Задача избежания столкновений в управляемых системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени В. И. РОМАНОВСКОГО

I ( 0

.? и г) с На правах рукописи

УДК 517.9

ФАЗЫЛОВ Абдигаппар Зинелович

ЗАДАЧА ИЗБЕЖАНИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ В УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент 1997

Работа выполнена в Ташкентском государственном' университете имени Мирзо Улугбека. •

Официальные оппоненты:

. доктор физико-математических наук, проф. А. В. АРУТЮНОВ, доктор физико-математических наук, проф. С. ОТАКУЛОВ; доктор физико-математических наук, проф. Б. Б. РИХСИЕВ.

Ведущая организация: — Институт математики и механики

Уральского отделения РАН.

Защита диссертации состоится « » 1997 г,

в час. Ос минут на заседании объединенного спе-

циализированного совета Д.015.17.01 в институте математики им. В. И. Романовского АН РУз по адресу: 700143, г. Ташкент, ул. Ф.Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан « i » d?h'7j 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-мат. наук, профес

Ш. А. ХОШИМОВ.

' - 3

. :ОБ!уШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЮ'Ш Актуальность' теми. Задача избежания столкновений, о которой, по-видимому, впервые упомянуто в является задачей оптимального управления , в определенном смысле противополсж-ная задача быстродействия. Цель управления в задаче избежания столкновений сводится к тому, чтобы как можно дольше удержать фазовую точку в пределах заданного множества (области выживаемости).

Типичными примерами задач такого типа являются» проблема избежания столкновений движущихся объектов; уклонение от препятствия; предотвращение аварийных состоянии управляемых процессов; различные задачи живучести.

' При естественном предположении о замкнутости области выживаемости задача избежания столкновений относится к типу задач оптимального управления с фазовыми ограничениями,-исследование которых продолжает оставаться актуальным. Разви- ' тие теории задач оптимального управления с фазовыми ограничениями связано с именами Р.В.Гамкрелидзе, А.Я.Дубовицкого, А.А.Милютина, В.И.Благодатских, А.В.Арутюнова и многих других.-' '

. Задачу избежания столкновений можно и удобно рассматривать как дифференциальную игру преследования и убегания с одним игроком - убегающим. Создание.и развитие теории дифференциальных, игр связано с;именами Л.С.Понтрягина, H.H.Kpa* еовскбго, Р.Аизакси, Е.Е.Мищемо,. В.Н.Шмшшого, А.фридаша,

А.И.Субботина, Л.А.Потроояпа, Н.Ю.Сптимогщ, П.О.Гусятникова, М.С.Никольского, А.Адамова и многих друг;их.

Айзеке 'Р." ДиОДореацкальшв' иррй.-- Mit'.Миру'1557./460 с.

2 '3 )

■ В.работах на основе методов теории дифференциаль-

ных игр убегания получеш достаточные условия возможности избежания столкновений с линейным подпространством. П рабо-

4 5)

тах ' ' задача избежания столкновений судов рассматривалась как дифференциальная игра и исследована методом Айзек-

са Следует отмстить,- что метод Айзокса но всегда приводит к правильнйм результатам и требует строгого обоснования.

При исследовании задачи избежания столкновений следует ответить на слодумщио вопроси качественного характера:

I) является ли область выживаемости Gr слабо инвариантным, т.е. для любой начальной точки из (т существует ли хотя бы одна траектория рассматриваемой управляемой

системы, выходящая из данной точки, определенная на бесконечном интервале времени и целиком лежащая в Qr ?

2} сув(ествует ли непустое подмножество множества Ç- , слабо инвариантное относительно рассматриваемой системы ? Кроме того, естественны также:

3) задача построения ядра живучести множества Ç- , т. б. максимального подмножества множества Q- слабо инвариантного относительно рассматриваемой управляемой системы;

^ Сатимов Н, Задача избежания столкновений в линейных системах // Кибернетика. 1976. »? 1. СД17-121. •^Чикрий Г.Ц. Нелинейная задача избежания столкновений // . В сб.: "Теория оптимальных решений". Киев. 1977. С.60-65.

Miioft Т., Pocfctet M. Sfitp collision-avoidance and раг -suit-evasion differential (jeunes with. speed-Eoss in a iiUn //Compui Ma-tfi. Appt. 19*9. v. 18. Vo-i-3. p.w-ioo.

4) j а, дач а существования оптимального управления;

5) задача нахождения оптимальных управлений для начальных точен из ядра живучести;

6) задача нахождения оптимальных управлений для начальных точек, на принадлежащих ядра живучести.

Некоторде из этих проблем исследовались в работах Н.Ю.Сатимова, А.Азамовп, В,Н.Ушакова, X,Г.Гусейнова, J.-P,

Aufiin , A.Feuег , М.Hermann, Gr.Hadda4 £. Ca?da£iaguei , H.Ft anfcowska , M.fc^cOn , Z.KaWM<xi , 2. Sairvt-PietT и других авторов. Отметим, что каждый из перечисленных вопросов и задач представляет и самостоятельный интерес. При исследовании задач 3} - 6) полезным является решение задачи выживания на конечном отрезке времени, котор!й несомненно также представляет самостоятельный интерес. Зга задача ¡^есымрена, напри-

6 7)

мер, в работах » .

