Инвариантные и статистически слабо инвариантные множества управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Родина Людмила Ивановна

ИНВАРИАНТНЫЕ И СТАТИСТИЧЕСКИ СЛАБО ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Владимир — 2011

12 Я Н В 1Ш

005007308

Работа выполнена на кафедре математического анализа Удмуртского государственного университета.

Научный консультант : доктор физико-математических наук,

профессор Тонков Евгений Леонидович

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор Давыдов Алексей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Обуховский Валерий Владимирович

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук,

профессор Ушаков Владимир Николаевич

Ведущая организация : Институт динамики систем и теории управления СО РАН, г. Иркутск.

Защита состоится 2012 г. в 16.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.024.02 при Владимирском государственном университете по адресу: 600000, г. Владимир, ул. М. Горького 87, ауд.....

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета.

Автореферат разослан НЦ." 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ДМ 212.024.02 при ВлГУ кандидат физико-математических наук, доцент — Наумова С. Б.

Актуальность темы. Одной из важных задач теории управляемых процессов является задача исследования инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений. Данной тематике посвящены работы Х.Г. Гусейнова, H.H. Красов-ского, А. Б. Куржанского, Ж. П. Обена, Ю.Л. Сачкова, А. И. Субботина, Б. JI. Тонкова, В. Н. Ушакова, Т. Ф. Филипповой, П. Хартмана и многих других авторов.

Приведем определения инвариантного и слабо инвариантного множества относительно дифференциального включения

xeF{t,x), (t,x)e R1+n. (1)

Пусть M С R1+n — замкнутое множество, M(t) = {х <Е Rn : {t,x) € M}.

Определение 0.1. Множество M С К1+п называется инвариантным (сильно инвариантным) относительно дифференциального включения (1), если для любой точки (tQ,x0) G M и любого решения x(t) включения (1), удовлетворяющего начальному условию x(tо) = хо, для всех t ^ to выполнено условие x(t) е M(t).

Данее, множество M С R1+n называется слабо инвариантным относительно включения (1), если для любой точки (io.^o) € м существует решение x(t) данного включения, которое удовлетворяет начальному условию x{t0) = х0 и при всех t ^ t0 включению х(£) G M{t). Траектория такого решения называется выживающей, а множество M также называется множеством выживаемости для дифференциального включения (1).

Исследования слабо инвариантных множеств тесно связаны с теорией управления и теорией дифференциальных игр. По-видимому, первый результат в этой области опубликован в работе М. Нагумо1 в 1942 году, в которой были получены необходимые и достаточные условия слабой инвариантности заданного множества относительно дифференциального уравнения.

Приведем примеры некоторых задач, связанных с существованием инвариантных множеств. Одной из них является задача о приведении управляемой системы на целевое множество, описанная в монографии H. Н. Кра-совского и А. И. Субботина2. Здесь исследуется слабо инвариантное множество W(t,ti,Xi) в момент времени t с целевым множеством Хх и конечным моментом времени t\, которое оказывается максимальным среди всех

1 Nagimio M. Über die Laga der integralkurven gewöhnlicher differential Gleichungen // Proc. Phys. Math. Japan. - 1942. - T.24. - C. 399-414.

2Красовский H. H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974. — 456 с.

множеством, обладающих свойством u-стабильности и поэтому называется максимальным стабильным мостом. Свойство u-стабильности множества здесь означает его слабую инвариантность относительно любого дифференциального включения из некоторого семейства. Слабо инвариантные множества дают возможность решать различные задачи верификации. Например, при заданном начальном множестве фазовых переменных Хо необходимо узнать, можно ли перевести таекторию из Х0 в заданное целевое множество Xi в фиксированный момент времени t,\. В терминах слабо инвариантных множеств данная задача имеет следующее решение: траекторию можно перевести из Х0 в Х\ на отрезке времени [io,ii] тогда и только тогда, когда Хо П W(to,h,Xi) Ф 0 (А. Б. Куржанский, П. А. Точилин3). Отметим также, что понятие слабой инвариантности является ключевым понятием теории минимаксных решений (А. И. Субботин, H. Н. Субботина, J. P. Aubin, M. G. Crandall, G. Haddad, R. T. Rockafellar, R. J.-B. Wets и др.).

Основным объектом исследования в данной работе является управляемая система (точнее, семейство управляемых систем)

х = /(/iV, х, и), (t., а, х, и) в M х Е х Rn х Km; (2)

в качестве вспомогательного объекта рассматривается соответствующее системе (2) дифференциальное включение

х 6 х), (t., <т, х) 6 К х Е х R", (3)

правая часть которого параметризована с помощью топологической динамической системы (Е,/г(). Здесь Е — полное метрическое пространство, h1 — поток на Е. Такая параметризация позволяет, во-первых, включить в рассмотрение ряд задач, связанных с асимптотическим поведением решений управляемых систем; во-вторых, получить ряд общих утверждений (поскольку с помощью динамической системы сдвигов удается описать все семейство управляемых систем). Мы также рассматриваем управляемую систему (2) и включение (3), порожденные метрической динамической системой (Е, 21, и, h'); это означает, что на сигма-алгебре 21 подмножеств пространства Е задана вероятностная мера v, инвариантная относительно потока h1. В этом случае функция t —► Р(кга,х) является стационарным в узком смысле случайным процессом и тем самым мы имеем дифференциальное включение со случайными параметрами. Следовательно, для таких включений появляется возможность исследовать свойства решений, которые выполнены с вероятностью единица.

3Куржанский А. В., Точилин П. А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т.44, № 11. — С. 1523-1533.

Применение теории, связанной с динамической системой сдвигов для задач управления линейными нестационарными системами, по-видимому, впервые было предложено Е. JL Тонковым4. Это привело к возникновению таких понятий в математической теории управления, как равномерная полная управляемость, равномерная локальная и глобальная управляемость, равномерная стабилизируемость. Управляемые системы, коэффициенты которых являются стационарными случайными процессами, наряду с

E.Л. Тонковым исследовали О.В. Баранова, И. Я. Кац, A.M. Куриленко, Г. Н. Мильштейн, Ю.М. Репин, Р. Ришел, Р. 3. Хасьминский, Е. К. Boukas,

F. Colonius, D. P. De Farias, S. Ibrir, R. Jonson, W. H. Fleming, H. M. Soner.

В различных областях математической теории управления при идеализации реальных систем с большими управляющими воздействиями возникают модели управляемых систем и дифференциальных включений с неограниченным множеством скоростей, которые исследовались в работах Б. Д. Гельмана, В. И. Гурмана, В. В. Обуховского, Ю. JI. Сачкова. В диссертации я изучаю дифференциальное включение (3), правая часть которого имеет выпуклые замкнутые, но не обязательно компактные в R" образы. В случае, когда правая часть включения (3) имеет компактные образы, обычно применяется пространство comp(Rn), состоящее из непустых компактных подмножеств в Rn с метрикой Хаусдорфа, что позволяет ввести в рассмотрение содержательные определения полунепрерывное™ сверху и снизу функции ((Т,.х) —» F{a,x) со значениями в пространстве comp(Kn). Отметим, что вопросам существования решения данных включений и свойствам множества решений посвящено большое количество исследований, среди которых работы Ю. Г. Борисовича, А. Н. Витюка, Б. Д. Гельмана, Дж. Дэви, В. Г. Задорожнего, С. Зарембы, М. И. Каменского, H. Н. Красовского, А. Б. Куржанского, А. Маршо, А. Д. Мышкиса, Ж. П. Обена, В. В. Обуховского, Ю. С. Осипова, Н. С. Папагеоргиу, В. А. Плотникова, А. В. Плотникова, А. И. Субботина, А. А. Толстоногова, В.Н. Ушакова, А. Ф. Филиппова., И. А. Фипогенко, А. Г. Ченцова. Подробную библиографию и обзор различных направлений исследований можно найти в монографии Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмана, А. Д. Мышкиса, В. В. Обуховского5.

Для дифференциальных включений вида (3), ориентированных на при-

4Тонков Е. JI. Динамическая система сдвигов и вопросы равномерной управляемости линейной системы // Докл. АН СССР. — 1981. - Т.256, № 2. - С. 290-294.

Тонкое Е. J1. Динамическая система сдвигов и вопросы глобальной управляемости лииейной почти периодической системы // Успехи матем. наук. — 1981. — T.3G, Л'а 4(220). - С. 226.

^Борисович IO. Г., Гельман Б. Д., Мышкис. А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. — M.: URSS, 2011. — 224 с.

менение к управляемым системам, требование компактности образов Р может оказаться обременительным. Поэтому возникает необходимость рассматривать пространство, состоящее из непустых выпуклых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств евклидова пространства К™, которое будем обозначать с1су(Мп). В пространстве с1су(Е") вводится метрика которую мы называем метрикой Хаусдорфа-Бебутова, и тогда это пространство становится полным пространством с топологией сходимости, равномерной на компактах. В диссертации исследуются основные свойства полуотклонений £>(.Р, й), 0(0, /-1) и расстояния С) между

выпуклыми замкнутыми множествами ? и С, введено и исследовано понятие полунепрерывности сверху и снизу в терминах полуотклонений Б и непрерывности в терминал метрики Хаусдорфа-Вебутова. Получены аналоги известных теорем существования решения задачи Коши для дифференциального включения с фазовыми ограничениями

х 6 х), х(г) € М(кь&),

относительно которого предполагается, что функция (а, х) —* Р(а,х) принимает значения в пространстве с1су(Кп).

Вопрос о существовании инвариантных множеств имеет важное значение во многих прикладных задачах управления, в частности, в задачах, возникающих в экономике. Основное требование к управлению экономическими системами состоит в том, чтобы не нарушать заданных ограничений на множество допустимых управлений. Но если по ряду причин такие нарушения все-таки происходят и всякая траектория движения уходит из множества, обусловленного ограничениями, то надо научиться управлять таким образом, чтобы относительная частота попадания траектории в данное множество равнялась единице. Одна из возможных математических постановок этой задачи состоит в том, чтобы научиться вычислять относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в заранее заданном множестве М. Если эта частота равна единице, то множество М будем называть статистически инвариантным. Не менее важно научиться строить для каждой начальной точки множества М такое управление, что решение управляемой системы при заданном управлении статистически инвариантно. В этом случае множество М будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы. Таким образом, мы расширяем понятие инвариантности, рассматривая статистически инвариантные множества.

Для определения статистически инвариантного множества относительно управляемой системы (2) введем следующую характеристику. Пусть

M = £ X M (a) — заданое подмножество пространства il = Sx clcv(Rrl), A(t,a, X) — множество достижимости системы (2) в момент времени i из начального множества X. В предположении, что для каждого а е £ множество A(t, а, X) существует при всех t > 0, относительной частотой поглощения множества достижимости системы (2) множеством M назовем следующий предел

f , . те5{1е[0,$}:А(1,а,Х)СМ(Уа)} freqfcr, X) = lim ---•

4 ' t9—»oo

Подобные характеристики рассматривались в работах В. В. Немыцкого и В. В. Степанова6, В. В. Степанова7, H. Hilmy8 в связи с задачами существования минимального центра притяжения движения и свойством воз-вращаемости областей, а также в эргодической теории при исследовании различных свойств возвращения, таких как рекуррентность орбиты, топологическая транзитивность, минимальность и топологическое перемешивание (см., например, работы А. М. Вершика, А. Б. Катка, И. П. Корнфельда, В. А. Рохлина, Я.Г. Синая, A.M. Степина, C.B. Фомина, Б. Хасселблата).

Определение 0.2. Множество M будем называть статистически инвариантным относительно управляемой системы (2), если для всех a G Е выполнено равенство

г . mes{/. £ [0,1?! : A(t,a,M(a)) С Mjh'a)}

freq(<7, М(а)) = Ып ---- 1.

Определение 0.3. Множество M будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы (2), если для любой точки (ст,х) е M найдется решение ip{t,a,x) данной системы, продолжаемое на полуось R+ = [0,ос), удовлетворяющее начальному условию ср(0,<т,х) = х и равенству

, ,, , . — mesjt 6 M] : <p{t,tr,x) € Mjh'cr)} _ 1 freq (v)=hm -5--I-

Характеристику freq*(<p) мы называем верхней относительной частотой попадания решения ip(t,a,x) в множество М.

6Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.

- М.: ГИТТЛ, 1949. - 550 с.

7Stepanoff W. Sur une extension du theoreme ergodique // Comp. Math. — 1936. — № 3.

- C. 68-85.

sHilmy H. Sur les centres d'attraction minimaux dans les systèmes dynamiques // Comp. Math. - 1936. - T.3, № 2. - C. 187-204.

В диссертации исследуются условия существования статистически инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств, дополняющие результаты работ [16-22], [25]. Основные утверждения формулируются в терминах метрики Хаусдорфа-Бебутова, функций А. М. Ляпунова и производной Ф. Кларка данных функций.

Следующий круг изучаемых вопросов связан с задачами существования инвариантных множеств для систем со случайными параметрами. Приведем определение статистически инвариантного с вероятностью единица множества управляемой системы (2), параметризованной метрической динамической системой (Е,21,г/,/г().

Определение 0.4. Множество М будем называть статистически инвариантным с вероятностью единица относительно управляемой системы (2), если для почти всех а £ Е выполнено равенство &еа(ст, М{а)) = 1.

В частности, в работе рассматриваются статистически инвариантные множества для линейной управляемой системы

х = А(к{а)х + В(1г1а)и, (¿, а, х, и) 6 К х Е х К" х Кт (4)

и билинейной управляемой системы

х= (А{111<т)+иВ{Ь.1о))х, (г, сг, х, ы) € К х Е х К" х К. (5)

Показано, что данные системы можно отождествить со стационарным в узком смысле случайным процессом £(Л'<т) = (Л(А'сг), В(к1а)); при этом для каждого а £ Е функция г —> £(Л'<т) является кусочно-постоянной и принимает значения в заданном множестве Ф = {^гИ=1 — конечном множестве матричных пар, которые будем называть состояниями управляемой системы. Смена состояний системы происходит в случайные моменты времени, которые назовем моментами переключения данной системы или моментами переключения случайного процесса £(/>'<т). Отметим, что подобные системы со случайными параметрами исследовались многими авторами в связи с задачами полной управляемости, равномерной локальной, равномерной глобальной управляемости, устойчивости и стабилизации.

Задача о построении слабо инвариантных множеств для линейной системы (4) тесно связана с задачей построения неупреждающего управления для данной системы. Термин «неупреждающее управление», по-видимому, введен свердловской школой по теории управления (см., например, работы

H.H. Красовского 9, H.H. Красовского и А. И. Субботина10, А. И. Субботина и А.Г. Ченцова11), задача построения управления данного типа для детерминированных систем исследовалась также в работах С. Ф. Николаева и Е. Л. Тонкова12. Управление u(t,x) называется неупреждающим, если для его построения в момент времени t = т может быть использована информация о поведении системы только при í ^ т.

