Усовершенствованный моментный метод решения кинетического уравнения и его приложение к задачам теплопереноса в молекулярных газах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИИ4609331

На правах рукописи

Тюлькина Елена Юрьевна

УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МОМЕНТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В МОЛЕКУЛЯРНЫХ ГАЗАХ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 о сен 7ею

Москва 2010

004609331

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и математического моделирования Орловского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Савков Сергей Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецов Михаил Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент Алехин Евгений Иванович

Ведущая организация: Ярославский государственный университет

им. П. Г. Демидова

Защита диссертации состоится " 14 " октября 2010 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан "¿6" сентября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.- мат. наук, доцент

Барабанова Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Описание процесса теплопереноса остается одной из фундаментальных проблем кинетической теории газов. Изучение указанного явления представляет интерес, как с теоретической точки зрения, так и в плане практического приложения. Анализ распределения температуры и плотности газа необходим, к примеру, при исследовании теплофизических свойств вещества, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании оборудования и т.п. Данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого тела, могут быть использованы для определения характера взаимодействия молекул газа с его поверхностью. Интенсивные космические исследования, совершенствование авиационной и ракетно-космической техники вызвало повышенный интерес к проблеме механики разреженного газа, в частности, к более глубокому исследованию законов тепло-массообмена при больших степенях разрежения газа. Изучение теплопереноса в разреженных газах требуют также многие отрасли современной промышленности - электронная, радиотехническая, атомная, оптическая, металлургическая и др.

Определяющую роль при теоретическом описании указанного явления играет число Кнудсена Кп = Я/Ь, здесь Я - средняя длина свободного пробега молекул газа, Ь — характерный размер задачи. При Ь » Я состояние газа определяется уравнениями динамики сплошной среды, для решения которых разработан широкий арсенал аналитических и численных методов. В случае, когда средняя длина свободного пробега молекул газа сравнима или больше характерной длины, фигурирующей в задаче, необходим учет дискретности строения газа, что требует рассмотрения кинетического уравнения.

Впервые математически корректный способ решения этого уравнения в приложении к задачам теплопереноса был предложен Лизом [1]. Основу данного метода составляет идея о сведении кинетического уравнения к системе уравнений переноса, для замыкания которой Лиз использовал двухстороннюю (четы-рехмоментную) функцию распределения. Такой алгоритм позволяет удовлетворить всем необходимым законам сохранения при использовании в функции распределения минимального числа моментов и делает возможным решение задачи в аналитической форме. Однако стандартный подход к реализации этого метода дает заниженное значение коэффициента скачка температуры. Другим принципиальным недостатком метода Лиза является произвол в выборе моментов функции распределения с одной стороны и составлении системы момент-ных уравнений - с другой. Можно показать, что использование различных наборов функций скорости может приводить к разным, а иногда и просто бессмысленным результатам. Более последовательным в данном отношении следует признать использование одного и того же набора разрывных функций скорости для составления функции распределения и моментных уравнений, как в методе полупространственных моментов [2].

В настоящее время для решения рассматриваемого класса задач также используется вариационный принцип, метод квадратур, непосредственное чис-

ленное интегрирование и прямое моделирование. Недостатком перечисленных методов является отсутствие объективного критерия точности получаемых результатов.

Необходимо отметить, что многие авторы ограничиваются рассмотрением атомарных газов, тогда как большинство реальных экспериментов проводится в молекулярных газах, что требует учета внутренних степеней свободы.

Указанные обстоятельства определяют актуальность разработки иного подхода к решению кинетического уравнения, применимого к молекулярным газам и наиболее оптимального с точки зрения точности и вычислительных затрат.

В представленной диссертации развивается аналог метода полупространственных моментов. Критерием точности является сходимость результатов при последовательном увеличении числа моментов, удерживаемых в функции распределения, а также возможность вычисления коэффициента скачка температуры и сравнение его с точным значением.

Следует заметить, что определение коэффициента скачка температуры (задача Смолуховского) представляет самостоятельный интерес. В настоящее время эта задача достаточно детально исследована для одноатомных газов. В приложении к молекулярным газам аналитическое решение получено только для модельного кинетического уравнения релаксационного типа [3].

Дополнительно следует отметить и тот факт, что все численные расчеты проводятся для конкретных значений коэффициентов аккомодации энергии, что затрудняет сравнение с экспериментом. Поэтому особую актуальность представляет определение аналитических выражений, которые задают зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии.

Целью работы является разработка метода решения кинетического уравнения, обеспечивающего необходимую точность вычислений, и его приложение к теоретическому описанию процесса теплопереноса в молекулярных газах во всем диапазоне значений числа Кнудсена.

Научная новизна работы.

1. Развит метод решения кинетического уравнения в приложении к задачам вычисления потока тепла в молекулярном газе для случая плоской, сферической и аксиальной геометрии.

2. Предложен алгоритм построения функции распределения, позволяющий получить необходимую точность результатов.

3. Для задач теплопереноса между параллельными пластинами и от одиночной сферы получены общие (не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость потока тепла молекулярного газа от коэффициентов аккомодации энергии.

4. Впервые из решения уравнения Ван Чанга - Уленбека с интегралом столкновений в форме Хансона - Морзе получены значения коэффициентов скачка температуры для конкретных молекулярных газов.

Достоверность результатов определяется корректностью постановки и решения рассматриваемых задач. Все аналитические выкладки проведены в па-

кете Maple с использованием тщательно выверенных и протестированных процедур. При численных расчетах использованы стандартные вычислительные алгоритмы с контролем точности. Полученные результаты согласуются между собой, а также с экспериментальными и теоретическими данными других авторов.

Практическая значимость.

Предложенный алгоритм решения кинетического уравнения может быть использован для решения других задач физической кинетики, в частности при описании состояния электронов в твердых телах и плазме, изучении переноса нейтронов в ядерных реакторах, фононов в сверхтекучих жидкостях и т.п.

Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при обработке экспериментальных данных по измерению потока тепла от нагретого тела и определении коэффициентов аккомодации энергии.

Полученные в диссертации значения коэффициентов скачка температуры для конкретных газов могут быть использованы при теоретическом изучении явления термофореза, обтекания нагретого тела разреженным газом, процессов тепломассопереноса и т.п.

Положения, выносимые на защиту:

метод решения кинетического уравнения, позволяющий получить необходимую точность результатов;

результаты решения кинетического уравнения в задачах теплопере-носа в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях молекулярного газа во всем диапазоне числа Кнудсена;

- соотношения, определяющие зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии;

- значения коэффициента скачка температуры для конкретных молекулярных газов.

Апробация работы.

Результаты диссертации представлялись на IX Международной научно-практической молодежной конференции "Человек и космос. 50-летие космической эры". (Украина, Днепропетровск, 2007 г.); X, XI Международных молодежных научно-практических конференциях "Человек и космос" (Украина, Днепропетровск, 2008, 2009 гг.); 14 и 15 Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 14, 15), (Уфа, 2008, 2009); Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008); Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений, посвященной 70-летию В.А. Садовничего" (Москва, 2009). А также докладывались и обсуждались на заседаниях и на научных семинарах кафедры "Теоретической физики и математического моделирования" Орловского государственного университета, кафедре "Высшей математики" Орловского государственного технического университета и кафедре "Теоретической физики" Московского государственного областного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, включающих 9 статей в научных журналах и сборниках научных работ, 6 тезисов докладов на научных конференциях как всероссийского, так и международного уровня; в

том числе работ, опубликованных в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК РФ, - 3.

Личный вклад автора в публикациях состоит в следующем: выполнены теоретические исследования, проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных, предложена интерпретация полученных результатов, подготовлен материал для публикации в открытой печати и на конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 127 наименований и приложений. Содержит 26 рисунков и 4 таблицы. Объем работы составляет 104 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность, сформулированы цель и защищаемые положения, раскрыто научное и практическое значение работы, представлены положения, выносимые на защиту, результаты апробации и публикации по теме диссертации, проведен обзор литературы по теме диссертационного исследования.

Первая глава диссертации посвящена рассмотрению процесса теплопе-реноса между параллельными пластинами.

