Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена

Савков, Сергей Анатольевич

Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Савков, Сергей Анатольевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Орел МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена»

Автореферат диссертации на тему "Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 533.72

Савков Сергей Анатольевич

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ГАЗОВОЙ СРЕДЕ ПРИ ВСЕХ ЧИСЛАХ КНУДСЕНА

Специальность: 01.04.14 - теплофизика и теоретическая теплотехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Орел - 2004 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Орловского государственного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Юшканов А.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Латышев А.В.; доктор физико-математических наук, Кузнецова И.А.;

доктор физико-математических наук, Поддоскин А.Б.

Ведущая организация:

Московский государственный технологический университет СТАНКИН.

Защита состоится

»а»ох^

2004 г. в

на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Д.Л. Богданов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Изучение явления теплопереноса представляет несомненный интерес как с теоретической точки зрения, так и в плане практического приложения. Анализ распределения температуры и плотности необходим при исследовании теплофизических свойств вещества, описании тепловых эффектов взаимодействия лазерного излучения с веществом, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании оборудования и т.п. Кроме того, данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого тела, могут быть использованы для определения характера взаимодействия молекул газа с его поверхностью.

В настоящее время наиболее детально изучены процессы, допускающие рассмотрение в рамках динамики сплошной среды. В этом случае задача сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных, для решения которых разработан широкий арсенал аналитических и численных методов.

Описание изменения состояния газа на расстояниях, сравнимых с длиной свободного пробега его молекул, требует рассмотрения кинетического уравнения, конкретный подход к решению которого определяется характером поставленной задачи.

В случае пространственных задач, т.е. при изучении явлений, происходящих в объеме газа, используются различные варианты моментных методов, а так же методы непосредственного численного интегрирования и прямого моделирования.

Анализ процесса теплопередачи между газом и помещенным в него телом приводит к необходимости учета разрывного характера функции распределения молекул газа на поверхности этого тела. Аналогичная проблема возникает при рассмотрении процессов испарения (конденсации) и исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных газах, что также имеет непосредственное практическое приложение.

Алгоритм решения этого класса задач определяется значением числа Кнудсена Кп = А/2/, где Л - средняя длина свободного пробега молекул газа, - характерный размер задачи.

В бесстолкновительном (свободномолекулярном) режиме, интегральной частью кинетического уравнения можно пренебречь и проблема сводится к рассмотрению соответствующего дифференциального уравнения. Причем, в задачах теплопереноса результат может быть получен посредством элементарных

В континуальном пределе, т.е. в случае крупных (Кп 1) или умеренно крупных (0.01 < Кп < 0.3) частиц, задача допускает разбиение на две части: гидродинамическую и кинетическую. Гидродинамическая задача состоит в решении уравнений гидродинамики с граничными условиями скольжения и скачков. Кинетическая - в определении этих условий. При этом для решения кинетического уравнения, как правило, используется метод полупространственных моментов или численные методы. Кроме того, в настоящее время построен мощный аппарат, допускающий аналитическое решение модельных уравнений переноса.

Способ решения кинетического уравнения в промежуточном диапазоне чисел Кнудсена определяется симметрией задачи. При описании состояния газа между параллельными пластинами с успехом применяются те же методы, что и для полупространственных задач.

Существенно менее изучен случай центральной и аксиальной симметрии.

Впервые математически корректный способ решения указанного класса задач был предложен Лизом в приложении к проблеме вычисления потока тепла между коаксиальными цилиндрами [1]. Основу этого метода составляет идея Максвелла о сведении кинетического уравнения к системе уравнений переноса, для замыкания которой используется двухсторонняя (четырехмоментная) функция распределения. Такой подход позволяет удовлетворить всем необходимым законам сохранения при использовании в функции распределения минимального числа моментов, что делает возможным решение задачи в аналитической форме. Однако, предельный (при переход к газодинамическому решению обусловлен исключительно спецификой принятой в [1] модели максвелловских молекул. Указанный переход выполняется и для БГК (Бхатнагара, Гросса, Крука) [2] модели интеграла столкновений. Тогда как для молекул, взаимодействующих как упругие твердые сферы, аналогичные рассуждения [3] приводят завышенному на 8% значению потока тепла в континуальном режиме.

Кроме того, необходимо обратить внимание на аномальный характер полученной в рамках стандартного метода Лиза функции распределения, сходимость которой обеспечивается схлопыванием конуса влияния, а не переходом к распределению Чепмена-Энскога.

Относительно численных методов решения рассматриваемого класса задач, следует отметить, что стандартные алгоритмы применимы лишь при малых числах Кнудсена. Указанное ограничение обусловлено необходимостью учета конуса (или клина для задач аксиальной симметрии) влияния, на границах которого функция распределения претерпевает

скачек. В континуальном режиме такой учет производится тривиально поскольку в области основного изменения функции распределения, т.е. на расстояниях порядка нескольких длин свободного пробега молекул газа, конус влияния вырождается в плоскость, разделяющую положительное и отрицательное полупространство скоростей. В случае, когда значение числа Кнудсена сравнимо с единицей, изменение угла раствора этого конуса происходит именно в области основного изменения функции распределения и отмеченная проблема приобретает принципиальный характер, что определяет необходимость разработки специальных методов решения кинетического уравнения.

В качестве одного из возможных подходов к решению указанного класса задач используется идея сведения кинетического уравнения к системе интегральных уравнений относительно моментов функции распределения, для решения которой применяется вариационный принцип. Однако, при практической его реализации [4] авторы ограничиваются рассмотрением простейшей пробной функции, не дающей реального описания распределения макроскопических параметров газа.

В [5] применялся метод Галеркина, но пробная функция выбиралась из аналогичных соображений.

В [6] использовалась квадратурная формула, что эквивалентно интерполяции искомых моментов полиномами соответствующей степени. Но, как видно из представленных в статье результатов, такой подход также не позволяет получить правильного соотношения между потоком тепла и градиентом температуры в газодинамической области, т.е. при г ;§> А. При этом погрешность в вычислении потока тепла составляет более 10%.

Из последних публикаций следует отметить работу [7], авторы которой используют аналогичный изложенному в монографии [8] итерационный метод численного интегрирования кинетического уравнения, принимая в качестве функции распределения, входящей в интегральную часть оператора столкновений, значения, полученные на предыдущем шаге итерации. Однако, сходимость итерационного процесса не доказывается, а констатируется по результатам вычисления макроскопических параметров, что не гарантирует точности полученного решения. Так, в случае мелкой частицы изложенный подход дает распределение температуры и концентрации, пропорциональные что

не соответствует реальному поведению указанных величин в газодинамической области, т.е. на достаточно большом расстоянии от частицы. При этом благополучно выполняются все законы сохранения, а сама итерационная процедура эквивалентна, с формальной точки зрения, ме-

тоду последовательных приближений.

Отмеченный парадокс, обусловлен тем, что число Кнудсена, по обратному значению которого реально производится разложение, зависит от расстояния. В непосредственной близости от частицы роль характерного линейного размера играет ее радиус, что в случае определяет локальную сходимость метода последовательных приближений при малых значениях г. Тогда как в газодинамической области число Кнудсена определяется отношением что делает неправомерным применение изложенной итерационной процедуры для больших г.

Подводя итог сказанному можно утверждать, что при удовлетворительной (в пределах погрешности эксперимента) точности вычисления потока тепла, ни один из стандартных методов не дает реального распределения макроскопических параметров газа при решении этого класса задач.

Данное обстоятельство определяет актуальность разработки иных подходов к решению кинетического уравнения и выбора наиболее оптимального из них с точки зрения точности и вычислительных затрат.

Дополнительно следует отметить и тот факт, что подавляющее большинство авторов ограничивается рассмотрением поступательного движения молекул газа, тогда как изучение свойств молекулярных газов требует учета внутренних степеней свободы.

Особый интерес представляет анализ процесса выделения тепла в объеме газа. Изучение такого рода явлений необходимо, в частности, при рассмотрении тепловых эффектов взаимодействия лазерного излучения с веществом, что особенно важно для исследования само- и дефокусировки лазерного луча в поглощающей среде и наиболее актуально в нестационарном случае, когда характерное время процесса выделения тепла сравнимо с временем свободного пробега молекул.

При теоретическом описании указанных явлений авторы ограничиваются исключительно рамками динамики сплошной среды. Однако, в случае, когда тепловыделение сосредоточено в области, размеры которой много меньше средней длины свободного пробега молекул, состояние газа определяется кинетическим уравнением. При этом саму область тепловыделения можно рассматривать как точечный источник тепла. Соответственно, произвольную область можно представить как суперпозицию точечных источников.

Следует отметить, что задачи об источниках представляют собой новый тип задач кинетической теории газов, допускающих аналитической решение, чем определяется их самостоятельная теоретическая значимость.

Целью данной работы является:

- построение теории теплопереноса от равномерно нагретой сферы в одно-, двух- и многоатомных газах;

- построение теории теплопереноса в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях атомарного газа;

- построение теории теплопереноса от точечного источника в стационарном и нестационарном режимах.

Научная новизна работы.

1. Разработан способ решения кинетического уравнения, дающий тот же порядок точности вычисления потока тепла, как и непосредственное численное интегрирование при существенно меньших затратах ресурсов вычислительной техники, что позволило провести детальный анализ особенностей теплопереноса во всем диапазоне значений числа Кнудсена, в том числе и для молекулярных газов. Получено распределение энергии и температуры по поступательным и вращательным степеням свободы молекул.

2. Решена проблема вычисления потока тепла в основных реализуемых в экспериментах случаях теплопереноса в ограниченном пространстве: в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях газа. Впервые все расчеты проведены для больцмановского интеграла столкновений.

3. Впервые получены общие, не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения, соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии.

4. Впервые поставлены задачи о точечных источниках и получено их аналитическое решение как для атомарных, так и молекулярных газов. В качестве приложения рассмотрен вопрос о тепловой самодефокусировке луча лазера. Показано, что в случае, когда радиус эффективного сечения луча сравним со средней длиной свободного пробега, угол отклонения периферийного луча может в два и более раз превышать значение, рассчитанное в рамках механики сплошных сред.

5. Впервые получено аналитическое решение нестационарного кинетического уравнения в приложении к задачам теплопереноса Определены характеристики звуковых и температурных волн.

Достоверность подтверждается согласием результатов, полученных при использовании различных методов решения кинетического уравнения, а также с экспериментальными и теоретическими данными других авторов. Все аналитические выкладки проведены в пакете Maple с использованием тщательно выверенных и протестированных процедур. При числовых расчетах использовались стандартные вычислительные алгоритмы с обязательным контролем точности.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут найти непосредственное применение при определении коэффициентов аккомодации энергии в экспериментах по измерению потока тепла от нагретого тела и анализе процесса распространения лазерного излучения в верхних слоях атмосферы.

Кроме того, построенные методы представляют самостоятельный интерес и могут быть использованы для решения аналогичных задач физической кинетики и математической физики.

Аналитические решения поставленных в диссертации задач могут быть использованы при анализе общих особенностей тепло- и массопе-реноса, а также для определения точности приближенных и численных методов решения кинетического уравнения.

