Уравнение Кралемана-Векуа в неограниченной области в дробных пространствах и задачи линейного сопряжения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД

2 2НАШОНАЛ&Й;У£ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопися УДК 517.946

АЛИРИСКА ЛИЕЛА Ж anua Николаевна

УРАВНЕНИЕ К РА Л ЕМ Л НА -ВЕК У Л В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛЛ СТИ В ДРОГ,ПЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ЗАДА ЧИ ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени хандидата фи ч и ко математических наук

Ллматы, 1996

Работа иъшолнсла и Институте теоретической п прикладной математики Ладной альноЛ Академия нау к Республики Казахстан

Научные ру копою'. тел и: член-хорр.ПАП РК Н.К.Блиеи,

кандидат физико-матсыатичссхи наук,профессор КарГУ С.А.Абдыманапов Ведущих организация: Казахский Национальный государственный университет им.Аль-Фараби Официальные ошюпелты: доктор физико-математическь наук М.А Абдрахманов; кандидат фиэшео-математически нау к, доцент Ж .А .Токкбеток

Защита состоится "ЛЗ".на заседании Специализированного совета Д - 53.04.01 при Институте теоретической м прикладной математики ПАЙ РК по адресу: 480021, Алматы, ул. Пушкина, 125.

С дассертаачей можно аэнакошггься в библиотеке ЙТПМ ПАН РК.

Автореферат разослан "«¿У " 19а1г.

Учсаый секретарь Опгцагшизлрозашюго соесте, Д - S3.04.01,

¡¿гпдидая ф1335ко-матшатических наук Лд^-^ш¿.А.Т. Ку лахг;стоаг4

0КЩЛ51 ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.Многие задачи анализа, геометрии,механики приводятся к задачам линейного сопряжения для эллиптических систем уравнений нерпою порядка па плоскости. Как ичнестно, к задачам линейного сопряжения сводятся и сингулярные интегральные уратшепия с ядром Коши, которые, кроме 'íeopei ического значения, имеют приложении ь теории yr.pyrccr:;, :-'.:„r).pr\."",,;>""vrv и пр.

Общие линейные системы уравнений первого порядка и многие эллиптические уравнения второго порядка на плоскости приводятся к уравнениям Кар.чеманд-Некуа. Обобщенные решения уравнения Карлсмала-Векуа с коэффициентами из /^.з.(Ь')><7 > 2,(Е- комплексная плоскость ) обладают многими нижними свойствами аналитических функций комплексного переменною.Поэтому они jiaiD.uiu И.И.Вскуа обобщенными аналитическими функциями.Полная теория обобщенных аналитических функций в терминах пространств Соболеяа И^, q > 2, 0 < Í- целое, построена И.Н.Искуа'. Им же указаны приложения этой теории к ралличным задачам геометрии и мех аник и.Несколько другой подход к этой теории имеет ся в работах JIJ íерса2 J! ал ь пен тсс развитяс и приложения теория обобщенных аналитических функций ь рамках пространств Соболева с нокалагелем суммируемости q > 2 получила и работах В.Й.Боарсхого, И.И.Дашииока, Н.С.Риногралона, Л.Д.Джурасиз, З.Д.Усмалопа, Л.Б.Тун ra raposa и др. Н.К.Блиевым* теория обобщенных аналитических фунхний и ее андли гнческий аппарат pacnpociранены на новые классы функций в терминах дробных пространств Bocona с покала-

'¡Íуч п ¡|, О..iíi.ninK^c фуско.** M , iÍ B'jk^rra.. СГ'Зс.

L. '< i.-vry ef r^flJoA'ísivlic í'ixc.úohi N_'>v York, tOb'X íí f" 0'-'<-'rt^jisik ¿y-'.' í: n h'.cCa ux ct^v*. 1Ьуь>

телом суммируемости р 2 н ограниченной области.В этом направлении получены некоторые результаты предельною характера К.М.Остановим и М.О.ОтслОаеным4.

