Задачи выживания для систем с последействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Основная теорема о выживании.

§ 1. Определение и основные свойства касательного конуса.

§ 2. Постановка задачи выживания.

§ 3. Основная теорема.

Глава 2. Задача выживания для системы уравнений с последействием.

§ 4. Задача выживания для уравнений с последействием.

§ 5. Дифференциальное уравнение с последействием и одним ограничением.

§ 6. Дифференциальное уравнение с последействием и конечным числом ограничений.

§ 7. Смешанные системы уравнений.

Глава 3. Задача выживания для дифференциальных включений.

§ 8. Задача выживания для включений.

§ 9. Задача выживания для включений с последействием.

Задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.-P.) для управляемых динамических систем включают в себя большое число вполне конкретных приложений, интерес к которым не ослабевает с конца 50-х годов прошлого столетия. К числу таких прикладных задач относятся задачи об обходе препятствия, о построении управления, удерживающего траектории системы в заранее заданном множестве, в частности, на заданном многообразии, некоторые задачи математической экономики и многое другое.

Вопрос о существовании решения x(t,xо) задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения х = f(x) (0.1) с начальным условием х(0) = х0 (0.2) в течении некоторого времени остающегося в наперед заданном множестве Met" (такое решение называется выживающим), был разрешен в 1942 году Нагумо [41]. Теорема Нагумо состоит в следующем. Пусть задано множество М. Оказывается, что для каждой точки xq Е М существует выживающее решение x(t,xо) задачи (0.1), (0.2) в том и только том случае, если во всех точках х, принадлежащих границе множества М, выполняется включение f{x) е ТХМ, ж G дМ, где ТХМ— конус Булигана к множеству М в точке х (определение конуса Булигана дано ниже).

Близкими к вопросам выживаемости являются задачи управления с фазовыми ограничениями. Например, требуется среди всех траекторий управляемой системы, выходящих из данной точки, найти траекторию максимально долго остающуюся в заданном множестве. В некоторых задачах требуется минимизировать функционал качества, заданный на траекториях управляемой системы, при этом траектория не должна покидать некоторое заданное в фазовом пространстве множество.

Хорошо известно (см., например, статью В. И. Благодатских и А. Ф. Филиппова [13]), что управляемые системы х = f(t,x,u), и G U, тесно связаны с дифференциальными включениями x£F{t,x), F(t, х) = f(t, х, U), поэтому (и мы будем пользоваться этим в дальнейшем) имеет смысл изучать задачи выживания для дифференциальных включений.

В работах А. Б. Куржанского и Т. Ф. Филипповой [21], [22] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества.

В работе А. Б. Куржанского и Т. Ф. Филипповой [23] установлены связи между задачами о выживаемости для дифференциальных включеий и системами включений, содержащими возмущающие параметры и функции.

Задаче о выборе траектории дифференциального включения из множества всех траекторий, удовлетворяющих заданному начальному условию, которая максимально долго находится в заданном замкнутом множестве, посвящена работа А. 3. Фазылова [31]. Эту задачу (по аналогии с задачей о быстродействии, ее естественно называть задачей о "долгодействии") * можно отнести к задаче оптимального управления с фазовыми ограничеА ниями, необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума JI.C. Понтрягина для которой даны в работе В. И. Благодатских [39]. Другой подход к решению задач на экстремум при наличии ограничений предложен А. Я. Дубовицким и А. А. Милютиным в работе [17].

Задачу выживания в множестве М С Rn можно интерпретировать, как задачу избежания столкновения с множеством Жп\М. Задачам об избежании столкновения посвящены статьи А. 3. Фазылова [32], Н. Сатимова и А. Азамова [28].

Задачи выживания для систем с последействием (их еще называют системами с наследственностью) отличаются от задач выживания для обыкновенных дифференциальных уравнений в первую очередь тем, что естественное фазовое пространство С ([—г, 0], М") таких систем бесконечномерно. Эту интерпретацию систем с последействием предложил Н. Н. Красов-ский [20].