На защиту выносятся следующие результаты:

- метод решения кинетического уравнения;

- соотношения, определяющие зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии;

- решение задачи о вычислении потока тепла в ограниченном пространстве при всех числах Кнудсена;

- аналитическое решение кинетического уравнения в задачах о точечных источниках;

- решение нестационарного кинетического уравнения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 3 Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1998 г.); 2 Международной конференции

"Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Питербург, 1998 г.); 9 международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел, 2000 г.); 14 конференции конференция стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2000 г.); 10 Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Херсон, 2001 г.); Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2002 г.); Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика разреженных газов" (Новосибирск, 2002); а также на кафедре молекулярной физики Московского государственного университета, научных семинарах кафедры теоретической физики Орловского государственного университета и Московского государственного областного университета.

Структурами объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 238 наименований и приложения. Содержит 46 рисунков и 18 таблиц. Полный объем работы составляет 271 страницу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации "Вычисление потока тепла от равномерно нагретой сферы" рассматривается задача о вычислении потока тепла от равномерно нагретой до температуры Tt сферической частицы радиуса R, находящейся в газе, в котором поддерживается постоянная на бесконечности температура Полагается, что

Состояние газа определяется уравнением

Здесь С = Vy/m/2kT0 - обезразмеренная скорость теплового движения молекул; <р - поправка к равновесной (максвелловской) функции распределения; - линеаризованный оператор столкновений.

Предлагается новый подход к решению кинетического уравнения, основная идея которого состоит в сведении исходного интегродифференци-ального уравнения к интегральному уравнению. При этом, в отличии от приведенной в [9] формы интегрального представления кинетического уравнения, разрывный характер искомой функции распределения учитывается в явном виде.

Конкретные расчеты проведены для модельной формы интеграла столкновений

«=1

где

Р1 = 1, р3 = у/2сг,

р2 = ]/1(с2~1)' ^ = р(-с2)<рс,

ДЛЯ одно-,

двух- и,

С2+72-3

Р2=-

л/3

/• ( 3 7 Л1/2

, у ехр(-С2-72)72<М3С, Т^ЕЩ)

многоатомного газа. ^ и ^ - главные моменты и соответствующие им с оставляющие угловой скорости молекул. За единицу длины принята в е л I = Хл/^тп/кТ0, где х коэффициент температуропроводности газа.

В результате задача сводилась к системе интегральных уравнений относительно М\. Решение последней определялось в виде кубического сплайна. Для контроля точности использовались законы сохранения и значения, вычисленные в промежуточных (между узлами интерполяции) точках.

В качестве граничных условий принимался закон диффузного отражения молекул газа от поверхности частицы с максвелловской функцией распределения, что, в силу принятой линейности задачи, эквивалентно

двух-и

многоатомного газа. Значения пт, Тт, Т?, Т? задаются характером аккомодации энергии

Е{-Ег Е?-Щ Е?-Е?

а~ а"~Е?-Е?' а" ~ Е? - Е»

и требованием отсутствия массового движения газа, значение энергии, приносимой падающими и уносимой отразившимися от частицы молекулами; Еж энергия, которую уносили бы молекулы, если бы отражались с температурой индекс соответствует поступательным, вращательным степеням свободы.

Получено следующее выражение зависимости потока тепла от коэффициентов аккомодации:

■ где

для атомарного в

молекулярного газа. Здесь:

Д„ = а„ (2^0^(1 - аш) + аы) - - а„),

Д* = 1 - а„) + а„) - аь2у/^СЦ{1 - аш),

А = - а») + «„) -аш) + <*ш) ~

в случае двух- и

• Д„ = аг„ - аи) + - ~ "«).

Ды = аи - а«) + а») - - а*),

А = - о.) + е.) (^уЯОГЛ 1 - «Л + «о,) -

для многоатомного газа; С}* - значение вычисленное в случае полной аккомодации энергии, т.е. при а = 1; нижние индексы и Qш соответствуют поступательному и вращательному движения молекул газа; верхним индексом V обозначена приходящаяся на единицу относительной разности температуры величина плотности потока энергии с единицы поверхности частицы, вычисленная при условии, что отраженные от нее молекулы обладают только энергией поступательного движения; аналогично, верхним индексом ' обозначено значение, псь лученное в случае, когда отраженные от частицы молекулы обладают только вращательным движением.

Приведенные соотношения носят общий характер и не зависят ни от формы интеграла столкновений, ни от способа решения кинетического уравнения.

При этом, в свободномолекулярном пределе

где - число степеней свободы молекул газа, что с учетом принятого определения единицы длины совпадает с известным результатом газовой динамики

qc = ае^ДТ,.

коэффициент теплопроводности газа.

Результаты расчетов в промежуточном диапазоне значений числа. Кнудсена приведены на рис. 1-3.

Рис. 1. Значения потока тепла при условии полной аккомодации энергии. Кривая 1 соответствует одно-, 2 - двух-, 3 - многоатомному газу, 4 - результаты стандартного метода Лиза, 5 - вариационного метода [4], 6 - непосредственного численного интегрирования кинетического уравнения [7], 7 - результаты экспериментов [10].

Рис. 2. Зависимость потока тепла атомарном газе от коэффици-. ента, аккомодации энергии. Сплошная линия - результаты изложенного подхода, пунктирная - стандартного метода Лиза.

Рис. 3. Зависимость потока тепла в двух- (левая) и многоатомном (правая колонка графиков) от коэффициентов аккомодации энергии при Л = 0.1 - а, 1 - б, 10 - в.

Таким образом, изложенный подход позволяет получить практически тот же порядок точности вычисления потока тепла, что и непосредственное численное интегрирование кинетического уравнения, допуская возможность рассмотрения молекулярных газов. Тогда как стандартный метод Лиза дает существенно заниженный результат и при обработке экспериментальных данных может давать завышенное более чем на 10% значение коэффициента аккомодации энергии.

Вторая глава "Вычисление потока тепла в ограниченном пространстве" посвящена проблеме решения кинетического уравнения в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях газа.

Особенность перечисленных задач обусловлена наличием двух поверхностей, на границах которых имеет место скачек функции распределения. Причем, основное ее изменение происходит на расстоянии нескольких длин свободного пробега. Учет этого факта при непосредственном интегрировании кинетического уравнения требует соответствующего дробления шага, что сопряжено с существенным увеличением вычислительных затрат, особенно в случае искривленной поверхности.

Указанной проблемы можно избежать при использовании момент-ных методов если для решения соответствующей системы дифференциальных уравнений применять вычислительный алгоритм с переменным шагом, величина которого определяется автоматически по характеру изменения функции распределения.

Ввиду того, что анализ влияния внутренних степеней свободы проведен на примере задачи вычисления потока тепла от одиночной частицы, в данной главе рассматривается только случай атомарного газа, при этом отдельное внимание уделяется возможности решения кинетического уравнения с больцмановским интегралом столкновений.

В первом параграфе рассматривается слой газа толщиной d, заключенный между двумя неподвижными плоскими пластинами, на поверхности которых поддерживается постоянная температура Т}>Т%. Полагается, что перепад AT, = Т} — 1J достаточно мал для того, чтобы ограничиться линейным приближением.

Показано, что зависимость потока тепла от характера аккомодации энергии определяется соотношением

qjm \oti а2 J \«1 a2 4 /

Которое, как и в случае одиночной частицы носит общий характер и не зависит ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения. Здесь

Звездочкой отмечены значения, вычисленные при условии полной аккомодации энергии.

Функция распределения задавалась в виде / = /0( 1 + tp), где

<р = <р+Н{Сг) + ч>~Н(-Сг), tp* = af + а%С2 + а$С, + а\СгС2,

Н(х) = (|а:|+х)/(2х) - стандартная функция Хевисайда. Коэффициенты

определялись из системы моментныхуравнений, для составления которой кинетическое уравнение умножалось последовательно на Н(±Сг), (^#(±£7,), С,Я(±СХ), СгСРН^Сх) и интегрировалось по всему пространству скоростей что приводит к системе однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, решение которой представимо в аналитической форме, что в свою очередь обуславливает актуальность анализа поставленной задачи в рамках рассматриваемого метода.

Полученные результаты приведены на рис. 4.

Как видно из представленных графиков, в случае полной аккомодации энергии стандартный метод Лиза дает существенно (более чем. на 10%) завышенные результаты. Отличие вариационного метода не превышает 2.5%. Значения потока тепла, рассчитанные при использовании больцмановского интеграла столкновений для Л < 1 оказывается несколько выше, а в случае Л >1 - ниже чем для БГК модели. При этом максимальное различие не превышает одного процента.

По мере уменьшения коэффициента аккомодации энергии указанное различие также уменьшается.

Во втором параграфе рассматривается процесс переноса тепла между концентрическими сферами радиусами Я1 < Я.

В этом случае зависимость потока тепла от характера аккомодации. энергии определяется соотношением

где

ЛУ 1д?дт._

^Ч-^ГУа^щУаГ1)) Й1Г

Функция распределения определялась в виде

V = ^ = ах + а2С2 + 4Сг + <4СгС2, (1)

<=1

Нг = Н (сг - Су/ 1-Л?/г2) , Н2 = #(СР) - Ни Я4 = Я (-Сг - Су/1-Щ/г^ , Я3 = Щ-Сг) - Я4.

Рис. 4. Зависимость потока тепла от расстояния между пластинами. Группы кривых соответствуют: 1 - ац = аъ = 0.2,2 - 0.4, 3 - 0.6,4 - 0.8, 5-1,6-0.826. Сплошная линия - значения, рассчитанные для молекул - твердых сфер; пунктирная - для БГК модели интеграла столкновений; штрихпунктирная — стандартном методом Лиза; • - результаты вариационного метода [11]; о - экспериментальные данные [12].

Тем самым учитывался разрывный характер функции распределения на поверхности каждой из сфер, а также тот факт, что с любой точкой в объеме газа связаны три инвариантных конуса в пространстве скоростей, границы которых молекулы пересекают только за счет столкновений между собой.

Для составления системы моментных уравнений кинетическое уравнение умножалось на Н{, СРЩ, СТН{, Сг&Щ и интегрировалось по всему пространству скоростей. Полученная система дифференциальных уравнений решалась методом ортогональной прогонки с использованием алгоритма Рунге-Кутта-Фельберга. Результаты расчетов представлены на рис. 5, 6.

Как видно из рис. 5(6), максимальное отличие полученных результатов от значений [7], рассчитанных в предельном случае уединенной сферы, не превышает двух процентов как для БГК, так и для больцманов-ского интеграла столкновений. Вариационный метод дает практически такой же порядок точности. Однако, его применение к рассматриваемому классу задач ограничивается модельными уравнениями. Погрешность стандартного метода Лиза достигает десяти и более процентов.

Третий параграф посвящен вычислению потока тепла между коаксиальными цилиндрами.

Показано, что

Функция распределения задавалась соотношением (1), где вместо Нг и использовались

Результаты расчетов представлены на рис. 7.