Реферируемая работа иос.вянкна вопросам существования обобщен-пых аналитических функций, удовлетворягопшх уравнению Карлсмапа-Векуа в неограниченных областях с коэффициентами из дробных пространств Бесова, не вложенных в Lbi{E), q > 2, и изучению условий разрешимости задач линейною сопряжения для них. Считаем, что коэффициенты краевого условия задачи сопряжения принадлежат пространствам Бесова, вложенным в класс непрерывных функций С, но не вложенным в класс гельдеровых функций Са ,0 < а < 1.Как известно,сама «остановка задачи сопряжения для эллиптических систем предполагает ее разрешимость во взаимодополняющих ограниченной и неограниченной областях.

Разрешимость уравнения Карл^манз-Векуа в неограниченном области представляет самостоятельный теоретический интерес н позволяет изучить условия разрешимости ночами сопряжения для эллиптических систем îïa плоскости.

Из сказанного слеуо'ст иссомненши) актуальность изучения указанного круга вопросов в шкале пространств Пешва.

Цель работы состоит: 1) в изучении разрешимое/и? уравнения Карлсмана Веку а в области, содержащей бесконечно удаленную точку, с коэффициентами из npocTjï-iiîcrB Бесова, не вложенных в L^jiK), q > 2: 2) в исследовании условий разрешимости задач сопряжения для обобщенных решений этого уравиешш в пространствах Бесова.

'Оспаяов К.Н., Огелбасп М.О. Кршлис jWVtUi ддв о&о&исетгоа аскиц Кошж с ксгладхг-

ui козффшим1ыи//Дси»лц ли СССР. ISK'j.- T.2ÏS C.4sMS.

Общие методы исследования. При исследовании разрешимости уравнения Карлсмапа-Некуа и задач линейного сопряжения используются методы обобщенных аналитических функций, теория фредгольмовых и сингулярных юпегральпнх уравнений, теория вложения дробных пространств 5. Возможность применения этих методов d пространствах Бесова следуег из работ Н.К.Блиева.

Научная новизна. Исследуемые в работе вопросы впервые изучаются ь np"crpa.nc7;;;vx 1;ссс;;а.. Результаты пологим яр;; более сл?бих известных требованиях на коэффициенты уравнения и граничных условий задач линейного сопряжения. Найдены необходимые и достаточные условия существования решений задач сопряжения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа косит теоретмче- • схий характер, се результаты могут бить использованы при решении различных краевых задач для эллиптических систем, а также в геометрических задачах о склеивадиии поверхностей положительной кривизны ( если есть решение указанной краевой задачи, то склеспая поверхность допускает бесконечно малые изгибания, если же решений нет,кроме тривиального, то поверхность является жесткой), в теории упругости, в теории оболочек.

Апробация результатов. Основные результаты диссертационной ра-бо-j >,! докладывались и обсуждались на научных семинарах член-коррсснондента ПАП ГК Блисва U.K., доктора физ.-мат. наук, профессора Темирбулатсва СЛ!., доктора фмз.-мат. наук, профессора. Алдате-ва С.А., доктора физ.-мат.наук, профессора Темнргалиепа И.Т., доктора физ.-мат. наук, профессора Смагулова III.С. , на Y1II межвузовской 'Г,ссое О.И.У!г>ля ЯП, Пмольаге» С.М, Иаптрапгое iffflouici« фуияж! * тюрош

¡кч'нубликапс.кой кон<]>ер<тпн1И no математике и механике, посвященной 50 летию КазГУ ( Алма-Ата, 1.98-1 г.), па 10-м Чех.-Сои. совещании но применению функциональных методов и методов теории функций к задачам математической физики ( Стара Тура, 1988 г.), на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" ( Москва, 1995 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация изложена на 80 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 65 названий.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и приведены ее основные результаты.

Параграф первый главы I содержит сведения об основных функциональных пространствах и некоторые часто используемые в работе известные результаты.

