Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем

Лукьянова, Лиля Николаевна

Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Лукьянова, Лиля Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем»

Автореферат диссертации на тему "Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Лукьянова Лиля Николаевна

ЗАДАЧА УКЛОНЕНИЯ ОТ СТОЛКНОВЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор М.С. Никольский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.П. Крищенко

кандидат физико-математических наук, доцент И.А. Смольникова

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН, г.Екатеринбург

Защита диссертации состоится " " 2006 г. в 14.30

на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан " " 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент ///

В.М. Говоров

АЪ^ЗО

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В диссертации рассматривается задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого открытого множества (фазовое ограничение типа препятствие). Второй тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внутренность некоторого замкнутого множества. Для второго типа фазовых ограничений нужно обеспечить уклонение от столкновения траектории с точками дополнения к внутренности замкнутого множества.

Объектом исследования являются динамические управляемые системы, описываемые дифференциальным уравнением

®(*) = Ав(<) + Ви(Ь), х(0) = х°, (1)

где < > 0, а; 6 Е", и € Р С Ер, Еп — п-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт, 1пЬР ^ 0, и — параметр управления, А, В — постоянные матрицы размерности пхп, п х р соответственно. Допустимые управления — измеримые по Лебегу функции и(£) со значениями во множестве Р. В пространстве Еп заданы замкнутое целевое множество М\ и фазовое ограничение в виде открытого множества Р. Предполагается, что х° М\{\Р = 0, М\ = М1 + где М1 — линейное подпространство из Еп, — выпуклый компакт из Ь1, Ь1 — ортогональное дополнение к М1 в Еп. Скажем, что для начальной позиции линейной динамической системы (1) существует решение задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением Р при движении вектора х(Ь) к множеству М\, если найдется допустимое управление и{{) и конечный момент времени Т > 0 такие, что х(Т) € М\ и £ Р, £ € [О, Т\. Рассматривается задача о нахождении достаточных условий на параметры системы (1), при которых для начальной позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением Р при движении к множеству М\.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

С.-Петербург

ОЭ гОО^акт^С?

Исследуются фазовые ограничения F двух типов. Первым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = M1 + Aif, где Mf — звездное1 ограниченное, открытое множество из L1. Такие ограничения в литературе называются ограничениями типа препятствия. Вторым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F — Е" \ ( М1 + М|), где iWf — звездное компактное множество из Ьг. Задачи избежания столкновения траектории системы с фазовыми ограничениями второго типа в литературе получили название — задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.Р. 2) траектории внутри ограничивающего множества М1 + М|.

Задачи уклонения от столкновения с препятствием для игровых задач управления исследовались в работах JI С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, H.H. Красовского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Ф.Л. Черноусько, М.С. Никольского, Б.Н. Пшеничного, Н.Ю. Сатимо-ва, H.JL Григоренко, A.A. Чикрия, А. Азамова, В.В. Остапенко, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко и др.

Приведем некоторые из таких результатов, сформулированные для случая управляемых процессов.

В начале семидесятых годов прошлого века JI.C. Понтрягин и Е.Ф. Мищенко 3 сформулировали задачу уклонения от столкновения с препятствием. Ими предложено эффективное решение задачи уклонения от столкновения для линейной управляемой системы и препятствия в виде линейного подпространства. В основе предлагаемого метода уклонения от столкновения лежит маневр обхода точки на плоскости, позволяющий на конечном отрезке времени строить локальное управление, уклоняющее проекцию траектории от встречи с нулевой точкой. Различные варианты итерирования такого локального управления на отрезке времени [О, оо) приводят к различным траекториям обхода препятствия и различным оценкам снизу для расстояния от траектории до препятствия в

'Касселс Дж.В.С. Введение в геометрию чисел.-М.: Мир, 1965

2Aubin J.P. Viability theory. Boston: Birhauser, 1991.

'Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, № 3 - С. 436—445

процессе движения, в том числе и i-оценке. Величина I зависит от параметров управляемого процесса и в общем случае может быть малой. Отметим также, что в постановке задачи уклонения от столкновения по Понтрягину и Мищенко ставилась задача удержания траектории вне препятствия и не ставилась задача о необходимости достижения траекторией целевого множества за конечное время.

В работе JI.C. Понтрягина 4 исследованы грубый и тонкий случаи в теории уклонения от столкновения, разработаны новые маневры обхода и построены управления, гарантирующие избежание столкновения траектории системы с препятствием в виде линейного подпространства на бесконечном отрезке времени.

В работе Е.Ф. Мищенко, Н.Ю. Сатимова и М.С. Никольского 5 метод уклонения от столкновения Понтрягина и Мищенко был развит на нелинейные игры и случай игр многих преследователей и одного убегающего. В этой работе содержатся достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения для нелинейных управляемых процессов в случае препятствия в виде линейного подпространства и в случае невыпуклого препятствия — объединения линейных подпространств.

В работе Б.Н. Пшеничного 6 предложен метод решения задачи уклонения траектории линейной системы от столкновения с терминальным множеством, называемый методом уклонении но направлению. Он содержит достаточные условия существования управления, гарантирующего уклонение от столкновения и метод построения управления. Развитию этого метода на новые классы управляемых процессов посвящена работа Б.Н. Пшеничного, A.A. Чикрий, И.С. Раппопорта 7.

В работе Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко 8 предложен способ ре-

'Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра убегания. Труды МИАН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.

5Мшценко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц. Труды МИАН СССР. 1977. Т. 143. С. 105-129.

'Пшеничный Б.Н. О задаче убегания. // Кибернетика. - 1975. - №4. - С. 120-127

7Пшегогчный В.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Преследование несколькими управляемыми объектами при наличии ограничений. // ДАН СССР. - 1981. -259, №4.

'Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры . - Киев: Наукова думка, 1992. -260с.

шсния задачи уклонения от столкновения траектории линейной и нелинейной систем от встречи с терминальным множеством, основанный на построении ряда маневров "уклонения" и "разгона". Построено также управление уклонения от столкновения для управляемой системы с запаздывающим аргументом.

Особенность задач уклонения от столкновения в перечисленных выше работах заключалась в том, что исследовался вопрос о достаточных условиях уклонения от столкновения из любой начальной позиции не принадлежащей препятствию. Поэтому результатом исследования было построение "локального" управления, гарантирующего уклонение от столкновения лишь в малой окрестности препятствия. Вопрос о возможности построения на основании такого "локального" управления уклонения от столкновения "глобального" управления, обеспечивающего приход траектории на целевое множество и одновременное уклонение от столкновения с препятствием в этих работах не рассматривался и в настоящее время является открытым.

Задача уклонения от столкновения для дифференциальных игр уклонения от многих преследователей, обладающих простым движением, была сформулирована и исследована Ф.Л. Черноусько 9. В этой работе построен такой способ управления, который обеспечивает движение уклоняющейся точки в фиксированной окрестности заданного прямолинейного движения и уклонение от всех преследователей на фиксированное расстояние. В основе подхода лежит конструкция локального управления обхода и многошаговая рекуррентная процедура его применения на отрезке времени [0, оо).

В работе H.H. Красовского и А.И. Субботина 10 предложены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с препятствием на конечном отрезке времени.

