Управляемость и оптимальное управление для инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах : диссертация ... доктора физико-математических наук : 01.01.02 / Сачков Юрий Леонидович; [Место защиты: Мат. ин-т им. В.А. Стеклова РАН] тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.977

Сачков Юрий Леонидович

Управляемость и оптимальное управление для инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ □3 1В452Т . с

Москва - 2007 г.

Работа выполнена в Институте Программных Систем РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.A. Аграчев;

доктор физико-математических наук, профессор М.И. Зеликин;

член-корр. РАН, доктор физико-математических наук, профессор A.A. Меликян.

Ведущая организация: Владимирский государственный университет

Защита диссертации состоится « %

2008 года в 14 час. на заседании Диссертационного совета Д 002.022.02 в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Автореферат разослан «Х- ¿7 О^у6 ¿ихЛ— 2008 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.022.02 , доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Дрожжинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Центральное положение в диссертации занимает исследование инвариантных управляемых систем на группах Ли С этим связаны также и другие рассматриваемые здесь задачи, непосредственно в формулировке которых о таких системах не говорится (сюда, в частности, относится исследование билинейных управляемых систем и восходящая к JI Эйлеру задача об эластиках) Дадим сначала краткий обзор затрагиваемой тематики

Исследование инвариантных управляемых систем на группах Ли и однородных пространствах является одной из центральных тем геометрической теории управления С теоретической точки зрения, это — естественный и важный класс систем, для которого возможна содержательная глобальная теория (именно такие системы возникают, например, при локальной нильпотентной аппроксимации гладких систем) С другой стороны, такие системы моделируют целый ряд прикладных задач (вращение и качение тел, движение роботов, квантовая механика, компьютерное видение)

Хорошо известно, что получить точное решение глобальной нелинейной задачи управления (например, задачи управляемости или оптимального управления) представляется очень сложным, если задача не имеет большой группы симметрии Для инвариантных задач на группах Ли (и их проекций на однородные пространства) точное решение часто можно найти на основе методов геометрической теории управления с использованием техники дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли Полученное решение инвариантной задачи может дать хорошую аппроксимацию соответствующей нелинейной задачи Например, инвариантная субриманова геометрия на группе Гейзенберга служит краеугольным камнем всей субримановой геометрии

Управляемые системы, пространством состояний которых являются группы Ли, изучаются в математической теории управления с начала 70-ых годов прошлого века Р В Брокетт1

'Brockett R W System theory on group manifolds and coset spaces // SIAM J

рассматривал прикладные задачи, которые приводят к управляемым системам на матричных группах и их однородных пространствах Последовательное математическое исследование управляемых систем на группах Ли было начато В Джар-джевичем и X Дж Суссманном2, ими были установлены простейшие свойства множеств достижимости и орбит правоинва-риантных систем В работах Р В Брокетта1, В Джарджевича и И Купки3, 4 получены результаты о связи управляемости инвариантных систем на группах Ли и управляемости их проекций на однородные пространства, а также рассмотрены основные примеры, включая системы на матричных группах Ли G с GL(n) и их однородных пространствах Ж™ \ {0}, 5n_1 В работе2 была предложена идея рассмотрения замыкания множеств достижимости в качестве инварианта правоинвариант-ных систем при исследовании их управляемости, а в работах3, 4 было введено понятие насыщения Ли и техника расширения, основанная на вычислении касательного конуса к замыканию множества достижимости системы в единице Известен ряд результатов об управляемости для специальных классов инвариантных систем и групп Ли Эквивалентность рангового условия и управляемости для симметричных систем была доказана еще Р В Брокеттом1 в случае матричных систем, а В Джарджевичем и X Дж Суссманном2 для общих инвариантных систем на группах Ли Кроме того, в работе2 доказана эквивалентность рангового условия и управляемости для компактных групп Ли Обобщение этого результата для полупрямого произведения компактной группы Ли и линейного пространства получено Б Боннаром, В Джарджевичем, И Купкой, и Г Салле5 Богатая теория управляемости бы-

Control, 10, 265-284 (1972)

2Jurdjevic V, Sussmann H J Control systems on Lie groups // J Diff Equat, 12, 313-329 (1972)

3Jurdjevic V , Kupka I Control systems on semi-simple Lie groups and their homogeneous spaces// Ann Inst Fourier Grenoble 31, No 4,151-179(1981)

4Jurdjevie V , Kupka I Control systems, subordinated to a group action Accessibility // J Differ Equat, 39 186-211 (1981)

"Bonnard В , Jurdjevic V , Kupka I, Sallet G Transitivity of families of invariant vector fields on the semidirect products of Lie groups // Trans Amer Math Soc , 271, No 2, 525-535 (1982)

ла построена для полупростых групп Ли Уже для специальной линейной группы задача управляемости оказалась очень сложной и не решена до настоящего времени даже для аффинных систем со скалярным управлением Вся техника расширения была развита во многом именно для исследования случая SL(п) Достаточные условия управляемости для этого случая были получены Ж П Готье и Г Борнаром6 Эти условия были обобщены для произвольных полупростых групп Ли с конечным центром в серии работ3, 4, 7, 8, 9, кульминацией которых была статья Р Эль Ассуди, Ж П Готье и И Куп-ки10 Для другого естественного класса — разрешимых групп Ли — подобная теория управляемости не была создана Известен принадлежащий Дж Д Лоусону11 критерий управляемости для компактных расширений разрешимых групп Ли в терминах подалгебр коразмерности один Однако для применения этого критерия требуется описание всех таких подалгебр, что составляет довольно сложную проблему теории алгебр Ли Поэтому представляется весьма актуальным получение конструктивных результатов по управляемости инвариантных систем на разрешимых группах Ли

Инвариантные управляемые системы на группах Ли привлекаются нами для исследования задач, формулируемых независимо Одна из них — это исследование билинейных систем Эти системы вызывают постоянный интерес исследователей с 60-х годов прошлого века, как в силу простоты алгебраической структуры, так и благодаря их разнообразным приложениям Исследование управляемости билинейных систем в!"\ {0}

6Gauthier J Р Bornard G Contrôlabilité des systèmes biimeaires // SIAM J Control Optim , 20, No 3, 377-384 (1982)

'Gauthier J P Kupka I, SaUet G Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups // Systems & Control Letters, 5 (1984), 187-190

8E1 Assoudi R, Gauthier J P Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups of Type Fit G2, C„ and B„ // Math Control Signals Systems 1 (1988), 293301

9E1 Assoudi R Gauthier J -P Controllability of right-invanant systems on semi-simple Lie groups // New Trends m Nonlinear Control Theory, Sprmgei-Verlag 122 (1989), 54-64

10E1 Assoudi R , Gauthier J P, Kupka I On subsemigroups of semisimple Lie groups // Ann Inst Henri Poineare 13, No 1, 117-133 (1996)

11 Lawson Л D Maximal subsemigioups of Lie groups that are total / / Proc Edinburgh Math Soc 30 479-501 (1985)

тесно связано с теорией инвариантных систем на линейных группах Ли, см отмеченные выше результаты В случае, когда билинейная система имеет инвариантный координатный ортант в R", например, положительный ортант, возникает вопрос об управляемости билинейной системы в таком ортанте Такая постановка задачи естественна для билинейных систем в приложениях, описывающих процессы с неотрицательными переменными, она была предложена УМ Бутби12, им получены некоторые частные результаты для систем со скалярным управлением, а также для случая одинаковой размерности пространств управлений и состояний Полные результаты по управляемости в положительном ортанте были известны только для двумерного случая (см работу А Баччиотти13), и имеется потребность развития теории для более высокой размерности пространства состояний

Левоинвариантные задачи находятся в центре внимания геометрической теории управления с самого начала ее развития В книге14, суммировавшей результаты 70-90-х годов прошлого века, В Джарджевич подробно изложил особенности гамиль-тонова формализма и принцип максимума для левоинвари-антных задач, исследовал связи между симметриями и интегрируемостью в этом случае Известен ряд работ по левоинва-риантным субримановым задачам на нильпотентных группах Ли. случай Гейзенберга15, 16 и его обобщения17, задачи с век-