В первом параграфе на примере атомарного газа отрабатывается методика решения кинетического уравнения.

Рассматривается слой газа толщиной с!, заключенный между двумя неподвижными пластинами, на поверхности которых поддерживается постоянная температура т] > г/. Полагается, что перепад Д Т5 = 7',1 - Г/ достаточно мал для того, чтобы ограничиться линейным приближением.

Состояние газа описывается уравнением

Здесь V - вектор собственной (тепловой) скорости молекул газа, г - радиус-вектор рассматриваемой точки пространства, Jsl— интегральный оператор столкновений, / - функция распределения.

В силу линейности поставленной задачи, решение уравнения (1) может быть представлено в виде

/ = /о(1 + ?>). (2)

( л3/2 т

где /0=„0 ——-\2лкТ0 )

ср - поправка, определяемая из решения соответствующего (1) линеаризованного уравнения:

= (3)

02

Здесь С = У^т/2кТ0 - безразмерное значение скорости поступательного движения молекул газа, / - линеаризованный оператор столкновений.

ехр(-С2) — равновесная функция распределения,

Здесь С = У^т/2кТй - безразмерное значение скорости поступательного движения молекул газа, / - линеаризованный оператор столкновений.

Конкретные расчеты проведены для БГК-модели:

з

1=1

М,- = л-"3/2 ехр( -С2)с13С , Р{=\, Р2 = у[2/з{с2 - 3/2) Р3=^2Сг. За единицу длины выбрана величина

2 К /о

Х = (5)

5 + 2 п0к

/ к/г- коэффициенты температуро- и теплопроводности, Г0 и щ - некоторые, принятые за равновесные, значения температуры и концентрации молекул газа, к — постоянная Больцмана, т и б - масса и число степеней свободы молекул газа.

В качестве граничных условий принят закон чисто диффузного отражения молекул газа от поверхности каждой из пластин.

Ч-1)*Сг<0,г=(-1/ ¿4 =фг' к=1>2>

к Ал* („г З^АГ/ к к к л

Г=-Г- + \Г.---г— Ли = п — АТ = Т

с- -ч А, ат;=Т;-Т0. «о V 2; г0

Значения и г/ определяются требованием отсутствия массового движения газа и характером аккомодации энергии

Е* - Е*

Е? - Е?

Е\, Е* — обезразмеренные значения энергии, соответствующие приносимой падающими и уносимой отразившимися от поверхности ¿-той пластины молекулами; Е* — энергия, которую уносили бы молекулы, если бы отражались с температурой г/.

Из (3) — (4) следует, что структура решения должна определяться соотношением (р = /2(г,Сг)С2. Функции /,, /2 могут быть разложены в ряд по любой полной системе ортогональных полиномов, при этом необходимо учитывать разрывный характер функции распределения на поверхности каждой из пластин. Сказанное позволяет представить искомую функцию в виде:

<р = (р+Н{С1) + <р-Н{-С-_), (6)

^ = + а1к{г)С2)ск1, (7)

к=0

Н(х) = (¡х) + х)/2х - стандартная функция Хевисайда.

Коэффициенты а*к (г) определяются из системы однородных дифференциальных уравнений, для составления которой кинетическое уравнение (3) следует последовательно умножить на входящие в (6) - (7) моменты и проинтегрировать по всему пространству скоростей.

Искомый поток тепла задается выражением

1

2 к3Т03

т

■е>

(В)

где

Здесь Q - величина потока тепла, приходящегося на единицу относительной разности температур, которую условимся называть приведенным потоком тепла.

На рисунках 1а) и 16) представлены результаты расчетов в случае а]=а2= 1 и а, =а2 =0.826 соответственно. Там же приведены экспериментальные данные [4].

2* ------------ ,

а)

б)

Рис. 1. Зависимость приведенного потока тепла от расстояния между пластинами. Линия 1 соответствует N = 1; 2 - N = 10 (при N = 2- 9 кривые практически сливаются с линией 2); 3 - результаты стандартного метода Лиза; • - экспериментальные данные для аргона [4].

В режиме, близком к газодинамическому и условии полной аккомодации

энергии, поток тепла можно представить в виде

1

4сИ + 2КпС( Г0

Здесь С, - коэффициент скачка температуры, Кп = Х/с1, средняя длина свободного пробега определена соотношением:

Л = 1-1я/Ъ. (9)

Изложенный подход к решению кинетического уравнения дает С,= 2.2193, 2.2076, 2.2057 и 2.2049 при N = 1, 2, 3 и 10 соответственно. Таким образом, при

N = 1 отличие коэффициента скачка температуры от точного значения 2.2049 [5] составляет порядка 0.7%, в случае N = 2 - 0.2%, N = 3 - менее 0.04%, а при // = 10 совпадает с результатами аналитического решения с точностью до приведенных в указанной работе числа цифр. Стандартный метод Лиза для данной модели кинетического уравнения дает заниженное (более чем на 14%) значение С, = 1.875.

Анализ представленных в диссертации результатов показывает, что зависимость величины потока тепла от числа удерживаемых в функции распределения моментов носит аналогичный характер во всем диапазоне значений расстояния между пластинами. Данное обстоятельство позволяет утверждать, что указанная точность сохраняется при любом числе Кнудсена.

Во втором параграфе рассматривается слой двухатомного газа. Состояние газа описывается уравнением, совпадающим по форме с (1), в интегральной части которого в дополнение к поступательным следует учесть и вращательные степени свободы. Решение этого уравнения также можно представить в виде (2), где в качестве равновесной функции принята

Г Л 3/2

/о="с

ч2тЛГ0У

Т~Гехр(~ С2 - у2},

кТ0

у = а>^/2кТ0 - безразмерное значение скорости вращательного движения молекул газа, со - собственная (тепловая) скорость вращательного движения молекул газа, 3-момент инерции молекул.

Конкретные расчеты проведены для модельного интеграла столкновений релаксационного типа [3]:

Ш= (10)

1=1

где Мг ¡Р&е-^-^уауа 3С , Рх =1, Р2 = Мс2 ], Р3 Сх.

л"- - 2,

Рассмотрение этой модели представляет интерес в плане возможности сравнения значения коэффициента скачка температуры с известным аналитическим решением [3].

За единицу длины выбрана величина (5). В качестве граничных условий принят закон чисто диффузного отражения молекул газа от поверхности каждой из пластин:

=^1 + (С2 + (11) Щ \ V Т0 и ' Т0

2"/ ил' - температура и концентрация молекул газа, отразившихся от поверхности &-той пластины. Значения пкг, ГД, и определяются требованием отсутствия массового движения газа и характером аккомодации энергии

рк _ р4 гк - рк

к ду,< к (п)

У рк _ рк ' а рк -Рк ' и ;

и Еу,г>Еа>,г~ обезразмеренные значения энергии поступательного и вращательного движения соответственно, приносимой падающими и уносимой

/Г* .

гк

отразившимися от поверхности ¿-той пластины молекулами; £ * 5, £ * г- энер-

гия, которую уносили бы молекулы, если бы отражались с температурой Т* Поток тепла между пластинами задается выражением

я--

где

= (п)

: ¡СгС2 <ре~с2 -г* Г ¿уйъС, в* =-^2 <?е~С2 ^Г3 *Г<

..1,2

В случае, когда обе пластины выполнены из одного материала (а„' = ау и а¿2 = аа), получено аналитическое выражение, задающее зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии

е^ + е^К + Ь^ + е^К. (щ

_ Д,„ АТ0

Т" ~ у, > "

'о

А Тп щ Д Г«

Ду = (1 - а„) + аю)- 0 - а„),

дш = аш(2^(1 - а,) + ау) - I1 ~ а»).

Д = (2л/?е;(1 - а,)+ ягД4^02(1 - а„) + )- (1 - аД1 - ).

Здесь бу и б® _ значения потоков энергии поступательного и вращательного движения молекул газа у поверхности первой пластины, вычисленные при т„= 1, тю = 0, (2® и б® - при т„ = 0, тш = 1.

Соотношения (14) являются общими и не зависят от формы кинетического уравнения и способа его решения.