Одна из особенностей построения неупреждающего управления для системы со случайными параметрами (4) состоит в том, что нам неизвестны моменты переключения и состояния данной системы, которые появляются при t > т. Поэтому возникает следующая задача: нужно научиться строить такое управление, чтобы траектория управляемой системы оставалась как угодно долго в некотором (слабо инвариантном) множестве до появления нужного состояния этой системы. В диссертации, на основании результатов работ [6-13] и [15] получены новые достаточные условия существования неупреждающего управления для системы (4), а также оценка снизу вероятности того, что данная система локально управляема на фиксированном отрезке времени.

Другой важной задачей, связанной с задачей существования слабо инвариантных множеств, является задача об исследовании полной управляемости для линейной системы 5 :

i = A{t)x + B{t)u, (í,i,u)elxPxr.

Определение 0.5. (Р. Калман 13, H.H. Красовский 14) Система S называется вполне управляемой на отрезке I = [ío,íi], если для каждого х0 е Кп найдется управление и : [¿o,íi] —> Rm такое, что решение х(-)

9Красовский H.H. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры // Прикл. матем. и механика. — 1982. — Т.46, № 6. - С. 885-892.

Красовский H. Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 520 с.

1 Красовский H. Н., Субботин Л. И. Позициониые дифференциальные игры. — М..- Наука, 1974. - 456 с.

11Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 286 с.

12Николаев С. Ф., Тонков Б. Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференц. уравнения. — 2000. - Т.36, № 1. — С. 76-84.

Николаев С. Ф., Тонков Е. Л. О некоторых задачах, связанных с существованием и построением неупреждающего управления для нестационарных управляемых систем // Вестник Удмуртского ун-та. Серия матем. Ижевск. — 2000. — № 1. — С. 11-32.

13Kalmau R. Е. Contribution to the theory of optimal control // Boletín de la Sociedad Matematika Mexicana. - 1960. - T.5, № 1. - С. 102-119.

14Красовский H.H. Теория управления движением. M.: Наука, 1968. 476 с.

задачи Коши

X = A{t)x + B{t)u{t), x{t0) = xQ

удовлетворяет равенству x(ty) = 0. Далее, система S называется вполне управляемой, если для каждого момента времени to £ К найдется значение ii > to такое, что система 5 вполне управляема на отрезке [to,íi].

Если система 5 стационарна, то есть матрицы А и В не зависят от времени, то для полной управляемости данной системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

rank{ß, AB,..., Ап~1В} = п.

Этот результат был получен для системы с одним входом (то есть при m = 1) в работе Р. Калмана15 и в общем случае — в работе J. Р. La Salle16.

H.H. Красовским17 получено достаточное условие полной управляемости системы S в предположении, что элементы матриц A(t) и B(t) имеют непрерывные производные вплоть до (п - 1)-го порядка. Рассматривается матрица

K(t,S) = {K0(t,S),...,Kn^(t,S)}, (6)

K0(t, S) = B(t.),..., K¡(t) = A(t)Ki-i(t, S) - ki-ilt, S), i = 1,... ,n - 1.

Утверждается, что если на. отрезке I = [to,ti] найдется m,очка V такая, что rank К (t.*, S) = п, то система S вполне управляема на I. Известно, что данное условие не является необходимым и существуют примеры вполне управляемых систем, для которых rank .^(f, S) ^ п — 1 при всех í € I (A.A. Леваков18, С. А. Минюк19). В работе А. Чанга20 показано, что если функция t —> S(f) аналитическая на некотором открытом интервале, содержащем отрезок I, то условие rank K(t*, S) —п не только достаточно, но и необходимо для полной управляемости системы S.

В связи с этими результатами H. Н. Красовского и А. Чанга возникает следующая задача: если rank K(t, S) ^ п - 1 при всех t G I и функция

15Калман Р. Е. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК. Изд-во АН СССР. — 1961. — Т.2. — С. 521-547.

16La Salle J. P. Time optimal control systems // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. — 1959. — T.l №45. - C. 4-13.

17Красовский H.H. Террия управления движением. M.: Наука, 1968. 476 с.

18Леваков A.A. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. - 1987. — Т.23, № 5. — С. 798-80G.

19Минюк С. А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т.26, № 3. — С. 414-420.

20Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans. Autom. Control. - 1965. - T.10, № 1. - C. 112-114.

t —> S(t) не является аналитической (но имеет достаточное число производных), то при каких дополнительных условиях система S вполне управляема на отрезке I либо не обладает этим свойством? Такие условия получены в работах Л. Е. Забелло21, А. А. Левакова22, С. А. Минюка23, а также в работах [1], [2), [5], результаты которых представлены в диссертации.

В заключение отметим, что свойства сильной и слабой инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений при различных предположениях исследуются многими авторами. Например, в работах Х.Г. Гусейнова, А. И. Субботина и В. Н. Ушакова24, Х.Г. Гусейнова и В. Н. Ушакова25 получены условия инвариантности множеств на базе конструкций, развитых в теории дифференциальных игр при изучении стабильных мостов. В работах Е. А. Панасенко и Е. Л. Тонкова26 исследуются свойства положительной инвариантности и равномерной устойчивости по Ляпунову (в сильном и слабом смысле) относительно дифференциального включения, которое имеет замкнутые, но не обязательно компактные образы. В работе А. Б. Куржанского и П. А. То-чилина27 вводится понятие и исследуется структура слабо инвариантных множеств для так называемых гибридных систем. Ю. Л. Сачков 28 изучает условия, при которых существуют инвариантные ортанты билинейной системы. Кроме того, он исследует свойство управляемости билинейной си-

21Забелло Л.Е. Об управляемости линейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 8. — С. 13-19.

22Леваков А. А. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. — 1987. - Т.23, № 5. - С. 798-806.

23Минюк С. А. К теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц. уравнения. — 1990. - T.2G, № 3. — С. 414-420.

24Guseinov Н. G., Subbotin A. I., Ushakov V. N. Derivatives for multivalued mappings with applications to game theoretical problems of control // Probl. Contr. Inform. Theory. — 1985.

- T. 14, № 3. - C. 155-167.

25Гусейнов X. Г., Ушаков В. Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления // Дифференц. уравнения. — 1990. - Т. 26, № 11. — С. 1888-1894.

26Панасенко Е. А., Тонков Е.Л. Функции Ляпунова и положительно инвариантные множества дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 6. - С. 859-860.

Панасенко Е. А., Тонков Е.Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. — 2008. — Т. 262. — С. 202-221.

27Куржанский А. В., Точилин П. А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференц. уравнения. - 2008. — Т.44, № 11. — С. 1523-1533.

28Сачков Ю.Л. Инвариантные области трехмерных билинейных систем // Вестник МГУ, сер. мат., мех. — 1991. - № 4. — С. 23-26.

Сачков Ю. Л. Инвариантные ортанты билинейных систем // Дифференц. уравнения.

- 1995. — Т. 31, № 6. - С. 1094-1095.

стемы в положительном ортанте при помощи кусочно-постоянного неограниченного управления. В работах В. Н. Ушакова29 и его учеников исследуется свойство инвариантности множеств относительно дифференциального включения. В этих работах введено и исследовано понятие дефекта инвариантности для множеств, не обладающих свойством инвариантности.

Различные классы задач управления для систем со случайными параметрами рассматривались в работах Дж. Адомиана, Н. И. Андреева, Ю.М. Астапова, И. И. Гихмана, М. Ф. Диментберга, В. Г. Доступова, Л.Г. Евланова, И. Е. Казакова, В.М. Константинова, A.A. Красовского, B.C. Медведева, Ж.П. Обена, B.C. Пугачева, Р. Ришела, A.B. Скорохода, У. Флеминга, Р. 3. Хасьминского и ряда других авторов.

Цель работы. Целью диссертации является исследование инвариантных и статистически инвариантных множеств управляемой системы

х = f(hla,x,u), (£, сг, х, и) еВхЕхГх Rm,

правая часть которой параметризована с помощью топологической или метрической динамической системы; исследование свойств пространства clcv(Rn), состоящего из непустых выпуклых замкнутых подмножеств К"; изучение задач о полной управляемости и построении неупреждающего управления.

Методы исследования. Работа опирается на методы качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории управления, теории случайных процессов и теории динамических систем.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Основные результаты состоят в следующем.

1. Рассматривается пространство clcv(Rn), состоящее из непустых выпуклых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств евклидова пространства К", в котором вводится метрика Хаусдорфа-Бебутова Dist. Исследуются основные свойства полуотклонений D(F,G), D(G,F) и расстояния Dist(jF,G) между выпуклыми замкнутыми множествами F и G, введено и исследовано понятие полунепрерывности сверху и снизу в терминах полуотклонений D и непрерывности в терминах метрики Dist.

2!)Ушаков В. Н., Латушкин Я. А. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2006. — Т. 12, № 2. — С. 178-194.

Ушаков В. Н., Зимовец А. А. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — № 2. — С. 98-Ш.

2. Получены аналоги известных теорем существования решения задачи Коши для дифференциального включения с фазовыми ограничениями, относительно которого предполагается, что правая часть принимает значения в пространстве clcv(Rn).

3. Введены понятия и исследованы свойства статистически инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств относительно управляемой системы. Получены достаточные условия существования инвариантных (в указанном смысле) множеств, сформулированные в терминах метрики Хаусдорфа-Бебутова, функций A.M. Ляпунова и производной Ф. Кларка данных функций.

4. Для управляемой системы со случайными параметрами введены понятия статистически инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств с вероятностью единица. Получены достаточные условия существования таких множеств.

5. Получены необходимые и достаточные условия полной управляемости нестационарной линейной системы в предположении, что ранг матрицы Н. Н. Красовского M^ttbu+e размерности фазового пространства.

6. Получены достаточные условия существования неупреждающего управления для линейной системы со случайными параметрами, а также оценка снизу вероятности того, что данная система неупреждающе локально управляема на фиксированном отрезке времени.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты и примененные методы могут быть использованы при проведении исследований по математической теории управления в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте динамики систем и теории управления СО РАН, в Институтах математики НАН Беларуси и НАН Украины, в Московском, Владимирском, Воронежском, Ярославском и Удмуртском государственных университетах, а также при чтении спецкурсов на математическом факультете Удмуртского госуниверситета.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседаниях Ижевского городского семинара по дифференциальным уравнениям и теории управления в 2002 — 2011 годах, на всероссийской конференции «Теория управления и математическое моделирование», посвященной 75-летию Удмуртского государственного университета в Ижевске в 2006 году, на международной конференции «Моделирование и устойчивость динамических систем» в Киеве в 2007 году, на международной конференции «Колмого-ровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» в Тамбове в 2007 и 2009 годах, на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию Л. С. Понтрягина в

МГУ в 2008 году, на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего в МГУ в 2009 году, на международном математическом конгрессе ИФАК в Финляндии в 2009 году, на украинском математическом конгрессе, посвященном 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова в Киеве в 2009 году, на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале в 2010 году, на заседании семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в МГУ в 2011 году, на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского в МГУ в 2011 году, на международной конференции по математической теории управления и механике в Суздале в 2011 году, на заседании семинара по теории управления отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН в Екатеринбурге в 2011 году и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-28].

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, 27 параграфов (нумерация параграфов сквозная), 20 рисунков, заключения и списка литературы. Объём диссертации 246 страниц. Библиографический список содержит 228 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается общая характеристика рассматриваемого в диссертации круга вопросов, определяется цель работы, приводятся ссылки на основные работы и дастся краткий обзор основных направлений, к которым примыкает диссертация. Кратко характеризуется основное содержание работы, описываются подходы к решению задач.

В первой главе введено и исследовано пространство непустых замкнутых выпуклых (но не обязательно компактных) подмножеств К" с метрикой Хаусдорфа-Бебутова, которое обозначается с1с\'(Е").

В первом параграфе вводится расстояние (3) между множества-

ми ^ и <7 пространства с1су(Кп). Для определения этого расстояния обозначим через /о и до ближайшие к нулю пространства К" точки множеств ^ и С соответственно, а через Ог(/0) и От{(1о) обозначим замкнутые шары радиуса г с центрами в точках /0 и д0 из К". Введем в рассмотрение компактные при каждом г £ [0, оо) множества

= Ог = О[}Ог(д0)

и полуотклонения Рг, йг), где

<1{РТ,СГ) = тахе(/,Сг), (¡(вг^г) = тах£>(5,.Гг).

дьС-г

Далее, определим полуотклонения

б) = вирттМЯ-.О,.), 1/г}, £((7,^) = зирттЦСг.Д.), 1/г} (7)

г>0 г>0

и расстояние

С) = тах{ад<?), £(<?,*•)}. (8)

которое будем называть метрикой Хаусдорфа-Бебутова. Получены основные свойства расстояния Бдз1;(.Р, С), в частности, показано, что это расстояние принимает конечные значения для любых, как ограниченных, так и неограниченных подмножеств К™.

Во втором параграфе исследованы основные свойства пространства С1су(К").

Определение 2.1. Будем говорить, что последовательность множеств гДе е с!су(Кп), сходится к множеству Р £ с1су(К") в метрике Хаусдорфа-Бебутова, если для любого е > 0, всех г € [0,1/е] и всех, достаточно больших индексов г, имеет место неравенство 1(Р£,РГ) ^ с.

Такую сходимость будем называть также сходимостью, равномерной на компактах в

Теорема 2.1. Пусть последовательность множеств {Р1}^ такова, что Р* € с1су(Мп), г € N. Тогда равенство Нт = 0 эквива-

4 ' г—оо

лентно равномерной на компактах в К" сходимости последовательности к множеству Р € с1су(Кп).

Теорема 2.2. Пространство с1су(К") является полным в метрике Хаусдорфа-Бебутова, определенной равенствами (7), (8).

В третьем параграфе для функции Р(сг, х) переменных (а, х) 6 Е х К" со значениями в пространстве с1су(Е") введено и исследовано понятие полунепрерывности сверху и снизу в терминах полуотклонений Б и непрерывности в терминах метрики Хаусдорфа-Бебутова.

Определение 3.1. Функцию Р(а,х) будем называть полунепрерывной сверху в точке (ао,Хо), если для всякого г > 0 выполнено следующее свойство: для любого е > 0 найдется такое <5 > 0, что для всех точек (<т,х) из замкнутой окрестности О5(ао,х0) полуотклонение Хаусдорфа

ё(Рг(<?,х),Рг(0о,хо)) ^ е,

где Fr(a,x) = F(a,x)f]Or(f0(a,x)), /0(<х,x) — точка множества F(o,x), ближайшая к нулю пространства R".