12Boothby W М Some comments on positive orthant controllability of bilinear systems // SIAM J Control Optim , 20 (1982) No 5, pp 634-644

13Bacciotti A On the positive orthant controllability of two- dimensional bilinear systems// Systems and Control Letters 1983 V 3 P 53-55

14Jurdjevic V Geometric control theory, Cambridge University Press, 1997

I5Brockett R W Control theory and singular Riemannian geometry //In New directions in applied mathematics (P J Hilton and G S Young (Eds )), Springer-Verlag, 1981

16Вершик A M , Гершкович В Я Неголономные динамические системы и геометрия распределений // Итоги науки я техники Современные проблемы математики Фундаментальные направления Динамические системы - 7, 8 - М ВИНИТИ, 1986

17Monroy-Perez F , Anzaido-Meneses A Optimal Control on Nilpotent Lie Groups // J Dynam Control Systems, 8, no 4, 487-504 (2002)

тором роста (3,6)18, (п,п(п+ 1)/2)19, 20, и (2,3,5)21, 22 Для этих задач получена параметризация геодезических, но их оптимальность удалось исследовать только для векторов роста (2,3) и (3,6). Поэтому представляется очень важным развитие методов исследования оптимальности экстремальных траекторий для левоинвариантных задач на группах Ли

Другой задачей, формулируемой независимо от инвариантных управляемых систем на группах Ли, но исследуется с привлечением относящейся к ним теории, является восходящая к Леонарду Эйлеру задача об эластиках В 1744 г Эйлер рассмотрел следующую задачу о стационарных конфигурациях упругого стержня23 Дан упругий стержень на плоскости, у которого закреплены положения концов, а также углы наклона стержня на концах Требуется определить возможные профили стержня при заданных граничных условиях Эйлер получил дифференциальные уравнения для стационарных конфигураций стержня и описал их возможные качественные типы Эти конфигурации называются эйлеровыми эластиками Первая явная параметризация эластик была получена Л Заалшютцем24 в 1880 г Некоторые частичные результаты по вопросу об устойчивости эластик получены будущим нобелевским лауреатом M Борном25 в его диссертации

lsMyasnichenko О Nilpotent (3,6) Sub-Riemanman Problem // J Dynam Control Systems 8 (2002), No 4, 573-597

19Myasnichenko О Nilpotent (n, n(n 4- l)/2) sub-Riemanman problem, J Dynam Control Systems 8 (2006), No 1, 87-95

20Monroy-Perez F, Anzaldo-Meneses A The step-2 nilpotent (n. n(n -f 1)/2) sub-Riemanman geometry // J Dynam Control Systems, 12, No 2, 185-216 (2006)

21Brockett R., Dai L Non-holonomic kmematics and the role of elhptic functions in constructive controllabihty //In Nonhoionomic Motion Planning, Z Li and J Canny, Eds , Kluwer Boston, 1993,1-21

22Krener A J , Nikitm S Generalized isoperimetric problem // Journal of Mathematical Systems Estimation, and Control, 7 (1997), 3 1-15

23Эйлер Л Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле Приложение I «Об упругих кривых», ГТТН, Москва-Ленинград, 1934 447572

24L Saalschutz Der belastete Stab, Leipzig 1880

25M Born Stabüitat der elastischen Linie in Ebene und Raum, Preisschnft und Dissertation Gottingen, Dietenchsche Umversitats-Buchdruckerei Gottmgen 1906 Repimted m Ausgewählte Abhandlungen Gottingen, Vanderhoeck Sc Ruppeit 1963, Vol 1, 5-101

1906 г Однако в полном объеме этот вопрос оставался открытым, несмотря на его значение для теории упругости, вариационного исчисления и оптимального управления

Цель работы. Получение условий глобальной управляемости инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах

Исследование локальной и глобальной оптимальности экстремальных траекторий в инвариантных задачах оптимального управления на группах Ли

Общие методы исследования В работе используются методы геометрической теории управления, теории групп и алгебр Ли, дифференциальной и симплектической геометрии, теории эллиптических функций

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

1 Получен критерий управляемости правоинвариантной системы X = А(Х) + игВг(Х) на односвязной группе Ли (? при условии, что поля В\, ,Вт порождают подалгебру коразмерности один в алгебре Ли Ь группы Ли С Доказан критерий управляемости правоинвариантной системы X = А(Х)+^™=1 игВг(Х) на односвязной вполне разрешимой группе Ли

2 Получены необходимые и близкие к ним достаточные условия управляемости правоинвариантной системы вида X = А(Х) + иВ{Х) на односвязной разрешимой группе Ли Классифицированы все разрешимые односвязные группы Ли размерности не выше 6, на которых существуют вполне управляемые системы вида X = А(Х) + иВ(Х), доказаны критерии управляемости таких систем

3 Получен критерий того, что билинейная система х = Ах+

т

имеет инвариантный координатный ортант в

1=1

К™ Для случая, когда инвариантным является положительный ортант К™, доказаны условия управляемости в

этом ортанте при п > 2 и т = 1, а также при т — п— 1, т = п — 2

4 Описаны алгебры Ли симметрии плоских субримановых структур с векторами роста (2,3), (2,3,4), и (2,3,5)

5 Для задачи Эйлера об эластиках получены двусторонние оценки для сопряженных точек и оценка сверху для времени разреза, это дает ответ на вопрос об устойчивости эластик, а также дает подход к получению достаточных условий оптимальности экстремалей в задаче об эластиках Для нильпотентной субримановой задачи с вектором роста (2,3,5) получена оценка сверху для времени разреза

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях управляемости инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах, а также инвариантных задач оптимального управления на группах Ли

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях и совещаниях международном совещании «Вычисления Ли» (Марсель, Франция, 1994), международной конференции «Вычислительные технологии в теории систем и ее приложениях» (Лилль, Франция, 1996), международном летнем институте Американского математического общества по дифференциальной геометрии и управлению (Боулдер, США, 1997), международном совещании по нелинейной теории управления (Париж, Франция, 1998), международном совещании «Теория Ли и ее приложения» (Вюрцбург, Германия, 1999), международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000, 2006), международном совещании по математической теории управления и роботике (Триест, Италия, 2000), международной конференции «Нелинейная теория управления в 2000 г » (Париж, Франция, 2000), международном конгрессе по нелинейной теории управления ГЧОЬСОЗ

(С -Петербург, 2001), триместре по динамическим и управляемым системам (Триест, Италия, 2003), международных конференциях им И Г.Петровского (Москва, 2004, 2007), международном совещании по неголономной динамике и интегрируемости (Банфф, Канада, 2007), международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2007), международной конференции «Анализ и особенности» (Москва, 2007), международной конференции «Управление, ограничения и кванты» (Бедлево, Польша, 2007), международных совещаниях по теории управления (Переславль-Залесский, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 2002, 2004, 2006)

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах отдела дифференциальных уравнений Математического института им В А Стеклова под руководством академика РАН Д В Аносова и академика РАН Р В Гамкрелидзе, механико-математического факультета МГУ под руководством профессора М И Зеликина, сектора функционального анализа Международной школы высших исследований под руководством профессора А А Аграчева (Триест, Италия), лаборатории механики управляемых систем Института проблем механики РАН под руководством академика РАН Ф Л Черноусько, инженерного факультета университета Бургундии (Дижон, Франция) под руководством профессора Ж -П Готье, математического факультета университета Бургундии (Дижон, Франция) под руководством профессора Б Боннара, лаборатории индустриальной математики Национального института прикладных систем (Руан, Франция) под руководством профессора В Респондека, факультета математики университета г Аугсбург (Германия) под руководством профессора Ф Колониуса, факультета математики университета г Коимбра (Португалия) под руководством профессора Ф Сильва Лейте, института систем и роботики университета г Порто (Португалия) под руководством профессора Ф Лобо Перейра, факультета математики университета г Руан (Франция), лаборатории фундаментальной информатики университета г Лилль (Франция) под руководством профес-

