Управляемость и оптимальное управление фазовыми системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАЕИ

РГБ ОД

/ ] На правах рукописи

ШЛЕУБАЕВА АЙМАН СОВЕТОВНА

УДК 62-50

Управляемость и оптимальное управление фазовыми системами

01.01.11-Системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ-1994

Работа выполнена на кафедре теории управления Казахского государственного Национального университета имени Аль-Фараби. ,

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РК,

доктор технических наук, профессор С.А. Айсагалиев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических,

наук, профессор Д.М. Мырзалиев , кандидат физико-математических наук, СНС М.И. Тлеубергенов

Ведущая организация: Институт проблем информатики и

управления HAH РК

Защита состоится -.¿Г»

ШЛ-Ц ig94 г. в /¿Г* часов на заседании Регионального специализированного совета К 14 /А 01.03 по присуждению ученой степени кандидата физи-. ко-математических наук при Казахском государственном Национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи , 39/47 , КазГУ , ММ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " " W&bL' 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета физико-математических наук

кандидат

доцент —'"ТП.А.Айпанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.К рассмотрению фазовых систем приводят гадзчи исследования динамики механических вибраторов , системы фаговой автоподстройки частоты, энергетических систем, маятниковые системы в механике и др..

К первоначальным исследованиям по изучению свойств таких систем относятся работы Ф. Триксми, Л. Америо, Г. Зейферта, Г. Сансоне.

Новые исследования по качественной теории устойчивости фазовых систем получены в работах Л.Н. Белштиной.Е.А. Барба-шина, В.А. Табуезой, Ю.Н. Бакаева, A.A. Гужа и др.

Следует так же отметить работы Г.А. Леонова по ограниченности и глобальной асимптотической устойчивости решений фазовых систем,полученные на основе априорных оценок и частотной' теоремы Якубовича-Калмаяа.

Данная диссертационная работа посвящена задачам управляемости и оптимальному управлению фазоЕых систем на конечном отрезке времени. Заметим, что в теории глобальной ассимтоти-ческой устойчивости фазоЕых систем определяются достаточные условия, при выполнении которых любое решение системы стремится к какому-либо положению равновесия при t &С> . В отличии от этих задач рассмотрено движение фаговых систем . на конечном отрезке времени. ' '

Основные результата теории оптимального управления- получены Л.с.Понтрягиным в виде принципа максимума путём-сведения исходной экстремальной задаче к специальной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а так же Р.Белманом путём сведения исходной .экстремальной задачи- к

- -

уравнению в частных производных. Ео многих случаях точное решение этих задач довольно сложно. Для применения методов дина-" мического программирования или достаточных условий оптимальнос-сти ■ надо знать функцию Беллыана или функцию Кротова. Обших правил построения этих функций не имеется. В связи с этим разработка общих методов решения задачи управляемости и оптимального управления нелинейными системами с закреплёнными концами траекторий являтся актуальной задачей как для теории управления, так и для приложений.

Целью работы является исследование вопросов управляемости и оптимального управления фазовых систем на конечном отрезке, Бремени, а также-применение полученных теоретических результатов для конкретных фазовых систем .

Методы исследования. Основные, результаты диссертационной работы получены на основе.теории управляемости, теории оптимального управления,теории обыкновенных дифференциальных уравнении и функционального анализа. •

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем: . .: •

1. Предложен метод'решения, задачи управляемости фазовых систем с закреплёнными концами . траекторий, . путём сведения исходгой краевой задачи к задаче оптимального ' управления, со свободным правым концом. В свою очередь последняя решается ме- \ тодом последовательных приближений.

2. Разработан метод решения задач управляемости фазовых систем при наличии ограничения на значения управления. Аналогично предыдущей задаче, исходная краевая задача погружается в специфические задачи оптимального управления со свободным . правым концом.

3. Предложен приближённый метод решения задачи оптималь-

ного управления фазовых систем с закреплёнными концами траек-' торий на основе предложенных методов решения задачи управляемости.

Теоретическая и практическая ценность работы. В диссертационной работе проведены теоретические исследования по управляемости и оптимальному управлению фазовых систем. Полученные " результаты применены для решения задачи стабилизации движения маятника Фроуда-Жуковского.

