной емкости первого электрического контура. Если частота ВЧ-генератора равна верхней из пормальпых частот системы контуров, вносимый фактор потерь принимает минимальное отрицательное значение, что соответствует увеличению добротности механического осциллятора. На рис. 9(6) показана зависимость абсолютной величины впосимого фактора мехапических потерь для этих двух случаев от квадрата амплитуды ВЧ-напряженпя на катушках индуктивности = Uim ~ UoQe/2. Аналогичная зависимость, рассчитанная по формулам теоретической части, также приведена на рис. 9(6) (сплошная кривая). Можно отметить хорошее соответствие результатов эксперимента и расчетных данных. Результаты четвертой главы опубликованы в работе [А4].

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации:

1. Экснериментально реализована система управляемого демпфирования колебаний кварцевой нити, в которой использовались специально разработаппые оптический сенсор и электростатический актюатор, осуществлявший силовое воздействие на электрически заряженный участок поверхности нити. Использование этой системы позволяет управлять добротностью струнных мод колебаний нити из плавленого кварца (макета подвеса пробной массы гравитационно-волнового детектора) в диапазоне от 2 х 104 до

1,2 х 107. Также проанализирована и экспериментально реализована система демпфирования струнных мод колебаний кварцевой нити с использованием промежуточного осциллятора — изгибной моды колебаний кварцевой пластины с резонансной частотой, близкой к резонансной частоте демпфируемой моды колебаний кварцевой нити. Показано, что эта система имеет меньшую эффективность по сравнению с системой демпфирования, включающей оптический сенсор и электростатический актюатор.

2. Экспериментально реализованы различные методы нанесения на участок кварцевой нити поверхностного электрического заряда: посредством контактной электризации, электронной бомбардировки, а также путем перераспределения электрического заряда в электростатическом поле при нагреве нити. Максимальная линейная плотность нанесенного электрического заряда была получена последним из указанных методов, ее величина составила 2,6 х 10 12 Кл/см для нити диаметром ~ 240 мкм.

3. Получено приближенное аналитическое решение уравнения движения и проанализирована структура различных мод колебаний с большими значениями углового индекса в свободных акустических дисковых резонаторах, рассчитаны их собственные частоты и пространственные распределения амплитуд вектора смещения. Полученные результаты подтверждены экспериментально для квазирэлеевских, квазилэмбовских и квазиклиновых мод колебаний, а также мод шепчущей галереи в дисковом резонаторе из дюралюминия.

4. Экспериментально получен спектр изгибных мод колебаний для значений углового индекса 2 < к < 30 в дисковом резонаторе из монокристаллического кремния. Показано, что для использовавшегося в экспериментах кремниевого дискового резонатора в диапазоне значений к < 6 основной вклад в фактор механических потерь впосят потери в креплении резонатора, при 6 < к < 26 преобладающими становятся термоупругие потери, а при к > 26 — поверхностные потери. Показано, что при увеличении амплитуды колебаний в этих модах преобладает геометрическая нелинейность, измеренная величина коэффициента нелинейности для моды колебаний с к = 19 составила 3 х 108 м-2.

5. Предложена, теоретически проанализирована и экспериментально реализована схема демпфирования изгибных мод колебаний дисковых резонаторов из монокристаллического кремния с использованием параметрического емкостного преобразователя с двумя радиочастотными электрическими колебательными контурами. Применение этой схемы позволило значительно усилить взаимодействие между механическими и элек-

трическими модами колебаний. Полученные экспериментальные данные хорошо согласуются с результатами расчетов.

Список публикаций

[Al] А. V. Dmilricv, S.D. Mescheriakov, K.V. Tohmakov, V. P. Mitrofanov. Controllable damping of high-Q violin modes in fused silica suspension fibers // Classical and Quantum Gravity. - 2010. - Vol. 27, no. 2. - P. 025009.

[A2] A. V. Dmitriev, D.S. Gritsenko, V.P. Mitrofanov. Surface vibrational modes in disk-shaped resonators // Ultrasonics. — 2014. — Vol. 54, no. 3. — Pp. 905-913.

[A3] A.V. Dmitriev, D.S. Gritsenko, V.P. Mitrofanov. Non-axisymmetric flexural vibrations of free-edge circular silicon wafers // Physics Letters A.— 2014.— Vol. 378, no. 9,— Pp. 673-676.

[A4] A.V. Dmitriev, V.P. Mitrofanov. Enhanced interaction between a mechanical oscillator and two coupled resonant electrical circuits // Review of Scientific Instruments. — 2014. — Vol. 85, no. 8. — P. 085005.

[A5] A.B. Дмитриев. Холодное демпфирование струнных мод кварцевых подвесов пробных масс гравитационно-волновых детекторов // 13-я российская гравитационная конференция — международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике: тезисы докладов. - Москва: РУДН, 2008. — С. 146-147.

[А6] А.В. Дмитриев. Управляемое демпфирование высокодобротных струнных кварцевых осцилляторов // Материалы докладов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». — Москва: МАКС Пресс, 2009.