сора Ж Жакоба, исследовательского центра процессов управления ИПС РАН под руководством профессора В И Гурмана, исследовательского центра системного анализа ИПС РАН под руководством профессора A M Цирлина

Научные исследования по теме диссертации были поддержаны следующими грантами INTAS Network «Optimal Control and Differential Games» 1995-98, РФФИ - 96-01-00805-a («Управляемость систем на разрешимых группах Ли и их однородных пространствах»), РФФИ - 98-01-01028-а («Управляемость, симметрии и оптимальный синтез в нелинейных системах управления»), грант INTAS для молодых ученых СНГ 1998-1999, грант Госкомвуз РФ 1998-2000 («Глобальная управляемость, симметрии и оптимальный синтез в нелинейных системах управления»), РФФИ - 02-01-00506-а («Оптимальный синтез, конструктивная управляемость, и стабилизация нелинейных неголономных систем управления»), РФФИ - 05-01-00703-а («Исследование задач оптимального управления суб-римановой геометрии методами геометрической теории управления»)

Публикации Все результаты диссертации опубликованы в 20 работах автора, список которых приводится в конце автореферата

Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из пяти глав (первая из которых является введением), которые разбиты на 20 разделов Диссертационная работа изложена на 258 страницах Библиография включает 158 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая, вводная глава диссертации посвящена истории рассматриваемых вопросов (раздел 1 1), а также краткому изложению результатов работы (раздел 1 2)

Глава 2 диссертации посвящена исследованию глобальной управляемости правоинвариантных систем на группах Ли, а

также их проекций на однородные пространства групп Ли Основное внимание уделено разрешимым группам Ли, некоторым их подклассам, а также обобщениям Причина такого интереса в следующем Благодаря разложению Леви, любая группа Ли представляется как полупрямое произведение разрешимой и полупростой групп Для полупростых групп Ли в 80-90-е года прошлого века были разработаны эффективные методы исследования управляемости, однако для разрешимых групп Ли их не существовало Цель второй главы диссертации — описание таких методов и демонстрация их в работе, вплоть до классификации ряда случаев малой размерности

В разделе 2 1 напоминаются основные определения, относящиеся к правоинвариантным системам, множествам достижимости и управляемости, а также некоторые известные условия управляемости

В разделе 2 2 рассматриваются аффинные по управлению системы Г вида X = А(Х) + 5^1=1 игВг(Х) при условии, что алгебра Ли Ьо = 1_,1е(Вх, , Вт) имеет коразмерность один в алгебре Ли Ь группы Ли (? — пространстве состояний системы Г Для таких систем (мы называем их гиперповерхностными) получен критерий управляемости в терминах подгруппы Ли с алгеброй Ли Ьо Из этой теоремы получены следствие о неуправляемости гиперповерхностной системы на односвяз-ной группе Ли, а также необходимые условия управляемости на односвязной группе Ли в терминах подалгебр коразмерности один в алгебре Ли Ь

В разделе 2.3 рассматривается специальный подкласс разрешимых групп Ли - вполне разрешимые группы Ли, содержащий, в частности, группу обратимых верхнетреугольных матриц, и нильпотентные группы Ли Для односвязных вполне разрешимых групп Ли получен критерий управляемости для аффинных по управлению систем в терминах подалгебры Ьо Раздел 2 4 посвящен большому классу групп Ли, содержащему разрешимые группы Ли, а именно, рассматриваются группы Ли (7, для которых алгебра Ли Ь отлична от производной подалгебры /Я = [Ь,Ь] Получены необходимые

и близкие к ним достаточные условия управляемости систем со скалярным управлением X = А(Х) + иВ(Х) в терминах собственных значений и инвариантных подпространств оператора ас! В в первой и второй производной подалгебрах Ь№ = [Ь'1),!^1)] Для случая разных собственных значений оператора ас! В получены более простые условия управляемости Близость полученных необходимых условий к достаточным условиям демонстрируется тем, что в некоторых важных случаях из них следуют полные критерии управляемости

В частности, в разделе 2 5 доказан критерий управляемости для систем со скалярным управлением на односвязных мета-белевых группах Ли (в случае неодносвязных групп Ли эта теорема дает достаточные условия управляемости) В качестве следствий получены условия управляемости билинейных систем вида х = иАх +Ьи инвариантных систем со скалярным управлением на группе движений плоскости и ее односвязной накрывающей

Другим приложением общих условий управляемости раздела 2 4 является полное описание управляемых систем со скалярным управлением на односвязных разрешимых группах Ли размерности не выше шести (раздел 2 6) Показано, что для разрешимых алгебр Ли малой размерности Ь справедливо следующее

• существование вполне управляемой системы Г = А + КВ С Ь (мы называем это свойство управляемостью алгебры Ь) является сильным ограничением на Ь,

• если алгебра Ли Ь управляема, то почти все пары (А, В) е Ьх. Ь порождают управляемые системы Г = А + Ж.В, те управляемость системы Г С Ь зависит в основном от Ь, а не от Г

Более того, из этих результатов следует полное описание управляемости в разрешимых алгебрах Ли малой размерности До размерности 6 включительно описаны все управляемые разрешимые алгебры Ли, и приведены критерии управляемости для систем вида Г = А + С Ь

Общая картина управляемых разрешимых алгебр Ли такова

dimL = 1' (единственная) алгебра Ли управляема,

dim L — 2: обе алгебры Ли неуправляемы,

dim L = 3: имеется одно семейство управляемых алгебр Ли:

L3(A), А 6 С \ К,

dim L = 4: имеется одно семейство управляемых алгебр Ли L4(A), AeC\R,

dim L = 5: имеется два семейства управляемых алгебр Ли

1 LSj(\,/i), \,це С\К, А

2 LSJI(А),АеС\Ж,

dim L = 6 имеется 6 семейств и, вдобавок, еще две управляемые алгебры Ли

1 L6)/(A,/i), A,/i6C\R,

2 ¿6,//(А, м), A, ii € С \ Re А = Re ц, А ^ ¿¿, Д,

3 ¿6,ш(А), Ae€\R,

4 L6j/y(A), A eC\(RUiR),

5 (A), AeC\R,

6 ¿6,v/(A), AeC\M,

7 L%vn,

8 i>%yni

Любая такая алгебра Ли L имеет производную подалгебру LW коразмерности один, и комплексные параметры Аи/i суть собственные значения операторов ada;^»), х € L \ L« Алгебры Ли в различных семействах неизоморфны между собой Внутри каждого семейства алгебры Ли изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие множества {А, А, ц, Д} (или {А, А}) гомотетичны в С (для семейства ¿6,/(А, р), соответствующие множества {А, А} и {/х, Д} должны быть гомотетичны с одним и тем же коэффициентом подобия)

Помимо систем с неограниченным управлением вида Г = А + М.В С Ь, также рассмотрены системы с ограниченным управлением вида Б = {(1 — и)А + иВ \ и € [0, 1]} С Ь Получена связь свойств управляемости этих двух классов систем, а также общий критерий управляемости для систем с ограниченным управлением в разрешимых алгебрах Ли Ь

В главе 3 рассматривается задача глобальной управляемости для билинейных систем вида

ТП

х = Ах + игВгх, х е Ж" \ {0}, иг е К, (1)

г—1

где А и Вг — постоянные вещественные пхп матрицы Такие системы индуцированы правоинвариантными системами вида

ГП

Х = + Хес, иг £ К, (2)

