Упругопластическое состояние тел вращения при циклическом осесимметричном тепловом и силовом нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. 4

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ОСЕСИШЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМ0ВЯЗК01ШАСТИЧН0СТИ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ.18

1.1. Вариационное уравнение теплопроводности при осесимметричном нагреве.••.•.•.••.•••••••.•. 18

1.2. Статические и геометрические уравнения.,.*. 19

1.3. Тензорные соотношения теории простых процессов неизотермического циклического нагружения. 20

1.4. Основные соотношения структурной модели среды, при одноосном неизотермическом нагружении. 25

1.5. Описание скалярных свойств материала при циклическом .нагружении на.основе структурной.модели среды.36

1.6. Постановка осесимметричной задачи термовязкопла-стичности при циклическом нагружении. 49

ГЛАВА 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ.ЦИКЛИЧЕСКОЙ

ТШРМОВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТЙ. 53

2.1. Определение температурных полей.в.телах.враще^ ния при осесимметричном нагреве. 53

2.2. Линеаризация определяющих, соотношений, термог», . . пластичности•••••••••••••••••.61

2.3. Определение напряженно-деформированного состояния, тел вращения при осесимметричном нагружении 66

2.4. Алгоритм решения задачи.циклической термовязко-пластичности. .74

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛ

ВРАЩЕНИЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЖЕНИЯХ.80

3.1. Тестовые задачи.80

3.2. Упругопластическое состояние.заслонки клапана. при переменном нагреве.90

3.3. Анализ кинетики напряженно-деформированного состояния диска при циклическом,нагружении с , учетом ползучести.101

Тенденция к снижению материалоемкости современных машиностроительных конструкций часто приводит к необходимости допускать возникновение в них наряду с упругими пластические деформации. В этом случае для оценки прочности и надежности проектируемых конструкций необходимо использовать методы расчета, позволяющие оценить напряженно-деформированное состояние элементов конструкций с учетом реальных условий эксплуатации и свойств материалов, из которых они изготовлены.

Анализ работы многих элементов конструкций, в том числе выполненных в виде тел вращения, показывает, что они подвергаются воздействию изменяющихся во времени осесимметричных силовых и тепловых факторов. Сюда следует отнести роторы и диски газовых и паровых турбин, элементы реактивных двигателей и двигателей внутреннего сгорания, элементы аппаратов химического машиностроения и атомных электростанций.

Неравномерный нагрев элементов конструкций, сопровождающийся изменением их механических свойств /модуля упругости, предела текучести, упрочнения/, приводит к возникновению значительных напряжений, уменьшающихся по мере прогрева. При совместном действии изменяющихся тепловых и силовых факторов в элементах конструкций могут возникать области, где происходит накопление пластических деформаций, а в случае длительных процессов нагру-жения - и деформаций ползучести, что оказывает существенное влияние на их напряженно-деформированное состояние.

Особенностью неупругого циклического нагружения является значительное изменение свойств материалов при смене направления процесса деформирования. Это проявляется в изменении упрочняющихся свойств и пределов упругой работы материала, во взаимодействии процессов мгновенного пластического деформирования и ползучести и ряде других явлений.

В связи с этим, создание эффективных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, выполненных в вцде тел вращения, при их осесимметричном циклическом нагружении с учетом указанных особенностей поведения материала, является актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Наличие большого количества определяющих уравнений, описывающих те или другие процессы сложного неизотермического нагруже-ния, заставляет особое внимание обращать на выбор физических уравнений и анализ их применимости к рассматриваемым процессам нагружения.

В работах /~8, 25, 26, 35, 40, 41, 56, 58, 64/ приведены уравнения состояния, позволяющие исследовать процессы простого переменного неизотермического нагружения. Рассмотрены методы линеаризации нелинейных соотношений пластичности. Указаны также пределы применимости предлагаемых физических уравнений.

Решение краевой задачи термопластичности включает в себя определение температурных полей в рассматриваемом элементе конструкции и его напряженно-деформированного состояния. Повышение эффективности методов расчета связано с использованием.единого подхода к решению этих двух задач. Такой подход в настоящее время чаще всего основан на применении метода конечных элементов (МКЭ) ¿-14 , 23 , 42, 50, 52.7.

