Управляемость механических систем с ограничениями на управление и фазовый вектор с приложением к динамике твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ



,\ . Академия наук Украину

Институт прикладной математики и механики

На правах рукописи

Гладкова Ирина Владимировна

УПРАВЛЯЕМОСТЬ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УПРАВЛЕНИЕ И МЗОВНИ ВЕКТОР С ПРЙЛ01Е1ШЕМ К ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

01.02.01 - "Теоретическая механика"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Донецк 1993

Работа выполнена в Институте прикладной математики и механики АН Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Оффициальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация; Киевский политехнический институт

Завита состоится __1993 г. в час.

на заседании специализированного совета К.016.4В.01 по присуа-денив ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте прикладной математики И механики АН Украины по адресу.' 340114, г.Донеци-114 ул, Р.Ликсембург, 74

С диссертацией мояно ознакомиться в научной , библиотеке Института Прикладной математики и механики АН Украины

. Автореферат разослан "______1993 г.

А.К.Ковалев

А.А.Илюхин 6.И.Коваль

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических науку^^ил1*^«*г1арковский

ОСцая характеристика работы.

; . Актуальность теми. Управляемые механические системы является одним нз основных классов моделей, описывавших реальные технические системы. Развитие космонавтики, авиации, мавиност-ровния, робототехники приводит к постоянному расмирению круга теоретических и практических задач. Отдельные задачи вследствие своей сломности переросли в самостоятельные разделы теорий. Эдной из таких задач является задача управляемости, то есть ревение вопроса о воэмомности перевода управляемой системы из одного фазового состояния в другое. Решение этой задачи для линейных управляемых систем принадлеаит Р.Е.Калманц. Первые результаты для линейных систем были получены Н.И.Красовс-киы. В настоящее время имеются значительные достивения в изучении отдельных видов > управляемости для различных классов систем. Р.Габасов и Ф^И.Кириллова разработали методы, основанное на линеаризации систем, А.й.Ковалев распространил на исследование управляемости метод инвариантных соотношений. В.Й,Коробовым задача управляемости была сведена к определенной граничной задаче и на основе понятия Функции управляемости ре-вена ревена задача синтеза. Много работ посвящено исследовании вопросов, связанных с воэмовностьн декомпозиции систем, с приведением их к тому или иному каноническому виду, по которому кввш садить об их управляемости. Свда относятся результата В.Й.Елкина, $.И.Павловского, Р.Су. Значительные результаты были получены М.И.Байтманом, Р.Н.Брокеттом, Р.й.Винтером. А.А'.Давыдовым. С.В.Емельяновым, В.И.Зубовым, Й.И.Кухтенко, К..ЯоСри, В.И.Семеновым,. И.И.Петровым, В.В.Удиловым, Х.Херме-сом, Р.М.Хирсчорном и другими.

Другой вашной задачей теории управления является задача построения доспшмого за фиксированное время иноиества. Исследованием областей достивииости для линейных систем при функциональных ограничениях на управления занимались Б.И.Бублик, Й-Ф.Кириченко, Й.Н.Красовский, А.М.Формальский и другие. Для нелинейных систем при геометрических ограничениях на управления А.'И.Папасйк и В.И.Папасюк вывели уравнение в частных производных для субопорной функции области достияимостИ при ' совместных ограничениях на управления и начальные состояния.

- 4 - •

Последние несколько десятилетий больвое развитие получили задачи управления вращательным дви«ением твердого тела, чему в значительной мере- способствоавло интенсивное освоение космического пространства. 6 качестве управляющих устройств в задачах управления космическими летательными аппаратами наибольвее распространенна получили реактивные двигатели, маховики и двустепенные гироскопы - гиродинн. Возникающие в процессе исследования задачи по своей сути относятся к классу задач управления по части переменных, что наряду с нелинейностью,является источником дополнительных трудностей и требует развития новых и совершенствования уме известных методов.