Получены свойства полунепрерывной сверху функции F(cr,x), связанные с замкнутостью ее графика. Рассматривается функция (сг, х) —» /о(сг, х), где /о(с, х) — точка множества F{cr, х), ближайшая к нулю пространства Кп.

Теорема 3.1. Функция F : Т, х Rn clcv(Rn) полунепрерывна сверху в точке (coj^o) в метрике Хаусдорфа-Бебутова тогда и только тогда, когда для некоторой замкнутой окрестности О ¿{ао,хо) график данной функции является замкнутым множеством и функция (а, х) —* /о (а, х) непрерывна в точке (сго,хо).

Основным объектом исследования во второй главе являются управляемая система, дифференциальное включение и так называемая динамическая система сдвигов. Здесь приводятся основные сведения из теории динамических систем и описывается процесс построения динамической системы сдвигов по заданной управляемой системе и отвечающему ей дифференциальному включению.

В четвертом параграфе приведены определения и некоторые свойства топологической и метрической динамических систем. Здесь также описало, как по заданной управляемой системе (2) построить динамическую систему, которая является расширением исходной топологической или метрической динамической системы. В §5 построена динамическая система сдвигов, отвечающая системе (2) или управляемой системе

х = g(t,x,u), xeN(t), u<=U(t,x), te К,

где функции N и U принимают значение в пространствах clcv(Kn) и clcv(Rm) соответственно.

В шестом параграфе получены аналоги известных теорем существования решения задачи Коши для дифференциального включения с фазовыми ограничениями

¿ € F^V.z), x(t) £ М(1хьа), (9)

относительно которого предполагается, что функция (ст, х) —» F(a, х) принимает значения в пространстве clcv(Rn), а функция а —» М(а) принимает значения в пространстве clos(R") непустых замкнутых подмножеств в R™.

Обозначим через ТхМ(ст) опорный конус к множеству М в точке х. Функции F(ct, ж) и М(а) назовем согласованными, если функция а —» М{сг) непрерывна и выполнено условие

Q{a, ж) = F(ff, х) П ТхМ{а) ф 0 для всех (ег, х) е £ х М(<т).

Теорема 6.1. Пусть функции F{a,x) и М(а) являются согласованными и функция (cr,x) F(a,x) 6 clcv(Rn) полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа-Бебутова. Тогда для каждой точки (<j,xq), хо € М(а), найдется такой интервал (£„, t*) числовой прямой, что решение задачи Коши (9) существует при всех t 6 (t,,t*) и при всех t £ [0,£*) удовлетворяет включению x(t) € M{hla).

В этом параграфе также получены условия, при которых векторное поле, порожденное задачей (9). обладает свойством слабой полноты. Это означает. что для любой начальной точки (сг, xq) множества ИхМ(а) существует по крайней мере одно решение ip(t) задачи Коши (9), определенное и удовлетворяющее включению <fl(t) € М{№а) при всех t. £ Е+ == [0, +оо).

В третьей главе получены основные результаты диссертации, относящиеся к исследованию статистически инвариантных множеств управляемой системы (2), параметризованной топологической динамической системой (Е, Л.'). Предполагается, что выполнены следующие условия:

1) Для каждой точки (f,cr) функция (х,и) —+ /(Л'ст, х,и) непрерывна;

2) для каждой точки (сг, х, и) функция t —> /(Л'сг, х, и) кусочно-непрерывна;

3) функция (сг, х) —> U(cr,x) принимает значения в пространстве cIcv(Rm) и полунепрерывна сверху в метрике Хаусдорфа-Бебутова.

В седьмом параграфе введены и исследованы такие характеристики, как относительная частота, верхняя и нижняя относительная частота поглощения множества достижимости A(t,cr, X) системы (2) заданным множеством М = Е х М(а). Рассмотрим множество

где и = (сг, X). В предположении, что для каждого а £ Е множество достижимости А{1,а,Х) существует при всех I ^ О, относительной частотой поглощения множества достижимости системы (2) множеством М назовем следующий предел

а{ё0,t?,w) = {t е : A(t,u>) С М(Н*о)},

freq(w) = lim

mesa(0, i?, w)

lim

$—*oo

mes{t £ [0,0] : A{t,a,X) С M(/tf<j)}

(10)

Далее, если предел (10) не существует, то характеристики

mesa(0,i5, и)

будем называть, соответственно, верхней и нижней относительной частотой поглощения множества достижимости А(1,ш) системы (2) множеством М.

В восьмом параграфе доказано обобщение теоремы С. А. Чаплыгина30 о дифференциальных неравенствах и получены условия существования верхнего решения скалярной задачи Коши

в предположении, что выполнены следующие условия:

1) для каждого а 6 £ существует последовательность изолированных точек числовой оси {т&}£1о> такая, что функция —> и;(Л'сг,г) непрерывна в каждой из областей Gi == {(/., г) : I € [т,-_х, г,), г € М} и имеет предел слева при £ —> т;, г = 1,2,...;

2) для каждой точки сг) 6 К х Е выполнено неравенство

В девятом параграфе введены определения функции A.M. Ляпунова, производной Кларка, а также нижней и верхней производной в силу дифференциального включения (3). Обозначим через Мг(<т) = М(сг) 4- 0Г(0) замкнутую окрестность множества М(а) в К", через N+{<r) = Мг(а)\М{а) — внешнюю r-окрестность границы множества М(а).

Определение 9.1.(Е. А. Панасенко, Е. JI. Тонков31) Скалярную функцию V(a,x) переменных (сг,.т) € £ х Rn будем называть функцией Ляпунова (относительно заданного множества М С ft), если она удовлетворяет локальному условию Липшица и выполнены следующие условия:

1) V(er,x) ^ 0 при всех (а,х) € £ х М(сг);

2) V{a,x) > 0 для всех (ст,х) 6 £ х Щ{ст).

Управляемой системе (2) поставим в соответствие дифференциальное включение

где через Н(а, ж) обозначено множество всех предельных значений функции /(с,а;,и(сг,х)) при (сг{,х¡) —> (сг,х), соН(а,х) — замыкание выпуклой оболочки множества Н(сг,х).

30Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений // Избранные труды. Механика жидкости и газа. Математика. М.: Наука, 1976.— С. 307-362.

31Панасенко Е. А., Тонков Е. Л. Распространение теорем Е. А. Барбашина и Н. Н. Кра-совского об устойчивости на управляемые динамические системы // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН. - 2009. - Т. 15, № 3. - С. 185-201.

Z = ц/г'сг, 2), z(io) = 20, t ^ to

(И)

х € Г(к1с,х), F(a, х) = соЯ(сг, х)

(12)

Определение 9.3. (Ф. Кларк32) Для локально липшицевой функции V(a,x) обобщенной производной в точке (сг, х) € Е х R" по направлению вектора q 6 Rn называется следующий верхний предел

limsnp +

(0,!/,£)-»(<т,1,+0) г

а выражения V°in(a, x) = inf V°{a, x\ q), V°ax(tr, ;c) = sup V°(ff, x; </)

Ч^П",!) q4F(a,x)

называются нижней и верхней производной функции V в силу дифференциального включения (12).

Исследованы необходимые для дальнейшего свойства функции Ляпунова V{a,x) и функции V(Л*<т, ст, ас)), где ip(t,cr,x) — некоторое решение включения (12) (леммы 9.1 - 9.3). В десятом параграфе получены условия существования решения дифференциального включения (12), продолжаемого на полуось R+ (обобщение теоремы Ла-Салля 33), а также условия, при которых все решения включения (12) продолжаемы на полуось R+.

Теорема 10.1. Если для каждого а € Е существуют функции V(a,x) и w(a,z) такие, что функция V(o,x) является бесконечно большой функцией Ляпунова и при всех (сг,:г) € Е х Qe, где Qe = {х е R" : |z| > р}, выполнено неравенство

Kiafax) < w(<r,V(a,x)), (13)

то при каждом сг € Е для каждой точки € Ж" существует решение дифференциального включения (12), удовлетворяющее начальному условию ip(0,a,xo) = хо и продолжаемое на полуось R+.

Теорема 10.2. Пусть дм каждого а Е Е существуют /функции V(a, x) и w(o,z) такие, что V(a,х) является бесконечно большой функцией Ляпунова и при всех (а, х) 6 Е х Qe выполнено неравенство

Тогда при каждом о € Е для каждой точки Жо 6 R" все решения дифференциального включения (12), удовлетворяющие начальному условию v(0,cr, xq) = .то, продолжаемы, на полуось R+.

32Clarke F. H. Generalized gradients and applications // Trans. Amer. Math. Soc. — 1975. - T. 205, № 2. - С. 247-262.

33Демидович. Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. - 472 с.

В §11 в предположении, что верхнее решение z*(t,a) задачи Коши (11) существует для всех t ^ 0, введена и исследована характеристика

. . , ., mes{i € [0,1?] : < 0} х(а) = lim -г-•

Если указанный предел существует, то х(а) является относительной частотой пребывания верхнего решения z*(t,a) задачи Коши в множестве (—оо, 0]. Если предел не существует, рассматриваются характеристики

. _-me8{te[0,rf]:z*(t,g)^0} к (<т) = urn-^-,

(?) = hm ---•

i?—»00 v

В следующей теореме получены условия статистической инвариантности заданного множества M = Е х M (а) в предположении, что все решения включения (12), удовлетворяющие начальному условию <р(0,<г,х) = х € M (а), продолжаемы на полуось К+.

Теорема 11.1. Пусть для каждого а € Е существуют функции V(o,x) и w(cr,z) такие, что функция V(cr, х) является функцией Ляпунова относительно множества М, при всех (?,х) 6 Е х R" выполнено неравенство (14) и при всех о € Е имеет место ■равенство я{о) = 1. Тогда множество M статистически инвариантно относительно системы (2).

Показано, что для каждого а € Е для любого множества X С M (о) верхняя и нижняя относительные частоты поглощения множества достижимости A(t, а, X) множеством M удовлетворяют неравенствам

. freq*(ui) Î? к*(a), freq„(w) ^ xt{<r).

В заключение параграфа исследовано свойство положительной инвариантности множества M относительно решений включения (12).

Следствие 11.2. Пусть для каждого и € Е множество M (а) компактно, существуют функции V(a,x) uw(a,z) такие, что функция V(a, а:) является функцией Ляпунова относительно множества M и при всех (а,х) € Е х R" выполнено неравенство (14).

Если для некоторого а € Е для всех t > 0 верхнее решение задачи Коши (11) удовлетворяет неравенству z*(t,a) < 0, то любое решение <p(t,<r,x) включения (12) с начальным условием <р(0,<т,х) = х € X ç M (а) продолжаемо на полуось R+ и множество достижимости A(t,o,X) поглощается множеством M при каждом t ^ 0.

В §12 результаты предыдущих параграфов применяются для исследования статистической инвариантности заданного множества М относительно линейной управляемой системы

х = А(1г*а)х + B{hba)u, (t,ff,i,ti)€lxSxM"x Mm,

которая параметризована топологической динамической системой (Е, hl).

В четвертой главе получены основные результаты диссертации, касающиеся вопроса существования слабо инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств управляемой системы (2).

Определение 13.2. Множество М называется слабо инвариантным относительно управляемой системы (2), если для любой точки (ст, х) е М найдется хотя бы одно решение <p{t, а, х) данной системы с начальным условием ip(0, а, х) = х, определенное и удовлетворяющее включению

ip(t, а, х) е М(кга) при всех t ^ 0.

В §13 получены достаточные условия статистически слабой инвариантности заданного множества М в предположении, что множество достижимости A(t,cт,Х) управляемой системы (2) существует для всех а € £ и всех t ^ 0.

Теорема 13.1. Пусть для каждого а Е Е существуют функции и w(o,z) такие, что V(a,x) является функцией Ляпунова относительно множества М, при. всех (cr,x) £ Е х Мп выполнено неравенство (13) и им.е.ет место равенство я* [а) = 1. Тогда множество М статистически слабо инвариантно относительно управляемой системы (2).

Следствие 13.1. Пусть для каждого а € Е существуют функции V(a,x) и w(a,z), удовлетворяющие следующим условиям:

1) верхнее решение z"(t,cr) задачи (11) при всех t^O определено и удовлетворяет неравенству z" (t, a) si 0;

2) функция V(a,x) является функцией Ляпунова относительно множества М и при всех (а,х) 6 Е х R" выполнено неравенство (13).

Тогда множество М является слабо инвариантным относительно управляемой системы (2).

В четырнадцатом параграфе получены условия существования предела и равенства >с(а) = 1 для линейной задачи Коши

z= а(кьа)г + Ь(к1а), г{0,<т) = 0, t ^ 0. (15)

Предполагается, что а является периодической точкой потока hl : Е —► Е, допускающей период Т и функции а(<т), Ь{а) непрерывны на множестве Е.

В §15 рассматривается задача Коши (15) в предположении, чтй при каждом фиксированном с £ Е функции t —> a{hla) Ht—* b(h(a) почти периодические в смысле Бора. Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 15.1. Предположим., что для каждого a Е Е имеет место равенство

mes{£ е [0,0] : b(hb<r) = 0} _

tf^o ■ô - '

функция t —* а(1г*сг) ограничена на R+, функция t —» Ь{1гга) почти периодическая в смысле Бора и удовлетворяет условию Липшица. Если для решения z(t, er) задачи (15) выполнены неравенства

lim z(t,a) ^ 0, lim z(t,a) < О,

i—°о t—oo

то предел х(сг) существует и равен единице.

В последнем параграфе главы введены понятия неблуждающего множества достижимости A(t,u>) системы (2) и минимального центра притяжения движения t —> дьи) = (hbcr, A(t,u>)) (определения 16.2 и 16.3). Получены условия (теоремы 16.1 - 16.3) неблуждаемости множества достижимости управляемой системы и условия существования минимального центра притяжения, дополняющие результаты работ34.

Основным объектом исследования пятой главы являются статистически инвариантные и статистически слабо инвариантные с вероятностью единица множества управляемой системы со случайными параметрами

х = /(/г'сг,х,и), (t, er, х, и) £ M х Е х Rn х Rm, (16)

порожденной метрической динамической системой (Е, 21, i>, h1). В частности, здесь изучаются инвариантные множества управляемых систем (4) и (5).

В §17 построена метрическая динамическая система (Е, 21, v, h1), которая параметризует управляемые системы (4) и (5) и поэтому их можно отождествить со стационарным в узком смысле случайным процессом

£(/ггст) = (А(1гга),В(к1а)),

реализации которого являются кусочно-постоянными функциями. В этом параграфе также введены ключевые понятия данной главы.

34Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений.