Применительно к решению осесимметричной задачи теплопроводности МКЭ рассматривался в работах /""12, 17, 18, 31, 32, 44, 57, 62/.

В работе /~177 задача нестационарной теплопроводности рассматривается в вариационной постановке. Используется простран-. ственно-временной конечный элемент с нелинейным законом распределения температуры. Применение локальной системы координат позволило получить достаточно простое выражение температуры в конеодом элементе через ее значения в узловых точках. При дискретизации процесса нагрева во времени использована неявная разностная схема. В работе ¿"18^ этот метод применен для исследования температурных полей в ряде тел вращения. Рассмотрен вопрос о сходимости применяемого метода при последовательном смущении сетки конечных элементов.

В работе /""32J к уравнению теплопроводности и граничным условиям применен обобщенный метод Бубнова-Галеркина с использованием линейных функций формы по каждому треугольному конечному элементу. В результате получена система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс изменения во времени значений температуры в узловых точках конечноэлементной сетки. Решение этой, системы уравнений осуществляется методом Рунге-Кутта. Разрешающие уравнения получены с учетом зависимости теплофизиче-ских свойств материала от температуры.Методика применена к расчету температурного поля короткого сплошного цилиндра. Результаты сравниваются с расчетом по методу конечных разностей,

В работе ¿"31J рассматривается осесимметричная и, как частный случай» плоская задача нестационарной теплопроводности в вариационной постановке. Построен,функционал, эквивалентный граничным условиям второго и третьего рода, а также дифференциальному уравнению теплопроводности, записанному с использованием неявной разностной схемы по времени в предположении, что теплофизиче-ские характеристики материала не изменяются во времени. Экстремум построенного функционала ищется методом конечных элементов. В качестве конечного элемента выбран треугольник с линейным распределением температуры. Решен ряд тестовых задач и плоская задача об охлаждении клиновидной призмы.

В работе /~44также как и в работе /~32для решения задачи теплопроводности использована процедура метода Бубнова-Галеркина. Для интегрирования полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений использована неявная разностная схема Крэнка-Никольсона. Дана оценка точности и вычислительной устойчивости МКЭ при дискретизации по пространству и времени» Рассмотренные вопросы иллюстрируются при решении задачи о нагреве бесконечного цилиндра. Решена также задача о распределении температуры в цилиндрическом сварном патрубке реактора при его охлаждении.

В работе /~62J излагается метод определения температурных полей в телах вращения при их осесимметричном нагреве. Задача решается в вариационной постановке. В отличии от /""31построенный функционал позволяет решать задачу с учетом зависимости тепло-физических свойств материала от температуры. Экстремум этого функционала ищется методом конечных элементов. При различном.представлении производной по времени получены рекуррентные, соотношения для явной схемы и системы.линейных алгебраических уравнений для неявной схемы, В работах /""57, 58/ предложенный метод апробируется путем сравнения полученных результатов расчета с аналитическими решениями.и решениями, полученными другими численными методами. В,работе /~58/ исследовано температурное поле тела вращения сложного меридионального сечения при переменном нагреве с учетом зависимости теплофизических свойств материала от температуры.

В работе /""12задача теплопроводности, аналогично /""32, 44У% сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается с использованием неявной разностной схемы. Учтена зависимость теплофизических свойств материала от температуры. Методика апробирована на задаче о нагреве шара и затем применена к исследованию температурного поля диска переменной толщины при изменяющихся во времени условиях теплообмена с окружающей средой. Для некоторых пар характерных точек исследовано изменение во времени перепадов температур. По максимальным значениям этих перепадов предлагается судить о моментах времени, в которые возникают максимальные напряжения, вызванные неравномерным нагревом диска.

Рассмотрим работы, где метод конечного элемента положен в основу исследования осесимметричного напряженно-деформированного состояния элементов конструкций при циклических нагружениях.

Работы /""I, 43посвящены решению задачи циклической пластичности без учета температурных воздействий.