Для системы с последействием

ЗД = /Ы (0-3) и целевого множества М, заданного в пространстве абсолютно непрерывных функций неравенством

М = {a G С([-г,0],Г) : /3(а{0)) + J° a{s,a(s))ds ^ 0} в статье Е. J1. Тонкова [29] были найдены достаточные условия выживаемости.

Основной целью работы является исследование условий выживания решений систем с последействием и дифференциальных включений с последействием в заданном множестве фазового пространства С([—г, 0],

Формальное распространение теоремы Нагумо на системы с последействием оказалось невозможным по той причине, что даже простые движения гладкой динамической системы в бесконечномерном фазовом пространстве могут не иметь производной (понимаемой в обычном смысле) на множествах положительной меры. В связи с этим в работе вводится понятие вариации движений динамической системы, в терминах которой удается получить условия (необходимые и достаточные) выживания движений в заданном множестве.

В первом параграфе работы вводится понятие вариации 5xt движения t —> xt Е X, t € Ж в банаховом пространстве ЭС, причем эта вариация является элементом более широкого пространства 2).

Определение 0.1. Пусть заданы банаховы пространства X, 2) и X С 2). Будем говорить, что отображение t xt G X, где t G [0, a], a > 0, имеет в точке t G [0,a) вариацию 5xt G 2), если существует отображение e —> r(e) G 2), удовлетворяющее следующим условиям: xt+£ = xt + eSxt + r(e), lim Mflil = 0, sup £-+0+ £ £>0

6xt + rM +oo. X

Это определение позволяет естественным образом ввести понятие касательного конуса TfM к множеству М С X в точке ж, элементы которого тоже лежат в более широком пространстве 2).

Определение 0.2. Пусть заданы банаховы пространства X и 2), X С 2). Пусть далее, М— непустое подмножество пространства X и х G М. Элемент h G 2) называется касательным направлением к множеству М в точке х, если существуют отображение t -> г (t) е 2) и последовательность {^J^! С удовлетворяющие следующим условиям: lim U = 0, x + th + r(t) G M, i—too n . , r(u) lim J = 0, sup oo ti i h + +00. x U

Обозначим T^M— множество касательных направлений к М в точке х.

Доказаны необходимые для дальнейшего изложения утверждения, описывающие структуру конуса и дающие его связь с хорошо изученным конусом Булигана, который совпадает с Т^М при X = 2)

Теорема 0.1. Элемент h G 2) принадлежит множеству TfM тогда и только тогда, когда существует последовательность {{Si, hi)}, где S{ G 1+, hi £ X, удовлетворяющая следующим условиям: х + Sihi G М, Si 0, ||h - 0, sup ||/ij||s < +00. i

Лемма 0.1. Пусть X и 2) — банаховы пространства, X С 2), х G М, где М С X. Тогда для конуса Т^М имеет место включение

J dP ((ТХМ)Х П Вх[0, г]) С Т?М С {TxMff\ ({J с\У(Вх[0,г})\ . г>о \r>0 /

21

Здесь через (ТХМ) и (ТХМ) обозначены конусы Булигана к множеству М в точке х в пространствах X и 2) соответственно.

Далее, во втором параграфе дается постановка задачи выживания. Введем следующие обозначения. Для произвольной непрерывной функции t x(t) G Kn, t G [—г, а], где r > 0, a > 0, обозначим xt — отображение отрезка [0, си] в пространство непрерывных функций С ([—г, 0],К"), действующее по правилу xt(s) ±x(t + s), t G [0, or], s G [—r, 0]. (0.4)

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с последействием = /(*«), (0.5) х0 = (р. (0.6)

Вместе с системой (0.5) будем рассматривать некоторое непустое подмножество М С АС ([—г, 0], IR71).