Таким образом, задача отыскания достаточных условий на параметры системы (1), при которых для начальной позиции я0 существует ре-

9Черноусько Ф Л Одна задача уклонения от многих преследователей. ПММ 1976 т 40. вып 1

10Красовский Н Н. Субботин А И Позиционные дифференциальные игры . - // М.: Наука, 1974. -456с.

шение задачи уклонения от столкновения с телесным препятствием при движении к целевому множеству исследована, в настоящее время, в ряде важных случаев и ее рассмотрение в более общем виде является актуальным.

Задачи управления при наличии фазового ограничения второго типа исследовались в работах JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкре-лидзе, H.H. Красовского, А.И. Субботина, Ю.С. Осипова, A.B. Куржан-ского, Т.Ф. Филипповой, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, В.В. Ди-кусара, В.А. Дубовицкого, М.С. Никольского, В.И. Благодатских, Ф.П. Васильева, A.B. Арутюнова, С.М. Асеева, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко, В.И. Максимова и др.

В работе H.H. Красовского и А.И. Субботина 10 предложен метод гладкого потенциала для решения задач выживания при наличии фазовых ограничений.

В работе A.B. Куржанского и Т.Ф. Филипповой 11 получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества.

В работе В.И. Благодатских 12 предложено решение линейных задач выживания при наличии фазовых ограничений на основании достаточных условий оптимальности по быстродействию. С помощью этого подхода получены решения задачи выживания для ряда конкретных линейных систем.

В работе Б.Н. Пшеничного 13 предложена операторная конструкция для нахождения начальных позиций управляемого процесса, для которого разрешима задача выживания для линейных и нелинейных управляемых систем с фазовыми ограничениями.

Задача выживания траектории линейной системы при ее движении

иКуржанский А Б., Филиппова Т Ф Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями

Метод возмущений // Труды ыатем ин-та РАН. 1995 - Т 211. - С. 304-395

"Благодатских В.И Задача управляемости для линейных систем. Труды математического института АН СССР. 1977, т. 143. с 57-67

"Пшеничный Б.Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. - 1969 - Т. 184, №2. - С. 285-287.

внутри ограничивающего множества исследована, в настоящее время, в ряде важных случаев. Однако, общая задача отыскания конструктивных достаточных условий на параметры системы (1), при которых для начальной позиции я0 существует решение задачи выживания траектории при ее движении к целевому множеству внутри ограничивающего множества остается открытой и ее исследование является актуальным.

Цель работы.

Цель работы состоит в разработке достаточных условий существования решения задачи уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого звездного множества (фазовое ограничение типа препятствие). Второй тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — звездное множество. Для второго типа фазовых ограничений нужно обеспечить уклонения от столкновения траектории системы с точками дополнения к звездному множеству. Решение задачи подразумевает разработку способов построения управлений, решающих задачу уклонения от столкновения для каждого типа фазовых ограничений.

Научная новизна работы.

В диссертации получены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями двух типов. Разработаны способы построения управлений, решающих задачу уклонения от столкновения для каждого типа фазовых ограничений.

Основные результаты работы.

1. Предложены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с выпуклым и невыпуклым препятствиями для линейных управляемых систем.

2. Разработаны достаточные условия существования решения задачи выживания для линейных управляемых систем при условии нахождения траектории системы внутри ограничивающего множества.

3. Разработаны эффективные методы построения управлений для ли-

нейных управляемых систем, решающих задачу уклонения от столкновения с выпуклым или невыпуклым препятствием, а также задачу выживания траектории внутри ограничивающего множества.

Практическая ценность работы.

В работе предложены подходы к построению управлений и траекторий обхода препятствий для линейных управляемых систем. Получены способы нахождения управлений и траекторий линейных управляемых { систем, выживающих внутри ограничивающего множества. Полученные

результаты могут найти применение, например, в робототехнике, мате> матической экономике, экологии.

Методы исследования.

В работе используется теория дифференциальных уравнений, теория интегральных уравнений, теория функций, выпуклый анализ, математическая теория оптимального управления, теория дифференциальных игр.

Апробация работы.

Результаты работы были представлены в виде докладов на семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН Ю.С. Осипов, профессор М.С. Никольский), семинаре "Математические модели в экономике и экологии", Химки, Моск. обл., 27—29 января 2004 г., семинаре "Проблемы динамического управления", Суханове, Моск. обл., 24—26 января 2005 г., научной школе-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы", Институт механики МГУ, г. Москва, 21—25 марта 2005 г., конференции "Ломоносовские чтения", факультет ВМиК МГУ, г. Москва, 20—25 апреля 2005 г., международном семинаре "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби" (СС8'2005), Екатеринбург, 22-25 июня 2005 г., конференции "Тихоновские чтения", факультет ВМиК МГУ, г. Москва, 20-23 октября 2005 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[4].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. Общий объем диссертации 120 страниц, включая 82 рисунка. Библиография содержит 123 наименования.

Краткое содержание работы.

Во введении излагаются цели работы, ее актуальность, а также кратко описываются основные результаты, полученные в диссертации.

В главе 1 диссертации исследуется задача уклонения от столкновения для линейной управляемой системы (1) при фазовом ограничении первого типа. Для краткости, далее она называется задачей уклонения от столкновения с препятствием.

§1.1 содержит постановку задачи уклонения от столкновения с препятствием для линейной управляемой системы. Предлагаемый подход к решению задачи уклонения от столкновения состоит в нахождении управления «(<) в виде суммы управлений их(£) и «2(0, первое из которых отвечает за движение фазового вектора системы к целевому множеству М\, а второе — за уклонение траектории от встречи с препятствием М2 = М1 4- М| при ее движении к множеству М\.

В §1.2 приведена следующая конструкция управления их(Ь), реализующего движение фазового вектора к целевому множеству. Пусть 7г — оператор ортогонального проектирования из Еп на подпространство Ь1, <ИтЬ1 — ц, д > 2.

Предположение 1. Существует такое целое число к > 0, что ранг матрицы пАкВ равен д, а матрицы ж А* В = 0 при г — 0,..., к — 1, если к>1.

Пусть Р = Рг + Р2, 1ШР1 ф 0, ШР2 ф 0, 0 € Рь 0 е Р2, и = щ +112, «1 6 Рь и2 С р2) где Р\, Р2 — выпуклые компакты, ТП1 е Мх, £(£) = 7711, х°) = пемх° - 7Г7П! .

Если при некотором ¿1 > 0 справедливо равенство £(£1) = 0, то в этом случае полагается Их(£) = 0, для £ € [0, £1].

Если гпх £ Мх, х° таковы, что £(£) ф 0, для всех t> 0, то для t> 0,

г 6 [0, i], определяются функции

a{t, т, 7гтоь х°) = тах{а : а > О, -aÇ(t) е тте^'^ВР^,

¿3(t, х°) = 1 - / a(t, г, тщ, x°)dr, (2)

J о

где интеграл в соотношении (2) понимается в смысле Лебега. Функция a(t, г, 7rmi, ж0) измерима по г, равномерно ограничена по т £ [0, t] и, следовательно, суммируема на отрезке [0, t].