Известны необходимые и достаточные условия слабой инва-

й Q)

риантности замкнутых множеств • '.Остальные проблемы, связанные с -задачей избежания столкновений, мало изучены.

53 ОЫег Q.3.,Watiez 3.1. A diffeten W game аррго-acft to eoEttsion avoidance ofsUps // Цес1. Mrles Cohii.I«foxm. Sci.lSig. No.B. Р.£И-Ш.

^ Куржанский А,Б,, Филиппом ТА Об описан"«.пучка внжи-

вающих траекторий управляемой систош // ДиИи уравнения. 1987. Т.23, (Р 8. C.I303-I3I5.

^ ScUt-tendoz-f lV.e.,fiatints& B.R.,Etenfagen B.S. £uazan-ieed avoidance corutrof аЫ .^oEditnj control//Trans.

ASME ШЬ.тг.М, Ю4.

No.Z. P. 1СG-lfi.

- 6 - ■,. •

Цель работы* установление теорем существования оптимальных управлений; разработка методов построения ядра живу-чеотй; получение достаточных условий оптимальности; исследование вопроса о существований ядра живучести; изучение линейной задачи избежания столкновений с линейным подпространством, а также двумерной лине Иной задачи выживания на замкнугой полуплоскости.

Методика исследования. В работа используются методы теории дифференциальных игр преследования и убегания, теории оптимального управления, а также теоремы о неподвижных точках.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказаны теоремы оуэеотранш оптимлъшх управлений для задачи избежания столкновений как в нелинейных управляемых системах с геометрическими ограничениями, так и

в линейных управляемых системах с интегральными ограничениями На управления.

2. Разработаны методе построения ядра жииучости замкнутого множества как в нелинейных управляемых системах с геометрическими ограничениями, так и в линейных управляемых системах с интегральными ограничениями на управления.

3. Получены достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрнгина для задачи избежания столкно-

8) НасЫсЫ 0-. (Мопо-Ьопе Чг^ес^оггее сШегепНа? шс^изкжз аи<1 ?ипсНпаР ск^етепИа? {.пс^тоги тетоту// Ъгае? З.Ма^. 1981. 4-53. No.l-Z. Р.вз-юо.

9> Ди^г. З.-Р. А зигуеу о| Неогу// 31АМ

З.Сойг.. сшс! 0р1и«. аззо; у. гг. МАРД^-^&в.

ъстй а Д1»'}*рере1гциалыпсс включениях*

4. Получены необходимые и достаточные условия существования ядра живучести выпуклого замкнутого множества как в линейных непрериатпс, тан и в линейных дисвретных управляемых системах.

б. Иссладовакы задачи избежания столкновений о линейным подпространством в линейных управляемых системах;как с геометрическими, так и с иитегральнши ограничениями на управления. В частности, получены необходшые и достаточные условия воэмонности избежания столкновений с терминальным подпространством из всех начальных точек, не принадлежащих терминальному подпространству.

б. Получено необходимое и достаточное условна слабой инвариантности замкнутого цилиндрического мнокества о Енпуи-лш дополнением в линейных управляемых системах*.

^-.Получено полное решение двумерной линейной задачи Ешгавания на зашснутой полуплоскости,.

Теоретическая и прлктотеская ценность. Диссертация носит теоретический характер и ев'результаты могут служить для дальнейшего развития теории живучести, теории' оптимального управления, а также теории дифференциальных игр. •

Апробация работы. По материалам диссертации сделаны сообщил на Всесоюзном семинара "Прикладные аспекты управления оложнши системами" ( Кемерово, 1983), на У1-Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), на Всесоюзной школа "Оптимальное управление, Гвомеф'«* рия и анализ" (Конеротм, Т9В6), на Всесоюзной школа "Функ-ционалыше метода в прикладной математике и математической физико" (Ташкент, 1988), па Международной конференции -КДО-1У ( Руссе '(Болгария), 1989), на Международной коифорон-'

ции "Вырождающиеся1 уравнения и уравнения смешанного типа" (Ташкент^ 1993), на Республиканской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" { Ош, 1993). Ряд результатов диссертации докладывались на семинарах: проф. М.И.Зе-линнна (МГУ)» проф. В.И.Благодатских (Ш им. Н.Л.Стеклова РАН)} отдела исследование операции ИМ Болг. АН (София, рук. проф.« П.Кендеров, А.Л.Дончев, Р.П.Иванов); проф. Н.Н.Петрова {С-ПГУ); проф. Я.А.Пстросяна (С-ПГУ). Основные результата диссертации докладывались на семинаре отдела динамических систем 1Ш УО РАН (рук. чл.-корр. РАН А.И.Субботин). Результаты дисоертации систематически обсуждались на заседаниях семинара по оптимальному управлению и дифференциальным играм (ТашПУ, рук. чл.-корр. АН РУэ, проф. Н.Ю.Сатимов).

Пубдикаци^. По теме диссертации опубликованы 21 работы. Основные результаты диссертации содержатся в работах [I - И].

Структура И объем. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырех глав, приложения и списка литературы. Главы разделены на параграф!!, введение и каждый параграф разбиты на пункты. В приложении приведено 29 рисунков пояснительного характера. Список литература состоит иа 167 наименований. Объем диссертации составляет 242 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор работ, примыкающих к теме диссертации, излагаются постановки задач.и основные поло-

яшия диссертации, .