Для определения входящих в (14) параметров необходимо решать уравнение (3). Его решение также можно представить в виде (6), где

к=0

Коэффициенты а[к(г) определяются из системы моментных уравнений, процесс составления которой описан выше.

В третьем параграфе рассматривается уравнение Ван Чанга - Уленбека [6]

<дА

дг

Здесь ^ - функция распределения для молекул, находящихся в состоянии с энергией

С учетом линейности поставленной задачи, решение (15) может быть представлено в виде:

//=//° (1 + Р/). (16)

где

гО

// = «о

/ ЛЗ/2

т

2пк%

^-ехр(-С2 -8/)

о;

0

(17)

- равновесная функция распределения, е1 =Е1/кТ0, 0 = У ехр(-£/).

Поправка д>1 определяется из соответствующего (15) линеаризованного уравнения

Л/71.

(18)

ог

В качестве интеграла столкновений принята модель Хансона - Морзе [7]:

б

т=1

2 (, 2 в) 2 2 1 Г, П

Здесь: щ=Ри „,3 =-ра

= 1Ф'Р<" ехр(~ С2 ~ >

Л

р,=1,р2=С2-|, Рз = е,-С, р4 = СгГс2-||, р5 = С2(е/-С), р6 = С2,

10Р/(9г) + 2/3 (4/9 + 5 С/(92))С + 5(?/(18г2) (3/2 + (4/9 + 5С/(9г)Хз/2 + б)/^ - 5/3

ш/ '

6=-

к 0

с"" - теплоемкость внутренних степеней свободы, приходящуюся на одну молекулу газа, 2- параметр, определяющий отношение времени релаксации внутренней энергии молекул к среднему времени между их столкновениями, /•/ - фактор Эйкена.

За единицу длины выбрана величина

2 77 I 2 2( 5 + 26 ^

I =-

3 п0 "у /и^д 3

^(3 + 26)

(20)

В качестве граничных условий принят закон чисто диффузного отражения молекул газа от поверхности каждой из пластин, что эквивалентно

ф = ^ + щ

|(21)

Значения п', и г определяются требованием отсутствия массового движения газа и характером аккомодации энергии

рк _ рк рк _ грк

к _ п1г,г к _ дт<,< ш,г

Искомый поток тепла может быть представлен в виде

и

а, - ехр(-с2 - £УС'

вы = ^щТ ¡Сг£1 <Р1 ехр(- - £' Ус ■

В случае, когда обе пластины выполнены из одного материала («¿2=а(/. и ам =аш)> получено аналитическое выражение, задающее зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии

в = Ы+<2Гп,К+№ (23)

где

1Г А Т0 ' А Г0 '

Д,, = а1г(1 - аш) + аш ) - 2(1 - ) ,

= ССМ (г^е;; (1 -а1г) + а,г) - ^ б^а* (1 - аш),

А=(2(1 - а,,)+^л/^ей? (1 - ««)+] -1 0 - X1 -) ■

Под (¿¡г и понимаются значения () ¡г п <2т, вычисленные при т(/. =1,

т,„ = о, а е;;' и -при т,г = о, т/и, = 1.

Для определения входящих в (23) параметров необходимо решать уравнение (18). По аналогии с предыдущими параграфами решение представим в виде

N , \

<р1 =<р?Н{С;) + <р;Н{-Сг), (Р1 = + а2,кс1 + аХке1)Сг (24)

к=0

Коэффициенты определяются из системы дифференциальных уравнений,

для составления которой кинетическое уравнение (18) необходимо последовательно умножить на все входящие в (24) моменты, просуммировать по всем I и проинтегрировать по пространству скоростей.

Четвертый параграф посвящен обсуждению результатов и сравнению с экспериментом.

Результаты расчетов в случае полной аккомодации энергии представлены на рисунках 2 и 3. На рисунке 3 также приведены результаты квадратурного метода, используемого в работе [9].

Рис. 2. Зависимость приведенного потока тепла от расстояния между пластинами. Линии 1 и 2 соответствуют результатам решения релаксационного кинетического уравнения усовершенствованным моментным методом при N = 1 и 5 соответственно, 3 - стандартному методу Лиза. Для N = 2, 3 и 4 кривые почти полностью сливаются с линией 2;

Рис. 3. Значения приведенного потока тепла в слое азота при а, = а2 = 1. Линия 1 соответствует решению кинетического уравнения в форме Хансона-Морзе моментным методом при N = 5; 2 - результаты квадратурного метода

[9].

Как видно из рисунка 3, а также из приведенных в диссертации данных, в свободномолекулярном режиме результаты квадратурного и рассматриваемого методов совпадают. В случае й <1 отличие составляет порядка 1%. С ростом расстояния между пластинами погрешность квадратурного метода увеличивается, достигая 12% при ¿/ = 40. Очевидно, что в континуальном режиме можно говорить лишь о качественном характере результатов [9].

На рисунке 4 приведены результаты расчетов при различных коэффициентах аккомодации, соответствующим условиям эксперимента [4].

Рис. 4. Зависимость приведенного потока тепла от параметра 6 а 1 .

19 2 - а Кп

Кривая 1 соответствует результатам решения уравнения в форме Хансона-Морзе в слое азота при а]г = а}г = а]п, = = 0.76, 2 - результатам решения релаксационного уравнения при тех же значениях коэффициентов аккомодации, 3 - результатам решения уравнения в форме Хансона-Морзе в слое воздуха при а)г = а?г = а}„, = а?п1 = 0.95; + - экспериментальные данные Теагана и Спрингера [4].

В режиме, близком к газодинамическому, и условии полной аккомодации энергии, как и в случае атомарного газа, поток тепла может быть представлен в

п 1 1 АГ* виде £> =---- - для кинетического уравнения релаксационного

4а? 1 + 2 КпС1 Т0

_ 3 (3 + 2СГ)^ ДТ5

типа и {¿ =---- для модели Хансона - Морзе. Зависимость

8(1 + 2КпС, )с! Т0

рассчитанных значений коэффициента скачка температуры от числа моментов, удерживаемых в функции распределения, представлена в таблице 1.

Таким образом, отличие коэффициента скачка температуры, полученного при решении кинетического уравнения релаксационного типа от точного значения 2.0579 [3] составляет порядка 0.6%, 0.2% и 0.009% при N = 1, 2 и 5 соответственно. Анализ представленных в диссертации результатов показывает, что

как и в случае атомарного газа, указанная точность сохраняется во всем диапазоне значений числа Кнудсена.

___Таблица 1.

N модель релаксационного типа модель Хансона - Морзе

М2 С02 БОг Воздух

1 2.0701 2.0633 2.0864 1.9344 2.0601

2 2.0602 2.0536 2.0772 1.9264 2.0506

3 2.0586 2.0520 2.0757 1.9250 2.0490

4 2.0582 2.0515 2.0753 1.9247 2.0486

5 2.0581 2.0514 2.0751 1.9245 2.0484

Из таблицы и графиков следует, что использование интеграла столкновений релаксационного типа (10) и в форме Хансона - Морзе (18) для описания двухатомных газов дает фактически совпадающие результаты. В частности, в случае азота различие между значениями коэффициента скачка температуры, полученными при различных моделях, не превышает 0.4%, что оправдывает возможность использования аналога БГК-модели для описания данного класса явлений.

Вторая глава диссертации посвящена изучению процесса теплопереноса в сферическом слое газа.

В первом параграфе рассматривается двухатомный газ, заключенный между концентрическими сферами с радиусами /?, < Я2, на поверхности которых

1 2

поддерживается постоянная температура >Т!! .

Введем сферическую систему координат, начало которой свяжем с центром сфер. Состояние газа определяется уравнением:

= (25)

дг г оСг т^ Сг - проекция вектора С на направление г.

Искомый поток тепла может быть представлен в виде

«ад

V т г

где 2 = -^-|сг(с2 +^2)ехр(-С2 -у2\р\г=^ уЛус13С -обезразмеренный поток

тепла с единицы поверхности внутренней сферы.

Учитывая разрывный характер функции распределения на поверхности каждой из сфер и тот факт, что с любой точкой в объеме газа связаны три инвариантных конуса в пространстве скоростей, границы которых молекулы пересекают только за счет столкновений между собой, решение уравнения (25) представим в виде

Здесь Я,=Я(Сг-цС), Н2=Н(Сг)-Ни Я3 = Н(-Сг) - Я4, Я4=Я(-С,-цС), Ц = Л/1"«12А2.

