Управляемые системы с нелипшицевым по фазовой переменной уравнением динамики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Хлопин, Дмитрий Валерьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2006
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
ХЛОПИН ДМИТРИЙ ВАЛЕРЬЕВИЧ
УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ С НЕЛИПШИЦЕВЫМ ПО ФАЗОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ УРАВНЕНИЕМ ДИНАМИКИ
01.01.02 — дифференциальные уравнения
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
На правах рукописи
Екатеринбург - 2006
Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук
Ведущая организация:
Институт динамики систем и теории управления СО РАН.
Защита состоится 14 июня 2006 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул С.Ковалевской, 16).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.
Автореферат разослан мая 2006 г.
Лукоянов Николай Юрьевич, кандидат физико-математических наук доцент Логинов Михаил Иванович.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 004.006.01 кандидат физико-математических наук
Успенский А.А.
1оо С Е-
Общая характеристика работы
Представленная диссертация посвящена конструкциям управления на основе метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина в системах с нелипшицевой правой частью, а также исследованию для таких систем вопросов устойчивости решений к малым помехам.
Предыстория и актуальность темы. Развитие теории экстремальных задач привело в середине 50-х годов к созданию теории оптимального управления, центральным результатом которого стал принцип максимума Л.С.Понтрягина.
В теории дифференциальных игр использование подобных принципу максимума экстремальных методов для построения оптимальных (или близких к оптимальным) стратегий привело к созданию Н.Н.Красовским метода экстремального прицеливания. В 1970 году Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным были опубликованы работы1, ^ 3, в которых было введено несколько иное условие экстремальности, а именно, для построения движения вдоль стабильного моста на каждом шаге выбиралось управление, обеспечивающее максимальный сдвиг в сторону этого моста. Этот метод позже стал называться методом экстремального сдвига. С помощью этого метода Н Н.Красовским и А.И.Субботиным была установлена фундаментальная теорема об альтернативе4 в дифференциальной игре общего вида.
Для систем с нелипшицевой по фазовой переменной правой частью, для получения соответствующего варианта теоремы об альтернативе, А.В.Кряжимским был разработан вариант метода экстремального сдвига, в котором нацеливание производилось не на траекторию или мост, а на некоторое квазидвижение®. Такая конструкция затем использовалась А.Г.Ченцовым и А.В.Кряжимским для получения условий, имеющих смысл альтернативной разрешимости, но в предположениях, не тре-
'Красовский НН , Субботин А И О структуре дифференциальных игр// ДАН СССР, 1970, т.190, 3, с.523-526
2Красовский Н.Н , Субботин А.И Альтернатива для игровой задачи сближения // ПММ, 1970, т34, 6, с.1005-1022
'Красовский Н.Н К теории дифференциальных игр// ПММ, 1970, т. 34, вып. 2, с. 197-207.
4Красовский H.H. Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
5Кряжимский A.B. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения //Доклады АН СССР, 1978, т.239, №4, с 779-782
3 __
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ОЭ 200^ акт Ч1ЪI
бующих обобщенной единственности.
Позже А.В.Кряжимским и Ю.С.Осиповым на основе идеи отслеживания был создан principle of guided models Этот метод используется для решения некорректных задач динамической оптимизации, задач математического программирования.
Важное применение метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина в дифференциальных играх - отслеживание моделей, восходящих к схеме управления с поводырем. Ранее, правило экстремального сдвига использовалось в рамках позиционной формализации Н.Н.Красовского при построении конструктивных движений как пределов ломаных Эйлера, (см. монографию6). В некоторых дифференциальных играх7 для реализации седловой точки требуется использовать зависящие не только от позиции, но и от истории законы управления. В таких играх А.И.Субботиным были введены стратегии с информационной памятью, их отслеживание также происходит с помощью метода экстремального сдвига. Этот метод применялся в теории программного управления для отслеживания обобщенных траекторий В Н.Ушаковым, А.Г.Ченцовым и их учениками.
Отметим, что метод экстремального сдвига относится к нелинейным, разрывным законам управления по принципу обратной связи. Существенность таких законов была убедительно показана Н.Н.Субботиной и А.И.Субботиным в работе8.
На сегодняшний момент математическая теория динамических систем и оптимальных процессов хорошо разработана. Это результат работы многих отечественных и зарубежных математиков - Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, R.Bellman. Существенный вклад в ее развитие внесли А.А.Аграчев, Э.Г.Альбрехт, В.Д.Батухтин, В.Г.Болтянский, Р.Ф.Габасов, Р.В.Гамкрелидзе, Ф.М.Кириллова, А.Ф.Клейменов, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукоянов, A.A. Мели-кян, Е.Ф.Мищенко, Ю.С.Осипов, Л.А.Петросян, Б.Н.Пшеничный, Ю.Л.Сачков, А.Н.Сесекин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина,
'Красовский H.H. Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М : Наука, 1974.
7Субботин А.И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью // ДАН СССР, 1972, т.206, 3.
8Барабанова H.H., Субботин А.И. О классах стратегий в дифференциальных играх уклонения от встречи // ПММ, 1971, 35, № 3, с 387-392
A.М Тарасьев, В.М.Тихомиров, А.А.Толстоногов, В.Е.Третьяков,
B.H Ушаков, АГЧенцов, Ф.Л.Черноусько, А.А Чикрий, J.P.Aubin, W H Fleming, A Friedman, R Isaacs, E.Roxin, H J Sussmann, P.Varaiya, J Warga и другие.
Задачи управления с неполной информацией исследовались в работах H Н.Красовского, А.В.Кряжимского, А.Б.Куржанского, А.И.Субботина, Ф JI Черноусько Дальнейшее развитие решения таких задач связано с работами А Б Куржанского, Т.Ф.Филипповой, Б И.Ананьева, M И Гусева, С.И.Кумкова, О.И.Никонова, В.С.Пацко, I. Valyi.
Методы устойчивых приближенных решений некорректно поставленных задач получены А.Н.Тихоновым, В.К.Ивановым, М.М.Лаврентьевым, а также А Л.Агеевым, В.Я.Арсениным, В.В.Васиным, Ф.П.Васильевым, А С.Леоновым, В.А.Морозовым, В П Танана, А.Г Яголой и другими. Направление, связанное с корректностью постановки экстремальных задач, устойчивостью их решений к малым регулярным возмущениям получило большое развитие во многих работах (см., например, обзор9). В настоящее время основная масса работ посвящена вопросам устойчивости к сингулярным возмущениям или в системах, порожденных дифференциальными включениями, здесь необходимо отметить работы А.И.Булгакова, А.Дончева, В.Гайцгори, А.А.Толстоногова, Z.Artstein, J.-P.Aubin, A.Cellina, F.Clarke.
Вопросы устойчивости в задачах управления для нелипшицевых систем иследованы относительно мало, отметим работы1^ и.
В реальных физических задачах возникает разрывность и негладкость движений системы, отсутствует непрерывная зависимость от начальных данных, возможна неединственность решений (см. в работе12 обширную библиографию для подобных задач с импульсным управлением). В системах обыкновенных дифференциальных уравнений такие эффекты также возникают Для разрешения известного в механике па-
9Дончев А Системы оптимального управления Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М., Мир, 1987.
10Болтянский ABO непрерывности функции Беллмана // Дифференциальные уравнения, 15, Л»2, 1979, с 195-198
"Кряжимский Á В , Абдырахманов О К вопросу о корректности оптимальной задами управления // Дифференциальные уравннения, 1984, т 20, № 10, С 1659-1665
l2Impacts in mechanical systems Analysis and modelling Papers from the Euromech Colloquium 397 held in Grenoble, June 30-July 2, 1999 Lecture Notes in Physic-s, 551 Springer-Verlag, Berlin, 2000
радокса Пенлеве В.М.Матросовым и И.А.Финогенко была предложена модель, в которой правая часть уравнения динамики, помимо имеющейся разрывности по фазовой переменной, в области непрерывности не является липшицевой несмотря на ограниченность правой части. В работах R.D Driver, М J.Norris иследуется задача двух тел из классической электродинамики; правая часть уравнения динамики в этой задаче не удовлетворяет условию Липшица по фазовой переменной В книге13 для повседневных физических задач обсуждаются вопросы неединственности траекторий и отсутствия непрерывной зависимости от начальных условий.
Существенный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с нелипшицевой правой частью внесли М.А.Лаврентьев, А.А.Толстоногов, N.Aronszajn, Е Karnke, H.Kneser, V.Lakshmikantham, M.Nagumo, H.Okamura, A.PliS и другие.
Все сказанное выше мотивирует изучение систем с нелипшицевой правой частью, а именно вопросов построения обобщенных элементов и вопросов корректности задач оптимизации.
Цель работы: Целью работы является аппроксимация идеальных элементов методом экстремального сдвига Н.Н.Красовского в динамических системах с нелипшицевой правой частью, а также исследование вопросов устойчивости к малым помехам в задачах теории управления при помощи разработанных методов аппроксимации.