Определение 0.3. Пусть <р G М. Будем говорить, что решение x(t,(p) задачи Коши (0.5), (0.6) выживает в множестве М, если существует а > 0 такое, что для всех t € [0, а] выполнено включение xt € М, где xt движение в пространстве АС([—г, 0],®"), порожденное по правилу (0.4).

Определение 0.4. Множество М обладает свойством выживаемости для системы (0.5), если для всякого (р G М найдется решение x{t,ip) задачи Коши (0.5), (0.6), выживающее в М. Будем говорить также, что множество М есть множество выживаемости системы (0.5).

В данной работе исследуются необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять система (0.5) и множество М, чтобы множество М обладало свойством выживаемости для системы (0.5).

В третьем параграфе изучены условия выживания уравнения

Sxt = F(xt), (0.7) где отображение F действует в произвольном банаховом пространстве X.

Следующие теоремы дают нам необходимые и достаточные условия выживания уравнения (0.7).

Напомним, что множество М С X называется локально компактным, если для всякой точки х Е М найдется число г > 0 такое, что множество Вх[х, г] П М — компактно.

Теорема 0.2. Пусть 2) — банаховы пространства, X С 2), и заданы локально компактное множество М в X и непрерывное отображение F : X —> 2). Пусть далее, для всех точек <р Е М существуют число а > 0 и непрерывное отображение t —> xt Е М, t Е [0, се] такое, что хо = (р и 5xt = F(xt) для почти всех t Е [0, а), то есть существует выживающее в М решение (0.7) с начальным условием xq = ip.

Тогда для всех точек (р Е М имеет место включение

F(x) Е Т^М.

Теорема 0.3. Пусть X, 2) — банаховы пространства, X С ф, заданы локально компактное множество М в X и непрерывное отображение F : X 2). Пусть далее:

1) для каждого х Е М имеет место включение F(x) Е Т®М]

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех х Е М выполнено неравенство sup i р(х) + гШ,*) с, X ti(x) где r(ti(x),x) и U(x) из определения касательного конуса Т!рМ.

Тогда для всякого (р Е М существуют число а > 0 и непрерывное отображение t —> xt Е М, f G [0, а] такое, что хо = (р и 5xt = F(xt) для почти всех t Е [0, а:).

Доказано, что в теореме 0.3 условие непрерывности отображения F можно заменить на более слабое: достаточно замкнутости отображения F.

В четвертом параграфе указана связь между системой с последействием и уравнением (0.7). Оказывается, что если в качестве пространств X и 2) взять Ж7([-г,0],№) и Li([—r, 0],R") х R", а отображение F : X 2) определить равенством

F(a) = (aJ(a)), (0.8) то между решениями уравнений (0.3) и (0.5) существует взаимно однозначное соответствие. Пусть

X = АС{[-г, 0],Rn), 2) = Li([—г, 0], Г) х R". Лемма 0.2. Пусть функция t x(t) 6Г, t G [—г, а), а > 0 является решением задачи (0.3). Тогда отображение t->xteX, te[ 0,а), построенное по правилу xt(s) = x(t + s), *е[0,а), s G [—г, 0], имеет для почти всех t G [0,а:) вариацию Sxt и является решением уравнения (0.7).

Лемма 0.3. Пусть отображение t-^Уи te[0,a), а> 0 является решением задачи (0.7). Тогда отображение t->x(t) GRn, t G [—г, а) 11 где x(s)=(p(s), se[-r, 0], x(t) = yt(0), t G [0, a) является решением уравнения (0.3).

Из теоремы 0.3 и этих лемм следует утверждение, дающее достаточные условия выживания для уравнений с последействием.

Теорема 0.4. Рассмотрим некоторое локально компактное множество М С X. Для того, чтобы существовало движение t —> xt G М, порожденное дифференциальным уравнением с последействием x(t) = f(xt) и начальным условием xq = ip G М достаточно, чтобы для всякой точки о G М выполнялось включение

F(a) G Т?М, где F(a) определено равенством (0.8).