В первой главе- изучается общая теория задач избежания

столкновений. В первом параграфе первой главы приведется постановки задач и опредолония основных понятий. Пусть дана управляемая система

¿ = (I)

где Х & И - фазовый вектор, II - параметр управления, который принимает свои значения из непустого компакта

Р Р ^ Г) I) ^

С , отоо'ражение т* В- * Р~К. , являющееся непрерывным, удовлетворяет локальному условию Липшица по ЗС) условию продолжаемости А.Ф.Филиппова и векгограмма ^ (х,Р)

выпукла при каждом ОС & К . Класс допустимых управлений состоит из всех измеримых функций Ц(') I [0,0°)—. Всюду в дальнейшем £г - непустое подмножество пространства К. и

При заданных •ЗСо^ К- и 11(0 6.14 через XI*) I — ЗС (' >х01 ПН) обозначим, решение задачи Коши £ ЗС(0) = Хо

и положим

для всех

^е С0 > ^ 3}.

Задача избежания столкновений (с множеством Щ ) или, что то же самое, задача выживания (в области ) из начальной точки СС0 £ 0" для системы (I) ставится, следующим образом:

—^вЫр, и(0 6 I/. (2)

Рассмотрим теперь управляемую систему

x= Ax + Bu + c, Rd, ueRP, (3)

где A , & - постоянные матрицы, С - заданный вектор и класс допустишх управлений VJ состоит из всех функций

U1-) £ J + OO^) t удовлетворяющих условию

г+0° г

\ (4)

J0

Задача избежания столкновений (с множеством М ) для системы (3) с интегральным ограничением (4 J ставится точно так зге, как (. 2 ) .

Пусть теперь дана дискретная управляемая система

где X G R , ue Р , Р - непустое подмножество R

и % - отображение R в ft . Класс допускам*

управлений \J . состоит из воех последовательностей вида

Для любых X е R и {Uj,. ) £ U ' через ОС [•) X, (и.*} ] обозначим решение задачи Коши

и положим .

JV [х, [uk| ] = sup | ne N I ос [s,x, l.uk} ] 6 Q

для всех S 6 П } J".

Задача избежания столкновений (с множеством

М)

длн

начальной точки ОС & Q" в системе (5) ставится еле-

дующим образом:

Л/"[х,{ик1]—^мр,(Меи. (б)

Рассмотрим, наконец, дискретную управляемую систему

^„^^(х^и), асе К*! ией.р, С?)

где К - отображение в «г . Класс допустимых

управлений I/ состоит из всех последовательностей

' ^ . • удовлетворяющих ограничению

+оо «

(8)

Задача избежания столкновений для системы ( 7) с суммарным ограничением ( 8) (аналогом интегрального ограничения С 4 )) ставится точно так же, как ( б ) .

Определение 1,1. Пусть 1 £{1,3} . Говорят^? что иа точки Х0 6 От возможно избежание столкновений на отрезке времени [Р > Т } (соответственно, возможно нзбеад-ние столкновений) в системе (1) , еоли существует управление ' Ц(*)£ и такое, что ^ля всех -Ь С0> Т*3 ( для всех -Ь&О)-,

Определенна 1,2. Пусть 3 € } , Говорят, что иа точки X 6 0- возможно избежание столкновений на промежутке шагов • ••» N } (соответственно, возможно

избежание столкновений^ в системе (*] ) , еоли существует управление [Ы^бУ такое, что X, б ^ ,

для всех И* •• ч IV) ( для всех 0 6 N ) ,

Определении

1.3. Пустьче

Множество Называется слабо (положительно) инва-

риантным относительно системы (I) (соответственно (j^ , если для каждого Xt I существует

такое, что

для всех i > О (для всех И £ N ) .

Определение 1.4. Пусть ¿€ jfc[i»,i }

Множество

Y ^ R

называется сильно (положительно) инвариантным относительно системы (.1) ^соответственно (J),) , если acltjX, U0)>G Y (ocfrijX, {U^} ] € Y j для всех

±>o («e N), öceY „ UC-)GU (\UK}&У ) .

Определение 1.5. Пусть S 6 { 3, 5", } j .

Максимальное подмножество множества \ с- R. , слабо инвариантное относительно системы (S) называется ядром живучести множества ^С относительно системы (S) и обозначается через С-0^^)^

Дяя удобства, там где ото не вызывает сомнений, индексы в втих обозначениях будем опускать.

Во втором параграфе первой главы доказана теоремы существования оптимальных управлений для задач (Д) - С2) , С2) - (3) » если Q- замкнуто, то для любого Х0€ Сосуществует оптша^ьное управление (теоремы I.I, 1.2).

В третьем параграфе первой главы исследуется вопрос о построении ядра живучести замкнутого множества Gr . С ' втой целью в случае системы (. I) , рассматриваются операторы, определяемый формулами

„где Дс^ и

у = 0С(^ЗС, и(')) | . Здесь есть оператор

_Понтрягина для данного случая.

Пусть 0)^ = ^,,, 1:п) (0 = "ко< Ьх<... <

^ "Ьц"^) ~ произвольное разбиение отрезка [О

И] .

■ь>0 и , К=1, П. .Положим

к0(м)-м, к4(м)=и РК,м), К(м)= и К4(м.).

