Локальная устойчивость ортотропных оболочек на упругом основании тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Михеев Артем Валерьевич

ЛОКАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

01 02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2008

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Товстик Петр Евгеньевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор'Колпак Евгений Петрович,

кандидат физико-математических наук Ершова Зинаида Георгиевна

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Защита состоится 2008 г в "^Зчасов на заседании дис-

сертационного совета Д 212 232 30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр , 28, математико-механический факультет, ауд 405

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб , д 7/9

Автореферат разослан "2 Ц>еДралЯ 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор С А Зегжда

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Оболочечные конструкции на упругом основании и с упругим заполнителем в настоящее время широко применяются в самолетостроении, судостроении, строительстве и других отраслях промышленности Многолетние исследования и практика эксплуатации таких конструкций позволили выявить их основные преимущества Конструкции с заполнителем при относительно небольшой массе обладают высокими характеристиками прочности и жесткости Применение оболочек с упругим заполнителем позволяет эффективно увеличить значение критической нагрузки Несущие слои, подкрепленные заполнителем, могут выдерживать высокие напряжения сжатия, превышающие предел упругости материала Кроме того, такие конструкции обладают хорошими звуко- и теплоизоляционными свойствами

Целью работы является изучение локальной устойчивости пологих ортотропных оболочек произвольной формы моделей Тимошенко и Кирхгофа — Лява на упругом основании с учетом и без учета предварительных напряжений в основании

Методы исследования. В диссертации используется метод малых вариаций исследуемого напряженно — деформированного состояния в линейной постановке, а также метод локального подхода, впервые предложенный Ю Н Работновым и впоследствии развитый В П Ширшовым и П Е Товстиком

Научная новизна. Новыми являются формулы, определяющие критическую нагрузку при рассмотрении локальной устойчивости оболочек произвольной формы, зависящие от параметров ортотропии и коэффициентов сдвига, а также от предварительных напряжений в основании Также новым является выражение критической нагрузки для оболочек, армированных двумя и тремя системами малорастяжимых нитей Полученные результаты позволили свести задачу поиска критической нагрузки и формы волнообразования при локальной потере устойчивости оболочек к стандартной задаче минимизации параметра нагружения как функции нескольких переменных

Достоверность обеспечивается применением корректных моделей теории оболочек (модели Кирхгофа — Лява и Тимошенко), проверенных методов теоретической механики, дифференциальных уравнений и вычис-

з

лительной математики, а также подтверждается сопоставлением с ранее полученными результатами

Практическая ценность. Полученные решения могут быть применены в промышленных расчетах конструкций с упругим заполнителем в самолетостроении, судостроении, строительстве и других областях

Апробация результатов работы. Работа была выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета Результаты данной диссертации были доложены на конференцииСПбГУ "Четвертые Поляховские чтения" (Санкт - Петербург, 2006), XIV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" МГУ (Москва, 2007), международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Санкт - Петербург, 2007), на совместном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды"

Публикации. По теме диссертации имеется семь опубликованных работ, которые содержатся в списке опубликованных работ на стр 14 Работы [2, 3] опубликованы в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК

Структура работы. Диссертационная работа изложена на 80 страницах, содержит 27 рисунков, 25 таблиц, и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 104 наименования Главы 1 и 2 носят вспомогательный характер

Положения, выносимые на защиту:

1. Получены выражения параметра критической нагрузки при локальной потере устойчивости ортотропных оболочек моделей Тимошенко и Кирхгофа — Лява, находящихся на упругом основании

2. Проведен сравнительный анализ этих моделей для трансверсально изотропных оболочек сферической формы, подвергнутых однородному сжатию и кручению, и оболочек цилиндрической формы, подвергнутых осевому сжатию и кручению

3. Исследована зависимость параметра критической нагрузки и формы потери устойчивости ортотропной сферической оболочки модели Кирхгофа — Лява, подвергнутой однородному сжатию, от ее упругих параметров и жесткости основания На примере однородного сжатия ортотропной сферической оболочки модели Тимошенко проанализирована

зависимость критической нагрузки и формы потери устойчивости от коэффициентов сдвига и жесткости основания

4. Получено неявное выражение параметра нагружения при локальной потере устойчивости ортотропных оболочек на упругом основании с учетом предварительных напряжений в основании, а также явное выражение параметра нагружения для сферической оболочки с заполнителем Проанализировано влияние предварительных напряжений заполнителя на величину критической нагрузки для трансверсально изотропной сферической оболочки, подвергнутой однородному сжатию

5. Получены выражения критической нагрузки при локальной потере устойчивости оболочек, армированных двумя и тремя системами малорастяжимых нитей Исследована зависимость критической нагрузки от жесткости основания и взаимного расположения нитей для сферической оболочки на упругом основании, подвергнутой однородному сжатию,

2. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы диссертации, ее цель, использованные методы исследования, научная новизна и достоверность, практическая значимость, описывается ее структура, перечислены основные тезисы, выносимые на защиту, приводится обзор исследований устойчивости оболочек, связанных с упругим телом

Вопрос о потере устойчивости оболочек, связанных с упругим телом, восходит к контактным задачам "пластина — упругое основание" Задачи такого рода изучались В М Александровым, Б Л Пелехом и Р Д Сы-саком Устойчивость стеклопластиковых пластинок моделей Кирхгофа— Лява и Тимошенко, покоящихся на упругом винклеровском основании, рассматривали Б Л Пелех, Г А Тетере и Р В Мельник Устойчивость пластин на упругом предварительно напряженном основании была подробно изучена П Е Товстиком