- М.: ГИТТЛ, 1949. - 550 с.

Каток. A.B., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем.

— М.: Факториал, 1999. — 767 с.

Определение 17.1. Множество М будем называть статистически инвариантным с вероятностью единица относительно управляемой системы (16), если для почти всех а £ Е выполнено равенство freq(<r, М(а)) = 1.

Определение 17.2. Множество М называется положительно инвариантным с вероятностью единица относительно системы (16), если для любого í ^ 0 имеет место равенство v{a £ Е : A[t,a,M{a)) С М(Ь.*сг)} = 1.

В следующем параграфе на основании результатов §11 и §13 получены достаточные условия статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности с вероятностью единица заданного множества М относительно управляемой системы (16) (теоремы 18.2 и 18.3).

Определение 18.1. Множество М будем называть статистически слабо инвариантным с вероятностью единица относительно системы (16), если для почти всех а £ Е для любой точки х £ М(а) найдется решение ip(t, ст, х) системы (16) с начальным условием <¿>(0, а, х) — х, продолжаемое на полуось R+, такое, что для этого решения верхняя относительная частота попадания в множество М равна единице:

Далее, множество М называется слабо инвариантным с вероятностью единица относительно управляемой системы (16), если для почти всех а £ Е для некоторого решения ст, х) с начальным условием ip(0,a,x) = х £ М(сг) включение ip(t,cr,x) £ М(]г*а) выполнено при всех t > 0.

В §19 показано, что для проверки инвариантности заданного множества М относительно управляемой системы (4) или (5) необходимо исследовать поведение решения z(í, а) задачи Коши (15) в предположении, что для каждого ст £ Е функции t -+ а.(Нь<т) и t -> b{h*a) кусочно-постоянные и имеют точки разрыва, совпадающие с точками разрыва функции £ —> £(Л,(сг). В леммах 19.2 и 19.3 получены условия равенства

н(а) = Jim "les{í€ iMl : z{t,ff) = 1

■д~*оо д

для задачи Коши (15), выполненные с вероятностью единица и связанные со сходимостью соответствующей последовательности случайных величин с вероятностью единица. Основные результаты главы доказаны при условии, что для почти всех а £ Е моменты переключения случайного процесса £(/iÉff) изолированы и число этих моментов бесконечно.

В §20 на основании результатов предыдущего параграфа получены достаточные условия существования предела н(ст) и равенства х(<т) = 1, вы-

полненные с вероятностью единица. Относительно метрической динамической системы (£, Я, и, №) здесь предполагается, что фазовое пространство Е = Ех х £2, где Ех — пространство числовых последовательностей в = (0Ь..., 9к,.. •), положительные случайные величины , $2, ■ • • независимы и02,(?з,... имеют функцию распределения Далее, пространство

£2 = {р ■ ¥> = •••),<?& е Ф}, где Ф = 1ре},

и если система

2 = а(1г'а)г + Ь{Ььсг), . (£, а, г) 6 К х £ х К (17)

находится в состоянии ф, — то эта система совпадает с линейным

уравнением

Предполагаем также, что из любого состояния \р1,..., ^ система (17) переходит в состояние -ф, с вероятностью р^ > 0, р\ + ... + рс = 1 и задано начальное распределение тг = (р\,... ,р().

Теорема 20.1. Пусть аф 0 для всех г = 1, ...,£,£ ^ 2 и найдется такое ;/' 6 {1,...что а^ > 0. Если им.еют место неравенства

к к . к тт — ^ тах —, тт — >0,

{г:сч<0} <2; {г:а<>0} О-; {¿:а4<0}

¿(р, Г < 1,

¿=1 •/о

то для задачи Кохии (15) равенство х(сг) = 1 имеет место с вероятностью единица.

к

Далее, если, а* < 0 для всех г = 1,... и тт — >0, то ■[Ю.венство

.иг(ст) = 1 выполнено для всех а € £.

В шестой главе исследуются условия полной управляемости на отрезке 1 — [¿о, ¿1] линейной нестационарной системы

х = А{{)х + Б(г)м, (г,1,п)£ЕхГхГ,

которая отождествляется с

функцией г £"(<) = (Л(г), 5(0) € М(п,п+т), ее задающей и называется системой 5. Рассматривается так называемый

критический случай, то есть предполагается, что ранг матрицы Н. Н. Кра-совского K(t,S), определенной равенством (6), не превосходит п - 1 для всех t € 1.

В §22 приведены некоторые известные результаты о полной управляемости системы S и получены утверждения о структуре пространства управляемости L(S, I) данной системы на отрезке I (леммы 22.2 и 22.3). В следующем параграфе на основании результатов §22 получены утверждения о размерности и структуре пространства управляемости L(S, /), выраженные в терминах матрицы Красонского K(t,S). В теореме 23.2 показано, что размерность пространства управляемости dimL(5,1) ^ rank K(t.,S) для всех £ € I. Далее получены условия, при которых dimL(5,1) — rankA"(£,S).

Теорема23.3. Пусть целые числат иг удовлетворяют неравенствам l^rn^n — 1, т ^ rm < п - т и для всех t € / имеют место равенства

rank AT(i, 5) = rank (KQ(t, S),. S)) = rm.

Тогда dim L(S, I) = rm и, следовательно, система S не является вполне управляемой на. отрезке I.

Теорема 23.4. Пусть rank A"(i, S) = г для всех t € / = [io.'i]- Тогда пространство управляемости системы S на отрезке I удовлетворяет следующим, равенствам L(S, I) = K(t.0, S) Rnm и dim L(S, I) = r.

В последнем параграфе главы получены необходимые и достаточные условия полной управляемости линейной системы S в критическом случае. В лемме 24.1 показано, что если rank K(t,S) = г для всех t е 3 = (io.ii), то матрица K(t, S) имеет г столбцов k^ (i),..., kir (t), линейно независимых в Мп для каждого £ 6 3, за возможным исключением счетного числа точек {ri,r2,...}. По векторам fcj,(£),...,fcjr(i) с помощью процесса ортогонали-зации построим ортонормированные векторы t\(t),... ,£T(t) и рассмотрим следующие пределы: ¿¿(т - 0) = lim ¿¿(f), ^(т + 0) = lim ¿¡(t).

t —* 1—0 t т+0

Теорема 24.1. Предположим., что rank K(t., S) = п при. всех ¿6 (ig,т) и rank K(l, S) = Г2 при всех I 6 (г, £j). Если пределы

£1(T-0),...,in(T-0),^1(r + 0),...,ir2(T + 0) существуют, то условие

Lin (га(т - о),.. ,,еГ1(т - о), А(г+ о),... ла(г + о)) = мп

является необходимым и достаточным условием полной управляемости системы S на отрезке I — [io,£i].

Основным предметом исследования седьмой главы является задача о существовании неупреждающего управления для линейной нестационарной системы

х = А{1гга)х + В{Н1а)и, (г, а, х, и) € К х Е х К71 х и, (18)

параметризованной метрической динамической системой (£,21, г/, Л,'), построенной в §17 (предполагаем, что множество II С Кт выпукло, компактно и содержит нуль в своей внутренности относительно Е,п).

Систему (18) будем отождествлять со стационарным в узком смысле случайным процессом £(/г'<т) = (А(1г1сг), В(1г1сг)) и называть системой Предполагается, что для каждого а 6 Е функция £ —> переменно-

го Ь кусочно-постоянная и принимает значения в множестве Ф = {фг)1~х — конечном множестве матричных пар = (Л;, В(), которые называются состояниями данной системы. Таким образом, если система £ находится в состоянии трг на промежутке времени (io.ii). то эта система на данном промежутке совпадает с детерминированной системой

X = АгХ + (х, и) & К" X У.

Также известно, что для системы £ вероятности нахождения в состояниях ■ф1,...,1р1 задаются вектором 7Г = (тгх,..., тте), а условные вероятности р,-,-перехода из состояния т/>х в состояние ф^ образуют матрицу Р — (ру 1...е, которая является матрицей переходных вероятностей некоторой однородной цепи Маркова. Основные результаты главы получены в предположении, что существуют постоянные а и /3, 0 < а < /3 < оо, такие, что длины интевалов 62,63,... между переключениями случайного процесса £(/г'ст) удовлетворяют неравенствам а < 9к ^ /3, к = 2,3...

В §25 показано, что для построения неупреждающего управления для системы £ должно существовать слово ги — , ■ ■ ■, <рк), <Рг 6 Ф, обладающее следующими свойствами. Для слова ги можно построить множества £>1,..., Бк такие, что любую начальную точку £\ системы £ из множества Г>1 (которое является некоторой окрестностью начала координат) при помощи программного управления можно перевести в точку х% множества £>2 за время а; точку хг можно перевести в точку Хз & £>з за время а, и т. д., точку хь множества перевести в нуль также за время а. Кроме того, чтобы для системы £ существовало неупреждающее управление, для множеств £>1,..., Дь должны существовать позиционные управления, которые удерживают траекторию решения системы, выходящую из точек Бх,..., Б к в этом же множестве до следующего момента переключения системы, в каком бы состоянии из множества Ф не находилась данная система.

В параграфах 26 и 27 получены достаточные условия существования неупреждающего управления и оценка снизу вероятности того, что система £ неупреждающе локально управляема на заданном отрезке [0,Т]. В §26 рассмотрен случай, когда множество Ф содержит произвольное конечное число состояний. Для слова w = (<¿>1,... ,(pk) построена детерминированная линейная система S, которая рассматривается на отрезке [0, ка], причем на промежутке [0, а) система S совпадает с системой на [а, 2а) совпадает с и так далее, гга [(& — 1)а, /га] совпадает с В теореме 26.1 получены условия существования неупреждающего управления для системы £ в предположении, что соответствующая ей система S локально управляема на отрезке [0, ка\. В §27 рассмотрен случай, когда множество Ф содержит два сообщающихся состояния ф\,ф2-

Автор выражает искреннюю признательность научному консультанту профессору Е. JI. Тоикову за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

Работа поддержана грантом Правительства РФ по государственной поддержке научных исследований (JV2ll.G34.31.0039) и грантами РФФИ (грант 03-01-00014, грант 06-01-00258).

Основные публикации по теме диссертации

(* обозначены публикации, входящие в перечень ВАК).

1. Rodina L.I. Conditions of Total Controllability of Linear Nonstationary Systems in the Critical Case // The International Conference on Applied Mathematics Dedicated to the 65-th Anniversary of B.N. Pshenichnyi (19372000). Abstracts. — Kyiv, Ukraine, 2002. — P. 72.

2. Родина JI. И., Тонков E. JI. Критерий полной управляемости линейной нестационарной системы в критическом случае // Известия Ин-та матем. и информ. Ижевск,— 2002. — №2(25).— С. 81 -86.

3*. Мастерков Ю.В., Родина Л. И. Достаточные и необходимые условия устойчивой управляемости нелинейной нестационарной системы на плоскости в критическом случае // Дифференц. уравнения.— 2003. — Т. 39, № 2. -С. 259-267.

4*. Мастерков Ю.В., Родина Л. И. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы в критическом случае // Дифференц. уравнения.— 2004. - Т. 40, К» 1.— С. 68-75.

5. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Условия полной управляемости нестационарной линейной системы в критическом случае // Кибернетика и системный анализ.— 2004. — №3.— С. 87-100.

6. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. О построении неупреждающего управления для систем со случайными параметрами // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем,- 2005. - №1,-С. 101-114.

7. Родина JI. И. О локальной управляемости систем со случайными параметрами /,/ Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Минск. 2005. — С. 116 - 117.

8. Мастерков Ю.В., Родина Л.И. Условия локальной управляемости систем со случайными параметрами //Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем,—

2006. - №1,- С. 81-94.

9. Родина Л.И. О существовании неупреждающего управления для систем со случайными параметрами//Известия Ин-та матем. и информ. Ижевск. - 2006. - №2(36).- С. 95-98.

10. Родина Л. И. Условия существования неупреждающего управления для систем со случайными параметрами // Известия Ин-та матем. и информ. Ижевск.- 2006. - №3(37).- С. 131-132.

11*. Мастерков Ю. В., Родина Л.И. Управляемость линейной динамической системы со случайными параметрами // Дифференц. уравнения.—

2007. - Т. 43, № 4,- С. 457-464.

12*. Мастерков Ю. В., Родина Л.И. Функции Ляпунова управляемых систем со случайными параметрами // Дифференц. уравнения.— 2007. — Т. 43, №6.- С. 858-859.

13. Masterkov Yu. V., Rodina L. I. The Sufficient Conditions of Local Controllability for Linear Systems with Random Parameters // Nonlin. Dynam. and Syst. Theory - 2007. - № 7(3).- P. 303-314.

14. Родина Л. И. Об асимптотической устойчивости с вероятностью единица инвариантных множеств дифференциальных включений со случайными параметрами // Вестник Тамбовского Университета. — 2007. — Т. 12, №4,-С. 520-521.

15*. Мастерков Ю.В., Родина Л.И. Достаточные условия локальной управляемости систем со случайными параметрами для произвольного числа состояний системы // Известия вузов. Математика.— 2008. — №3(550). -С. 38-49.

16*. Панасенко Е. А., Родина Л. И., Тонков Е.Л. Поглощаемость, неблуждаемость и рекуррентность множества достижимости управляемой системы // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. — 2008. - №2,-С. 97-104.

17*. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика.— 2009. — Т. 5, № 2.— С. 265288.

18. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически инвариантные множества управляемой системы // Вестник Тамбовского Университета.— 2009. -Т. 14, №4.- С.788-790. '

19. Rodina L. I., Tonkov Е. L. The Statistical Invariant Sets of Controllable Systems // Preprints of IFAC Workshop on Control Applications of Optimisation. University of Jyvaskyla.— Finland, 6-8 May 2009.

20. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Международная конференция, посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего. Тезисы докладов. Москва. МГУ. 2009. — С. 333 - 334.

21*. Панасенко Е, А., Родина Л. И., Тонков Е. Л. Асимптотически устойчивые статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН,- 2010. - Т. 16, №5.- С. 135142.

22. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически инвариантные множества управляемой системы, параметризованной динамической системой // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль. 2010. — С. 161-162.

23*. Панасенко Е. А., Родина Л. И., Тонков Е. Л. Пространство clcv(Kn) с метрикой Хаусдорфа — Бебутова и дифференциальные включения // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН,- 2011. - Т. 17, № 1.— С. 162-177.

24*. Родина Л. И. Статистически инвариантные с вероятностью единица множества управляемых систем со случайными параметрами // Диффе-ренц. уравнения. — 2011. — Т. 47, № 6.- С. 903-905.

25*. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Ком-пьют. науки, — 2011. — № 1.— С. 67-86.