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть От - замкнуто. Тогда из точки ЗС0€ О* возможно избежание столкновений на отрезке [0$Т] в системе (I) в том и только том случае, бели

ТЕОРЕМА 1,в. Пусть О* - замкнуто. Тогда ив точки «Х()€ возможно избежание столкновений в системе (I) в той и только том случае, если ЭСо^ Сг ^К(М) , т.е.

соге = .

Отметим, что в случае, когда (Х^Ц.) — АэС+Ц г где А - постоянная ^ - матрица, теорема 1.5 совпадает

о теоремой 3 ..

Сформулируем основной результат параграфа. Образуем последовательность множеств {Мп1 рекуррентной формулой

Половинкин Е,С. Неавтономные дифференциальные игры // Дифф. уравнения. 1979. ТД5. Г6. С Л 007-1017. ■

МгМ, = ^ ^^мЬ^м (9)

х ? О

и поло*»*

сю

•о . п?0 Н . 1Е0РЕМА 1.7. Пусть 0* - замкнуто. Тогда

соге'0- = 0-\Мц,.

Отметим, что вопрос о практическом построении множеств К^(М), К(М) весьма труден. В четвертой главе настоящей

диссертации второй метод, означающий построение последовательности (9), успешно применен к построению ядра живучести полуплоокооти в двумерной линейной управляемой системе.

В случае системы (3) доказаны аналоги теоремы 1.5, 1.6, при этом вместо оператора Р^ (') введен оператор, определяемый по формуле

где [0»А] , ? Х.С^

Для любого разбиения и^ = { -отрезка ^ 3 положим

1Д0

- Т5 -

Наконец, при любом А.^-0 введем. Н положим

'..'■ ЦМ)- и

ТЕОРЕМА 1.8, Пусть ^ - замкнуто. Тогда из точки ЗС0£ 0" возможно избежание столкновений на отрезке {р)Т.1 9 системе ( 3) в том и только том случае, если

ЗС0£ £ МТ(М) • • ТЕОРЕМА 1.9. Пусть - замкнуто. Тогда иа точки

возможно избожанио столкновений о система (Э) р том и только той случае, если Х0 б Т.е.

соге - ЦМ),

Имеет место следующий дискретный аналог теоремы 3, ТЕОРЕМА 1.10. Пусть в система (.5) отображение ^ -

непрерывно и 3(Х,Р} выпукло при каждом, о: 6 В? , : Тогда всякое непустое выпуклое компактное множество ^ у-слабо, инвариантное относительно система £5), содержит точку покоя этой "системы, т.е.

В последнем, четвертом параграфе первой 1*лаш приводят-» ся достаточные условия оптимальности в форме принципа муиа Понтрягина для задачи избежания столкновений в диффе-

рецет А.,Неу»си»ч> 3^-1п*смСапсе со«-1хо1 ^ешв - ivii.fi ш1гоЫ // 3. М»4А. Апа(. ак<1

VI- ^53. ыо.г;

-I6-. .

¿»нцяаяьных вкличениях, полученные на основе работы 12 V Рассматривается дифференциальное включение

i е F(X), ч (10)

рде OteR. - фазовый вектор, Р('), - многозначное отобра-женив, ставящее в соответствие каждой точке JCfe И непустое компактное множество

Под решением включения (10) на промежутке времени I

поншается абсолютно непрерывная функция ЗС (•)К ,

faxt«, что jb (i) G F(X(i)) почти всюду на 1 .

Через Y(x0) обозначим совокупность всех решений вк-аочекхя (10), удовлетворяющих начальному условию ДГ(О)=Х0. По заданным

) определяется

фршцюна* каодтва

Т(Х0,Х(.)) = SUp[t>o|3C(i)6Q дня всех T6[o;i]}.

Задача избвяания етолкновений для ладанного начального состояния ЗС0 € Q ставится Следуюаим образом«

Т(х„,х<-))—*sup, хнеУ(х0) (И)

Траектория

ОС (-) €

0) называется оптимальной для начальной точки ЗС0 € , если

где

' Т(х0):=$ир{1Хх0,ас(.))|хО)еУ(зСо)}. ..<

^ ВЦо4аШк& V.l. Sufficteni condtilons foi оpKma-tlitt In Qioilems wtlS» sinle constiainls // Appt- Math, and Optici.. 1381. y.>, /Vo. fc. f.1^9-154.

Введем многозначное отображение, определяемое формулой

¿с(Р(ас),р)-С(Г(4),Р> ям»е«с уе«*) ,

где р

есть опорная функция множества ОС ,

Определение 1.7. Функция р(-): [О'Д^^-называется сопряженной функцией без сингулярности дан траектории ХС*)е ^СЯ^о) н^ отрезке времени (р>Т1 • вми рО) удовлетворяет следующим условиямI ») непрврдаа слева; б) представдаа как суша абсолютно непрерывно! функция 1| функции скачков, причем все точки скачка , ,

£ (р(')) С № , лежат в интервале (р*?Т) ; в) шее* место включение

почти ас оду на

отрезке [о Т ] .

ТЕОШЛА 1.11. Пусть для Х0£ £ и 6^(ЗС0)

величина Тг Т(^0)Ж'0 конечна. Пусть, далее, сумеет» вует момент .времени (°> Т^ и сопряженная функция

р(') без сингулярности для £(•) на отрезке такие, что;

. I) выполнено условие максимума

'' ■ (х(п,рш) - е{РШ),р&) (12)

для почти всех 4: в ТЗ ;

2) выполнено условие скачка Р )=С Р^} для всех I € Е(р(0) , где р1 = р(ТГ0) ",

3) справедливо неравенство Т(У0) ^ Т~ для всех

у0е0-ПП(р(+„),оса,)}, ГД9 Л(р>*')= 4о],

Тогда ЗС(») - оптимальная траектория задачи (II) для начальной точки СС0 .