В работе IJ метод конечных элементов распространяется на случай расчета конструкций, в которых циклические нагрузки вызывают знакопеременные напряжения в пластической стадии. В работе используется модификация теории кинематического упрочнения Праге-ра, причем коэффициент упрочнения определяется из эксперимента на одноосное нагружение. В этом случае, как показано в работе ¿~64/, соотношения теории течения описывают только простые или близкие к простым процессы нагружения. Это замечание относится ко всем рассматриваемым в дальнейшем работам, где в качестве определяющих соотношений используются различные варианты теории течения с трансляционно-изотропным упрочнением при определении скалярных функций, входящих в эти соотношения, из опытов на простое нагружение.

В работе /""43J дана постановка краевой задачи циклической пластичности. Использована теория малых упругопластических деформаций; скалярные свойства материала описываются на основе обобщенного принципа Мазинга /~40Приведены соотношения метода конечных элементов, отмечен ряд свойств полученной матрицы системы линейных алгебраических уравнений. Решение задач в работе отсутствует.

В отличие от рассмотренных работ, где исследуются процессы изотермического циклического нагружения, в работах/""3, 13, 20, 51, 57, 63, 65^7 задача циклической пластичности решается с учетом действия неравномерного нагрева,.

В работе приведены основные соотношения МКЭ для решения осесимметричной задачи термопластичности. Используются кольцевые конечные элементы треугольного поперечного.сечения с линейной или квадратичной аппроксимацией перемещений. Приведены уравнения трансляционной теории течения, в которые включены члены, учитывающие ползучесть. Функции, входящие в определяющие соотношения, находятся из опытов на простое растяжение-сжатие. Для исследования неизотермических процессов такие эксперименты необходимо выполнить для ряда температур, причем сжатие осуществляется для нескольких уровней пластической деформации. Разработанный метод после апробации на тестовой задаче применен к исследованию кинетики развития пластических зон в цилиндрическом образце с полостью, иммитирующей дефект. Расчет производился без учета температурных воздействий и деформаций ползучести.

На основе разработок /-49, 55/ моментной схемы МКЭ применительно к задачам термоупругости, в работе /"51решена осе-симметричная задача термопластичности при циклическом тепловом воздействии. Использован плоский криволинейный .четырехугольный элемент с полиномиальным представлением перемещений. ,В качестве уравнений состояния принята теория течения с трансляционным упрочнением. Скалярные свойства материала описываются аналитической зависимостью,, связывающей интенсивности напряжения и пластической деформации. Входящие в эту зависимость параметры определяются из диаграмм растяжения. Вопрос о применимости такого описания скалярных свойств материала при циклическом нагружении не обсуждается. В качестве примера рассмотрено напряженно-деформированное состояние тела вращения, состоящего из разнородных материалов, свойства которых зависят от температуры. Деформациями ползучести пренебрегают. Исследован процесс развития пластических областей с ростом числа циклов, в каждом из которых тело вращения подвергается равномерному нагреву с последующим охлаждением.

В работе ¿""65/ исследуется кинетика циклического деформирования полого цилиндра, состоящего из двух участков различного наружного диаметра. Изменение диаметра в переходной области происходит по дуге окружности. Цилиндр нагружен осевой растягивающей силой и подвержен периодическому нагреву и.охлаждению на 'наружной поверхности. Задача решается методом конечных элементов. Материал цилиндра считается идеально-упругопластическим, подчиняющимся критерию текучести Мизеса. Исследовано развитие пластических зон вблизи концентратора, в переходной области.

В работе ¿""20метод конечных элементов применен для исследования объемного напряженного состояния дисков турбомашин. Получены матричные соотношения МКЭ с использованием деформационной теории пластичности и теории пластического течения ¿""53^, позволяющий учесть историю нагружения. На примере диска переменной толщины показано, что учет эффектов объемного состояния приводит к значительным изменениям компонент перемещений и напряжений в ступице и ободной части диска.

Работа .¿""63J посвящена развитию методов решения осесимме-тричных задач термопластичности ¿"45, 46, 6на случай учета истории нагружения. Физические уравнения записаны в виде закона Гука с переменными параметрами упругости и дополнительными членами. Получены выражения для дополнительных членов как для случая прямолинейных траекторий деформирования, так и траекторий малой кривизны. Разработанный метод позволяет исследовать процессы, включающие активное нагружение, упругую разгрузку и повторное на-гружение. На примере расчета напряженного состояния неравномерно нагретого вращающегося ротора показано, что учет истории нагруже-ния приводит к существенному изменению величины напряжений.