Доказана замкнутость оператора дифференцирования.

Лемма 0.4. Оператор дифференцирования сF0a)(t) = &(t), *G[-r,0] является замкнутым оператором, если его рассматривать как оператор, действующий из С([—г, 0],ЖГ1) в Li([—г, 0], Еп) с областью определения D(F0) = AC([-r,0],W).

Из этого утверждения следует, что в теореме 0.4 в качестве пространства X можно взять пространство С([—г,О],®?1). Множество М при этом по-прежнему будет задаваться в пространстве абсолютно непрерывных функций, но компактно оно должно быть в пространстве С([—г, 0], М").

Обозначим

X = AC{[-r, 0], Rn), 2) = Li([—г, 0], Rn) x Rn. Пусть множество M С X определено равенством

М ± {ipeX: а(<р) = 0}, где отображение а: X R имеет вид /%№) + f <*(s, <p(s))ds, (0.9)

3 : Rn R и a:RxRMR- непрерывные функции.

В пятом параграфе найдены достаточные условия выживаемости для системы с последействием и множеством М, заданным одним уравнением.

Теорема 0.5. Пусть м = {(р ЕХ: а(<р) = 0}, где отображение а : X —» R определено равенством (0.9) с функциями (3 : Rn —R и а : М х R" —у R непрерывно дифференцируемыми по х. Пустъ далее, для множества М выполнены следующие условия

1) во всех точках (р £ М выполнено неравенство

ГО lx=v>(0)| + j \<Xx{s,x)\x=(p(s)\dSy£0]

2) во всех точках <р G М выполнено равенство

Г0

0'{x)\x=(p{oh f(cp)) + J {aj(s, х)\х=ф), <£(s))c2s = 0.

Тогда для всех точек (р 6 М, с существенно ограниченной производной существуют $ > 0 и отображение t —)■ x(t) 6 Rn, t € [—г, являющееся решением задачи (0.5), (0.6) такие, что для всех t Е [0,$j выполнено включение xt € М.

В шестом параграфе найдены достаточные условия выживаемости для системы с последействием и множеством М, заданном конечным числом уравнений.

Теорема 0.6. Пусть

М = {(реХ: ai(tp) = 0,. ат{<р) = 0}, где отображение а{ : X —> R, % = 1,., т есть о ч(Ф) = А(у>(0)) + J (Xi(s, <p(s))ds, с функциями Pi : Rn —> R и щ : R х Rn R непрерывно дифференцируемыми по х. Пусть далее, во всех точках ip £ М выполнены следующие условия:

1) для всех i = 1,., т выполнены неравенства

Г°

7/(®)li=v>(0)| + J

2) функционалы а\{<р)[•] е X*, i = 1,. ,т линейно независимы, где

Г° (01 (®)|x=v,(0), т) + J (aiz(S> х)\х=фЬ ^is))ds

3) для всех i = 1,. ,т имеют место равенства го

0&x)\x=m> /(v)> + J (««-Л5»х)\Х=фь<p(s))ds = о

Тогда для всех точек ip G М, с существенно ограниченной производной существуют $ > 0 и отображение t —> x(t) G Rn, t G [—r, 0] являющееся решением задачи (0.5), (0.6) такие, что для всех t £ [0,$] выполнено включение xt G М.

В седьмом параграфе рассмотрены смешанные системы уравнений: x(t) = f(xt,y(t)) к y(t) = g(xt,y(t)),

Xo = * (0.11) 2/(0) = 2/o, где x 6 R", y,y0 6P, (ре С7([—r,0],K«), / : C([-r,0],R") х Rm -> Rn, g : C([—г, 0],Е") x Rm Rm. В таком виде можно записать, например, задачу Коши для неавтономной системы уравнений с последействием x{t) = f(t,xt), ж (to) = (p.