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы."

Обьем и структура работы. Диссертационная работа'состоит из введения , трёх глав, заключения, приложения и изложена на 94 страницах. -Список использованной литературы содержит 63 наименования.

•СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ : \

Во .введении обосновывается актуальность .-исследовании, дается краткий обзор литературы по теме диссертации и приводится постановка задачи. . •'

В первой главе исследуется задача управляемости■ фазовых систем с закрепленными концзми траекторий. В § 1.1 рассматривается задача управляемости фазовых систем без ограничений на значения управлений. В § 1.2 рассматривается задача управляемости фазовых систем при наличии ограничений на значения управлений. Рассматривается управлемый процесс описываемый.нелинейным дифференциальным уравнением следующего вида: •

;■-хСО--.АеЬх+ВCi)u.+H0t)fcei4i) (I)

S-SQЫх

xtfo* xc t x cu) st х*

где А СО, & (i;, НС«, ^s L-t) -матрицы с кусочно-непрерывными элементами порядков функция

^Сх, </,-0-непрерывна и непрерывно-дифференцируема по переменным 6*, -¿ в области x€fc* гс€Ег tsEUyií] и является периодической функцией, т.е. — VCf+A, Щ-i- -фиксированные моменты времени

Хв.х.ен?

Дик системы (I) решаются следующие задачи:

Задача 1. Найти управление и С4) £ ti £"¿/¿»3 , которое перевод! траекторию системы (I) из начального состояния Хо £ Е 4 б состояние xicel

Задаче 2. Найги управление ZL СО£ Lz Ct.iiüC U cí¿ £¿0 i U.L (i) ¿j£>¿ ¿ -J^r , почти всюду на L&. t,]^ о..., .. firtt)) e cajbii

которое переводит траекторию системы (I) ие начального состояния Хо в Хх,

В § 1.1 рассматривается решение задачи 1., т.е. решение задачи управляемости фазовых систем без ограничений на управление. . " •

Пусть функция шС-é)- (uí-t\ VCtí) ,где V6é)~ÍW(-t\ .: .Vrr,Ct) € L2a>i3 Тогда и ¿é)= P¿oóé), Hco(-t), P=(2r} 0)}

где .Ir, Im -единичные матрицы соответственно порядков Г> Г" №х rn

Рассматривается следуюаая задача оптимального управления: минимизировать функционал ■ ■

ОСа?^^ J } М ¿*J<L-fc>- v^f-^6t>, PeoC-fc^ >J оЫ: (2)

при условиях:

где матрица С&Ш, НС-О} порядка П * СГ+т) •

Лемма I: Пусть матрица МСйДО-положительно-определенная Тогда управление

переводит траекторию системы (I) из в Х|€Е :;а заданное время -кх-Ь) , тогда

и только тогда когда для оптимального значения ИГъСЬ} задачи (2)-(4) значение функционала СЗСаУ*Ъ—0. Введем следующие обозначения: фСб,•

. иг'(6,-¿О срСЪ^ЛхЗ, А

где -фундаментальная патрица линейной однородной системы

Как известно I}* мнояестзо

Не Ь

бсэх управлений, для которых краевая задача (3)-(4) имеет решение определяется ао формуле

£ ¿2 [Ъ,4/3 -произвольная функция,€¿>,¿/0-решение дифференциального уравнения:

г да- АЮ&ш+Ъа) уи) -; у±есь>,й1 (б)

тогда решение системы (3), соответствующее управлению (5) иыеет звд: + (7)

Зптимизавдонная задача (2)-(4) с учетом соотношений (5)-(7) записывается в виде: минимизировать функционал

:).* Д^сагалиев С.А./¡Ййшшемость некоторой системы дсфференциг альных уравнении // Дифференциальные уравнения,1991,т.27 №9,с.1475-1486. '

г8-

•ь

¿}(Л0- $ Ро &СЫ, (8)

при условиях (6), где Ро=/MCVC^:У+M¿■¿)*■^6¿*)Ct(¿,)J-- Ч> СЯОьШгС-ЬМгС^еШ,), Р(Ш) ,