26*. Родина Л. И. Статистически инвариантные множества управляемых систем со случайными параметрами // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки,- 2011. - №2,- С. 68-87.

27. Родина Л. И. Функции Ляпунова и статистически инвариантные множества управляемых систем со случайными параметрами // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И. Г. Петровского. Тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2011. - С. 320- 321.

28. Родина Л. И., Тонков Е.Л. О существовании статистически инвариантных множеств управляемых систем со случайными параметрами // Международная конференция по математической теории управления и механике. Тезисы докладов. Суздаль. 2011. — С. 174-177.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 15.11.2011. Формат 60x84 '/]6. Тираж 110 экз. Заказ № 2268.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

Список основных обозначений 4 Введение.

Глава I. Основные свойства пространства с1су(М")

§ 1 Полуотклонсния и метрика Хаусдорфа-Бсбутова

§ 2 Основные свойства прострапста с1су(М/г)

§ 3 Утверждения о свойствах полунепрерывной сверху функции

Глава II. Динамическая система сдвигов

§ 4 Топологические и метрические динамические системы

§ 5 Динамическая система сдвигов

§ б Теоремы существования

Глава III. Статистически инвариантные множества управляемой системы

§7 Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы

§ 8 Обобщение теоремы о дифференциальных неравенствах

§ 9 Функции А М Ляпунова и дифференциальные включения

§10 Условия продолжаемости решений управляемой системы

§11 Теорема об относительной частоте поглощения множества достижимости управляемой системы заданным множеством

§12 Исследование статистически инвариантных множеств линейной управляемой системы

Глава IV. Статистически слабо инвариантные множества управляемой системы

§ 13 Условия статистически слабой инвариантности заданного множества относительно управляемой системы

§14 Условия существования предела х(сг) для периодического движения

§15 Условия существования предела >с{сг) для почти периодического движения

§16 Неблуждающее множество достижимости и минимальный центр притяжения

Глава V. Статистически инвариантные множества управляемых систем со случайными параметрами

§17 Метрические динамические системы и статистически инвариантные с вероятностью единица множества

§18 Условия статистической инвариантности и статистически слабой инвариантности с вероятностью единица

§19 Условия равенства я{а) = 1 связанные со сходимостью последовательности случайных величин с вероятностью единица

§20 Достаточные условия равенства х(ст) = 1 с вероятностью единица для линейной системы со случайными параметрами

§21 Примеры управляемых систем для которых х{о) = 1 с вероятностью единица

Глава VI. Условия полной управляемости нестационарных линейных систем в критическом случае.

§ 22 Структура пространства управляемости нестационарной линейной системы

§23 Пространство управляемости и матрица Красовского

§ 24 Необходимые и достаточные условия полной управляемости линейной системы в критическом случае

Глава VII. Инвариантные множества и локальная управляемость систем со случайными параметрами.

§ 25 Построение неупреждающего управления для систем со случайными параметрами

§ 26 Построение оценки снизу для вероятности неупреждающей управляемости на заданном отрезке времени

§ 27 Построение неупреждающего управления в случае, когда система имеет два состояния

Одной из важных задач теории управляемых процессов является задача исследования инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений. Данной тематике посвящены работы H.H. Красовского и А. И. Субботина [78]. A.B. Куржанско-го и Т. Ф. Филипповой [210], [211], X. Г. Гусейнова и В.Н. Ушакова [38], Ж. П. Обена [177], Ю. Л. Сачкова [138-140], П. Хартмана [200], Е. А. Пана-сенко и Е. Л. Тонкова [113], [114] и ряда других авторов ([31], [37], [83], [157], [158], [178-181], [196], [200], [218], [224]).

Приведем определение инвариантного и слабо инвариантного множества относительно дифференциального включения ieF(t,x), (t,x)eR1+n. (0.1)

Пусть M С R1+n — замкнутое множество. Положим

M(t) = {х в IT : (t,x) в M}.

Определение 0.1 (см., например, [38]). Множество M С R1+n называется инвариантным (сильно инвариантным) относительно дифференциального включения (0.1), если для любой точки (¿о,£'о) & M и любого решения x(t) включения (0.1), удовлетворяющего начальному условию а;(£0) = х0, для всех t ^ to выполнено условие x(t) € M(t).

Далее, множество M С М1+п называется слабо инвариантным относительно включения (0.1), если для любой точки (to,xo) G M существует решение x(t) данного включения, которое удовлетворяет начальному условию x(to) = xq и при всех t ^ t о включению x(t) е M (t). Траектория такого решения называется выживающей, а множество M также называется множеством выживаемости для дифференциального включения (0.1).

Исследования слабо инвариантных множеств тесно связаны с теорией управления и теорией дифференциальных игр. По-видимому, первый результат в этой области опубликован в работе М. Нагумо [216] в 1942 году, в которой были получены необходимые и достаточные условия слабой инвариантности заданного множества относительно дифференциального уравнения.

Приведем примеры некоторых задач, связанных с существованием инвариантных множеств. Одной из них является задача о приведении управляемой системы на целевое множество, описанная в монографии H.H. Красовского и А. И. Субботина [78, с.52]. Здесь исследуется слабо инвариантное множество Хг) в момент времени Ь с целевым множеством и конечным моментом времени tl, которое оказывается максимальным среди всех множеством, обладающих свойством г1-стабильности и поэтому называется максимальным стабильным мостом. Свойство '¿¿-стабильности множества здесь означает его слабую инвариантность относительно любого дифференциального включения из некоторого семейства (см. [83], [145]). Слабо инвариантные множества дают возможность решать различные задачи верификации. Например, при заданном начальном множестве фазовых переменных Хо необходимо узнать, можно ли перевести таекторию из Хо в заданное целевое множество Х\ в фиксированный момент времени В терминах слабо инвариантных множеств данная задача имеет следующее решение: траекторию можно перевести из Хо в Х\ на отрезке времени [¿о, ¿1] тогда и только тогда, когда ¿1, Х\) ф 0 (см. [83]). Отметим также, что понятие слабой инвариантности является ключевым понятием теории минимаксных решений (см. [148], [177], [191], [199], [220]).

Основным объектом исследования в данной работе является управляемая система (точнее, семейство управляемых систем)

X = f{htcr, х, и), (г, а, X, и) е М х Е х М?г х М'"г; (0.2) в качестве вспомогательного объекта будем рассматривать соответствующее системе (0.2) дифференциальное включение

X € х), (£, а, х) е К X Е х К", (0.3) правая часть которого параметризована с помощью топологической динамической системы (Е.к1). Здесь Е — полное метрическое пространство, — поток на Е. Такая параметризация позволяет, во-первых, включить в рассмотрение ряд задач, связанных с асимптотическим поведением решений управляемых систем; во-вторых, получить ряд общих утверждений (поскольку с помощью динамической системы сдвигов удается описать все семейство управляемых систем). Мы также будем рассматривать управляемую систему (0.2) и включение (0.3), порожденные метрической динамической системой (Е,21. ь>. к1): это означает, что на сигма-алгебре 21 подмножеств пространства Е задана вероятностная мера V, инвариантная относительно потока ¡гь. В этом случае функция £ —» Е(к1а.х) является стационарным в узком смысле случайным процессом и тем самым мы имеем дифференциальное включение со случайными параметрами. Следовательно, для таких включений появляется возможность исследовать свойства решений, которые выполнены с вероятностью единица.

Применение теории, связанной с динамической системой сдвигов для задач управления линейными нестационарными системами, по-видимому, впервые было предложено Е. Л. Тонковым. Это привело к возникновению таких понятий в математической теории управления, как равномерная полная управляемость, равномерная локальная и глобальная управляемость, равномерная стабилизируемость ([53], [54], [151], [152], [156]). Управляемые системы, коэффициенты которых являются стационарными случайными процессами, исследовали, наряду с Е. Л. Тонковым, О. В. Баранова [7], А. М. Куриленко [85], Г. Н. Мильштейн [98], [99], А. Н. Сиротин [142], F. Colonms, R. Jonson [189], D. Р. De Farias [193], W. H. Fleming, H. M. Soner [195], S. Ibnr, E.K. Boukas [205].

В различных областях математической теории управления при идеализации реальных систем с большими управляющими воздействиями возникают модели управляемых систем и дифференциальных включений с неограниченным множеством скоростей (см., например, [28], [32], [105], [138140], [202]). В данной работе я изучаю дифференциальное включение (0.3), правая часть которого имеет выпуклые замкнутые, но не обязательно компактные образы. В случае, когда правая часть включения (0.3) имеет компактные образы, обычно применяется пространство сотр(М"), состоящее из непустых компактных подмножеств в Мп с метрикой Хаусдорфа (см. например, [16]), что позволяет ввести в рассмотрение содержательные определения полунепрерывности сверху и снизу функции (ст. х) —> F(a, х) со значениями в пространстве comp(Mn). Отметим, что вопросам существования решения данных включений и свойствам множества решений посвящено большое количество исследований, среди которых работы А. Маршо [213]. [214], С. Зарембы [227], [228], Ж. П. Обена [177], Н.Н. Красовского и А. И. Субботина [78], А. Ф. Филиппова [162-164], [166], А. А. Толстоногова [149], Б. Д. Гельмана и В. В. Обуховского [29], В. А. Плотникова, А. В. Плотникова и А. Н. Витюка [117], Дж. Дэви [192], С. Ху и Н. С. Папагеоргиу [203], [204]. Подробную библиографию и обзор различных направлений исследований можно найти в монографиях Ю. Г. Борисовича. Б. Д. Гельмана, А. Д. Мыш-киса и В. В. Обуховского [13], [14].

Для дифференциальных включений вида (0.3), ориентированных на применение к управляемым системам, требование компактности образов F может оказаться обременительным. Поэтому возникает необходимость рассматривать пространство, состоящее из непустых выпуклых замкнутых (не обязательно ограниченных) подмножеств евклидова пространства Мп, которое будем обозначать clcv(Mn). В пространстве clcv(]Rn) вводится метрика Dist. которую мы называем метрикой Хаусдорфа-Бебутова, и тогда это пространство становится полным пространством с топологией сходимости, равномерной на компактах В диссертации исследованы основные свойства полуотклонений D{F,G), D{G.F) и расстояния Dist(F. G) между выпуклыми замкнутыми множествами F и G, введено и исследовано понятие полунепрерывности сверху и снизу в терминах полуотклонений D и непрерывности в терминах метрики Dist Хаусдорфа-Бебутова Получены аналоги известных теорем существования решения задачи Копти для дифференциального включения с фазовыми ограничениями х G Ffta, х), x(t) 6 M(/iV), относительно которого предполагается, что функция (<т, х) —> F(a. х) определена при всех {ох) £ Е х К" и принимает значения в пространстве clcv(Ru).

Вопрос о существовании инвариантных множеств имеет важное значение во многих прикладных задачах управления, в частности, в задачах возникающих в экономике и экологии (см , например, [5], [39], [43], [90], [177]) Основное требование к управлению экономическими системами состоит в том, чтобы не нарушать заданных ограничений на множество допустимых управлений Но если по ряду причин такие нарушения все-таки происходят и всякая траектория движения уходит из множества, обусловленного ограничениями, то надо научиться управлять таким образом, чтобы относительная частота попадания траектории в данное множество равнялась единице Одна из возможных математических постановок этой задачи состоит в том, чтобы научиться вычислять относительную частоту пребывания множества достижимости управляемой системы в заранее заданном множестве М Если эта частота равна единице, то множество М будем называть статистически инвариантным Не менее важно научиться строить для каждой начальной точки множества М такое управление, что решение управляемой системы при заданном управлении статистически инвариантно В этом случае множество М будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы Таким образом, мы расширяем понятие инвариантности, рассматривая статистически инвариантные множества

Для определения статистически инвариантного множества относительно управляемой системы (0 2) введем следующую характеристику Пусть М = Е х A4 (а) — заданое подмножество пространства О = Е х clcv(R") А^^.Х) — множество достижимости системы (0 2) в момент времени t из начального множества X В предположении, что для каждого а 6 Е множество A(t, ст., X) существует при всех t ^ 0, относительной частотой поглощения множества достижимости системы (0.2) множеством M назовем следующий предел

Um me,{t6M] .A(t,a,X)CM^))

00 где mes — мера Лебега на числовой прямой. Подобные характеристики рассматривались в работах В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [101], В. В. Степанова [225], H. Hilmy [201] в связи с задачами существования минимального центра притяжения движения и свойством возвращаемости областей, а также в эргодической теории при исследовании различных свойств возвращения, таких как рекуррентность орбиты, топологическая транзитивность, минимальность и топологическое перемешивание (см., например, работы П. Биллингслея [10], А. М. Вершика, И. П. Корнфельда и Я. Г. Синая [20], А. Б. Катка, Я. Г. Синая и А. М. Степина [60], А. Б. Катка и Б. Хасселблата [61], И. П. Корнфельда, Я. Г. Синая и С. В. Фомина [68], В. А. Рохлина [136], [137], Я.Г. Синая [141]).

Определение 0.2. Множество M будем называть статистически инвариантным относительно управляемой системы (0.2), если для всех a G £ выполнено равенство

М*. "И = Ит = 1. v ' ' д^оо д

Определение 0.3. Множество M будем называть статистически слабо инвариантным относительно управляемой системы (0.2), если для любой точки (а, х) G M найдется решение ip(t,cr,x) данной системы продолжаемое на полуось М+ = [0. оо) и удовлетворяющее начальному условию <р(0, а.х) = х и равенству mes G [0,tf] : ip(t,a,x) G M {h* о)} freq*(c?) == lim -:-r^—:-= 1.

Характеристику freq*(<p) мы называем верхней относительной частотой попадания решения (p(t,a,x) в множество М.