г=1

на матричных группах Ли Если группа (7 С вЦп) действует транзитивно на К" \ {0}, то из управляемости инвариантной системы (2) на группе С? следует управляемость билинейной системы (1) на К™ \ {0} Третья глава диссертации посвящена вопросам управляемости билинейных систем в положительном ортанте При такой постановке задачи естественно предполагать, что положительный ортант есть инвариантное множество для билинейной системы В этом случае как билинейная система, так и соответствующая инвариантная система на матричной группе Ли глобально неуправляемы, и для него были разработаны специальные методы исследования управляемости в ортанте Изложению этих методов, а также их применению для различных размерностей переменных состояния и управления и посвящена данная глава

В разделе 3 2 получен критерий того, что билинейная система (1) имеет (положительно или отрицательно) инвариантный координатный ортант в К" Данный вопрос имеет непосредственное отношение к управляемости билинейных и инвариантных систем существование инвариантных ортантов для

билинейной системы (1) влечет неуправляемость этой билинейной системы, а потому и инвариантной системы (2)

Далее, если билинейная система (1) имеет положительно

инвариантный координатный ортант, то отражениями в 1йп

вида хг 1—> —хг можно добиться, чтобы инвариантным стал

положительный ортант Ж™, а потому и его внутренность, ото

крытый положительный ортант Ж™= {х = {х\, ,хп) 6 К" | хг > 0, г = 1, ,п} В разделах 3 3, 3 4 исследуется управляемость билинейной системы (1) в положительном ор-танте при п > 2 (напомним, что эта задача при п = 2 была впервые полностью исследована А Баччиотти13) В разделе 3 3 получены условия управляемости для случая п > 2 и т = 1, а раздел 3 4 посвящен случаям то = га — 1, то = п — 2, а также некоторым другим случаям

В главе 4 исследуются плоские распределения и субрима-новы структуры — локальные нильпотентные аппроксимации распределений и субримановых структур в регулярных точках Такие распределения и субримановы структуры задаются левоинвариантными управляемыми системами на нильпотент-ных группах Ли В разделе 4 2 излагаются методы вычисления полной алгебры Ли инфинитезималъных симметрий для распределений и субримановых структур Далее найдены алгебры Ли симметрии плоских распределений и субримановых структур ранга 2 максимального роста в размерностях 3, 4, и 5 В разделе 4 3 рассматривается группа Гейзенберга (вектор роста (2,3)), в разделе 4 4 — группа Энгеля (вектор роста (2,3,4)), а в разделе 4 5 — вектор роста (2,3,5) Последний случай особенно важен для теории и приложений субримано-вой геометрии, соответствующая субриманова задача рассматривается далее в разделе 5 2.

В главе 5 рассматриваются две тесно связанные между собой инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли задача Эйлера об эластиках и обобщенная задача Ди-доны В этих случаях исследуются инвариантные задачи на разрешимых группах Ли (на группе движений плоскости и на

5-мерной нилыготентной группе Ли порядка 3 соответственно), для которых гамильтонова система принципа максимума Понтрягина в вертикальном слое кокасательного расслоения сводится к уравнению математического маятника, поэтому интегрируется в функциях Якоби Экстремальные траектории в обеих задачах являются подъемами эйлеровых эластик - стационарных конфигураций упругого стержня, открытых Леонардом Эйлером23 Для исследования оптимальности экстремальных траекторий разработаны методы построения группы симметрий экспоненциального отображения с помощью продолжения группы симметрий маятника, исследования неподвижных точек этой группы в прообразе и образе экспоненциального отображения, анализа разрешимости и оценки корней уравнений в функциях Якоби, задающих соответствующие страты Максвелла

Опишем содержание раздела 5 1, посвященного задаче Эйлера об эластиках Эйлеровы эластики суть критические точки функционала упругой энергии на пространстве кривых фиксированной длины Основной целью раздела 5 1 является исследование оптимальности эластик какие эласгики доставляют минимальное значение функционалу энергии среди всех кривых, удовлетворяющих граничным условиям (глобальная оптимальность), или минимальное значение среди достаточно близких кривых, удовлетворяющих граничным условиям (.локальная оптимальность) Для теории упругости существенной является задача локальной оптимальности т к она соответствует устойчивости эйлеровых эластик при малых возмущениях, сохраняющих граничные условия В вариационном исчислении и оптимальном управлении точка, в которой экстремальная траектория теряет локальную оптимальность, называется сопряженной точкой Мы даем точное описание сопряженных точек в задаче Эйлера об эластиках, которые ранее были известны только приближенно С математической точки зрения, очень важной является задача глобальной оптимальности Мы исследуем точки разреза в задаче Эйлера — точки, где эластики теряют глобальную оптимальность Сна-

чала исследуются точки Максвелла, те точки пересечения разных экстремальных траекторий с одинаковым значением времени и функционала Такие точки дают верхнюю оценку точек разреза экстремальная траектория не может быть глобально оптимальной после точки Максвелла Затем доказано, что первая сопряженная точка ограничена точками Максвелла

Опишем подробнее структуру раздела 5 1В пункте 5 11 описывается история задачи об эластиках В пункте 5 12 мы рассматриваем задачу Эйлера как левоинвариантную задачу оптимального управления на группе движений двумерной плоскости Е(2) и обсуждаем непрерывные симметрии задачи В пункте 5 13 описано множество достижимости соответствующей управляемой системы В пункте 5 14 доказаны существование и ограниченность оптимальных управлений в задаче Эйлера В пункте 5 1 5 к задаче применяется принцип максимума Понтрягина, описываются анормальные экстремали, и выводится гамильтонова система для нормальных экстремалей

В пункте 5 16 строятся естественные координаты в слое кокасательного расслоения группы Е(2), индуцированные фазовым потоком маятника Одна из координат есть время движения маятника, а другие две — интегралы движения маятника В пункте 5 17 мы используем построенные таким образом эллиптические координаты для интегрирования нормальной гамильтоновой системы

Поток маятника играет ключевую роль не только для параметризации экстремальных траекторий, но и при изучении их оптимальности В пункте 5 18 описаны дискретные симметрии задачи Эйлера, порожденные отражениями в фазовом цилиндре маятника, исследовано действие группы отражений в прообразе и образе экспоненциального отображения задачи

В пункте 5 19 рассматриваются точки Максвелла в задаче Эйлера Страты Максвелла, соответствующие отражениям, описываются уравнениями в функциях Якоби В пункте 5 1 10 исследуется разрешимость этих уравнений, даны точные оцен-

ки их корней, и описывается их взаимное расположение на основе анализа функций Якоби

Полученное полное описание стратов Максвелла существенно как для глобальной, так и локальной оптимальности экстремальных траекторий В пункте 5 1 11 получена верхняя оценка времени разреза в задаче Эйлера на основе того, что такая траектория не может быть глобально оптимальной после точки Максвелла

В пункте 5 1 12 показано, что на инфлексионных эластиках первая сопряженная точка встречается между первыми точками Максвелла, соответствующими отражениям, а в пункте 5 1 13 доказано, что все остальные эластики не содержат сопряженных точек Таким образом, полностью решена задача об устойчивости эйлеровых эластик Помимо этого, полученные оценки сопряженных точек дают подход к описанию областей диффеомеорфности экспоненциального отображения, а потому к достаточным условиям оптимальности экстремалей в задаче Эйлера

В разделе 5 2 рассматривается обобщенная задача Дидоны — модель нильпотентной субримановой задачи с вектором роста (2,3,5) В пункте 5 2 1 приводится постановка этой задачи, а также ее формулировка как левоинвариантной задачи оптимального управления и нильпотентной субримановой задачи В пункте 5 2 2 обсуждается существование оптимальных управлений В пункте 5 2 3 применяется принцип максимума Понтрягина в инвариантной форме, выписывается га-мильтонова система для нормальных экстремалей, и найдены анормальные экстремали В пункте 5 2 4 рассматриваются непрерывные симметрии задачи Экспоненциальное отображение факторизуется по действию однопараметрической группы симметрия В пункте 5 2 5 нормальная гамильтонова система интегрируется в терминах функций Якоби