■Лемма 2. Пусть матрица -положительно-определенная

Для того, чтобы задача I. имела решение необходимо и достаточно чтобы существовала функция 1-зСЬ>)±л~] такая, что

+Л«&З+ллсо- ^ Ею

± г'

Лемма 3: Пусагь матрица Л*Я<ь,-ЬО-полонительно-определенная, пара

, йь-СЛО}, "ЪэСГЬ.,^,] -решение оптимизационной задачи (8)Д6) причем значение С1С V», О . Тогда управление

переводит траекторию системы (1) из состояния хв в состояние Х^ решение системы ,(13: имеет вид:'

ое* 00= -¿€.£±0,-1X1 (10)

Теорема 1: Пусть функция - определена и непре-

рывна по совокупности своих аргументов У,-£ )£Е*Е'*.£,*ЕЪ>а-Ь|1

вместе с частными производными по переменным V}

и функции > удввлетворяат условию Липшица

Тогда функционал (8) при условиях (6) непрерывно дифференцируем в Сй,^/] и его градиент' С/'СУ) в точке ">)~УСЪ)€ 1.2 ¿/7- определяется по формуле:

где (■£' с, У) } ^£CГ■6>J■¿/J - решение системы (8) при

У=УЮеи г а функцияа,У)-решение

сопряаенной системы:

-9г

ЪРо (я, -О _А"(-6)&(*).

±I

Кроме того, градиент зшеись,*.] удовлетворяет условию Липшица, т.е. // Я'(й'С V*)/] ±1// У/- М2/1, I = солзтк >0.

На основе полученных результатов предложен численный алгоритм решения, основанный на градиентном методе. В § 1.2 рассматривается решение задачи 2, т.е. решение задачи управляемости фазовых систем при ограничениях на управления.•: пусть йс^ей^\й1Ь)е12£Ьо,и2/^¿(^^йсМ^^гс^У, ¿- "= почти всюду на ГЦ'ЬЗ, Ы*,.оСг(-6)~)л

С... , € С Иь.-иЗ] 9

Пусть ГС 'Уи множество всех управлений каидый '.

еле;,юнг которого переводит траекторию системы (1) из Хо в Х| ; Легко убедится в том, что Г= V* Г\И. Рассмотрим следующую оптимизационную задачу: минимизировать функционал" 1

(14)

при условиях: г у хв (15)

Лемма 4. Пусть матрица \</Сй,^)-полонительно-определекная. Мнонество Уф-ф , тогда управление и*а) С ЬС переводит траекторию системы (1) из Хо€Е',в ¿оёЕ'' за заданное время тогда и только тогда, когда для оптимальной пары задачи (14М15) значение функционала Мнонество всех управлений шС^Х которые переводят траекторию системы (15) из Хо в х, определяется по формуле (6).

-ю-

Лемма 5.Пусть матрица i)- положительно-определенная.

Для того, чтобы xC*ti,U-»)= Х| необходимо и достаточно, чтобы t)iV*71t,*)= О , где СУ*,й-*-) оптимальная пара задачи:

минимизировать функционал

I PC W)+OCi)CL * | м I vc-t) +сс«а to ft Cii,v)3- f со, <Z to,*) f2 (16)

при условиях

aCb>«A0OarC"t>+-&Cb>v£-fr) (i1?)

attO=o , -te Ct,,i,]

V CO G U Ct^il ^ uWG й . (ls>

Ш) '

Следствие I.Система (1) управляема тогда и только тогда, когда! операторк з уравнения Ya&r)- О

+ $ЯР ct,0 fccOVittOcfcc.+ £ <pi-t&HCQv>Cf ao

ViCO, Dt/Z имеют.решения, где

У/ Vft) е й

V2(аVMa6)3 elzrht>i2

Пусть функция Fi Cv,£ Д*^ +

. Чогда функционал (16) монет быть представлен в ввдз

-t. _

Teeners 2.. Пусть функция Fify^JT^-fc) - определена и непрерывка по совокупности своих аргументов вместе с частными производными по переменным (и• &) и частные производные удовлетворяют условию Липшица. Матрица Wfkyfcf) -положительно определенная. Тогда функционал (20) при условиях (1?)-(19) непрерывно дифференцируем и его градиент £7' ( V, ¿Z)— ($■< С Di(V,H) в точке (Vi-O€L2Clb,-ti],ait)ett.0-