ТЕОРЕМА 1.12, Пусть для Х0& £ и Х(-)€У(Х0)

величина Т'«=Т(уС0,ХО)) конечна. Пусть, далее, существует сопряженная (функция р(*> без сингулярности для Х(*) »»а отрезке такая, что!

1) ХС-) - единственнее решение включения (10) , принадлежало ^ {"-^о) и удовлетворяющее условию максимума (.12) почти всюду на отрезке

2) (Х(Т4>,Р1) = С(^,р(') для всех иЕ(рО),'

3) £п! Л(рСП;х(Т))с М .

Тогда X СО - единственная оптимальная траектория задачи (II) . соответствующая начальной точке ЭС0 .

В четвертой главе .диссертации вти достаточные условия оптимальности успешно применены для обоснования решений двумерной линейной задачи выживания на полуплоскости.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о существовании ядра живучести выпуклого замкнутого множества в линейных управляемых системах. <

В первом параграфе второй главы рассматривается управляемая система

Аэс-и, зсеа, цеР; С")

где А - постоянная- с1лс$ -матрица и Р - выпук-, лый компакт. Пусть Сг , - непустое выпуклое замкнутое подмножество К**

А

Вектор О. £ К называется асимптотическим направлением множества . ^ с К- , если Л СХ<^ 1

- 19 -* ■ —*

; при всех Л >0 . Через ^ р обоэнлчи* совокупность всех асимптотических направлений множества ^ . Положим

I ={аб£ |е а е С- для всех А - А~ДР; А^ А'^М).

Здесь и далее С -?С - прообраз множества X при отображении С • .

Основными результатами этого параграфа являются ТВОРИЛА '¿.1. Пусть 1 есть линейное подпространство!

. Тогда для того чтобы С.016 О^^ Ф , необходимо' ;

и достаточно

СИЛ.

ТЕОРОЛА 2¿3. Пусть все действительные собственные числа матрицы А (если они существуют) отрицательны. Тогда для того чтобы

необходимо и достаточно Во втором параграфе второй главы аналогичные результаты получены для лине иных дискретных управляемых систем. Рассматривается дискретная управляемая система

Яя^Аяи-М-* т*

где X , Ц € И** , А - постоянная сИхс! . матрица,

область управления Р - непустое выпуклое компактное

поданожество |К • Положим

где Е - единичная с! X с1 - матрица,

Г 20 -

^ДаеК4*! А"Ха & £ для всех пеК} . Из теоремы 1.10 вытекает

СЛЕДСТВИЕ 2.5. Пусть С-^ - выпуклый компакт. Тогда для того чтобы СОК ^необходимо и достаточно

Следующая лемма аналогична лемме

/ лшма 2,7. Если со?е £ -ФФ , то соте - .1 ,

ТШРЕМА 2.4. Пусть Л есть линейное подпространство К : . Тогда для того чтобы СОЙг , необходимо

• и достаточно ...

Г теотеИА 2.6. Пусть все действительные собственные числа цатрииЦ А (если они существуют ) меньше единицы. Тогда для уого чтобы необходадо и достаточно ^П^Г^ $.

Как известно линейная задача уклонения от встречи : о подпространством - одна из важных задач, изучаемых в теог

^ ^рйн 'дифферотршп^^с '-жф. превд^омлпю убегания;'*

Глава 3 посвящена исследованию задачи избежания столкно-, с динвйниц подпространством в линейных управляемых системах. Из результатов по дифференциальным играм убегания, в Ясности, вытекает достаточное условие слабой инвариантнос-Тимножеотва , являющегося дополнением подпространства -V 0 достаточно» условие возможнботи избежания столкновений о подпространство! М из заданной начальной точки,

Но|ек 0. Соте$ о| ^дг^ « Йпеаг тко£ ¿¡рЬещ //

Поитрягии Л.С, Линейна* дифференциальная: игра убегания // Труда 1ШАН ,0ССР, 1971. ТЛ12.

■ -21 - ..•■'•' ... В первом параграфе третьей главы рассматривается задача избежания столкновений с линейны«Г подпространством в линейной управляемой система " 4

х - Ax+u-tc, jceR^.ueP,.-¡..'.у

где А - постоянная d X d - матрица, С ; - заданный, вектор, _Р - выпуклый компакт, причем б € В ,

Пусть L, - ортогональное дополнение к М в »v »

- оператор ортогонального просктированияиз Н на U , ]Е - минимальное линейное подпространство R , содержащее каждое из множеств

Р , АР , . . . ,А Р .

В работе получено решение рассматриваемой задачи в . случае, когда

. В настояний работе рассматривается случаи: a) dim W* = 0 » б) dim М — d-i ; в) dim и dim М ♦

■Решение задачи в случае.а), приводится^ следующая теореме. Положим

где у (•> - решение задачи Коии У =~АЦ-С , У(°)=%.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть dim = 0 . Тогда: I) COte =: Q.\Y» t 2) для любого 0Со € (J- нулевое управление U0(t)H 0 является оптимальным; 3) COie (f == . в том и только том случае, если . М инвариантно относительно А ■ и С € И . д ...