Среди множества видов оболочек, ввиду их широкого применения, особое внимание уделено оболочкам цилиндрической формы Контактное взаимодействие цилиндрической оболочки с упругим основанием было проанализировано Л В БожковоЙ, а также Р М Зариповым и В А Ивановым

Задача устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки модели Кирхгофа — Лява под действием внешнего давления и равномерного на-

грева впервые была рассмотрена Б А Корбутом Тот же автор рассмотрел задачу потери устойчивости сферической оболочки с заполнителем

Цилиндрическим оболочкам с заполнителями, моделируемыми основаниями Винклера и Пастернака, посвятили свои работы М А Ильга-мов, С W Bert, D О Brush, К Federhoffer, М J Forrestal, A R Zak. В П Георгиевским в рамках трехмерной модели теории оболочек была решена задача устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки с заполнителем под действием внешнего нормального давления Похожая задача, но в рамках теории Кирхгофа — Лява, рассматривалась А Н Громовым

Оболочки, армированные системами малорастяжимых нитей, рассматривались в работах Ю В Немировского, Е М Haseganu, Ю Д Каплу-нова, И В Викторова и П Е Товстика.

В главе' 1 дается общий обзор применений конструкций с заполнителями в разлйчных областях, приводится их классификация, а также выражения для расчета упругих характеристик различных видов заполнителей

В главе 2 рассматриваются основные определяющие соотношения для оболочек моделей Тимошенко и Кирхгофа—Лява, а также общие уравнения равновесия пологих оболочек моделей Кирхгофа — Лява и Тимошенко на упругом основании, из которых выводятся уравнения устойчивости

В главе 3 выводится выражение для параметра критической нагрузки при потере устойчивости пологой ортотропной оболочки модели Тимошенко на упругом основании под действием безмоментных начальных усилий (2f, If, 5°) Вводится параметр нагружения Л S°) = —A(ti, ¿2) h) Прогиб w рассматривается в виде двояко — периодической функции, характеризуемой волновыми числами р, q~

w = wo e(Px+gy^R

Здесь R—характерный линейный размер срединной поверхности, (х,у) = (аА, ДВ), А, В — коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки, (а, /?)— координатные линии срединной поверхности оболочки, направления которых совпадают с направлениями главных кривизн Главные радиусы кривизны срединной поверхности в точке (X, у) равны соответственно R\, R-i. В качестве модели основания берется модель с коэффициентом постели, зависящем от волновых чисел р, q

Реакцию основания принимаем в виде Р = ^ ще г _ ф^

Е0, щ — модуль Юнга и коэффициент Пуассона основания соответствен-2 (1 - щ)

но, а0 — т~-г-тг-:—г Толщина оболочки равна к, модули Юнга

(1 + щ) (3 - 4:Щ)

материала оболочки вдоль направлений а и ¡3 равны соответственно Е\ и Е2, модуль сдвига в касательной плоскости — Сиг, модули сдвига в трансверсальном направлении — Сп.з, С?2з Коэффициенты Пуассона г^г, г/21 связаны с Е\, Е2 соотношением Ехиц — Е2иш Подставляя функцию прогиба и>(х, у), а также дополнительно введенную функцию нагруже-ния и функции углов поворота в уравнение устойчивости, мы получаем следующее выражение функции нагружения <р,ш,х,у)

А'(*,п,л 1 (ЫФ) , «2 д1(5,у)со82у> + д2(8,^)8шУ , оД

S

Здесь А' = — новый параметр нагружения, в общем случае зави-п

сящий от волновых чисел, координат на срединной поверхности и жесткости основания, nv = 1 — i>i2^2i, К — безразмерная толщина оболочки, R

рг = — (г = 1,2) — безразмерные параметры кривизны, параметры

Е

ci, С2, равны отношениям упругих характеристик оболочки — —,

С2 — -=- Волновые числа s, ¡р связаны с волновыми числами р, q под-Е\

scos® ssinw , . становками р = —j^2-, 9 = —■ Коэффициенты a-L, о2 определяют

„ SoOo величину сдвига Параметр ш — -—^ характеризует относительную

БайГ

жесткость основания,

fR(ip) = (р2 cos2 (/? + pi sm2 уз)2, /т (у?) = h cos2 Ч> + cos ipsm<p +t2 sin2 tp,

,, S л COS4(p ( 1 V\2 \ 2 2

f(u>) = sm4 ip -1--+----C1V12 Sir (p cos"1 tp,

Ci V^ Ci J

gi(s, ¡p) = cic2a2n„s2 sm4 9? + 02a2nus2 cos4

+ Cio2(l - 2c2ui2)nv82 cos2 у sm2 ip + (2c2n„ + С{Щ2) sm2 <p + cos2 ip g2(s, tp) = cic2a1n!ys2 sm4 ip + c2ainvs2 cos4 tp+

-I- cidi(l — 2c2Vi2)nvs2 cos2 (psm2 ip + (2c2nj, + ciVn) cos2 <p + c\ sm2 ip 9з(з, Ч>) - CiC2aia2nusism4 <p + (^а^п^4 cos4 (p+ + cidiUiil — 2c2vu)nvsA cos2 (p sm2 ip + (cia2 + cia\nv)sz sm2 tp+ + («1 + c2a2nl,)s2 cos2 <p + 1