Предположение 2 Для позиции х° системы (1) существуют вектор ттц G Mi и множество Р\ С Р, для которых функция ¡3(t, х°) имеет положительный корень 9.

При выполнении предположения 2 для системы (1) из начальной позиции х° разрешима задача управляемости на множество М\. Управление u\{t), осуществляющее перевод траектории из позиции х° на множество М\, строится следующим образом.

Управление u\(t) Е Pi для t G [0. 9] выбирается как лексикографический минимум среди решений уравнения

7гe^'^Bmit) = —а(9, t, тгти х°)^{9). (3)

В силу леммы Филиппова 14 так выбранное управление будет измеримой по Лебегу функцией. Обозначим

если существует t\ > 0 : £(fi) = О,

■•M?;

Т Т(ш

' ' 1 п если для всех £ : £(£) ф 0.

Для решения системы (1) при управлении м^), являющимся решением уравнения (3), или при щ(¿) = 0, справедливы формулы

7гж(<) = у{Ь)+ ГтгеЛ1*-')Ви2(а)<18, у{{) = тгемх°+ [* тгеЛ{г-я)Вщ(з)(1в.

Jo Jo

(4)

В лемме 1.1 доказывается, что функция у{€), Ь е (0, Т) принадлежит пространству Соболева Я*+1(0, Т) и обладает следующими свойствами: г/(0) = 7ГХо, у (в) = 7Г7П1 6 М:2. Функция у{Ь), t е [0, Т], далее называется опорной кривой.

''Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования Вестн Моек ун-та. Сер математика, механика, физика, химия 1959 N 2. с.34- 41

В §1.3 приведена следующая конструкция траектории дифференциального включения х е Ах 4- B(ui(t) + Р^), посещающей целевое множество в момент Т и уклоняющейся от встречи с множеством M-¿. Для опорной кривой y(t) ,t € [О, Т], может выполняться один из двух случаев.

Случай 1. Для всех t G [О, Т], y{t) £ Mf.

Случай 2. Существуют моменты времени t 6 [О, Т\, для которых I/(*) 6 Ml

В случае 1 полагается U2(t) = 0 и показано, что управление u\(t) решает задачу избежания столкновения с множеством М2 при движении системы (1) к множеству М\. В случае 2 на поведение кривой y(t) относительно замыкания множества Щ наложено следующее условие.

Предположение 3. Существуют целое число N > 0 и константы ¿il, ti2, i = l,...,jV: 0 < tu < Í12 < ¿21 < ¿22 < - < íil < Ít2 < tm < tm < T, такие что y{t) £ Щ, t G [t,i, U2}, i — 1, —,N, y(t) £ Щ, tí[t>u ta], i = l,...,N.

Если Щ является звездным телом1 и G множество его центров, то выбирается вектор о 6 G, а ф y(t), t £ [О, Т]. В лемме 1.2 доказывается, что для любой функции y{t) вида (4) существует вектор об Int G такой, что аф y(t), t £ [О, Т]. Один из таких векторов а фиксируется и далее называется центром обхода множества Мг.

Далее в работе приведена конструкция кривой y{t), обеспечивающей обход препятствия и посещение целевого множества в конечный момент времени. Она использует понятие лучевой функции1 звездного множества Ф € Еп, Об Int Ф, определяемую формулой

= 0,%еФ}, о,

\ о, Т) = 0.

Положим

(О, если t i [í,i, ti2), i = 1,.., N,

~ l %ít(o-Ta) ~ если * € I«'»' H i =

Определяется кривая y (t): y(t) = y{t) + X(t)(y(t)-á), t 6 [0, Т].Влем-ме 1.3 доказано, что кривая y(t) удовлетворяет условию y(t) р| М| = 0,

t G [О, T]. Кривая у{t) может не обладать требуемым в дальнейшем свойством гладкости С ее помощью строится кривая y(t), обладающая таким свойством. Сначала приведено построение гладкой функции fit) > A(t), удовлетворяющей условиям : ip(t) - (к + 1) раз дифференцируема, <¿>(0) = у/(0) = ... = = 0, <р{Т) = 0. Функция ip(t) построена с использованием срезающей функции отрезка 15. Кривая обхода определяется соотношением: y(t) = y(t) + ip(t){y{t) — а), t £ [0, Т]. В лемме 1.4 доказано, что кривая y(t) удовлетворяет условию:

y(t) i Ml t e [о, г], y(o) = у{т) e Ml

В §1.4 приведено построение управления мг(^), реализующего совместно с управлением m(t) движение фазового вектора по кривой y(t). Управление щ(£) предлагается строить как решение следующего интегрального уравнения 1-го рода типа Вольтерра :

t neA^Bu2(S)ds = f(t)(y(t) - а), (6)

J о

в классе функций щ{-) £ U, где U класс р-мсрных измеримых по Лебегу векторных функций, ограниченных по модулю на [0, Т]. Положим

/(<) = -«)). л=дан/он.

Д = max \\жАк+1е^АВ(<пАкВ)Ч, О<$<t<T v ' '

где (тгАкВ)+ - псевдообратная матрица 16 для матрицы irAkB.

В лемме 1.5 доказано, что для функции ip(t)(y(t) — а) существует решение уравнения (6) для t £ [0, Т] в классе U и для решения справедлива оценка

Предположение 4■ Множество удовлетворяет включению Q Sr{0), где 5д(0) — сфера радиуса R с центром 0, R — maxte[0, Г] ^(i) ■

""Осипов Ю С., Васильев Ф.П., Потапов М М. Основы метода динамической регуляризации Издательство МГУ. 1999 г,

16Гантмахср Ф.Р. Теория матриц. М. Наука 1967 г.

В §1.5 доказана теорема о достаточных условиях существования решения в задаче уклонения от столкновения с препятствием в виде звездного тела.

Теорема 1. Если множество М| является звездным телом и для системы (1) в позиции х° выполнены предположения 1 — 4, то для позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с препятствием.

Далее рассмотрен случай, когда множество М| является звездным множеством и не является звездным телом1, и опорная кривая у(£) пересекает его при некоторых Ь £ [Ьц, и2], г = 1,..., /V.

Предположение 5. Опорная кривая у({) ф а, £ 6 [¿ц, ¿¿г], где а центр звездного множества М2.

Теорема 2. Если множество М| является звездным множеством и для системы (1) в позиции х° выполнены предположения 1 — 5, то для позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с препятствием.

Изложенные в §1.2—§1.5 конструкции управления уклонения, зависят от параметров: множества Рх, управления щ^) и параметров маневра обхода: центра обхода а и оценочной функции .

В §1.6 — §1.8 приведены расчеты управления уклонения от столкновения для ряда динамических систем и нескольких вариантов параметров способа уклонения §1.2 — §1.5. В §1.6 для инерционной управляемой системы приведены расчеты управления и траектории уклонения от встречи с множеством М2 для различных центров обхода а. Рассмотрены случаи многократного пересечения опорной траекторией препятствия. Приведены траектории уклонения, соответствующие различным функциям ¥>(£). В §1.7 проведены расчеты управления и траектории уклонения для задачи уклонения от столкновения инерционного объекта с трением и выпуклого препятствия. В §1.8 проведены расчеты управления и траектории уклонения для задачи уклонения от столкновения инерционного объекта с трением и демпфированием от выпуклого препятствия.