Относительно сравнения с экспериментом следует заметить, что для обработки полученных данных большинство авторов пользуется методом Лиза. При этом результат представляется в виде отношения к зна-

Здесь

Ч/т

2 -1 0 1 2 3 4

ч 7/т

\ Л V

0.6 д

0.4 \\ \\ \\ Ч5 - \

0.2 -

•3-2-10123 1«Я1

Рис. 5. Значения: q^q¡m, в случае оц = аг = 1 при Д1/Л2 = 0.99, 0.9, 0.5, 0.1 и 0 (группы кривых 1, 2, 3, 4 и 5). Здесь и на рис. 6 сплошные линии соответствуют модели молекул, взаимодействующих как упругие твердые сферы; пунктирные - БГК модели интеграла столкновения; штрих-пунктирные - стандартному методу Лиза. Точками отмечены результаты, полученные в случае уединенной сферы непосредственным численным интегрированием [7]: о - для БГК модели интеграла столкновений и • - для молекул - твердых сфер; х - вариационным методом [4].

я/яС

0.1 1 10 л

Рис. 6. Зависимость отношения потока тепла к значению, вычисленному в газодинамическом пределе, от параметра

при Дг = 7.Й1, а1 = аг = 0.3. □" — результаты опытов [13] по измерению потока тепла через слой гелия, заключенный между стеклянными сферами.

чению потока тепла измеренного в газодинамическом пределе, т.е. задается формулой

где .

З -а^ал^ыи}-

Значения указанного отношения приведены на рис: 8. В третьей главе "Учет кинетических эффектов в процессах тепло-и массопереноса в объеме газа" получены аналитические выражения, определяющие значения макроскопических параметров газа вокруг точечного источника тепла и частиц. Показано, что в непосредственной близости от него распределение температуры и концентрации задается величиной 1/г2, т.е. в корне отличается от газодинамического решения. При этом, в случае источника тепла вращательные степени свободы

Ч Я/т

•2 .1 О 1 2 3 4 1&Я1

Рис. 7. Зависимость потока тепла от радиуса внутреннего цилиндра при Л\/ = 0.01, 0.1, 0.5, 0.9 и 0.99 (группы кривых 1, 2, 3, 4 и 5). Сплошные линии соответствуют модели молекул, взаимодействующих как упругие твердые сферы; пунктирные - БГК модели интеграла столкновения; штрих-пунктирные -стандартному методу Лиза.

дают несколько больший вклад в распределение температуры, чем поступательные. Тогда как в случае источника частиц основное изменение внутренней энергии газа обусловлено поступательным движением молекул. Аналогично, в непосредственной близости от источника вклад вращательных степеней свободы в результирующий поток тепла оказывается больше, а поступательных - меньше, чем на бесконечности. С удалением от источника отличие от газодинамического решения уменьшается и на расстоянии порядка десяти длин свободного пробега исчезает вообще.

В качестве приложения рассмотрен эффект тепловой самодефокусировки луча лазера. На рис. 9-11 представлены значения отношения угла отклонения периферийного луча к максимальному значению вычисленному в рамках газовой динамики, для нормального (гаусова) распределения мощности тепловыделения

УГ = Иг0ехр(-р2/(т2)

(2)

Ч/Яс

0.1

Рис. 8. Зависимость отношения потока тепла к значению, вычисленному в газодинамическом пределе, от параметра

Кривые 1 и 2 (две верхние линии) соответствуют результатам, полученным при R1/R2 = 0.99 для молекул - твердых сфер и БГК модели интеграла столкновений; 3 — стандартному методу Лиза; 4 - R1/R2 = 0.01. Точками отмечены представленные в [14] экспериментальные данные.

Как видно из представленных графиков, в случае, когда характерный радиус сечения луча много больше средней длины свободного пробега молекул газа (т.е. при сг>100), значение утла рассеяния практически совпадает с рассчитанным в рамках газовой динамики. По мере уменьшения а отношение Q/Qga увеличивается, достигая двух (для <г ~ 1) и большего числа раз, что сопровождается уменьшением расстояния, соответствующего максимальному углу рассеяния. Отмеченный факт определяет необходимость учета кинетических эффектов при теоретическом описании процесса само- и дефокусировки лазерного луча в разреженном газе, например, в верхних слоях атмосферы-.

В четвертой главе "Особенности нестационарного тепло- и массо-переноса" построено аналитическое решение нестационарного кинетического уравнения. Показано, что в случае изотропного точечного ис-

Рис. 9. Значения отношения угла отклонения в периферийного

луча в атомарном«газе к максимальному значению вычисленному в рамках газовой динамики для нормального (гауссова) распределения мощности тепловыделения. Здесь и на рис. 10-11 кривая 1 соответствует сг = 0.5, 2 - 1, 3 - 2, 4 - 5, 5 - 100.

Рис. 10. Значения 6/9^ в двухатомном газе.

О 2 4 6 8 10р/<т

Рис. 11. Значения 0/©^ в многоатомном газе.

точника, мощность которого изменяется по гармоническому закону, т.е. \¥ = й'оехр^^), распределение макроскопических характеристик газа может быть представлено в виде суперпозиции сферических волн

М = ^ Ма ехр (¿(о;* — каг) — ¿аг + 8а) +

где М - относительный перепад любого из термодинамических параметров. Причем, значения волновых чисел ка и декремента затухания ¿а) соответствующих дискретному спектру решений кинетического уравнения, определяются исключительно структурой этого уравнения и не зависят от характера источника.

Фазовая скорость отмеченных волновых процессов определяется соотношением и в пределе дает

что совпадает с вычисленной в рамках динамики сплошных сред скоростью звука ао, тогда как величина а^ = <¿2и>х соответствует скорости распространения температурной волны.

Графики зависимости а! и 02 от частоты представлены на рис. 12. В приложении изложена процедура вычисления моментов интеграла столкновений от разрывных функций скорости' для молекул, вза-

Да «О

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

О 0.2 ' 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 ы

Рис. 12. Графики зависимости фазовой скорости звуковой (1) и температурной (2) волн от частоты. Сплошные линии соответствуют одно-, пунктирные - двух-, штрихпунктирные - многоатомному газу, о - экспериментальные данные [15] для гелия, • - аргона и хсенона.

имодействующих как упругие твердые сферы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен новый способ решения кинетического уравнения, допускающий обобщение на случай молекулярных газов и дающий тот же порядок точности вычисления потока тепла, как непосредственное численное интегрирование, при существенно меньших затратах ресурсов вычислительной техники.

2. Решена задача о вычислении потока тепла от равномерно нагретой сферы в одно-, двух- и многоатомном газе. Впервые проведен детальный анализ распределения энергии и температуры по поступательным и вращательным степеням свободы молекул. Показано, что по мере уменьшения радиуса частицы вклад вращательных степеней свободы в поток тепла увеличивается, достигая в свободномолекулярном пределе 1/2 для двух- и 3/4 для многоатомных газов от значения, обусловленного поступательным движением молекул.

3. Решена задача вычисления потока тепла в ограниченном пространстве: в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях. Впервые все расчеты проведены для больцмановского интеграла столкновений.

4. Впервые получены общие (не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии.

5. Показано, что при использование стандартного метода Лиза погрешность в определении коэффициента аккомодации может достигать 10 и более процентов.

6. Рассмотрен новый класс задач кинетической теории, допускающих аналитическое решение, а именно: задачи о точечных источниках. Получено распределение макроскопических параметров газа в случае источника тепла и частиц. В качестве приложения рассмотрен эффект тепловой самодефокусировки луча лазера. Показано, что в том случае, когда радиус эффективного сечения луча сравним со средней длиной свободного пробега молекул газа, угол отклонения периферийного луча может в два и более раз превышать значение, рассчитанное в рамках механики сплошных сред.

7. Получено аналитическое решение нестационарного кинетического уравнения. Проведен анализ особенностей нестационарного теплопе-реноса. Определены характеристики звуковых и температурных волн. Показано, что по мере увеличения числа степеней свободы молекул газа фазовая скорость указанных волновых процессов увеличивается.

Сравнение с экспериментом свидетельствует о согласии полученных результатов с экспериментальными данными.

Цитируемая литература:

1. Lees L., Liu Chung-Yen. Kinetic theory description of conductive heat transfer from a fine wire // Phys. Fluids, 1962. - Vol. 5. - No 10. - P. 1137-1148.

2. Bhatnagar P.L., Gross E.P., Krook M.A. A model for collision processes in gases // Phys. Rev, 1954. - Vol. - 94. - No 3. - P. 511 -525.

3. Ивченко И.Н., Лойялка С.К., Томпсон Р.В. Метод решения линеаризованных задач теории переноса для сферической геометрии при произвольных числах Кнудсена // Изв. РАН МЖГ, 1994. -№ 6. - С. 181-186.

4. Cerciniani C, Pagani CD. Variational approach to rarefied flows in cylindrical and spherical geometry // Rarefied Gas Dynamics, 1967.

- Vol. 2. - P. 555-573.

5. Chernyak V.G., Margilevskiy A.Ye. The kinetic theory of heat and mass transfer from a spherical particle in a rarefied gas //J. Heat Mass Transfer, 1986. - Vol. 32. - No 11. - P. 2127-2134.

6. Pazooki N., Loyalka S.K. Heat transfer in a rarefied polyatomic gas

- II. Sphere // J. Heat Mass Transfer, 1988. - Vol. 31. - No 5. - P. 977-985.

7. Takata S., Sone Y., Lhuillier D., Wakabayshi M. Evaporation from or condensation onto a sphere // Computers Math. Applic, 1998. -Vol. 35. - No 1/2. - P. 193-214.

8. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. -М.: Наука, 1974. - 208 с.

9. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. - 495 с.

10. Такао К. Heat transfer from a sphere in a rarefied gas // Rarefied gas dynamics. New York: Academic Press, 1963. - Vol. 2. - P. 102-110.

11. Bassanini P., Cerciniani C, Pagani CD. Influence of the accommodation coefficient on the heat transfer in a rarefied gas // J. Heat Mass Transfer, 196§. - Vol. 11. - No 9. - P. 1359-1369.

12. Teagan W.P., Springer G.S. Heat-transfer and densiti-distribution measurmends between parallel plates in the transition regime // Phys. Fluids, 1968. - Vol. 11. - No 3. - P. 497-506.

13. Springer G.S., Wan S.F. Note on the application of a moment method to heat condaction in rarefied gases between concentric spheres // AIAA Journal, 1966. - No 8. - P. 800-801.

14. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженных газов. М., Машиностроение, 1977. - 182 с.

15. Greenspan M. Propogation of sound in five monatomic Gasis // J. Accaust. Soc, 1956. - Vol. 28. - No 4 - P. 644-648.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение БГК-модели нестационарного уравнения Больцмана // ТМФ, 1997. - Т. 113. -№ 1. - С. 139-148.

2. Савков С.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу о решении граничных задач кинетической теории газов при произвольных числах Кнудсена // Тезисы докладов 3 международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах". Тверь, 1998. - С. 122.

3. Савков С.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // Там же. - С. 123.

4. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение кинетического уравнения Больцмана в задачах об источниках тепла и частиц // Тезисы докладов Второй международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применение". Санкт-Питербург, 1998. - С. 151.

5. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Модификация метода полупространственных моментов в приложении к задаче о вычислении потока тепла от сферической частицы при всех числах Кнудсена // ТВТ, 2000. - Т. 38. - № 1. - С. 96-100.

6. Савков С.А. О решении дисперсионных уравнений // Труды IX международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Орел, 2000. - С. 385-387.