Методы исследований. Представленные в диссертации исследования опираются на методы из теории позиционных дифференциальных игр, качественной теории дифференциальных уравнений, теории управления. Используются результаты из топологии, функционального анализа, теории меры.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) Получены условия применимости метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина для аппроксимации обобщенных траекторий в управляемых системах с нелипшицевой (по фазовой переменной) правой частью: при выполнении условия обобщенной единственно-
13Арнольд В И. Что такое математика7 М , МЦНМО, 2004, с 5-10
сти показана универсальность нацеливания на квазидвижение; приведен пример управляемой системы, в которой нацеливание на траекторию не позволяет отследить никакой траектории из порождающего ее пучка; найдены ряд условий, достаточных для отслеживания обобщенной траектории при помощи нацеливания на эту траекторию. Установлены равномерные оценки и устойчивость к малым возмущениям (правой части и начальных условий) при нацеливании на квазидвижение или траекторию. Построены модифицированные пошаговые конструкции метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И Субботина для управляемых систем с разрывной по времени правой частью.
2) В нелинейной задаче управления с неполной информацией (в задаче гарантированного сближения в течение заданного промежутка времени до момента с функцией из заданного пучка) установлена принципиальная возможность реализации решения в классе квазистратегий при помощи последовательности траекторий в классе пошаговых движений, формируемых с использованием принципа экстремального сдвига.
3) Предложены два варианта оптимизационной задачи, в зависимости от того, в чьей власти находится выбор конкретной траектория из пучка, порождаемого данным управлением. Приведены условия устойчивости (корректности) этих задач к малым возмущениям Показано, что ненулевого, но сколь угодно малого (в равномерной метрике) аддитивного возмущения-союзника может оказаться вполне достаточно для скачкообразного улучшения значения оптимизационных задач, вне зависимости от того, контролируется союзником выбор траектории из пучка или нет.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход для аппроксимации идеальных элементов при помощи метода экстремального сдвига Н Н Красовского Развитый в работе математический аппарат и полученные результаты позволяют исследовать задачи теории управления для управляемых систем с нелипшицевой правой частью.
Публикации. Основной материал диссертации опубликован в работах [1]- [15]. Из совместных с А.Г Ченцовым работ [5], [6] в диссертацию вошли только постановки задач и результаты автора.
Апробация. Результаты диссертации обсуждались на семинарах от-
дела управляемых систем Института математики и механики Уральского отделения РАН, на семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета; докладывались на заседаниях Ученого совета Института математики и механики УрО РАН; были представлены в докладах на всероссийских и международных конференциях, в том числе на
конференции "Демидовские чтения на Урале. Екатеринбург, 2-3 марта 2006 года";
37-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 30 января - 3 февраля 2006 года", Екатеринбург;
IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управле-ние'05", 2-5 ноября 2005 года, Иркутск;
конференции "Современные математические методы и информационные технологии в образовании, 14-15 апреля 2005 года", Тюмень;
36-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 31 января - 4 февраля 2005 года", Екатеринбург;
The IFAC Workshop on generalized solutions in control problems (GSCP-2004), September 22 - 26, 2004, Pereslavl-Zalessky, Russia;
35-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 26-30 января 2004 года", Екатеринбург, Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIV, 3 мая - 9 мая 2003 года";
34-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 27 января - 31 января 2003 года", Екатеринбург;
XXIII конференции молодых ученых, Москва, 9-14 апреля 2001 года Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы Нумерация глав, параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и соответствующий номер. Общий объем работы — 172 страницы Библиография содержит 225 наименований.
Основное содержание работы
Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации.
Первая глава состоит из четырех параграфов. Она посвящена вопросам применения метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского для отслеживания предельных траекторий (скользящих режимов) при помощи допустимых траекторий в управляемых системах с нелипшицевой правой частью.
В параграфе 1 1 описываются накладываемые на управляемую систему условия, производится компактификация множества управлений путем введения "скользящих режимов".
Рассматривается управляемая система, описываемая следующим дифференциальным уравнением'
х = /(<,х,и), х(г0) = я0, (1)
* е /0 = [«о, Г] С Я, гёГ.иеРб (сотр)(Кт").
Функция / предполагается непрерывной по совокупности переменных. Любую измеримую по Борелю функцию и, действующую из /о в Р, называемым допустимым программным управлением системы (1). Множество всех таких управлений обозначается через П. Множество всех траекторий, порожденных управлением и 6 И и продолжимых до момента Т включительно обозначается через Ф[и].
Предполагается, что для любого допустимого управления и Е и Ф[ы] непусто; в случае переключения в некоторый момент времени одного программного управления на другое, система может продолжить движение по продолжимой траектории соответствующей новому управлению; все движения, продолжимые до момента Т включительно, не покидают некоторого компакта К в Л"1
Вводится множество IX как множество всех неотрицательных счетно-аддитивных мер на /0 х Р имеющих лебеговскую проекцию на /о . Каждое обобщенное управление ц е Й порождает пучок
ФМ = {®еС7(/о,К)|®(*) = ®о+ I /{т,х(т),и)»(с1(т,и)),Ы€1о}.
м
Указанных выше условий оказывается достаточно, чтобы показать непустоту и компактность как множества Î>[/i], так и множества Ф всех обобщенных траекторий. При этом множество Ф всех допустимых трек-торий может не быть всюду плотно в Ф (первый такой пример показан в работе14).
Параграф 1.2 посвящен методу экстремального сдвига, а именно- приведены пошаговые схемы для метода экстремального сдвига15 (нацеливание на траекторию) Н.Н.Красовского и А.И Субботина, и предложенной А В.Кряжимским в работе16 модификации этого метода, в которой нацеливание производится не на траекторию, а на некоторое квазидвижение. Показывается, что при наложенных на систему условиях обе схемы могут быть реализованы в виде некоторой пары управление-траектория (при этом ни управление, ни траектория однозначно могут не определяться)
Параграф 1.3 посвящен исследованию пошаговой процедуры нацеливания на квазидвижение17. Установлено, что для любого обобщенного управления существует какая-либо порожденная этим управлением траектория, которую можно приблизить последовательностью допустимых траекторий, построенных нацеливанием на квазидвижение. Рассматривается также управляемая система, в которой некоторые траектории не могут быть отслеживаемы при помощи нацеливания на квазидвижение Замечено также, что при выполнении условия обобщенной единственности (всякое обобщенное управление порождает единственную траекторию) если непрерывная кривая поточечно аппроксимируема при помощи обобщенных траекторий управляемой системы, то она может быть приближена в равномерной метрике посредством последовательности допустимых траекторий, построенных нацеливанием на квазидвижение.
В параграфе 1.4 исследуется нацеливание на траекторию, пошаговый вариант метода экстремального сдвига18 Н.Н.Красовского и А.И.Субботина. Сконструирован пример, показывающий, что даже если
MPhs A Trajectories and quasitrajectories of an orientor field.// Bulletin de 1'Academic polonaise des sciences, 1963, XI, №6 p 369-370
15Красовский H H Субботин А И. Позиционные дифференциальные игры M Наука, 1974
1вКряжимский А В К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР, 1978, т.239, №4, с 779-782
17Кряжимский А В К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Доклады АН СССР, 1978, т.239, №4, с. 779-782.
18Красовский H.H. Субботин А И. Позиционные дифференциальные игры М. Наука, 1974
всякому измеримому управлению соответствует единственная траектория, управляемая система может обладать такими обобщенным управлением ц € й и порожденной им (обобщенной) траекторией х € , что при нацеливании на эту траекторию предел полученной последовательности допустимых траекторий не только не совпадает с х, но и не принадлежит Ф[/и].
Далее приведено несколько условий достаточных для того, чтобы вся* кую обобщенную траекторию х можно было отследить при помощи нацеливания на траекторию Самое общее из них сформулировано в терминах функций Ляпунова. Показано также, что для скалярных управляемых систем при выполнении условия обобщенной единственности все траектории отслеживаемы нацеливанием на траекторию.
Кривая х Е Ст(/о) называется внутренней, если существует такое р е]0, оо[, что для почти всех < £ /0 , для любого вектора I € И"1
1'х - \\1\\тр > шшГ/(и,м).
и еР
Множество всех "внутренних" траекторий обозначается через Ф_о Показано, что любую траекторию из Ф_о можно отследить при помощи нацеливания на траекторию.
Глава 2 состоит из 2 параграфов и включает в себя значительную часть совместной с А Г Ченцовым работы [5] и ее электронного варианта [6]. Отслеживается многозначная квазистратегия в дифференциальной игре с неопределенностью По известному решению в рамках идеализированных процедур строится решение в классе допустимых управлений При этом используется метод экстремального сдвига, а точнее предложенное А.В.Кряжимским нацеливание на модель-квазидвижение.
Параграф 2 1 посвящен постановке задачи. Вводятся два игрока: I и . II На конечном промежутке /0 рассматривается движение двух управ-
ляемых систем £1 и £2 • Системой £1 управляет игрок I, а системой £2 - игрок II. Дифференциальная игра здесь разыгрывается в рамках следующих правил. Игрок II непредсказуемым образом выбирает траекторию 2 из непустого ограниченного множества X, £ с Ст(/о) (пучка траекторий системы £2). Информация о траектории преследуемого объекта поступает к игроку I последовательно по времени в виде сигна-
ла ш из множества Тф) = {о; <= (11т)/о | ||Ц0 - г(«)||т < Р V* € /0}, где ¡3 е]0, оо[ - заданный параметр точности. Это дает возможность игроку I формировать свое управление последовательно во времени, определяя движение х системы Е] согласно уравнению (1). При этом требуется, чтобы / 6 Ст(1о х И"1 X Р), а кроме того для всякого обобщенного управления ц Е и существовала единственная порожденная им и продолжимая до Т включительно траектория, любое порожденное обобщенным управлением ц локальное решение продолжалось до этой траектории, все такие траектории были равномерно ограничены.