§1.9 посвящен рассмотрению задачи уклонения от столкновения для

аппроксимированного препятствия. Конструкции построения управления §1.2 - §1.5, решающего задачу уклонения от столкновения, в некоторых случаях параметров задачи налагают ограничения на класс траекторий обхода Рассмотрение задачи уклонения от столкновения для аппроксимированного препятствия призвано расширить класс траекторий обхода, получаемых с помощью конструкций §1.2 — §1.5

Определение 1. Скажем, что задана задача уклонения от столкновения с препятствием, если определена совокупность ({1) ,х° ,М2,Р ,М\), где (1) — управляемая система (1), — начальная позиция, Р — ограничение на управление, М\ — целевое множество, Мг — препятствие ( М, = М1 + Мг2, г - 1,2; М1 — линейное подпространство из Е", М\ выпуклый компакт из Ь1, М| — звездное ограниченное откры тое множество из Ь1, Ь1 — ортогональное дополнение к М1 в Еп ; ха^Ми г = 1,2; М1Г\М2 = $ ).

Определение 2. Скажем, что задача уклонения от столкновения с препятствием ((1) ,М2,Р ,М\) аппроксимирует задачу уклонения от столкновения с препятствием ({1),х®,Мъ,Р,М\), если Мз С Мг, М| — звездное тело, х° ^ Мг, М\ Р) М% — 0, РЭР.

Для аппроксимированной задачи множество возможных положений вектора а — центра обхода, как правило больше, чем для исходной задачи Новые центры обхода порождают новые кривые обхода, обладающие различными полезными для приложений характеристиками.

Утверждение 1. Пусть для аппроксимирующей задачи уклонения от столкновения ((1),х°,М2,Р,Мх) выполнены предположения 1, 2, 3, 4■ Тогда для начальной точки х° разрешима задача уклонения от столкновения (^(1),х°,Мч,Р,М\).

Конструкции управления из утверждения 1 проиллюстрированы на примере задачи уклонения от столкновения с препятствием, в виде объединения двух пересекающихся выпуклых компактов.

В §1.10 для инерционной управляемой системы приведены расчеты управления и траектории уклонения от столкновения со звездным множеством Мг. Вычислены характеристики управления уклонения для

конкретных параметров управляемой системы.

В главе 2 рассматривается задача уклонения от столкновения с фазовым ограничением второго типа — задача выживания траектории линейной динамической системы при ее движении внутри ограничивающего множества к целевому множеству для того случая, когда начальное положение системы и целевое множество находятся внутри ограничивающего множества М1 + М|.

§2.1 содержит постановку задачи выживания траектории линейной системы при ее движении внутри ограничивающего множества. Предлагаемый подход к решению задачи выживания траектории внутри ограничивающего множества состоит в нахождении управления ы(£) в виде суммы управлений их(£) и «2(^)1 первое из которых отвечает за движение проекции траектории к целевому множеству, а второе — за уменьшение расстояния от проекции фазового вектора до центра звездного множества М|, с целью принадлежности проекции траектории ограничивающему множеству.

В §2.2 строится внутренняя кривая для ограничивающего множества. Внутренняя кривая соединяет начальную позицию и целевое множество, остается внутри ограничивающего множества и обладает специальными свойствами гладкости. Она строится в несколько этапов. На первом этапе строится опорная кривая з/(£), определяемая соотношением (4). О ее свойствах по отношению к ограничивающему множеству М| сделано следующее предположение.

Предположение 6. Существуют целое число N > 0 и константы Ьъ и2, г = 1,..., N : 0 < £п < <12 < £21 < ¿22 < ••■ < <»1 < <¿2 < *ЛГ1 < ¿от < Т, такие, что у{{) $ Щ, £ Е [£¿1, ¿¡г]) * = —> М, у{Ь) 6 М|, ti[tn, *о], 1 = 1

Согласно лемме 1.2 существует вектор а, принадлежащий множеству центров звездного тела М|, такой, что а ф у(£), < е [О, Т]. Для дальнейшего фиксируем один из таких векторов о. На втором этапе строится допустимая кривая у(£) = у(£) + А(£)(у(£) — о), £ € [О, Т],

где

если £ £ [£¡1, £<2], г = 1, ..,ЛГ, если £ е [£¡1, £¿2]) г — 1>

Ку(1) ~ а- М1 — о,) — лучевая функция множества (М| — а). В лемме 2.1 показано, что кривая у({) удовлетворяет условию у(Ь) £ М|, £ € [О, Т]. На третьем этапе строится гладкая оценочная функция для функции А(£): —1 < < А(£), £ € [¿11,^2] и внутренняя кривая множества Щ'- = 2/М + ¥>(£)(£/(*) - а), <6 [О, 71]. Функция строится с использованием усреднения по Соболеву-Стеклову функции А(£) с гладким ядром15. В лемме 2.2 утверждается, что кривая у(¿) удовлетворяет условию Щ е М|, « € [О, Т], у(0) = тле0, у(Т) е М,2.

В §2.3 приведено построение управления ггг(^), осуществляющего движение по внутренней кривой множества М3, и приведены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением второго типа.

Теорема 3. Если множество М| является звездным телом или звездным множеством, удовлетворяющим предположению 5, и для системы (1) в позиции х° выполнены предположения 1, 2, 4, 6, то для позиции х° существует решение задачи выживания траектории системы (1) при ее движении внутри множества Мз к целевому множеству Мг.

Далее рассматривается задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри аппроксимированного ограничивающего множества к целевому множеству. Приводится процедура ап-проксимационного сужения ограничивающего множества, которая позволяет при использовании маневра обхода из §2.2 в ряде случаев расширить множество получаемых выживающих траекторий.

Определение 3. Скажем, что задана задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри множества Мз к целевому множеству М\, если определена совокупность ((1),х°,Мз,Р,М1), где (1) — управляемая система (1), х° — начальная позиция, Р — ограничение на управление, М\ — целевое множество, Мз — ограничивающее множество, М\ С /п£Мз, х° £ 1пЬМз, х0£Мь М{ — М1 + М,2, г = 1,3; М1 — линейное подпространство из Еп, М1 — выпуклый компакт из Ь1, М\ - звездное компактное множество из Ь1, I? — ортогональное дополнение к М1 в Еп, х(Т) £ М\,

и x{t) € Мз, t € [О, Т].

Определение 4■ Скажем, что задача выживания траектории линейной управляемой системы, при ее движении внутри ограничивающего множества к целевому множеству ({1),М\) аппроксимирует задачу выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри исходного ограничивающего множества к целевому множеству ({I),х®,М%,Р,М\), если D M¡ — звездное тело, х° е М3, Mi С Мз, Р С Р.

Утверждение 2. Пусть для аппроксимирующей задачи выживания ((1),х°,Мз,Р,Mi) выполнены предположения 1, 2, 4, б. Тогда для начальной точки х° разрешима задача выживания ((I) ,х° ,Мз,Р ,Mi).

В §2.4 приведено решение задачи управляемости для инерционной управляемой системы при движении траектории внутри ограничивающего множества.