В пунктах 5 2 6-5 2 9 мы строим группу дискретных сим-метрий экспоненциального отображения в обобщенной задаче Дидоны Это — группа диэдра, она возникает благодаря наличию отражений в фазовом цилиндре маятника

В пунктах 5 2 10-5 2 13 получено общее описание стратов Максвелла, соответствующих группе симметрии экспоненциального отображения, порожденной вращениями и отражениями Мы находим точки Максвелла, соответствующие группе симметрии, сохраняющих время на геодезических (вращения и отражения) А именно, описаны многообразия в пространстве состояний, содержащие все такие точки Максвелла, эти многообразия задаются некоторыми уравнениями в функциях Якоби

В пунктах 5 2 14-5 2 16 исследована разрешимость этих уравнений, в некоторых случаях они не имеют корней В тех случаях, когда эти уравнения разрешимы, мы локализуем их корни, указывая для каждого корня содержащий его отрезок Более того, на каждом из таких отрезков соответствующий корень оказывается нулем некоторой монотонной функции, что дает эффективный алгоритм приближенного вычисления этих корней На каждой геодезической найдена первая точка, принадлежащая стратам Максвелла МАХг На геодезических, не содержащих точек этих стратов, в пункте 5 2 17 найдены сопряженные точки, являющиеся пределами пар точек Максвелла Таким образом, на каждой нормальной геодезической (кроме некоторых исключительных) указана либо первая точка стратов МАХг, либо сопряженная точка В силу того, что после точек Максвелла и сопряженных точек нормальная геодезическая не может быть оптимальной, получена оценка сверху для времени разреза вдоль геодезических На исключительных геодезических эта оценка тривиальна (+оо) Полученные в пункте 5 2 18 верхние оценки времени разреза — главные результаты раздела 5 2

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Сачков Ю JI Управляемость двумерных и трехмерных билинейных систем в положительном ортанте// Дифференциальные уравнения, 1993, Т 29, С 361 - 363

2 Sachkov Yu L Invariant Orthants of Bilinear Systems // Proc Second Europ Contr Confer , 776-779, Gronmgen, Netherlands, 1993

3 Сачков Ю Л Управляемость двумерных систем в положительном ортанте// Теоретические и прикладные основы программных систем, Институт Программных Систем РАН, Переславль-Залесский, 1994, 309-317

4 Сачков Ю Л Инвариантные ортанты билинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1995, No 6, 1094 -1095

5 Сачков Ю Л Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте // Ма-тем Заметки, 85 (1995), 3, 419 - 424

6 Sachkov Yu L Controllability of hypersurface and solvable invariant systems // Journal of Dynamical and Control Systems, 2 (1996), No 1, 55-67

7 Sachkov Yu L Controllability of right-mvariant systems on solvable Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems, 3 (1997), No 4, 531-564

8 Sachkov Yu L On Positive Orthant Controllability of Bilinear Systems m Small Codimensions // SIAM Journ Contr Op-timiz , 35 (1997), 1 29-35

9 Sachkov Yu L Controllability of Affine Right-Invariant Systems on Solvable Lie Groups // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 1 (1997), 239-246

10 Сачков Ю JI Управляемость инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах // Современная математика и ее приложения, Тематические обзоры, Т 59, Динамические системы-8, ВИНИТИ, Москва, 1998

11 Sachkov Yu L On invariant orthants of bilmear systems // Journal of Dynamical and Control Systems, 4 (1998), No 1, 137-147

12 Sachkov Yu L Survey on Controllability of Invariant Systems on Solvable Lie Groups, Differ Geometry and Control // Proc of Symposia m Pure Mathem (American Mathematical Society), 64 (1999), 297-317

13 Sachkov Yu L Classification of controllable systems on low-dimensional solvable Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems, 6 (2000), 2 159-217

14 Сачков Ю Л Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны // Матем сб , 194 (2003), 9 63-90.

15 Sachkov Yu L. Symmetries of Flat Rank Two Distributions and Sub-Riemanman Structures // Transactions of the American Mathematical Society, 356 (2004), 2 457-Ш

16 Сачков Ю Л Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны // Матем Сборник, 2006, Т 197, № 2, с 95-116

17 Сачков Ю Л Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Матем Сборник, 2006, Т 197, № 4, С 123-150

18 Сачков Ю Л Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Матем Сборник, 2006, Т 197, №6, С 111-160

19 Сачков Ю Л. Оптимальность эйлеровых эластик // Доклады Академии Наук, том 417, № 1, ноябрь 2007, С 2325

20. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах. —М.: Физматлит, 2007, 224 С.

1 Введение

1.1 Обзор результатов по управляемости и оптимальному управлению на группах Ли и однородных пространствах.

1.2 Краткое содержание диссертации.

2 Управляемость инвариантных систем

2.1 Инвариантные системы на группах Ли.

2.1.1 Общие свойства правоинвариантных систем.

2.1.2 Системы на однородных пространствах.

2.1.3 Насыщение Ли.

2.1.4 Условия управляемости для специальных классов систем и групп Ли.

2.2 Гиперповерхностные системы

2.2.1 Определения и формулировка критерия управляемости.

2.2.2 Предварительные леммы.

2.2.3 Доказательство критерия управляемости.

2.2.4 Необходимые условия управляемости для односвязных групп Ли

2.3 Вполне разрешимые группы Ли.

2.3.1 Определения и формулировка критерия управляемости.

2.3.2 Подалгебры коразмерности один

2.3.3 Фактор-системы.

2.4 Разрешимые группы Ли и их обобщения.

2.4.1 Обозначения и определения

2.4.2 Необходимые условия управляемости.

2.4.3 Достаточные условия управляемости.

2.5 Метабелевы группы Ли.

2.5.1 Условия управляемости на метабелевых группах Ли.

2.5.2 Полупрямые произведения.

2.5.3 Аффинные системы.

2.5.4 Группа движений плоскости.

2.6 Классификация управляемых систем на разрешимых группах Ли малой размерности

2.6.1 Одномерная алгебра Ли

2.6.2 Двумерные алгебры Ли.

2.6.3 Трехмерные алгебры Ли.

2.6.4 Четырехмерные алгебры Ли.

2.6.5 Пятимерные алгебры Ли.

2.6.6 Шестимерные алгебры Ли.

2.6.7 Разрешимые алгебры Ли малой размерности

2.6.8 Управляемость отрезков.

3.2 Инвариантные ортанты билинейных систем.94

3.2.1 Знакосимметрические матрицы и их графы.96

3.2.2 Инвариантные ортанты линейного поля .98

3.2.3 Инвариантные ортанты билинейных систем.101

3.3 Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте.103

3.3.1 Предварительные леммы.103

3.3.2 Условия управляемости.105

3.4 Управляемость билинейных систем малой коразмерности в положительном ортанте.106