В параграфе 2.2 показана потенциально реализуемая процедура управления, которая по известному решению идеальной задачи (в классе мультистратегий) строит решение в классе допустимых траекторий. При этом траектории, соответствующие квазистратегии, приближенно воспроизводятся при помощи траекторий, порожденных кусочно-постоянными управлениями.
Вводится = игегТг(2). Мультифункция V из П в называется квазистратегией, если для нее выполнено свойство неупреждаемости, то есть
6 Г2 Уа;2 е П V« € 70 ((ал | [«0,«]) = (ш21 [«0,«])) ({ЫМ • У€и(ы1)} = {(у|[*0,4]) : У€и(ыг)}). (2) Квазистратегия v непуста, если ь{и>) ф 0 Уш £ П. Если задача разрешима в классе квазистратегий, то существует такая непустая квазистратегия v , что
Уг € г Уы е п (ш 6 Тф)) => (Уу € и(ы)Э< 6 /0 : \Ш - г(«)||т < С).
(3)
По квазистратегии, разрешающей эту задачу, конструируется процедура управления с моделью (поводырем) Эта процедура для всякого разворачивающегося по времени сигнала шёП, для всякого разбиения Д = (О.еоДд) Реализует в темпе реального времени непустое множество У(и, Д) траекторий, порожденных управлениями, постоянными на всяком промежутке [£„<,+![ (Уг € О, <1(Д) - 1).
Теорема 1. Если выполнены условия (2),(3), то Уе б]0, оо[ 36 £]0, оо[ Уг £ гУш е Тт(г)УД £ Б[*]Уу е У{ы, Д)Э* е /0: ||у(0-г(«)11т < < + £•
Третья глава состоит из 8 параграфов и составляет более половины объема всей работы Основная цель этой главы - применение метода экстремального сдвига Н.Н Красовского в задачах управления для исследования свойств типа устойчивости при малых возмущениях Функционал качества 7 предполагается непрерывно зависящим от траектории Рассматриваются следующие варианты возмущений - малая динамическая аддитивная помеха ( игрок w) и возмущение начальных данных (игрок х ). которое, в свою очередь, может трактоваться как возмущение внешних параметров системы Поскольку не предполагается однозначная зависимость траектории от управления, то рассматривается два варианта оптимизационной задачи, в зависимости от того, в чьей власти находится выбор конкретной траектория из пучка, порождаемого данным управлением С помощью метода экстремального сдвига строится стратегия, гарантирующая (при мелкости измельчения стремящейся к нулю) близкое к оптимальному решение каждой из таких задач. В ряде случаев показывается нечувствительность такого оптимального управления к малым помехам. Несколько приведенных контрпримеров очерчивают задачи, для которых имеет место неустойчивость как оптимального результата, так и оптимального решения.
Первый параграф содержит постановки задач и примеры, показывающие особенности задач управления с нелипшицевой правой частью. Примеры19 показывают, что в таких системах (даже при однозначной зависимости траектории от допустимых управлений) может нарушаться непрерывность функции Беллмана по начальным данным и корректность задачи по функционалу20, показана неустойчивость таких задач по результату при малых аддитивных помехах Приведен также пример, показывающий, что использование позиционных стратегий вместо программных управлений может значительно улучшить достигаемое значение функционала качества.
В параграфе 3 2 вводится исходная и возмущенная динамические системы В качестве исходной рассматривается управляемая система с уравнением динамики (1). На эту систему накладываются условия, близ-
19Кряжимскнй А В , Абдырахманов О К вопросу о корректности оптимальной задачи управления // Дифференциальные уравннения, 1984, т.20, № 10, С 1659-1665.
20Васильев Ф П. О регуляризации некорректных задач // ДАН СССР, 1978, т241, №5, 1001-1004
кие к условиям Каратеодори (дополнительно требуется, чтобы для всякого компакта К С Rm правая часть уравнения динамики была ограничена и равномерно непрерывна по переменным (х, и) на /о х К х Р) Под допустимыми управлениями понимаются (в отличие от первой главы) только кусочно-постоянные управления, не нарушающие геометрических ограничений.
Для всяких а, /3 £ [0, оо[ рассматриваются множества возмущений-
Qa = {w £ Rm||MU < a},We = B(/o,Qa),X0 = {:c. € Rm| ||®0-®.||m</3}.
Теперь вводится возмущенное уравнение динамики:
х = f(t, х, и) + w, x(t0) = х* £ ЭСр, t £ /о, х £ Rm, и £ Р, w £ Qa. (4)
Для удобства принимается, что система (4) совпадает с (1) при а — /3 = 0. Через 0н; обозначается единственный элемент множества Wo .
Предполагается, что для некоторого ао б]0, оо[ при всяких w £ Wao и xt £ Хао каждому допустимому управлению и £ И соответствует непустое множество
Фх-[и,га] й {д £ Cm(Io) | Vi G /о g{t) = х.+j f(r,g(T),u(r)) + w(t)cIt}.
[W[
всех траекторий системы (4), порожденных этой тройкой на промежуток времени Iq . Кроме того, все эти траектории не покидают некоторого компакта К в Rm . Для краткости вводятся
[J $ =
В третьем и четвертом параграфах вводятся обобщенные управления и стратегии с памятью. Подобно первой главе вводится множество обобщенных управлений, обобщенных траекторий. Устанавливаются непустота и компактность множеств вида Фа_д, го]. Через [К] обозначено множество всех пошаговых кусочно-постоянных стратегий с памятью из /о х Ст(/о) в Р. Аналогично, но без требования кусочно-постоянности определяется множество [Wa] для всякого а £ [0,а0]. Показывается,
14
что всякие тройки (U, W) 6 fU] х [Wa] х Хц порождают непустые пучки [ФX']\U,W] с Фа,д • Использование стратегий вместо программных управлений мотивировано примером, показанным в параграфе 3.1.
Далее вводится множество стратегий, нацеливающихся на траекторию (или на разворачивающееся по времени квазидвижение). Показывается, что это множество непусто
В рамках исходной системы, в зависимости от того, контролирует союзник выбор траектории из пучка или нет. вводятся две основные оптимизационные задачи- фУ и фиу-
ру = sup inf j(x), PUv= sup sup y(x).
f/€[U] x€$[U,Ow]
Задача ф У возникает, в частности, при оценке гарантированного результата в дифференциальной игре с известной (нелипшицевой) реализацией помехи Устойчивость к малым помехам задачи ф Uv гарантирует неулучшаемость оптимального результата при ослаблении геометрических ограничений.
В пятом параграфе указываются особенности пошаговых стратегий в управляемых системах с разрывной по времени правой частью. Приведен пример системы, в которой успешная аппроксимация конкретной траектории зависит от выбора измельчающей последовательности разбиений, причем при изменении правой части на ей эквивалентную необходимо менять и измельчающую последовательность разбиений. Более того, как показывает тот же пример, недостаточно выбирать такую измельчающую последовательность среди точек Лебега (или даже среди точек непрерывности по t) правой части.
Подобно определению для интегрируемых по Риману функций вводится понятие "подходящих" (для заданной правой части) последовательностей разбиений. При помощи свойства Скорца-Драгони конструируется такая "подходящая" последовательность.
В параграфе 3.6 ряд утверждений из параграфов 1.3 и 1.4 переносится на случай измеримой правой части. При этом вместо произвольных измельчающих последовательностей разбиений рассматриваются произвольные "подходящие"последовательности. Помимо аппроксимируемости траектории (или пучка) показаны устойчивость этих методов к поме-
хам и вычислительным ошибкам, а также существование равномерных оценок расхождения полученной траектории и ее цели. Утверждения этого параграфа далее становятся основным инструментом при построении оптимальных приближенных стратегий и доказательства их устойчивости.
Следующие два параграфа посвящены нахождению условий, при которых оптимальное значение исходной задачи совпадает с пределом оптимальных значений возмущенных задач при стремлении уровня возмущений к нулю.
В параграфе 3.7 возмущения (игроки х и w) трактуются как игроки-противники, стремящиеся минимизировать функционал качества. Наряду с задачей ф У вводится серия возмущенных задач ф w„xflv '
SUP inf "rf lix)-
t/efu] a}x.sXßxz[i-}[u,w\
Исследуется случай, когда можно обеспечить равенства
lim P&X3V = Py= шах 7(х). (5)
а-++0, ß-i+0 w°x"v v xdcl Ф W
Пусть Ф7 - множество таких х е cl Ф , что j(x) = шах1€с/ ф ~f(x)
Теорема 2. Пусть выполнено одно из двух условий:
1) для некоторого ß EU выполнено Ф[Д, 0Ш] П ci Ф С Фт;
2) Ф_о П Ф7 ф 0 .