Проблема управления вращательным двикением твердого тела подробно изучена в виоле В.И.Зубова, где ревеиы различные задачи управления с помощью реактивных двигателей, маховиков й гироскопов, отражаемые в монографиях В.Й.Зубова, Е.Я.Смирнова. Широкий круг вопросов управления ориентацией космических аппаратов рассмотрен в книгах В.В,Кременгуло. П.Д.Крутько, В.В^Ра-утенбаха.

Цель работы - ревение задачи построения областей достижимости линейных управляемых систем с интегральными ограничениями на ресурсы

- получение условий управляемости системы с одним управлявшим воздействием при ограничениях на Фазовый вектор;

- исследование управляемости системы дифференциальных уравнений, описывапиих двимение твердого тела при помочи одного двустепенного гироскопа - гиродина.

Методы исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны На методах выпуклого и функционального анализа, аналитической механики И теории управления.

Научная новизна. В работе исследована структура достижимых мношеств линейных.управляемых систем с выпуклыми ограничениями на ресурсы. Предлиен способ приблименного построения области достииимостй,- В случае интегральных ограничений на управления указанный алгоритм позволяет осуществить точное построение достижимых мношеств. Рассматривается приложение к задачам механики, ¿^называется геореиа об управляемости произвольной п-мерной линейной» системы с одним управляющим воздействием в односвязной области. Рассмотрена задача управления

врацательним двимением твердого тела при помощи одного гироди-на. Доказано выполнение Необходимых условий управляемости по отномении к угловой скорости тела-носителя при любом располо-пении в нем гиродина.

Практическая ценность, Полученные в работе результаты могут быть использованы прй разработке систем управления современными техническими объектами. включая искусственные спутники, космические летательные аппараты, роботы-манипуляторы й др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были долошёны На Республиканской конференции "Динамика твердого тела й устойчивость двикениа" (Донецк, 1990 г.), на семинарах отдела прикладной механики Института прикладной математики и механики АН Украины. >

Структура диссертации. Работа состоит из четырех глав, заключения, списка литературы из 63 наименований и содериит 104 страницы машинописного текста. 24 рисунка.

Содержание диссертации

Первая глава является вводной. В ней рассмотрены актуальность тематики, дан краткий обзор работ по теорий управляемости , приведены основные полояения диссертации.

Во второй главе исследуются области достивимости систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями

х= /l(i)x + Bfiiu ш

где X - п-ыерный фазовый вектор, ¿¿-«-мерный вектор' управления, Mil) и Ш)- непрерывные матрицы соответствующих размерностей,

"ОЗдесь предполагается, что ограничения на ресурсы выде-лявт в пространстве управлений Д выпуклое мномество fl s Д допустимых управлений. Считаем, что П - { и (t): II ullx± 1} . При заданном управлении иШи начальной условии Х„ решения системы (1) даются формулой Нови: ^

хШ = н( и.,*.,«) * фклк + jvapu/twr а)

it

где YU,t) = Ф11,Г)В tt), cp(i,t)^e(iW'1(T), 0tt)-m-

даментальная матрица однородной системы (П. Область иостиви-мости системы (1) За время есть МНо«ество ОН,-7)*

(зсе/?*1: Эи£П,зс = У \ , а мномество допустимых траекторий -множество С* [хйиСлИ, Т] : аг (4) * НО-,К,*,,и, иг{1}. После перехода от непрерывной задачи к дискретной, в качестве области управления получаем выпуклый многогранник А в пространстве а множество допустимых траекторий ? - это образ многогранника П при линейном преобразовании Х'б'^ и .

где X* . *Т«Л •••, иЧ^НI

.. . , и^И*■),..., 3 И ' - блочная иимне-треугольная

матрица, составленная из блоков свою очередь, область

достижимости является проекцией выпуклого многогранника С На подпространство переменных аг^^Д На основе такого перехода от непрерывной задачи к дискретной получена формула для прибли-яенного вычисления области достимимости ( лемма 2.1, теоре-

ма 2,1 ):

-1

а (мл -ыич^6 пе

о ... о \

I .с-а,) 1 о с-%)

(О о ...о о \ I о ... о о 0 1- О о

V о о .1 о

0 0 . . . €'%)!