3.4.1 Условия перемены знака.107

3.4.2 Системы коразмерности один .111

3.4.3 Управляемость по направлениям .113

3.4.4 Системы коразмерности два.113

3.4.5 Системы произвольной коразмерности.115

4 Симметрии систем на группах Ли 117

4.1 Плоские субримановы структуры.118

4.2 Симметрии субримановых структур.120

4.3 Случай Гейзенберга.122

4.3.1 Плоское распределение и плоская субриманова структура.122

4.3.2 Симметрии распределения.124

4.3.3 Симметрии субримановой структуры.125

4.4 Случай Энгеля.128

4.4.1 Алгебра Энгеля и группа Энгеля.128

4.4.2 Плоское распределение и плоская субриманова структура.128

4.4.3 Модель в Е4 .129

4.5 Случай Картана.134

4.5.1 Алгебра Ли и группа Ли.134

4.5.2 Плоское распределение и субриманова структура.134

4.5.3 Модель в Е5 .135

4.6 Общая картина.147

5 Инвариантные задачи оптимального управления на группах Ли 151

5.1 Задача Эйлера об эластиках.151

5.1.1 История задачи Эйлера.151

5.1.2 Постановка задачи.153

5.1.3 Множество достижимости.153

5.1.4 Существование и регулярность оптимальных решений.154

5.1.5 Экстремали.154

5.1.6 Эллиптические координаты .156

5.1.7 Интегрирование нормальной гамильтоновой системы.157

5.1.8 Дискретные симметрии в задаче Эйлера.160 vi оглавление

5.1.9 Страты Максвелла .164

5.1.10 Полное описание стратов Максвелла.172

5.1.11 Верхняя оценка времени разреза .176

5.1.12 Сопряженные точки на инфлексионных эластиках.178

5.1.13 Сопряженные точки на неинфлексионных эластиках . 186

5.1.14 Заключительные замечания.189

5.2 Обобщенная задача Дидоны.190

5.2.1 Постановка задачи.190

5.2.2 Существование оптимальных решений.193

5.2.3 Экстремали.194

5.2.4 Непрерывные симметрии.197

5.2.5 Интегрирование гамильтоновой системы.200

5.2.6 Отражения.205

5.2.7 Группа симметрий экспоненциального отображения.208

5.2.8 Действие отражений в прообразе экспоненциального отображения 210

5.2.9 Действие отражений в образе экспоненциального отображения . . 211

5.2.10 Множество Максвелла .213

5.2.11 Кратные точки экспоненциального отображения.215

5.2.12 Неподвижные точки симметрий в прообразе экспоненциального отображения.217

5.2.13 Общее описание стратов Максвелла МАХ,.220

5.2.14 Страты Максвелла в области Ni.224

5.2.15 Страты Максвелла в области ДГ2.231

5.2.16 Страты Максвелла в iV3 .235

5.2.17 Сопряженные точки.235

5.2.18 Время разреза.240

Библиография 245

1. Аграчев A.A., Готье Ж.-П. Субримановы метрики и изопериметрические задачи в контактном случае // Труды междунар. конф. Понтрягин-90, 1999, т. 3, 5-48.

2. Аграчев A.A., Сарычев A.B. Фильтрации алгебры Ли векторных полей и нильпо-тентная аппроксимация управляемых систем // Докл. Акад. Наук СССР, 1987, Т. 295, 777-781.

3. Аграчев A.A., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. —М.: Физматлит, 2005, 391 С.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. —М.: Наука, 1979.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

7. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. —М., Факториал, 1977.

8. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы и геометрия распределений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 7, 8. - М.:ВИНИТИ, 1986.

9. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Оншцик А.Л. Конструкция групп Ли и алгебр Ли. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления 41 (1989).

10. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, —М., Наука, 1988.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М., Наука, 1988.

12. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. —М., Наука, 1970.

13. Желобенко Д.П., Стерн А.И. Представления групп Ли. —М., Наука, 1983.

14. Зеликин М.И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. —М.: Еди-ториал УРСС, 2004.

15. Лепе Н.Л. Геометрический метод исследования управляемости двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика, 1984, N0. 11, 19-25.

16. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, Москва-Ленинград, 1935.

17. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов, М.: Наука, 1961.

18. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. —М., Наука, 1982.

19. Сачков Ю.Л. Управляемость трехмерных билинейных систем // Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1991, N0. 3, 26 30.

20. Сачков Ю.Л. Инвариантные области трехмерных билинейных систем // Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1991, N0. 4, 23 26.

21. Сачков Ю.Л. Управляемость двумерных и трехмерных билинейных систем в положительном ортанте// Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29 С. 361 363.

22. Сачков Ю.Л. Управляемость двумерных систем в положительном ортанте// Теоретические и прикладные основы программных систем, Институт Программных Систем РАН, Переславль-Залесский, 1994, 309-317.

23. Сачков Ю.Л., Инвариантные ортанты билинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1995, N0. 6, 1094 1095.

24. Сачков Ю.Л., Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте // Мат. Заметки, 85 (1995), 3, 419 424

25. Сачков Ю.Л. Управляемость инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах // Современная математика и ее приложения, Тематические обзоры, Т. 59, Динамические системы-8. ВИНИТИ, Москва, 1998.

26. Сачков Ю.Л. Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны // Мат. сб., 194 (2003), 9: 63-90.

27. Сачков Ю.Л. Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны // Мат. Сборник, 2006, Т. 197, N 2, с. 95-116.

28. Сачков Ю.Л. Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Мат. Сборник, 2006, Т. 197, № 4, С. 123-150.

29. Сачков Ю.Л. Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны // Мат. Сборник, 2006, Т. 197, N 6, С. 111-160.

30. Сачков Ю.Л. Оптимальность эйлеровых эластик // Доклады Академии Наук, том 417, № 1, ноябрь 2007, С. 23-25.

31. Сачков Ю.Л. Управляемость и симметрии инвариантных систем на группах Ли и однородных пространствах. —М.: Физматлит, 2007, 224 С.

32. Третьяк А.И. Достаточные условия локальной управляемости и необходимые условия оптимальности высшего порядка. Дифференциально-геометрический подход // Современная математика и ее приложения. Т. 24. Динамические системы-4. -М.ВИНИТИ, 1996.

33. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М.: Изд-во МГУ, 1989.

34. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. М.: УРСС, 2002.

35. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

36. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение I, «Об упругих кривых», ГТТИ, Москва-Ленинград, 1934, 447-572.

37. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. Reading, MA: Benjaming/Cumming, 1985.

38. Adda Ph. Contrôllabilité des Systèmes Bilinéaires Généraux et Homogenes dans M2 // In: Lecture Notes in Control and Inform. Sci., INRIA, 111 (1988), 205-214.

39. Adda Ph., Sallet G. Determination Algorothmique de la Contrôllabilité pour des Familles Finies de Champs de Vecteurs Lineaires sur R2 \ {0} // R.A.I.R.O. APII 24 (1990), 377-390.

40. Agrachev A.A. Exponential mappings for contact sub-Riemannian structures // J. Dynamical and Control Systems, 1996, v.2, 321-358

41. Agrachev A.A. Geometry of optimal control problems and Hamiltonian systems // Lecture Notes in Mathematics, Springer, to appear.

42. Agrachev A. A., El-Alaoui C., Gauthier J.-P. Sub-Riemannian metrics on R3 // Proc. Canadian Math. Soc., 1998, v.25, 29-78

43. Agrachev A.A., Bonnard В., Chyba M., Kupka I. Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case //J. ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations, 1997, v.2, 377-448

44. Agrachev A.A., Gamkrelidze R. V. Local controllability for families of diffeomorphisms // Systems and Control Letters, 1993, v.20, 67-76

45. Agrachev A.A., Gamkrelidze R.V. Local controllability and semigroups of diffeomorphisms // Acta Appl. Math., 1993, v.32, 1-57

46. Agrachev A.A., Gauthier J.-P. On subanalyticity of Carnot-Caratheodory distances // Annales de l'Institut Henri Poincaré—Analyse non linéaire, 2001, v.18, 359-382

47. Agrachev A.A., Marigo A. Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions // Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 9, 111-120 (November 13, 2003).

48. El-Alaoui C., Gauthier J.-P., Kupka I. Small sub-Riemannian balls in R3 // J. Dynamical and Control Systems, 1996, v.2, 359-421

49. D'Alessandro D., Dahleh M. Optimal control of two-level quantum systems // IEEE Trans. Automat. Control 46 (2001), No. 6, 866-876.

50. Altafini C. Controllability of quantum mechanical systems by root space decomposition of su(N) // J. Math. Phys. 43 (2002), 2051-2062.

51. Anzaldo-Menezes A., Monroy-Pérez F. Charges in magnetic fields and sub-Riemannian geodesies// In: Contemporary trends in nonlinear geometric control theory and its applications, World Scientific, 2002, pp. 183-202.

52. El Assoudi R., Gauthier J. P. Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups of Type F4, G2, Cn, and Bn // Math. Control Signals Systems 1 (1988), 293-301.