В диссертации исследуются условия существования статистически инвариантных и статистически слабо инвариантных множеств, дополняющие результаты работ [129-133]. Основные утверждения формулируются в терминах метрики Хаусдорфа-Бебутова, функций A.M. Ляпунова и производной Ф. Кларка данных функций. Получены условия, позволяющие оценивать относительную частоту М(сг)) через характеристику , . теэ{£ € [0,г?] • г* (г а) < 0} х{р) = Ьт -ь-—V-0 4 д~*оо V которая (в предположении, что предел (0 4) существует) является относительной частотой попадания верхнего решения 2*(£,сг) задачи Коши г = ш{кьа.г)) г(0) = 0, 00 в множество (—оо,0] Отметим что в процессе исследования статистически инвариантных множеств возникла следующая задача требуется определить условия, при которых выполнено равенство ж(а) = 1 Такие условия получены, в частности, для линейной задачи Коши г = а(кго)г + Ъ{Нго), г(0) = 0. £^0 в предположении, что при каждом фиксированном а 6 Е функции

I -> а{Ььа) и Г Ь(Л'сг) почти периодические в смысле Бора (см теорему 15 1, с 122)

Следующий круг изучаемых вопросов связан с задачами существования инвариантных множеств для систем со случайными параметрами В данной работе определяются и исследуются статистически инвариантные и статистически слабо инвариантные с вероятностью единица множества управляемой системы (0 2), параметризованной метрической динамической системой (Е 21 и. К1)

Определение 0 4 Множество М будем называть статистически инвариантным с вероятностью единица относительно управляемой системы (0 2), если для почти всех а 6 Е выполнено равенство М(а)) = 1

В частности, здесь рассматриваются статистически инвариантные множества для линейной управляемой системы ж = А{1г1о)х + В{^а)и, (£, а х, и) Е М х Е х М'1 х М"г (0 5) и билинейной управляемой системы х = (Л{к1а) +иВ{к1а))х. (£, (тд.и)бКхЕхМ"хМ (0 6)

Показано что данные системы можно отождествить со стационарным в узком смысле случайным процессом

1г1а) = (Л(/Лх), В{Ы-а)), при этом для каждого а € Е функция t —> является кусочнопостоянной и принимает значения в множестве Ф = {фг}е1=1 — конечном множестве матричных пар, которые будем называть состояниями управляемой системы. Смена состояний системы происходит в случайные моменты времени, которые назовем моментами переключения данной системы или моментами переключения случайного процесса ^(/iV). Отметим, что подобные системы со случайными параметрами исследовались многими авторами в связи с задачами полной управляемости, равномерной локальной, равномерной глобальной управляемости, устойчивости и стабилизации.

Задача о построении слабо инвариантных множеств для линейной системы (0.5) тесно связана с задачей построения неупреждающего управления для данной системы. Термин «неупреждающее управление», по-видимому, введен свердловской школой по теории управления (см., например, работы Н. Н. Красовского [74-76], Н. Н. Красовского и А. И. Субботина [78], А. И. Субботина и А. Г. Ченцова [147], А. Г. Ченцова [172], [173]), задача построения управления данного типа для детерминированных систем исследовалась также в работах С. Ф. Николаева и Е. Л. Тонкова [102], [103]. Управление u(t.x) называется неупреждающим, если для его построения в момент времени t = т может быть использована информация о поведении системы только при t ^ т.

Одна из особенностей построения неупреждающего управления для системы со случайными параметрами (0.5) состоит в том, что нам неизвестны моменты переключения и состояния данной системы, которые появляются при t > т. Поэтому возникает следующая задача: нужно научиться строить такое управление, чтобы траектория управляемой системы оставалась как угодно долго в некотором (слабо инвариантном) множестве до появления нужного состояния этой системы. В диссертации, на основании результатов работ [93-97], [120-122] и [215], получены новые достаточные условия существования неупреждающего управления для системы (0.5), а также оценка снизу вероятности того, что данная система неупреждающе локально управляема на фиксированном отрезке времени.

Другой важной задачей, связанной с задачей существования слабо инвариантных множеств, является задача об исследовании полной управляемости для линейной системы S : х - A(t)x + B(t)u, (t: х, и) elx Mn x Mra.

Определение 0.5 (Р. Калман, [206]; H.H. Красовский, [73]). Система S называется вполне управляемой на отрезке I = [io;^i]; если для каждого r0 G Мн найдется управление у : [fo,^i] ~* такое, что решение т(-) задачи Коши х = A{t)x + B(t)u(t). x(t0) = х0 удовлетворяет равенству x(t\) = 0.

Далее, система S называется вполне управляемой, если для каждого момента времени t0 G R найдется значение t\ > t0 такое, что система S вполне управляема на отрезке [¿о, ¿1]

Если система S стационарна, то есть матрицы А и В не зависят от времени, то для полной управляемости данной системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие тшк{В,АВ. . )Аа~1В}=п

Этот результат был получен для системы с одним входом (то есть при 7?7 = 1) в работе [57] и в общем случае — в [212]

H H Красовским [73, с 148] получено достаточное условие полной управляемости системы S в предположении, что элементы матриц A(t) и B(t) имеют непрерывные производные вплоть до (п — 1)-го порядка Рассматривается матрица

K(t,S) = {K0(t.S), ,^(/,5)}, где

K0(t,S) = B(t), .,Kl(t) = A(t)Kl„1(t}S)-Kl-l(t,S).i г = 1, .n - 1

Утверждается, что если на отрезке I = [¿cb^i] найдется точка t* такая, что iankK(t*.S) = п, то система S вполне управляема на I Известно, что данное условие не является необходимым и существуют примеры вполне управляемых систем, для которых rank К (t, S) ^ п — 1 при всех t G / (см [86], [100]) В работе А Чанга [186] показано, что если функция t —> S(t) аналитическая на некотором открытом интервале, содержащем отрезок I, то условие rank K(t*. S) — п не только достаточно, но и необходимо для полной управляемости системы S

В связи с этими результатами H H Красовского и А Чанга возникает следующая задача если rank/C(/ S) ^ п — 1 при всех t G / и функция t S(t) не является аналитической (но имеет достаточное число производных) , то при каких дополнительных условиях система S вполне управляема на отрезке I либо не обладает этим свойством7 Такие условия получены в работах В Т Борухова [15], JI Е Забелло [47], [48], А А Левакова [86], С А Минюка [100], а также в работах [127-128], [221], результаты которых представлены в диссертации

В заключение обзорной части введения отметим, что свойства сильной и слабой инвариантности множеств относительно различных управляемых систем и дифференциальных включений при различных предположениях исследуются многими авторами. Например, в работах X. Г. Гусейнова и В. Н. Ушакова [38] и X. Г. Гусейнова, А. И. Субботина и В. Н. Ушакова [198] получены условия инвариантности множеств на базе конструкций, развитых в теории дифференциальных игр при изучении стабильных мостов. В работах Е. А. Панасенко и Е. Л. Тонкова [113]. [114] исследуются свойства положительной инвариантности и равномерной устойчивости по Ляпунову (в сильном и слабом смысле) относительно дифференциального включения, которое имеет замкнутые, но не обязательно компактные образы. В работе A.B. Куржанского и П. А. Точилина [83] вводится понятие и исследуется структура слабо инвариантных множеств для так называемых гибридных систем. Такие системы обладают движением, порожденным в каждый момент времени одной из «стандартных систем», принадлежащих заданному набору; при этом общее движение гибридной системы осуществляется попеременно одной из систем совокупности путем мгновенного переключения с одной на другую. Ю. Л. Сачков [138-140] изучает условия, при которых существуют инвариантные ортанты билинейной системы. Кроме того, он исследует свойство управляемости билинейной системы в положительном ортанте при помощи кусочно-постоянного неограниченного управления. В работах В.Н. Ушакова и его учеников [158-161] исследуется свойство инвариантности множеств относительно дифференциального включения. В этих работах введено и исследовано понятие дефекта инвариантности относительно дифференциального включения для множеств, не обладающих свойством инвариантности.

Различные классы задач управления для систем со случайными параметрами рассматривались в работах Дж. Адомиана [2], Н. И. Андреева [3], Ю. М. Астапова и В. С. Медведева [6], И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [30], М. Ф. Диментберга [42]. Л. Г. Евланова и В. М. Константинова [44], И. Е. Казакова [55], И. Е. Казакова и Б. Г. Доступова, [56], И. Я. Каца [62], А. А. Кра-совского [70], [71], Ж.-П. Обена [179], B.C. Пугачева [119], У. Флеминга и Р. Ришела [168], Р. 3. Хасьминского [170], [208] и ряда других авторов ([17], [49], [63], [77], [146], [176], [182], [183], [218], [226]).

Диссертация состоит из введения, семи глав, включающих двадцать семь параграфов (нумерация параграфов сквозная), заключения и списка литературы

Заключение

В этой работе введены новые понятия, связанные с инвариантностью заданного множества M = Е х M (а) пространства П = Е х clcv(Mn) относительно управляемой системы х = ¡(к1а,х,и), (t,<r,x,u) е R х Е х М" х Ш'", (28.1) удовлетворяющей условию 7.2 (с. 72).

Напомним, что мы изучали такие характеристики множества достижимости A(t,co) управляемой системы (28.1), как freq(w), freq*(cj) и freq*(w), которые названы относительной частотой поглощения и соответственно, верхней и нижней относительной частотой поглощения множества достижимости A(t,uj) множеством M = Е х М(а) (см. определение 7.1, с. 73). Но это не единственные характеристики, которые возникают в прикладных задачах, связанных с исследованием условий инвариантности. Во многих задачах, имеющих реальные приложения (см., например, [39], [43]) важно исследовать некоторые естественные характеристики, связанные с инвариантностью или слабой инвариантностью заданного' множества на конечном промежутке времени. Рассмотрим некоторые из них.

Для заданных значений ¿о ^ 0, > 0 и си е fl определим множество a(to, "д, со) = {te [£o,io + tf] : A{t,u) ç M {h1 a)} и характеристику mesa(i0,^a;) freq =---= y mes {te [£0, ¿о + Ф A(t, со) Ç M{h!'a)} = ; где mes — мера Лебега на числовой прямой. Данную характеристику будем называть относительной частотой поглощения множества достижимости A{t,uo) системы (28.1) заданным множеством M на отрезке [io^o + tf]- Важно рассматривать относительную частоту freq(£o, to) для любого момента времени to ^ 0, поэтому естественно для заданных д > 0 и со — (ст. X) е Q определить характеристику freqfrM = inf freqfo,*.*) = i„f ^{tel^ + ^.A^ÇMjh'a)}

Эта характеристика отличается от рассмотренных в диссертации тем, что она отображает свойство равномерности пребывания множества достижимости A(t,co) в множестве M на отрезке заданной длины. Подобно freq(to, со) и с*;) также представляет интерес исследовать характеристики, связанные со слабой инвариантностью заданного множества.

В дальнейшем я планирую исследовать свойства введенных характеристик и рассмотреть следующую задачу. Пусть заданы числа щ £ (0,1) и ч9 > 0. Во многих приложениях важно найти условия, которым должна удовлетворять управляемая система (28.1) и множество X, чтобы для заданных а £ £ было выполнено неравенство

Это означает, что относительная частота поглощения множества достижимости А^,сг,Х) системы (28.1) множеством М на любом отрезке времени длины должна быть не менее щ. Отметим, что характеристика $ предполагается заданной в зависимости от прикладной задачи. В частности, если управляемый процесс имеет периодический характер, то 'в является периодом данного процесса.

Кроме того, планируется провести исследования по следующим направлениям:

1. В диссертации рассмотрено пространство с1су(М"), состоящее из непустых выпуклых замкнутых (но не обязательно ограниченных) подмножеств М"' с метрикой Хаусдорфа-Бебутова. Как показано, такое пространство является полным в данной метрике. Для пространства с1оз(К'"') непустых замкнутых подмножеств в Мп вопрос о хорошей метрике пока остается нерешенным. В будущем предполагается построить такую метрику, чтобы пространство с1оз(Мп) с этой метрикой было бы полным.

2. Планируется провести развернутое исследование по вопросам построения неупреждающего управления для линейных систем со случайными параметрами.

3. В диссертации приведен ряд иллюстрирующих примеров, в дальнейшем предполагается рассмотреть некоторые конкретные задачи экономики и техники, которые можно решить с помощью результатов этой работы.

Некоторые из этих задач будут предложены в качестве тем для магистерских диссертаций и диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

1. Аграчев А. Ф., Сачков А. J1. Геометрическая теория управления — М Физматлит, 2005 — 391 с

2. Адомиан Дж. Стохастические системы — М Мир, 1987 — 376 с

3. Андреев Н. И. Теория статистически оптимальных систем управления — М Наука, 1980 — 415 с

4. Аносов Д. В., Арансон С.Х., Бронштейн И. У., Гри-нес В. 3. Динамические системы-1 Итоги пауки и техники Соврем пробл матем Фундаментальные направления Т 1—М ВИНИТИ, 1985 — 244 с

5. Аснис И. А., Дмитрук A.B., Осмоловский Н. П. Решение с помощью принципа максимума задачи об энергетически оптимальном управлении движением поезда // Журнал вычислительной математики и математической физики — 1985 — Т 25, №11 — С 1644-1655

6. Астапов Ю. М., Медведев В. С. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления — М Наука, 1982 — 304 (

7. Баранова О. В. О равномерной глобальной управляемости линейной системы со стационарными случайными параметрами // Диффе-ренц уравнения 1991 — Т 27, № 11 — С 1843-1850

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова — М Наука, 1970 — 240 с

9. Бебутов М.В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций // Бюллетень Механико-математического факультета МГУ 1941 -Т 5 - С 1-52

10. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация — М Мир, 1969 238 с

11. Биркгоф Д. Динамические системы — Ижевск Издательский дом «Удмуртский университет», 1999 — 408 с

12. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр Матем ин-та им В А Стек-лова АН СССР 1985 - Т 169 - С 194-252

13. Борисович Ю.Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обухов-ский В. В. Многозначные отображения Итоги науки и техники Матем анализ Т 19 М ВИНИТИ 1982 - 127-231 с

14. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обухов-ский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений — М Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011 — 224 с

15. Борухов В. Т. К вопросу о необходимых условиях управляемостидля линейных нестационарных динамических систем // Весщ АН БССР Сер ф1з -мат навук 1979 — № 6 - С 27-30

16. Бураго Д. Ю., Бураго Ю.Д., Иванов C.B. Курс метрической геометрии — M — Ижевск Ин-т компьютерных исследований 2004 -496 с

17. Валеев К. Г., Карелова О. JL, Горелов В. И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами — M Изд-во РУДН, 1996 231с

18. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями — M Наука, 1977 — 623 с

19. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов — M Наука 1975 320 с

20. Вершик A.M., Корнфельд И. П., Синай Я. Г. Общая эрго-дическая теория групп преобразований с инвариантной мерой Итоги науки и техники Соврем пробл матем Фундаментальные направления Т 2 — M ВИНИТИ, 1985 С 5-111

21. Вершик А. М., Юзвинский С. Ф. Динамические системы с инвариантной мерой Итоги науки и техники Математический анализ M ВИНИТИ, 1967- С 133-187

22. Габасов Р. К теории управляемости динамических систем // Дифференц уравнения 1968 — Т 4, N° 9 — С 1499-1507

23. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов — M Наука, 1971 — 508 с

24. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления — M Наука, 1973 — 256 с

25. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем — Минск Ин-т математики HAH Беларуси 1999 — 408 с

26. Гальперин Е. А., Красовский H.H. О стабилизации стационарных движений в нелинейных управляемых системах // Прикл матем и механика — 1963 — Т 27 — С 1-24

27. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц — M Наука, 1966 — 576 с