Тогда выполнено (5), а кроме того существует такая последовательность стратегий (U,)ten £ [U]N , что
lim inf inf 7(1) = P У = lim inf y(x).
t-юо, a,/3-*+OWe[Wa],x.eX0 xb[<b*-\[V„W] >->°охе[ф*о][£/„0„,]
Приближенное оптимальное решение ((i/,),€nj) строится при помощи метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского. В зависимости от того, какое именно из условий выполнено, используется нацеливание на квазидвижение или нацеливание на "внутреннюю"траекторию.
Параграф 3.8 посвящен устойчивости задач ф У , фUv сверху. При этом предполагается, что аддитивное возмущение (игрок W) и является союзником. В качестве серий возмущенных задач рассматриваются
Ф uw„ ^ ф VWaXßV .
= sup Sup inf inf
pow^v û gup 7(x) = sup j(x).
t/e[U] W€[Wa] i.eXi ie[*-][l/,W] xei0,ß
Теорема 3. Существует такая последовательность стратегий (£/,),eN € [U]N , что
lim sup sup 7(1) = max7(x).
«-»00, a10-»+Ojye[W„],a:.eXljz€[«',l[ü.M'l 1€Ф
Кроме того выполнено
lim limP™- = lim PUW°4V = max 7(1).
<*-»+<)/3-»+0 a-»+0, /3->+0 х6ф
Идея доказательства заключается в следующем: сначала фиксируется реализующая максимум обобщенная траектория исходной системы, далее строится система, эквивалентная возмущенной, для которой эта траектория будет "внутренней", и тогда ее можно отследить нацеливанием на траекторию, то есть реализовать (в пределе) значение функционала тах1€ф 7(1). То, что больше в пределе получить нельзя, показывается топологическими методами.
Как следствие этой теоремы получаем, что в случае, когда Ф не всюду плотно в Ф , исходные задачи не являются устойчивыми к малым помехам при некоторых непрерывных функционалах 7 .
В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю Александру Георгиевичу Ченцову за неослабевающее внимание, помощь и интерес к моей работе.
Подписано в печать 04.05.06 Формат 60x84/16. Объем 1 усл.-печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 61
Размножено с готового оригинал-макета в типографии "Уральский центр академического обслуживания". 620219, г. Екатеринбург, ул. Первомайская, 91.
¿00£(\ .
-(OSS?,
Ф Обозначения
Введение
1 Отслеживание скользящих режимов
1.1 Управляемая система.
1.2 Метод экстремального сдвига.
1.3 Характеризация предельных траекторий. Нацеливание на квазидвижение
1.4 Нацеливание на траекторию
2 Отслеживание квазистратегии
Ф в условиях неопределенности
2.1 Постановка задачи.
2.2 Решение в классе допустимых управлений
3 Корректность задачи управления
3.1 Содержательные постановки исследуемых оптимизационных задач.
3.2 Исходная и возмущенная динамические системы. Формулировка исходных оптимизационных задач.
3.3 Скользящие режимы
3.4 Стратегии. Экстремальный сдвиг.
3.5 Особенности пошаговых процедур для систем с разрывной по времени правой частью.8G
3.6 Предельные теоремы.
3.7 Устойчивость по функционалу снизу.
3.8 Устойчивость по функционалу сверху.
Общая характеристика работы
Представленная диссертация посвящена конструкциям управления на основе метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина в t системах с нелипшицевой правой частью, а также исследованию для таких систем вопросов устойчивости решений к малым помехам.
Предыстория и актуальность темы
Развитие теории экстремальных задач привело в середине 50-х годов к созданию теории оптимального управления, центральным результатом которого стал принцип максимума Л.С.Понтрягина. Этот принцип [84], разработанный Л.С.Понтрягиным и его учениками ( А.В. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мишенко) дает необходимые условия оптимальности первого порядка.
В теории дифференциальных игр использование подобных принципу максимума экстремальных методов для построения оптимальных (или близких к оптимальным) стратегий привело к созданию Н.Н.Красовским метода экстремального прицеливания [37-39]. В этом методе управление строилось по принципу обратной связи решением вспомогательных задач прогнозируемого программного управления. В 1970 году Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным были опубликованы работы [40, 45, 46], в которых было введено несколько иное условие экстремальности, а именно, для построения движения вдоль стабильного моста на каждом шаге выбиралось управление, обеспечивающее максимальный сдвиг в сторону этого моста. Этот метод позже стал называться методом экстремального сдвига. С помощью этого метода Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным была установлена фундаментальная теорема об альтернативе [47] в дифференциальной игре общего вида. При этом вариант, связанный с прицеливанием на стабильный мост (см. [47], [46]) и используемый в доказательстве теоремы об альтернативе, не обладал устойчивостью к информационным помехам, т.е. к помехам канала измерения. Однако модификация правила экстремального сдвига, реализованная Н.Н.
Красовским и А.И. Субботиным в схеме управления с поводырем (см. [47], [41]), уже обладает требуемым свойством устойчивости к информационным помехам. При этом происходило отслеживание уже не стабильного моста, а некоторого идеально управляемого объекта, двигающегося, в свою очередь, по некоторой идеальной траектории. Экстремальное управление с моделью (поводырем) широко использовалось в процедурах на основе стохастического программного синтеза, концепция которого предложена Н.Н. Красовским; см. [43]. Таким образом, в теории дифференциальных игр при помощи метода экстремального сдвига осуществлялась аппроксимация предельных (конструктивных) движений, в терминах которых формулировались условие успешной разрешимости соответствующих игровых задач.
Для систем с нелипшицевой по фазовой переменной правой частью, для получения соответствующего варианта теоремы об альтернативе, А.В.Кряжимским был разработан вариант метода экстремального сдвига, в котором нацеливание производилось не на траекторию, а на некоторое квазидвижение [48], [49]. Такая конструкция затем использовалась в [58] для получения условий, имеющих смысл альтернативной разрешимости, но в предположениях, не требующих обобщенной единственности.
Позже А.В.Кряжимским и Ю.С.Осиповым на основе идеи отслеживания модели был создан principle of guided models. Этот метод используется для решения некорректных задач динамической оптимизации [205], [55], [76], [77], [183], [184]; для решения задач математического программирования [56], [181], [182]. В связи с этим методом отметим также работы [19], [67], [68], [69], [78], [193].
Метод экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина применялся и в теории программного управления для отслеживания траекторий. В работе [134] была построена процедура приближения конкретной траектории, порожденной конечно-аддитивной мерой, при помощи допустимых траекторий. Этот метод используется для приближения оптимального решения также в [103].
На сегодняшний момент математическая теория динамических систем и оптимальных процессов хорошо разработана. Это результат работы многих отечественных и зарубежных математиков - Н.Н.Красовского [37]-[47], [180], Л.С.Понтрягина [83], R.Bellman [145]. Существенный вклад в ее развитие внесли А.А.Аграчев, Э.Г.Альбрехт, В.Д.Батухтин, В.Г.Болтянский, Р.Ф.Габасов Р.В.Гамкрелидзе, Ф.М.Кириллова,
A.Ф.Клейменов, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукояпов,
B.И.Максимов, А.А. Меликян, Е.Ф.Мищенко, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко Л.А.Петросян, Б.Н.Пшеничный, Ю.Л.Сачков, А.Н.Сесекин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Тарасьев, В.М.Тихомиров, А.А.Толстопогов, В.Е.Третьяков, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрий, J.P.Aubin, W.H.Fleming, A.Friedman, R.Isaacs, E.Roxin, H.J.Sussmann, P.Varaiya, J.Warga и другие, см. [2-4,7-10,12,17,20,22,23,25,32,33,48-50, 57,58,61,64,65,69,73,80,82,84-86,89,90,92,101,102,123-128,133,135,136, 141,150-153,161-164,184,211,214,217,219-222]
В прикладных задачах управления нередко присутствуют помехи канала наблюдения, различные искажения в цепи формирования управляющих взаимодействий, могут возникать помеховые управления и неконтролируемые управления, формируемые целенаправленно для достижения цели, отличной от цели в основной задаче. Вопросы такого рода традиционно рассматриваются в рамках теории дифференциальных игр с неполной фазовой информацией; см. [47], [43]). В задачах теории управления, осложненных воздействием помех, наиболее естественным способом формирования управляющих воздействий является обратная связь. Последовательная реализация идеи гарантированного управления в условиях неконтролируемых факторов привела, однако, к существенному изменению взгляда на сам характер законов управления по принципу обратной связи. Упомянутое радикальное изменение представлений можно связать с формализацией Н.Н. Красовского [39], [47], [43], [44], которая, с одной стороны, позволяла проводить глубокие теоретические исследования, а с другой, - определяла широкие возможности инженерной реализации существенно нерегулярных законов управления по принципу обратной связи. Существенность таких (нелинейных, разрывных) законов была убедительно показана Н.Н.Субботиной и А.И.Субботиным [8], [7]. Другая формализация в теории дифференциальных игр связана с понятием "квазистратегия", см. работы [160, 214, 215, 221, 222]. Многозначные квазистратегии использовались в [58,123,125,130,131,133, 178,179]. Отметим также формализацию дифференциальной игры в классе е— стратегий Б.Н.Пшеничного [85], [211].