Значение параметра критической нагрузки получаем минимизацией функции нагружения A'(s, tp, а;) по волновым числам s, ip-

ЛЦш) = min +A'(s, <р, ш) — A<рш)

s,ip

где знак + говорит о том, что ищется положительный минимум, а звездочка указывает на критические значения соответствующих величин Предполагается также, что существуют такие <р, при которых frif) > О представляет собой значение параметра критической нагрузки при постоянных pi, Р2 В общем случае

A'„(w) = mm +A'(s, ip, pi(x, у), p2{x, у), и) = Л'(s*, tp*, pu, p2*, w)

где значения pi*, />2* соответствуют наиболее "слабым" точкам срединной поверхности оболочки, в окрестности которых происходит потеря устойчивости

На рисунках 1 — 3 приведены зависимости параметра критической нагрузки Л'„ от коэффициентов сдвига а2 при однородном сжатии сферической оболочки из стеклопластика для значений жесткости основания uj = 0 001, 0 1 и 0 5 соответственно Параметры оболочки Ei — 36 * 103, Е2 = 26 3 * 103, Gi2 = 4 9 * 103, G13 = 4 4 * 103, (?23 = 4 * 103, v12 = 0 105, i? = 1, h — 0 01 Как видно из этих рисунков, при увеличении <ц, <22 параметр A't постепенно уменьшается и начиная с некоторых значений ai, а2 он убывает намного быстрее При увеличении жесткости основания ш и малых значениях а%, «2 параметр Л* увеличивается При больших значениях параметра сдвига длина волны, возникающей при потере устойчивости оболочки вдоль одного из направлений, становится меньше толщины оболочки, т е имеет место потеря устойчивости самого материала оболочки и двумерная теория оболочек становится неприменимой

В качестве примеров в главе 3 приводятся также трансверсально изотропные оболочки сферической и цилиндрической форм, находящиеся под действием однородного сжатия и кручения

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

В главе 4 рассматривается модель ортотропной оболочки на упругом основании, учитывающая предварительные напряжения в основании. Основание локально моделируется упругим предварительно напряженным полупространством. В этом случае реакция основания Р имеет вид

Р = О"зз(0) =--—

где

.,4(1 - о 13 - 28^0 + 16г/02 0 5 - 20г/0 + 16^ С33 = + а 2(3-4^ ~ азэ 2(3 -4^о)2

Здесь С?о — модуль сдвига основания г/о — коэффициент Пуассона основания, Озз, <7зз — компоненты тензоров предварительного и дополнительного напряжений соответственно. В данном случае параметр нагружения

выражается в виде

Л' =

1

(1М.

+ ■

дх(з, ф) сов21р + д2р, у) йш2 у из

М<р) \э2/(<р) 12п„

+ ■

где из —

Сзз

3/2

, а выражения для /(<р), &(<р), /дМ> 9г(з,<р), дг(з,ф),

дз(в,<р) — те же, что приведены выше Полученное здесь соотношение носит неявный характер, поскольку в рассматриваемом нами случае параметр из зависит от предварительных напряжений, являющихся, в свою очередь, функциями параметра нагружения

Для ортотропной сферической оболочки с заполнителем выражение параметра нагружения А' принимает явную форму

Л':

где С

з / /д(у) Ем' £о«о

— -.... .1. .!■■-...,... , , , „ ... , ,, . I __

12Пи 5з(§, (р) 8

ы

1/2 ;

из

7

Е^Г

2(1 - щяъ 1)

7'

4(! ~ ,. (3 — 4г/о)2

(1 - 2и0)(Е1(1 + гъ) + Е2{ 1 + из)) В качестве примера рассматривается трансверсально изотропная сферическая оболочка радиуса Я = 1 с упругим заполнителем, подвергнутая однородному сжатию = = 1, % = 0) Коэффициенты Пуассона у материала оболочки — и = 0 3, у основания — 1>о = 0.4

Рис 4

Рис 5

На рисунке 4 приведены зависимости параметров критической нагрузки от относительной жесткости основания е = — с учетом (Н) и без

Ь\

учета (ВН) предварительных напряжений в основании при относительной толщине оболочки /г* = 0.01 При брльших значениях относительной жесткости основания разница между двумя моделями становится весьма существенной Чтобы проиллюстрировать их отличие, определим относительное приращение параметров критической нагрузки следующим образом-

Дотя :

Здесь Л'1а, — значение параметра критической нагрузки, полученное в модели с учетом предварительных напряжений заполнителя, Л^ — значение аналогичного параметра в модели без учета таковых Графическая зависимость Аотя(е) приведена на рисунке 5 Из этой зависимости явно следует, что с увеличением жесткости основания е величина Аогя(е) также увеличивается Так, при е = 0.001 значения обеих нагрузок весьма близки — они отличаются всего лишь на АотнФ 001) = 0 1%, а при е = 0 1, когда жесткость заполнителя всего лишь в 10 раз меньше жесткости материала оболочки, А'и меньше Л^ уже на 40%

Глава 5 посвящена частному случаю ортотропных оболочек — оболочкам на упругом основании, армированным системами малорастяжимых нитей В данной главе исследуется вопрос устойчивости оболочек произвольной формы, находящихся на упругом основании и армированных системой малорастяжимых нитей Получено выражение параметра критической нагрузки Ах*, аналогичное приведенному в главе 3

Пусть ит — коэффициент Пуассона матрицы, е0 — отношение модулей Юнга матрицы и основания, из — параметр жесткости основания, р — относительный объем, занимаемый нитями в материале оболочки, Л* —-безразмерная толщина оболочки.

