Уравнение тетраэдра и спиновые интегрируемые модели на кубической решетке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГб ОА 1 о АПР 1995

1НЕР

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

95-45 На правах рукописи

Строганов Юрий Григорьевич

УРАВНЕНИЕ ТЕТРАЭДРА И СПИНОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ НА КУБИЧЕСКОЙ РЕШЁТКЕ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Протвино 1995

М-24

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г. Протвино).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук А.А.Белавин, доктор физико-математических наук М.А.Олыпанешшй, доктор физико-математических наук Г.П.Пронько.

Ведущая организация - Петербургское отделение математического института им. Стеклова.

Защита диссертации состоится "_" _ 1995 г.

в _ часов на заседании специализированного совета Д 034.02.01

при Институте физики высоких энергий (142284, Протвино, Московской обя

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" _ 1995 г.

Ученый секретарь

специализированного совета Д 034.02.01 Ю.Г. Рябов

(с) Институт физики высоких энергий, 1995

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что системы с большим числом степеней свободы, будь то статистические или квантовополевые системы, очень трудно исследовать в случае большой константы связи, когда неприменима теория возмущений. В связи с этим продолжает оставаться актуальным поиск точно решаемых моделей в этих областях теоретической физики. В последнее время много ценных результатов было получено при изучении двумерных интегрируемых моделей. Однако большинство интересных систем статистической физики трёхмерны, а в квантовой теории поля — четырёхмерны. Поэтому заслуживают всяческого внимания любые попытки построения нетривиальных точно интегрируемых моделей размерности больше двух.

Наш подход, основанный на построении и исследований решений уравнения тетраэдра (трёхмерного обобщения известного уравнения Янга-Бакстера), интересен, помимо прочего, своей тесной связью с Киральной моделью Поттса, которая является одной из самых сложных и интересных двумерных моделей, и со структурой циклических представлений квантовых алгебр, возникающих в случае, когда параметр q является корнем целой степени из единицы.

В последнее время наметилась связь полученных решений с топологическими теориями в пространстве-времени 2+1.

Цель диссертационной работы состояла в поиске новых решений уравнения тетраэдра, построении на их основе интегрируемых спиновых моделей и их исследовании, а также в обобщении этого подхода на неоднородные модели с чередующимися весами (модели "шахматного" типа).

Научная новизна. В работе впервые рассмотрены различные версии уравнения тетраэдра и предложено его четырёхмерное обобщение. В качестве побочного результата при попытках вычисления статистической суммы для модели Замолодчикова обнаружена скрытая симметрия двумерной модели свободных фермионов, неизвестная ранее. Впервые доказаны трёхмерные соотношения Звезда-Звезда для модели Бажалова-Бакстера и выяснена группа симметрии, весьма сложно устроенных весов этой модели, Впервые предложено обобщение уравнения тетраэдра для неоднородных моделей "шахматного" типа — модифицированные уравнения тетраэдра, а также построены решения для этих уравнений.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Новые результаты по исследованию МСФ (двумерной модели свободных фермионов): выяснение скрытой симметрии статистической суммы модели и построение полностью симметричной параметризации, позволившей установить тождество симметрийных свойств и унитарного "фактора для одного из вариантов МСФ и трёхмерной модели Замолодчикова.

2. Вывод уравнения тетраэдра как достаточного условия перестановочности матриц перехода трёхмерных спиновых моделей на простой кубической решётке. Рассмотрение различных версий уравнения тетраэдра и вероятных свойств симметрии его решений.

3. Построение решения уравнения тетраэдра для модели с грассмано-вымп переменными на рёбрах.

4. Выяснение симметрийных свойств весовых функций модели Бажалова-Бакстера. Два доказательства трёхмерных соотношений Звезда-Звезда для этой же модели. Построение серии решений уравнения тетраэдра для произвольного N — числа значений, принимаемых спиновой переменной.

5. Разработка идеологии использования модифицированных уравнений тетраэдра и построение решения этих уравнений для случая N = 2.