В работе /~577 реализован единый подход к решению задач нестационарной теплопроводности и термопластичности, основанный на решении соответствующих вариационных уравнений методом конечных элементов. При решении задачи термопластичности использованы соотношения теории простых процессов неизотермического нагруже-ния, учитывающие их историю /~5б7. Функционал, входящий в эти соотношения, конкретизируется с использованием мгновенной термомеханической поверхности - совокупности диаграмм растяжения для ряда фиксированных температур. При использовании экспериментальных диаграмм циклического нагружения данный метод позволяет решать задачу термопластичности с учетом реального эффекта Баушин-гера. Разработан алгоритм численного решения задач теплопроводности и термопластичности, реализованный в виде пакета прикладных программ. Метод апробирован на ряде тестовых задач. Исследовано напряженное состояние однодискового ротора при неизотермическом нагружении и напряженное состояние составного ротора с учетом напряжений натяга. При решении задач на основе анализа геометрии построенных траекторий деформирования сделан вывод о применимости используемых определяющих соотношений к рассматриваемым процессам нагружения.

С применением МКЭ в работе /~37 рассмотрена задача об остаточных напряжениях в элементах конструкций с учетом вторичных пластических деформаций. Используется треугольный конечный элемент с линейной аппроксимацией перемещений. В качестве примера исследованы остаточные напряжения в цилиндрическом образце с круговым надрезом после осевого растяжения и сжатия при комнатной температуре. Расчет проводился на основе соотношений теории малых упругопластических деформаций с использованием экспериментальных диаграмм разгрузки, полученных при различных уровнях первоначальной пластической деформации. Показано, что результаты расчета хорошо совпадают с экспериментальными данными.

В рассмотренных работах задача циклической термопластичности решалась в предположении, что деформации ползучести малы и ими можно пренебречь. В отличие от этого, в работах /""19, 21, 48 , 587 рассмотрены методы исследования процессов неизотермического циклического нагружения, сопровождающихся развитием деформаций ползучести, соизмеримых по величине с упругими и мгновенными пластическими деформациями.

В монографии /"587 развиваются методы решения задач термопластичности для тел вращения /"57, 637 на случай неосесимме-тричного нагружения, а также учета деформаций ползучести. Скалярные свойства зависимостей между напряжениями и деформациями определяются на основе нелинейной теории наследственной среды или структурной модели среды для циклически нестабильных материалов. Рассмотрены методы линеаризации определяющих соотношений термопластичности. Приведены соотношения МКЭ и на их основе разработан алгоритм решения пространственной задачи термовязкопластичности. Приведены результаты расчета осесимметричного напряженного состоя' ния ряда элементов конструкций. В рамках теории старения рассмотрен процесс релаксации напряжений, возникающих при горячей посадке диска на вал, а также исследовано влияние ползучести на напряженно-деформированное состояние вращающегося однодискового ротора, подверженного равномерному нагреву. Вопросы, связанные с развитием деформаций ползучести при переменном нагружении не рассматриваются.

Исследованию особенностей кинетики напряженно-деформированного состояния конструктивных элементов при эксплуатации их в условиях малоциклового нагружения при высоких температурах посвящена работа /""19На основе деформационной теории пластичности и теории старения с использованием МКЭ рассмотрено напряженно-деформированное состояние стержня с выточкой при осевом сжатии-растяжении в условиях высокотемпературного равномерного нагрева. Исследован процесс стабилизации величины деформации в максимально нагруженных зонах. Поведение материала при этом описывалось на основе обобщенной диаграммы циклического нагружения /""54 Этот подход позволяет достаточно точно описать скалярные свойства материалов, если известна функция, определяющая изменение предела текучести с числом циклов, которая находится из экспериментов на простое циклическое нагружение.