/1=1

= + 4С2 + а^2 + + а^С2 + а^С^2, =а^С4 +^СГ2 +а[0С2С2 +а|,С2г2,

3,^2 2

1,3 .

а,'2с; + а|зс;с2 + а,'4СгУ + а|5С;С4 + а[6С}СУ и т. д.

Функции ср' (первое приближение) содержат моменты, входящие в распределение Чепмена - Энскога, что обеспечивает переход решения в газодинамический режим. В <р1'2, ф'3 и т.д. учтены моменты, которые получаются при подстановке предыдущего приближения в левую часть кинетического уравнения.

Во втором параграфе рассматривается уравнение Ван Чанга - Уленбека, которое в силу сферической симметрии задачи примет вид:

с з<р, | С2-с? дер г дг г дС,

ш=I

Решение (28) как и в случае двухатомного газа определяется выражением

4 4 ( N \

¿=1 /=1 и=1 )

(Р? =а\ + а2С2 + я3£> +а'4Сг +а'5С,.С2 +а'6Сге,, (р'^ — а'7С4 +4С2£1 +а[,С2 +а']0С2С2 +а\]С2е1, ср\'ъ = а[2С3г + а\ъс1с2 + а'14С?е, + а[5С?С4 + а[6СггС2е1 и т. д. Искомый поток тепла может быть представлен в виде (26), где

б=в<г+апг,

(28)

(29)

г**?*

С„С2<

.-с-

1г=Л,

V

с,

<Рс.

Для случая уединенной сферы, что эквивалентно Я2 со, получено аналитическое выражение, задающее зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии, которое совпадает по форме с (23), где

Д,г = а1г (1 - аш) + Саш)- а ш (1 -а1г)С,

Ьы = аш (в^хООгЬ ~а1г)+ «„<?)- (1 - аш),

А = 2я{$Ж, «Л1 -«/»/)- (30)

- 2л-а^'(1 - )- аш(1 - а,,)- а1г)С. Следует заметить, что при С = 1 соотношения (30) совпадают с приведенными в диссертации [8] выражениями для случая двухатомного газа. Третий параграф посвящен обсуждению результатов. На рисунке 5 представлена зависимость приведенного потока тепла, вычисленного для модели релаксационного типа, от радиуса внутренней сферы для различного числа моментов, удерживаемых в функции распределения.

На рисунке 6 приведены значения отношения Q|Qgd , рассчитанные при

Я2 /•/?! -> оо, N = 3 и условии полной аккомодации энергии для модели Хансона

Морзе. Здесь Q л =

_3(3 + 2б)^ Д7;

87?, Т0

величина потока тепла, полученного в

газодинамическом пределе. Там же приведены экспериментальные данные.

а

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 5. Значения О*, вычисленные при условии полной аккомодации энергии для различного числа моментов, удерживаемых в функции распределения для кинетического уравнения релаксационного типа. Линия 1 соответствует N = 1; 2 - N = 2. В случае N >2 графики сливаются с кривыми 2. Линия 3 - результаты метода Лиза.

Рис. 6. Зависимость отношения <2/(2^ от параметра А = 6Кп/\9 в слое воздуха; о - экспериментальные данные [4].

Анализ рисунка свидетельствует о качественном согласии полученных результатов с данными экспериментов.

Третья глава посвящена изучению процесса теплопереноса между коаксиальными цилиндрами.

В первом параграфе рассматривается слой двухатомного газа, заключенный между коаксиальными цилиндрами с радиусами Л, < Я2, на поверхности

которых поддерживается постоянная температура > Т2. Состояние газа определяется уравнением:

(31)

г дг г дСг г дс9 £ Искомый поток тепла задается выражением:

ц = пй

(32)

й = ~ \сг(с2 + у2)ехр(- С2 - г2}р\г=К1 уЛу^С.

Решение уравнения (31) представим в виде (27), где вместо Я, и Я4 нужно принять Я, =Я(СГ-\хСр), Я4 = Н(-Сг -цС/;), Ср =л[с2 -С2. При этом фх = а{ + а'2С2 + а'3у2 + а\Сг + а'5СгС2 + а'6Сгу2,

ср1-2 = а)С2 + ^С2С2 + 4СГУ + а|0С2 + ,С2С2 + а[2Су.

Следует заметить, что рассмотрение следующего приближения требует удержания большего, чем в задаче сферической геометрии, числа моментов, что приводит к существенному увеличению времени счета. Учитывая, что в случае сферического слоя отличие результатов, полученных при N = 2 и N = 3, составляет не более 0.1%, ограничимся учетом двух указанных приближений.

Во втором параграфе рассматривается уравнение Ван Чанга - Уленбека, которое в силу аксиальной симметрии задачи примет вид

дг г дС„ г 8С,„

г V Ш = 1

Искомый поток тепла определяется соотношением (32), где

б = ¡сг(с2 +£'}р1 ехр(-с2-е^С.

Решение (33) зададим выражением (29), где

(р\л = а{ + а'2С2 + а\е1 + а\Сг + а'5С,.С2 + а'^С^,, <р\'2 = а\С2 + 4С2С2 + а'9С}е, + а(0С2 + а\хС\С2 + а{2с£е, и т.д.

Третий параграф посвящен обсуждению результатов и сравнению с экспериментом.

На рисунке 7 показана зависимость приведенного потока тепла, рассчитанного для модельного кинетического уравнения релаксационного типа, от радиуса внутреннего цилиндра в случае полной аккомодации энергии.

На рисунке 8 представлены значения отношения <21<2£с1> полученные

при N = 2 для фиксированных и условии полной аккомодации энергии в

слое

азота и воздуха. Здесь 0(;аг = -(3 + 2С)/7,

Л, 1п— Л,

1 У

величина пото-

ка тепла, вычисленная в газодинамическом пределе. Там же приведены экспериментальные данные.

Заметим, что отмеченные в предыдущих главах выводы остаются справедливыми также для задачи аксиальной геометрии.

Рис. 7. Значения приведенного потока тепла при условии полной аккомодации энергии и фиксированных , рассчитанные для релаксационного кинети-

ческого уравнения. Кривая 1 соответствует N — 1, 2 — N = 2", 3 - результаты стандартного метода Лиза.

е

е*

— = 260

J3А

0.3 С* ■ /л2/л, = 4.7

Об /

0 4 /?2/Я,=9.4 Ч 7 У /?2//?, =1.91

У-/2 ■ и М,

б)

Рис. 8. Значения отношения а) в слое азота; А - 5-Уя/{4Кп)'у б) в слое

воздуха. Точками обозначены опытные данные [4, 10]. Линия 1 соответствует результатам решения уравнения Ван Чанга - Уленбека (33), 2 - кинетическому уравнению релаксационного типа (31).

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложениях представлены системы моментных уравнений и таблицы, содержащие численные результаты проведенных расчетов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработана методика решения кинетического уравнения в приложении к задаче вычисления потока тепла от нагретого тела в разреженном молекулярном газе, позволяющая получать необходимую точность результатов.

2. Решена задача о вычислении потока тепла в плоском, сферическом и цилиндрическом слое молекулярного газа.

3. Впервые получены значения коэффициента скачка температуры для N2, С02, S02 и воздуха.

4. Показано, что удержание необходимого числа моментов позволяет получить значение коэффициента скачка температуры, отличающееся от точного не более чем на сотые доли процента. Анализ характера зависимости значений потока тепла от числа моментов, удерживаемых в функции распределения, позволяет утверждать, что указанная точность сохраняется и в промежуточном диапазоне значений числа Кнудсена.

5. Показано, что для азота в приложении к задачам теплопереноса в случае плоской, сферической и цилиндрической геометрии использование модели кинетического уравнения релаксационного типа [3] и модели Хансона-Морзе [7] дает практически совпадающие результаты.

6. Показано, что квадратурный метод [9] обеспечивает удовлетворительную точность результатов лишь при небольших расстояниях между пластинами. В газодинамическом пределе можно говорить лишь о качественном характере его результатов.