7. Савков С.А. О решении кинетического уравнения для молекулярных газов // там же. - С. 387-391.

8. Савков С.А. О решении кинетического уравнения в задаче вычисления потока тепла от сферической частицы в атомарном газе при всех числах Кнудсена // Дисперсные системы, XIX конференция стран СНГ, 25-29 сентября 2000 г., тезисы докладов, Одесса, Аст-ропринт. С. 161-162.

9. Савков С.А., Юшканов А.А. О вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // там же. С. 163-164.

10. Савков С.А. О решении кинетического уравнения // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал www.neva.ru/journal, 2000. - № 3.

11. Савков С.А., Юшканов А.А. К вопросу о вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // ЖТФ, 2000. - Т. 70. - № 11. - С. 9-14.

12. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. О решении кинетического уравнения для молекулярного газа в задаче вычисления потока тепла от сферической "частицы // Труды X международного симпозиума "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Херсон, 2001. - С. 290-294.

13. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. О вычислении потока тепла от сферической частицы в молекулярном газе // ЖТФ, 2001. - Т. 71. - № 10. - С. 36-40.

14. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о вычислении потока тепла от сферической частицы при произвольных числах Кнудсена // ТВТ, 2001. - Т. 39. - № 4. - С. 657-664.

15. Савков С.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы при произвольных числах Кнуд-сена // ИФЖ, 2002. - Т. 75. - № 3. - С. 111-117.

16. Савков С.А., Юшканов А.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // ИФЖ, 2002. - Т. 75. - № 5. - С. 149-154.

17. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы в многоатомном газе // ТВТ, 2002. - Т. 40. - № 4. - С. 662-668.

18. Савков С.А., Юшканов А.А. О вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // ПМТФ, 2002. - Т. 43. -№ 5. - С. 97-104.

19. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение кинетического уравнения в задаче о точечных источниках в двухатомном газе // ТМФ, 2002. - Т. 133. - № 1. - С. 132-144.

20. Савков С.А. Об аналитическом решении нестационарного кинетического уравнения. I. Атомарный газ. // Сборник трудов международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара: Архитектурно-строительная академия,

2002. - С. 321-325.

21. Савков С.А., Юшканов А.А. Об аналитическом решении нестационарного кинетического уравнения. П. Двухатомный газ. // там же. - С. 326-328.

22. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Об аналитическом решении нестационарного кинетического уравнения в задаче о точечных источниках в молекулярных газах // Кинетическая теория и динамика разреженных газов. Материалы Всероссийского семинара. 2-7 декабря 2002 г. Новосибирск: НГАСУ, 2002. - С. 109.

23. Савков С.А. Анализ аналитического решения нестационарного кинетического уравнения для точечного источника тепла //Письма в ЖТФ, 2003. - Т. 29. - Вып. 1. - С. 75-83.

24. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. О нестационарном тепло- и массопереносе в многоатомных газах //ЖТФ, 2003. - Т. 73. - Вып. 1. - С. 19-29.

25. Савков С.А. Применение метода Кейза к решению задач о точечных источниках тепла и частиц // Мат. моделирование, 2003. - Т. 15. - № 3. - С. 74-82.

26. Савков С.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами // Изв. РАН МЖГ,

2003. - № 3. - С. 171-176.

27. Савков С.А. К вопросу о вычислении потока тепла в ограниченном пространстве // Вестник науки. - Вып. 3. - Орел, 2004. - С. 107109.

Автор выражает благодарность заслуженному деятелю науки Российской Федерации, доктору физико-математических наук, профессору Яламову Ю.И. за постоянное внимание к работе и ценные рекомендации и доктору физико-математических наук, профессору Юшканову А.А. за обсуждение результатов.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Орловского областного комитета государственной статистики индекс 302001, г.Орел, пер. Воскресенский, 24

Формат 60x84 1/16 Печать офсетная. Подписано в печать 26.08.2004 г. Усл. п.л. 1,5 Заказ №52 Тираж 100 экз.

Í1B548

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Савков, Сергей Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Вычисление потока тепла от равномерно нагретой сферы

§ 1. Постановка задачи и методика решения кинетического уравнения.

§ 2. Учет аккомодации энергии и вычисление потока тепла в одно атомном газе

§ 3. Учет внутренних степеней свободы и вычисление потока тепла в двухатомном газе.

§ 4. Многоатомный газ.

§ 5. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом

Глава II. Вычисление потока тепла в ограниченном пространстве

§ 1. Плоский слой.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Решение кинетического уравнения.

1.3. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом

§ 2. Сферический слой.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Решение кинетического уравнения.

2.3. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом

§ 3. Цилиндрический слой.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Решение кинетического уравнения.

3.3. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом

Глава III. Учет кинетических эффектов в процессах тепло-и массопереноса в объеме газа

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Определение распределения температуры и концентрации молекул от точечных источников тепла и частиц в одноатомном газе

2.1. Решение БГК модели кинетического уравнения для бесконечного плоского источника.

2.2. Распределение температуры и концентрации от изотропного точечного источника.

2.3. Решение эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения.

§ 3. Двухатомный газ

§ 4. Многоатомный газ. ф

§ 5. Анализ результатов и их практическое приложение

Глава IV. Особенности нестационарного тепло- и массопереноса

§ 1. Атомарный газ.

§ 2. Двухатомный газ

§ 3. Многоатомный газ.

§ 4. Волновые эффекты нестационарной теплопроводности.

Сравнение с экспериментом.

Введение диссертация по физике, на тему "Обобщенная теория теплопереноса в газовой среде при всех числах Кнудсена"

Общая характеристика работы. Изучение явлений теплопереноса представляет несомненный интерес как с теоретической точки зрения, так и в плане практического приложения [1-5]. Анализ распределения температуры и плотности необходим при исследовании теплофи-зических свойств вещества, разработке и моделировании различных технологических процессов, проектировании оборудования и т.п. Кроме того, данные, полученные по измерению потока тепла от нагретого тела, могут быть использованы для определения характера взаимодействия молекул газа с его поверхностью [6-12]. Причем, подавляющее большинство экспериментов проводится при небольшой разности температур, что позволяет ограничиться линейным приближением.

В настоящее время наиболее детально изучены процессы, допускающие рассмотрение в рамках динамики сплошной среды [13-15]. В этом случае задача сводится к системе дифференциальных уравнений в частных производных [16-19], для решения которых разработан широкий арсенал аналитических и численных методов [20-24].

Описание изменения состояния газа на расстояниях, сравнимых с длиной свободного пробега его молекул, требует рассмотрения кинетического уравнения [25]. Конкретный подход к решению этого уравнения определяется характером поставленной задачи.

В случае пространственных задач, т.е. при изучении явлений, происходящих в объеме газа, широко используются методы численного интегрирования [26] и прямого моделирования [27]. Не потеряли актуальности и моментные методы, общие идеи которых отражены в монографиях [28-36]. Из последних работ этого направления следует отметить диссертацию [37].

Анализ процесса теплопередачи между газом и помещенным в него телом приводит к необходимости учета разрывного характера функции распределения молекул газа на поверхности этого тела. Аналогичная проблема возникает при рассмотрении процессов испарения (конденсации) [38-41] и исследовании движения аэрозольных частиц в неоднородных газах [42-46], что также имеет непосредственное практическое приложение (см., например, [47]).

Алгоритм решения этого класса задач определяется значением числа Кнудсена Кп = A/L, где Л - средняя длина свободного пробега молекул газа, L - характерный размер задачи.

В бесстолкновительном (свободномолекулярном) режиме, интегральной частью кинетического уравнения можно пренебречь и проблема сводится к рассмотрению соответствующего дифференциального уравнения, методика решения которого изложена в монографиях [27, 30, 35]. Причем, в задачах теплопереноса результат может быть получен посредством элементарных рассуждений.

В континуальном пределе, т.е. в случае крупных (Кп <С 1) или умеренно крупных (0.01 < Кп < 0.3) частиц, задача допускает разбиение на две части: гидродинамическую и кинетическую. Гидродинамическая задача состоит в решении уравнений гидродинамики с граничными условиями скольжения и скачков. Кинетическая - в определении этих условий. Подобный подход, восходящий к работам Эпштейна и Брока [48-51], получил развитие в целом ряде исследований [52-86]. При этом для решения кинетического уравнения, как правило, используется метод полупространственных моментов [87-92] или численные методы [93-99]. Кроме того, в настоящее время построен мощный аппарат, допускающий аналитическое решение модельных уравнений переноса [100-115].

Отдельно следует отметить метод Максвелла [116] и его обобщение - метод Лойялки [117], позволяющие обойти проблему решения кинетического уравнения при вычислении коэффициентов скольжения и скачков [118-135]

Существенно менее изучен случай центральной и аксиальной симметрии.

Такой подход позволяет удовлетворить всем необходимым законам сохранения при использовании в функции распределения минимального числа моментов, что делает возможным решение задачи в аналитической форме. Однако, предельный (при Кп —0) переход к газодинамическому решению обусловлен исключительно спецификой принятой в [144, 145] модели максвелловских молекул. Указанный переход выполняется и для БГК (Бхатнагара, Гросса, Крука [153]) модели интеграла столкновений. Тогда как для молекул, взаимодействующих как упругие твердые сферы, аналогичные рассуждения [150] приводят завышенному на 8% значению потока тепла в континуальном режиме.

В работах [154, 155] изложены способы устранения перечисленных недостатков, а также предложен алгоритм обратной методу Лиза процедуры решения кинетического уравнения.

Дополнительно следует отметить присущий методу Лиза произвол в выборе моментов функции распределения с одной стороны и составлении системы моментных уравнений - с другой. Можно показать, что использование различных наборов функций скорости может приводить к различным, а иногда и просто бессмысленным результатам.

Более последовательным в данном отношении следует признать использование одного и того же набора разрывных функций скорости для составления функции распределения и моментных уравнений, как в методе полупространственных моментов [87]. Подобный подход применялся в [156]. При этом использовалась двухконусная функция распределения. В данной диссертации рассматривается возможность приложения моментных методов к задачам вычисления потока тепла в ограниченном пространстве, что требует учета разрывного характера функции распределения на каждой из поверхностей.

Переходя к обсуждению численных методов решения рассматриваемого класса задач, следует отметить, что стандартные алгоритмы применимы лишь при малых значениях числа Кнудсена (см., например, [157]). Указанное ограничение обусловлено необходимостью учета конуса (или клина для задач аксиальной симметрии) влияния, на границах которого функция распределения претерпевает скачек. В континуальном режиме такой учет производится тривиально поскольку в области основного изменения функции распределения, т.е. на расстояниях порядка нескольких длин свободного пробега молекул газа, конус влияния вырождается в плоскость, разделяющую положительное и отрицательное полупространство скоростей. В случае мелкой частицы изменение угла раствора этого конуса происходит именно в области основного изменения функции распределения и отмеченная проблема приобретает принципиальный характер, что определяет необходимость разработки специальных методов решения кинетического уравнения. Детальный анализ этого вопроса представлен в [158].