Научная и практическая ценность работы заключается, в частности, в том, что в ней разработан математический аппарат, использующий расширение гипергеометрических базисных рядов на особый случай, когда база д является корнем целой степени из единицы. В совокупности с работами Замолодчикова, Бакстера и Бажанова эта работа закладывает фундамент для исследования трёхмерных интегрируемых моделей на основе решений уравнения тетраэдра.

Обнадёживают самые последние результаты, полученные в этом направлении. Найдены нетривиальные решения уравнения тетраэдра вершинного типа, что позволяет надеяться на построение двумерного аналога анзатца Бете, на построение L-операторов и т.д.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-7] п докладывались на международных семинарах по проблемам физики высоких энергий и квантовой теории поля (Протвино, 1981, 1983, 1984, гг.), Международном RIMS — Research Project "Infinite Analysis" (Киото, Япония, 1991 г.), Международной конференции по статистической физике и квантовой теории поля (Лос-Анжелес, США, 1994 г.), Международном математическом конгрессе (Париж, Франция, 1994 г.), а также на семинарах Отдела теоретической физики ЙФВЭ, Отделения математического анализа АНУ (Канберра, Австралия), Физического факультета АУ (Амстердам, Голландия) и Физического факультета ОСУ (Стиллуота, США).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и заключения, содержит список литературы (39 ссылок, 41 работа) и девять приложений. Объем диссертации 104 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется тема, приводятся исторический обзор и содержание диссертации.

В отличие от двумерных интегрируемых моделей релятивистской квантовой теории поля и статистической физики, интегрируемые модели в пространствах большей размерности изучены довольно слабо. Настоящая диссертация в основном посвящена исследованию так называемого уравнения тетраэдра или уравнения Замолодчпкова, которое является трёхмерным обобщением известного уравнения Янга-Бакстера. Начнём с небольшого исторического обзора.

Впервые уравнение тетраэдра было сформулировано в работах Замолодчпкова 1980-1981 гг. как условие факторпзуемости релятивистской ¿■-матрицы рассеяния прямых струн в пространстве-времени 2+1. Это "уравнение" представляет собой огромную (около тысячи в простейших случаях) систему алгебраических уравнений четвёртой степени. Замо-

лодчиков сначала угадал правильную форму решения в так называемом статическом пределе, когда скорости струн стремятся к нулю, а затем нашел полную 5-матрицу. Он показал также коммутативность матриц перехода для статистической модели на кубической решётке со спиновыми переменными на гранях и с больцмановскими весами, равными элементам его ¿"-матрицы. Бажанов численно проверил, что элементы 5-матрпци Замолодчпкова действительно удовлетворяют уравнению тетраэдра.

Немного позже в работе [1] Бажанов и Строганов рассмотрели несколько типов уравнения тетраэдра для статистических моделей с разными типами взаимодействия. Они предложили также обобщение уравнения тетраэдра для моделей в пространствах большей размерности так называемые ¿-симплексные уравнения. Хотя работа не содержала новых решений, в ней было сделано любопытное предсказание. Дело в том, что любое iV-цветное (т.е. спиновая переменная модели принимает N значений) решение уравнения тетраэдра приводит к счётной серии решений уравнения Янга-Бакстера, для которых спиновая переменная принимает Nn значений, где п — любое натуральное число. Авторы предположили, что решения уравнения тетраэдра можно будет найти, исследуя счётные серии решения уравнения Янга-Бакстера, и именно так. в ноябре 1991 г. в Австралии была найдена ^-цветная интегрируемая модель Бажанова-Бакстера. Точнее говоря, авторы серию двумерных моделей, для которых спиновая переменная принимает N" значений, где п — ранг соответствующей квантовой группы, проинтерпретировали как трёхмерную модель с п-слоями в одном из направлений. Произошла трансмутация ранга группы в дополнительное измерение!

Вскоре в Протвино было найдено соответствующее iV-цветное решение уравнения тетраэдра [4,5], которое в частном случае N = 2 сводится к решению Замолодчикова. Но это уже девяностые годы, а мы вернёмся к восьмидесятым. В работе [2] было получено решение уравнения тетраэдра с грассмановыми неременными на рёбрах.