Определение 0.5. Решением системы (0.10), (0.11) называются непрерывные функции t->x(t)e Rn, t->y(t)e Rm, te[o,ti) i9 > 0, такие, что

1) x(s) = p(s), s € [—r, 0];

2) y(0) = m

3) x{t) и y(t) абсолютно непрерывны на [0,$) и обращают систему (0.10) в тождество.

Для смешанных систем найдены условия выживания в множестве М, заданном в пространстве С([—г, 0],R") х Rm одним уравнением.

Теорема 0.7. Пусть

М = {(<р,у) G C([—r, 0],Rn) х R™ : а(<р,у) = 0}, где отображение а : С([—г, 0], К") х Rm R определено равенством

Г° а(<Р, У) = /%(0), у) + у a(s, <p(s))ds, с функциями [3 : Rn+m —> R, а : Е х En 1 непрерывно дифференцируемыми по х. Пусть далее, для множества М выполнены следующие условия

1) во всех точках ((р, у) £ М выполнено неравенство

Г°

2/)|г=^(0)| + + у ds ^

2) во всех точках (у?, у) £ М выполнено равенство f°

Дя,2/)|х=<р(0),/(</>)) + W(<p(P)ty),g(y)) + у ¥>(«))<*« = 0.

Тогда для всех точек (ср, уо) 6 М таких, что vraisup |<£>(s)i < +оо s€[-r,0] существуют > 0 и отображения t->x{t)eRn, ге[-г,Щ, t-+y(t)eRm, являющиеся решением задачи (0.10), (0.11) такие, что для всех t € [0,i9] выполнено включение (xt, y{t)) G М.

В восьмом параграфе исследованы условия, при которых для заданных непустого множества М банахова пространства X и многозначной функции х —» F(x) G comp2), х G М порождающей задачу

Sxt е F(xt), (0.12) х0 = <рвМ, (0.13) найдутся а > 0 и решение t -> xt задачи (0.12), (0.13) удовлетворяющее при всех t G [0, а] включению Xt G М.

Введем следующие обозначения. Напомним, что функция r(t) и последовательность {ti} в определении касательного направления зависят от точки ж G М и элемента касательного конуса h G Т!рМ. Эту зависимость будем записывать r(t,x,h) и ti(x,h).

Пусть h G Т^М, обозначим r(ti(x, /г), х, К) с(х, К) = sup h +

U(x, h)

Если задано многозначное отображение х —> F(x) G comp2), х G М и для всех х £ М выполнено включение F(x) С Т^М, то обозначим с(х) = sup с(х, h). h€F(x)

Теорема 0.8. Пусть X и 2) — банаховы пространства, ЭС С 2) и заданы локально компактное множество М в X и полунепрерывное сверху многозначное отображение

F : X -> сотр2).

Пусть далее:

1) d/u каждого х G М имеет место включение

F(x) С ;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех х G М выполнено неравенство sup с(х) < с. хем

Тогда для всякого <р G М существуют число а > 0 и непрерывное отображение t-*xte М, t G [0, а] 17 такие, что хо = ip и 6xt £ F(xt) для почти всех t £ [0, ск).

Теорема 0.9. Пусть X и 2) — банаховы пространства, X С 2) и задано замкнутое многозначное отображение

F : X —> сотр 2) с областью определения D(F). Пусть далее, задано локально компактное множество М в D(F) и выполнены условия:

1) для всех х £ М отображение х Н(х) £ сотр 2), х £ М построенное по правилу

H{x) = F{x)nT^M является полунепрерывным сверху ;

2) найдется константа с > 0 такая, что для всех х £ М выполнено неравенство sup с(х) < с, х€М где ф)= sup {sup h+r(t^'h) J. лея(х) i х

U(x, К)

Тогда для всякого <р £ М существуют число а > 0 и непрерывное отображение t-¥xteM, t £ [0, а] такое, что xq = <р и Sxt £ F(xt) для почти всех t £ [0, а).