вычисляется

по формуле:

Ш,±Ъ «=/>», йЛ , (21)

'ЭЧ)

Зг ( V,а.;•= *ЭР> СУШ, _ Г£>Ч-0-1- (22)

4- (^иолгсо.-ь)^ и.,

где | И) - , £ - определяются из

£17)-(19) соответственно, а Уга а\•¿г&^Иг

решение сопряженной системы: ' -

. (23)

•ь. _

и., _ с т.с у мжсьх. ¿а*.у у г. ¿ьь'

-и

4-, Эй С V «3, ц Щ, * . у ). ¿¡т). [А»Ы;У+ (.24)

4- {ШЩШЫГ)* До] ** СЧ:) , • '

У:2 С±А>=0,

.кроне того градиент удовлетворяет условию Липшица, т.е.

цаЧу^^ьа'суг.йон г аУ!-У2|+| я«-«а-о,

V У<,Уг е и С^,], йч ,Пг. € 11

Формулы (24М25) позволяют строить последовательности: 'по следующему правилу:

3« ЬУ^йО (25).

тХи+| Р^с^и-Ыи йг СУН^и)!, 0,1,2, о<+*<2/<е+21\ £>о

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и последозатель-ност'1 60 ^ определяются по правилу (25)-

. Тогда вдоль последовательностей значение функционала строго убывает, причем [|М«ч-ин|| О при - и-ч-00

Если кроме того ^ЫУ^^^Уг.о^Н^-сОйг.,^*/^-*^*,

д -Ь^ + ^УР, ¿г -6 )

для любых иг , Г&^^'З ' мнопество

М (Уо, йо)=1 ограничено, то

Непоследовательность СУ»^), (-О) является минимизирующей и любая ее слабопредельная точка ( ) будет оптималь-

ной парой задачи (20), (17ЫЮ).

Во второй главе рассматривается решение задачи оптимального управления фазовых систем с Фиксированными концами траекторий. Рассматривается следующая оптимизационная задача: минимизировать

функционал : Э(и)= ^ . (27) при условиях;

Х= АШХ (28)

хСЪ)-Хо , хИО-Х, , .(295

1г ,. - (зо)

где функции ^оСх,^,^^, непрерывны по

совокупности своих аргументов вместе со своими частными производными по переменным (д,и.) в области х€ Е" -и. Е * -ЬССЦ-ЬЗ, ЬС-О -матрицы с<кусочно-непрерывными

элементами соответственно порядков Хо^сЕ"

заданные векторы.

Б §2.1 рассматривается приближенный метод решения задачи (27М30), основанный на решении задачи оптимального управ-, ления линейных систем с закрепленными концами-траекторий. Предполагается, что для системы (28),(30) решена задача управляемости, т.е. найдена пара Сх'С-Ь),и.) ■, которая будет допустимой для задачи (27)-(30).

По известной паре Сх0^»^"^^ определяется линеаризованная система: -у/<31)

у С-Ь^-Хо, ^с-ьо-=х,

1ГЮСМ*1 / и-^Шр4 I• с , (32)

где матрицы

С -достаточно малое число, вектор функция у, "Щ и'°Ч&\ -Ь) - - С -и

--а ¿г-~ ' гг>и. >

Решается задача оптимального управления линейной системы с

закрепленными концами траекторий следующего вида: минимизировать функционал

а Си-) = («(.о, О ыл

при условиях (31),(32) методом, рассмотренным в главе I. В результате определяется пара > Затем опреде-

ляется новая допустимая пара Сх'<}М, задачи (27)-

.(¿0) путем решения задачи (8),(?)(гл.I) с начальным прибли-асниеы и т,д. Получена последовательность

пар Сх'-Щ и<"уа»,

Лемма 6.Если ОС-К"")>, то для кавдогэ и,к=о,1,2... существует число €='>0 такое, что Э(Д|вН>) <9 С"и<и>Х1г В § 2.2 исходная экстремальная задача сводится к задаче со свободным правым концом на основе результатов гл.1 /аравление иС-Ь^ЫС^Ч] соответствующее решению системы (28) эпределяется соотношением (9), а решение имеет вид (10). Чодставляя значения ? X С-ьУ в функционал ЗОи.")