7. Для задачи теплопереноса между параллельными плоскостями и от одиночной сферы впервые получены общие (не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость потока тепла в молекулярном газе от характера аккомодации энергии.

Показано, что полученные результаты согласуются с данными экспериментов.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИЕТРАТУРА

1. Lees L., Liu Chung-Yen. Kinetic theory description of conductive heat transfer from a fine wire // Phys. Fluids, 1962. - Vol. 5. - No 10. - P. 1137-1148.

2. Gross E.P., Ziering S. Heat flow between parallel plates // Phys. Fluids, 1959. -Vol. 2,-No 6.-P. 701-712.

3. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скачке температуры с вращательными степенями свободы // Теор. и мат. физика, 1993. - Т. 95. - № 3. - С. 530-540.

4. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженных газов. М., Машиностроение, 1977. - 182 с.

5. Латышев А.В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл. матем. и механика. 1990. - Т. 54. - В. 4. - С. 581-586.

6. Wan Chang C.S., Uhlenbeck G.E., Boer J. The heat conductivity and viscosity of polyatomic gases. // Studies in Statistical Mechanics. - Amsterdam: North Holland Pablishing Company. 1964.

7. Hanson F.B., Morse T.F. Kinetic models for a gas with internal structure // Phys. Fluids, 1967.-Vol. 10.-No 2.-P. 345-353.

8. Савков C.A. Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена: дис. ... доктора физ. мат. наук. - Москва, 2004.-271 с.

9. Pazooki N., Loyalka S.K. Heat transfer in a rarefied polyatomic gas I. Plane parallel plates // J. Heat Mass Transfer, 1985. - Vol. 28. - No 11. - P. 20192026.

lO.Semyonov Yu.G., Borisov S. F., Suetin P.E. Investigation of heat transfer gases over a wide range of Knudsen numbers // J. Heat Mass transfer, 1984. -Vol. 27.-No. 10.-P. 1789-1799.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. Об учете аккомодации энергии и вычислении потока тепла в плоском слое двухатомного газа. // ЖТФ, 2006. - Т. 76.-Вып. 2.-С. 25-29.

2. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения при вычислении потока тепла в многоатомных газах. // ЖТФ, 2008. - Т. 78. -Вып. 7.-С. 16-20.

3. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения в задаче вычисления потока тепла от сферической частицы в разреженном молекулярном газе // Письма в ЖТФ, 2009. - Т. 35. - Вып. 1. - С. 63-68.

4. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами в разреженном молекулярном газе // Известия ОрелГТУ. Серия Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии, 2009. - № 1 / 273 (559). - С. 35-40.

5. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. Об учете аккомодации энергии и вычислении потока тепла между параллельными пластинами // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 4. - Орел. 2005. -С. 151-154

6. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения в задаче вычисления потока тепла между параллельными пластинами // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета. Выпуск 6. — Орел: Издательство ОГУ, Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 151-155.

7. Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между концентрическими сферами в двухатомном газе // Вестник науки. Сборник научных работ

преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 7. - Орел: Изд-во ОГУ, 2008. - С. 138-140.

8. Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между концентрическими сферами в молекулярном газе // Альманах современной науки и образования. Математика, физика, строительство, архитектура, технические науки и методика их преподавания. - Тамбов: Грамота, 2008. - № 7(14). -С. 213-215.

9. Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами в двухатомном газе // Альманах современной науки и образования. Математика, физика, строительство, архитектура, технические науки и методика их преподавания. - Тамбов: Грамота, 2008. - № 12(19). -С. 198-200.

10.Тюлькина Е.Ю., Савков С.А. К вычислению коэффициента скачка температуры в молекулярных газах. // Человек и космос. 50 - летие космической эры: сборник тезисов IX междунар. научн. - практич. конф. - Днепропетровск, 2007. - С. 31.

11.Тюлькина Е.Ю., Савков С.А. К вопросу о вычислении потока тепла между концентрическими сферами в двухатомном газе. // Человек и космос: сборник тезисов X междунар. научн. - практич. конф. - Днепропетровск, 2008,- С. 48.

12.Тюлькина Е.Ю. К вопросу о вычислении потока тепла между концентрическими сферами в молекулярном газе. // Сборник тезисов, материалы 14 Всероссийской научной конференции студентов - физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 14): материалы конференции, тезисы докладов: В 1. -Т. 1 - Екатеринбург - Уфа: изд-во АСФ России, 2008. - С. 251-252.

13.Тюлькина Е.Ю. К вопросу о вычислении потока тепла от равномерно нагретой сферы в разреженном молекулярном газе // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 130 - летию Томского государственного университета и 60-летию механико-математического факультета: (Томск, 22 - 25 сентября 2008 г.) - Томск: Томский государственный университет, 2008 г. - С. 174-175.

Н.Тюлькина Е.Ю. К вопросу о теплопереносе между коаксиальными цилиндрами в разреженном молекулярном газе // Современные проблемы математики, механики и их приложений: материалы международной конференции, посвященной 70 - летию ректора МГУ академика В.А. Са-довничего. -М.: Изд-во «Университетская книга», 2009. - С. 334-335.

15.Тюлькина Е.Ю. К вопросу о вычислении потока тепла через цилиндрический слой двухатомного газа при всех числах Кнудсена // Сборник тезисов, материалы 15 Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ - 15, Кемерово - Томск): материалы конференции, тезисы докладов: В 1. - Т. 1 - Екатеринбург - Кемерово: изд-во АСФ России, 2009. - С. 263-264.

Подписано к печати 26.08.2010 г. Формат 60x84 1/16. Объем 1,0 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1205

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе ГОУ ВПО «Орловский государственный технический университет» 302020, г. Орел, Наугорское шоссе, 29.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 Вычисление потока тепла в плоском слое разреженного газа.

1.1. Отработка методики решения кинетического уравнения на примере атомарного газа.

1.2. Решение релаксационной модели кинетического уравнения для двухатомного газа.

1.3. Решение уравнения Ван Чанга - Уленбека.

1.4. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.

ГЛАВА 2 Вычисление потока тепла между концентрическими сферами.

2.1. Решение релаксационной модели кинетического уравнения для двухатомного газа.

2.2. Решение уравнения Ван Чанга - Уленбека.

2.3. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.

ГЛАВА 3 Вычисление потока тепла между коаксиальными цилиндрами.

3.1. Решение релаксационной модели кинетического уравнения для двухатомного газа.'и

3.2. Решение уравнения Ван Чанга - Уленбека.

3.3. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом.^

Актуальность работы.

Описание процесса теплопереноса составляет одну из фундаментальных проблем кинетической теории газов. Изучение указанного явления представляет интерес, как с теоретической точки зрения, так и в плане практического приложения [1-5]. Анализ распределения температуры и плотности газа необходим, к примеру, при исследовании теплофизических свойств вещества, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании оборудования и т.п. Данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого тела, могут быть использованы для определения характера взаимодействия молекул газа с его поверхностью [6-12]. Интенсивные космические исследования, совершенствование авиационной и ракетно-космической техники вызвало повышенный интерес к проблеме механики разреженного газа, в частности, к более глубокому изучению законов тепломассообмена при больших степенях разрежения газа [13, 14]. Все это необходимо при расчете аэродинамических характеристик летательных аппаратов, движущихся на больших высотах около Земли или других планет; создании датчиков для ракетного зондирования верхних слоев атмосферы; создании наземных испытательных комплексов, в которых имитируется условия космического пространства и т.д. Изучение теплопереноса в разреженных газах требуют также многие отрасли современной промышленности — электронная, радиотехническая, атомная, оптическая, металлургическая и др.

Определяющую роль при теоретическом описании процесса теплопереноса играет число Кнудсена Кп = Я/Ь, здесь Я - длина свободного пробега молекул газа, Ь - характерный размер задачи.

При Ь» X состояние газа описывается уравнениями динамики сплошной среды [15-21], для решения которых разработан широкий арсенал аналитических и численных методов [22-25].

В1 случае, когда средняя длина свободного пробега молекул газа сравнима или больше характерной длины, фигурирующей в задаче, необходим учет дискретности. строения; газа, что требует рассмотрениям кинетического* уравнения[26-35].