В работе /~48J изложен метод исследования осесимметричного напряженного состояния тел вращения с учетом ползучести. Для процессов нагружения по прямолинейным траекториям деформирования с учетом истории и процессов нагружения по траекториям малой кривизны разработан алгоритм учета деформации ползучести, основанный на определении ее приращения за этап нагружения непосредственно из диаграмм ползучести. Рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии тела вращения сложного меридионального сечения, подверженного переменному нагреву. Решение задач теплопроводности и термопластичности осуществлялось с использованием МКЭ /""58Показано, что учет истории нагружения существенно сказывается на величине и характере распределения напряжений в исследуемом элементе конструкции.

Анализу напряженно-деформированного состояния поршня тракторного дизеля при циклическом нагружении посвящена работа /"21/. В качестве уравнений состояния принята теория течения с трансляционным упрочнением, которая, как указывалось ранее, позволяет описать только простые процессы нагружения. Для решения задач теплопроводности и термопластичности в вариационной постановке применяется МКЭ. Используется треугольный конечный элемент с линейным распределением температуры и перемещений. Свойства материала при циклическом нагружении определяются из экспериментальных диаграмм растяжения, полученных для ряда температур с различными скоростями деформирования. Исследован процесс неупругого деформирования поршня дизеля для двух режимов, включающих циклы нагружения различной длительности. Показано, что один из режимов сопровождался возникновением мгновенных пластических.деформаций, величина которых от цикла к циклу не изменялась, т,е. накопление пластических деформаций не происходило, В случае второго режима отмечено накопление от,цикла к циклу как мгновенных пластических деформаций, так и деформаций ползучести. Показано удовлетворительное совпадение полученных результатов расчета с экспериментальными данными.

Из приведенного обзора следует, что в настоящее время существует ряд работ, посвященных решению осесимметричной задачи термопластичности при циклических нагружениях. Исследовано влияние учета истории нагружения и процесса накопления неупругих деформаций на напряженное состояние ряда элементов конструкций. Однако некоторые вопросы, связанные с решением задач циклической термо-вязкопластичности, исследованы недостаточно.

Во многих из рассмотренных работ в качестве определяющих соотношений используются различные варианты теории течения с трансляционным упрочнением /~2, 30описывающей, согласно /-64/, простые или близкие к простым процессы циклического нагружения. Такие же процессы нагружения могут быть исследованы с использованием более эффективных при численной реализации соотношений теории простых процессов нагружения с учетом истории их протекания /~64Следует отметить, что во всех работах, за исключением /~57, 58/ не исследуется применимость используемых определяющих соотношений к рассматриваемым процессам нагружения.

Из обзора следует, что применяемые методы конкретизации функционалов, описывающих скалярные свойства материалов, требуют большого объема экспериментальных исследований на простое циклическое нагружение. Уменьшение числа необходимых экспериментов может быть достигнуто за счет использования модельных представлений и, в частности, структурной модели среды /~4, б, 7, 667, развитой на случай неизотермического нагружения. В работах /""22, 24, 33, 38, 59, 60, б47 показано, что различные варианты структурной модели среды позволяют качественно и количественно исследовать основные закономерности поведения материалов при неизотермических процессах нагружения. Применение структурной модели при решении плоской задачи /""15, 1б/ позволило учесть взаимодействие процессов мгновенного деформирования и ползучести, которое не описывается при простом суммировании мгновенных деформаций и деформаций ползучести, как это делается в работах /""19 , 48 , 58/ при решении осесимметричной задачи.

В отличие от приведенных в обзоре работ, в данной диссертации осесимметричная задача циклической термовязкопластичности решается с использованием соотношений теории простых процессов нагружения с учетом истории их протекания /""647 при конкретизации функциональной зависимости между интенсивностями напряжений, деформаций, температурой и временем на основе варианта структурной модели циклически нестабильной среды /""60, 647. Линеаризация определяющих соотношений осуществляется методом переменных параметров упругости /~58/. Краевые задачи теплопроводности и термопластичности в вариационной постановке решаются методом конечных элементов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты данной работы сводятся к следующему.

1. Разработана методика определения термовязкопластического напряженно-деформированного состояния тел вращения, подверженных осесимметричному циклическому тепловому и силовому нагружению.