[27) получик оптимизационную задачу: минимизировать функционал

(34)

1ри условиях ? ЛАда 2СЬ) У^) (35)

ас-ьо^с?, угоецсъ,« , -¿еп-ЦМ <зб)

'Де функция Ег (ЗгС*У, зил, УМ, = (-ДаСО гАЬСОа«,),

ос уш+л,ш и) г а<)2,)

Штимигационная задача (34)-(36) решается методом последовз-ельных приближений на мнонестве допустимых пар, определенном ешением задачи I.

И4-

р трртьяй гдряр ряппмятрияядтп? задача управления движением конкретных мая'хяиковых систем. В § 3.1 рассматривается задача ■ управляемости движением маятника' Фроуда-Жуковского. Х|=гХа . ><г«-|Ьх*-«'|»Х.

В общем случае движение маятника имеет вид: X. = Ха. "

Хь=-р».Х2-^<Х1,Ха^1-иС*) (37)

Х|СО)=Хю)ХгСО> = Хго) ^ ХгСЛ^-О

где & -фиксированное целое число.■

Задача: Найти управление и (О еС Со,ь,}) которое переводит траекторию системы (37) из любого начального состояния СХго, в любое желаемое конечное состояние

за заданное время . В § 3.1 на иС-О наложены ограничения *. цЮ^У. Для данной системы определена ■ равносильная задача оптимального управления. Построены графики переходных, процессов.

Основые результаты диссертации, выносимые; на залтиту;

1.Предложен метод решения задачи управляемости фазовых систем о закрепленными концами траектории путем сведения исходной краевой задачи к задаче оптимального управления со свободным пра- '■ еш концом. В свою очередь, последняя решается методом последовательных приближений. •

2. Разработан метод решения задачи управляемости фазовых систем при наличии ограниченного управления.. Аналогично предыдущей задаче исходная краевая задача погружается в специфические задачи оптимального управления со свободным правым концом.

3. Предложен и математически: обоснован метод решения задачи

оптимального управления фазовых систем с закрепленными конца,ж Траектории.

4. Получение результаты применены для решения задачи стабилизации маятника Фроуда-Еуковского.

СПИСОК FAB0T, ОПУБЛИКОВАННЫХ Ш ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Тилеубаева A.C. Ориентированные графы и условия управляемости динамических систем // Библиогр. указ ВИНИТИ " Депонированные научные работы" -М., 1991.-N 8(238/.- с.77

2. АисагалиеЕ С.А., Кенесбаев С.М., Тилеубаева A.C. Приближённый метод решения задачи оптимального управления с закреплёнными концами траектории// Библиогр. указ. "Депонированные в .Каз НИИНТИ научные работы-" - Алма-Аты, 1992. Выпуск.I.

3. Айсагалиев С.А., Тилеубаева A.C. Управляемость и оптимальное управление фазовых систем // " Депонированные б Каз НИИН-ТИ научные работы",- Алматы, 1994. Выпуск 1. "

4. Айсагалиев С.А., Кенесбаев С.М., Тилеубаева A.C. Управляемость и оптимальное управление регулируемых и фазовых систем.// Известия HAH PK, сер. физ-мат-N 3-1994.

T i л е у баева Айман Совет кызы Траекториясыныч шеттер! бектлген фазалык гуйелердiн баскарылуы туралы есеп карастырылган. Бастапкы шетпк есеп он жагы epKiH, TMiwtti баскару есебже келт"1р!лед"1. Баскарымдылык есеб'ж баскаруга шек кою аркылы шешуд'щ тэс¡Л1 жасалган. Траекториясынын шетгер! бектлген фазалык жуйелерд1 ти1МД1 баскару ece6i шевплген.

Tileubaeva Aiman Sovetovna

The problem of controllability of phase systems with.fixed ends of trajectory is solved by the means of reduction to the equivalent problem of optimal control for linear systems'. The new methods of boundary problems solution with restricted control are suggested. The problem of optimal control of phase systems with fixed ends of trajectory is solved.