28. Гельман Б. Д. Об одном классе многозначных отображений t некомпактными образами // Вестник ВГУ, серия физика математика — 2008 — № 1 — С 162-169

29. Гельман Б. Д., Обуховский В. В. О новых результатах в теории многозначных отображений II Анализ и приложения Итоги науки и техники Матем анализ Т 29 M ВИНИТИ 1991 - 107-159 с

30. Гихман И. И., Скороход А. В. Управление случайными процессами — Киев Наукова думка, 1997 — 252 с

31. Глызин С. Д., Колесов А. Ю., Розов H. X. К вопросу о реализуемости сценария развития турбулентности по Ландау // Теоретическая и математическая физика — 2009 — Т 158, №2 — С 292-311

32. Гурман В. И., Сачков Ю. JI. Представление и реализация обобщенных решений управляемых систем с неограниченным годографом // Автоматика и телемех — 2008 — №4 —С 72-80

33. Гурман В. И., Трушкова Е. А. Оценки множеств достижимости управляемых систем // Диффсренц уравнения — 2009 — Т 45, №11 С 1601-1609

34. Гусев М.И. Оценки погрешности для множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями // Труды Ин-та матем и механ УрО РАН 2006 - Т 12 №2 - С 64-77

35. Гусев М.И. О внешних оценках множеств достижимости нелинейных управляемых систем // Труды Ин-та матем и механ УрО РАН — 2011 Т 17, №1 - С 60-69

36. Гусейнов X. Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости систем управления // Прикл математика и механика 1998 - №2 - С 179-186

37. Гусейнов X. Г., Нигаль Эге. О свойствах позиционно слабо инвариантных множеств относительно управляемых систем, описываемых дифференциальными включениями // Дифференц уравнения — 2007 — Т 43, №3 С 291-302

38. Гусейнов X. Г., Ушаков В.Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления // Дифференц уравнения — 1990 — Т 26 №11 С 1888-1894

39. Давыдов А. А., Пастерс Р., Петренко И. А. Оптимальное распределение выброса загрязнения в одномерный поток // Труды Ин-та матем и механ УрО РАН 2010 - Т 16, №5 - С 30-35

40. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление — M Наука, 1990 — 432 с

41. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости M Наука, 1967 - 472 с

42. Диментберг М. Ф. Случайные процессы в динамике систем с переменными параметрами — M Наука 1989 — 176 с

43. Дмитрук А. В. Принцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями

44. В сб "Оптимальность управляемых динамических систем"М ВНИИСИ 1990 - № 14 - С 26-42

45. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами — М Наука, 1976 — 568 с

46. Жиков В. В. К проблеме почти-периодичности для дифференциальных и операторных уравнений // Сб научн трудов ВПИ — 1969 — Т 8 С 94-188

47. Жиков В. В., Пятницкий А. J1. Усреднение случайных сингулярных структур и случайных мер // Изв РАН Сер матсм — 2006 — Т 70, №1 С 23-74

48. Забелло Л. Е. Об управляемости линейных нестационарных систем // Автоматика и телемеханика — 1973 — №8 — С. 13-19

49. Забелло Л. Е. К теории управляемости нестационарных систем // Докл АН БССР 1980 - Т 24, № 6 - С 497-499

50. Завьялова Т. В., Кац И. Я., Тимофеева Г. А. Об устойчивости движения стохастической системы со случайным условием скачка фазовой траектории // Автоматика и телемеханика — 2002 — № 7 — С 33-46

51. Иванов А. Г. Динамическая система сдвигов и существование решения задачи почти периодической оптимизации // Известия вузов Математика 2005 - № 10(521) - С 29-46

52. Иванов А. Г., Тонков Е. Л. Метрические свойства линейных управляемых систем // Успехи матем. наук — 1991 — Т 46, №6(282) — С 187

53. Иванов А. Г., Тонков Е. Л. О множестве управляемости линейной почти периодической системы // Дифферепц уравнения — 1991 — Т 27, № 10 С 1692-1699

54. Иванов А. Г., Тонков Е. Л. О равномерной локальной управляемости линейной системы // Дифференц уравнения — 1992 — Т 28, №9 -С 1499-1507

55. Иванов А. Г., Тонков Е. Л., Шнейберг И. Я. О мере множества глобально управляемых систем // Нслинсйн колебания и теор управления Ижевск 1981 - №3 - С 3-32

56. Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний — М Наука. 1975 — 432 с

57. Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем — М Физматгиз, 1962 — 332 с

58. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Труды I Международного конгресса ИФАК Изд-во АН СССР — 1961 — Т 2 —1. С 521-547

59. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем — M Мир, 1971 — 400 с

60. Каменский М. И., Обуховский В. В. Об операторе сдвига по траекториям управляемых систем // Дифференц уравнения — 1996 — Т 32, №6 С 747-754

61. Каток А. Б., Синай Я. Г., Степин А. М. Теория динамических систем и общих групп преобразований с инвариантной мерой Итоги науки и техники Математический анализ Т 13 — M ВИНИТИ, 1975 — С 129262

62. Каток A.B., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем — M Факториал, 1999 — 767 с

63. Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры — Екатеринбург Изд-во Уральской гос академии путей сообщения, 1998 — 222 с

64. Кац И. Я., Красовский H. Н. Про устойчивость систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика — 1960 — IN'0 5 — С 809-823

65. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ — M Наука 1988 300 с

66. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // Докл АН СССР — 1959 — Т 124 №4 С 754-755

67. Корнев C.B., Обуховский В. В. О локализации метода направляющих функций в задаче о периодических решениях дифференциальных включений // Известия вузов Математика — 2009 — N° 5 — С 23-32

68. Корнфельд И. П. Об инвариантных мерах минимальных динамических систем // Докл АН СССР 1972 - Т 202, №2 - С 280-283

69. Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин C.B. Эргодическая теория — M Наука 1980 — 384 с

70. Королюк B.C., Портенко Н. И., Скороход A.B. Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике M Наука, 1985 - 640 с

71. Красовский А. А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления — M Наука 1968 — 240 с

72. Красовский А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем — M Наука, 1974 — 232 с

73. Красовский А. Н., Красовский H.H., Третьяков В. Е.

74. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры // Прикл. матем. и механика,— 1981. — Т 45. №4. -С. 579-586.

75. Красовский H.H. Теория управления движением.— М.: Наука, 1968,- 476 с.

76. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений.— М.: Наука, 1970.- 420 с.

77. Красовский Н. Н. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры // Прикл. матем. и механика, 1982. - Т. 46, №6,- С. 885-892.

78. Красовский Н. Н. Управление динамической системой. — М.: Наука, 1985,- 520 с.

79. Красовский Н. Н., Лидский Э. А. Аналитическое конструирование регуляторов в стохастических системах при ограничениях на скорость изменения управляющего воздействия // Прикл. матем. и механика.- 1961. Т. 25, №3,- С. 420-432.

80. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры.— М.: Наука, 1974.— 456с.

81. Култышев С.Ю., Тонков Е. JT. Управляемость линейной нестационарной системы // Дифференц. уравнения,— 1975. — Т. 11, №7.- С. 1210-1216.

82. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности,— М.: Наука, 1979.— 392 с.

83. Куржанский A.B., Варайя П. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях // Докл. РАН. — 2000. — Т. 372, №4. С. 446-450.

84. Куржанский A.B., Варайя П. Задачи динамики и управления в гибридных системах // Труды международного семинара "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби". Екатеринбург: Изд-во Уральского университета, 2005,— С. 26-33.

85. Куржанский A.B., Точилин П. А. Слабо инвариантные множества гибридных систем // Дифференц. уравнения, — 2008. — Т. 44, № 11.- С. 1523-1533.

86. Куржанский A.B., Филиппова Т. Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Оптимальное управление и дифференц. ур-ния. Тр. МИ РАН. М.— 1995. — Т. 211. — С. 304-315.

87. Куриленко A.M. Свойства линейных динамических систем сослучайными параметрами // Изв АН СССР ТК — 1984 — №4 — С 183191

88. Леваков A.A. К управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц уравнения — 1987 — Т 23, №5 — С 798-806

89. Левитан Б.М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения — М Издательство Московского университета 1978 205 с

90. Лейхтвейс К. Выпуклые множества — М Наука 1985 — 335 с

91. Ли Э. В., Маркус Л. Основы теории оптимального управления М Наука, 1972 - 576 с

92. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды — М Наука 1982 — 320 с

93. Мастерков Ю.В., Родина Л. И. Достаточные и необходимые условия устойчивой управляемости нелинейной нестационарной системы на плоскости в критическом случае // Дифференц, уравнения —2003 — Т 39, №2 С 259-267

94. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы в критическом случае // Дифференц уравнения 2004 - Т 40 № 1 - С 68-75

95. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. О построении неупреждающе-го управления для систем со случайными параметрами // Вестн Удмуртск ун-та Матем 2005 — К01 — С 101-114

96. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. Условия локальной управляемости систем со случайными параметрами // Вестн Удмуртск ун-та Матем 2006 — № 1 — С 81-94

97. Мастерков Ю.В., Родина Л. И. Управляемость линейной динамической системы со случайными параметрами // Дифференц уравнения 2007 — Т 43, К°4 — С 457-464

98. Мастерков Ю.В., Родина Л. И. Функции Ляпунова управляемых систем со случайными параметрами // Дифференц уравнения — 2007 Т 43, №6 - С 858-859

99. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. Достаточные условия локальной управляемости систем со случайными параметрами для произвольного числа состояний системы // Известия вузов Математика — 2008 — №3(550) С 38-49

100. Милынтейн Г. Н. Среднеквадратическая устойчивость линейных систем, находящихся под воздействием марковской цепи // Прикл матем и механика 1972 - Т 36 №3 - С 537-545

101. Милынтейн Г. Н., Репин Ю.М. О воздействии марковского процесса на систему дифференциальных уравнений // Дифференц уравнения 1969 - Т 5, №8 - С 1371-1384

102. Минюк C.A.K теории полной управляемости линейных нестационарных систем // Дифференц уравнения — 1990 — Т 26, №3 — С 414420

103. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений — М ГИТТЛ, 1949 — 550 с

104. Николаев С. Ф., Тонков Е. JI. Диффсрснцирусмость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференц уравнения 2000 - Т 36, № 1 - С 76-84

105. Николаев С. Ф., Тонков Е. JT. О некоторых задачах, связанных с существованием и построением неупреждающего управления для нестационарных управляемых систем // Вестник Удмуртского университета Серия матем Ижевск — 2000 — № 1 — С 11-32

106. Никольский М. С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения //Вестн Моек ун-та Сер Вычис л матем и кибернетика — 1987 — Т 4 — С 31-34

107. Обуховский В. В. О топологической степени для одного класса некомпактных многозначных отображений // Функц анализ (Ульяновск)- 1984 №23 - С 82-93

108. Овсеевич А. И., Черноусько Ф. JL Некоторые свойства оптимальных эллипсоидов, аппроксимирующих множества достижимости // Доклады АН 2003 - Т 388, №4 - С 462-465

109. Оселедец В. И. Марковские цепи, косые произведения и эргоди-ческие теоремы для «общих» динамических систем // Теория вероятн и ее прим 1965 - Т 10, №3 - С 551-557

110. Осипенко Г. С. К вопросу об аппроксимации инвариантных мер динамических систем // Эл ж Дифференциальные уравнения и процессы управления http //www neva ru/journal — 2008 — № 2 — С 57-79

111. Осипенко Г. С., Крупин A.B., Безручко A.A., Петренко Е. И., Капитанов А. А. Построение инвариантных мер динамических систем // Эл ж Дифференциальные уравнения и процессы управления http //www neva iu/journal — 2007 — №4 — С 27-51

112. Панасенко E. А., Родина JI. И., Тонков Е. JI. Поглощаемость, неблуждаемость и рекуррентность множества достижимости управляемой системы // Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех Компьют науки — 2008- №2 С 97-104

113. Панасенко Е.А., Родина Л.И., Тонков Е. Л. Асимптотически устойчивые статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН.— 2010. — Т. 16, №5 С. 135-142.

114. Панасенко Е. А., Родина Л. И., Тонков Е. Л. Пространство ШШ "0 D vc метрикой Хаусдорфа — Бебутова и дифференциальные включения // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН, — 2011. — Т. 17, № 1,— С. 162-177.

115. Панасенко Е. А., Тонков Е. Л. Функции Ляпунова и положительно инвариантные множества дифференциальных включений // Дифферент уравнения, 2007. - Т. 43, №6,- С. 859-860.

116. Панасенко Е. А., Тонков Е. Л. Инвариантные и устойчиво инвариантные множества дифференциальных включений // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова,- 2008. Т. 262,- С. 202-221.

117. Панасенко Е. А., Тонков Е. Л. Распространение теорем Е. А. Барбашина и Н. Н. Красовского об устойчивости на управляемые динамические системы // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН.— 2009. — Т. 15, №3,- С. 185-201.

118. Перов А. И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Известия вузов. Математика.— 1965. —Т. 4(47).— С. 104-112.

119. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы,— Одесса: АстроПринт, 1999,— 355 с.

120. Попова С.Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения,— 1997. — Т. 33, №2,-С. 226-235.

121. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. — М.: Физматгиз, 1962.— 884 с.

122. Родина Л. И. О локальной управляемости систем со случайными параметрами // Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Тезисы докладов. Минск. 2005 — С. 116 117.

123. Родина Л. И. О существовании неупреждающего управления для систем со случайными параметрами // Известия Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2006. - №2(36).- С. 95-98.

124. Родина Л. И. Условия существования неупреждающего управления для систем со случайными параметрами // Известия Ин-та матем. и информ. Ижевск 2006. - №3(37).- С. 131-132.