Рассмотрим пример сферической оболочки на упругом основании, состоящей из изотропного материала (матрицы), в которую внедрены две системы нитей, наклоненных под углами и — £х к направлению а Положим, что ит = 0.1, ео = 100, р = 0 1, Л* = 0 01 На рисунке 6 представлена зависимость параметра критической нагрузки Ах* от угла £1 при значениях жесткости основания ш — 0 001 (кривая 1) и ш ■= 0.01 (кривая 2) Как видно из графика, при увеличении жесткости основания критическая нагрузка также увеличивается Так, при £1 = 0.1 с увеличением о; в 10 раз — с 0 001 до 0 01 Ах* возрастает приблизительно на

53%,сО 01 до 01 — уже на 46 % При фиксированном и/ максимальное значение параметра критической нагрузки Ах*(£х) достигается при малых значениях угла £1 Дальнейшее уменьшение угла наклона нитей приводит к быстрому убыванию критической нагрузки Вследствие

симметрии нагрузки и расположения нитей график Ах*(£х) симметричен , ж

относительно прямой £1 — т

Рис 6 Рис 7

Пусть теперь у нас имеется оболочка сферической формы, армированная тремя системами упругих нитей, расположенных под углами —

7Г

и — к направлению а Как и в предыдущем примере, г/т = 0 1, е0 = 100, = 0 01 Вследствие появления третьей системы нитей р = 0 15 На рисунке 7 представлена зависимость Ах»^) при ш = 0 001 (кривая 1) и ш = 0 1 (кривая 2) Нетрудно видеть, что при увеличении жесткости основания критическая нагрузка также увеличивается Так, при = 0 1 с увеличением со с 0 001 до 0 1 Ах* увеличивается на 5 3 % В отличие от случая с системой двух нитей, в данном примере минимум функции Л$„ = тах[01] Лх*(£х) достигается при достаточно большом значении в рассматриваемом примере приблизительно равном 0 65 рад

Заключение. В данной работе была рассмотрена задача исследования локальной устойчивости ортотропных оболочек произвольной формы, находящихся на упругом основании Отдельное внимание было уделено локальной устойчивости оболочек с предварительно напряженным заполнителем и оболочек на упругом основании, армированных системой малорастяжимых нитей Общие результаты, полученные в каждой из этих задач, иллюстрированы в виде численных примеров, в явном виде демонстрирующих возникающие здесь закономерности Поскольку поставленные условия лежали в рамках локальной теории устойчивости,

случаи существенного влияния граничных условий на критическую нагрузку, такие как слабое закрепление края, не рассматривались Обладая простотой и наглядностью, локальный подход может быть приемлем для широкого класса прикладных задач, связанных с потерей устойчивости оболочечных конструкций, для которых применима двумерная теория оболочек.

4. ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Михеев А В Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих оболочек на упругом основании// Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела Сборник трудов, посвященных 70-летию профессора П Е Товстика СПб , ВВМ, 2006, С 87-97

2 Михеев А В Исследование локальной устойчивости пологих орто-тропных оболочек на упругом основании// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер матем , механ , астрон 2007, вып 2, С 128 -133

3 Михеев А. В Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих ор-тотропных оболочек на упругом основании// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер матем , механ , астрон 2007, вып 3, С 137 -143

4. Михеев А.В Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих оболочек на упругом основании// Четвертые поляховские чтения Тезисы докладов СПб , ВВМ, 2006, С 205

5 Михеев А В Устойчивость ортотропных оболочек отрицательной кривизны на упругом основании// Материалы XIV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" М СП "Мысль", 2007, С 104 - 105

6 Михеев А В Исследование локальной устойчивости пологих ортотропных оболочек на упругом основании в моделях Тимошенко и Кирхгофа — Лява// Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ-2007" Тезисы докладов СПбГУ, 2007, С 154

7 Михеев А В Зависимость критической нагрузки и формы потери устойчивости сферической ортотропной оболочки на упругом основании от ее упругих параметров// Труды семинара "Компьютерные

методы в механике сплошной среды 2006-2007 гг" Изд-во СПбГУ, 2007, С 143

Подписано в печать 15 02 2008 Формат 60x84/16 Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ЗАО «КопиСервис» Печать ризографическая Заказ № 1/0215 П л 1 0 Уч -изд л 1 0 Тираж 100 экз

ЗАО «КопиСервис» Адрес 197376, Санкт-Петербург, ул Проф Попова, д 3 тел (812) 327 5098

" * 1 '

Введение.

1 Конструкции с заполнителем

1.1 Конструкции с упругим заполнителем и их применение в промышленности

1.1.1 Применение конструкций с заполнителем в летательных аппаратах.

1.1.2 Применение конструкций с заполнителем в судостроении

1.1.3 Применение конструкций с заполнителем в строительстве

1.2 Классификация конструкций с заполнителем.

1.3 Параметры упругости заполнителей.

1.3.1 Определение упругих параметров сотовых заполнителей

1.3.2 Определение упругих параметров заполнителей сплошной структуры.

1.3.3 Определение упругих параметров заполнителей гофровой структуры.

2 Определяющие соотношения для оболочек моделей Тимошенко и Кирхгофа — Лява

2.1 Соотношения упругости.

2.1.1 Связь между напряжениями и деформациями.

2.1.2 Модель Кирхгофа — Лява.

2.1.3 Модель Тимошенко.

2.2 Система уравнений равновесия.

3 Локальная устойчивость ортотропных оболочек на упругом основании

3.1 Локальный подход в теории оболочек.

3.2 Уравнение устойчивости для модели Тимошенко.

3.3 Выражение параметра нагружения.

3.4 Частные случаи.

3.4.1 Ортотропная оболочка модели Кирхгофа—Лява.

3.4.2 Трансверсально изотропная оболочка модели Тимошенко

3.5 Устойчивость ортотропной сферической оболочки при различных значениях параметров сдвига.

3.6 О погрешности локального подхода.

3.6.1 Влияние граничных условий на критическую нагрузку

3.6.2 Влияние кривизны поверхности контакта.

4 Устойчивость оболочек с учетом предварительных напряжений в основании

4.1 Модель взаимодействия оболочки и основания с учетом предварительных напряжений.

4.1.1 Уравнения равновесия предварительно напряженного основания

4.1.2 Построение двояко — периодического решения.

4.1.3 Реакция основания.

4.1.4 Выражение параметра нагружения.

4.2 Устойчивость сферической оболочки с заполнителем

4.2.1 Расчет предварительных напряжений.

4.2.2 Выражение параметра нагружения.

5 Устойчивость оболочек на упругом основании, армированных системами малорастяжимых нитей

5.1 Соотношения упругости для оболочек, армированных нитями

5.1.1 Соотношения между напряжениями и деформациями

5.1.2 Модули Юнга и коэффициенты Пуассона.

5.2 Выражение параметра нагружения.

5.2.1 Случай двух систем нитей.

5.2.2 Случай трех систем нитей.

Актуальность темы. Оболочечные конструкции на упругом основании и с упругим заполнителем в настоящее время широко применяются в самолетостроении, судостроении, строительстве и других отраслях промышленности. Многолетние исследования и практика эксплуатации таких конструкций позволили выявить их основные преимущества. Конструкции с заполнителем при относительно небольшой массе обладают высокими характеристиками прочности и жесткости. Применение оболочек с упругим заполнителем позволяет эффективно увеличить значение критической нагрузки. Несущие слои, подкрепленные заполнителем, могут выдерживать высокие напряжения сжатия, превышающие предел упругости материала. Кроме того, такие конструкции обладают хорошими звуко- и теплоизоляционными свойствами.

Обзор исследований устойчивости оболочек, связанных с упругим' телом. Изучению устойчивости оболочек на упругом основании посвящено большое количество работ, различных как по постановке, так и по применяемым моделям для их решения. Весьма подробный обзор такого рода исследований приведен в книге [30].

Вопрос о потере устойчивости оболочек, связанных с упругим телом, восходит к контактным задачам "пластина — упругое основание". Задачи такого рода изучались В.М. Александровым [4], Б. Л. Пелехом и Р.Д. Сыса-ком [55, 56]. Устойчивость стеклопластиковых пластинок моделей Кирхгофа — Лява и Тимошенко, покоящихся на упругом винклеровском основании, рассматривали Б. Л. Пелех, Г.А. Тетере и Р.В. Мельник [54]. Устойчивость пластин на упругом предварительно напряженном основании была подробно изучена П.Е.Товстиком [65, 66]. В работах [27, 54, 74] реакция прямоугольной пластины(основания) также принималась согласно моделям Винклера или Пастернака, в других [22, 23, 24] реакция упругого тела находилась из решения уравнений теории упругости.

Основание Винклера с коэффициентом постели а — наиболее простая и распространенная модель для заполнителя оболочки. Согласно этой модели, реакция упругого основания Р принимается пропорциональной прогибу w: Р = aw. Ее обобщением служит модель Пастернака [52, 53] с двумя упругими характеристиками Р = aw -f /3S72w, где V2 — двумерный оператор Лапласа. Такая постановка позволяет сравнительно просто получить решение, которое дает хорошее представление о качественной картине потери устойчивости обол очечных конструкций.

Среди множества видов оболочек, благодаря, их широкому применению -особое внимание уделено оболочкам цилиндрической формы. Контактное взаимодействие цилиндрической оболочки с упругим основанием было проанализировано Л.В. Божковой [8, 9], а также P.M. Зариновым и 15.А. Ивановым [28].

В статье [37] определены, верхняя; и нижняя критические нагрузки на цилиндрическую оболочку средней» длины. Полученные результаты показывают, что во-первых, наличие заполнителя: может существенно повысить критическую нагрузку. К примеру, в случае радиального давления на бесконечную цилиндрическую оболочку критическая; нагрузка будет иметь следующий вид: •

Eh2 I 1 + U2

-(1 + wi), К2 1J]]3{l-i/2) где Е, v — модуль Юнгами коэффициент Пуассона для материала оболочки соответственно, = 1 (i=l,2), «1, «2— коэффициенты постели'до и после

Eh потери устойчивости соответственно. Во-вторых, верхняя и нижняя критические нагрузки растут с увеличением жесткости заполнителя а разница между ними исчезает уже при незначительной жесткости (uji — и>2 = 0.005), и они становятся практически равными. Явления хлопка при этом не возникает.

Задача устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки модели Кирхгофа — Лява под действием внешнего давления и равномерного нагрева впервые была рассмотрена Б. А. Корбутом в [36]. Упругий заполнитель моделируется винклеровским основанием, нагрев заполнителя не учитывается. Тот же автор в [35] рассматривает задачу потери устойчивости сферической оболочки с заполнителем. Исследования устойчивости оболочек сферической формы показывают, что качественная сторона потери устойчивости в них аналогична цилиндрическим, а именно, при относительно жестком заполнителе явление хлопка не реализуется [33] и начиная с некоторой температуры, увеличение жесткости заполнителя не приводит к заметному увеличению критического давления [35].

Работа О. Н. Иванова [29] посвящена локальной устойчивости бесконечно длинной толстостенной цилиндрической оболочки, частично заполненной упругим заполнителем, под воздействием внешнего давления. Величина критической нагрузки получается в виде характеристического числа однородного интегрального уравнения Фредгольма с симметричным ядром.

A.В. Карасев и И.С. Малютин, в [31] исследовали вопрос устойчивости стеклопластиковой цилиндрической оболочки из ортотропного материала с упругим заполнителем при действии крутящих моментов, приложенных к краям оболочки. Заполнитель рассматривается как изотропный упругий цилиндр, скрепленный по внешней поверхности с оболочкой. Получены выражения критических напряжений для бесконечно длинной оболочки и оболочки конечной длины.

B.И. Микишевой был изучен вопрос о влиянии жесткости упругого заполнителя на форму потери устойчивости и величину критической нагрузки цилиндрических оболочек из ортотропного стеклопластика при осевом сжатии [39]. Получены параметрические уравнения для определения критической нагрузки, а также рассматривается влияние центрального отверстия в заполнителе на критическую нагрузку. Немного позднее С.Н. Сухининым совместно с В.И. Микишевой и В.И. Смыковым были проведены экспериментальные исследования потери устойчивости цилиндрических оболочек из ортотропного тканевого стеклопластика с резиноподобным заполнителем [60]. Как показал проведенный анализ, для заполнителей малой жесткости ведущую роль в сопротивлении системы играет непосредственно сама оболочка. Если заполнитель становится достаточно жестким, влияние кривизны оболочки становится малым и оболочка работает как бесконечная пластина на упругом основании.

Цилиндрическим оболочкам с заполнителями, моделируемыми основаниями Винклера и Пастернака, также посвящены работы [75, 77, 79, 80,102,103].

В.П. Георгиевским в рамках трехмерной модели теории оболочек была решена задача устойчивости ортотропной цилиндрической оболочки с заполнителем под действием внешнего нормального давления [14, 15]. Похожая задача, но в рамках теории Кирхгофа — Лява, рассматривалась А.Н. Громовым в [20; 21]. Сравнительные характеристики, приведенные авторами в [6], показали, что во многих случаях модель Винклера дает сильно заниженные значения критической нагрузки по сравнению с трехмерной моделью.

К работам, где заполнитель считается трехмерным упругим телом, относятся также- [73, 76", 78, 82, 83, 88, 89, 92 - 97, 100, 101, 104].

Влияние граничных условий на краях оболочки на величину верней критической нагрузки анализируется в работе [34]. Как показывают полученные результаты, это влияние существенно лишь при незначительной жесткости заполнителя (и2 < 0.02).

В монографии [6] проанализировано влияние нагрева ортотропных оболочек с изотропным заполнителем на величину критической нагрузки. Полученная зависимость показывает, что нагрев уменьшает критическую нагрузку при нагружении оболочек осевым сжатием и кручением. Это обусловлено не только падением жесткостных характеристик оболочки, но и влиянием температурных усилий.

Учет поперечных сдвигов в оболочках, описываемых моделью Тимошенко [5, 7, 13, 99], показывает, что результаты, полученные согласно теории Кирхгофа — Лява, оказываются для ряда значений параметров завышенными и нуждаются в уточнении. Это наблюдается и в случае пластины, связанной с упругим основанием [54]. Влияние, оказываемое поперечным сдвигом на устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при осевом сжатии, исследовалось В.Л.Нарусбергом и Р.Б. Рикардсом

Вследствие того, что рассмотренная модель винклеровского основания не учитывает касательное взаимодействие между оболочкой и заполнителем, ряд авторов [11, 90, 91] вводят второй коэффициент постели /5 в задаче устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой вдоль образующей q. Они показали, что выражение критического давления с учетом касательных сил будет иметь следующий вид: где первое слагаемое соответствует критической нагрузке при наличии винклеровского основания, второе учитывает касательное взаимодействие.

Целью работы является изучение локальной устойчивости пологих ор-тотропных оболочек произвольной формы моделей Тимошенко и Кирхгофа— Лява на упругом основании с учетом и без учета предварительных напряжений в основании.

Методы исследования. В диссертации используется метод малых вариаций исследуемого напряженно — деформированного состояния в линейной постановке, а также метод локального подхода, впервые предложенный Ю.Н. Работновым и впоследствии развитый В.П. Ширшовым и П.Е. Товстиком.

Научная новизна. Новыми являются формулы, определяющие критическую нагрузку при рассмотрении локальной устойчивости оболочек произвольной формы, зависящие от параметров ортотропии и коэффициентов сдвига, а также от предварительных напряжений в основании. Также новым является выражение критической нагрузки для оболочек, армированных

47].

Я =

Eh l + o)2 {3R

R 3(1 - г/2) + Eh2 двумя и тремя системами малорастяжимых нитей. Полученные результаты позволили свести задачу поиска критической нагрузки и формы волнообразования при локальной потере устойчивости оболочек к стандартной задаче минимизации параметра нагружения как функции нескольких переменных.

Достоверность обеспечивается применением корректных моделей теории оболочек (модели Кирхгофа — Лява и Тимошенко), проверенных методов теоретической механики, дифференциальных уравнений и вычислительной математики, а также подтверждается сопоставлением с ранее полученными результатами.

Практическая ценность. Полученные решения могут быть применены в промышленных расчетах конструкций с упругим заполнителем в самолетостроении, судостроении, строительстве и других областях.

Апробация результатов работы. Работа была выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета. Результаты данной диссертации докладывались на конференции СПбГУ "Четвертые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2006), XIV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" МГУ (Москва, 2007), международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Санкт-Петербург, 2007), на совместном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды".

Публикации. По теме диссертации имеется семь опубликованных работ [40 — 46]. Работы [41, 42] опубликованы в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Главы 1 и 2 носят вспомогательный характер.

Заключение

В данной работе была рассмотрена задача исследования локальной устойчивости ортотропных оболочек произвольной формы, находящихся на упругом основании. Особое внимание было уделено локальной устойчивости оболочек с предварительно напряженным заполнителем и оболочек на упругом основании, армированных системой малорастяжимых нитей. В каждом из рассмотренных случаев задача нахождения критической нагрузки при действии на оболочку усилий конкретного вида была сведена к нахождению положительного минимума параметра нагружения как функции нескольких переменных. Общие результаты, полученные в каждой из этих задач, иллюстрированы в виде численных примеров, в явном виде демонстрирующих возникающие здесь закономерности. Поскольку поставленные условия лежали в рамках локальной теории устойчивости, случаи существенного влияния граничных условий на критическую нагрузку, такие как слабое закрепление края, не рассматривались. Обладая простотой и наглядностью, локальный подход может быть приемлем для широкого класса прикладных задач, связанных с потерей устойчивости оболочечных конструкций, для которых применима двумерная теория оболочек.

1. Агаловян Л.А., Гулгазарян Л.Г. Асимпотические решения некласиче-ских краевых задач о собственных колебаниях ортотропных оболочек // Прикладная математика и механика, 2006, т. 70, вып. 1, С. 111-125.

2. Александров А.Я., Бородин И.Я., Павлов В.В. Конструкции из пено-пластов. М., Машиностроение, 1972.

3. Александров В.М. Некоторые контактные задачи для балок, пластин и оболочек// Инженерный журнал, 1965, т.5, №4, С. 782-785

4. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.,Наука, 1974.

5. Белозеров Л.Г., Киреев В.А. Композитные оболочки при тепловых и силовых воздействиях. М., Физматлит, 2003.

6. Биргер И.А. Стержни, пластинки, оболочки. М., Физматлит, 1992.

7. Божкова Л.В. Распределение давлений в области контакта цилиндрической трубы с жестким цилиндрическим основанием// Сборник трудов МИСИ. М., 1969, №63, С. 90-95.

8. Божкова Л.В., Паненкова Т.П. О контактном взаимодействии цилиндрической оболочки и упругого основания// Труды VTI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. М., Наука, 1970, с. 88-92

9. Варвак А.П. Устойчивость цилиндрической оболочки на упругом основании с двумя коэффициентами постели// Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 7. Киев, "Будивельник", 1968.

10. Викторов И.В., Товстик П.Е. Влияние сдвига на устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек при осевом сжатии// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер. матем., механ., астрон. 2004, №4, С. 58-67.

11. Галимов К.З. и др. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Изд-во Казанского ун-та, 1977.

12. Георгиевский В.П. Устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки, скрепленной с нелинейно-упругим заполнителем// Прикладная механика, 1989, №1, С. 60-65.

13. Георгиевский В.П., Тарасова А.Г. Устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки с заполнителем при действии внешнего давления// Механика твердого тела, 2001, №1, С. 167-173.

14. Гну ни В.Ц. Анализ влияния поперечных сдвигов на характеристики жесткости, устойчивости и колебаний пологих оболочек двоякой постоянной кривизны// Известия НАН Армении, 2003, т. 56. №4, С. 39-45.

15. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек. М., Наука, 1976.

16. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами// Прикладная математика и механика, 1975, т. 39, №5, С. 876-883

17. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.,Наука, 1978.

18. Громов А.Н. Устойчивость цилиндрической оболочки с упругим заполнителем под действием внешнего нормального давления// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер. матем., механ., астрон. 2000, №2, С. 84-91.

19. Громов А.Н. Устойчивость анизотропной цилиндрической оболочки с заполнителем под действием внешнего нормального давления// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, Сер. матем., механ., астрон., 2002, №2, С. 71-78.

20. Гусев A.M., Иванов В.А. Устойчивость прямоугольных пластин, сжатых в одном направлении, на упругом основании// Труды семинара по теории оболочек, вып. 3. Казанский физ.-тех. ин-т АН СССР, 1973

21. Гусев A.M., Иванов В.А. К вопросу о граничных условиях в задачах устойчивости пластин на упругом основании// Труды семинара по теории оболочек, вып. 4. Казанский физ.-тех. ин-т АН СССР, 1974

22. Гусев A.M., Иванов В.А. Устойчивость пластин на упругом основании при комбинированном нагружении// Труды семинара по теории оболочек, вып. 5. Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974.

23. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. М., Наука, 1982.