Доказано, что в теоремах 0.8, 0.9 условие полунепрерывности сверху многозначного отображения F можно заменить на более слабое: достаточно замкнутости многозначного отображения F в смысле замкнутости графика T(F) в X х 2).

В девятом параграфе доказано взаимно однозначное соответствие между задачей Коши для включения x(t) € /К), ' (0.14) xq = (р, (0.15) где / : АС([—г, 0],R") compRn, <р G Ж7([-г, 0], R") и задачей Коши для включения

Sxt е F(xt), (0.16)

Хо = ср, (0.17) где F : ЛС([-г,0],№) Li([-r,0],R") х compRn действует по правилу

F(a) = (aj(a)).

Лемма 0.5. Пусть функция t x(t) бГ, te [-г, а), а > 0, является решением задачи (0.14), (0.15). Тогда отображение t -»xt е х, t е [о, а) построенное по правилу xt{s)±x(t + s), se[-r,0], имеет для почти всех t Е [0, о:) вариацию 5xt и является решением задачи (0.16), (0.17).

Лемма 0.6. Пусть отображение t-*Vt, ^ G [0, or), а>0 является решением задачи (0.16), (0.17). Тогда отображение f->x(f)GMn, te[-r,a) где x(s) = <p(s), s е [-г, 0], x(t) = yt{0), t G [0, a) является решением задачи (0.14), (0.15).

Таким образом имеет место теорема.

Теорема 0.10. Рассмотрим некоторое локально компактное множество М С АС([—г,О],®71). Для того, чтобы существовало движение t —»• xt Е М, порожденное дифференциальным включением с запаздыванием x(t) G f(xt) и начальным условием xq = </? 6 М, достаточно, чтобы для всякой точки a G М выполнялось включение

F{a) С TfM, где F(a) = (<r(s),/(<т)), 2) = Zq([-r, О],!71) х compEn.

Доказана замкнутость отображения F, действующего из пространства С([-г,0],]1Г) в пространство L\({-r, 0],Rn) xcompR71 по правилу F(a) = (<i(s),/(<j)), где D(F) = АС([—г,О],®71)— область определения F. Таким образом, в теореме 0.10 пространство абсолютно непрерывных функций АС([—г, 0], R") можно заменить на пространство непрерывных функций С([-г,0],1Г). Множество М при этом по-прежнему будет задаваться в пространстве абсолютно непрерывных функций, а условие локальной компактности множества М должно быть выполнено в С([—г, 0], R").

Основные результаты работы докладывались на городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 1999 — 2003 годы), Международной конференции "Ломоносов — 2000"(Москва, МГУ), XXXII-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2001), 5-ой Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, ЕГНОК — 2001), конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", посвященной 80-летию Н.В. Азбеле-ва (Ижевск, 2002), семинаре В. А. Кондратьева, В. М. Миллионщикова и Н. X. Розова по качественной теории дифференциальных уравнений (Москва, МГУ, 2003), Международной конференции, посвященной 100-летию А. Н. Колмогорова (Тамбов, ОПУ-2003) и опубликованы в [4] — [12].

Выражаю глубокую признательность Е. JL Тонкову за постановку интересной задачи и сделанные в процессе работы над диссертацией замечания.

1. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. М., 2002. 384 с.

2. Андрианов Д. Л. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием. Автореф. докт. дисс. Ижевск. 1994. 29 с.

3. Андрианов Д. Л., Полушкина Г. Л. Прогноз — анализ — решение // Банковские технологии, 1997, № 8. С. 54-57.

4. Баранов В. Н. Численные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2000. № 3(20). С. 3-30.

5. Баранов В. Н. Об одном численном методе интегрирования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". Вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 2000. С. 319.