В качестве одного из возможных подходов к решению указанного класса задач в [159-165] использовалась идея сведения кинетического уравнения к системе интегральных уравнений относительно моментов функции распределения, для решения которой применялся вариационный принцип. Однако авторы ограничивались рассмотрением простейшей пробной функции. Так, в [159], при вычислении потока тепла от сферической частицы искомый поток задавался выражением q = Ci/r2, что действительно имеет место в силу закона сохранения энергии. Тогда как поле температуры и концентрации определялось в виде Т = Tq+ С2/Г п п = щ + Сз/г, который заведомо не соответствует реальному распределению этих величин в непосредственной близости от частицы.

В [162] применялся метод Галеркина, но пробная функция выбиралась из аналогичных соображений.

В [166] использовалась квадратурная формула, что эквивалентно интерполяции искомых моментов полиномами соответствующей степени. Но, как видно из представленных в статье результатов, такой подход также не позволяет получить правильного соотношения между потоком тепла и градиентом температуры в газодинамической области, т.е. при г X. При этом погрешность в вычислении потока тепла составляет более 10%.

В работе [167] применялся аналогичный описанному в монографии [168] итерационный метод непосредственного численного решения кинетического уравнения, при котором в качестве функции распределения, входящей в интегральную часть оператора столкновений, используются значения, полученные на предыдущем шаге итерации. Однако, сходимость итерационного процесса не доказывается, а констатируется по результатам вычисления макроскопических параметров, что не гарантирует точности полученного решения. В частности, для мелкой частицы такой подход дает распределение температуры и концентрации, пропорциональные 1 — у/1— R2/г2, что не соответствует реальному поведению указанных величин в газодинамической области, т.е. на достаточно большом расстоянии от частицы. При этом благополучно выполняются все законы сохранения, а сама итерационная процедура эквивалентна, с формальной точки зрения, методу последовательных приближений.

Указанный парадокс, обусловлен тем, что число Кнудсена, по обратному значению которого реально производится разложение, зависит от расстояния. В непосредственной близости от частицы роль характерного линейного размера играет ее радиус, что в случае Д С А определяет локальную сходимость метода последовательных приближений при малых значениях г. Тогда как в газодинамической области число Кнудсена определяется отношением г/А, что делает неправомерным применение изложенной итерационной процедуры для больших г.

Впервые возможность кинетического описания молекулярных газов рассматривалась в работе [169], где была предложена общая структура кинетического уравнения и проведен анализ его свойств. В дальнейшем эта проблема исследовалась в [112,114-115,139,170-179]. При этом, для решения задач теплопереноса в промежуточном диапазоне значений числа Кнудсена применялся метод Лиза [151] и метод квадратур [143,166], что не позволяет получить реального распределения макроскопических параметров газа.

Особый интерес представляет анализ процесса выделения тепла в объеме газа. Изучение такого рода явлений необходимо, в частности, при рассмотрении тепловых эффектов взаимодействия лазерного излучения с веществом [180], что особенно важно для исследования само- и дефокусировки лазерного луча в поглощающей среде [181-189] и наиболее актуально в нестационарном случае, когда характерное время процесса выделения тепла сравнимо с временем свободного пробега молекул.

При теоретическом описании указанных явлений авторы ограничиваются исключительно рамками динамики сплошной среды. Однако в случае, когда тепловыделение сосредоточено в области, размеры которой много меньше средней длины свободного пробега молекул, состояние газа определяется кинетическим уравнением. При этом саму область тепловыделения можно рассматривать как точечный источник тепла. Соответственно, произвольную область можно представить как суперпозицию точечных источников.

Следует отметить, что задачи об источниках представляют собой новый тип задач кинетической теории газов, допускающих аналитическое решение, чем определяется их самостоятельная теоретическая значимость. Полученные решения могут быть использованы при общем анализе нестационарных явлений в разреженном газе [190—196], а также для оценки точности приближенных аналитических или численных методов.

Целью данной работы является:

- построение теории теплопереноса от равномерно нагретой сферы в одно-, двух- и многоатомных газах;

- построение теории теплопереноса в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях атомарного газа;

- построение теории теплопереноса от точечного источника в стационарном и нестационарном режимах.

Научная новизна работы.

5. Впервые получено аналитическое решение нестационарного кинетического уравнения в приложении к задачам теплопереноса. Определены характеристики звуковых и температурных волн.

На защиту выносятся следующие результаты:

- метод решения кинетического уравнения;

- соотношения, определяющие зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии;

- решение задачи о вычислении потока тепла в ограниченном про-♦ странстве при всех числах Кнудсена;

- аналитическое решение кинетического уравнения в задачах о точечных источниках;

- решение нестационарного кинетического уравнения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 3 Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных л системах и других средах" (Тверь, 1998 г.); 2 Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт

Питербург, 1998 г.); 9 международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел, 2000 г.); 14 конференции конференция стран СНГ "Дисперсные системы" (Одесса, 2000 г.); 10 Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Херсон, 2001 г.); Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, 2002 г.); Всероссийском семинаре "Кинетическая теория и динамика разреженных газов" (Новосибирск, 2002); а также на кафедре молекулярной физики Московского государственного университета, научных семинарах кафедры теоретической физики Орловского государственного университета и Московского государственного областного университета.

По теме диссертации опубликовано 27 работ [212-238].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 238 наименований и приложения. Содержит 46 рисунков и 18 таблиц. Полный объем работы составляет 271 страницу.

Заключение диссертации по теме "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процесса теплопереноса при всех числах Кнудсена.

Предложен новый способ решения кинетического уравнения, допускающий обобщение на случай молекулярных газов и дающий тот же порядок точности вычисления потока тепла, как непосредственное численное интегрирование, при существенно меньших затратах ресурсов вычислительной техники.

Решена задача о вычислении потока тепла от равномерно нагретой сферы в одно-, двух- и многоатомном газе. Впервые проведен детальный анализ распределения энергии и температуры по поступательным и вращательным степеням свободы молекул. Показано, что по мере уменьшения радиуса частицы вклад вращательных степеней свободы в поток тепла увеличивается, достигая в свободномолекулярном пределе 1/2 для двух- и 3/4 для многоатомных газов от значения, обусловленного поступательным движением молекул.

Решена задача вычисления потока тепла в ограниченном пространстве: в плоском, сферическом и цилиндрическом слоях. Впервые все расчеты проведены для больцмановского интеграла столкновений.

Впервые получены общие (не зависящие ни от формы кинетического уравнения, ни от способа его решения) соотношения, определяющие в линейном приближении зависимость макроскопических параметров газа от характера аккомодации энергии.

Показано, что при использование стандартного метода Лиза погрешность в определении коэффициента аккомодации может достигать 10 и более процентов.

Рассмотрен новый класс задач кинетической теории, допускающих аналитическое решение, а именно: задачи о точечных источниках. Получено распределение макроскопических параметров газа в случае источника тепла и частиц. В качестве приложения рассмотрен эффект тепловой самодефокусировки луча лазера. Показано, что в том случае, когда радиус эффективного сечения луча сравним со средней длиной свободного пробега молекул газа, угол отклонения периферийного луча может в два и более раз превышать значение, рассчитанное в рамках механики сплошных сред.

Получено аналитическое решение нестационарного кинетического уравнения. Проведен анализ особенностей нестационарного теплопереноса. Определены характеристики звуковых и температурных волн. Показано, что по мере увеличения числа степеней свободы молекул газа фазовая скорость указанных волновых процессов увеличивается.

Сравнение с экспериментом свидетельствует о согласии полученных результатов с экспериментальными данными.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Савков, Сергей Анатольевич, Орел

1. Девиен М. Течения и теплообмен разреженных газов. М.: ИЛ, 1962. - 187 с.

2. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике. Под ред. проф. Кошкина В.К. М.: Машиностроение, 1975.- 624 с.

3. Реди Дж. Действие мощного лазерного излучения. М.: Мир, 1974.- 471 с.

4. Гордиец Б.Ф., Осипов А.И., Шелепин Л.А. Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры. М.: Наука, 1980. 512 с.

5. Горшков Ю.А., Уманский А.С. Измерение теплопроводности газов. М.: Энергоиздат, 1982. 224 с.

6. Пярнпуу А.А. Взаимодействие молекул газа поверхностью. М.: Наука, 1974. 192 с.

7. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 344 с.

8. Баранцев Р.Г. Современное состояние теории взаимодействия газов поверхностями // Труды 4 Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа. М.: ЦАГИ, 1977. С. 221 - 248.

9. Коленчиц О.А. Тепловая аккомодация систем газ твердое тело. Минск: Наука и техника, 1977. - 126 с.

10. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженных газов. М., Машиностроение, 1977. 182 с.

11. Гудман Ю.А., Уманский А.С. Динамика рассеяния газа поверхностью. М.: Мир, 1980. 372 с.

12. Борисов С.Ф., Балахонов Н.Ф., Губанов В.А. Взаимодействие газов с поверхностью твердых тел. М.: Наука, 1988. 200 с.

13. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. 535 с.

14. Морс Ф. Теплофизика. М.: Наука, 1968. 416 с.

15. Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. 512 с.

16. Кочин Н.Е., Кибель И.Я., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. - 584 с. - Т. 2. - 728 с.

17. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Наука, 1964. 655 с.

18. Хаппель, Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М: Мир, 1976. 632 с.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

20. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336 с.

21. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

22. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

23. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. 315 с.

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

25. Больцман JI. Лекции по теории газов. М.: Гостехиздат, 1956. -554 с.

26. Аристов В.А., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана. М.: Изд-во ВЦ РАН, 1992. -192 с.

27. Берд Р. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. 320 с.

28. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960. 510 с.

29. Гиршфельдер Дж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961. 929 с.

30. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967. 440 с.

31. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

32. Грэд Г. Кинетическая теория газов // Термодинамика газов. М.: Машиностроение, 1970. С. 5 - 109.

33. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Наука, 1971. 332 с.

34. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. 245 с.

35. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с.

36. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // Неравновесные явления: уравнение Больцмана. М.: Мир, 1986. -С. 182-204.

37. Эндер А.Я. Исследование интеграла столкновений уравнения Больцмана и новые перспективы моментного метода. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.мат.наук. Ст.-Петербург, 2001. 312 с.

38. Фукс Н.А. Испарение и рост капель в газообразной среде. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 91 с.

39. Жук В.И. Кинетика испарения сферической капли // Численные методы в динамике разреженного газа. Вып 2. М.: ВЦ АН СССР, 1975. С. 69-90.

40. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация. М.: Металлургия. 1966. 196 с.

41. Kogan M.N. Evaporation/condensation kinetics // Proc, 19th Internat. Symp. on Rarefied Gas Dinamics. Oxford etc.: Oxford Univ. Press, 1995. Vol. 1. - P. 253-262.

42. Грин X., Лейн В. Аэрозоли дымы, пыли и туманы. JL: Химия, 1972. - 426 с.

43. Фукс Н.А. Механика аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР, 1955. -351 с.

44. Роджерс P.P. Краткий курс физики облаков. JL: Гидрометеоиз-дат, 1979. 231 с.

45. Derjaguin B.V., Yalamov Yu. I. The theory of thermophoresis and diffusiophoresis of aerosol particles and their experimental testing / / Topics of Current Aerosol Research, Oxford c. a., 1972. Vol. 3. -Part 2. - P. 1-200.

46. Яламов Ю.И., Галоян B.C. Динамика капель в неоднородных вязких средах. Ереван: Луйс, 1985. 295 с.