Во втором параграфе первой главы рассматриваемой работы исследованы свойства интегрального оператора

Он играет центральную роль в теории обобщенных аналитических функций, встречается в различных задачах теории конформных отображений и рныановых поверх.кктей. И.П.Векуа оператор рассмотрен в пространстве Л,¿(Я) при ч < р > 2. В дробных классах Пикольского-Бесова оператор Р/ исслсдовап в ограниченной области в работах [3],[4].

В цагаодшсЗ работе рассмотрены интегральный оператор и солсрг;:.-щме его уравнен;!« » дробных пространства:; на всей комплексной

плоскости где ш,р,0 удовлетворяют одному а» следующих условий: а)1 < р < 2, $ = 1, а = 2 - б)1 < р < 2, 1 < в < оо, * - 1 < а < 1..

Доказаны следующие теоремы (нумерация приведена в соответствии г. диссертацией):

Теорема 2.1. Пусть Л(г) С Тогда интегральный опера-

тор /V / явлиечея непрерывным оператором переводящим пространство (I — в себя, причем на бесконечности

как функция от г обращается в нуль.

Обозначим !)' - область, содержимую бесконечно удаленную точку, с достаточно гладкой границей.

Рассмотрим однородное уравнение

Ьи> ~ гс, + Л(г)т + В(г)й) = 0 (1)

с ко:«5>фнцис11)ами Л (г), /?(г) из класса 1 <р<2,а = ~ — 1.

Кудем 'творить, что функция К^г) удовлетворяет уравнению (1) в окрестности точки если в некоторой окрестности Оа этой точки суше-ствук>1 обобщенная и ротводная и», € Л|(<7о) и ноччи всюду в 1)а имеет место равенство (1). Кс.чн «>(г) удовлетворяет уравнению (1) а окрестности каждой точки области 0~, исключая, бить может, точки некоторого дмехре-тдо множества /7* в чо будем говорить, что т.»(г) является (/кЛ|!(ентм.1М решением уравнения (!) в области О" . Ксли /7* - пустое мно-лество, '¡о об^швниос решение и>(г) будем называть регулярным решением уравнения (!).

Т«ор«ма 2.2. 1!( ипг обобщенно« решение урампчгюг — О в области нролставлсиио

œ(r) = (2)

ТРИ

Ф) Л/ / dr, * -7b-fl>

^ ^ j Л(з) + если w{z) f 0 и w{z) ¿ oo,

I A{z) + B(z), если w{z) - 0, или w(z) = oo, Ф(г)- аналитическая но функция.

Формула (2), как указано И.Н.Иекуа (см.сноску 1), имеет фундаментальное значение для построения общей теории обобшеннных аналитических функций, показывает, что между классами обобщенных решений уравнений вида Lw = Ó и аналитических функций от z имеются глубокие связи, и позволяет распространить па такие обобщенные решения многие свойства аналитических функций. Мы доказываем ее справедливость в дробных пространствах, в бесконечной области.

Следующая теорема дает ответ на вопрос о разрешимости уравнения /до F в классах 1)^(0").

Теорема 2.4. Пусть Á(z),B(z)tF(z) е B^ü-),! < р < 2, а = 2-1. Тогда уравнение Lw = F(z) всегда имеет регулярное решение из класса

W-). Я-1

Так как справедливо вложение С С(ТГ) (см.сноску 6), то

решение является непрерывной функцией в 1)~. Если коэффициенты А, В и свободный плел F принадлежат Lr, 1 < р < 2, то, вообще говоря, обобщенные решения уравнения Lui = F будут разрывными функциями.

В дальнейшем доказана теорема 2.Ь, позволяющая строить обобщенные аналитические функции, соответствую»пдо произвольной аналитической фупкции, то есть, дрпускаващй особенности любого порядка ъ

бесконечной области.

В случао, когда В{х) = 0 н Л (г) • ограниченная измеримая функция, (,'>ормулн (2) виерные получена Теодореску..