6. Баранов В. Н. Обобщение теоремы Нагумо для систем дифференциальных уравнений с последействием // Тезисы докладов 5-й Российской университетско-академической научно-практической конференции. Ч. 10. Ижевск, 2001. С. 8.

7. Баранов В.Н. Теорема Нагумо для системы с последействием // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2002. № 2(25). С. 11-14.

8. Баранов В.Н. Теорема Нагумо для систем с последействием // Вестн. Удм. ун-та. Ижевск, 2002. Вып 1. С. 29-32.

9. Баранов В. Н. Достаточные условия выживания для систем с последействием // Вестн. Тамбовского ун-та. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 3. С. 343.

10. Баранов В.Н. Достаточные условия локальной выживаемости для систем с последействием // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № б. С. 858.

11. Баранов В.Н. Задачи выживания для систем с последействием // Изв. Ин-та матем. и информ. Ижевск, 2003. № 2(28). С. 3-102.

12. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1985. Т. 169. С. 194-251.

13. Гусейнов X. Г., Субботин А. И., Ушаков В. Н. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы упр. и теории информации. 1985. Т. 14, Ж 3. С. 1-14.

14. Гусейнов X. Г., Ушаков В.Н. Об инфинитизимальных конструкциях в теории обобщенных динамических систем. I // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, Ж 2. С. 157-165.

15. Гусейнов X. Г., Ушаков В.Н. Об инфинитизимальных конструкциях в теории обобщенных динамических систем. II // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, Ж 4. С. 457-464.

16. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Задачи на экстремум при наличии ограничений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, №. 3. С. 395-453.

17. Иоффе А. Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М., 1974. 478с.

18. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1989. 624с.

19. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.

20. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР.1986. Т. 289, № 1. С. 38-41.

21. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Об оптимальном описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц. уранения.1987. Т. 23. № 8. С. 1303-1315.

22. Куржанский А. Б., Филиппова Т. Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Тр. матем. ин-та РАН. 1995. Т. 211. С. 304-315.

23. Незнахин А.А., Ушаков В.Н. Построение ядра выживаемости с ограниченным блужданием для дифференциального включения // Деп. в ВИНИТИ 16.12.00 Ж 3083-В00 24с.

24. Никольский М. С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы // Докл. РАН. 1996. Т. 350. Ж 6 С. 739-741.

25. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1 Функциональный анализ. М., 1977. 357с.

26. Сатимов Н., Азамов А. К задаче избежания столкновений в нелинейных системах // Докл. АН УзССР. 1974. № 6. С. 3-5.

27. Тонков Е. Л. Динамические задачи выживания // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион.-дифференц. уравнения (спец. вып.). 1997. № 4. С.138-148.

28. Ушаков В. Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика 4. 1980. С. 32-45.

29. Фазылов А.З. Достаточные условия оптимальности для задачи выживания // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3 С. 535-537.

30. Фазылов А.З. К задаче избежания столкновений // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1987. № 3. С. 30-36.

31. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., 1985. 223с.

32. Филиппова Т. Ф. Задачи о выживаемости для дифференциальных включений.: Дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Екатеринбург. 1992. 266. с. /Ин-т математики и механики УрО РАН.

33. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421с.

34. Aubin J.-P. Viability theory. Boston: Birkhauser, 1991. 326 p.

35. Aubin J.-P. Mutational and Morphological Analysis. Tools for Shape Regulation and Optimization. 1998. 352 p.

36. Aubin J.-P. A survey of viability theory // SIAM J. Contr. and Optim. 1990. V. 28. N 4. P. 749-788.

37. Blagodatskih V. I. Sufficient condition for optimality in problems with state constraints // Appl. Math, and Optim. 1981. V. 7. N 2. P. 149-157.

38. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. of Math. 1984.31. P. 83-100.

39. Nagumo M. Uber die Lage der Intergralkurven gewohnliker Differentialgleichungen // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. 24. P. 551-559.