В §2.5 приведена постановка и достаточные условия существования решения задачи выживания проекции траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри ограничивающего множества М|, содержащего препятствие М|, к целевому множеству Mf. На первом этапе решения задачи построена опорная кривая y(t). О ее свойствах по отношению к множествам М| и М2 сделаны следующие предположения.

Предположение 7. Существуют целые числа Ni, N2 и константы tih t,2, i - 1,JVi, т}1, Tj2, j = 1 ,-,N2: 0 < tu < tv¿ < t2i < t22 <

... < í, 1 < í,2 < tNi < tN2 < T, 0 < Гц < 1-12 < 7-21 < T22 < ... < Til < T»2 < TN1 < T/V2 < T, такие, что y(t) £ Mf, t E [í¿i, ti2],

i = 1.....JVi, y(t) e M¡, t i [tih ta], i = y(t) € Щ,

t e hb Tl2] ,i= 1,..., JV2, y(t) £ M|, t i [r,i, rí2], i = 1, N2.

Предположение 8. Существуют внутренняя аппроксимация проекции ограничивающего множества — звездного множества M¡ и внешняя аппроксимация проекции препятствия — звездного множества Щ с единым центром в точке а, такой, что а ф y(t), t G [О, Т].

На основе опорной кривой строится внутренняя кривая для ограничивающего множества, обходящая препятствие и управление u2(t), осу-

ществляющее совместно с управлением u\(t) движение фазового вектора системы по внутренней кривой. Доказана следующая теорема.

Теорема 4■ Если множества М|, М\ являются звездными телами и для системы (1) в позиции х° выполнены предположения 1, 2, 4, 7, 8, то для позиции х° существует допустимое управление, для которого соответствующая траектория остается в множестве Мз, t € [О, Т], не посещает множество Mi, t € [О, Т\ и в момент времени Т приходит на множество М\.

В заключении формулируются основные результаты диссертации.

Автор выражает благодарность Михаилу Сергеевичу Никольскому за постановку задач, внимание к работе и помощь в работе над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Лукьянова JI.H. Задача уклонения от столкновения для линейной управляемой системы. // Вестник Моск. ун-та. сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. N 3, С. 29-35.

{2] Лукьянова Л.Н. Задача уклонения от столкновения с не выпуклым препятствием для линейной управляемой системы. // Мобильные роботы и мехатронные системы : Материалы научной школы- конференции. Часть 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005. С. 138—149.

[3] Лукьянова Л.Н. Задача управляемости для линейной системы с выпуклым фазовым ограничением. // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова/ под редакцией Ю.С. Осипова, A.B. Кряжимско-го. - М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ. 2005. Выпуск 1. С. 192-204.

[4] Лукьянова Л.Н. Реконструкция управления в задаче уклонения от столкновения. // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби, Труды международного семинара, Екатеринбург. 2005- Т. 2. С. 96-104.

¿шобА

КМ 3 9 9 0

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 18.04.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,25. Тираж 70 экз. Заказ 269. Тел. 939-3890. Тел ./Факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лукьянова, Лиля Николаевна

Введение

1 Задача уклонения от столкновения с препятствием для линейных управляемых систем

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вспомогательная задача управляемости.

1.3 Кривая обхода

1.4 Интегральное уравнение.

1.5 Достаточные условия существования решения в задаче уклонения от столкновения с препятствием в виде звездного множества.

1.6 Пример 1. Решение задачи уклонения от столкновения с выпуклым препятствием для инерционной управляемой системы

1.7 Пример 2. Решение задачи избежания столкновения с выпуклым препятствием для инерционной системы с трением

1.8 Пример 3. Решение задачи избежания столкновения с выпуклым препятствием для инерционного объекта с трением и демпфированием.

1.9 Задача уклонения от столкновения для аппроксимированного препятствия

1.10 Пример 4. Решение задачи уклонения от столкновения с невыпуклым препятствием для инерционной системы

2 Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству

2.1 Постановка задачи.

2.2 Внутренняя кривая для фазового ограничения.

2.3 Достаточные условия существования решения задачи выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения к целевому множеству

2.4 Пример 5. Решение задачи выживания траектории инерционной управляемой системы при наличии фазового ограничения

2.5 Задача выживания траектории линейной управляемой системы при ее движении внутри фазового ограничения, содержащего препятствие, к целевому множеству

Введение диссертация по математике, на тему "Задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем"

В диссертации рассматривается задача уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого открытого множества (фазовое ограничение типа препятствия). Второй тип фазовых ограничений ограничения, при которых допустимая область — внутренность некоторого замкнутого множества. Для второго типа фазовых ограничений нужно обеспечить уклонение от столкновения траектории с точками дополнения к внутренности замкнутого множества.

Объектом исследования являются динамические управляемые системы, описываемые дифференциальным уравнением х(Ь)=Ах{$) + Ви(Ь)1 х(0) = х°, (0.0.1) где £ > 0, х Е Еп, и £ Р С Ер, Еп — п-мерное евклидово пространство, Р — выпуклый компакт; 1тйР ф 0, и — параметр управления, А, В — постоянные матрицы размерности п х п, п х р соответственно. Допустимые управления — измеримые по Лебегу функции и{Ь) со значениями во множестве Р. В пространстве Еп заданы замкнутое целевое множество М\ и фазовое ограничение в виде открытого множества Р. Предполагается, что х° £ ' М\ Г) Р = = М1 + Мх2, где М1 — линейное подпространство из Еп, М\ — выпуклый компакт из Ь1, Ь1 ортогональное дополнение к М1 в Еп. Скажем, что для начальной позиции я0 линейной динамической системы (0.0.1) существует решение задачи уклонения от,столкновения с фазовым ограничением Р при движении вектора &(£) к множеству М\, если найдется допустимое управление и({) и конечный момент времени Т > 0 такие, что х(Т) £ М\ и х(Ь) ^ Р, £ £ [0, Т]. Рассматривается задача о нахождении достаточных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции xQ существует решение задачи уклонения от столкновения с фазовым ограничением F при движении к множеству М\.

Исследуются фазовые ограничения F двух типов. Первым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = M1 + , где М| — звездное [31] ограниченное, открытое множество из L1. Такие ограничения в литературе называются ограничениями типа препятствия. Вторым типом фазовых ограничений будем называть такие ограничения, для которых выполнено условие F = Еп \ ( М1 + М|), где М| — звездное компактное множество из L1. Задачи избежания столкновения траектории системы с фазовыми ограничениями второго типа в литературе получили название — задачи выживания (термин принадлежит Aubin J.P. [103]) траектории внутри ограничивающего множества M1 + М|.

Задачи уклонения от столкновения с препятствием для игровых задач управления исследовались в работах JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкрелидзе, H.H. Красовского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, Ф.Л. Черноусько, М.С. Никольского, Б.Н. Пшеничного, Н.Ю. Сатимо-ва, H.JI. Григоренко, A.A. Чикрия, А. Азамова, В.В. Остапенко, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко и др.

Приведем некоторые из таких результатов, сформулированные для случая управляемых процессов.