Тоорема 2.5. Пусть Ф(г) - произвольная аналитическая функция в !)', допускающая изолированные особенности, < € Ь' - произвольная фиксированная точка, тогда найдется функция и)0(л), обладающая свойствами: функция !У0(г) С С(Н), и'о(^) / 0 я плоскости Е, н>о(0 = 1- Кроме того, функция ш(г) - Ф(г)шп(г) удовлетворяет уравнению (!) в точках регулярности 'Кг), то есть является обобщенным, решением уравнения (1) в области

Так как ш - Фц'о удовлетворяет и нелинейному интегральному уравнению

п области О", то укачанное уравнение можно рассматривать «сак оператор Л*!, по-чюляюпшй сопоставить к а л: дом аналитической в области 1)~ функции Ф(*) и любой фиксированной точке í плоскости вполне опреде-лепнноо (^юОпр'нное решение, «'¡(г) уравнения N|Ф ~ и',.

Такой подход может бить использован для решения некоторых крэо-них '»»дач дли уравнения /до = 0.

И третьем пир.чгрпфе червой главы рассматриваемой работы установлено, чю для произвольных регулярных решения 7а(л) и ги (г), принад-леж;п||ич /'"¡Ш ),»/=• взаимно сопряженных однородных уравнений

1ло н>, -( Л(-/)ш -! 1)(г)ю --- О

и

к'' г тг -- Л(а)и> - Щг}«? ==■ О

справедлива формула.

Лс( ~ } и>(г)ш'(г)(1г) ^ О,

па/шяа-емая тождеством Грина. Кривая Г € С1,а < делит плоскость Е на две области: О* конечную и 1)~ - область, содержащую бесконечно удаленную точку.

Используя взаимно однозначное соответствие между аналитическими и обобиченлыми аналитическими функциями и классах Кссова (теорема 2.6) и тождество Грмиадля бесконечной области, учитывая, чтои>(оо) = О и ш'(оо) = 0, получим обобщенную фо])мулу Коши для случая неограниченной области:

Бели Л ~ В — 0, то П1 = (С - «) 1, Па н 0 и формула (3) переходит в классическую формулу Коши

При выводе обобщенной формулы Коши использованы оценки для ядер

О, если г 6 1)+,

/*Ч*,<М<К -а,(2,С)ш(СК- -Ц»),сели »СО". (3)

О,если* 6

ССДН | < - ( В

если | / - ( |= е.

С пометило обобщенной формулы Коти можно обобщить теорему Ля-увилля на класс обобщенных аналитических функций (теорема 3.3), а также понятие аналит ического продолжения (георема 3.2).

Затем построена резольвента интегрального уравнения, эквивалентного уравнению Ь\о = 0, заданного в неограниченной области 0~:

Пя=* / / г,(*,Оя(0# «** + /) г2(*,сШ# *п.

и- и-

где

и г) являются ядрами сопряженного уравнения

/Ли' 5 ш, — А(г)ы — В(2)ш' О

Приходим к выводу, что

Чг) - Ф(*) + / / *Ч + ! /~Ы*><)ЩС№ ^

о- в-

предегавляет собой решение интегрального уравнения

,(,) -1 / / ,,. Ф(г) п- X ~ * '

для любой правой частя Ф(г) из #£,(!?"), <у — голоморфной в

Интегральное представление обобщенных аналитических функций, э гея числе н обобщенные интегралы типа Копт, имеют множество применений, Они используются, з частности, при изучении краевых задач.

Вторая глава рассматриваемой работы посвящена задачам сопряжения для обобщенных аналитических функций, постановка которых дана И. П. Веку а [1]. К ним приводят геометрические задачи о бесконечно малых изгибаниях поверхностей положительной кривизны. Смежные регулярные поверхности, вообще говоря, не могут подвергаться произвольным бесконечно иальш изгибаниям. Кривые склеивания выполняют роль

связей, определенным образом стесняя деформацию кусочно-регулярной »

поверхности,

Аналитическим средством изучения краевых задач служат интегральные опреаторы, свойства которых в неограниченной области в дробных Пространствах представляют самостоятельный интерес. Результаты .полученные в первом главе настоящей работы, позволяют исследовать разрешимость задач сопряжения для обобщенных аналитических функций. Существенно, что решения рассматриваются и в неограниченной области.