Дальнейший прогресс был связан с работами Бакстера. В своей работе 1983 г. он переформулировал модель Замолодчикова, придав ей так называемую IRC-форму (Interaction Round a Cube) и, используя высокую симметрию модели, свёл проверку более чем тысячи уравнений к проверке двух тождеств, которые он и доказал с помощью формул сферической тригонометрии! В следующей работе Бакстер, используя калибровочные преобразования, преобразовал весовые функции модели Замолодчикова к замечательному ВСС-виду (Body Centered Cube), что позволило ему вычислить статистическую сумму модели. Позднее ВСС-форма оказалась очень полезной при конструировании новых интегрируемых моделей.

Здесь следует упомянуть цикл работ Бажанова и Строганова по модели свободных фермпонов [3]. Несмотря на то, что эта модель является двумерной н подробно исследовалась прежде, она привлекла внимание авторов совпадением унитарного фактора и кросспнг-симметрийных свойств одного из вариантов МСФ с унитарным фактором и кроссинг-симметрпйными свойствами модели Замолодчикова. Это позволяло надеяться вычислить статистическую сумму последней в предположении аналитичности. Хотя предположение об аналитичности оказалось неверным и основная цель этих работ не была достигнута, тем не менее авторам удалось найти неожиданную скрытую симметрию модели и работа включена в диссертацию.

Дальнейший прогресс в теории интегрируемых спиновых систем на кубической решётке оказался связан с одной необычной двумерной моделью — кпральной моделью Поттса (СРМ). Хорошо известно, что подавляющее большинство решений уравнения Янга-Бакстера параметризуется одним спектральным параметром согласно схеме

Rn(u)Ri3(v)R2i(v -и) = R23(V - U)RI3(V)RIÍ(U), (1)

и матричные элементы ií-матрпцы описываются эллиптическими,тригонометрическими или рациональными функциями этого параметра. Одним пз исключений является упомянутая выше модель свободных фермпонов [3].

В 1987 г. было найдено решение уравнения Янга-Бакстера (точнее, тесно связанного с ним уравнения Звезда-Треугольник), параметризуемое в терминах кривой рода д > 1.Эти решения соответствовали числу цветов N = 3,4 и вскоре (1988 г.), в работе Ау-Янг, Бакстера и Перка было найдено решение для произвольного числа цветов N. Соответствующая модель была названа киральной моделью Поттса.

Через год Бажанов и Строганов показали, что эта модель находится в тесном родстве с хорошо известной шестпвершинной моделью, и вывели функциональные уравнения, позволившие Бакстеру вычислить статистическую сумму модели. Существование СРМ оказалось тесно связанным с тем обстоятельством, что квантовая группа Uq{SL{2)) с квантовым параметром q = exp(2Í7r/iV) допускает циклические представления. Ещё через год, благодаря усилиям японских фпзпков-математпков и группы пз Протвино была сконструирована обобщенная кпрапъная модель Поттса (GCPM), связанная с циклическими представлениями квантовой группы

¿/?(£Дп +1)). Сппновая переменная для вСРМ принимает значений (см. предсказание, упомянутое выше).

Прошло меньше года и, как было сказано выше, в конце 1991 г. Ба-жанов и Бакстер проинтерпретировали серпю вСРМ-моделей как одну трёхмерную интегрируемую модель. Далее оказалось, что больиманов-ский вес модели симметричен по всем трём направлениям кубической решётки, несмотря на особое происхождение третьего направления [4]. Эта симметрия вместе с упомянутой выше ВСС-структурой веса позволила Бажанову и Бакстеру вычислить статистическую сумму модели. Заметим, что авторы не нуждались в построении решений уравнения тетраэдра, поскольку рассматривали свою модель как двумерную модель с составным весом. Решение уравнения тетраэдра, соответствующее модели Бажанова-Бакстера было предложено в работе [4] и доказано в работе [5]. При доказательстве были использованы ВСС-форма решения уравнения тетраэдра и две специальные системы алгебраических соотношений — так называемые соотношения Звезда-Квадрат и соотношения ортогональности.

