Упругопластическое деформирование твердых тел нагрузками, близкими к предельным тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^ #

5 АКАДЕМИЯ НАУК РОССИИ

^ ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 4 4 ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ им.М. А. ЛАВРЕНТЬЕВ А

на правах рукописи

БЛИНОВ Александр Николаевич

УДК 539.3

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ НАГРУЗКАМИ, БЛИЗКИМИ К

ПРЕДЕЛЬНЫМ

01.02.04 - механика деформированного твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

дпссерташш на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новоспбпрск - 1995г.

Работа выполнена в Вычислительном центре СО РАН, г. Красноярск

Научный руководитель:

кандидат физико - математических наук, доцент Г.В. Иванов

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук A.M. Коврижных

кандидат физико - математических наук . В.В. Алехин

Ведущая организация:

Институт теоретической и прикладной механики СО РАН

Защита диссертации состоится' ICiii 199-5_ г. в К. часо:

на заседании специализированного совета К 002.55.01 по присуждении ученой степени кандидата физико-математических наук в конференц зале Института гидродинамики СО РАН. по адресу: 63G090r г. Новосибирск, проспект академика М.А.Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ги дродинамики СО РАН.

Автореферат разослан

Ученьы секретарь специализированного созета К 002.55.01 з ИГиЛ СО РАН кандидат физико-математических наук- '

Ю.М.Волчко!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое прпмененпе в современной технике конструкций из материалов с различными механическими свойствами. работающих в условиях интенсивного силового нагруженпя. вызывает необходимость исследования напряженно - деформированного состояния этих конструкций. Поскольку проведение экспериментальных исследований обычно требует больших материальных затрат, роль вычислительных моделей при проектировании новых изделий постоянно возрастает. При этом к вычислительным моделям предъявляются повъттпрппыр требования точности моделирования рассматриваемых деформационных процессов при нелинейном поведении материала. Поэтому актуальной является разработка эффективных моделей И вычислительных схем для численного моделирования квазистатических процессов упругопластического деформирования материалов с нелинейными определяющими соотношениями в условиях интенсивного силового на-груження члемеятов конструкций.

Цель работы. Работа посвящена построению и обоснованию алгоритмов решения задач квазпетапгческого упругопластического деформирования материалов с различными определяющими соотношениями нагрузками, близкими к предельным (при которых возникает резкое возрастание деформации - течение ), и численному решению с помощью этих алгоритмов двумерных и трехмерных упругопластическнх задач.

Научная новизна. На основе вариационной формулировки задач упругопластического деформирования в скоростях деформации разработан алгоритм их численного решения. Главные особенности алгоритма связаны с методом корректировки напряжений и иейотазоваййем различных расчетных схсм, эффективных в соответствующих нах прилагаемых нагрузок. На основе предложенного алгоритма разработан про1 раммнын комплекс, который использован для численного исследования решении ряда двумерных и трехмерных задач упругопластического деформирования твердых тел с разлитыми ой^деляюшй-

ми соотношениями.

Практическое ценность. Разработанные математические м( дели и созданные на их основе численные алгоритмы могут быть » пользовании при математическом и численном моделировании зада уиругоиластического деформирования материалов с нелинейными опр! делающими соотношениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докл. дывались и обсуждались на:

- 1,11 Сибирских школах по современным проблемам механики дефо] мпруемого твердого тела. (Новосибирск, 1988; Якутск, 1990.);

- XI, XIII Всесоюзных конференциях по численным методам решения з; дач теории упругости и пластичности (Волгоград, 1989; Новосибирск 1993.);

- Научно-техническая конференция "Проблемы техники и технологи XXI века" (Красноярск, 1994.);

-II, V Всесоюзных школах молодых ученых по численным методам МС (Абакан, 1989; Шушенское, 1993.); .

- Международной конференции "Проблемы обеспечения качества изд лий в машиностроении" (Красноярск, 1994.);

- семинаре отдела вычислительной механики Вычислительного центр СО РАН. Красноярск, 1994г.

- семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Новосибирск, 1994г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликован в работах [1-7].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит I введения, трех глав, заключения, библиографии п приложения. Мат риал изложен на 117 страницах текста, включающих 47 рисунков расп< ложенных по месту ссылок. Список цитируемой литературы содержа 68 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дано обоснование актуальности темы диссертант, определена цель-работы, представлен обзор работ,-посвященных ~ роблеме моделирования квазистатическлх процессов деформирования вердых тел. Особое внимание уделяется проблеме существования п динственности решения упругопластических задач, отвечающих зако-:ам течения Прандтля - Рейсса. Приведен краткий обзор наиболее шроко используемых численных методов, применяемых при решении адач квазпстатического упруго - пластического деформирования твер-¿¿х тол, отмечаются некоторые особеняоста и основные затрудшшя, ознпкаюшие при построенпп алгоритмов численного решения таких адач. Дан реферативный обзор основных результатов по главам.

Первая глава посвящена общей посталовхсе квазистатической пругопластической задачи, при малых деформациях, основанной на равнениях теории течения Прандтля - Рейсса. Приведены дифферен-пальная и вариационная постановка задачи, изложен вариационно -азностный метод решения упругопластичесхой задачи, основанный на инпмальном принципе для скоростей деформаций. Для построения искретной модели используется кусочно - линейная аппроксимация за-ачп по параметру нагружения (времени) в сочетании с методом коечных элементов на каждом шаге деформирования. В результате дис-ретпзацпп исходная задача сводится к решению последовательности зстем нелинейных алгебраических уравнении. Для численного реше-пя системы уравнений реализованы различные модификации метода ыотона - Рафсона и метод, основанный на декомпозиции расчетной Зластп ( И.А. Бригаднов, С.И. Решш Известия АН СССР, МТТ, Ж, N4).

В § 1.1 приведена дифференциальная постановка квазистатиче-сой идеально упругопластической задачи, описываемой системой урав-знпй:

да{,

дх:

+ /■■ = о, а а = 2 !1£ц + (3 к - 2 ц)е6ц - 2/хф

1 Зи,- , '

, Г 0, если 7 < т, или 7 = <0 , ¡1, 7 А = (>0, если 7 = т3, ^ = 0 '

где щ - перемещения, - деформации, - пластические деформации <Ту - напряжения, 7 - интенсивность девиатора напряжений, г/ - коэф фицпент Пуассона, Е - модуль Юнга, т8 - предел текучести на сдвш /; - массовые силы.

В § 1.2 приведена постановка задачи в виде вариационного не равенства. Такой подход позволяет сконструировать численные мете дк решения упругопластнческпх задач. В этом же параграфе прпведе на формулировка минимального принципа для скоростей деформаппг справедливого при известном напряженно - деформированном состо! нии в данный момент времени, заключающегося в минимизации фуш ционала

у ' 2 ] <и к <а . <и у л ./ л л '

О <3 5

на классе кинематически допустимых скоростей перемещений. Здесь ^ - внешнии силы.

В § 1.3 построена конечно - разностная аппроксимация по врем< ни краевой.задачи и сформулирована постановка в приращениях пер< мещений на п - ом шаге по времени. Определяющие соотношения пластической области формулируются в виде:

Л<71}- = 2/гАец + (Зк - 2ц)&£бц - (1 -

О

7 = у^цСц, о'ц = + 2,иД4-.

Существуют различные способы корректировки напряжений ь поверхность текучести, основанные на различных алпрокспмацнях опр деляющих соотношений. Корректировка напряжений на поверхноса

текучести в данном случае осуществляется по формуле:

что соответствует проекции девпатора упругих напряжений на поверхность текучести по нормали к ней.

В g 1.4 конечномерная задача на каждом шаге по времени аппроксимируется по пространственным переменным методом конечных элементов (МКЭ) . основанным на вариационной постановке в скоростях деформаций. Конечные элементы выбраны в вцде симплексов, что соответствует в дзумерном случае — т}>еугольиику, а в трехмерном случае -тетраэдру. Неизвестные приращения перемещении в конечных элементах ашгрокснмлрутотся линейными полиномами. В результате, задача сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений :

Au = / + д(и)

где А - глобальная матрица жесткости МКЭ , и - вектор неизьест-

ных прпрахценпй перемещений в узлах конечно - элементной сетки. / -вектор правой части, д(и) - вектор нелинейных соотношений.