Задачи управления с неполной информацией исследовались в работах Н.Н.Красовского, А.В.Кряжимского, А.Б.Куржанского, Ю.С.Осипова, А.И.Субботина, Ф.Л.Черноусько [47], [180], [204], [60], [50], [136]. (в частности, отметим конструкции дифференциальных игр с неполной информацией [47] и важное понятие информационного множества в [60]). Дальнейшее развитие решения задач с неполной информацией связано с работами А.Б.Куржанского, Т.Ф.Филипповой, Б.И.Ананьева, М.И.Гусева, С.И.Кумкова, О.И.Никонова, В.С.Пацко, I.Valyi и других, см. [75,80,106, 139,169,185-187].
В данной работе помимо теории динамических систем и оптимальных процессов, качественной теории дифференциальных уравнений используется также и элементы теории некорректных задач, применяемые к решению неточно заданных задач. Методы устойчивых приближенных решений некорректно поставленных задач получены А.Н.Тихоновым, В.К.Ивановым, М.М.Лаврентьевым, а также А.Л.Агеевым, В.Я.Арсениным, В.В.Васиным, Ф.П.Васильевым, А.С.Леоновым, В.А.Морозовым, В.П.Танана, А.Г.Яголой и другими (см., например, [31,96,97], [29,30,62,63,94,95], [1,6,14,18,74,93,223]).
Направление, связанное с корректностью постановки экстремальных задач, устойчивостью их решений к малым регулярным возмущениям получило большое развитие во многих работах (см., например, обзор А.Дончева [27]). В настоящее время основная масса работ посвящена вопросам устойчивости к сингулярным возмущениям или в системах, порожденных дифференциальными включениями, здесь необходимо отметить работы А.И.Булгакова, А.Дончева, В.Гайцгори, А.А.Толстоногова Z. Artstein, J.-P. Aubin, A. Cellina, F. Clarke и других, (см. [15, 16, 21, 100, 154, 157, 220]). Аппроксимации решений дифференциальных включений посвящены работы [142], [99].
Для нелипшицевых систем работ, посвященных вопросам устойчивости в задачах управления, крайне мало, отметим исследование А.В. Болтянского [13] и работы А.В.Кряжимского с учениками [51] [52], [53], [54].
Для придания экстремальной задаче хороших свойств исходное множество допустимых элементов погружается в подходящий компакт: реализуется принцип расширения. Такие расширения строятся в задачах оптимального управления [23], [17], [138], вариационного исчисления [32], [138]. В теории управления наибольшее распространение в качестве таких обобщенных элементов получили скользящие режимы, управления Р.В.Гамкрелидзе, несколько реже конечно-аддитивные меры [127-129].
В дифференциальных играх (идеализированные) конструктивные движения обычно вводятся (согласно формализации Н.Н.Красовского) как пределы пошаговых движений (см. также "K-mothionsnB [3], [175]). Метод экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина позволяет отслеживать конструктивное движение ломаными Эйлера (см. [47]). Целесообразно развить подобные конструктивные процедуры для построения идеальных элементов в системах с нелипшицевой правой частью.
В различных задачах с импульсным управлением возникает разрывность и негладкость движений системы, отсутствует непрерывная зависимость от начальных данных, возможна неединственность решений. Более того, такие сложности возникают в реальных физических задачах (см. обширную библиографию в [172]), например в робототехнике [207], [195], [168]. Обсуждение и исследование такого рода задач смотрите, например, [79,147,148,194,196,216]
Перечисленные выше особенности в механических системах возникают не только в задачах с импульсным управлением. Так, например, в работах [70], [71], [72] разработана модель, разрешающая известный в механике парадокс Пенлеве. Правая часть уравнения динамики, возникающего в этой модели, помимо имеющейся разрывности по фазовой переменной, в области непрерывности не является липшицевым несмотря на ограниченность правой части. В работах [158], [159] иследуется задача двух тел из классической электродинамики; правая часть уравнения динамики в этой задаче не удовлетворяет условию Липшица по фазовой переменной.
Различные критерии единственности решений задачи Коши разрабатывались в теории дифференциальных уравнений с конца девятнадцатого века (см., например, [36,81,146,155,173,174,189,202,206], обзоры [107, 188, 191, 208]). Необходимое и достаточное условие единственности [200, 201], полученное в терминах функций Ляпунова, послужило толчком для исследования множеств достижимости (выживаемости) (см. [190], [149, 170, 197, 224]). Отметим работы, проясняющие структуру пучка решений [105,140,156,166,171,177,198,212, 213,218], "малость"множества точек неединственности [192,199,203,209].
В [5, с.5-10] для повседневных физических задач В.И.Арнольдом обсуждаются вопросы неединственности траекторий и отсутствия непрерывной зависимости от начальных условий (см. также обсуждение одной физической задачи Х.Уитни в [167]).
Все сказанное выше мотивирует изучение систем с нелипшицевой правой частью, а именно вопросов построения обобщенных элементов и вопросов корректности задач оптимизации.
Цель работы:
Целыо работы является аппроксимация идеальных элементов методом экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина в динамических системах с нелипшицевой правой частью, а также исследование вопросов устойчивости к малым помехам в задачах теории управления при помощи разработанных методов аппроксимации.
Методы иследования
Представленные в диссертации исследования опираются на методы из теории позиционных дифференциальных игр, качественной теории дифференциальных уравнений, теории управления. Используются результаты из топологии, функционального анализа, теории меры.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми.
Получены условия применимости метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина для аппроксимации обобщенных траекторий в управляемых системах с нелипшицевой (по фазовой переменной) правой частью, а именно: установлено, что у построенных в рамках метода экстремального сдвига Н.Н. Красовского и А.И.Субботина последовательностей допустимых траекторий все предельные точки удовлетворяют экстремальному свойству почти всюду; при выполнении условия обобщенной единственности показана универсальность нацеливания на квазидвижение: если обобщенная траектория аппроксимируется допустимыми траекториями, то это можно сделать при помощи нацеливания на квазидвижение; отмечено, что в некоторых управляемых системах существуют обобщенные траектории, не отслеживаемые при помощи нацеливания на квазидвижение; более того приведен пример управляемой системы, в которой, с одной стороны, существует однозначная зависимость траектории от допустимого управления, а с другой, существуют такое обобщенное управление и порожденная им траектория, что нацеливание на эту траекторию не позволяет отследить никакой траектории из пучка, порожденного этим обобщенным управлением; найдены ряд условий, достаточных для того, чтобы все обобщенные траектории (или конкретную обобщенную траекторию) можно получить отслеживанием на траекторию.
В нелинейной задаче управления с неполной информацией одной из взаимодействующих систем о поведении другой построена принципиально реализуемая схема отслеживания пучка траекторий, порожденных квазистратегией. Таким образом, установлена принципиальная возможность реализации решения в классе квазистратегий при помощи последовательности пошаговых движений, формируемых с использованием принципа экстремального сдвига, в задаче гарантированного сближения в течение заданного промежутка времени до момента с функцией из заданного пучка.
Построены модифицированные пошаговые конструкции метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина для управляемых систем с разрывной по времени правой частью, а именно, в условиях на правую часть, близких к условиям Каратеодори: приведен пример, в котором для успешной аппроксимации конкретной траектории необходимо подбирать измельчающую последовательность разбиений промежутка времени, более того, для осуществления такого выбора недостаточно знать правую часть уравнения динамики почти всюду, в частности, для этого выбора измельчающей последовательности недостаточно выбирать моменты времени среди точек Лебега (или даже точек непрерывности) правой части; предложен метод выбора "подходящей" измельчающей последовательности по известной правой части уравнения динамики управляемой системы.
В рамках упомянутых выше условий для метода экстремального сдвига при нацеливании на траекторию или квазидвижение установлена устойчивость к малым помехам правой части уравнения динамики (с метрикой равномерной сходимости); к малым возмущениям начального положения системы; к малым вычислительным ошибкам, допущенным при нацеливании.
Предложены два варианта оптимизационной задачи, в зависимости от того, в чьей власти находится выбор конкретной траектория из пучка, порождаемого данным управлением. Исследуется устойчивость этих задач к малым возмущениям: начальных условий и уравнения динамики.
Для одной из таких задач приводится пример, в котором использование позиционных стратегий вместо программных управлений может существенно улучшить оптимальное значение задачи. В условиях, существенно более общих, нежели условие обобщенной единственности, для такой задачи при помощи различных вариантов метода экстремального сдвига построена позиционная стратегия, гарантирующая близкое к оптимальному решение, нечувствительное к малым возмущениям, трактуемым как возмущения-помехи.
Исследован случай, когда аддитивное возмущение правой части уравнения динамики является союзником полезного управления (такая ситуация может возникнуть при ослаблении геометрических ограничений на управление). Показано, что ненулевого, но сколь угодно малого (в равномерной метрике) аддитивного возмущения-союзника вполне достаточно для скачкообразного улучшения значения оптимизационных задач, вне зависимости от того, контролируется союзником выбор траектории из пучка или нет. Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход для аппроксимации идеальных элементов при помощи метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина. Развитый в работе математический аппарат и полученные результаты позволяют исследовать 'задачи теории управления для управляемых систем с иелипшицевой правой частью.