0(£) = е(£)-Е , Е - единичная наЛла/матрица, а система (1) приведена к виду

где С (О- невыромденная п * п матрица.

Аналогичные рассувдения позволяют свести двухточечное задачу, то есть задачу построения управления и траектории при заданных начальных и конечных состояниях системы, к задаче линейного программирования. В случае, когда

н ос« - ) £ ЦцСаЫГ л ¿4. .

<4)

указанный алгоритм позволяет осувествить точное построение об-

0

- 7 -

ласти достимимости. /¡оказана следущая творена:

, Теорема 1. Область» достимимости системы (1) с ограничениями на управления (4) является выпуклая оболочка точек вида х*- ± Ч>* где ¿-тнй столбец матрицы ,

Рассмотрены плоские линейные автономные управляемые системы с нулевыми начальными условиями. Для них выводятся формулы»' определявшие границу области достижимости. Исследована ассимптотика При неограниченном возрастании времени. Рассмотрены характерные примеры эеолвцин областей достидимости. Получены формулы управления и проанализирован характер траек-«Рии. { «. . ,

В случае, когда Ци11л •( ( Ч-г областьв дости-

' -I

дикости системы (1) является эллипсоид (У М*» х/ ^ 1 . где . Получены уравнения границы

области Достймимости в случае плоских линейных автономных систем, исследовала, . ассимптоика эллипсоидов при неограниченном возрастании времени и проведен сравнительный анализ с результатами, полученными для ограничений на управления по норме (4).

В третьей главе рассматривается войрос об управляемости система

(5)

в области, то есть при ограничениях на фазовый вектор. В пунктах 3.2 и 3.3 рассмотрены соответственно плоский и трехмерный случай. Проведен анализ поля скоростей, Доказано вспомогательное утвермдение для плоского случая:

Нтверядение 1. Пусть дана система * хг , и и область Н с границей Т(х1>осх) »0 / где ¿Г - непрерывная замкнутая кривая без самопересечений и пусть :

1 )-у.1,е1 3 единственное ревение ■ хг - { системы Т^х^ г4) « О, хх>0 ;

2) УХ, б Т 3 единственное ремение ~ $ системы X ( х.и I,) « о, Хлс0;

3). У ( х,, 0) * О У * внутренности I , где 1 -проекция области ¡-) на ось ОХ,.

Тогда система (5) управляема в области И .

Сформулировано и доказано аналогичное утверядение для

- ь -

трехмерного случая: х, - , хх * ас», = В. рассмотренных примерах, кроме проверки условий управляемости согласно доказанным утверждениям, показаны различные способы нахождения траектории, лесацей в области н удовлетворяючей граничным условиям. 1

& пункте 3.4 рассматривается вопрос управляемости системы

, ж,, = " (6)

в области И с границей ЪДоказывается теорема

Теорема 2. Пусть

1) X - 0 - непрерывная замкнутая поверхность без самопересечений: _

2) = , ^единственное реяение

(ас^, ., аравнения О , где Рпп - Г .

есть проекция области И на плоскость ... асу ;

V ( - -,*„.,). принад-

лемаиих внутренности .

Тогда система (6) управляема в области Н .

В об«еи случае, чтобы воспользоваться доказанной теоремой нумно привести систему (5) к виду (б) с помоць» преобразования г*иРу> где 1Л-- ( 11 А С I А14 ( . . матрица управ-

ляемости, Р -верхне-треугольная матрица с.коэффициентами, однозначно определяемыми из разломения .А"*.. -/V£ .

В доказательстве теоремы 3,1 и при выборе траекторий, ле-«адих в области, в рассмотренных примерах пункта 3.3 возникал вопрос о налоидения кривой, лемамей на границе области - и удовлетворяющей данной системе. Поэтому естественным образом возник вопрос о нахождения соответствур^его управления, чему посвяцен пункт 3.6.