Пусть теперь имёет место случай б). Тогда М определяется уравнением (Х,№}=0 и делит пространства К. на 'дга полупространства П (Х;ТП) >0 J t

- ни -

П'=1х|(х,т)<0].

Ясли M инвариантно относительно А , то задача сводится к одномерной и ее решение тривиально: для любой начальной точки П (соответственно & П ) оптимальным является постоянное уловление Хде , U* € Л? , такие, что

' .»il»{(U>)|M€PJf

В неинвариантном случае

соте&^'б-

и оптимальное

управление может не суцрствовать. Оптимальное управление будет существовать | еолИ для начальной точки ЗС^ € П * (соответственно 5CqC f) ) терминальным множествам считать Г)

(flU а не et П (cl ПО . При таком предположении в гла-;.|в 4 получено полное решение рассматриваемой задачи, в еду-:<9§е, цогда <1-2 . При Ъ задача едэ не исследована.

ÎEOKMA 3.3, Пусть dlrt)M=<H . Тогда СОН Q-= Éf 9 row м только том случае, если M - инвариантно относите-

А и .

Пусть» наконец, шеег место случав в). Введем обозначения} W++ M I IfW H - максимальное подмножество , сильно инвариантное относительно системы (15) j - йаксдаальное подпростршгатво H » инвариантное • ртн©си*влмю А .

; - ; Ш 3.1. Справвдшва формула IwH= H 0*А (Jt С ) t

Пусть InvH Тогда Inv He Jt-fr .

дхя любого

i 4 Inv H „

ТЕОРШЛ 3.4. Пусть dimIV, =1 и dtmM d-t . Тогда»

1) для любой начальной точки ЗС0 £ Xq справедливо утверждение теоремы I ^ и, следовательно, из точки ЖрбХд возможно избежания столкновений}

2) «ели Inv И у* 0 и подпространство J0H Инвариантно относительно Д , ,то для любого (соответственно постоянное управление

( Ut(+)— U^ ) является оптимальным»

3) COie Q = в том и только том случав, волн InvН = 0 ИЛИ InvH^^ , JOM -инвариантно

относительно А и (А&+С + Р)ЛФ , где Ц, , Ц* € Р такие, что справедливы соотношения (16), 8 - произвольный элемент множества MfllflfH ,J вектор нормали подпространства J П М • удовлетворимся

условию

Х0= ildN(MnbH), П"= [жfcInvН|ix-i,т)<0J #

Во втором параграфе третьей главн аналогичные результаты получены для задачи избежания столкновений о линейным подпространством в линейной управляемой системе (3) 0 интегральным ограничением (4) « Следует отметить, что в этой . задаче в случае, когда din М - , оптимальное'управление может не существовать не только в неинвариантном случае, как это было в предыдущей задаче, но даже и в инвариантном случае.

Мищенко. Е.Ф., Сатимов Н. Об уклонении от встречи.из заданной точки в дифференциальных играх с геометрическими и интегральными ограничениями // Изв. АН УзССР. Серия

фиэ.-мат. наук. 1983. № 5. С0-25.

т-гь -

У «2 считаются столкнувшимися, если ^

Выделеьи все те случаи, когда объекты у могут избежать взаимных столкновений как в случае, когда, на параметры управления наложены геометрические ограничения, так и В случае, когда на параметры управления наложены интегральные ограничения.

9 четвертой главе приводится полное решение задачи

Т—► ьир,

где А ~ постоянная Я Л 2 - матрица, Р - выпуклый компактный многоугольник, - I 1 ^ "Иг»^ ^ 0 #

№ - ненулевой вектор.

Отметим, что задача (17)', где терминальное множество № а&ыенено на с1 М , является частным случаем дифференциальной игры, рассмотренной в и описываемой системой & = Лос+и-и, ас е И*, к е р, V/ е

где V/ , № * параметры управления преследователя и убегав-дргр соответственно, С| - выпуклый компактный многоугольник. В случае, когда прямая инвариантна относительно

А | то игра (18) тривиальна - сведется к одномерной.

В о&цам случав к игре (18) применялся метод Айзекса,

1 -

I |(&ртин& оказалась неожиданной и сложной. Результаты применение метода Айзакса обоснованы при весьма жестких условиях*®}.

'И) Даамов А, О 'некоторых вопросах "двумерных ди#еренциаль- ; шх игр.,Канд. дисс. Ташкент. 1974. 97 о.

Пример 3.1. Пусть в отдаче (.2) - (3) d= i. и система 13) имеет вид

X--ЯДС-vti+i.

Легко убедиться, что для любой начальной точки JCo*10 не существует оптимальное управление.

В третьем параграфе третьей гласи рассматривается линейная управляемая система вида (.15) . Исследуется вопрос о слабой инвариантности множества , где ír0 -

линейное подпространство R , Qt - замкнутое подмножество ортогонального дополнения X к Q0 в R , у которого (fj. - выпукло.

Оеноютм результатом этого параграфа является ТЕОРЕМА Э.8. Для того чтобы множество Q- было слабо инвариантным относительно системы (.15) , необходимо и достаточно, чтобы A Q0 Qo к Qj. било слабо инвариантным относительно системы

у yeftd, цеР,

где 3Í - оператор ортогонального проектирования из R на X .