47. Ужов В.Н., Вальдберг А.Ю., Мягков Б.И., Рашидов И.Н. Очистка промышленных газов от пыли. М.: Химия, 1983. 297 с.

48. Epstein P.S. Zur theorie der Radiometerkrafte // Zs. Phys., 1924.1. B. 27. No 1. - P. 1-6.

49. Brock J.R. A First order slip - flow continuum analysis: the thermal force //J. Phys. Chem., 1962. - Vol. 66. - No 11. - P. 1763-1766.

50. Brock J.R. On the theory of thermal forces action on aerosol particles // J. Colloid. Sci., 1962. Vol. 17. - No 8. - P. 768-780.

51. Brock J.R. Forces on aerosols in gas mixtures //J. Colloid Sci., 1963. Vol. 18. - No 6. - P. 489-501.

52. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно больших аэрозольных частиц // ДАН СССР, 1964. Т. 155. - N°. 4.1. C. 886-889.

53. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И. Теория диффузиофореза больших аэрозольных частиц // ДАН СССР, 1965. Т. 165. - № 2. - С. 364-367.

54. Derjaguin B.V., Yalamov Yu. I. Theory of thermophoresis of large aerosol particles //J. Colloid, and Interface Sci., 1965. Vol. 20. -No 6. - P. 555-570.

55. Derjaguin B.V., Yalamov Yu. I., Storozhilova A.I. Diffusiophoresis of large aerosol particles //J. Colloid, and Interface Sci., 1966. Vol. 22. - No 2. - P. 117-125.

56. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И., Галоян B.C. Теория движения умеренно крупных аэрозольных частиц в неоднородных газах // ДАН СССР, 1971. Т. 201. - № 2. - С. 383-385.

57. Yalamov Yu.I., Derjaguin B.V., Galojan V.S. Theory of thermopho-resis of volatile aerosol particles and droplets of solutions // J. Colloid and Interface Sci., 1971. Vol. 37. - No 4. - P. 793-800.

58. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И., Галоян B.C. Теория термофореза умеренно крупных летучих частиц // Коллоидный ж., 1971. Т. 33. - № 4. С. 509-514.

59. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Гидродинамический метод расчета скорости термофореза умеренно крупных нелетучих аэрозольных частиц // Ж. физ. хим., 1971. Т. 45. - № 3. - С. 577-582.

60. Яламов Ю.И., Щукин Е.Р. Теория термофореза испаряющихся капель аэрозоля // Ж. физ. хим., 1971. Т. 45. - N° 10. - С. 2421-2424.

61. Яламов Ю.И., Дерягин Б.В. Теория термофореза умеренно крупных и крупных аэрозольных частиц с учетом теплового скольжения газа и скачка температуры у поверхности частицы // Коллоидный ж., 1971. Т. 33. - № 3. -С. 294-300.

62. Яламов Ю.И., Аладжян В.М., Галоян B.C., Дерягин Б.В. Диффу-зиофорез летучих аэрозольных частиц в режиме со скольжением // ДАН СССР, 1972. Т. 205. - № 2. - С. 316-318.

63. Яламов Ю.И., Обухов Б.А.,Дерягин Б.В. О диффузиофорезе крупных нелетучих аэрозольных частиц // ДАН СССР, 1972. -Т. 207. № 4. - С. 824-826.

64. Yalamov Yu.I., Gaidukov M.N. Diffusiophoresis and thermophoresis of large and moderately large droplets of solutions // J. Aerosol Sci., 1973. Vol. 4. - № 1. - C. 65-80.

65. Яламов Ю.И., Аладжян B.M., Галоян B.C. Теория диффузиофо-реза умеренно крупных летучих аэрозольных частиц с учетом скачка концентрации в пристеночном слое // Ж. физ. хим., 1973.- Т. 47. № 7. - С. 1672-1675.

66. Яламов Ю.И., Санасарян А.С. Движение капель и пузырьков в вязких средах в режиме со скольжением //Ж. физ. хим., 1974. -Т. 48. № 11. - С. 2693-2696.

67. Яламов Ю.И., Санасарян А.С. Термофорез жидких капель в вязких средах // Ж. физ. хим., 1974. Т. 48. - № 12. - С. 3059-3062.

68. Яламов Ю.И., Санасарян А.С. Движение капель в неоднородной по температуре вязкой среде // Инж. физ. журнал, 1975. Т. 28.- № 6. С. 1061-1064.

69. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н. Два метода построения теории тер-мофореза крупных аэрозольных частиц // Колл. журнал, 1976. -Т. 38. № 6. - С. 1149-1155.

70. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Голиков A.M. Два метода построения теории диффузиофореза крупных аэрозольных частиц // Колл. журнал, 1977. Т. 39. - № 6. - С. 1132-1138.

71. Баканов С.П., Ролдугин В.И. О двух методах построения теории термофореза крупных аэрозольных частиц // Колл. журнал, 1977. Т. 39. - № 6. - С. 1027-1038.

72. Баканов С.П., Ролдугин В.И. Термофорез в газах // Успехи физ. наук, 1979. Т. 129. - № 2. - С. 255-278.

73. Маясов Е.Г., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О термофорезе нелетучей сферической частицы в разреженном газе при малых числах Кнудсена // Письма в ЖТФ, 1988. Т. 14. - № 8. - С. 498 -502.

74. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. К теории термофореза цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разреженном газе // Теплофиз. высок, температур, 1994. Т. 32. - № 2. - С. 271-275.

75. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. Термофорез двухслойной цилиндрической аэрозольной частицы в умеренно разреженном газе / / Ж. техн. физ., 1995. Т. 65. - № 3. - С. 1-6.

76. Яламов Ю.И., Сафиуллин Р.А. Диффузиофорез умеренно крупной нелетучей сферической аэрозольной частицы в бинарной газовой смеси // Теплофиз. высок, температур, 1995. Т. 33. - № 4. - С. 621-624.

77. Сафиуллин Р.А., Яламов Ю.И. К теории диффузиофореза умеренно крупной твердой цилиндрической аэрозольной частицы в бинарной газовой смеси // Ж. техн. физ., 1995. Т. 65. - № 6. -С. 31-36.

78. Баканов С.П. К вопросу о влиянии летучести на термофорез аэрозолей // Изв. РАН МЖГ, 1995. № 5. - С. 181-186.

79. Алехин Е.И., Яламов Ю.И. Граничные условия при обтекании многокомпонентной смесью газов летучей сферической поверхности малой кривизны // Теплофиз. высок, температур, 1996. -Т. 34. № 3. - С. 487-491.

80. Шулиманова 3.JL, Щукин Е.Р., Еремчук Т.М. О фотофорезе твердой умеренно крупной сферической частицы с коэффициентом теплопроводности, зависящим от радиальной координаты // Письма в ЖТФ, 1996. Т. 22. - № 18. - С. 33-36.

81. Яламов Ю.И., Дьяконов С.Н. Тепловая задача при термофорезе агрегата двух крупных касающихся твердых сфер вдоль линии их центров // Теплофиз. высок, температур, 1997. Т. 35. - № 1.- С. 50-55.

82. Яламов Ю.И., Дьяконов С.Н. Гидродинамическая задача при термофорезе агрегата двух крупных касающихся твердых сфер вдоль линии их центров // Теплофиз. высок, температур, 1997. -Т. 35. № 1. - С. 56-60.

83. Яламов Ю.И., Чермошенцев А.В., Чермошенцева О.Ф. Термофо-рез умеренно крупной твердой аэрозольной частицы, имеющей форму слабо деформированной сферы // Теплофиз. высок, температур, 1997. Т. 35. - № 3. - С. 432-438.

84. Баканов С.П. Движение аэрозольных частиц в условиях термодиффузионной камеры // Колл. журнал, 1998. Т. 60. - № 1. -С. 129-131.

85. Яламов Ю.И., Хасанов А.С. Фотофорез гетерогенных по теплопроводности крупных аэрозольных частиц // Ж. техн. физ., 1998.- Т. 68. № 4. - С. 1-6.

86. Дьяконов С.Н., Яламов Ю.И. Термофорез касающихся твердых сфер вдоль линии их центров // Ж. техн. физ., 1998. Т. 68. -№ 5. - С. 25-31.

87. Gross Е.Р., Jackson Е.А., Ziering S. Boundary value problems in kinetic theory of gases // Ann. Phys, 1957. Vol. 1. - No 2. - P. 141-167.

88. Gross E.P., Ziering S. Kinetic theory of linear shear flow // Phys. Fluids, 1958. Vol. 1. - No 3. - P. 215-224.

89. Яламов Ю.И., Ивченко И.Н., Дерягин Б.В. Функция распределения газовых молекул по скоростям вблизи твердой стенки // ДАН СССР, 1967. Т. 175. - № 3. - С. 549-552.

90. Дерягин Б.В., И, Яламов Ю.И. О построении решения кинетического уравнения Больцмана в слое Кнудсена // Изв. АН СССР МЖГ, 1968. № 4. - С. 167-172.

91. Яламов Ю.И., Поддоскин А.Б., Юшканов А.А. О граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // ДАН СССР, 1980. Т. 254. - № 2. - С. 343-346.

92. Алехин Е.И., Яламов Ю.И. Математические основы решения граничных задач кинетической теории многокомпонентных газов вблизи конденсированной фазы. М.: МОПИ, 1991, 150 с.

93. Tamada К., Sone Y. Some studies on rarefied gas flows //J. Phys. Soc. Japan, 1966. Vol. 21. - No 7. - P. 1439-1445.

94. Sone Y. Flow induced by thermal stress in rarefied gas // Phys. Fluids, 1972. Vol. 15. - No 8. - P. 1418-1423.

95. Sone Y., Onishi Y. Kinetic theory of evaporation and condensation. // J. Phys. Soc. Japan, 1973. Vol. 35. - No 6. - P. 1773-1776.

96. Onishi Y., Sone Y. Kinetic theory of evaporation and condensation. Hydrodynamics equation and slip boundary condition // J. Phys. Soc. Japan, 1978. Vol. 44. - No 6. - P. 1981-1994.

97. Sone Y., Aoki K. Asymptotic theory of slightly rarefied gas flow and force on a closed body // Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ, 1987. Vol. 49. - No 3. - P. 237-248.

98. Aoki K., Sone Y., Yamada T. Numerical analysis of gas flows condensing on its plane condensed phase on the basis of kinetic theory // Phys. Fluids, 1990. Vol. 2. - No 10. - P. 1867-1878.

99. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1976. 381 с.

100. Siewert С.Е., Zweifel P.F. An exact solutions of equations of radiative transfer for local thermodynamics equilibrium in the non-gray case. Picket fence approximation // Ann. Phys, 1966. Vol. 36. - No 1. -P. 681-685.

101. Cercignani C. Closed form solutions for some two-group problem with anisotropic scattering // Nucl. Sci. Eng, 1977. Vol. 64. - No 4. - P. 382-384.

102. Cercignani С. Analytic solutions of the temperature jump problem for the BGK model // Transport Theory and Statistical Physics, 1977. Vol. 6. - No 1. - P. 25-56.

103. Kriese J.Т., Chang T.S., Siewert C.E. Elementary solutions of coupled model equations in the kinetic theory of gases // Intern. J. Eng. Sci, 1974. Vol. 12. - P. 441-476.