В начале семидесятых годов прошлого века JI.C. Понтрягин и Е.Ф. Мищенко [77] сформулировали задачу уклонения от столкновения с препятствием. Ими предложено эффективное решение задачи уклонения от столкновения для линейной управляемой системы и препятствия в виде линейного подпространства. В основе предлагаемого метода уклонения от столкновения лежит маневр обхода точки на плоскости, позволяющий на конечном отрезке времени строить локальное управление, уклоняющее проекцию траектории от встречи с нулевой точкой. Различные варианты итерирования такого локального управления на отрезке времени

О, оо) приводят к различным траекториям обхода препятствия и различным оценкам снизу для расстояния от траектории до препятствия в процессе движения, в том числе и Z-оценке. Величина I зависит от параметров управляемого процесса и в общем случае может быть малой. Отметим также, что в постановке задачи уклонения от столкновения по Понтрягину и Мищенко ставилась задача удержания траектории вне препятствия и не ставилась задача о необходимости достижения траекторией целевого множества за конечное время.

В работе JI.C. Понтрягина [78] исследованы грубый и тонкий случаи в теории уклонения от столкновения, разработаны новые маневры обхода и построены управления, гарантирующие избежание столкновения траектории системы с препятствием в виде линейного подпространства на бесконечном отрезке времени.

В работе Е.Ф. Мищенко, Н.Ю. Сатимова и М.С. Никольского [57] метод уклонения от столкновения Понтрягина и Мищенко был развит на нелинейные игры и случай игр многих преследователей и одного убегающего. В этой работе содержатся достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения для нелинейных управляемых процессов в случае препятствия в виде линейного подпространства и в случае невыпуклого препятствия — объединения линейных подпространств.

В работе Б.Н. Пшеничного [81] предложен метод решения задачи уклонения траектории линейной системы рт столкновения с терминальным множеством, называемый методом уклонения по направлению. Он содержит достаточные условия существования управления, гарантирующего уклонение от столкновения и метод построения управления. Развитию этого метода на новые классы управляемых процессов посвящена работа Б.Н. Пшеничного, A.A. Чикрий, И.О. Раппопорта [82].

В работе Б.Н. Пшеничного и В.В. Остапенко [80] предложен способ решения задачи уклонения от столкновения траектории линейной и нелинейной систем от встречи с терминальным множеством, основанный на построении ряда маневров "уклонения" и "разгона". Построено также управление уклонения от столкновения для управляемой системы с запаздывающим аргументом. •. .

Задача уклонения от столкновения для дифференциальных игр уклонения от многих преследователей, обладающих простым движением, была сформулирована и исследована ФЛ. Черноусько [97]. В этой работе построен такой способ управления, который обеспечивает движение уклоняющейся точки в фиксированной окрестности заданного прямолинейного движения и уклонение от всех преследователей на фиксированное расстояние. В основе подхода лежит конструкция локального управления обхода и многошаговая рекуррентная процедура его применения на отрезке времени [0, со).

В работе Н.Н. Красовского и А.И. Субботина [38] предложены достаточные условия существования решения задачи уклонения от столкновения с препятствием на конечном отрезке времени.

Таким образом, задача отыскания достаточных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции х° существует решение задачи уклонения от столкновения с телесным препятствием при движении к целевому множеству исследована, в настоящее время, в ряде важных случаев и ее рассмотрение в более общем виде является актуальным.

Задачи управления при наличии фазового ограничения второго типа исследовались в работах JI.C. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Р.В. Гамкре-лидзе, H.H. Красовского, А.И. Субботина, Ю.С. Осипова, A.B. Куржан-ского, Т.Ф. Филипповой, А.Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, В.В. Ди-кусара, В.А; Дубовицкого, М.С. Никольского, В.И. Благодатских, Ф.П. Васильева, A.B. Арутюнова, С.М. Асеева, В.Н. Ушакова, B.C. Пацко, В.И. Максимова и др.

В работе H.H. Красовского и А.И. Субботина [38] предложен метод гладкого потенциала для решения задач выживания при наличии фазовых ограничений.

В работе A.B. Куржанского и Т.Ф. Филипповой [44] получено аналитическое описание множества траекторий линейных дифференциальных включений, выживающих до определенного момента времени в пределах заданного множества." ' ''•

В работе В.И. Благодатских [10] предложено решение линейных задач выживания при наличии фазовых ограничений на основании достаточных условий оптимальности по быстродействию. С помощью этого подхода получены решения задачи выживания для ряда конкретных линейных систем.

В работе Б.Н. Пшеничного [79] предложена операторная конструкция для нахождения начальных позиций управляемого процесса, для которого разрешима задача выживания для линейных и нелинейных управляемых систем с фазовыми ограничениями.

Задача выживания траектории линейной системы при ее движении внутри ограничивающего множества исследована, в настоящее время, в ряде важных случаев. Однако, общая задача отыскания конструктивных достаточных условий на параметры системы (0.0.1), при которых для начальной позиции х° существует решение задачи выживания траектории при ее движении к целевому множеству внутри ограничивающего множества остается открытой и ее исследование является актуальным.

Цель работы.

Цель работы состоит в разработке достаточных условий существования решения задачи уклонения от столкновения для линейных управляемых систем с двумя типами фазовых ограничений. Первый тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область — внешность некоторого звездного множества (фазовое ограничение типа препятствия). Второй тип фазовых ограничений — ограничения, при которых допустимая область —звездное множество. Для второго типа фазовых ограничений нужно обеспечить уклонение от столкновения траектории системы с точками дополнения к звездному множеству. Решение задачи подразумевает разработку способов построения управлений, решающих задачу уклонения от столкновения для каждого типа фазовых ограничений.

Апробация работы.

Результаты работы были представлены в виде докладов на семинаре кафедры оптимального управления факультета ВМиК МГУ (рук. академик РАН Ю.С. Осипов, профессор М.С. Никольский), семинаре "Математические модели в экономике и экологии", Химки, Моск. обл., 27—29 января 2004 г., семинаре "Проблемы динамического управления", Суханове, Моск. обл., 24—26 января 2005 г., научной школе-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы", Институт механики МГУ, г. Москва, 21—25 марта 2005 г., конференции "Ломоносовские чтения", факультет ВМиК МГУ, г. Москва, 20—25 апреля 2005 г., международном семинаре "Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби"(СС8'2005), Екатеринбург, 22—25 июня 2005 г., конференции "Тихоновские чтения", факультет ВМиК МГУ, г. Москва, 20-23 октября 2005 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50]—[53].

Структура и объем диссертации.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

Результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

3. Разработаны эффективные методы построения управлений для линейных управляемых систем, решающих задачу уклонения от столкновения с выпуклым или невыпуклым препятствием, а также задачу выживания траектории внутри ограничивающего множества.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Лукьянова, Лиля Николаевна, Москва

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. — М.: Мир, 1967. - 479с.

2. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / Под ред. А.И. Субботина и B.C. Пацко. — Свердловск: ИММ УрО АН СССР, 1984. 295с.

3. Арутюнов A.B., Асеев С.М. Принцип максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. Невырожденность и устойчивость. // Докл. РАН.— 1994. Т.334, №2. -с. 134—137.

4. Арутюнов A.B., Влагодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями // Тр. МИАН.- 1991. Т.200. - с.4-26.

5. Асеев С.М. Экстремальные задачи для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. Т. 233. 2001. с.5—70.