В § 1.5 приведены итерационные процедуры решения системы нелинейных алгебраических уравнений, основанные на различных модификациях метода Ньютона - Рафсона. Итерационная процедура в общем случае имеет вид:

1 [g(uk) + f-Auk].

Пры отсутствии производной dg/du алгоритм соответствует методу начальных напряжений. Скорость сходимости алгоритма существенно зависит от величины зоны пластических деформаций. При небольших натрузках и соответствующих пм небольших зонах пластических деформаций используется метод начальных напряжений (ква-зпныотоновекпй метод). При средних нагрузках эффективен модифицированный метод Ньютона - Рафсона, для которого значение dg]du берется с предыдущего шага по времени. При нагрузках близких к

ик+х = ик +

предельным, реализована процедура выделения областей с большими пластическими деформациями, основанная на последовательном уточнении зон активного деформирования при соответствующей декомпозиции расчетной области и раздельном счете в выделенных подобластям на каждом шаге по времени.

Вторая глава посвящена численному решению конкретных задач упругопластического деформирования тел как в плоской, так п I трехмерной постановке. Исследуется, как правило, упругопластическо« состояние материала при нагрузках, близких к предельным. Анали: численного решения задач показывает эффективность разработанной алгоритма.,

В § 2.1 приведена постановка и описан алгоритм решения упруго пластической задачи для случая плоского деформированного состояния

В § 2.2 рассмотрена задача квазистатического одноосного растя женпя прямоугольной полосы из изотропшго однородного материала находящейся в плоском деформированном состоянии нагрузками, близ кими к предельным. Численное решение в упругой области сопоставля ется с точным аналитическим решением. Показано, что точной пре дельной нагрузке, соответствующей решению по жесткопластическо] модели, предшествует нагрузка, при которой вся полоса переходит 1 пластическое состояние. Отмечено, что ее приближенное значение, най денное численным методом, близко к точному, а численный алгоритг остается устойчивым, несмотря на близость нагрузки к предельной.

В § 2.3 рассмотрено численное решение упругопластической за дачи о кзазистатическом растяжении прямоугольной полосы с двум симметричными боковыми разрезами. Численное значение предель ной нагрузки сопоставляется с аналитическим, найденным по решешп Прандтля в рамках жесткопластической модели. Отмечено, что бот шое различие в величине этих нагрузкок объясняется тем, что нагрузк найденная по решению Прандтля для полосы конечной ширины явл« ется верхней оценкой точной предельной нагрузки.

В § 2.4 рассмотрено численное решение упругопластической зг

аатга о растяжении прямоугольного параллелепипеда с двумя боковыми симметричными разрезами в трехмерной постановке. Проведено сопоставление конфигурации пластической зоны в окрестности концентратора напряженпп с известными экспериментальными данными, показавшее качественное соответствие результатов.

В § 2.5 приведено численное решение упругопластической задачи с модифицированным уравнением состояния. На основе экспериментальных данных (Дж.Ф. Белл "Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел", Часть I, 1984), линейная зависимость среднего напряжения от средней деформации

а = Ш

была заменена монотонной кусочно - линейной функцией. Решалась задача о растяжении прямоугольной полосы с двумя симметричными боковыми разрезами, как с линейной зависимостью, так и с кусочно -. линейной. Анализ конфигураций пластических зон возникающих при решении этих задач п их качественное сравнение с экспериментальными данными (В.З. Партон, Е.М. Морозов "Механика упругопластп-ческого разрушения", 1985), позволило сделать вывод о необходимости учета ограничения на рост среднего напряжения.

Третья глава посвящена решению упругопластической задачи с уравнением состояния, моделирующим эффект запаздывания текучести, при квазпстатическом растяжении. В этом случае диаграмма напряжение - деформация содержит участок релаксации напряжений, называемый "зубом" текучести.