104. Frisch H., Frisch U. A method of Cauchy integral equation for noncoherent transfer in half-space //J. Quaunt. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1988. Vol. 39. - No 2. - P. 149-162.

105. Латышев А.В., Юшканов А.А. Точное решение уравнения Больц-мана с оператором столкновений БГК в задаче о слабом испарении // Мат. моделирование, 1990. Т. 2. - № 6. - С. 53-64.

106. Latyshev A.V., Gajdukov M.N., Spitkovski I.M. Analytic solution of the model Boltzmann equation with the collision operator of compound type // Operator Theory, 1991. Vol. 51. - № 2. - C. 189-199.

107. Лесскис А.Г., Титов А.К., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Интенсивное испарение коллектива частиц с учетом тепловой и ионизационной неравновесности в поле излучения / / Теплофиз. высоких температур, 1991. Т. 29. - № 5. - С. 864-871.

108. Латышев А.В. Аналитическое решение уравнения Больцмана с оператором столкновений смешанного типа // Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1991. Т. 31. - № 3. - С. 436-447.

109. Латышев А.В. Аналитическое решение эллипсоидально-статистического модельного уравнения Больцмана // Изв. РАН МЖГ, 1992. № 2. - С. 151-164.

110. Латышев А.В., Долгошеина Е.Б., Юшканов А.А. Точные решения модельного БГК уравнения Больцмана в задаче о скачке температуры и слабом испарении // Изв. РАН МЖГ, 1992. № 1. -С. 163-172.

111. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачке температуры с вращательными степенями свободы / / Теор. и мат. физика, 1993. Т. 95. - № 3. - С. 530-540.

112. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скачках температуры и плотности пара над поверхностью при наличии градиента температуры // Прикл. мат. и мех., 1994. -Т. 58. № 2. С. 70-76.

113. Латышев А.В., Юшканов А.А. Скачок температуры и слабое испарение в молекулярных газах // Ж. эксперим. и теор. физ., 1998. Т. 114. - № 3(9). - С. 956-971.

114. Maxwell J.С. On stress in rarefied gases, arising from inequalities of temperature // Phil. Trans. Roy. Soc. 1879. Vol. 170. - P. 231-256.

115. Loyalka S.K. Approximate method in the kinetic theory // Phys. Fluids, 1971. Vol. 14. - No 11. - P. 2291-2294.

116. Kramers H.A., Kistemaker J. On the slip of a diffusing gas mixture along a wall // Physica, 1943. Vol. 10. - No 8. - P. 699-613.

117. Кучеров Р.Я., Рикенглаз Л.Э. Скольжение и температурный скачок на границе газовой смеси // Ж. эксперимент, и теор. физ., 1959. Т. 36. - № 6. - С. 1758-1761.

118. Loyalka S.K. Velocity slip coefficient and the diffusion slip velocity for a multicomponent gas mixture // Phys. Fluids, 1971. Vol.14. -No 12. - P. 2592-1604.

119. Loyalka S.K. The slip problems for a simple gas // Z. Naturforch., 1971. Vol. 26a. - No 6. - P. 964-972.

120. Lang H., Loyalka S.K. Diffusion slip velocity. Theory and experiment // Z. Naturforch., 1972. Vol. 27a. - No 10. - P. 1307-1319.

121. Loyalka S.K. Temperature jump in a gas mixture // Phys. Fluids, 1974. Vol. 17. - No 5. - P. 897-899.

122. Абрамов Ю.Ю. Приближенный метод решения задач кинетического уравнения вблизи границы. Температурный скачок // Теп-лофиз. высок, температур, 1970. Т. 8. - № 5. - С. 1013-1017.

123. Абрамов Ю.Ю., Гладуш Г.Г. Течение разреженного газа вблизи неоднородно нагретой поверхности // Изв. АН СССР МЖГ, 1970. № 2. - С. 20-29.

124. Гайдуков М.Н., Компанеец В.Н., Яламов Ю.И. Приближенный метод решения кинетического уравнения для умеренно плотных газов вблизи границы. Скольжение бинарной газовой смеси // Изв. АН СССР МЖГ, 1983. № 2. - С. 113-119.

125. Яламов Ю.И., Гайдуков М.Н., Мелкумян М.А. Обобщенная теория скачков температуры и концентрации в бинарной газовойсмеси у поверхности жидкости // ДАН СССР, 1983. Т. 270. -№ 6. - С. 1384-1388.

126. Loyalka S.K. Slip and jump coefficients for rarefied gas flows: variational results for Lennard-Jones and n(r) 6 potentials // Physica, 1990. - Vol. 163. - № 3. - C. 813 - 821.

127. Волков И.В., Галкин B.C. Анализ коэффициентов скачков температуры и парциальных давлений бинарной смеси испаряющихся газов // Изв. АН СССР МЖГ, 1991. № 6. - С. 150-159.

128. Галкин B.C. О пристеночных скачках температуры, парциальных давлений и заселенностей многокомпонентных смесей неравновесных многоатомных газов. // Изв. РАН МЖГ, 1993. № 2.- С. 133-141.

129. Ивченко И.Н., Лоялка С.К., Томпсон Р.В. Об использовании законов сохранения в плоских задачах скольжения // Теплофиз. высок, температур, 1995. Т. 33, № 1. - С. 66-72.

130. Алехин Е.И., Яламов Ю.И. Граничные условия при обтекании многокомпонентной смесью газов летучей сферической поверхности малой кривизны // Теплофиз. высок, температур, 1996. -Т. 34. № 3. - С. 487-91.

131. Алехин Е.И., Головкина И.Н., Яламов Ю.И. О влиянии гетерогенных химических реакций на скорость скольжения неоднородной многокомпонентной газовой смеси // Ж. техн. физ., 1997. Т. 67.- № 5. С. 29-33.

132. Алехин Е.И., Головкина И.Н., Яламов Ю.И. О влиянии фазового перехода на скорость скольжения неоднородной многокомпонентной газовой смеси // Теплофиз. высок, температур, 1997. Т. 35.- № 4. С. 680-684.

133. Ivchenko I.N., Loyalka S.K., Tompson R.V. Slip coefficients for binary gas mixture //J. Vac. Sci. and Technol., 1997. Vol. 15. - No 4. -P. 2375-2379.

134. Gross E.P., Ziering S. Heat flow between parallel plates // Phys. Fluids, 1959. Vol. 2, No 6. - P. 701 - 712.

135. Bassanini P., Cercingnani C., Pagani C.D. Comparision of kinetic theory analyses of linearised Heat transfer between parallel plates / / J. heat and mass transfer, 1967. Vol. 10. - No 4. - P. 447-460.

136. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о теплопередаче между параллельными бесконечными стенками в разреженном газе // Изв. АН СССР МЖГ, 1970. № 5.- С. 190-193.

137. Cipolla J.W. Heat transfer and temperature jump in a polyatomic gas //J. heat and mass transfer, 1970. Vol. 14. - No 10. - P. 1599-1610.

138. Thomas J.R., Cang T.S., Siewert C.E. Heat transfer between parallel plates with aritrary surface accommodation // Phis. Fluids, 1973. -Vol. 16. P. 2116.

139. Маркеев Б.М. Об изотермическом течении газа между параллельными плоскостями при произвольной аккомодации тангенциального импульса // Прикл. мат. и мех., 1977. Т. 41. - № 4. - С. 661-666.

140. Маркеев Б.М. О тепловом скольжении газа между параллельными плоскостями // Ж. техн. физ., 1978. Т. 48. - № 3. - С. 454-459.

141. Pazooki N., Loyalka S.K. Heat transfer in a rarefied polyatomic gas- I. Plane parallel plates //J. Heat Mass Transfer, 1985. Vol. 28.- No 11. P. 2019-2026.

142. Lees L., Liu Chung-Yen. Kinetic theory description of conductive heat transfer from a fine wire // Phys. Fluids, 1962. Vol. 5. - No 10. - P. 1137-1148.

143. Lees L. Kinetic theory description of rarefied gas flow //J. Soc. Indust. Appl. Math, 1965. Vol. 13. - No 1. - P. 278-311.

144. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Об испарении и конденсации сферических капель при произвольных числах Кнудсена // Изв. АН СССР. МЖГ, 1974. № 3. - С. 164-166.

145. Ивченко И.Н. Об одном методе решения граничных задач переноса при произвольных числах числах Кнудсена // Изв. РАН МЖГ, 1986. № 3. - С. 182-185.

146. Ivchenko I.N. Generalization of the Lees method in bondary problems of transfer //J. Colloid Interface Sci, 1990. Vol. 135. - No 1. -P. 16-19.

147. Ивченко И.Н., Лойялка С.К., Томпсон Р.В. Об одном методе решения проблемы переноса тепла между двумя цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // Теплофиз. высок, температур, 1993. Т. 31. № 4. - С. 636-641.

148. Ивченко И.Н., Лойялка С.К., Томпсон Р.В. Метод решения линеаризованных задач теории переноса для сферической геометрии при произвольных числах Кнудсена // Изв. РАН МЖГ, 1994. -№ 6. С. 181-186.

149. Lang Н. Heat and mass exchange of a droplet in a polyatomic gas / / Phis. Fluids, 1983. No 8. - P. 2109 - 2114.

150. Ивченко И.Н., Лойялка С.К., Томпсон Р.В. Упрощение моментных систем для задач переноса с криволинейными границами / / Изв. РАН МЖГ, 1997. № 2. - С. 201-205.

151. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М.А. A model for collision processes in gases // Phys. Rev, 1954. Vol. - 94. - No 3. - P. 511 - 525.

152. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. К вопросу о вычислении потока тепла от сферической частицы при всех числах Кнудсена // Теплофиз. высок, температур. 1994. - Т. 32. - № 4. - С. 554-557.

153. Савков С.А., Юшканов А.А. Модификация метода Лиза в приложении к вычислению потока тепла от сферической частицы при всех числах Кнудсена // Прикл. мех. и техн. физ., 1996. Т. 37. - № 1. - С. 57-63.

154. Алехин А.Е. Вычисление потока тепла от нелетучей сферической частицы при произвольных числах Кнудсена. Орел, 1997. 16 с. -Деп. в ВИНИТИ № 477-1397.

155. Ларина И.Н., Рыков В.А. Расчет плоских течений разреженного газа при малых значениях числа Кнудсена // Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1996. Т. 36. - № 2. - С. 135-150.

156. Шахов Е.М. Численное решение кинетического уравнения для задачи об испарении-конденсации // Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 1998. Т. 38. № 6 С. 1040-1053.

157. Cerciniani С., Pagani C.D. Variational approach to rarefied flows in cylindrical and spherical geometry // Rarefied Gas Dynamics, 1967. Vol. 2. - P. 555-573.

158. Bassanini P., Cerciniani C., Pagani C.D. Influence of the accommodation coefficient on the heat transfer in a rarefied gas // J. Heat Mass Transfer, 1968. Vol. 11. - No 9. - P. 1359-1369.

159. Маргилевский A.E., Черняк П.Е., Суетин П.Е. Теплоперенос в разреженном газе от сферического источника // Инж. физ. журнал, 1980. Т. 39. - № 3. - С. 428-434.