Публикации
Основной материал диссертации опубликован в работах [108]- [122], [176]. Из совместных с А.Г.Ченцовым работ [112], [ИЗ] в диссертацию вошли только постановки задач и результаты автора.
Апробация работы.
Результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела управляемых систем Института математики и механики УрО РАН, на семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета; докладывались па заседаниях Ученого совета Института математики и механики УрО РАН; были представлены в докладах на всероссийских и международных конференциях, в том числе на конференции "Демидовские чтения на Урале. Екатеринбург, 2-3 марта 2006 года";
37-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 30 января - 3 февраля 2006 года", Екатеринбург;
IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управлеиие'05", 2-5 ноября 2005 года, Иркутск; конференции "Современные математические методы и информационные технологии в образовании, 14-15 апреля 2005 года", Тюмень;
36-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 31 января - 4 февраля 2005 года", Екатеринбург;
The IFAC Workshop on generalized solutions in control problems (GSCP-2004), September 22 - 26, 2004, Pereslavl-Zalessky, Russia;
35-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 26-30 января 2004 года", Екатеринбург;
Воронежской весенней математической школе "Понтрягипские чтения -XIV, 3 мая - 9 мая 2003 года";
34-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 27 января - 31 января 2003 года", Екатеринбург;
XXIII конференции молодых ученых, Москва, 9-14 апреля 2001 года.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и соответствующий номер. Общий объем работы — 172 страницы. Библиография содержит 225 наименований.
1. АГЕЕВ, A. J1. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений 1 рода / А. Л. Агеев // Изв. вузов. Математика. 1995. mi. С.3-16.
2. АГРАЧЕВ, А. А. Геометрическая теория управления / А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. М. : Физматлит, 2004. 392 с.
3. АЙЗЕКС, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. М. : Мир, 19G7. 479 с.
4. АЛЬБРЕХТ, Э. Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э. Г. Альбрехт // Тр. Ип-та математики и механики УрО РАН. 2000. Т. С, №1. с. 27-38.
5. АРНОЛЬД, В. И. Что такое математика? / В. И. Арнольд. М. : МЦНМО, 2004. 103 с.
6. АРСЕНИН, В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач / В. Я. Арсении. М. : Изд-во МИФИ, 1977. 165 с.
7. Барабанова, Н. Н. О классах стратегий и дифференциальных играх уклонения от встречи / Н. Н. Барабанова, А. И. Субботин // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, N2 4. с. 796-864.
8. БОЛТЯНСКИЙ, А. В. Математические методы оптимального управления / А. В. Болтянский. М. : Наука, 1966. 308 с.
9. БОЛТЯНСКИЙ, А. В. О непрерывности функции Беллмана. / А. В. Болтянский // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №2. с. 195-198.
10. ВАРГА, Дж. Оптимальное управление дифхференциалымми и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М. : Наука, 1977. 623 с.
11. ВАСИЛЬЕВ, Ф. П. О регуляризации некорректных задач / Ф. П. Васильев // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, №5. с. 1001-1004.
12. ГАЙЦГОРИ, В. Управление системами с быстрыми и медле?1пыми двиэ/сеииями. / В. Гайцгори. М. : Наука, 1991. 223 с.
13. ГАМКРЕЛИДЗЕ, Р. В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач / Р. В. Гамкрелидзе / / Тр. МИ АН СССР им. В.А.Стеклова. 1971. Т. 112, с. 152-181.
14. ГАМКРЕЛИДЗЕ, Р. В. Основы оптимального управления / Р. В. Гамкрелидзе. Тбилиси : Изд-во Тбилисского ун-та, 1977. 254 с.
15. ГЕЛБАУМ, Б. Контрпримеры в анализе / Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. М. : Мир, 1967. 252 с.
16. ГУСЕВ, М. И. О ситуациях равновесия / М. И. Гусев, А. Б. Куржанский // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229, №6. с. 1295-1298.
17. ДАНФОРД, Н. Линейные операторы : Общая теория. / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. 855 с.
18. ИВАНОВ, В. К. О линейных некорректных задачах / В. К. Иванов // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, №2. с. 270-272.
19. ИВАНОВ, В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах / В. К. Иванов // Сиб. мат. э/сури. 1969. Т. 10, №5. с. 1065-1074.
20. ИВАНОВ, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. И. Танана. М. : Наука, 1978. 206 с.
21. ИОФФЕ, А. Д. Теория экстремальных задач. / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. М. : Наука, 1974. 480 с.151
22. КЛЕЙМЕНОВ, А. Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. / А. Ф. Клейменов. Екатеринбург : Наука, 1993. 185 с.
23. КОЗЛОВ, Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова / Р. И. Козлов. Новосибирск : Наука, 2001.
24. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. О стабилизации неустойчивости движений дополнительными силами при неполной обратной связи / Н. Н. Красовский // Прикл. математика и механика. 1963. Т. 27, №4. С. 641-663.
25. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Теория управления дви01сением. Линейные системы / Н. Н. Красовский. М. : Наука, 1968. 475 с.
26. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Игровые задачи о встрече двиоюений / Н. Н. Красовский. М. : Наука, 1970. 420 с.
27. Красовский, Н. Н. К теории дифференциальных игр / Н. Н. Красовский // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, №2. С. 197-207.
28. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. 4.2 / Н. Н. Красовский // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №3. С. 22-42.
29. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. 4.1 / Н. Н. Красовский // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №2. С. 3-18.
30. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Управление динамической системой : задача о минимуме гарантированного результата / Н. Н. Красовский. М. : Наука, 1985. 516 с.
31. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Аппроксимация в дифференциальных играх / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. с. 1005-1022.
32. Красовский, Н. Н. О структуре дифференциальных игр / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, т. с. 523-526.
33. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, №6. с. 1005-1022.
34. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. М. : Наука, 1974. 456 с.
35. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. Об устойчивом позиционном управлении в дифференциальных играх / А. В. Кряжимский // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, №6. с. 963-968.
36. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения. / А. В. Кряжимский // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239, №. с. 779-782.
37. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. О некоторых стабильных мостах для линейных управляемых систем / А. В. Кряжимский // Оптим. упр. системами с неопредел. информацией / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск. 1980. с. 35-41.
38. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. К вопросу о корректности оптимальной задачи управления / А. В. Кряжимский, О. Абдырахмапов // Диффереиц. уравнения. 1984. Т. 20, МО. С. 1659-1665.
39. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. О регуляризации задачи оптимального управления для системы с неединственностью. I / А. В. Кряжимский,О. Абдырахманов // Известия АН Туркмен. ССР. Серия физ. техн., хим. и геол. наук . 1984. №4. с. 3-6.
40. Куржанский, А. Б. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях / А. Б. Куржанский, П. Варайя // Докл. РАН. 2000. Т. 372, №4. с. 446-450.
41. Матросов, В. М. О свойствах правосторонних решений уравнений динамики механических систем с трением скольжения / В. М. Матросов, И. А. Финогепко I j Докл. РАН. 1995. Т. 343, М. с. 5355.
42. МАТРОСОВ, В. М. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. I / В. М. Матросов, И.A. Финогенко // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 35, №5. с. 606-614.
43. МАТРОСОВ, В. М. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. II. / В. М. Матросов, И. А. Финогенко // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. с. 769773.
44. МИЩЕНКО, е. Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр / Е. Ф. Мищенко // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. №5. с. 3-9.
45. МОРОЗОВ, В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач /B. А. Морозов. М. Изд-во МГУ, 1987. 217 с.
46. Никонов, О. И. О некоторых экстремальных свойствах наблюдаемых дифференциальных систем / О. И. Никонов // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, №2. с. 236-240.
47. Осипов, Ю. С. О динамическом решении операторных уравнений / 10. С. Осипов, А. В. Кряжимский // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, т. с. 552-556.
48. ОСИПОВ, Ю. С. О моделировании параметров динамической системы / Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский // Задачи упр. и моделирования в динам, системах / Свердловск : ИММ УНЦ АН СССР, 1984. с. 47-68.
49. ОСИПОВ, Ю. С. Обратные задачи динамики для параболических систем / Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский, В. И. Максимов // Дифферепц. уравнения. 2000. Т. 36, №5. с. 579-597.
50. ПАНАСЮК, А. И. Применение квазидифференциальных уравнений к описанию разрывных процессов / А. И. Панасюк, Дж. Бентсман // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №10. с. 1339-1348.
51. ПАЦКО, В. С. Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх / В. С. Пацко // Соврем, мат. и ее прил / Тбилиси, 2005. Т. 23, с. 79-122.
52. ПЕРОВ,'А. Н. Об интегральных неравенствах / А. Н. Перов // Тр. семинара по фупщион. анализу / Воронеж : 1957. Вып. 5. с. 86-97.
53. ПЕТРОСЯН, JI. А. Дифференциальные игры преследования. / JI. А. Петросян. J1. : Изд-во Ленинград, гос. ун-та, 1977.
54. ПОНТРЯГИН, JI. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальных игр / JI. С. Поптрягин // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 1985. Т. 169, с. 119-157.
55. ПОНТРЯГИН, JI. С. Математическая теория оптимальных процессов. / J1. С. Понтрягип, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М. : Физматгиз, 1961. 391 с.