Недавно были опубликованы два решения уравнения тетраэдра другого (вершинного) типа со спиновой переменной, принимающей два значения — решение Корепанова и решение Хпетарпнты. Параметризация этих решений напоминает параметризацию статического предела модели Замолодчикова. Нам удалось сконструировать полное решение уравнения тетраэдра вершинного типа для произвольного К, которое содержит решение Корепанова и решение Хпетарпнты как частные случаи. Оказалось, что после перестройки решётки эта вершинная модель сводится к модели Бажанова-Бакстера, тем не менее есть надежда на то, что вершинная форма решения окажется полезной, например, при построении Ь- операторов, двумерного аналога анзаца Бете и т.д. Замечательно то, что решение Хпетарпнты обобщается на произвольные значения N двумя различными способами, и одно из этих двух обобщений представляется новым.

Вновь вернёмся в 1980-й год. Решение Замолодчикова было параметризовано тригонометрическими функциями от углов тетраэдра. Однако в первой неопубликованной версии работы было предложено более общее статическое решение, параметризующееся эллиптическими функциями. Численная проверка, выполнена^ Бажановым, выявила любопытное обстоятельство. Выяснилось, что эллиптический анзатц Замолодчикова действительно удовлетворяет части уравнений, а что касается остальных уравнений, то каждое из них выполнялось лишь при условии смены

знака некоторых весов модели! Все попытки выбрать знаки так, чтобы выполнялись все уравнения, были тщетны.

Тринадцать лет спустя, Мангазееву и Строганову удалось показать, что можно фиксировать знаки эллиптического анзатца Замолодчпкова так, чтобы этот анзатц удовлетворял некоторой паре модифицированных (скрученных) уравнений тетраэдра [6]. В этой работе было показано, что решенпе такой пары модпфпрованных уравнений тетраэдра позволяет построить интегрируемую трёхмерную модель с коммутпрующпм семейством двухслойных матриц перехода. С помощью той же техники, которая была использована при построении решения уравнения тетраэдра для модели Бажанова-Бакстера, нам удалось обобщить двухцветное эллиптическое решение на произвольное число цветов N [7]. Дальнейшее мощное развитие эти идеи получили в работе Бооса, Мангазеева и Сергеева.

Первая глава посвящена рассмотрению двумерной модели свободных фермионов. В первом разделе данной главы показано, что для данной моделп имеет место параметризация вида

Я = -R(0i I 4>2,ФЗ), Я' = Д(<Ш2,Й), П" = П(Ф'1-Ф1\ФЗ,Ф'3). (2)

Трансфер-матрицы Т = Т(Я{ф\ | <?2, Фг))с одним и тем же фч образуют двухпараметрическое коммутирующее семейство. Во втором разделе показано, что параметры фъ и фз можно выбрать так, что статистическая сумма г{ф\ | ф?, Доказывается полностью симметричной и мероморфной функцией трех комплексных переменных, что является следствием некоторой скрытой симметрии модели.

И, наконец, в последнем разделе этой главы показано, что удельная статистическая сумма удовлетворяет так называемым "инверсионным соотношениям" (Строганов, Замолодчпков, Бакстер) по переменной ф\. Этн соотношения совместно со свойствами симметрии и аналитичности однозначно определяют статистическую сумму. По существу, те же самые соотношения возникают в моделп Замолодчпкова как условия унитарности и кроссинг-симметрии релятивистской факторпзованнон 5-матрицы в трехмерном пространстве-времени?

Таким образом, явное выражение для статистической суммы моделп свободных фермионов позволяет решить проблему унитарпзацип S-матрпцы Замолодчпкова п найти статистическую сумму соответствую-

'Это обстоятельство было замечено A.B. Замолодчнхоаым и В.А. Фатеевым

щей статистической модели в предположении, что она имеет те же аналитические свойства, что и в модели свободных фермпонов.

Со Второй главы начинается рассмотрение собственно трёхмерных моделей. Она содержит общие понятия, связанные с уравнением тетраэдра.

В первом разделе обсуждается понятие ^-инвариантности статистической суммы, приписываемой некоторой неоднородной статистической спиновой модели на трёхмерной нерегулярной решётке. Достаточным условием ^-инвариантности модели является некоторая система алгебраических соотношений для болъцмановских весов. Эти соотношения могут быть легко представлены графически равенством двух тетраэдров и, поэтому называются уравнениями тетраэдра или уравнениями Замолодчшсова, которому удалось найти первое нетривиальное решение этих уравнений. Хотя вывод уравнения тетраэдра с помощью ^-инвариантности представляется идейно довольно простым, мы сталкиваемся здесь с некоторой технической проблемой, которая сильно затрудняет изложение.