6. Асеев С.М., Смирнов А.И. Задача оптимального прохождения через заданную область // Математические модели в экономике и экологии. Ь. МАКС Пресс — 2004. с. 15—19.

7. Апарцин А. С. Полилинейные кравнения Вольтерра 1 рода // Автоматика и телемеханика 2004. N 2. с. 118—125

8. Азамов А. Двойственность линейных дифференциальных игр преследования //ДАН СССР.- 1982. 263.- N 2.

9. Барабанова H.H., Субботин А.И. О классах стратегий в дифференциальных играх уклонения от встречи // ПММ. — 1971. -Т.35, вып. 3. с.385—392.

10. Благодатских В. И. Задача управляемости для линейных систем. Труды математического института АН СССР. 1977, т.143. с.57— 67.

11. Благодатских В.И., Филлипов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. мат. ин-та АН СССР. — 1985. Т.169. - с. 194—252.

12. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М. Высшая школа. 2001 г.

13. Близорукова М.С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Изв. АН СССР. Теория и системы управления. 1988. N2. с. 56—61.

14. Болтянский В.Г. Метод локальных сечений в теории оптимальных процессов // Дифференц. уравнения. — 1968. Т.4, №12-с.2166—2183.

15. Болтянский В.Г. Математические методы, оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408с.

16. Болтянский В.Г. Опорный принцип в задачах оптимального управления // Дифференц. уравнения. — 1973. Т.9, №8. -с. 1363—1370.

17. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс. 2002.

18. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления.—Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1975. 229с.

19. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР— 1959. Т.125, №3. - с.475-478.

20. Гамкрелидзе Р.В. Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах. // Изв. АН СССР. Сер. Мат. -1960. Т.24, №3. - с.315—356.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. Наука. 1967 г.

22. Григорьева C.B., Пахотинских В.Ю., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Конструирование решений в некоторых дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // Математический сборник. — 2005.- Т. 196, JM- с.51—78.

23. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев C.B. Стабилизация нелинейных динамических систем с использованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и телемеханика. — 2005.- N 7. с. 3—42.

24. Григоренко H. JI. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. Изд-во МГУ. 1990 г.

25. Гусев М.И., Куржанский A.B. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научно-технический прогресс. М.: Наука, 1987. - Т.1. - с.187-195.

26. Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // ПММ. — 1998-Т.65, Ш

27. Гурса Э. Курс математического анализа. Т.З, 4.2. ОНТИ. 1933 г.

28. Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. -2003. Т.39, МП. - с.1474—1486.

29. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазового ограничения // Автоматика и телемеханика. — 1987. №12. - с.25—33.

30. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Критерий существования содержательного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями // Дифференц. Уравнения. — 1995.- Т.31, №10. -с.1611-1616.

31. Касселс Дж.В.С. Введение в геометрию чисел. —М.: Мир, 1965.

32. Киселев Ю.Н. Оптимальное управление. Изд-во МГУ. 1988 г.

33. Киселев Ю.Н. Экстремальное описание неизвестных параметров в краевой задаче принципа максимума // Тр. ИММ УрО РАН. — Екатеринбург, 2000. Т.6, №1. - с. 72-90.

34. Комаров В.А. Оценки множества достижимости для линейных систем //Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1984. Т.48, №4.- с.865—879.

35. Комаров В.А. Оценки множества достижимости дифференциальных включений // Мат. заметки.— 1985 Т.37, вып.6.- с.916— 925.

36. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. — M.: Наука, 1970. -:420с.

37. Красовский H.H. Управление динамической системой. — М.: Наука, 1985. 520с.

38. Красовский H.H. Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры . // — М.: Наука, 1974. 456с.

39. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Нелинейные к(х) двойственные системы и синтез наблюдателей // Дифференциальные уравнения. — 1999.- Т.35; N 5. с.648-663.

40. Кряжимский A.B., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1997. Т. 37, № 3. - с.291—302.

41. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977. 392с.

42. Куржанский А.Б., Осипов Ю.С. К задаче управления с ограниченными фазовыми координатами // ПММ. — 1968. Т. 32, вып. 2. - с.194—202.

43. Куржанский А.Б. Филиппова Т.Ф. Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Оптим. упр. и дифференц. уравнения: сб. ст. к 70-летию со дня рождения академика Е.Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1995. -Т. 211. с.304—395.

44. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Об оптимальных стратегиях в дифференциальных играх фиксированной продолжительности // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 286, Ж^ 2. - с.284-287.

45. Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Тр. Мат. ин-та АН СССР. — 1988. -Т. 185. с. 147—170.

46. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления . М.: Наука, 1972. - 574с.

47. Лотов A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975. Т. 15, N 1.

48. Лотов A.B. Методы анализа математических моделей управляемых систем на основе построения множества достижимости значений показателей качества управления. Дис.докт. физ.-матем. наук. М. МФТИ. 1985.

49. Лукьянова Л.Н. . Задача уклонения от столкновения для линейной упраляемой системы. Вестник Моск. ун-та. сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2005. N 3, с.29—35.

50. Лукьянова Л.Н. Задача уклонения отстолкновения с невыпуклым препятствием для линейной управляемой системы. Мобильные роботы и мехатронные системы: Материалы научной школы-конференции. Часть 2. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005. с. 138—149.

51. Лукьянова Л.Н. Задача управляемости для линейной системы с выпуклым фазовым ограничением. Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова / под редакцией Ю.С.Осипова,

52. А.В.Кряжимского. М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ 2005. Выпуск 1. с.192-204.

53. Лукьянова Л.Н. Реконструкция управления в задаче уклонения от столкновения. // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби, Труды международного семинара, Екатеринбург. 2005. Т. 2. с.96—104.

54. Максимов В.И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем // Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 305с.

55. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальные системы управления: обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи. Издательство с.-петербургского университета 2003.

56. Микусинский Я. Операторное исчисление.М.: Изд-во ИЛ, 1956.

57. Мищенко Е.Ф., Никольский М.С., Сатимов Н.Ю. Задача уклонения от встречи в дифференциальных играх многих лиц. Труды МИАН СССР. 1977. Т. 143. с.105 129.

58. Никольский М.С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтря-гина// Мат. сб. 1981. - Т. 116, № 7. - с.136-144.

59. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для дифференциального включения // Вестник Московского университета. Вычислительная математика и кибернетика. — 1987. Сер. 15, № 4. - с.31-34.

60. Никольский М. С. О нижнем альтернированном интеграле Понт-рягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат. сборник. 1985. - Т. 128, № 1. - с.35-49.

61. Никольский М.С., Мусса Абубакар Некоторые оценки множествадостижимости для управляемого уравнения Ван дер Поля // Тр. ИМИ УрО РАН. Екатеринбург, 2000. - Т. 6, № 1. - с.150-159.

62. Никольский М.С. О линеной задаче осуществления заданного движения. ДАН. 1992. том 322, № 5, с.193—197.

63. Никольский М. С. Об одной задаче осуществления заданного движения. Гибкие системы. ДАН. 1996. том 350, № 6, с. 739—741.

64. Овсеевич, А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем // ПММ. —1982. Т. 46, вып. 5. - с.737-744.

65. Осипов Ю.С. Позиционное управлениие в параболических системах // ПММ. 1977. - Т. 41, вып. 2. - с.195-201.

66. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. Издательство МГУ. 1999 г.

67. Пахотинских В.Ю., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Аппроксимация стабильных мостов в дифференциальных играх с ограничениями на фазовый вектор // Изв. Урал. гос. ун-та.-2002. -№26.

68. Пахотинских В.Ю., Успенский A.A., Ушаков В.Н. Конструирование стабильных мостов в дифференциальных играх с фазовыми ограничениями // ПММ. — 2003. Т. 67, вып. 5. с. 771—783.

69. Пацко B.C. Квазилинейная дифференциальная игра качества второго порядка // Задачи динамического программирования. — Свердловск: УНЦ АН СССР. 1989.

70. Петросян Я.А. Дифференциальные игры преследования. — JI.: ЛГУ, 1977. 222с.

71. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого анализа. М. Физматлит. -2004г. 416 с.

72. Полянин А.Д., Манжиров A.B. Справочник по интегральным уравнениям. —М.: Физматлит, 2003.

73. Понтрягин JI.C. О линейных дифференциальных играх. I // Докл. АНСССР. -1967. Т. 174, № 6. - с.1278-1281.

74. Понтрягин Л.С. О линейных дифференциальных играх. II // Докл. АНСССР. 1967. - Т. 175. - № 4. - с.764-766.

75. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов . — М.: Наука, 1961.- 391с.

76. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // Докл. АН СССР. — 1969. Т.189, № 4. - с. 721—723.

77. Понтрягин Л.С., Мищенко Е.Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. — 1971. Т. 7, М* 3. - с.436—445.

78. Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания.

79. Труды МИАН СССР. 1971. Т. 112. с.30-63.

80. Пшеничный В.Н. Структура дифференциальных игр //Докл. АН СССР. 1969. - Т. 184, №2. - с.285-287.

81. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры . — Киев: 'Наукова думка, 1992. 260с.

82. Пшеничный В.Н. О задаче убегания // Кибернетика. — 1975. -т. с. 120-127.

83. Пшеничный В.Н., Чикрий A.A., Раппопорт И.С. Преследование несколькими упарвляемыми объектами при наличии ограничений //ДАН СССР. 1981. -259, №4.

84. Рисс Ф., Секефальви-Надь И. Лекции по функциональному анализу М. : Изд-во Мир, 1979.

85. Сатимов Н.Ю. К теории дифференциальных игр убегания // МАт, сб. — 1977. № 2. - с.13-27.

86. Сатимов Н.Ю. Задача избежания столкновений в линейных системах // Кибернетика. — 1976. № 1.

87. Субботин А.И., Субботина Н.Н. К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1983. - № 2. -с.24—32.

88. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. — М.: Наука, 1981: 288с.

89. Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М. Наука. 1991 г.

90. Тарасьев A.M. Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // ПММ. —1994.- Т. 58, вып. 2. с.22—36.

91. Тарасьев A.M., Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // ПММ.- 1987. Т. 51, вып. 2. - с.216-222.

92. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении решений в игровых задачах управления // ПММ. — 1997. Т. 61, вып. 3. с.413—421.

93. Ушаков В Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1980. №4. - с.29-36.

94. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. Вестн. Моск.ун-та. Сер. математика, механика, физика, химия. 1959. N2. с.34—41

95. Ченцов А.Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 240, №1. - с.796-800.

96. Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. — М.: Наука, 1976.

97. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. - 319с.

98. Черноусько Ф.Л. Одна задача уклонения от многих преследователей. ПММ. 1976. т.40. вып. 1.

99. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Математический анализ. — 1977. Т. 14.

100. ЧикрийА.А. Конфликтно-управляемые процессы. —Киев: Наук, думка. 1992. 384 с.

101. ЧикрийА.А. Метод переменных направлений в нелинейных дифференциальных играх убегания // Кибернетика. -1984. -N 1.с.48—54.

102. Akbin I., Clarke F. Monotone invariant solutions to differential inclusions // J.London Math. Soc. 1977. -V. 16. - P.357-366.

103. Ananevskii I.M. Syntesis of a continuous control of a rheonomic mechanical system//Appl.Math.Mech-2003.-V.67, Ш-Р.143-156.

104. Aubin J.P. Viability theory. Boston: Birhauser,1991.

105. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Walenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. N.Y.: Springer, 1998. - 278p.

106. Chentsov A.G. Asymptotic attainability. — Dordrecht: Kluwer,1997. —322p.

107. Chikrii A.A. Conflict controlled processes. — Boston; London; . . 1997. 427 p.

108. Fleming W.H. The Convergence Problem of Differential Games // J. Math. Annal and Appl. 1961. - V. 3.- P. 102-116.

109. Fleming W.H. The Convergence Problem of Differential Games II // Adv. in Game Theory. Princeton: Princeton Univ. Press, 1964. -P. 195—210.

110. Haddad G. Monotone trajectories of differential inclusions and functional- differential inclusions with memory // Israel J. of Math. -1981. -V. 81. P. 83-100.

111. Jordan C. Cours d'analyse de l'Ecole poly technique,3 ed.t,l.P.,1909.

112. Kalman R. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems // J. SI AM. 1963. - Ser. A., Control 1.

113. Kostousova E.K. Control sunthesis via parallelotopes: optimization and parallel computations // Optimization. Methods and Software.- 2001. V. 14.- P. 267-310.

114. Kraspvskii A.N.,Xrasovskii N.N. Control under Lack of Information.

115. Berlin etc: Birkhauser, 1995. 322p.

116. Kryazhimskii A.V., Osipov Yu.S. Input reconstructiblity for linear dynamics. — Ordinary differential equation (Working paper IIASA; WP-93-65). Luxenburg, 1993. - 28c.

117. Kurzhanski A.B. Identification: A Theory of Guaranteed. Estimates // From Data to Model. — Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

118. Kurzhanski A.B. The principle of optimality in measurement feedback control for linear systems // Directions in Mathematical Systems Theory and Optimization Eds. A.Rantzer and Ch.Byrhes. — Berlin: Springer, 2003. P. 193-202.

119. Kurzhanski A.B., Filippova T.F. On the theory of trajectory tubes: a mathematical formalism for uncertain dynamics, viability and control // Advances in Nonlinear Dynamics and Control. Ser. PSCT 17. Boston: Birkhauser. 1993. - P.122—188.

120. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. — Boston: Birkhauser, 1997. 321p.

121. Kurzhanski A.B. , Varaiya P. Reachability analysis for uncertain systems the ellipsoidal technique // Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems. Ser. B. —2002. - V.9, №3. -P.347—367.

122. Nikolskii M.S. Method of factorisation applicable to the solution of convolution ■ equations. Integral Transformation and Special Functions, 1994, Vol.2, No. 1, pp.51-64.

123. Osipov Yu.S., Korotkii A.I. On dynamical restoration of parameters of elliptic systems // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М., 1992. - С. 108—117.

124. Subbotin A.I. Generalized Characteristics of First-Order Partial Differential Equations. — Rapp. Montreal Univ. Montreal, 1993. -№, CRM-1848. 43p.

125. Subbotin A.I. Generalized Solution of First-Order PDEs. The Dynamical Optimization Perspective. — Boston: Birkhauser, 1995,312р.