53. El Assoudi R., Gauthier J.-P. Controllability of right-invariant systems on semi-simple Lie groups // New Trends in Nonlinear Control Theory, Springer-Verlag 122 (1989), 54-64.

54. El Assoudi R., Gauthier J. P., Kupka I. On subsemigroups of semisimple Lie groups // Ann. Inst. Henri Poincare, 13, No. 1, 117-133 (1996).

55. El Assoudi R. Accessibilité par des champs de vecteurs invariants à droite sur un groupe de Lie // Thèse de doctorat de l'Université Joseph Fourier, Grenoble, 1991.

56. Ayala Bravo V. Controllability of nilpotent systems // in: Geometry in nonlinear control and differential inclusions, Banach Center Publications, Warszawa, 32 (1995), pp. 35-46.

57. Bacciotti A. On the positive orthant controllability of two- dimensional bilinear systems// Systems and Control Letters. 1983. V. 3 P. 53-55.

58. Bacciotti A., Stefani G. On the Relationship Between Global and Local Controllability // Math. Systems Theory, 16 (1983), pp. 79-91.

59. Bellaiche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry // In: Sub-Riemannian geometry, A. Bellaiche and J.-J. Risler, Eds., Birkhâuser, Basel, Swizerland, 1996.

60. Bernoulli D. 26th letter to L. Euler (October, 1742) // In: Fuss, Correspondance mathématique et physique, t.2, St. Petersburg, 1843.

61. Bernoulli J. Véritable hypothèse de la résistance des solides, avec la demonstration de la corbure des corps qui font ressort // In: Collected works, t.2, Geneva, 1744.

62. Bianchini R. M., Stefani G. Graded approximations and controllability along a trajectory // SIAM J. Control and Optimization, 1990, v.28, 903-924

63. Bicchi A., Prattichizzo D., Sastry S. Planning motions of rolling surfaces// IEEE Conf. on Decision and Control, 1995.

64. Bloch A. Nonholonomic Mechanics and Control. Interdisciplinary Applied Mathematics, Volume 24, Springer, 2003.

65. Bonnard B. Contrôllabilité des Systèmes Bilinéaires // Math. Systems Theory 15 (1981), 79-92.

66. Bonnard B. Contrôllabilité des Systèmes Bilinéaires // In: Qutils et modeles math, autom. Anal. syst. et trait signal., vol. 1, Paris, 1981, 229-243.

67. Bonnard B., Jurdjevic V., Kupka I., Sallet G. Transitivity of families of invariant vector fields on the semidirect products of Lie groups // Trans. Amer. Math. Soc., 271, No. 2, 525-535 (1982).

68. Boothby W.M. Some comments on positive orthant controllability of bilinear systems // SIAM J. Control Optim., 20 (1982), No 5, pp. 634-644.

69. Boothby W.M., Wilson E. Determination of the transitivity of bilinear systems // SIAM J. Control Optim. 20 (1982) 634 644.

70. Borel A. Some Remarks about Transformation Groups Transitive on Spheres and Tori // Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 580-586.

71. Borel A. Le Plan Projectif des Octaves et les Sphères comme Espaces Homogènes // C. R. Acad. Sei. Paris 230 (1950), 1378-1380.

72. Boscain U., Chambrion T., Gauthier J.-P. On the K + P problem for a three-level quantum system: Optimality implies resonance //J. Dynam. Control Systems, 8 (2002), 547-572.

73. Brockett R., Dai L. Non-holonomic kinematics and the role of elliptic functions in constructive controllability //In: Nonholonomic Motion Planning, Z. Li and J. Canny, Eds., Kluwer, Boston, 1993, 1-21.

74. Brockett R.W. System theory on group manifolds and coset spaces // SIAM J. Control, 10, 265-284 (1972).

75. Brockett R. W., Millman R. S., Sussmann H. J., Eds. // Differential geometric control theory. Birkhäuser Boston, 1983

76. Brockett R.W. Control theory and singular Riernannian geometry. // In: New directions in applied mathematics (P.J.Hilton and G.S.Young (Eds.)), Springer-Verlag, 1981.

77. Bruni C., Di Pillo G., Koch G., Bilinear systems: an appealing class of "nearly linear" systems in theory and applications // IEEE Trans. Autom. Control, AC 19 (1974), 334 348.

78. Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldshmidt H.L., Griffits P.A. Exterior differential systems, Springer-Verlag, 1984.

79. Cartan Е. Lès systèmes de Pfaff a cinque variables et lès equations aux derivees partielles du second ordre // Ann. Sei. École Normale 27 (1910), 3: 109-192.

80. Cesari L. Optimization — Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1983.

81. Daleh M. A., Peirce A. M., Rabitz H. Optimal control of quantum-mechanical systems: existence, numerical approximation, and applications // Phys. Rev. A 37 (1988).

82. Davydov A. A. Qualitative theory of control systems. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, 1994.

83. Elliott D., Tarn T. Controllability and Observability for Bilinear Systems // SIAM National Meeting, Seattle, Washington, 1971.

84. Enos M. J. Controllability of a system of two symmetric rigid bodies in three space // SIAM J. Control Optim. 32 (1994), No. 4.

85. Gauthier J. P., Bornard G. Contrôlabilité des systèmes bilinèaires // SIAM J. Control Optim., 20, No. 3, 377-384 (1982).

86. Gauthier J. P., Kupka I., Sallet G. Controllability of Right Invariant Systems on Real Simple Lie Groups // Systems к Control Letters, 5 (1984), 187-190.

87. Gauthier J.-P., Kupka I.A.K. Deterministic observation theory and applications, Cambridge University Press, 2001.

88. Gershkovich V. Ya. Engel structures on four dimensional manifolds // Preprint series No. 10, The University of Melbourne, Dept. of Mathematics, 1992.

89. Hilgert J., Hofmann K.H., Lawson J.D. Lie Groups, Convex Cones, and Semigroups, Oxford University Press, 1989.

90. Hilgert J., Hofmann K. H., Lawson J. D. Controllability of systems on a nilpotent Lie group // Beiträge Algebra Geometrie, 20, 185-190 (1985).

91. Hilgert J., Neeb K.H. Lie Semigroups and their Applications // Lecture Notes in Math. 1552 (1993).

92. Hirsch M.W., Convergence in neural nets // Proceedings of the International Conference on Neural Networks, vol. II, 1987, pp. 115-125, IEEE, USA.

93. Hofmann К. H. Lie Algebras with Subalgebras of Codimension One // Illinois J. Math. 9 (1965), 636-643.

94. Hofmann K.H. Hyperplane Subalgebras of Real Lie Algebras // Geometriae Dedicata 36 (1990), 207-224.

95. Hofmann K.H. Compact Elements in Solvable Real Lie Algebras // Seminar Sophus Lie (now: Journal of Lie theory) 2 (1992), 41-55.

96. Hofmann K.H., Lawson J. D. Foundations of Lie Semigroups // Lecture Notes in Mathematics, 998 (1983), 128-201.

97. Hunt K. R. Controllability of Nonlinear Hypersurface Systems // In: C.I. Byrnes and C. F. Martin Eds., Algebraic and Geometric Methods in Linear Systems Theory, AMS, Providence, Rhode Island, 1980.

98. Hunt K.R. n-Dimensional Controllability with (n 1) Controls // IEEE Trans. Automatic Control 27 (1982), 113-117.

99. Isidori A. Nonlinear control systems: an introduction, Springer-Verlag, 1985.

100. Jacquet S. Regularity of sub-Riemannian distance and cut locus // Preprint No. 35, May 1999, Universita degli Studi di Firenze, Dipartimento di Matematica Applicata "G. Sansone", Italy.