Более простой вывод уравнения тетраэдра как условия коммутации двух матриц перехода содержится во втором разделе этой главы. Основная идея заключается в том, что наша трёхмерная статистическая система может быть рассмотрена как двумерная система с составным весом, показанным на рис. 1. Подразумевается суммирование по всем спиновым переменным, принадлежащим внутренним рёбрам.

Щш.

_ 2

V

Рис. 1. Составной вес 71. Покалываем далее, что уравнение тетраэдра, имеющее вид

г?*1.*2.*э гУЛ*4*5 гУ'Ьн^е -ЫЧпЬк _

*6

Ер'"*з,*5,*« г/'^ЛУб тУ^и'^Л тоЛУзй

Л 1*5|*б <г>4*8Л »1*4*5ПМгЬ>

обеспечивает выполнение уравнения Янга-Бакстера для составного веса и тем самым обеспечивает перестановочность матриц перехода Т 11 Т'. И если семейство матриц R' для фиксированного R достаточно велико, то можно надеяться на точную интегрируемость соответствующей модели.

Раздел третий посвящен описанию различных верспй уравнения тетраэдра.

Хорошо известно, что в двумерном случае существует несколько различных верспй уравнения Янга-Бакстера, например вершинная версия или IRF-версия (Interaction Round Face). Аналогично этому можно предложить несколько вариантов уравнения тетраэдра. В модели, рассмотренной в предыдущем разделе, взаимодействие определялось шестью спинами, принадлежащими ребрам, присоединённым к одной вершине. Такой модели соответствует уравнение (3). Рассмотрим теперь модель, в которой спины по-прежнему размещаются на рёбрах кубической решётки, но взаимодействие теперь определяется двенадцатью спинами, принадлежащими элементарному кубу (см. рис. 2).

hhhl'l П^чк'г М'ВД hl'ik'2l>2 £ Siahkk's S'uhhl1; S'Tihuk^ ff" hWa = WW k2hj2q hkffi ¿3/3*3*3 Щчк'г

hhhk'i hhhk'i jihk'[l[ l\k'{ixk\ = £ 5'" hhUk'l S" nhk'{l\ S' 1',к'1чк'4 S k'3%j3l'3 . (4) WWi j3l3k3l'> 1''к3Щ k'ihj2l'2

Если мы перейдём теперь к дуальной решётке С*, т.е. к решётке с вершинами, размещёнными в центрах элементарных кубов решётки С, то получки модель со спиновыми переменными на гранях. Модель Замолодчикова, больцмановские веса которой представили первое решение УТ, является моделью такого типа.

«1*1.71*1 <Ь «з£з.7з*з hhhk2

h '

Рис. 2. S-вес.

Уравнение тетраэдра для этого варианта моделей имеет вид

Третий вариант УТ возникает в моделях со спинами, размещёнными в узлах кубической решётки, причём взаимодействие определяется восемью спинами, принадлежащими элементарному кубу (см. рис.3). Такие модели принято называть IRC-моделямп (Interaction Round Cube).

= W(a\e, f,g\b,c,d\h)

Рис. 3. W-вее.

Соответствующая версия УТ имеет вид

£ W(a4k2,ci,c3|6i, 63j 02|^)И^,(с1|Ь2, a3,6ijc4,d,c6|b4) x d

x W"{bi\d, c4, c3|a2, b3, h\c5)W"'(d\b2, bA, Ь3|с5, c6|ai) =

_ Yy^"\bï\ci,ci,c3\a2,ai,az\d)w\ci\b2,aî,ai\d,c2,c6\ai) x d

x W(04|c2,i,c3|a2,b3,ai|c5)nr(d|0i,a3,a2|c4,c5,c6|64)- (5)

Иногда бывает удобно перейти от одной версии УТ к другой. Taie, например, переписав модель Замолодчикова в W-впде, Бакстер доказал выполнение УТ п вычислил статистическую сумму модели. В работе Хиета-ринты читатель может найти детальное обсуждение случаев, когда один вариант УТ сводится к другому.