56. ПШЕНИЧНЫЙ, Б. Н. Структура дифференциальных игр / Б. Н. Пшеничный // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, №2. с. 185-287.
57. СЕСЕКИН, А. Н. Импульсное расширение в задаче оптимизации энергетического функционала / А. Н. Сесекин // Автоматика и телемеханика. 1992. №8. с. 53-62.
58. СЕСЕКИН, А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой / А. Н. Сесекин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2000. Т. 6, №1-2. с. 497-514.
59. СУББОТИН, А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А. И. Субботин // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, т. с. 552-555.
60. СУББОТИН, А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби / А. И. Субботин. М. : Наука, 1991. 215 с.
61. СУББОТИН, А. И. Обобщенные решения, уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимазации. / А. И. Субботин. М.; Ижевск : Ин-ткомпыот. исслед., 2003. 336 с.
62. СУББОТИН, А. И. Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка / А. И. Субботин, А. С. Лахтин // Мат. сб. 1988. Т. 189, №6. с. 33-58.
63. СУББОТИН, А. И. Оптимизация гарантии в задачах управления. / А. И. Субботин, А. Г. Чепцов. М. : Наука, 1981. 287 с.
64. ТАН АН А, В. П. Методы решения операторных уравнений / В. П. Танана. М. : Наука, 1981. 160 с.
65. ТИХОНОВ, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, №5. с. 195-198.
66. ТИХОНОВ, А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, №4. с. 763-765.
67. ТИХОНОВ, А. Н. Методы решения некорректных задач. / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М. : Наука, 1974. 224 с.
68. ТИХОНОВ, А. Н. Нелинейные некорректные задачи. / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. М. : Физматлит, 1995. 307 с.
69. ТОЛСТОНОГОЕ, А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. / А. А. Толстоногое. Новосибирск : Наука, 1986. 296 с.
70. ТОЛСТОНОГОВ, А. А. Теорема Боголюбова при ограничениях, порожденных полунепрерывным снизу дифференциальным включением / А. А. Толстоногов // Мат. сборник. 2005. Т. 196, №2. с. 117-138.
71. ТРЕТЬЯКОВ, В. Е. К теории стохастических дифференциальных игр / В. Е. Третьяков // Докл. АН СССР . 1983. Т. 269, №3. с. 1049-1053.
72. УШАКОВ, В. Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения / В. Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. Т. 219, №4. с. 29-36.
73. УШАКОВ, В. Н. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями / В. Н. Ушаков, А. Р. Матвийчук // Изв. РАН. Теория и системы упр. 2005. №4. с. 2237.
74. ФИЛИППОВ, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. / А. Ф. Филиппов. М. : Наука, 1985. 224 с.
75. ФИЛИППОВ, В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. / В. В. Филиппов. М. : Изд-во МГУ, 1993. 335 с.
76. ФИЛИППОВА, Т. Ф. Управление в условиях неопределенности системой с иелипшицевой правой частью / Т. Ф. Филиппова // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №10. с. 1693-1696.
77. ХАРТМАН, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М. : Мир, 1970. 720 с.
78. ХЛОПИН, Д. В. Об одном из способов экстремального прицеливания для систем с непрерывной правой частью / Д. В. Хлопин // Электр, оюурпал "Дифференциальные уравнения и процессы управления" . 2001. т. с. 46-60.
79. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / Д. В. Хлопни // Электр, оюурпал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2003. №1. С. 1-27.
80. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / Д. В. Хлопин // Проблемы управления и информатики.2004. Ш. С. 23-38.
81. ХЛОПИН, Д. В. О возможности реализации скользящих режимов в разрывных по времени управляемых системах / Д. В. Хлопин // Математический и прикладной анализ / Тюмень : Изд-во Тюмен. гос. ун-та. 2005. вып. 2. С. 164-185.
82. ХЛОПИН, Д. В. Об одной задаче управления с неполной информацией / Д. В. Хлопин, А. Г. Чепцов // Дифференц. уравнения.2005. Т. 41, №12. с. 1652-1666.
83. ХЛОПИН, Д. В. Отслеживание квазистратегий в задаче управления с неполной информацией / Д. В. Хлопин, А. Г. Чепцов // Электр, оюурпал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2005. №3. С. 63-83.
84. ХЛОПИН, Д.В. Устойчивость к малым помехам в управляемых системах с нелипшицевой правой частью / Д.В. Хлопин // Тезисы докл. науч. конф. "Демидовские чтения па Урале. 1-ый Рос. науч. форум": Екатеринбург. 2-3 марта. 2006. Екатеринбург, 2006. С.55-56.
85. ХЛОПИН, Д. В. Отслеживание предельных траекторий в разрывных по времени управляемых системах / Д.В. Хлопин // Труды 4-ой Всерос. копф. "Математика, информатика, управление". Иркутск, 2-5 пояб. 2005. Иркутск, 2005. (CD-ROM).
86. ХЛОПИН, Д.В. О реализации скользящих режимов в системах Каратеодори / Д.В. Хлопин // Тр. 36-ой регион, мол. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 31 янв. 4 февр. 2005. Екатеринбург, 2005. С.293-297.
87. ХЛОПИН, Д. В. Об экстремальном отслеживании скользящих режимов / Д.В. Хлопин // Тр. 35-ой регион, мол. копф). "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург,, 26-30 янв. 2004. Екатеринбург, 2004. с. 264-269.
88. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / / "Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеэ/сской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIV", 3 мая - 9 мая". Воронеж. 2003. с. 148
89. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / Д.В. Хлопин // Тр. 34-ой регион, мол. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 27-31 янв. 2003. Екатеринбург, 2003. С. 180-184.
90. ХЛОПИН, Д. В. Об одном из способов экстремального прицеливания для систем с непрерывной правой частью // Тезисы докладов XXIIIконференции молодых ученых. Москва. 9-Ц аир. 2001. М. : Изд-во МГУ, 2002.
91. ЧЕНЦОВ, А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени / А. Г. Ченцов // Мат. сборник. 1976. Т. 99, N 3. с. 394-420.
92. ЧЕНЦОВ, А. Г. Об игровой задаче наведения к заданному моменту времени / А. Г. Чепцов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. Т. 42, т. С. 455-467.
93. ЧЕНЦОВ А. Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сблиэ1сения-уклонения / А.Г.Ченцов. Свердловск. 1979. 102 с. (Деп. в ВИНИТИ 04.06.79, М933-79 )
94. ЧЕНЦОВ А. Г. О структуре дифференциальной игры сблио/сения-уклонеиия / А.Г.Ченцов. Свердловск. 1980. 149 с. (Деп. в ВИНИТИ 12.08.80, №3583-80 Деп.)
95. ЧЕНЦОВ, А. Г. Прилоэ/сения теории меры к задачам управления / А. Г. Ченцов. Свердловск : Сред. -Урал. кн. изд-во, 1985, 128 с.
96. ЧЕНЦОВ, А. Г. Оптимизация в условиях нечетких ограничений / А. Г. Чепцов. Препринт. Свердловск : УНЦ АН СССР. 1986.
97. ЧЕНЦОВ, А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач / А. Г. Ченцов. Екатеринбург : УИФ "Наука", 1993. 232 с.
98. ЧЕНЦОВ, А. Г. Неупреждающие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций. I / А. Г. Ченцов // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N4. С. 470-480.
99. ЧЕНЦОВ, А. Г. Неупреждающие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций. II / А. Г. Ченцов // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N5. С. 679-688.
100. ЧЕНЦОВ, А. Г. Абстрактные аналоги квазистратегий и итерационные методы / А. Г. Чепцов // Методы построенияMuooicecme достио/симости и конструкции расширений / Екатеринбург : УГТУ-УПИ. 2004. с. 115-156.
101. ЧЕНЦОВ, А. Г. Метод программных итераций в абстрактных задачах управления / А. Г. Ченцов // Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, Ш. С. 573-585.
102. ЧЕНЦОВ, А. Г. Обобщенная задача управления в классе конечно-аддитивных мер / А. Г. Ченцов, А. Б. Пашаев // Кибернетика. 1986. №. с. 110-112.
103. ЧЕРНОУСЬКО, Ф. Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф. JI. Черноусько, А. А. Меликян. М. : Наука, 1978. 280 с.
104. ЧЕРНОУСЬКО, Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических Щ систем / Ф. JI. Черноусько. М. : Наука, 1988.
105. ЭНГЕЛЬКИНГ, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. М. : Мир, 1986. с- 751 с.
106. ЯНГ, JI. Лекции по вариационному управлению и теории оптимального управления. / JI. Янг. М. : Мир, 1974. 488 с.
107. ANAN'EV, В. I. Minimax estimation of statistically uncertain systems under the choice of a feedback parameter / В. I. Anan'ev // J. Math. Systems, Estimations, and Control. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 263-266.
108. CHENTSOV, A. G. Extensions and relaxatons / A. G. Chentsov, S. I. Morina. Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 2002, 408 p.
109. CHENTSOV, A. G. To the question about the duality of different versions of the programmed iterations method, 1 / A. G. Chentsov // Functional Differential Equations. 2002, Vol. 9, no. 3-4. P. 289-314.