160. Chernyak V.G., Margilevskiy A.Ye. The kinetic theory of heat and mass transfer from a spherical particle in a rarefied gas // J. Heat Mass Transfer, 1986. Vol. 32. - No 11. - P. 2127-2134.

161. Береснев С.А., Черняк В.Г., Суетин П.Е. Движение сферической частицы в собственном насыщенном паре при произвольных числах Кнудсена // ДАН СССР, 1983. Т. 268. - № 3. - С. 588-591.

162. Береснев С.А., Черняк В.Г., Суетин П.Е. Сила сопротивления летучей сферической частицы, движущейся в собственном насыщенном паре // Теплофиз. высок, температур, 1983. Т. 21. -№ 6. - С. 1145-1153.

163. Beresnev S., Chernyak V. Thermophoresis of a spherical particle in a rarefied gas: numerical analysis based on the model kinetic equations // Phys. Fluids, 1995. Vol. 7. - No 7. - P. 1743-1756.

164. Pazooki N., Loyalka S.K. Heat transfer in a rarefied polyatomic gas- II. Sphere // J. Heat Mass Transfer, 1988. Vol. 31. - No 5. - P. 977-985.

165. Takata S., Sone Y., Lhuillier D., Wakabayshi M. Evaporation from or condensation onto a sphere // Computers Math. Applic, 1998. -Vol. 35. No 1/2. - P. 193-214.

166. Шахов E.M. Метод исследования движений разреженного газа. -М.: Наука, 1974, 208 с.

167. Каган Ю., Афанасьев A.M. К кинетической теории газов с вращательными степенями свободы //Ж. эксперим. и теор. физ., -1961. Т. 41. - № 3. - С. 1536-1545.

168. Morse T.F. Kinetic model for gases with internal degrees of freedom // Phys. Fluids, 1964. Vol. 7. - No 2. - P. 159-169.

169. Holway L.H. New statistical models for kinetic theory: Methods of constrution // Phys. Fluids, 1966. Vol. 9. - No 9. - P. 1658-1673.

170. Bray C.A. Kinetic theory of polyatomic gases: Models for the collision processes // Phys. Fluids, 1967. Vol. 10. - No 1. - P. 48-55.

171. Hanson F.B., Morse T.F. Kinetic models for a gas with internal structure // Phys. Fluids, 1967. Vol. 10. - No 2. - P. 345-353.

172. Рыков В.А. Модельное кинетическое уравнение для газа с вращательными степенями свободы // Изв. АН СССР, МЖГ, 1975.- № 6. С. 107-115.

173. Safar J.R. Kinetic equations for gases internal enegry states // Chemical Physis Letters, 1976. Vol. 44. - No 3. - P. 594-596.

174. Loyalka S.K., Storvick T.S. Kinetic theory of thermal transpiration and mecanocaloric effect. III. Flow of polyatomic gas between parallel plates // J. Chem. Phys, 1979. Vol. 71. - No 1. - P. 339-350.

175. Cercignani C. Strong evaporation of a polyatomic gas // Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics. N.Y, 1981. Vol. 1. - P. 305-320.

176. Ларина И.P., Рыков В.А. О граничных условиях для газов на поверхности тела // Изв. АН СССР, МЖГ, 1986. № 5. - С. 141-148.

177. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989. 336 с.

178. Осипов А.И., Панченко В.Я. Тепловые эффекты при взаимодействии лазерного излучения с молекулярными газами. М.: Изд-во МГУ, 1983. 117 с.

179. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // Успехи физ. наук, 1967.- Т. 93. № 1. - С. 19-70.

180. Wood A.D., Camac М., Gerry Е.Т. Effect of 10.6 \i laser induced air chemistry on the atmospheric refractive index // Appl. Opt. 1971.- Vol. 10. No 8. - P. 1877-1882.

181. Breig E.L. Limitation on the atmospheric thermal effects for high-power C02 laser beams // JOSA, 1972. Vol. 62. - No 4. - P. 518-525.

182. Akhmanov S.A., Khokhlov R.V., Sukhorukov A.P. Self-focusing, self-defocusing and self-modulation of laser beams // Laser handbook. Amst., 1972. Vol. 2. - P. 1151.

183. Луговой В.Н., Прохоров A.M. Теория распространения лазерного излучения в нелинейной среде // Успехи физ. наук, 1973. Т. 111. - № 2. - С. 203.

184. Аскарьян Г.А. Эффект самофокусировки // Успехи физ. наук, 1973. Т. 111. - № 2. - С. 249.

185. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. М, 1988.

186. Шен И.П. Принципы нелинейной оптики. М, 1989.

187. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М, 1990.

188. Greenspan М. Propogation of sound in five monatomic Gasis //J. Accoust. Soc, 1956. Vol. 28. - No 4 - P. 644-648.

189. Sirovich L. Propogation of forced sound waves in rarefied gasdinamics // J. Accoust. Soc., 1965. Vol. 37. - No 2 - P. 329-339.

190. Loylka S.K., Cheng T.C. Sound-waves propogation in a rarefied gas // Phis. Fluids, 1979. Vol. 22. - No 5. - P. 830-836.

191. Шашков А.Г., Бубнов В.А., Яновский С.Ю. Волновые явления теплопроводности. Минск: Навука i техшка, 1993. 279 с.

192. Wadsworth D.C., Erwin D.A., Muntz Е.Р. Transient motion of a confined rarefied gas due to wall heat or cooling //J. Fluids Mech, 1993. Vol. 248. - P. 219-235.

193. Huang Yu., Ban Haim H. Termoacoustic waves in a semi-intimae medium // J. heat and mass transfer, 1995. Vol. 38. - No 8. - P. 1329-1345.

194. Титарев В.А., Шахов Е.М. Теплоотдача и испарение с плоской поверхности в полупространство при внезапном повышении температуры тела // Изв. РАН МЖГ, 2002. № 1. - С. 141-153.

195. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986. - 800 с.

196. Sone Y., Sugimoto Н. Kinetic theory analysis of steady evaportating flows from a spherical condensed phase into a vacuum // Phis, fluids, 1993. Vol. 5. - No 6. - P. 1491-1511.

197. Sone Y., Sugimoto H. Evaporation of a rarefied gas from a cylindrical condensed condensed phase into a vacuum // Phis, fluids, 1995. Vol. 7. - No 8. - P. 2072-2085.

198. Габбасов H.C. Об одном сплайн-методе численного решения интегральных уравнений третьего рода // Дифференц. уравнения, 1991. Т. 27. - № 6. - С. 1648-1650.

199. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. -Т. 5. М.: Наука, 1976. 584 с.

200. Такао К. Heat transfer from a sphere in a rarefied gas // Rarefied gas dynamics. New York: Academic Press, 1963. Vol. 2. - P. 102-110.

201. Teagan W.P., Springer G.S. Heat-transfer and densiti-distribution measurmends between parallel plates in the transition regime // Phys. Fluids, 1968. Vol. 11. - No 3. - P. 497-506.

202. Крылов В.И. Вычислительные методы.

203. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

204. Springer G.S., Wan S.F. Note on the application of a moment method to heat condaction in rarefied gases between concentric spheres // AIAA Journal, 1966. No 8. - P. 800-801.

205. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

206. Г ахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

207. Савков С.А., Юшканов А.А. О вычислении моментов интеграла столкновений от разрывных функций скорости / / Избранные вопросы теоретической и математической физики. М.: МОПИ, 1986. С. 30 42 (Деп. в ВИНИТИ № 5322 - В86).

208. Юшканов А.А., Савков С.А. О зависимости коэффициентов скольжения от модели межмолекулярного взаимодействия / / Инж.-физ журнал, 1986. Т. 51. - № 4. - С. 686-687.

209. Яламов Ю.И., Савков С.А., Юшканов А.А. О зависимости коэффициентов теплового и изотермического скольжения от температуры // ДАН СССР, 1987. Т. 296. - № 5. - С. 1107-1111.

210. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение БГК-модели нестационарного уравнения Больцмана // ТМФ, 1997. -Т. 113. № 1. - С. 139-148.

211. Савков С.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. О вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // Там же. С. 123.

212. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение кинетического уравнения Больцмана в задачах об источниках тепла и частиц // Тезисы докладов Второй международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применение". Санкт-Питербург, 1998. С. 151.

213. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Модификация метода полупространственных моментов в приложении к задаче о вычислении потока тепла от сферической частицы при всех числах Кнудсена // ТВТ, 2000. Т. 38. - № 1. - С. 96-100.

214. Савков С.А. О решении дисперсионных уравнений // Труды IX международного симпозиума " Методы дискретных особенностей в задачах математической физики". Орел, 2000. С. 385-387.

215. Савков С.А. О решении кинетического уравнения для молекулярных газов // там же. С. 387-391.

216. Савков С.А., Юшканов А.А. О вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // там же. С. 163-164.

217. Савков С.А. О решении кинетического уравнения // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал www.neva.ru/journal, 2000. № 3.

218. Савков С.А., Юшканов А.А. К вопросу о вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами при произвольных числах Кнудсена // ЖТФ, 2000. Т. 70. - № 11. - С. 9-14.

219. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. О вычислении потока тепла от сферической частицы в молекулярном газе // ЖТФ, 2001. Т. 71. - № 10. - С. 36-40.

220. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Решение кинетического уравнения Больцмана в задаче о вычислении потока тепла от сферической частицы при произвольных числах Кнудсена // ТВТ, 2001. Т. 39. - № 4. - С. 657-664.

221. Савков С.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы при произвольных числах Кнудсена // ИФЖ, 2002. Т. 75. - № 3. - С. 111-117.

222. Савков С.А., Юшканов А.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // ИФЖ, 2002. Т. 75. - № 5. - С. 149-154.

223. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла от сферической частицы в многоатомном газе // ТВТ, 2002. Т. 40. - № 4. - С. 662-668.

224. Савков С.А., Юшканов А.А. О вычислении потока тепла от сферической частицы в двухатомном газе // ПМТФ, 2002. Т. 43. -№ 5. - С. 97-104.

225. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение кинетического уравнения в задаче о точечных источниках в двухатомном газе // ТМФ, 2002. Т. 133. - № 1. - С. 132-144.

226. Савков С.А., Юшканов А.А. Об аналитическом решении нестационарного кинетического уравнения. II. Двухатомный газ. // там же. С. 326-328.

227. Савков С.А. Анализ аналитического решения нестационарного кинетического уравнения для точечного источника тепла //Письма в ЖТФ, 2003. Т. 29. - Вып. 1. - С. 75-83.

228. Савков С.А., Юшканов А.А. Яламов Ю.И. О нестационарном тепло- и массопереносе в многоатомных газах //ЖТФ, 2003. -Т. 73. Вып. 1. - С. 19-29.

229. Савков С.А. Применение метода Кейза к решению задач о точечных источниках тепла и частиц // Мат. моделирование, 2003. -Т. 15. № 3. - С. 74-82.

230. Савков С.А. Об учете аккомодации энергии при вычислении потока тепла между коаксиальными цилиндрами // Изв. РАН МЖГ, 2003. № 3. - С. 171-176.

231. Савков С.А. К вопросу о вычислении потока тепла в ограниченном пространстве // Вестник науки. Вып. 3. - Орел, 2004. - С. 107-109.