[А7] А.V. Dmitriev, S.D. Mescheryakov, K.V. Tokmakov, V.P. Mitrofanov. Variant of violin mode damping system for fused silica fiber suspension. — Документ LIGO G0900183-v2. — 2009. — http://dcc.ligo.org.

[A8] A.V. Dmitriev. Damping of high-Q violin modes in fused silica suspension fibers.— Документ LIGO G1000875-vl. - 2010. — http://dcc.ligo.org.

[A9] A.B. Дмитриев, Д. С. Гриценко, В.П. Митрофанов. Поверхностные моды упругих колебаний в тонких дисках // Физико-математическое моделирование систем: материалы IX Междунар. семинара. Часть 1.- Воронеж: ФГБОУ ВПО ВГТУ, 2012. - С. 37-43.

[А10] A.V. Dmitriev, V.P. Mitrofanov. Measurements of mechanical losses in silicon wafers.— Документ LIGO G1300987-vl. - 2013. - http://dcc.ligo.org.

Цитированная литература

[1] Т. Sulchek, G.G. Yaralioglu, C.F. Quate, S.C. Minne. Characterization and optimization of scan speed for tapping-mode atomic force microscopy // Review of Scientific Instruments. — 2002. - Vol. 73, no. 8. - P. 2928.

[2] C. Jeong, S. Seok, B. Lee et al. A study on resonant frequency and Q factor tunings for MEMS vibratory gyroscopes // Journal of Micromechanics and Microengineering.— 2004.— Vol. 14, no. 11.- Pp. 1530-1536.

[3J G. Cttstis, E.H. Frater, S.R. Huisman et al. Controlling the quality factor of a tuning-fork resonance between 9 and 300 К for scanning-probe microscopy // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2011. - Vol. 44, no. 37. - P. 375502.

[4] I.S. Grudinin, H. Lee, 0. Painter, K.J. Vahala. Phonon laser action in a tunable two-level system // Physical Review Letters. — 2010. - Vol. 104, no. 8. - P. 083901.

[5] N.A. Robertson, G. Cagnoli, D.R.M. Crooks at al. Quadruple suspension design for advanced LIGO // Classical and Quantum Gravity.- 2002.- Vol. 19, no. 15,- Pp. 4043-4058.

[6] M. Pinard, P.F. Cohadon, T. Briant, A. Heidmann. Full mechanical characterization of a cold damped mirror // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2001.— Vol. 63, no. 1.- Pp. 013808-013801.

[7] J.D. Teufel, T. Donner, D. Li et al. Sideband cooling of micromechanical motion to the quantum ground state // Nature. — 2011. — Vol. 475, no. 7356, — Pp. 359-363.

[8] J. Chan, T.P.M. Alegre, A.H. Safavi-Naeini et al. Laser cooling of a nanomechanical oscillator into its quantum ground state // Nature. — 2011. — Vol. 478, no. 7367. — Pp. 89-92.

[9] J. Suh, M.D. Lahaye, P.M. Echternach at aL Parametric amplification and back-action noise squeezing by a qubit-coupled nanoresonator // Nana Letters.— 2010.— Vol. 10, no. 10.— Pp. 3990-3994.

[10] H. Okamoto, K. Onomitsu, T. Sogawa, II. Yamaguchi. Optical control of nanomechanical vibration in GaAs resonators // NTT Technical Review. — 2011. — Vol. 9, no. 2.

[11] G.M. Harry (for the LIGO Scientific collaboration). Advanced LIGO: The next generation of gravitational wave detectors // Classical and Quantum Gravity. — 2010. — Vol. 27, no. 8. — P. 084006.

[12] G.D. Hammond, A.V. Camming, J. Hough at al. Reducing the suspension thermal noise of advanced gravitational wave detectors // Classical and Quantum Gravity. — 2012. — Vol. 29, no. 12. - P. 124009.

[13] L.G. Prokhorov, P.E. Khramchenkov, V.P. Mitrofanov. Measurement of relaxation of electrical charge distribution on fused silica sample // Physics Letters A. — 2007,— Vol. 366, no. 1-2.-Pp. 145-149.

[14] A. De Waard, G. Frossati, J. P. Zendri et al. New technique to measure the mechanical quality factor of metals using spherical samples // Physica B: Condensed Matter. — 2000.— Vol. 280, no. 1-4.- Pp. 535-536.

[15] P. Li, Y. Fang, R. Hu. Thermoelastic damping in rectangular and circular microplate resonators // Journal of Sound and Vibration.— 2012. —Vol. 331, no. 3. — Pp. 721-733.

[16] R. Lifshitz, M.L. Roukes. Thermoelastic damping in micro-and nanomechanical systems // Physical Review B. — 2000. — Vol. 61, no. 8. — Pp. 5600-5609.

[17] X. Liu, J.F. Vignola, H.J. Simpson et al. // Journal of Applied Physics. — 2005.—Vol. 97, no. 2.-P. 023524.

Подписано в печать:

09.10.2014

Заказ № 10272 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru