Устойчивость армированных цилиндрических оболочек с упругим заполнителем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Устойчивость изотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем под действием внешнего нормального давления и осевого сжатия

1.1. Уравнения теории пологих оболочек.

1.2. Модели упругого заполнителя.

1.3. Цилиндрическая оболочка.

1.4. Нормальное давление.

1.5. Осевое сжатие. л , \ ■■

1.6. Критические нагрузки.

1.7. Анализ результатов.

Глава 2 Устойчивость анизотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем под действием внешнего нормального давления

2.1. Соотношения упругости для тонкой анизотропной оболочки.

2.2. Уравнения равновесия.

2.3. Потеря устойчивости.

2.4. Цилиндрическая анизотропная оболочка

2.5. Асимптотический анализ уравнений Доннела.

2.6. Нулевое приближение.

2.7. Первое приближение.

2.8. Второе приближение.

2.9. Численный анализ.

Глава 3 Устойчивость анизотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при кручении.

3.1. Кручение оболочки. Постановка задачи.

3.2. Потеря устойчивости. Нулевое приближение.

3.3. Потеря устойчивости. Первое приближение

3.4. Критические усилия и формы волнообразования

3.5. Асимптотические формулы в частном случае.

Глава 4 Устойчивость анизотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем под действием осевого сжатия

4.1. Осевое сжатие оболочки.

4.2. Потеря устойчивости при осевом сжатии.

4.3. Критическая нагрузка

4.4. Формы волнообразования.

4.5. Упрощение и асимптотические формулы.

В современной технике в качестве составных и несущих частей различных конструкций находят широкое применение разного рода оболочки. Корпуса судов, ракет, самолетов, разнообразные резервуары представляют собой конструкции такого типа. За последние полвека в этих областях происходило бурное развитие технологий - появлялись и появляются новые материалы, новые технологические решения и вслед за ними интенсивно разрабатываются и методы их расчета. Спектр возникающих задач крайне широк и, естественно, внимание исследователей в первую очередь было обращено на проблемы, имеющие непосредственное практическое значение.

Особое внимание уделялось исследованию вопросов, связанных с тонкими оболочками в силу того, что такие конструкции сочетают в себе высокую прочность и относительно малый вес. Такое сочетание качеств востребовано в авиа- и ракетостроении. Сам материал оболочки представляет собой в зависимости от технологических решений либо однородный изотропный массив, либо содержит в себе конструктивную или технологическую анизотропию. Классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява, описывающая такие оболочки, была достаточно полно разработана к концу 50-х годов XX века. Основной вклад в развитие теории тонких изотропных пластин и оболочек внесли ученые В. 3. Власов, А. С. Вольмир, А. Л. Гольденвейзер, А. И. Лурье, X. М. Муштари, В. В. Новожилов, С. П. Тимошенко и многие другие. Вопросы, связанные с задачами теории пластин, изложены в работах [7, 12, 14, 33, 41]. Задачи общей теории оболочек в ' линейной и нелинейной постановках и их приложения изучались в работах [11, 19, 21, 22, 47, 48]. Устойчивость тонких оболочек рассматривалась в работах [49, 65, 66, 68, 72].

Построением теории анизотропных и слоистых пластин и оболочек и разработкой аналитических и численных методов их решения занимались А. С. Амбарцумян, В. В. Болотин, К. 3. Галимов, Э. И. Григолюк, В. И. Королев, X. М. Муштари, Ю. Н. Новичков, А. Ф. Смирнов, К. Ф. Черных и другие исследователи. Основы механики слоистых сред и введение в теорию анизотропной упругости даны в работах [74, 75, 77]. Общие вопросы теории анизотропных пластин, вопросы их прочности, устойчивости и колебаний изложены в работах [1, 3, 20, 55]. Общие вопросы, связанные с теорией анизотропных оболочек, описываются в работах [2, 3, 6, 58, 73]. Вопросы устойчивости таких оболочек изучались в работах [26, 28, 42]. Приложение анизотропных оболочек в судостроении описано в работе [50].

С развитием вычислительной техники акцент в решениях задач теории оболочек сместился на разработку и использование численных методов исследования [8, 36, 62, 64, 78], в том числе - метода конечных элементов [18, 37]. Численные методы позволяют решать широкий круг задач и по праву занимают свое место в теории расчета оболочечных конструкций. Не умаляя их достоинств, следует отметить хорошо известные недостатки, присущие этим методам - они не универсальны, требуют больших вычислительных мощностей, и плохо работают, когда приходится иметь дело с очень большими или очень маленькими величинами. В таких случаях хорошие результаты дают приближенные аналитические и асимптотические методы расчета [22, 68]. Во многих случаях они приводят к удовлетворительному по точности приближенному решению или позволяют существенно упростить численное решение. Знакомство же с аналитическими результатами проясняет качественную картину поведения систем и способствует пониманию механизма потери устойчивости.

Однако в реальных конструкциях гладкие оболочки в чистом виде встречаются редко. Обычно присутствуют те или иные конструктивные особенности - шпангоуты, ребра жесткости, технологические швы и т.п. Наличием этих факторов было вызвано появление ряда работ, связанных с исследованием поведения и расчетом таких конструкций. Проводились экспериментально-теоретические исследования, связанные с деформированием тонкостенных анизотропных оболочек [5]. Изучались вопросы проектирования сетчатых композитных цилиндрических оболочек [9], проводились исследования поведения оболочек с косым срезом и сопряженных оболочек [38, 70]. Исследовалось влияние несовершенства формы на устойчивость оболочек, близких к цилиндрическим [45] и устойчивость сферических оболочек несовершенной формы [79]. Была рассмотрена устойчивость ребристых цилиндрических оболочек [51], устойчивость многослойных оболочек вращения [57], устойчивость армированных оболочек [63] и другие задачи.

Отдельно следует выделить класс задач, когда оболочка или пластина связана с массивным упругим телом. Начало исследованию этого вопроса было положено в работах, посвященных рассмотрению задач о балках и плитах на упругих основаниях [13, 24, 27, 43]. Вопросы, связанные с задачами колебаний и устойчивости оболочек, сопряженных с упругим телом, были рассмотрены в работах [17, 26, 28, 35, 34, 53, 56, 67, 71]. Несмотря на то, что внимание многих авторов было обращено на исследование этих задач, до сих пор вопросы, связанные с такими конструкциями, до конца не изучены. В настоящее время продолжаются исследования в этой области [23, 25, 44, 59].

Примерами таких конструкций могут служить резервуары, погруженные полностью или частично в грунт - в этом случае сопряженное тело находится снаружи оболочки. Примером конструкции, когда упругое тело находится внутри оболочки, является ракета, работающая на твердом топливе. Однако первые ракеты были жидкотопливными. Их корпус представлял собой однородный стальной, позже - легкий алюминиево-магниевый сплав. Эта система рассматривается как изотропная оболочка, подверженная различным нагрузкам, возникающим в полете - искусственно поддерживаемому внутреннему давлению, осевому сжатию при разгоне ракеты и усилиям сдвига при маневрировании. Эти задачи и были изучены первыми достаточно хорошо и полно к концу 60-х годов.

Но ракеты на жидком топливе обладали существенными недостатками и следующим шагом в развитии техники стало появление ракет с двигателем на твердом топливе (ДТТ). Такие ракеты обладают рядом преимуществ - они более просты в производстве и обслуживании, легки, надежны, развивают большую мощность при сравнительно небольшом объеме самой ракеты. Американские стратегические ракеты "Полярис" и "Трайдент" - твердотопливные. Также ДТТ всегда использовались в небольших боевых снарядах и ракетах, устройствах катапультирования на реактивных самолетах и для отделения ракетных ступеней.

При проектировании и изготовлении таких конструкций возникают вопросы об их прочности и устойчивости в работе. Несомненно, эти вопросы были исследованы на этапе проектирования соответствующих систем. Однако ответы на них были получены преимущественно с помощью численных методов.

Цель данной диссертационной работы - разработка аналитических приближенных методов расчета таких конструкций, основанных на методе асимптотического интегрирования по малому параметру. Аналитические и асимптотические методы являются хорошим дополнением к численным методам и эффективно работают там, где численные методы проявляют свои недостатки.

С точки зрения специалиста по теории оболочек твердотопливная ракета представляет собой тонкую цилиндрическую оболочку, скрепленную с массивным телом. Тело предполагается мягким по сравнению с жесткостью материала оболочки и подчиняющимся закону Гука. Сам материал оболочки является либо изотропным (например, сталь), либо анизотропным (различного рода композиционные материалы). Типичная технология изготовления оболочек таких ракет - намотка жестких нитей на основу с проклейкой их эпоксидными смолами. Именно такой тип анизотропии и исследуется в данной работе.

Структура работы определена поставленной целью. В первой главе приведены уравнения, описывающие изотропную оболочку, сопряженную с мягким телом. Обсуждаются различные модели упругого основания и дается обоснование выбора используемой в дальнейшем модели. Рассматривается устойчивость цилиндрической изотропной оболочки с упругим заполнителем под действием нормального давления и осевого сжатия.

Вторая, третья и четвертая глава посвящены задачам устойчивости анизотропных оболочек под действием различных нагрузок. Во второй главе выводятся соотношения, описывающие армированную нитями оболочку с упругим заполнителем, и рассматриваются вопросы устойчивости таких оболочек под действием внешнего нормального давления. В третьей главе исследуется вопросы устойчивости армированных оболочек под действием усилий сдвига. В четвертой главе рассмотрена задача устойчивости анизотропной оболочки с заполнителем под действием осевого сжатия.

Отличительной особенностью данной работы является использование модели заполнителя, учитывающей связь между реакцией заполнителя и формой потери устойчивости оболочки. Основные результаты исследования являются новыми. Со списком публикаций можно ознакомиться в конце диссертации.

В работе использованы асимптотические методы для построения разложений критической нагрузки и форм потери устойчивости по малому параметру. Получены аналитические выражения для критических нагрузок в различных задачах нагружения, исследованы формы потери устойчивости оболочки и влияние анизотропии и заполнителя на критические нагрузки. Приведены данные численных расчетов по выведенным формулам и их сравнение с результатами расчетов по известным асимптотическим формулам.

Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

- для изотропной оболочки с заполнителем получено решение, учитывающее зависимость реакции заполнителя от формы волнообразования оболочки при потере устойчивости, для случаев осевого сжатия и нагружения оболочки нормальным давлением.

- исследованы формы волнообразования такой оболочки при потере устойчивости и влияние заполнителя на эти формы.

- для анизотропной оболочки, армированной нитями, исследована задача нагружения оболочки внешним нормальным давлением. Получены асимптотические формулы для критической нагрузки с точностью до второго приближения по малому параметру

- исследована задача устойчивости армированной нитями оболочки при кручении. Получены асимптотические формулы для критической нагрузки с точностью до первого приближения по малому параметру. Исследовано влияние заполнителя на формы волнообразования.

- исследована задача устойчивости анизотропной оболочки под действием осевого сжатия. Получены аналитические формулы для критической нагрузки. Исследованы формы волнообразования при потере устойчивости и влияние заполнителя и анизотропии на эти формы.

Полученные результаты позволяют оценить качественную картину поведения армированных оболочек при потере устойчивости и могут быть использованы на этапе эскизного проектирования соответствующих систем. Также с их помощью можно контролировать результаты, полученные численными методами на дальнейших этапах проектирования.

Результаты исследования этого вопроса представлены на рис. 4.2, 4.3. На рис. 4.2 показано распределение волновых чисел в зависимости от величин критической нагрузки. Контурные линии соответствуют распределению волновых чисел при фиксированном процентном отклонении ДА нагрузки от минимального значения \rnin; армирующая обмотка оболочки принята круговой (9 = т/2).

В случае пустой изотропной оболочки (£о = 0, Ес = 0) волновые числа, соответствующие минимальной критической нагрузке \rnin, находятся на полуокружности в осях {рп — рьтт/1:Ьт = /хт}, [68]; близлежащие значения А распределены вокруг этой полуокружности (рис. 4.2, 1). При наличии жестких армирующих волокон такая множественность форм исчезает, близлежащие значения нагрузки группируются вокруг минимального значения так, как это показано на рис. 4.2, 2~4

Наличие заполнителя оказывает следующее влияние - для изотропной оболочки формы потери устойчивости стремятся к осесимметричным с ростом жесткости заполнителя (рис. 4.2, 5, 9). В случае анизотропных оболочек наблюдается подобный эффект перехода к осесимметричным формам, однако этот переход зависит от степени анизотропии в оболочке - для оболочек с меньшей долей изотропной части осесимметричные формы потери устойчи

Рис 4.2. Анизотропия и формы потери устойчивости, в = у

Рис 4.3. Заполнитель и формы потери устойчивости, = 0.215 вости реализуются при больших жесткостях заполнителя (рис. 4.2, 6-8, 10-12). Зависимость форм волнообразования анизотропной оболочки для различных углов обмотки при изменении жесткости заполнителя представлена на рис. 4.3.

4.5. Упрощение и асимптотические формулы

Как уже обсуждалось выше, потеря устойчивости анизотропных оболочек с заполнителем при осевом сжатии часто происходит по осесимметричной форме, р2 = 0. В этом случае выражения (4.10), (4.11) можно упростить: денное из (4.7). Для удовлетворения граничным условиям (2.36) следует выбрать ближайшее к птог-„ целое значение п. Однако при малых жесткостях заполнителя и углах обмотки, близких к 0 и 7г/2 формулы (4.12) и (4.13) дают существенную погрешность, завышая значение критической нагрузки: в этих случаях следует пользоваться полными выражениями (4.10), (4.11).

При решении данной задачи были рассмотрены только условия шарнирного опирания (2.36). Известно, что при осевом сжатии изотропной оболочки граничные условия на торцах слабо влияют на значения критической нагрузки [68]. Проявление подобного эффекта следует ожидать и в случае анизотропной оболочки. Ис

Минимум Л в (4.12) достигается при

1/4

4.13)

Значению р™п соответствует значение параметра п = птгп, найходя из этих соображений, формулы (4.10)—(4.13) можно использовать для качественной оценки поведения критической нагрузки и в задачах с другими граничными условиями.

В заключение следует отметить, что формулы (4.10)-(4.13) можно применять и для расчета изотропных оболочек; в этих частных случаях результаты расчета критической нагрузки хорошо согласуются с асимптотической формулой (1.31) для критического усилия оболочек средней длины [68]:

Т-Р = -ЕЬ2

Д>/3(1 -V2)

4.14) и совпадают с данными, полученными по формуле (1.27):

7* = где

1 + 02)1

12(1 - р2) № +

I „ * а.

1 + гЯ)2?/ с??у

1 +

V а.г

-1 г?2 1 + аа] ' (4.15)

7* = Г^ДДЯЛ2), $ = птгДДтЬ), 7} = т2/1/й,а* = асИ2/(Ек), ас = (4Сс(1 - ре)/(3 - 4ус)Ук\ + к1 вс = Ес/{2(1 + ие)).

Заключение

В данной работе исследованы вопросы устойчивости армированных цилиндрических оболочек с упругим заполнителем под действием различных нагрузок. Основные результаты исследования, выносимые на защиту:

1. Для изотропной оболочки с заполнителем получено решение, учитывающее зависимость реакции заполнителя от формы волнообразования оболочки при потере устойчивости, для случаев осевого сжатия и нагружения оболочки нормальным давлением.

2. Исследованы формы волнообразования такой оболочки при потере устойчивости и влияние заполнителя на эти формы.

3. Для анизотропной оболочки, армированной нитями, исследована задача нагружения оболочки внешним нормальным давлением. Получены асимптотические формулы для критической нагрузки с точностью до второго приближения по малому параметру- . Исследована задача устойчивости армированной нитями оболочки при кручении. Получены асимптотические формулы для критической нагрузки с точностью до первого приближения по малому параметру. Исследовано влияние заполнителя на формы волнообразования.

5. Исследована задача устойчивости анизотропной оболочки под действием осевого сжатия. Получены аналитические формулы для критической нагрузки. Исследованы формы волнообразования при потере устойчивости и влияние заполнителя и анизотропии на эти формы.

Рассмотренными задачами, конечно, не исчерпываются вопросы, связанные с изучением такого класса оболочек. Возможными шагами в продолжение темы могут быть исследования влияния различных граничных условий на критические нагрузки оболочек с заполнителем при различных видах нагружения. Особенно актуально это для задачи нагружения нормальным давлением, где существенно проявляется зависимость от граничных условий на торцах оболочки. Также представляет интерес вопрос задача исследования поведения армированных оболочек в случае, когда нити работают только на растяжение, а при сжатии теряют устойчивость без сопротивления. Отдельно могут быть рассмотрены задачи, связанные с изучением колебаний таких систем.

1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость, колебания // М., Наука, 1967, 326 с.

2. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. // М., Наука, 1974, 446 с.

3. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости // М., Наука, 1982, 317 с.

4. Андреев А. Н. Устойчивость многослойной конической оболочки при равномерном внешнем давлении // Конф. "Расчет, методы мех. деформир. тв. тела". Тез. доклад. — Новосибирск, 1995. С. 9-10.

5. Андрюшенко А. Г. Экспериментально-теоретическое исследование деформирования тонкостенных анизотропных оболочек // Матер. 4го между нар. симп. "Динам. и технол. пробл. мех. конструкций и сплошн. сред.", Ярополец, 16-20 февр. 1998, М. 1998, С.28

6. Болотин В. ВНовичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций // М., Машиностроение, 1980. 482 с.

7. Бубнов И. Г. Труды по теории пластин // М., Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры. 1953. 423 с.

8. Валашвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭВМ // М., Машиностроение, 1976. 278 с.

9. Васильев В. В., Вунаков В. А. Проектирование сетчатых композитных цилиндрических оболочек, сжатых в осевом направлении // Констр. из композ. матер., 2000, N2, С.68-77

10. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук, 1957, Т. 12, вып. 5(77), С.3-122

11. Власов В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике // M-JL, Гос. изд-во тех-теор. лит-ры, 1949, 784 с.

12. Власов В. 3. Избранные труды // T.I.M., Изд-во АН СССР, 1962, 538 с.

13. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании // М., Физматгиз, 1960, 492 с.

14. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки // М.:Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1956, 419 с.

15. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем // М.:Гос. изд-во физ. мат. лит-ры, 1963, 880 с.

16. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем // М.:Физматгиз, 1967, 984 с.

17. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек // М.:Физматгиз, 1972, 432 с.

18. Галлагер, Ричард Метод конечных элементов. Основы // М,. Мир, 1984. 428 с.

19. Гаранин Л. С. Расчет пологих оболочек // М., Стройиздат, 1964, 95 с.

20. Гольденблат И. И. Пластинки и оболочки из стеклопластиков // М., Высшая школа, 1970, 221 с.

21. Гольденвейзер А. Л. Теория тонких упругих оболочек // М., Наука, 1976, 512 с.

22. Гольденвейзер А. Л., Лидский Б. В., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек // М., Наука, 1979, 383 с.

23. Головешкин Ю. В. Теория тонких оболочек // С-Петербург, Судостроение, 1996, 43 с.

24. Горбунов-Посадов М. И. Балки и плиты на упругом основании // М., Стройиздат, 1949, 237 с.

25. Горшков А. Г., Жигалко Ю. П. Торопова М. М. Решение контактных задач для упругих пластин и оболочек в классе обобщенных функций // М., Изд-во МАИ, 1992, 35 с.

26. Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек // М.: Наука, 1978, 360 с.

27. Григолюк Э. И., Толкачев В. М. Контактные задачи теории пластин и оболочек // М.: Машиностроение, 1980, 416 с.

28. Григолюк Э. И., Чулков П. П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек // М., "Машиностроение", 1973, 171 с.

29. Громов А. Н. Устойчивость цилиндрической оболочки с упругим заполнителем под действием внешнего нормального давления и осевого сжатия // Вестник С-Петерб. ун-та, 2000, сер. 1, вып.З, С.76-82

30. Громов А. Н. Устойчивость армированной нитями цилиндрической оболочки с заполнителем под действием внешнего нормального давления, осевого сжатия и кручения. // С-Петербург 2001, Деп. в ВИНИТИ, 03.10.2001, №2079-В2001

31. Громов А. Н., Громов Н. А. Устойчивость армированной нитями цилиндрической оболочки с заполнителем под действием внешнего нормального давления. // Сыктывкар, Научные доклады/Коми научный центр УрО РАН, вып. 437, 2001. 16 с.

32. Динник А. Н. Круглая пластина на упругом основании // "Изв. Киевского политехнического института", 1910, С. 287-306.

33. Доннел Л. Г. Балки, пластины и оболочки // пер. с англ. Л. Г. Корнейчука. Под ред. Э. И. Григолюка. М., Наука, 1982, 568 с.

34. Иванов В. А., Илъгамов М. А. Исследование собственных колебаний сферической оболочки, содержащей сплошное упругое тело и газ // Сб. "Исследования по теории пластин и оболочек", N5, Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1967, С. 397-409.

35. Кабулов В. КБабамурадов К. Ж. Расчет трехслойных оболочек на ЭВМ // Ташкент, Фан, 1970. 164 с.

36. Клабукова Л. К. Решение методом конечных элементов краевых задач теории упругости моментных оболочек // М., ВЦ АН СССР, 1989. 40 с.

37. Клементьев В. Г., Митрякин В. И., Паймушин В. Н. Устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки с косым срезом при действии статического внешнего давления // Тр. 17 Междунар. конференции по теории оболочек и пластин. Т.1. Казань, 1996, С. 210-214.

38. Корбут Б. А., Нагорный Ю. Н. Об одной модели заполнителя в задачах устойчивости цилиндрических оболочек // Изв. вузов, "Машиностроение", 1971, N6, С. 16-21.

39. Коренев Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. // М., Госстройиздат, 1954, 232 с.

40. Корнишин, М. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения // М., Наука, 1964, 192 с.

41. Крашаков Ю. Ф. Расчет устойчивости трехслойных конических и цилиндрических оболочек с ортотропными внешними слоями при кручении // М., ЦАГИ, Труды ЦАГИ, вып. 1868, 1977, 30 с.

42. Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании // М., Изд-во АН СССР, 1930, 154 с.

43. Крысъко А. В. Математические модели контактных задач теории пластин и оболочек // Саратов, Саратовский гос. техн. ун-т, 2000. 177 с.

44. Кукуджанов С. Н. О влиянии ортотропии на устойчивость оболочек вращения, близких к цилиндрическим // Изв. А.Н. Мех. тверд, тела. — 1995, N1. С. 190-196.

45. Кузнецов В. И. Упругое основание // М., Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуры, 1952. 295 с.

46. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория упругих оболочек. // Казань, Таткнигоиздат, 1957. 432 с.

47. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. // Л.М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры. 1948. 212 с.

48. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. // Ленинград, Гос. союзное изд-во судостр. пром-ти, 1962. 431 с.

49. Палий О. М., Спиро В. Е. Анизотропные оболочки в судостроении // Л., Судостроение, 1977, 392 с.

50. Палъчевский А. СКукарина А. И. Устойчивость ребристых цилиндрических оболочек при комбинированном нагружении осевой силой, крутящим моментом и внутренним давлением // Пробл. прочн. 1993, N12. С. 46-50.

51. Пастернак П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели // М., Гос. изд-во лит-ры по стр-ву и архитектуре, 1954, 56 с.

52. Пелех Б. Л., Сухоролъский М. А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек // Киев: Наукова думка, 1980. 214 с.

53. Почтман Ю. М., Шулъга С. А. Оптимизация цилиндрических композиционных оболочек с учетом критической моды несовершенств // Мех. композит, матер., 1998, N5, С.613-620

54. Петров В. В. Расчет пластинок и оболочек из нелинейно-упругого материала. // Изд-во Саратовского ун-та, 1976, 133 с.

55. Радченко А. В. Кобенко С. В., Кривошеина М. Н. Моделирование ударного нагружения твердого топлива, скрепленного с ортотропной оболочкой // Механика композ. матер, и констр-ций, 2000, N3, С.343-358

56. Рассказов А. О., Триг В. М., Гуналюк В. Н. Устойчивость многослойных оболочек вращения с учетом геодезической нелинейности докритического состояния // Прикл. мех. (Киев), 1999, N6, С.60-66

57. Родионова В. А. Теория анизотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия //Л., ЛГУ, 1983.

58. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек // С-Петербург, изд-во СПбГУ, 1996. 278 с.

59. Савельев Н. Г. Обзор и библиография работ по расчету соприкасающихся деталей // Сб. "Расчеты на прочность", вып. 14, М., "Машиностроение", 1969, С. 76-126.