125. Родина Л. И. Об асимптотической устойчивости с вероятностью единица инвариантных множеств дифференциальных включений со случайными параметрами // Вестник Тамбовского Университета — 2007 — Т 12, №4 С 520-521

126. Родина Л. И. Статистически инвариантные с вероятностью единица множества управляемых систем со случайными параметрами // Дифферент уравнения 2011 - Т 47, №6 - С 903-905

127. Родина Л. И. Статистически инвариантные множества управляемых систем со случайными параметрами // Всстн Удмуртск ун-та Матсм Мех Компьют науки — 2011 — №2 — С 68-87

128. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Критерий полной управляемости линейной нестационарной системы в критическом случае // Известия Инта матем и информ Ижевск — 2002 — №2(25) — С 81-86

129. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Условия полной управляемости нестационарной линейной системы в критическом случае // Кибернетика и системный анализ — 2004 — №3 — С 87-100

130. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистические характеристики множества достижимости управляемой системы, неблуждаемость и минимальный центр притяжения // Нелинейная динамика — 2009 — Т 5, №2 С 265-288

131. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически инвариантные множества управляемой системы // Вестник Тамбовского Университета — 2009 Т 14, №4 - С 788-790

132. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Международная конференция, посвященная 70-лстию ректора МГУ академика В А Садовничсго Тезисы докладов Москва МГУ 2009 С 333 - 334

133. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически инвариантные множества управляемой системы, параметризованной динамической системой // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Тезисы докладов Суздаль 2010 — С 161-162

134. Родина Л. И., Тонков Е. Л. Статистически слабо инвариантные множества управляемых систем // Вестн Удмуртск ун-та Матем Мех

135. Компьют науки — 2011 — № 1 — С 67-86

136. Родина Л. И., Тонков Е. Л. О существовании статистически инвариантных множеств управляемых систем со случайными параметрами // Международная конференция по математической теории управления и механике Тезисы докладов Суздаль 2011 — С 174-177

137. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы — М Наука 1990 272 с

138. Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // Успехи мат наук — 1949 — Т 4, №2 — С 57-128

139. Рохлин В. А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // Успехи мат наук — 1967 — Т 22 №5 — С 3-56

140. Сачков Ю.Л. Инвариантные области трехмерных билинейных систем // Вестник МГУ, сер мат мех — 1991 — 4 — С 23-26

141. Сачков Ю. Л. Управляемость двумерных и трехмерных билинейных систем в положительном ортанте // Дифференц уравнения — 1993 — Т 29, N° 2 — С 361-363

142. Сачков Ю.Л. Инвариантные ортанты билинейных систем// Дифференц уравнения 1995 — Т 31, № 6 — С 1094-1095

143. Синай Я. Г. О слабом изоморфизме преобразований с инвариантной мерой // Мат Сб 1964 — Т 63, К01 — С 23-42

144. Сиротин А. Н. О задаче ограниченной нуль-управляемости с вероятностью 1 для линейных автономных систем с дискретным временем и случайной переходной матрицей с конечным множеством спектров // Автомат и телемех — 1996 — № 11 — С 39-51

145. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи математической теории управления — Л Изд-во Ленингр ун-та, 1981 — 200 с

146. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления — М Физматгиз, 1960 — 470 с

147. Субботин А. И. Монотонные относительно предпорядка траектории дифференциальных включений // Труды Ин-та матем и механ УрО РАН 1992 - Т 1 - С 138-146

148. Субботин А. И., Субботина Н. Н., Третьяков В. Е. Стохастическое и детерминированное управление Дифференциальные неравенства // Пробл управл теор информ — 1985 — Т 14, Л*0 6 — С 1-15

149. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления — М Наука 1981 — 286 с

150. Субботина Н. Н. Метод характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в динамической оптимизации //

151. Современная математика и ее приложения, — 2004. — Т. 20.— С. 1-133.

152. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве . — М.: Наука, 1986.— 297 с.

153. Толстоногов А. А. Свойства множеств достижимости эволюционных включений и управляемых систем субдифференциального типа // Сибирский математический журнал, — 2004. — Т. 45, №4,— С. 920-945.

154. Тонков Е. JL Динамическая система сдвигов и вопросы равномерной управляемости линейной системы // Докл. АН СССР.— 1981. — Т. 256, №2.- С. 290-294.

155. Тонков Е. J1. Динамическая система сдвигов и вопросы глобальной управляемости линейной почти периодической системы // Успехи ма-тем. наук, 1981. - Т. 36, №4(220). - С. 226.

156. Тонков Е. J1. Вероятностные характеристики множества управляемости линейного дифференциального уравнения // Успехи матем. наук.- 1982. Т. 37, №4 - С. 121.

157. Тонков Е. JI. О множестве управляемости линейного уравнения // Дифференц. уравнения,- 1983. Т. 19, № 2,- С. 269-278.

158. Тонков Е. JI. Канонический представитель линейной управляемой системы // Вестник Удмуртского университета. Серия матем. Ижевск.- 2003. № 1. — С. 113-128.

159. Тонков Е. J1. Глобально управляемые линейные системы // Современная математика и ее приложения, — 2005. — Т. 23.— С. 145- 165.

160. Ушаков В. Н., Заварин А. Б. О выделении ядра выживаемости для дифференциального включения // Прикл. математика и механика — 2001. Т. 65, №5-С. 831-842.

161. Ушаков В.Н., Латушкин Я. А. Дефект стабильности множеств в игровых задачах управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН,- 2006. Т. 12, №2,— С. 178-194.

162. Ушаков В.Н., Матвийчук А. Р., Лебедев П. Д. Дефект стабильности в игровой задаче о сближении в момент // Вестн. Удмуртск унта. Матем. Мех. Компьют. науки,— 2010. — .№3,— С. 87-103.

163. Ушаков В. Н., Малёв Я. А. К вопросу о дефекте стабильности множеств в игровой задаче о сближении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН 2010. - Т. 16, № 1- С. 199-222.

164. Ушаков В.Н., Зимовец A.A. Дефект инвариантности множеств относительно дифференциального включения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, — 2011. — №2,— С. 98-111.

165. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывнойправой частью // Мат сборник — 1960 Т 51(93), № 1 — С 99-128

166. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник Моек ун-та Матем , механ 1967 — № 3 — С 16-26

167. Филиппов А. Ф. О существовании решений многозначных дифференциальных уравнений // Мат заметки — 1971 — № 19 — С 307-313

168. Филиппов А. Ф. Условия устойчивости однородных систем с произвольными переключениями режимов // Автоматика и телемеханика — 1980 №8 - С 48-55

169. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью — M Наука, 1985 — 223 с

170. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений M Едиториал УРСС, 2004 - 240 с

171. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами — M Мир, 1978 — 316 с

172. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения — M Мир 1970 720 с

173. Хасьминский Р. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров — M Наука, 1969- 367 с

174. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений // Избранные труды Механика жидкости и газа Математика — M Наука, 1976 — 307-362 с

175. Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения // Доклады АН СССР- 1976 Т 226, № 1-С 73-76

176. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Математический сборник — 1976 — Т 99, №3 — С 394-420

177. Ченцов А. Г. Приложения теории меры к задачам управления — Свердловск Среди-Урал кн изд-во, 1985 — 128 с

178. Ширяев А. Н. Вероятность — M Наука, 1989 — 640 с

179. Arnold L. Random Dynamical Systems — Berlin Heidelberg Springer-Verlag, 1998 — 586 p

180. Aubin J. P. Viability Theory — Boston Birkhauser, 1991 — 543 p

181. Aubin J. P., Cellina A. Differential inclusions Set-valued maps and viability theoiy — Beilm-Heidelberg-New Yoik-Tokyo Sprmgei-Veilag, 1984 — 342 p

182. Aubin J. P., Da Prato G. Stochastic viability and mvanance // Annali Scuola Noimale di Pisa 1990 - №27 - P 595-694

183. Aubin J. P., Frankowska H. Heavy viable trajectories of controlled systems // Annales de l'lnstitut, Heanri-Poincare, Analyse N011 Lineaire.— 1985. №2,- P. 371-395.

184. Basile G., Marro G. Controlled and conditional invariant subspaces m linear system theory // J. Optim. Theory Appl.—1969. — №3. —P. 296-315.

185. Bensoussan A., Lions J.L. Applications of variational inequalities in stochastic control.— Amsterdam-New York-Oxford: North-Holland Publishing Company, 1982.— 564 p.

186. Booton R. C. Nonlinear control systems with random inputs // Trans. IRE. 1954. - Vol. CT-1.- P. 9-18.

187. Bressan A. Upper and lower semicontinuous differential inclusions: a unified approach // Nonlinear controllability and optimal control, Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., Dekker, New York 1990 - Vol 133 — P 2131.

188. Brockett R. On the reachable set for bilinear systems // Variable Structure Systems, Lecture Notes in Economics and Math. Systems. SpringerVerlag.— 1971. № 111. - P. 54-63.

189. Chang A. An algebraic characterization of controllability // IEEE Trans. Autom. Control.- 1965. Vol. 10, № 1,- P. 112-114.

190. Clarke F. H. Generalized gradients and applications // Trans. Arner. Math. Soc.— 1975. Vol.205, № 2-P. 247-262.

191. Clarke F.H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R. Nonsmooth analysis and control theory.— New York: Springer, 1998.— 296 p.

192. Colonius F., Jonson R. Local and global null controllability of time varying linear control systems // Control, Optimisation and Calculus of Variations .- 1997. Vol. 2,- P. 329-341.

193. Conti R. Linear differential equations and control.— London: Academic Press, 1976.— 174 p.

194. Crandall M. G. A generalisation of Peano's existence theorem and flow invariance // Proc. Amer. Math. Soc.— 1972. — Vol. 36, № 1, —P. 151-155.

195. Davy J.L. Properties of the solution set of a generalized differential equations // Bull. Austral. Math. Soc.- 1972. Vol. 6,- P. 379-398.

196. De Farias D. P., Geromel J. C., Do Val J. B. R., Costa O. L. V. Output feedback control of Markov jump linear systems in continuous-time // IEEE Trans. Autom. Control.- 2000. Vol. 45, №5,- P. 944-949.

197. Deimling K. Multivalued differential equations. — Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992,- 260 p.

198. Fleming W. H., Soner H. M. Controlled Markov processes andviscosity solutions — New York Spungei-Veilag, 2005 — 448 p

199. Frankowska H. Local controllability of control systems with feedbacks // Journal of Optimization Theory and Applications — 1989 — № 60 -P 277-296

200. Galperin E. A. Some generalization of Lapunov's approach to stability and control // Nonlin Dynam and Syst Theory — 2002 — Vol 2, №1 P 1-24

201. Guseinov H. G., Subbotin A. I., Ushakov V.N. Derivatives foi multivalued mappings with applications to game theoretical problems of control // Probl Contr Infoim Theory 1985 - Vol 14, № 3 - P 155 -167

202. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory//Izrael J Math — 1981 — Vol 39, №1 -P 83-100

203. Hartman P. On invariant sets and on a theorem of Wazewskr // Proc Amer Math Soc 1972 - №32 - P 511-520

204. Hilmy H. Sur les centres d'attraction minimaux dans les systèmes dynamiques // Comp Math 1936 - Vol 3, №2 - P 187-204

205. Himmelberg C. G. van Vleck F. S. Existence of solutions foi generalized differential equations with unbounded right-hand side// J Differential Equations — 1986 Vol 61, №3 — P 295-320

206. Hu S., Papageorgiou N. S. Handbook of multivalued analysis Vol I Theory Kluwer Dordrecht, 1997 - 980 p

207. Hu S., Papageorgiou N. S. Handbook of multivalued analysis Vol II Applications — Kluwei Dordrecht, 2000 — 918 p

208. Ibrir S., Boukas E. K. A constant-gam nonlinear estnnal.oi for hneai switching systems // Nonlin Dynam and Syst Theory — 2005 — Vol 5 № 1 P 49-59

209. Kalman R. E. Contribution to the theory of optimal control// Boletm cle la Sociedad Matematika Mexicana — 1960 — Vol 5, № 1 — P 102119

210. Kalman R.E.,Ho Y.C., Narendra K. S. Controllability of linear dynamitai systems // Contr Different Equat 1963 - Vol 1 - P 189-213

211. Khasminsky R. Z. Limit theorem for a solution of the differential equation with a random right part // Prob Theor and its Applic — 1966 — Vol 11 №3 P 444-462

212. Krylov N. M., Bogolyubov N. N. La theorie generale de la mesure et son application a letude des systèmes dynamiques de la mechamque non lineane // Annals of Mathematics 1937 - Vol 1, №38 - P 65-113

213. Kurshanski A.B., Filippova T. F. Dynamics of the set of viable trajectories to a differential inclusion the evolution equation // Probl Conti Inform Theory 1988 - Vol 17, JV° 3 - P 137-144

214. Kurshanski A.B., Filippova T. F. Pertubation techmcues for viability and control // Lect Notes m Control, Inform Sei — 1992 — Vol 180- P 394-403

215. La Salle J. P. Time optimal control systems // Proc Nat Acad Sei USA 1959 - Vol 1, № 45 - P 4-13

216. Marchaud A. Sur les champs de dcmi-concs et equations différentielles du premiei ordre // Bull Soc Math France — 1934 — Vol 62- P 1-38

217. Marchaud A. Sur les champs de denn-cones convexes // Bull Sei Math 1938 - Vol 62 - P 229-240

218. Masterkov Yu.V., Rodina L. I. The Sufficient Conditions of Local Controllability for Linear Systems with Random Parameters // Nonlin Dynam and Syst Thcoiy 2007 - JV° 7(3) - P 303-314

219. Nagumo M. Uber die Laga der integralkurven gewöhnlicher differential Gleichungen //Proc Phys Math Japan — 1942 — Vol 24 — P 399-414

220. Quincampoix M. Differential inclusions and target problems// SIAM J Control and Optrmizat 1992 - Vol 30, №2 - P 324-335

221. Quincampoix M., Buckdahn R., Rainer C. and Teichraan J.

222. Anothei pi oof fox the equivalence between invariance of closed sets with îespect to stochastic and deterministic systems // Bulletin des Sciences Mathématiques -2010 Vol 134-P 207-214

223. Rockafellar R. T. Generalized directional derivatives and subgradients of nonconvex functions// Can J Math — 1980 — N°32 — P 157-180

224. Rockafellar R. T., Wets R. J.-B. Variational analysis — New York Springer -Verlag 1998 — 348 p

225. Rodina L.I., Tonkov E. L. The Statistical Invariant Sets of Controllable Systems // Preprints of IFAC Woikshop on Contiol Applications of Optimisation University of Jyvaskyla — Finland, 6-8 May 2009

226. Roxin E. Stability m geneial contiol systems // Journal of Dif

227. Equat.- 1965. Vol. 1, №2,-P. 115-150.

228. San Martin L.A.B. Invariant control sets on flag manifolds // Math. Control Signals Systems. 1993. - Vol. 6,- P. 41-61.

229. Stepanoff W. Sur une extension du theoreme ergodique // Comp. Math.- 1936. №3.-P. 68-85.

230. Tsarkov Ye. Asymptotic methods for stability analysis of Markov impulse dynamical systems //Nonlin. Dynam. and Syst. Theory.— 2002. — Vol.2, №1.-P. 103-115.

231. Zaremba S. K. Sur une extension de la notion dequation differentielle // C. R. Acad. Sci. Paiis.- 1934. Vol. 199, № 10 - P. 545-548.

232. Zaremba S.K. Sur les equations au paratingent // Bull. Sci. Math. 1936. - Vol.60, №2-P. 139-160.