110. CHENTSOV, A. G. On duality of different versions of the programmed iterations method, 2 (the sequential approach) / A. G. Chentsov // Functional Differential Equations. 2003. Vol. 10, no. 1-2. P. 121-161.
111. CHIKRII, A. A. Conflict controlled processes / A. A. Chikrii. Boston ; London ; Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 1997. 427p.
112. CLARKE, F. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F. Clarke, Yu. Ledyaev, R. Stern, P. Wolenski. New York : Springer, 1998.
113. CRANDALL, M. G. A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance / M. G. Crandall // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 3G, P. 151-155.
114. DlEGEL, E. Zu einem Beispiel von Nagumo und Fukuhara / E. Diegel // Math. Zeit. 1935. Vol. 39, P. 157-160.
115. DONCHEV, T. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions / T. Donchev, E. Farkhi // SIAM J. Control. Optim. 1998. Vol. 36, no. 2. P. 780-796.
116. DRIVER, R. D. A two-body problem of classical electrodynamics : the one-dimensional case / R. D. Driver // Ann. Phys. 1963. Vol. 21, P. 122-142.
117. DRIVER, R. D. Note on uniqueness for a one-dimensional two-body problem of classical electrodynamics / R. D. Driver, M. J. Norris // Ann. Physics. 1967. Vol. 42, P. 347-351.
118. ELLIOTT, R. J. The existence of value in differential games / R. J. Elliott, N. J. Kalton 11 Providence : Amer. Math. Soc., 1972. 67 pp. ( Memoirs of the Amer. Math. Soc.; Vol. 126).
119. FlLIPPOVA, T. F. Ellipsoidal calculus, singular perturbations and the state estimation problems for uncertain systems / T. F. Filippova, A. B. Kurzhanski, K. Sugimoto, I. Valyi // J. Math. Systems Estim. Control. 1996. Vol. 6, no. 3. P. 323-338.
120. Friedman, A. Differential Games / A. Friedman. N. Y. : Wiley Inter-sci., 1971. , 350p.
121. GaTDUKEVICH, O. HoBi узагальнення теореми Скорца-Драгош / О. GaTdukevich, V. К. Maslyuchenko // Укр. мат. oicypn. 2000. Т. 52, № 7. с. 881-888.
122. Garay, В. М. Cross-sections of solution funnels in Banach spaces / B. M. Garay // Stud. Math. 1990. Vol. 97, no. 1. P. 13-26.167. glllman, L. Reviews : What Is Mathematics? / L. Gillman // Amer. Math. Monthly. 1998. Vol. 105, no. 5. P. 485-488.
123. GRIZZLE, J. W. Asimptotically stable walking for biped robots : analisys via systems with impulse effects / J. W. Grizzle, G. Abba, F. Plestan // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. Vol. 46, no. 1. P. 51-64.
124. Impacts in mechanical systems. Analysis and modelling. Papers from the Euromech Colloquium 397 held in Grenoble, June 30-July 2, 1999 / Edited by Bernard Brogliato // Berlin : Springer-Verlag, 2000. 273 p. (Lecture Notes in Physics, Vol. 551).
125. KARLIN, S. A game of aiming and evasion : general discussion and the marksman's strategies / S. Karlin, R. Isaacs. Santa Monica : RAND, 1953, 2 p. ( Research Memorandum, Rand Report RM-1316).
126. KHLOPIN, D. V. The method of extremal shift for approximation of sliding regimes / D. V. Khlopin // Proc. IFAC Workshop Generalized Solutions Control Problems (GSCP-2004), September 22 26, 2004 Pereslavl-Zalessky, 2004, P. 109-113.
127. KNESER, H. S. Uber die Losungen eines Systems gewohnlichen Diffcrentialgleichungen, das der Lipschitzchen Bedingung nicht genugt / H. S. Kneser // B. Preuss. Akad. Wiss. Phys. -Math. Kl. 1923, vol.49, P. 171-174.
128. Krasovskii, N. N. On the design of differential games I / N. N. Krasovskii, A. G. Chentsov // Problems of Control and Information Theory. 1977. Vol. 6, no. 5-6. P. 381-395.
129. Krasovskii, N. N. On designing differential games II / N. N. Krasovskii, A. G. Chentsov // Problems Control a,nd Information Theory. 1979. Vol. 8, no. 1. P. 3-11.
130. Krasovskii, N. N. Game-theoretical control problems / N. N. Krasovskii, A. I. Subbotin // Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1988. 517 p. (Springer Series in Soviet Mathematics).
131. Kryazhimskii, A. V. Convex optimization via feedbacks / A. V. Kryazhimskii // SI AM J. Control Optim. 1999. Vol. 37, no. 1. P. 278-302.'
132. Kryazhimskii, A. V. Constraint aggregation principle in convex optimization / A. V. Kryazhimskii, Yu. M. Ermoliev, A. Ruszczyiiski // Math. Programming, Ser. B. 1997. Vol. 76, no. 3. P. 353-372.
133. KRYAZHIMSKII, A. V. On positional calculation of Q -normal controls in dynamical system / A. V. Kryazhimskii, Yu. S. Osipov // Probl. Control and Informal Theory. 1984. Vol. 13, no. 6. P. 425-436.
134. LAVRANTIEFF, M. A. Sur une equation differentielle du premier ordre / M. A. Lavrantieff // Math. Zeit. 1925. Vol. 23, P. 197-209.
135. MAKSIMOV, V. Dynamical reconstruction of inputs for contraction semigroup systems : boundary input case / V. Maksimov, L. Pandolfi // J. Optim. Theory Appl. 1999. Vol. 103, no. 2. P. 401-420.
136. MILLER, В. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control / В. M. Miller // SIAM J. Control Optim. 1996. Vol. 34, no. 4. P. 1420-1440.
137. MILLS, J. K. Robotic manipulator collision : modelling and simulation / J. K. Mills, C. Nguen // Trans. ASME J. Dyn. Sys. Meas. and Contr. 1993. Vol. 114, no. 4. P. 650-659.
138. NAGUMO, M. Uber die Lage der Integralkurven gewohnlicher Differen-tialgleichungen / M. Nagumo // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. Vol. 24, P. 551-559.
139. NAGUMO, M. Un theoreme relatif a l'ensemble des courbes integrales d'un systeme d'equations differentielles ordinaires / M. Nagumo, M. Fukuhara // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1930. Vol. 12, no. 3. P. 233-239.
140. NAKANO, H. Ueber die Verteilung der Peanoschen Punkte einer Differ-entialgleichung y'=f(x,y) / H. Nakano // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. Vol. 14, P. 41-43.
141. OKAMURA, H. Sur l'unicite des solutions d'un systeme d'equations dif-ferentielles ordinaires / H. Okamura // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. Math. 1941. Vol. 23, P. 225-231.
142. PLIS, A. One-sided non-uniqueness in ordinary differential equations / A. Plig // Bull. Acad. Polon. Sci. 1957. Vol. 5, no. 3. P. 583-588. 1
143. PLIS, A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field / А. РНё // Bull. Acad. Polon. Sci. 1963. Vol. 11, no. 6. P. 369-370.170
144. PSCHENICHNY, В. N. е-Strategies in differential games / B. N. Pschenichny // Topics in Differential games / New York ; London ; Amsterdam : North Holland, 1973, p. 45-99.
145. SCHUMACHER, J. M. Complementarity systems in optimization / J. M. Schumacher // Math. Program. , Ser. B. 2004. Vol. 101, no. 1. P. 263-295.
146. SUSSMANN, H. J. A general theorem on local controllability / H. J. Suss-mann // SIAM J. Control Optim. 1987. Vol. 25, no. 1, P.158-194.
147. SZUFLA, S. Kneser's theorem for weak solutions of an mth-order ordinary differential equation in Banach spaces / S. Szufla // Nonlinear Anal. Ser. A. 1999. Vol. 38, no. 6. P. 785-791.
148. TARASYEV, A. M. Control synthesis in grid schemes for Hamilton-Jacobi equations / A. M. Tarasyev // Ann. Oper. Res. 1999. Vol. 88, P. 337-359.
149. TOLSTONOGOV, A. A. Differential Inclusions in a Banach Space / A. A. Tolstonogov. Dordrecht : Kluwer, 2000. 302 p.
150. VARAIYA, P. On the existence of solutions to a differential game / P. Varaiya // SIAM J. Control. 1967. Vol. 5, P. 153-162.
151. VARAIYA, P. Existence of saddle points in differential games / P. Varaiya, J. Lin // SIAM J. Control 1969. Vol. 7, no. 1. P. 141-157.
152. VASIN, V. V. Ill-posed problems with a priori information / V. V. Vasin, A. L. Ageev. Utrecht : VSP, 1995.
153. VOLKMANN, P. The positive invariant set of the differential equation on Banach space / P. Volkmann, J. Lin // Ann. Differential Equations. 1998. Vol. 14, no. 2. P. 267-270.
154. Zavalishchin, S. T. Dynamic impulse systems. Theory and applications / S. T. Zavalishchin, A. N. Sesekin // Dordrecht : Kluwer Academic Publishers Group, 1997. 256 p. (Mathematics and its Applications, Vol. 394).