Л.Г.Михайловыы 6 обращаю вшшапис на нахождение 1-числа линейно независимых решений однородной задачи и р-числа условий разрешимости неоднородной задачи. При условии ) a(i) ¡>1 b(t) ) числа / и р были найдены для произвольной многосвязной области, а при условии 1 a(t) |s| 6{i) | для одиосвязной области.

Отысканию дополнительных характеристик функций a(t) и b(t) при невыполнении указанных условий посвящена работа И.Х.Сайитова.7

Важные обобщения теории краевых задач и теории сингулярных интегральных уравнений получены в ¡и.следованиях 84 в-которых лг.ггвд, Iii-

•Milbijioü Л.Г. HoBHt масс осебчх яятитрглиа-АХ ураяйея** * его opiuree?*» * дшф^реаддалъ-сым уралягажг* г rruryttrr'jht лIP&3.-1S3 г.

TC»ß»TOa И.Х. Об oi mrJ кр»ево* зшдшче siitiiorv сокрг*сш «t с1сужж*гт»// С**.. *»т.

wi.-T.s.- i.-c.m-ш.

■ JJLaCÄeiWtte b.Ii Мстцд *я1«-рчлсй Tins. Кога» в радрнваих гр&нлвых т*ор?* тспонорф-

рсдагшия-и-т-гто-;—пптсгрп!кязш1лл-71етшрто»м'"и»4^« ><->/•

В нервом параграфе ¡порой главы рассмотрены однородная и неоднородная задачи Римапа. Однородной задачей Римапа называем талуто задачу, когда однородно как краевое условие, так и уравнение.

Пусть контур ГбС„, 0 < а < г/ < 1 делит плоскость Е ив-две области: - конечную и 1)~ - область, содержащую бесконечно удаленную точку. Рассмотрим ураннеаис

Lw s + Л(г)ш(г) + B(z)w(z) «= О,

где A{z), B{z) € В;<Х(Е), 1 < р < 2, а = § _ i Задача А. Найти решения уравнения Lw = О

ш(г) 6 и w(z) 6 aq = 2 в областях D+ ш D~

соответспенно, продельные значения которых сопряжены на контуре Г условием

= G(0»»-(0, ш~(оо) = О,

где заданная функция G(t) G в\л{1"), G(t) / 0 при t G Г

Получен вывод: однородная задача имеет 2к линейно независимых решений над нолем вещественных чисел, где« = IndpG. При /с Е9 однородная задала линейного сопряжения не имеет нетривиальных решений. Задача В. Найти решения уравнения Lw = О

w{z) е и Ч*) G B"j(/J"), oq == 2 а областях D+ я D~

соответсэешга, предельные зиачення которых сопряжена на кситуро Г условием

м?+(<) = G(t)tff~(t) + ff(t), нГ(оо) =» 0,

жых фуаядя* одяо* коыаеежекоЛ Coop. вробж. ы&тсылтякж.- IL- }97Z^T.7

iyieCï(i)»fl(£) - заданные функции точек контура Г, принадлежащие к л ас-су в;, (Г), G(t) Ф 0 па Г.

Из наведенного исслцдогньия получаем следующий вывод относительно решений, исчезаю тик на бесконечности: при к > 0 имеем 2к линейно независимых решений над полем вещественных чисел; при к - О решение единственно; при к < 0 необходимые и достаточные условия разрешимости задали состоят в выполнении | к | равенств, содержащих коэффициенты и свободный член краевого условия и уравнения.

Во втором параграфе второй главы рассмотрена общая задача линейного сопряжения.