Далее мы будем называть эти три типа уравнений тетраэдра (3, 4, 5) и соответствующие три типа больцмановских весов — как R-, S- и ТУ-типы.

В четвёртом разделе коротко обсуждаются симметрии уравнения тетраэдра.

И, наконец, в последнем разделе второй главы говорится о возможном обобщении УТ на пространства большей размерности - уравнения d-симплексов. В работе [1] помимо рассмотрения различных версий уравнения тетраэдра было предложено также обобщение на решётки произвольной размерности d. Чтобы не загромождать изложение, ограничимся случаем d = 4 и приведём получившееся уравнение 4-спмплекса без вывода. Для модели вершинного типа уравнение может быть записано в операторной форме:

/ п _//// /((/ Ш II I .

где оператор В.аЬсА действует в прямом произведении четырёх пространств а®Ь®с<%)<1 и т.д.

Третья глава содержит фрагменты работы по модели с грассма-новымп переменными на кубической решётке. Кратхсо обсуждаются использованные нами подходы к вычислению статистической суммы модели Замолодчикова. Соответствующая идеология уже была описана в главе 1.

Глава четвёртая полностью посвящена результатам изучения трёхмерной модели Бажанова-Бакстера (ВВ-модель). В первом разделе главы мы даём формулировку ВВ-модели и показываем, что модель инвариантна под действием группы симметрпй куба. Трехмерные соотношения Звезда-Звезда, предложенные Бажановым и Бакстером в качестве условий локальной интегрируемости, соответствуют специальному преобразованию из этой группы.

Раздел второй содержит прямое доказательство соотношений Звезда-Звезда, которое, как мы надеемся, позволит обобщить ВВ-модель на произвольные значения параметра q.

В последнем разделе мы предлагаем параметризацию инвариантных больцмановскнх весов модели в терминах двугранных углов произвольного сферического треугольника и доказываем, что параметризованные таким образом весовые функции удовлетворяют уравнениям тетраэдра. Доказательство использует весьма эффективную математическую технику, являющуюся распространением техники базисных гипергеометрических рядов на особый случаи, когда база д является корнем из единицы. Согласно принятой нами терминологии, это модель ТУ-типа. В завершение этого раздела сделано предположение о возможности серьезного рассмотрения модели Бакстера-Бажанова с бесконечным числом спиновых переменных и с дополнительным свободным параметром и, так как нами было показано формальное выполнение трехмерных соотношений Звезда-Звезда в этом случае ?

Основная проблема — это, конечно, сходимость бесконечных сумм. К несчастью, области сходимости двух сторон соотношений Звезда-Звезда различны, т.е. для < 1 и соответствующего выбора других непрерывных параметров левая часть сходится при одних значениях индексов,

23аметкм, что в этом случае существует физическая область параметров модели, где все болышановские веса положительны

тогда как правая часть — при других. С другой стороны, мы можем ив терпретировать эти соотношения, как два различных разложения одной ; той же функции, определенной для всех значений индекса п. Конечно, со отношения Звезда-Звезда в этом случае удовлетворяются по определен!» и, следовательно, не несут информации о коммутативности трансфер матриц в обычном смысле. Тем не менее мы полагаем, что возможност; такой интерпретации соотношений Звезда-Звезда может привести к но вым понятиям интегрируемости статистических систем.

В последнем разделе доказана справедливость уравнений тетраэдр; для больцмановских весов модели Бакстера-Бажанова при специально:» выборе параметров. Хотя трёхмерные соотношения Звезда-Звезда выгля дхт проще и тоже являются локальными условиями интегрируемости, ин тересно построить решение УТ для ВВ-моделп, например для того, чтобь получить новую релятивистскую 5-матрняу в пространстве-времени 2+1 Заметим, что единственный известный пример — 5-матрица Замолодчи кова является частным случаем нашей конструкции для N = 2.

Наш метод доказательства существенно отличен от метода, использованного Бакстером в его работе при доказательстве решения Замолодчи-кова.

Соотношения "ортогональности" п соотношения Звезда-Квадрат выглядят значительно проще, чем уравнение тетраэдра. Вероятно, что новые решения этих соотношений помогут нам в поисках новых решений уравнений тетраэдра.