В § 3.1 приведены полученные при экспериментах на одноосное растяжение экспериментальные данные для таких материалов, описанные В.И. Даниловым, Л.Б. Зубовым, В.Е. Паниным в третьей главе монографии "Структурные уровни пластической деформации и разрушения" , 1990. Прежде всего это касается нелинейного эффекта , заключающегося в движении с небольшой скоростью по образцу особенности в виде пластической полосы сдвига (линии Людерса), возникающего при растяжении материалов имеющих " зуб" и площадку теку-

чести (например, в углеродистой стали), в интервале деформаций, соответствующих площадке текучести. Полоса формируется у одного из захватов деформирующего устройства, причем наклон фронта полосы, обычно соответствует положению плоскостей, в которых действуют максимальные сдвиговые напряжения для изотропного тела. Скорость распространения фронта полосы значительно меньше как скорости распространения упругих волн, так и скорости пластических волн, возникающих при ударном деформировании.

Сформулирована модель упругопластического деформирования твердого тела, позволяющая описать материалы, имеющие "зуб" и последующую площадку текучести. Для описания диаграммы напряжение - деформация с "зубом" текучести предполагается, что предел текучести на сдвиг т,, входящий в условие пластичности имеет вид :

\г2,

если х — О еслп х > О

где X = / -^Л^й^ - параметр Одквпста, характеризующий велпчпнл накопленной необратимой деформации за весь предшествующий процесс, Т\ -верхний предел текучести, т-2 -нижний предел текучести.

В § 3.2 описан алгоритм численного решения задачи, учитывающий релаксацию напряжений при изменении значения предела текучести на п~ол1 шаге по времени как по явной, так и по неявной расчетног схеме.

В случае явной схемы, значения предела текучести г"-1 в элементах берутся с предыдущего шага. При переходе к п + 1 шагу

#

новые значения предела текучести т" в элементах определяются пс формулам:

гп = Ггь если X'" = О 5 \ т2, если х" > О

Это соответствует тому, что в элементах, находящихся в пластическое состоянии и имеющих значение предела текучести т\ , его значени< заменяется на т2.

В случае неявной схемы, учитывается релаксация напряжений

связанная с новыми значениями предела текучести на п — о.м шаге. Для этого используется дополнительная итерационная процедура. Она состоит в том, что решенная по явной схеме на п — ом шаге задача, решается повторно, но с нулевыми краевыми условиями и новыми значе-нпямп напряжений и предела текучести в качестве начальных условий. Дополнительные цтерашш продолжаются до тех пор, пока изменяется значение предела текучести в элементах. Численный алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ.

В 8 3.3 приведены результаты численное решение задачи о кпа-зпстатпческом растяжении прямоугольной полосы, состоящей из однородного материала имеющего на диаграмме напряжение - деформация "зуб" п площадку текучести. Из соображений симметрии рассматривается только верхняя половина прямоугольника. Предполагается, что полоса находится в плоском деформированном состоянии. В качестве конечного элемента используется трехузловой треугольник с линейной аппроксимацией тфпращешш-перемещений.

В начальных! момент времени в конечных элементах напряжения и деформации равны нулю, а значения предела текучести т,° = Т\. Краевые условия на верхней стороне прямоугольника заданы в виде приращения перемещений, соответствующих постоянному растяжению жестко зажатой полосы. На нижней стороне прямоугольника заданы условия симметрии, а на боковых сторонах прямоугольника заданы условия свободной от напряжений поверхности.

На рисунке приведены конфигурации упругих п пластических зон растягиваемого образца материала для различных моментов времени. Началу процесса растяжения соответствует левый прямоугольник. Светлая область соответствует материалу, находящемуся в упругом состоянии, а область, заключенная в треугольники находится в пластическом состоянии. Пластическая зоаа возникает в районе концентратора напряжений, находящегося в верхней частп прямоугольника. Она формируется в виде двух пересекающихся полос, направленных под углом в сорок пять градусов к продольной оси образца. В дальнейшем пла-

стпческая зона несколько сдвигается п затем начинает персмещатся с постоянной скоростью. В упругой области перед пластической зоной материал имеет верхний предел текучести Г] , а за пластической зоной нижний предел текучести Прп подходе пластической зоны к нижнему краю области с краевым условием симметрии задачи, практически вся область имеет нижний предел текучести.