Задача С. Иайти решение уравнения Lw ~ О

w(z) в UpJ'(Ur) и ш(г) ( IJ'hiir ), aq = 2 в областях ZJ+ и 1Г соответсвепно, продельные значения которых сопряжены на контуре Г условием

w4(t) = a{t)iv~(t) + b(t)w-{ij + c(i), uT(oo) = О,

где a(t),b{t),c(t) ■ заданные функции точек контура Г, пршг члежащие классу С/,,(Г), а(£) j 0 на Г.

О количеств« решений и числе условий разрешимости задачи доказана следующая

Теорема. Пусть a(L),b{t),c{t) t л|,ГГ), a(i) / 0= Indr a(t). Тогда нри к > 0 однородная задача, соответствующая задаче О, имеет не более 2к I линейно независимых решений, а неоднородная задача безусловно разрешима (1- число решении фредтиьмовой системы уравнений}.il [hi к rt 0 задача С имсег I решений, нулевое для однородной. При к < П однородна* задача не имеет решении, отличных от нулевою, a Для разрешимости иес»!ч.п0|юд!юй 3<uvii> необходимо и чгичазччн»» { к > условий

разрешимости вида:

/ - (А-0.1.2,..., « 1}>

где и -фиксированная точка области

Основные результаты опубликованы в работах:

1.Блиев Н.К.,Адирискалиейа Ж.П. О разрешимости обобщенной системы Коши-Римаиа// Тезисы докладов УШ республиканской гежву-ювскпй научной конференции по математике и механике, посвященной 50-летию КазГУ. Алма-Ата, 1984,- С.66

2.Адирискалиева Ж.II. Общая граничная задача линейного сопряжения для обобщенных аналитических функций// Ред. журнала Известия АП КазССР. Лен. в ВИНИТИ 4542-85 от 26 июня 1385 г.-З с.

3.Аднрисхаписва Ж.Н. Обобщенная формула Коти в дробных пространствах// Теоретические и прикладные вопросы математического, моделирования. Алма-Ата: Паука КазССР, 1986.- С.40-45

4.Аднрискалисва Ж.П., Блнев П.К. О разрешимости уравнеши Карлемана-Векуа в неограниченной области// Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат., 5,1988.- С.3-5

б.Блиев Н.К.,Адлрнсхалнева Ж.П, Об одной общей краевой задаче для эллиптических метем уравнений первого порядка на плоскости в дробных пространствах// 10-е Чех.-Сов.совещаикс по прикяшезпга функциональных методов и методов теории функций х задачам математической физики. Стара Тура, 1988 г.

О.Блнеа Я.К.,Ддар; 1 спал'!е-з Ж.Н. Обсбшезпше впалятяческие фунг-Щ!н в неограниченных областях в пространствах Пнкольского-Бесова// Тезисы докладов международной конференции, посвященной 'ЗО-летнет ахадсм5!яа С.М.Никольского. Москва, 1995.- С.4Э-50.

BAtptaf&KHeBa Xaaaa'

BeJaueKrl KSHlcxIicTepieri anupcn3 oC-hhcxa OeplareH KapjiaHaH-BaKya Teimeyl «shq ck3hkthh TYtttHsscTlK eceHirrepl.

BfeKcte omic hyktsgI dap o6moT& KapjieMaH-Beitya Termeylalu memiJtyl 3eprrejie«l. BamnaKTl HHK0Jtt>CKHfl-Eec0B KenicTfrif«e cusuktuv, TyfiliwacTiK ecanTfeptHli; memlJiyfHtii j;aieTTl sane xstkIjiIktI mapnapH T&Ghjt&H.

AD IRISKALI EVA ZKAiWA

Carleman-Vekua equations in a infinite dosain in the fractional spaces and problems of \ . linear conjunction

the solvafility for Carleman-Vekua equation in the dorain containing a point at infinity is studied the conditions for the solvafility for. the problems of linear conjunction in the fractional Hiool'skiy-Besov spaces are investigated. The ne-cessa* and sufficient conditions fcr the existence far the solutions of the conjunction's problems are revived.