В Главе пятой и последней изложена идеология использования пары модифицированных уравнений тетраэдра для построения интегрируемых моделей. Приведено и доказано решение этой пары для специального случая N —- 2, а затем показано, как это решение обобщается на случай произвольного числа цветов N.

Рассмотрим модель И^-типа с весовой функцией \¥(а\е{д\Ьс<1\к; £>2, где три спектральных параметра удовлетворяют соотношению

01 + <?2 + дг = я-. (7)

Все еппны принимают значения 0, 1, п все вычисления со спиновыми переменными проводятся по модулю 2. Определим следующие комбинации спинов а,е,/,<7,Ь,с,с£,/1:

31 — а + Ь + е-Ъ/г, = а + с + / +/г, ¿3 = а + <1 + д + к,

т! = е + /г, т2 = / + к, т3 = #-)-/г, (8)

Ii далее

h = h + h. h = ji + js, h - ji + h- (9)

Определим весовую функцию W формулой

W(a\e, /, g\b, c, d|A; вив2, в3) = (-ЦЫА&тм^^Я^м (10)

где использованы следующие обозначения:

MW

* = [sn(-^

C; =

¿¡c'lc'j

1 = 1,2,3,

5га, сп, с1п — эллиптические функции модуля к, К — полный эллиптический интеграл 1-го рода.

Рассмотрим следующее уравнение:

в.

хИ^(6з|с4с2^|Ь1Мз|с5;^1 + 02,0з)Щ<*|М>1б2|сзсбс5|а4;02,03) =

= Аь^И^а^сзСз^сцаз^;^,^ + 93)х

л

хЩс^ага^г^зСб^а^,^ + <9з)ИЛ(6з|с4с2с1|а1а2а3|^; (12)

Мы показываем в пятой главе, что функция IV, определяемая уравнениями (10)(11), удовлетворяет модифицированному уравнению тетраэдра (12) с

W{a\е, f,g\b,с,d\h;6ив2) = W(h\b,с, d\e, f,g|в; вив2).

(13)

Выполнено также другое уравнение, где функции и ТУ поменяны местами. Показано, то это ведёт к интегрируемости модели "шахматного" типа с больцмановским весом, изображённым на рис. 4.

Рис. 4. Составной вес.

В Заключении кратко перечислены результаты диссертации и дальнейшие перспективы этого направления.

Список литературы

[1] Бажанов В.В., Строганов Ю.Г., Условия перестановочности матриц перехода на многомерных рештках // Теор. Мат. Физ. 1982. т. 52. №1. стр. 105-113.

[2] Bazhanov V.V., Stroganov Yu.G., Free fermion on a three-dimensional lattice and tetrahedron equations // Nucl. Phys. 1984. v. B230. N£4. p. 435-454.

[3] Бажанов B.B., Строганов Ю.Г., Скрытая симметрия модели свободных фермионов. I. Уравнения треугольника и симметричная параметризация, II. Статистическая сумма, III. Инверсионные соотношения. Ц Теор. Мат. Физ. 1985. т. 62. №¡3. стр. 377-387; т. 63. N¡>2. стр. 291-302; т. 63. №¡3. стр. 417-427.

[4] Kashaev R.M., Mangazeev V.V., Stroganov Yu.G., Spacial symmetry, local integrability and tetrahedron equations in the Bazhanov-Baxter model. 11 Int. J. Mod. Phys. 1993. v. A8. №3. p. 587-601.

[5] Kashaev R.M., Mangazeev V.V., Stroganov Yu.G., Star - Square and tetrahedron equations in the Bazhanov-Baxter model. // Int. J. Mod. Phys. 1993. v. A8. N28. p. 1399-1409.

[6] Mangazeev V.V., Stroganov Yu.G., Elliptic solution for modified tetrahedron equations. // Mod. Phys. Lett. 1993. v. A8. №36. p. 34753482.

[7] Mangazeev V.V., Sergeev S.M., Stroganov Yu.G., New series of 3D lattice integrable models. // Int. J. Mod. Phys. 1994. v. A9. p. 5517.

Рукопись поступила б марта 1995 года.