Методика основана на использовании уравнений теории простых процессов нагружения с учетом истории их протекания. Скалярные свойства материалов описываются на основе экспериментально обоснованного варианта структурной модели циклически нестабильной среды. Краевые задачи нестационарной теплопроводности и термопластичности в вариационной постановке решаются методом конечных элементов. При решении задачи теплопроводности используется как явная, так и неявная разностная схема.

2. Разработанная методика позволяет исследовать с учетом деформаций ползучести кинетику напряженно-деформированного состояния многослойных тел вращения сложного меридионального сечения при осесимметричном циклическом неизотермическом нагружении.

3. Точность полученных решений проверяется путем сгущения сетки конечных элементов, увеличением числа этапов при дискретизации по времени процесса нагружения, а также степенью удовлетворения граничных условий. Оценка применимости уравнений состояния к описанию исследуемых процессов нагружения проводится на основе анализа геометрии построенных траекторий деформирования.

4. Разработанная методика и реализующий ее пакет программ апробирован на ряде тестовых примеров. Решены две новые задачи об определении термоупругопластического состояния: заслонки клапана при переменном нагреве с учетом вторичных пластических деформаций при разгрузке; диска переменной толщины, подверженного циклическому нагреву и нагружению с учетом деформаций ползучести. 5. В результате решения задач установлено: учет вторичных пластических деформаций при разгрузке может приводить к снижению напряжений более, чем на 2.5% в области их максимальных значений; учет деформаций ползучести может приводить к снижению уровня напряжений почти в два раза и увеличению остаточных напряжений на 26%.

6. Разработанная методика может быть использована при расчетах на прочность элементов машиностроительных конструкций, выполненных в виде тел вращения, которые в процессе эксплуатации подвергаются действию осесимметрилного циклического неизотермического нагружения.

7. От внедрения результатов исследований на ряде предприятий страны получен экономический эффект 288,8 тыс.руб.

- 130 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Армен X., Айзексон Дж., Пифко А. Методы дискретных элементов для пластического расчета конструкций, подверженных циклическому нагружению. Механика: Период, сб. пер. иностр. ст., 1971, № I, с. 95-121.

2. Арутюнян P.A., Вакуленко A.A. О многократном нагружении упру-гопластической среды. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 4, с. 53-61.

3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, i960. - Т. 2. - 620 с.

4. Бесселинг И.Ф. Теория пластического течения начального изотропного материала ^соторый анизотропно упрочняется при пластических деформациях. Механика: Период, сб. пер. иностр. ст., 1961, № 2, с. 124-168.

5. Биргер И.А. Некоторые общие методы решения задачи теории пластичности. ПММ, М.: 1951, 15, № 6, с. 765-770.

6. Востров Е.Н. Исследование закономерностей неизотермического циклического деформирования материалов при высоких температурах. Дисс. на соиск. уч. степени канд. техн. наук, Киев, 1983. - 205 с.

7. Горынин Ж.Г., Радзвиловский В.И., Холмянский И,А. Исследование температурных полей тел вращения МКЭ. Пробл. прочности, 1983, $ 9, с. 37-39.

8. Гохберг В.Э., Иванов И.А., Садаков О.С. Применение структурно й модели для расчета кинетики деформирования элементов конструкций. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1976, вып. 16, с. 89-93.

9. Гохфельд Д.А., Гохберг В.Э., Кононов K.M., Садаков O.G. Расчет турбинного диска при повторных нагружениях с учетом взаимного влияния процессов кратковременного и длительного неупругого деформирования. Пробл. прочности, 1976, № 8, с. 16-20.

10. Гуляр А.И., Кислоокий В.Н., Сахаров A.C., Чорный С.М. Решение трехмерной задачи теплопроводности в криволинейной системе координат методом конечного элемента. Сопротивление материалов и теория сооружений, 1974, вып. 22, с. 21-29.

11. Гуляр А.И., Сахаров A.C., Чорный С.М. Исследование неустановившихся температурных полей в неоднородных телах вращения. -Сопротивление материалов и теория сооружений, 1977, вып. 31, с. 91-96.

12. Гусенков А.П., Москвитин В.Г., Казанцев А.Г. Эффекты ползучести при высокотемпературном малоцикловом нагружении элементов конструкций. Машиноведение, 1981, № I, с. 86-90.

13. Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. М.: Машиностроение, 1978. - 247 с.

14. Донченко A.C., Морганюк B.C., Аверченков Е.А., Харченко В.К., Исаев Е.В. Расчет напряженно-деформированного состояния поршня тракторного дизеля при циклическом нагружении. Пробл. прочности, 1983, № 3, с. 39-44.

15. Зарубин B.C., Кузьмин H.A. Расчетная модель неизотермического деформирования конструкционного материала. Изв. вузов, Машиностроение, J.967, № 8, с. 31-35.

16. Зенкевич 0. Метод конечного элемента в технике. М.: Мир, 1975. - 544 с.

17. Иванов И.А., Садаков О.С. Моделирование неоднородности приописании неизотермического деформирования реальных.материалов. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1970, вып. 10, с. 173-179.

18. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. - 326 с.

19. Ильюшин АД. Пластичность: Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.

20. Ищенко Д.А. Описание процессов одноосного неизотермического деформирования на основе структурной.модели среды. Прикл. механика, 1982, 18, № II,,с. 122-126.

21. Ищенко Д.А. Решение.осесимметричной задачи термопластичности при циклических нагружениях. Прикл. механика, 1984, 20,7, с. I08-III.

22. Кузьмин МД. Расчетная модель неизотермического деформирования конструкционного материала при одноосном нагружении.

23. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып. 15, с. 70-74.

24. Куюн А.И., Малиновская И.А., Марина В.Ю. Исследование процессов одноосного неизотермического нагружения. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1978, вып. 18, с. 36-39.

25. Ленский B.C., Ломакин В.А. Деформационная теория термопластичности. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1970, вып. 10, с. 37-50.

26. Ли Д., Заверл Ф. Описание пластического течения анизотропных материалов, зависящего от истории деформирования. Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Е, 1976, 46, № I, с. 37-43.

27. Марина В.Ю. Структурная модель среды при неизотермических.процессах нагружения для циклически нестабильных материалов. -Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ. мат. наук. Киев, 1977. - 150 с.

28. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряжения, вызываемые.стационарными температурными полями. М.: Физматгиз, 1958. -167 с.

29. Москвитин. В.В. Пластичность при переменных нагружениях. -М.: Изд-во МГУ, 1965. 262 с.

30. Москвитин В.В. Циклическое нагружение элементов конструкций. М.: Наука, 1981. - 344 с.42, Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

31. Сахаров A.C., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер X., Кчык 3. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев: Вгада школа, Лейпциг: ФЕБ Фахбухферлаг, 1982. - 479 с.

32. J 51. Сахаров А.С., Чорный С.М. Исследование упругопластических деформаций осесимметричных тел при циклических тепловых воздействиях. Пробл. прочности, 1976, № II, с. 68-72.

33. Сегерлищ1 Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир,1979. 392 с.

34. Термопрочность деталей машин /Под ред. И.А.Биргера, Б.Ф.Шор-ра. М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.

35. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях. -Киев: Наук, думка, 1970. 288 с.

36. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Пискун В.В., Прохоренко И.В.,

37. Шевченко Ю.Н., Закон Е.И. Структурная модель среды при сложных неизотермических процессах нагружения. Докл. АН УССР, сер. А, 1983, № 6, с. 44-48.

38. Шевченко Ю.Н.,Прохоренко И.В., Савченко В.Г. Об одном вариа-. ционном методе решения задач нестационарной теплопроводности.-Докл. АН УССР, сер. А, 1977, № 9, с. 816-821.

39. Уб4. Шевченко D.H., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязко-пластичности. Киев: Наук, думка, 1982. - 238 с.

40. Dirivedi 1KS., FessEer Н., Hyde Т.Н., Weßster J.J. Tkerma£ ыМешпд of fioPlW stepped cy Cinder.-Non-?uiear PrM. Stress /tnalysLe, London, 1978,p. 259-316.

41. Maslng G. l/is^enscfiaf-tElche veroffent Eichung enaus dem Simens-Konzern ШЗ.-Н.1, 111s, 1926. H.5, \35 s.