Дальнейшее растяжение образца приводит к резкому переходу почти всей области в пластическое состояние. Полученные численные решения дают хорошее качественное совпадение с результатами экспериментов.

В § 3.4 приведены результаты численного исследования влияния упругой и пластической неоднородности материала с "зубом" текучести на конфигурацию движущихся пластических полос сдвига. Показано, что неоднородность материала приводит к потере симметричности решения задачи и, в результате, реализуется второй тпп решения, то есть вместо двух симметричных пересекающихся пластических полос сдвига возникает одна полоса, что соответствует данным экспериментов.

В Приложение включены графики и рпсункп, иллюстрирующие решение задач третьей главы.

В Заключении перечислены основные результаты работы, которые сводятся к следующему:

1. На основе вариационной формулировки задач упругопластпче-ского деформирования в скоростях деформации разработан алгоритм их

численного решения. Главные особенности алгоритма связаны с метолом корректировки напряжений и использованием различных расчетных схем эффективных в соответствующих диапазонах прилагаемых нагрузок.

2. На основе предложенного алгоритма разработан программный комплекс, который использован для решения ряда конкретных двумерных II трехмерных задач упругоплнстпческого деформирования. Анализ проведенных расчетов свидетельствует об устойчивости предлагаемого алгоритма при нагрузках, близких к предельным. Проведено сопоставление численных результатов с аналитическими решениями, полученными по жесткопластическоц схеме. В трехмерной постановке проведено исследование конфигурации пластшхеской зоиы в окрестности концентратора напряжений.

3. Проведено исследование влияния условия ограниченности среднего напряжения на развитие зон пластических деформаций. Показано, что учет ограниченности среднего напряжения позволяет получить конфигурацию зон пластических деформаций, качественно совпадающую с экспериментами.

4. Сформулирована математическая модель упругопластического деформирования материалов с уравнением состояния имеющим участок релаксации напряжений("зуб" текучести). Показано, что учет этого эффекта позволяет описать формирование, и движение локализованных пластических полос линий скольжения, наблюдающихся в эксперименте. Установлено, что пластические тг упругие неоднородности материма приводят к качественному изменению формы зон локализации пластических деформаций.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Блинов А.Н. Численное исследование решения упругопласти-ческой задачи в области с концентратором напряжения. - В сб.: Моделирование в механике сплошных сред. Красноярск, КГУ, 1992. - с. 39-47.

2. Блинов А.Н. Учет ограниченности сродного напряжения при численном решении упругопластических задач. - В сб.: Численные методы механики сплошной среды. - Ч. 2, Тезисы докладов Школы молодых ученых. Красноярск, ВЦ СО АН СССР. 1989.

- с. 50-51.

3. Блинов А.Н. Численный анализ пространственной конфигурации пластической зоны в окрестности трещины. - В сб.. Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Тезисы докладов. Якутск, ЯНЦ СО АН СССР. 1990. - 204 с.

4. Блинов А.Н. Об ограниченности среднего напряжения при малых упругопластических деформациях. Динамика сплошной среды. Выпуск 92.. Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР, - 19S9. - с. 39-44.

5. Блинов А.Н. Моделирование движения линии скольжения i упругопластическом теле. - В кн.: Проблемы обеспечения качества изделий в машиностроении. Труды международной конференции. Красноярск, КГТУ, 1994. - с. 182-187.

6. Блинов А.Н. Численный алгоритм решения упругопластических задач в напряжениях на основе вариационного неравенства. - Е кн.: Проблемы техники и технологии XXI века (тезисы докладов НТК) Красноярск, КГТУ, 1994. - 116 с.

7. Blinov A.N. Simulation of line sliding moverment in elestic - plastic inedia. The international conference on problems of products quality assuranse in machine - building, (abstracts). Krasnoyarsk. KSTU, 1994. 152 p.