60. Савин Г. Н. Давление жесткого ленточного фундамента на упругое анизотропное основание // Вестник инженеров и техников, 1940, N5, С. 292-294.

61. Сафонов В. Н. Решение больших систем уравнений при расчете конструкций методом конечного элемента. Расчет многозамкнутых оболочек методом конечного элемента // М., Изд. отд. ЦАГИ, 1976. 36 с.

62. Смирнов А. Л. Устойчивость армированных оболочек // Обозрение прикл. и пром. мат., 2000, N2, С. 417

63. Смирнов А. Ф. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ // М., Стойиздат, 1976.

64. Тимошенко П. С., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки //U.: Наука, 1966, 486 с.

65. Тимошенко П. С. Устойчивость стержней, пластинок и оболочек //М.: Наука, 1971, 808 с.

66. Товстик П. Е. К задаче о колебаниях тонкого упругого слоя, находящегося в контакте с мягким упругим телом // Вестник Ленинградского ун-та, 1986, N1.

67. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы // М.: Наука. Физматлит, 1995. 310 с.

68. Уманский А. А. О расчете балок на упругом основании // М., Стройиздат, 1933. 48 с.

69. Филиппов С. Б. Устойчивость сопряженных под углом цилиндрических оболочек под действием равномерного внешнего давления // Прикл. мат. и мех., М., 1995 59, N1. С. 140-148.

70. Филоненко-Бородич М. М. Простейшая модель упругого основания, способного распределять нагрузку // Сб. трудов Московского электро-мех. ин-таинж. трансп., вып. 53, М., Транс-желдориздат, 1945, С. 92-110.

71. Цибуля Б. П. Изгиб и кручение конических оболочек типа крыла и фюзеляжа // Труды Воен-Возд. инженерн. Академии им. H. Е. Жуковского, вып. 253, изд. Акад., 1947. 154 с.

72. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Ч. I—II. //Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1962-64., 2 т. Ч. I Общая теория 1962, 247 с. Ч. II Некоторые вопросы теории 1964, 395 с.

73. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах // Л., Машиностроение, 1986, 336 с.

74. Черных К. Ф. Введение в анизотропную упругость // М., 1988, 190 с.

75. Штаерман И. Л. Константная задача теории упругости // М., Гостехиздат, 1949, 270 с.

76. Шулъга Н. А. Основы механики слоистых сред периодической структуры // Киев, Наукова думка, 1981, 199 с.

77. Шунаев В. В. Применение метода перемещений к расчету оболочек типа фюзеляжа самолета с использованием конечных элементов естественной кривизны // М., ЦАГИ, 1974.

78. Этоков В. И., Этокова В. И. Устойчивость ортотропной сферической оболочки несовершенной формы // Прикл. мех. (Киев), 1996, N3. С. 46-51.

79. Boussinesq M. I. Application des potentiels a l'etude de l'équilibré et at mouvement des solides élastiques. // Paris, 1885. 721 p.

80. Eliza M. Hasenau, Andei L. Smirnov, Peter E. Tovstik Buckling of thin anisotriopic shells // Transactions of the CMSE, 2000, No.IB, Vol.24, P. 169-178

81. Huang Jinsong, Zong Guanqwu Analysis and calculation of the nonlinear stability of the rotational composite shell // Appl. Math, and Mech. Engl.Ed., 2000, N2, P.209-216

82. Kerr A. D. Elastic and viscoelastic foundation models // Trans. ASME, Ser.E. v.31, No.3, 1964. (Русс, перев.: "Труды Американского общества инженеров-механиков". Сер.Е. Прикладная механика, 1964, N3, С. 139-148)

83. Schwerin Е. Die Torsionsstabilitat des dünnwandigen Rochesh // Z. Angew. Math, and Mech., 1925, Bd.5., N3., S. 235-243.

84. Timoshenko, S. and Woinowsky-Krieg er, S. Theory of plates and shell //McGraw-Hill, Inc., New York, 1959.

85. Vinson, J. R., The Behavior of Shell Composed of Isotropic Materials // Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, 1993.

86. Wieghardt К. Uber den Balken auf nachgiebiger Unterlage // Zeit, fur angew. Mäthem. und Mech., 1922.