Рассматривается .приломение к задачам механики. Исследован вопрос управляемости систем, шшсываюцих двимение тела переменной массы и угловое движение твердого, тела с различными ограничениями на фазовые переменные.

Четвертая глава посвяаека одному из наиболее эффективных способов управления врачательным движением твердого тела - при помоци двцстепенного гироскопа - гиродина, В отличие от маховиков,влияние которых' на суммарный кинетический момент осу-десгвляется за счет их ускорения или торможения, изменения

суммарного кинетического момента при использовании гиродинов происходит в основном за счет поворотов оси вращения роторй при Поворотах гирокамеры в подвесе. Управлениями при этом являются проекции прикладываемых к рамке гироскопа моментов сил На соответсТвуищие оси вращения. Уравнения двияения

($и)) + + + С01 ^ -

+ [С, + (квИп/1 + па см ^) А. ] »О

(8)

где (л) - угловая скорость тела-носителя. А.- кинетический момент ротора, 9 - тензор инерции, имеет пятый порядок и являются достаточно громоздкими. Вместо угловой скорости гирокамери введена новая переменная Л . равная абсолютному кинетическому моменту гирокамеры относительно ее центра масс, а тройка . С, . <%> взаимно ортогональных ортов, задающих начальное располояение гиродина в теле-носителе, выбрана специальным образом, что позволило упростить уравнения двияения. В линейном приблияе)ш вследствие такого упрощения матрица при фазовом

векторе имеет блочную структуру /

А--

м о -ыХ О

АЛ ■ О (г^-^)А. О

и» О 0

к О о О О

О 0 -1 г О

где - коэффициенты матрицы (9, что позволило вычислить коэффициенты матрицы управляемости рекурентно и найти ранг. ( В качестве невозмущенного двияения выбрано полояение равновесия тела-носителя и гирокамеры ), На основе теоремы об управляемости по части переменных в линейном приблияении получено. что система является неуправляемой как по угловой скорости тела-носителя и гирокамеры, так и по угловой скорости

тела-носителя. /Зля исследования управляемости исходной, нелинейной системы применяется теоремы, полученные на основе метода ориентированных многообразий. Доказано выполнение необходимых условий управляемости по.отношение К угловой (¡¡корости тела-носителя при лебом раеполомении в нем гиродина.

В заклдчении дана сводка основных результатов диссертаций:

- получен метод приближенного построения областей достижимости . линейных систви с ограничениями на управление типа нории ( для различных норм ):

- описаны области дости«имости линейних систем при интегральном ограничении на управление;

- доказана теорема об управляемости линейной системы в области и описаны способы нахождения решения двухточечных задач с ограничениями на фазовый вектор;

- в задаче об управлении вращательным движением твердого тела при помочи одного гиродина доказано выполнение необходимых условий управляемости по отношение к углевой скорости теда-носителя при либом расположении в нем гиродина.

Основные результаты;диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Гладкова И,В. Области достижимости линейных систем с интегральными ограничениями на ресурсы // Мех.твердого тела.-1992 Г.- Н 24. - с.103-110. .

2.Гладкова И.В. Применение построения областей достивииости управляемых систем с интегральными ограничениям« на ре-' сурсы к ревении задач синтеза // Динамика твердого тела и устойчивость движения: Тез.докл.Республиканской конференции ( Донецк, 4-6 сентября 1990 г. ).- Донецк: Ин-т прикл.математики и механик« АН УССР, 1990,- с.36.

3.Гладкова И.В. Управляемость линейной системы в области // Исследование прецессионных « управляемых движений твердого тела: Препринт N 08, Донецк. Ин-т прикл. математики и механики АН Украины.-1992.- с.16-34.

4.Гладкова И.В., Ковалев А.И, Управление угловым движением твердого тела при поможи гиродина // Мех.твердого тела,-1994 г.- N 26 ( в печати ).