В последнем параграфе третьей главы результаты предыдущих параграфов применяются к исследованию задачи избежания-

столкновений двух инерционных объектов ^ , í € R , движения которое задаются уравнениями

ib^í+Jafc-W+f» .

где: , ¿-а , JA , - заданные числа; & , é - заданные векторы; V , W - параметры управления. Объекты

- 2о -

В ^^ обнаружен случай, когда траектория, построенная по рецепту Айзекоа, неоптимальна и барьер, определяемый методом' Айаакса, не является барьером в смысле, Айзекса. В связи с етш он был назван пред барьером.

В первом параграфе четвертой главы изучены дополнительнее свойства предбарьера задачи (17 ) , которые позволяют уточнить поведение предбарьера, В частности, доказывается,

что если предбарьер при достаточно малых положительных значениях своего аргумента является 'Азчкой или выходит в сторону Сг , то предбарьер есть гладкая кривая, и, в противном ' одучае, гладкость предбарьера может нарушаться не более чем.в одной точке (лемма 4.3).

На основе метода построения ядра живучести, изложенного В пункте I.ЗА, найден вффективньш способ построения ядра живучести и, следовательно, настоящего барьера, который приводится в fi 4.2. Там же построена функция Ц(«); COU (f TÜ » ошезирующая репшие задачи (17)

lia tûZ€ Ce , 9 там амыелв, что для любого Ха £ tOîe Q-вадача Коши

ОС = Axt Ü(0C), JC(0)-£0

имеет единственное решение у , определенное на . [О*, ®°) и удовлетворяюцве условию 6 COîe <q-

, для всех i>Q .

Примеры показывают, что экстремальные траектории JC0(. , Cl € Jo , определяемые методом Айзекса, вообще .говоря, недостаточны для построения оптимальные траектории ь области M Î — # Поэтому в § 4,3 вводятся

. ^оше семейства, экстремальных траектории

- 27 -t>

{oct(-;a)| a t^, te Щ j , .

Каждая экстремальная траектория JC^(• > 01 ) рассматривается ira споем (штершзло тянмтт j Т^ (&)/" , где t"0 = 0 и ij , , ... - последовательные момента врз-

мони совпадения направления ÇXp(t Л ) е.. направ-

лениями внешних нордалей, проведенных к сторонам Р ,

Tt (ex)r supjtis h | хс(% а) е G- ДЛЯ ВС ох Te&lHlj,

jj, если I» «•«>; ^t joo) если f-0"

Далее, исследуются свойства экстремальных траектории, необходимые для дальнейших построении. В частности, доказывается, что:

любая экстремальная траектория на своем интервале выживания целиком лежит в M (лемма 4.14),'

каждая экстремальная траектория Fia своем интервала выживания но имеет точен самопересечения и различные экстремальные траектории, рассматриваемые в соответствующих интервалах выживания, взаимно но пересекаются (теорема"4.б).

■ ».

Из последнего, п частности, вытекает существования та« кого номера П , что JY"n ^ 0 и •

Основным результатом четвертого параграфа гласа 4 является теорема 4.7, где доказывается, что экстремальные, траектории 3CjJ»jCl) , CL'C^ , t£JVj* , jt-JO)!, . KL J , рассматриваемые на соответствующих интервалах выживания, полностью покрапают область M . В пятом, последнем параграфе четвертой главы на основа

- 2В -

экстремальных траекторий, введенных в § 4.3, для каждой на-

чальнои точки СС0 £ Н определяется специальное управление и(-;Х0)еи .

Оптимальность построенных управлений и/оХД Х'0 & доказывается применением достаточных условий оптимальности, Полученных в настоящей диссертационной работе (теорема 4.8).

Автор выражает глубокую признательность профессору Абдулле Азамовичу Азамову за постоянное внимание к работе и ценные советы. '

ПУБИШЦИИ ПО ОСНОВНЫМ РЕЗУЛЬТАТАМ ДОСЕРГАЦИИ

I. Статьи опубликованные в научных журналах и сборниках научных ТРУДОВ!

1. йааьшов А.З. О существовании ядра выпуклого множества.в линашшх декретных управляемых системах // Математические заметки. 1996. Т.58, вып. I. С.119-126.

2. Сатимое Н., Фаэылов А.З, Избежание столкновений в линейных системах с интегральными ограничениями // СЕРДИКА, Бьлгарско математическо списание. 1989. Т.15. С.223-231.

3. ¡Ьазылов А.З, Достаточные условия оптимальности для задачи выживания в дифференциальных включениях // Докл. АН РУа. 1996. Л0, С.13-15.

4. Авилов А.З, К задаче избежания столкновений // Изв. АН УэССР. Серия физ.-мат, наук. 198?. Ш 3. С.30-36.

5. фазьшов А.З, Линейная задача избежания столкновений // Докл. АН Болг. София. I9B9.-T.42, р 5. С.33-35.

6. Фаэнлоп А.З., Абсаметоп Б. З^угча выживания для линейных уг1раллнР1Я1х систем с интегральными ограничениями // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32, 1Р 12. СЛ-4,

7. Фаянлоп Л.З. О сутасстпопании ядра выпуклого множества в линеиннх управляемых системах // Узбекский математический журнал. 1992. Р I. С.61-67.

8. Фазылов А.З., Назаров Б. О двумерной задаче терминального управления с нефиксированной продолжительностью // Докл. АН УзССР. 1986. !Р I. С.8-10.