Впервые математически корректный способ решения- этого уравнения в приложении к задачам теплопереноса во всем диапазоне значений числа Кнудсена был предложен Лизом [36, 37]. Основу этого- метода составляет идея о сведении кинетического уравнения к системе уравнений-переноса, для замыкания которой Лиз; использовал двухстороннюю (четырехмоментную) функцию- распределения^ Такой1 подход позволяет удовлетворить всем необходимым законам, сохраненияшри- использовании в функции распределения минимального числа моментов,- что> делает возможным решение: задачи в; аналитической форме: В дальнейшем; аналогичный прием: использовался? в работах, [38-43].

Следует заметить, что? стандартный? подход к составлению функции распределенияше-позволяет описать переход к газодинамическому решению и приводит, в частности; к: заниженному значению- коэффициента! скачка температуры.

Указанный, недостаток, можно? устранить: посредством; удержания/ в функции распределения большего числа моментов,.что и было предложено в работах [44, 45].

Другим принципиальным недостатком метода Лиза является произвол. в выборе: моментов функции распределения с одной? стороны, и составлений, системы.моментных:уравнений - с другой.Можно показать, что1 использование различных наборов:функций скорости: может приводить к.разным, а иногда и просто бессмысленным результатам. Более последовательным в данном отношении следует признать использование одного и того же- набора- разрывных, функций скорости для составления функции распределения- и моментных уравнений как в методе полупространственных моментов. [46-49]:

Впервые такой подход в приложении - к указанному классу задач- применялся в. работах: [50-54]. При этом авторы учитывали минимально- возможное число моментов в функции распределения; обеспечивающее переход к функции Чепмена - Энскога.

В качестве другого подхода к решению ¿кинетического уравнения следует отметить использование вариационного принципа [55-62]. Однако-при конкретной его реализации авторы ограничиваются рассмотрением простейшей пробной функции. Так, в [56] при вычислении потока тепла от сферической частицы искомый поток задавался выражением q = Сх/г2 , что действительно имеет место в силу закона сохранения энергии. Тогда как поле температуры и концентрации определялось в виде Т = Т0+С2/г и п = п0 + С3/г, который заведомо не соответствует реальному распределению этих величин в непосредственной близости от частицы.

Также для решения» указанного класса задач в [63-72] использовались методы прямого численного интегрирования. Так, например, в работе [68] применялся аналогичный описанному в монографии [71] итерационный метод непосредственного численного решения кинетического уравнения, при котором в качестве функции распределения, входящей в интегральную часть оператора столкновений, используются значения, полученные на предыдущем шаге итерации. При этом сходимость итерационного процесса не доказывается, а констатируется по результатам вычисления макроскопических параметров, что не гарантирует точности полученного решения.

Отдельно стоит отметить метод статистических испытаний- (метод Монте - Карло) [35, 73-75], где непосредственно моделируют физическую картину движения молекул.

Недостатком всех вышеперечисленных методов является^ отсутствие объективного критерия точности получаемых результатов.

Необходимо также отметить тот факт, что в настоящее время наиболее детально изучены процессы, происходящие в атомарном газе. Тогда как большинство реальных экспериментов проводится в молекулярных газах, что требует учета внутренних степеней свободы [76].

Впервые возможность кинетического описания молекулярных газов; рассматривалось в работах [77-81], где была предложена общая структура кинетического уравнения-и проведен анализ его свойств.

В' приложении к задачам теплопереноса молекулярные газы исследовались в рамках вариационного метода [58, 62], где использовалась простейшая пробная функция, не дающая* реального распределения макроскопических величин. В работах [82-85] применялся квадратурный метод, критерием точности которого являлась согласованность результатов, полученных с использованием 41 и 81 точечных квадратурных формул. Однако, данное обстоятельство не дает реальной оценки погрешности. Более того; анализ представленных в работе [83] результатов показывает, что метод квадратур*не обеспечивает и закона сохранения суммарного потока энергии.

Указанные обстоятельства определяют актуальность разработки- иного подхода* к решению кинетического-уравнения-, применимого к молекулярным газам и наиболее оптимального с точки зрения точности и вычислительных затрат.

Данная диссертация посвящена развитию моментного метода,,предложенного в работах,[50-54]', в'приложении к.описанию процесса теплопереноса в молекулярных газах. Критерием точности разработанного подхода является сходимость результатов при последовательном увеличении числа моментов, удерживаемых в функции распределения, а так же - возможность вычисления- коэффициента скачка температуры, и его сравнение с точным значением.

Следует отметить, что определение коэффициента скачка температуры (задача Смолуховского [86]) представляет самостоятельный интерес и привлекает к себе неизменное внимание на протяжении уже более ста лет. Это связано как с теоретической значимостью вопроса, так и с его многочисленными практическими приложениями. Учет этого эффекта необходим, например, при экспериментальном определении теплопроводности газа' [4], изучении явления термофореза [87-92], обтекании твердого тела разреженным газом [93-102] и т.п.

В настоящее время эта задача достаточно детально исследована для атомарных газов. При этом использовались как аналитические [103, 104], так и приближенные, и численные методы для решения кинетического уравнения с больцмановским интегралом столкновений и для его моделей [46, 47, 65, 96, 97].

В работах [105-107] получено аналитическое решение указанной задачи для кинетического уравнения с модельным интегралом столкновений релаксационного типа. В приложении к молекулярным газам проблема определения коэффициента скачка температуры рассматривалась в [62] в рамках вариационного метода, где автор ограничился простейшей пробной функцией.

Дополнительно следует отметить тот факт, что все численные расчеты проводятся для конкретных значений коэффициентов аккомодации энергии, что затрудняет сравнение с экспериментом. Поэтому особую актуальность представляет определение аналитических- выражений, которые задают зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии.

Постановка задачи:

Рассматривается слой газа, заключенный между двумя неподвижными твердыми поверхностями, на которых поддерживается постоянная во време

19 19 ни разность температур ТБ >Т3 . Перепад А Т8 =Т5 - Тх считается достаточно малым, чтобы ограничиться линейным приближением. Состояние газа определяется кинетическим уравнением.

В качестве граничных условий принимается закон чисто диффузного отражения молекул газа от каждой поверхности, то есть полагается, что молекулы отражаются с равновесной максвелловской функцией распределения, параметры которой определяются условиями непротекания (отсутствия массового движения) и аккомодацией энергии.

Термический коэффициент аккомодации ак представляет собой долю энергии, отданной падающими молекулами стенке от той энергии, которую они могли бы отдать стенке, если бы молекулы полностью аккомодировали к условиям стенки. В частности в указанном случае атомарного газа: Ек - Екг ак~ е?-Е;' е\ , Екг - значения энергии, соответствующие приносимой падающими и уносимой отразившимися от к-той поверхности молекулами; Ек - энергия, которую имели бы отраженные молекулы при полной аккомодации.

В случае многоатомных газов необходимо также учесть внутреннюю энергию молекул. Поэтому взаимодействие полиатомных молекул с поверхностью характеризуют несколькими коэффициентами аккомодации, обусловленными поступательными и вращательными степенями свободы.

В диссертации рассматриваются случаи плоской, сферической и цилиндрической геометрии.

1. Девиен М. Течения и теплообмен разреженных газов. М.: ИЛ, 1962. -187 с.

2. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Шелепин Л.А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. М.: Наука, 1980. 512 с.

3. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Под ред. проф. Кошкина B.K. М.: Машиностроение, 1975. 624 с.

4. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена: М.: Атомиздат, 1979. -417 с.

5. Горшков Ю.А., Уманский A.C. Измерение теплопроводности газов. М.: Энергоиздат, 1982. 224 с.

6. Пярнпуу A.A. Взаимодействие молекул газа с поверхностью. М.: Наука, 1974.-192 с.

7. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 344 с.

8. Баранцев Р.Г. Современное состояние теории взаимодействия газов поверхностями // Труды 4 Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа. М.: ЦАГИ, 1977. С. 221-248.

9. Коленчиц O.A. Тепловая аккомодация систем газ твердое тело. Минск: Наука и техника, 1977. — 126 с.

10. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженных газов. М.: Машиностроение, 1977. 182 с.И. Гудман Ю.А., Уманский A.C. Динамика рассеяния газа поверхностью. М.: Мир, 1980.-372 с.

11. Борисов С.Ф., Балахонов Н.Ф., Губанов В.А. Взаимодействие газов с поверхностью твердых тел. М.: Наука, 1988. 200 с.

12. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкциях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 280 с.

13. Краснов Н.Ф. Основы прикладной аэрогазодинамики. Ч. 1, 2., М.: Высiшая школа, 1991. 320 с.

14. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Гос-энергоиздат, 1963. 535 с.

15. Морс Ф. Теплофизика. М.: Наука, 1968. 416 с.

16. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. 512 с.

17. Кочин Н.Е., Кибель.И.Я., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. - 584 с. - Т. 2. - 728 с.

18. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Наука, 1964.-655 с.

19. Хаппель А., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М: Мир, 1976.-632 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Физматлит, 2003. 736 с.

21. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-598 с.

22. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

23. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. 315 с.

24. Владимиров B.C., Жариков В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит., 2008. 400 с.

25. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956. 554 с.

26. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960.-510 с.

27. Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961.-929 с.

28. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. — 440 с.

29. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971.-332 с.

30. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973.-245 с.

31. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.-495 с.

32. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: уравнение Больцмана. М.: Мир, 1986. С. 182— 204.

33. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

34. Берд Р. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. 320 с.

35. Lees L., Liu Chung-Yen. Kinetic theory description of conductive heat transfer from a fine wire // Phys. Fluids, 1962. Vol. 5. - No 10. - P. 1137-1148.

36. Lees L. Kinetic theory description of rarefied gas flow // J. Soc. Indust. Appl. Math, 1965. Vol. 13.-No l.-P. 278-311.

37. Смирнов Л.П., Чекалов B.B. Медленное вращение сферы в ограниченном объеме разреженного газа // МЖГ, 1978. № 4. - С. 111-124.

38. Lang Н. Heat and mass exchange of a droplet in a polyatomic gas // Phys. Fluids, 1983.-No 8.-P. 2109-2114.

39. Ivchenko I.N. Generalization of the Lees method in borndary problems of transfer // J. Colloid Interface Sci., I990.-Vol. 135.-No. l.-P. 16-19.

40. Ивченко И.Н., Лойялка C.K., Томпсон P.B. Об одном методе решения проблемы переноса тепла между двумя цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // Теплофизика высоких температур, 1993. Т. 31. - № 4.-С. 636-641.

41. Ивченко И.Н., Лойялка С.К., Томпсон Р.В. Метод решения линеаризованных задач теории переноса для сферической геометрии при произвольных числах Кнудсена // Изв. РАН МЖГ, 1994. № 6. - С. 181-186.

42. Ивченко И.Н., Лойялка С.К., Томпсон Р.В. Упрощение моментных систем для задач переноса с криволинейными границами // Изв. РАН МЖГ, 1997.-№2.-С. 201-205.

43. Савков C.A., Юшканов A.A. Модификация метода Лиза в приложении к вычислению потока тепла от сферической частицы при всех числах Кнудсена//ПМТФ; 1996.-Т. 37.-№ 1.-С. 57-63.

44. Поддоскин А.Б., Юшканов A.A. Вращение сферы в неограниченном газе //Изв. АН СССР. МЖГ. 1997. -№ 1.-С. 165-171.

45. Gross Е.Р., Jackson Е.А., Ziering S. Boundary value problems in kinetic theory of gases//Ann. Phys, 1957.-Vol. 1. No 2. — P. 141-167.

46. Gross E.P., Ziering S. Heat flow between parallel plates // Phys. Fluids, 1959. -Vol. 2,-No 6.-P. 701-712.

47. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. О построении решения кинетического уравнения Больцмана в слое Кнудсена // Изв. АН СССР МЖГ, 1968. № 4. -С.167-172.

48. Яламов Ю.И., Поддоскин А.Б., Юшканов A.A. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // ДАН СССР, 1980. Т.254. - № 2. - С. 343-346.

49. Савков С.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Модификация метода полупространственных моментов в приложении к задаче о вычислении потока тепла от сферической частицы при всех числах Кнудсена // ТВТ, 2000. -Т. 381-№1.-С. 96-100.

50. Савков С.А., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о вычислении потока тепла от сферической частицы при произвольных числах Кнудсена // ТВТ, 2001. Т. 39: - № 4. -С. 657-664.

51. Савков С.А. К вопросу, о вычислении потока тепла в ограниченном пространстве // Вестник науки. Сборник научных работ преподавателей, аспирантов и студентов физико-математического факультета ГОУ ВПО «ОГУ». Выпуск 3. Орел. - 2004. - С. 107-109.

52. Алешин П.С., Савков С.А. О решении кинетического уравнения в задаче вычисления потока тепла между коаксиальными цилиндрами // ЖВМ и МФ, 2004. Т. 44. -№ 8. - С. 1495-1504

53. Алешин П.С., Савков С.А. О решении кинетического уравнения в задаче вычисления потока тепла между концентрическими сферами // ЖТФ, 2005. Т. 75. - Вып. 5. - С. 60-64.

54. Bassanini P., Cercingnani С, Pagani CD. Comparision of kinetic theory analyses of linearised Heat transfer between parallel plates // J. heat and mass transfer, 1967.-Vol. 10.-No 4.-P. 447^460.

55. Cerciniani C., Pagani C. D. Variational approach to rarefied flows in cylindrical and spherical geometry // Rarefied Gas Dynamics, 1967. Vol. 2. — P. 555-573.

56. Bassanini P., Cerciniani C, Pagani CD. Influence of the accommodation coefficient on the heat transfer in a rarefied gas // J. Heat Mass Transfer, 1968.-Vol. 11.-No 9.-P. 1359-1369.

57. Cercignani C. Strong evaporation of a polyatomic gas // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.-Y, 1981. Vol. 1. - P. 305-320.

58. Береснев C.A., Черняк В.Г., Суетин П.Е. Движение сферической частицы в собственном насыщенном паре при произвольных числах Кнудсена // ДАН СССР, 1983. Т. 268. - № 3. - С. 588-591.

59. Chernyak V.G., Margilevskiy A.Ye. The kinetic theory of heat and mass transfer from a spherical particle in a rarefied gas // J. Heat Mass Transfer, 1986. Vol. 32. - No 11. - P. 2127-2134.

60. Beresnev S., Chernyak V. Thermophoresis of a spherical particle in a rarefied gas: numerical analysis based on the model kinetic equations // Phys. Fluids, 1995.-Vol. 7.-No 7.-P. 1743-1756.

61. Cipolla J.W. Heat transfer and temperature jump in a polyatomic gas // J. heat and mass transfer, 1970.-Vol. 14.-No 10.-P. 1599-1610

62. Tamada K., Sone Y. Some studies on rarefied gas flows // J. Phys. Soc. Japan, 1966.-Vol. 21.-No 7.-P. 1439-1445.

63. Sone Y. Flow induced by thermal stress in rarefied gas // Phys. Fluids, 1972. -Vol. 15. —No.8. -P. 1418-1423.

64. Onishi Y., Sone Y. Kinetic theory of evaporation and condensation. Hydrodynamics equation and slip boundary condition // J. Phys. Soc. Japan, 1978. -. Vol. 44.-No 6.-P. 1981-1994.

65. Aoki K., Sone Y., Yamada T. Numerical analysis of gas flows condensing on its plane condensed phase on the basis of kinetic theory // Phys. Fluids, 1990.-Vol. 2.-No 10.-P. 1867-1878.

66. Takata S., Sone. Y., Lhuillier D., Wakabayshi M. Evaporation from or condensation onto a sphere // Computers Math: Applic, 1998. Vol. 35. - No 12. -P. 193-214.

67. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о теплопередаче между параллельными бесконечными- стенками в разреженном газе // Изв. АН СССР МЖГ, 1970. № 5. - С. 190-193.

68. Черемисин Ф.Г. Развитие метода прямого численного решения кинетического уравнения Больцмана // ВЦ АН СССР , 1973. -В. 1. С. 74401.

69. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974.-208 с.

70. Аристов В.А., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1992. 192 с.

71. Haviland J.K. The solution of two molecular flow problems by the Monte-Carlo method. // Methods in computational Physics. Advances in Research and Applications, app. In hydrodynamics. New York, 1965. Vol. 4 - P. 109209.

72. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. — М.: Наука, 1989. 336 с.

73. Каган Ю., Афанасьев A.M. К кинетической теории газов с вращательными степенями свободы //Журнал эксперим. и теор. физ., 1961. -Т. 41.-№3.-С. 1536-1545. : ■

74. Morse T.F. Kinetic model for gases with internal degrees of freedom // Phys. Fluids, 1964. -Vol. 7. -No 2. P. 159-169.

75. Hanson F.В., Morse T.F. Kinetic; models for a gas with internal structure // Phys. Fluids, 1967. Vol.: 10. - No'2: - P: 345-353:

76. Bray С. A. Kinetic theory of polyatomic gases: Models for the collision processes // Phys. Fluids, 1967. Vol. 10. - No T. - P. 48-55.

77. Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение; для? газа, с вращательными степенями свободы;// Изв. АН СССР, МЖГ, 1975. № 6. -С. 107-Й 5; ■ ' ' ■ ' у ' • ,

78. Pazooki N., Loyalka S.K. Heat transfer in & rarefied polyatomic gas I. Plane parallel plates //.J. Heat Mass Transfer,' 1985. Vol. 28. - No 11. - P: 20192026. • ■ ■ .

79. Pazooki N., .Loyalka S.K. Heat; transfer in a rarefied polyatomic gas II sphere // J. Heat Mass Transfer, 1988. - Vol. 31. - No 5. - P. 977-985.

80. Loyalka S.K. Approximate method in the kinetic.theory // Phys. Fluids- 1971. -Vol. 14;:-^оЛ;1.-Р: 2291^294: ,

81. Loyalka S.K., Storvick T.S. Kinetic theory of thermal transpiration and me-canocaloric effect. IIL Flow of polyatomic gas between parallel' plates // J. Chem. Phys, 1979. Vol. 71. -No 1. -P. 339-350.

82. Smoluchowski M. Warmeleitung in verdunnerten Gases // Ann. Phys. B, 1898:-Bd. 64.-S. 101-130; ,

83. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно больших аэрозольных частиц // ДАН СССР, 1964. Т. 155.-№4.-С. 886-889., ,

84. Яламов Ю.И., Дерягин Б.В. Теория термофореза умеренно крупных и крупных аэрозольных частиц с учетом теплового скольжения газа и скачка температуры у поверхности частицы // Коллоидный журнал, 1971. Т. 33. - № 3. - С. 294-300.

85. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р. Теория термофореза испаряющихся капель аэрозоля // Ж. физ. хим., 1971. Т. 45. - № 10. - С. 2421-2424.

86. Маясов Е.Г., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О термофорезе нелетучей сферической частицы в разреженном газе при малых числах Кнудсена // Письма в ЖТФ, 1988. Т. 14. - № 8. - С. 498-502.

87. Дьяконов С.Н., Яламов Ю.И. Термофорез касающихся твердых сфер вдоль линии их центров //Журнал техн. физ., 1998. Т. 68. - № 5. - С. 25-31.

88. Малай Н.В., Щукин Е.Р. К вопросу о термофорезе твердой частицы сфероидальной формы // ЖТФ, 2003. Т. 73. - Вып. 9. - С. 39-43

89. Kramers H.A., Kistemaker J. On the slip of a diffusing gas mixture along a wall//Physica, 1943.-Vol. Ю.-No 8.-P. 699-613.

90. Кучеров Р.Я., Рикенглаз Л.Э. Скольжение и температурный скачок на границе газовой смеси // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1959.-Т. 36.-№6.-С. 1758-1761.

91. Loyalka S.К. Velocity slip coefficient and the diffusion slip velocity for a multicomponent gas mixture // Phys. Fluids, 1971. Vol. 14. - No 12.- P. 2592-1604.

92. Loyalka S.K. Temperature jump in a gas mixture // Phys. Fluids, 1974. Vol. 17.-No 5.-P. 897-899.

93. Loyalka S.K. Slip and jump coefficients for rarefied gas flows: variational results for Lennard-Jones and n(r) 6 potentials // Physica, 1990. — Vol. 163. — № 3. -C. 813-821.

94. Ivchenko I.N., Loyalka S.K., Tompson R.V. Slip coefficients for binary gas mixture // J. Vac. Sci. and Technol., 1997. Vol. 15. - No 4. - P. 2375-2379.

95. Lang H., Loyalka S.K. Diffusion slip velocity. Theory and experiment // Z. Naturforch., 1972. Vol. 27a. - No 10. - P. 1307-1319.

96. Абрамов Ю.Ю. Приближенный метод решения задач кинетического уравнения вблизи границы. Температурный скачок // Теплофиз. высок, температур, 1970.-Т. 8.-№5.-С. 1013-1017.

97. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Мелкумян М.А. Обобщенная теория скачков температуры и концентрации в бинарной газовой смеси у поверхности жидкости // ДАН СССР, 1983. Т. 270. - № 6. - С. 1384-1388.

98. Галкин B.C. О пристеночных скачках температуры, парциальных давлений и заселенностей многокомпонентных смесей неравновесных многоатомных газов.//Изв. РАН МЖГ, 1993.-№2.-С. 133-141.

99. Cercignani С. Analytic solutions of the temperature jump problem for BGK model // Transport Theory and Statistical Physics, 1977. — Vol. 6. — No. 1.P. 25-56. %

100. Латышев A.B. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл. матем. и механика. 1990. Т. 54. - В. 4. - С. 581-586.

101. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры с вращательными степенями свободы // Теор. и мат. физика, 1993. Т. 95. - № 3. - С. 530-540.

102. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах // Журнал эксперим. и теор. физ., 1998. — Т. 114. № 3(9).-С. 956-971.

103. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Смолуховского в полиатомных газах // Письма в ЖТФ, 1998. Т. 24. - № 17. - С. 85-89.

104. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М.А. A model for collision processes in gases // Phys. Rev, 1954. Vol. 94. - No 3. - P. 511-525.

105. Wan Chang C.S., Uhlenbeck G.E., Boer J. The heat conductivity and viscosity of polyatomic gases. // Studies in Statistical Mechanics. Amsterdam: North Holland Pablishing Company. 1964.

106. Крылов В .И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977.-400 с.

107. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 279 с.

108. Semyonov Yu.G., Borisov S. F., Suetin P.E. Investigation of heat transfer gases over a wide range of Knudsen numbers // J. Heat Mass transfer, 1984. -Vol. 27.-No. 10.-P. 1789-1799.

109. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. Об учете аккомодации энергии и вычислении потока тепла в плоском слое двухатомного газа. // ЖТФ, 2006. Т. 76. - Вып. 2. - С. 25-29.'

110. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения при вычислении потока тепла в многоатомных газах. // ЖТФ, 2008. Т. 78. -Вып. 7.-С. 16-20.

111. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О решении кинетического уравнения в задаче вычисления потока тепла от сферической частицы в разреженном молекулярном газе // Письма в ЖТФ, 2009. Т. 35. - Вып. 1. - С. 63-68. '

112. Савков С.А., Тюлькина Е.Ю. О вычислении потока тепла между коакси-.альными цилиндрами в разреженном молекулярном газе // Известия ОрелГТУ. Серия Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии, 2009. № 1 / 273 (559). - С. 35-40.

113. Тюлькина Е.Ю., Савков С.А. К вычислению коэффициента скачка температуры в молекулярных газах. // Человек и космос. 50 — летие космической эры: сборник тезисов IX междунар. научн. — практич. конф. -Днепропетровск, 2007. — С. 31.

114. Тюлькина Е.Ю., Савков С.А. К вопросу о вычислении потока тепла между концентрическими сферами в двухатомном газе. // Человек и космос: сборник тезисов X междунар. научн. практич. конф. — Днепропетровск, 2008. - С. 48.