101. Jakubczyk В., Respondek W., Eds., Geometry of feedback and optimal control. Marcel Dekker, 1998

102. Jurdjevic V. The geometry of the ball-plate problem // Arch. Rat. Mech. Anal., v. 124 (1993), 305-328.

103. Jurdjevic V. Non-Euclidean elastica // Am.J.Math., v. 117 (1995), 93-125.

104. Jurdjevic V. Geometric control theory, Cambridge University Press, 1997.

105. Jurdjevic V., Kupka I. Control systems on semi-simple Lie groups and their homogeneous spaces // Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 31, No. 4, 151-179 (1981).

106. Jurdjevic V., Kupka I. Control systems subordinated to a group action: Accessibility // J. Differ. Equat., 39, 186-211 (1981).

107. Jurdjevic V., Sallet G. Controllability Properties of Affine Systems // SIAM J. Control Opt. 22 (1984), 501-508.

108. Jurdjevic V., Sussmann H.J. Controllability of non-linear systems // J. Diff. Equat., 12, 95-116 (1972).

109. Jurdjevic V., Sussmann H.J. Control systems on Lie groups // J. Diff. Equat., 12, 313-329 (1972).

110. Kawski M. Combinatorics of nonlinear controllability and noncommuting flows // In: Mathematical control theory, ICTP Lecture Notes Series, 2002, v.8, 222-311

111. Khaneja N., Brockett R., Glaser S. J. Time optimal control in spin systems // Phys. Rev. A 63 (2001).

112. Krener A. A generalization of Chow's theorem and the Bang-Bang theorem to nonlinear control problems // SIAM J. Control, 12, 43-51 (1974).

113. Krener A. J., Nikitin S. Generalized isoperimetric problem // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, 7 (1997), 3: 1-15.

114. Kucera J. Solution in Large of Control System x = (Л(1 — и) +Bu)x // Czech. Math. J. 16 (1966), 600-623.

115. Kucera J. Solution in Large of Control System x = (Au + Bv)x // Czech. Math. J. 17 (1967), 91-96.

116. Kucera J. On the Accessibility of Bilinear System // Czech. Math. J. 20 (1970), 160168.

117. Lawden D.F. Elliptic functions and applications, Springer-Verlag, 1989.

118. Lawson J. D. Maximal subsemigroups of Lie groups that are total // Proc. Edinburgh Math. Soc., 30, 479-501 (1985).

119. Laumond J.P. Nonholonomic motion planning for mobile robots // LAAS Report 98211, May 1998, LAAS-CNRS, Toulouse, France.

120. Li Z., Canny J. Motion of two rigid bodies with rolling constraint // IEEE Trans, on Robotics and Automation, (1), 6 (1990), 62-72.

121. Lovric M. Left-invariant control systems on Lie groups // Preprint F 193-CT03. The Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Canada, January 1993.

122. Monroy-Perez F., Anzaldo-Meneses A. Optimal Control on Nilpotent Lie Groups // J. Dynam. Control Systems, 8, no. 4, 487-504 (2002).

123. Montgomery D., Samelson H. Transformation Groups of Spheres // Ann. of Math. 44 (1943), 454-470.

124. Montgomery R. A tour of subriemannian geometries, their geodesies and applications. AMS, 2002, 259pp.

125. Mittenhuber D. Controllability of Solvable Lie Algebras //J. Dynam. Control Systems 6 (2000), No. 3, 453-459.

126. Mittenhuber D. Controllability of Systems on Solvable Lie Groups: the Generic Case // J. Dynam. Control Systems 7 (2001), No. 1, 61-75.

127. Möhler R.R. Bilinear control processes // in: Mathematics in science and Engineering, 106, Academic Press, New York, 1973.

128. Monroy-Perez F., Anzaldo-Meneses A. The step-2 nilpotent (n,n(n + l)/2) sub-Riemannian geometry //J. Dynam. Control Systems, 12, No. 2, 185-216 (2006).

129. Myasnichenko O. Nilpotent (3,6) Sub-Riemannian Problem // J. Dynam. Control Systems 8 (2002), No. 4, 573-597.

130. Myasnichenko O. Nilpotent (n,n(n + 1)/2) sub-Riemannian problem, J. Dynam. Control Systems 8 (2006), No. 1, 87-95.

131. Nijmeijer H., van der Schaft A. Nonlinear dynamical control systems, Springer-Verlag, 1990.

132. Poincaré H. Sur une forme nouvelle des equations de la mechanique // Comptes Rendus des Sciences, 132 (1901): 369-371.

133. Rink R.E., Möhler R.R. Completely controllable bilinear systems // SIAM J. Control, 6 (1968), 477 486.

134. Saalschütz L. Der belastete Stab, Leipzig, 1880.

135. Sachkov Yu. L. Invariant Orthants of Bilinear Systems // Proc. Second Europ Contr. Confer., 776-779, Groningen, Netherlands, 1993

136. Sachkov Yu. L. Controllability of hypersurface and solvable invariant systems // J. Dyn. Control Syst., 2, No. 1, 55-67 (1996).

137. Sachkov Yu. L. Controllability of right-invariant systems on solvable Lie groups //J. Dyn. Control Syst., 3, No. 4, 531-564 (1997).

138. Sachkov Yu. L. On Positive Orthant Controllability of Bilinear Systems in Small Co-dimensions // SIAM Journ. Contr. Optimiz., 35 (1997), 1: 29-35

139. Sachkov Yu. L. Controllability of Affine Right-Invariant Systems on Solvable Lie Groups // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 1 (1997), 239246.

140. Sachkov Yu. L. On invariant orthants of bilinear systems // J. Dyn. Control Syst., 4, No. 1, 137-147 (1998).

141. Sachkov Yu. L. Survey on. Controllability of Invariant Systems on Solvable Lie Groups, Differ. Geometry and Control // Proc. Of Symposia in Pure Mathem. 64 (1999), 297317

142. Sachkov Yu. L. Classification of controllable systems on low-dimensional solvable Lie groups // Journal of Dynamical and Control Systems, 6 (2000), 2: 159-217.

143. Sachkov Yu. L. Symmetries of Flat Rank Two Distributions and Sub-Riemannian Structures // Transactions of the American Mathematical Society, 356 (2004), 2: 457-494.

144. Samelson H. Topology of Lie Groups // Bull. Amer. Math. Soc. 58 (1952), 2-37.

145. San Martin L. A. B. Invariant control sets on flag manifolds // Math. Control Signals Systems, 6, 41-61 (1993).

146. San Martin L.A.B., Tonelli P. A. Semigroup actions on homogeneous spaces // Semigroup Forum, 14, 1-30 (1994).

147. Sarychev A.V., Torres D.F.M. Lipschitzian regularity of minimizers for optimal control problems with control-affine dynamics // Applied Mathematics and Optimization, 41: 237-254 (2000).

148. Silva Leite F., Crouch P. C. Controllability on classical Lie groups // Math. Control Signals Syst. 1 (1988), 31-42.

149. Sontag E.D. Mathematical control theory: Deterministic finite dimensional systems. Spinger-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1990.

150. Sussmann H. J. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Trans. Am. Math. Soc. 180 (1973), 171-188.

151. Sussmann H. J., Ed. Nonlinear controllability and optimal control. Marcel Dekker, 1990

152. Sussmann H. J. Lie brackets and local controllability: a sufficient condition for scalar-input systems // SIAM J. Control and Optimization,1983, v.21, 686-713258 БИБЛИОГРАФИЯ

153. Sussmann Н. J. A general theorem on local controllability // SIAM J. Control and Optimization, 1987, v.25, 158-194

154. Varadarajan V.S. Lie groups, Lie algebras, and their representations. Spinger-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1984.

155. Vendittelli M., Laumond J.P., Oriolo G. Steering nonholonomic systems via nilpotent approximations: The general two-trailer system // 1999 IEEE International Confer, on Robotics and Automation, May 10-15, 1999, Detroit, MI.

156. Zelikin M.I., Borisov V.F. Theory of chattering control with applications to astronautics, robotics, economics, and engineering. Birkhauser, Basel, 1994.