9. Фазылов А.З. О задаче избежания столкновений в линейных управляемых системах //В сб.: "Актуальные вопросы теории оптимального управления и дифференциальных игр". Ташкент. ФАН, 1996. С.10-18.

10. Фазылов А.З. О ядре множества в управляемых системах П Докл. АН Болг. София. 1969. Т.42, Р И. С.37-38.

11. Фазылов А.З. Достаточные условия оптимальности для задачи выживания /V ГШ. 1997. Т.61, вып. 3. СД66-А88.

12. Фазылов А.З. О структуре решений двумерной линейной дифференциальной игры на полуплоскости в нерегулярных случаях // Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук. 1978. Р 5. С.37-43.

13. Фазылов А.З. О дискретных играх преследования и убегания с различными ограничениями на управления игроков Н Докл. АН УзССР. 1980. Р 3. С.8-10.

II. Тезисы докладов опубликованные в материалах конференции:

14. Фаэылов А.З. О задаче избежания столкновений // Тезисы докладов Всесоюзного семинара "Прикладные аспекты уп-

раеления сложными системами". Кемерово. 1993. С.190, 15. Фааылов А.З. О задаче избежания столкновений инерционных объектов // Теаисн докладов У1-Всесошного съеэдапо теоретической И прикладной механике. Ташкент. 1986.

С.609,

• 16, А.З. О построении безопасной зоны в задаче из-

бежания столкновений // Тезисы докладов Всесоюзной око-ад. "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Кемерово. 1986, С,48.

Фазалов А.З. О линейной задаче избежания столкновений

л,-

с интегральный ограничением // Тезисы докладов Всесоюзной школы "Функциональные методы в прикладной математика в иатеаатичесрой физике". Ташкент. 1988. С.103.

18. %зидов А.З. Структура ядра подпространства в линейных управляешь системах // Тезисы докладов Международной 80й$арэадю по дифференциальным уравнениям КДУ-1У. |^СС6. (Болгарвд). 1969. С.289.

19. Сашлов А.З, Двумерная линейная задача выживания в полуплоскости // Теаисн докладов Международной конференции "Ёцроздасищеся уравнения и уравнения смешанного типа". Гаакент. 1993. С.177.

20. Фаешгов А.З. Необходимые и достаточные условия суиество-в&ния ядра живучести в линейных дискретных управляемых системах И Тезисы докладов Республиканской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Ош. 1993. С.П1.

Фазылрв А.З, 0 непустоте ядра живучести в,линейных управляемых чистемах с интегральными ограничениями // Тезисы -докладов I-съезда математиков Казахстана. Еымкент. 1996. С.223.

- 31 -

9

1 ЕШу^РИЛЛДИГАП СИСТШАЛАРДЛ ТУЦНА1ИИ11ДЛН ЦОЧШ МАСАЛАСИ Хулоса

Диссертацияда богакариладиган обьектни берилган туллам Сомонлик сохаси)да упокрок вачт ушлаб туриш масаласи царала-ди.

Биринчи бобда оптимал бошцарувнинг мавжудлиги хацида теоремалар исботланган ва яшовчанлик ядросини чуриш усулла-ри ишлаб чицилган. Шунингдек, диф(геренциал мансублик учун 1$ЙИЛГан масоЛгЧда оптшликнинг Понтрягии макс!шум принцй-пи куринипшдаги етарли шартлари олинган.

Иккинчи бобда ёпиц цавари^ тУпламнинг чизи^ли узлуксиэ, х;амда чизири дискрет бош^ариладиган системаларга нисбатан яшовчанлик ядросининг мав'тудлиги (булмаслиги) учун за-рурии ва етарли иартлар келтирилган.

Учинчи бобда боинррув параметрларнга интеграл з^амда гво-метрик чеклар ^йилган чизицли боыцариладиган системаларда чиЗицли цисмфазо билан ту^ашишдан цочиш масаласи текширил-ган. Хусусан, терминал [укмфаэодан таш^арида ётган барча ну^талардан терминал цисмфазо билан т^цнашивдан цочиш мум-кинлигининг зарурии ва етарли шартлари олинган.

Охирги тургинчи бобда иккинчи тартибли чизи^и бопп^а-риладиган системаларда ёпиц яримтекисликдаги омонлик масала-сининг тула ечими келтирилган.

PROBtEMOF AVOIDANCE OF COLMSION IN CONTROL . SYSTEMS Abstract

, (n the disser|ation it is considered the problem of holding an object in the given set as survival zone.

In the first chapter jt is proven theorems about the existence of optiqial controls, worked out the methods of constructing for kernels of . vitality. Here the problem of survival in a closed subset is also considered for systems described by differential inclusions and it is adduced the sqfficient conditions of op|iinaIity in the forjn ofinaximum principle.

The second chapter is devoted to the sufficient and necessary conditions for existence of a nonempty kernel qf vitality in n given conyex closed subset for linear control systems described as by differential equations so by discrete equations.

In the tl"rd chapter problem of avoidance of collision from a. linear subspace is investigated. The considered systems are linear with as geometrical so integral control constraints. Particularly it is obtained the necessary an<J sufficient conditions in order (o posses of avoidance of subspace. . - .

The forth chapter contains the full solution of survival problem on a closed halfplain for two dimensional linear system.