24. Ендогур А.И., Вайнберг М.В., Иерусалимский К.М. Сотовые конструкции. Выбор параметров и проектирование. М., Машиностроение, 1986.

25. Зайденберг А.И., Лебедев Г.Б. Устойчивость прямоугольной шарнирно опертой по контуру пластинки на упругом основании// Известия вузов, Строительство и архитектура, 1971, №9.

26. Зарипов P.M., Иванов В.А. Контактные усилия между цилиндрической оболочкой с заполнителем и упругим основанием// Труды семинара по теории оболочек. Казанский физико-технический институт АН СССР, 1975, №6, С. 306-313

27. Иванов О.Н. Локальная устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки, частично заполненной упругим заполнителем, находящейся под внешним давлением// Механика полимеров, 1971, №3, С. 538-542.

28. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.,Наука, 1977.

29. Корбут Б.А. Об устойчивости цилиндрической оболочки с упругим заполнителем// Известия АН Армянской ССР, сер. физ.-мат. наук, 1965, т. 18, вып. 4.

30. Корбут Б.А. Устойчивость сферической оболочки с упругим заполнителем при действии нагрузок и температуры// Известия вузов. Авиационная техника, 1965, №4, С. 97-102.

31. Корбут Б.А. Устойчивость цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при действии нагрузок и температуры// Проблемы устойчивости в строительной механике. М., Стройиздат, 1965.

32. Корбут Б.А., Саксонов С.Г. Устойчивость цилиндрической оболочки с . упругим заполнителем при внешнем радиальном давлении// Известия вузов. Авиационная техника, 1966, №2

33. Крысин В.Н. Слоистые клееные конструкции в самолетостроении. М., Машиностроение, 1984.

34. Микишева В.И. О влиянии жесткости упругого заполнителя на форму потери устойчивости и величину критической нагрузки цилиндрических оболочек из стеклопластика при осевом сжатии// Механика полимеров,1971, №5, С. 931-939.

35. Михеев А.В. Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих оболочек на упругом основании// Асимптотические методы в механике деформируемого твердого тела. Сборник трудов, посвященных 70-летию профессора П.Е. Товстика. СПб., ВВМ, 2006.

36. Михеев А.В. Исследование локальной устойчивости пологих ортотроп-ных оболочек на упругом основании// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер. матем., механ., астрон. 2007, №2.

37. Михеев А.В. Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих ортотропных оболочек на упругом основании// Вестник Санкт-Петербургского ун-та, сер. матем., механ., астрон. 2007, №3.

38. Михеев А.В. Влияние сдвига на локальную устойчивость пологих оболочек на упругом основании// Четвертые поляховские чтения. Тезисы докладов. СПб., ВВМ, 2006.

39. Михеев А.В. Устойчивость ортотропных оболочек отрицательной кривизны на упругом основании// Материалы XIV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". М., СП "Мысль", 2007.

40. Михеев А.В. Исследование локальной устойчивости пологих орто1. Sтройных оболочек на упругом основании в моделях Тимошенко и Кирхгофа—Лява// Международный конгресс "Нелинейный динамический анализ-2007". Тезисы докладов. СПбГУ, 2007.

41. Михеев А.В. Зависимость критической нагрузки и формы потери устойчивости сферической ортотропной оболочки на упругом основании от ее упругих параметров// Труды семинара "Компьютерные методы в механике сплошной среды 2006-2007 гг.". Изд-во СПбГУ, 2007.

42. Нарусберг В.Л., Рикардс Р.Б. Влияние поперечного сдвига на устойчивость ортотропной цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при осевом сжатии// Механика полимеров, 1973, №2.

43. Новацкий В. Теория упругости. М., Мир, 1975.

44. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем. М., Машиностроение, 1991.

45. Панин В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем. М., Машиностроение, 1982.

46. Пастернак П.Л. Исследование пространственной работы монолитных железобетонных конструкций// Труды МИСИ, №4. М., Стройиздат, 1940.

47. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М., Стройиздат, 1954.

48. Пелех Б.Л., Тетере Г.А., Мельник Р.В. Об устойчивости стеклопласти-ковых пластинок, связанных с упругим основанием// Механика полимеров, 1968, №6, С. 1082-1088.

49. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. О давлении твердого тела на трансверсально изотропную пластинку, связанную с упругим основанием// Известия АН Арм. ССР. Механяка, 1970, т. 23, №3, С. 36-42

50. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. О контактных задачах для балок и пластинок с низкой сдвиговой жесткостью// Механика полимеров, 1970, №4, С. 715-720.

51. Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении. Л., Судостроение, 1972.

52. Работнов Ю. Н. Локальная устойчивость оболочек// Доклады АН

53. СССР, 1946, т. 52, №2, С. 111-112.t

54. Сухинип С.Н., Микишева В.И., Смыков В.И. Экспериментально-теоретические исследования устойчивости ортотропных оболочек с заполнителем при осевом сжатии// Механика полимеров, 1978, №3, С. 485-489.

55. Тимошенко С.П. Теория упругости. М., ОНТИ, 1934.

56. Товстик П.Е. К задаче о колебаниях тонкого упругого слоя, находящегося в контакте с мягким упругим телом// Вестник Ленинградского ун-та, сер. матем., механ., астрон. 1986, №1.

57. Товстик П.Е. Потеря устойчивости тонких оболочек, связанная со слабым закреплением края // Вестник Ленинградского университета. Сер. матем., механ., астрон. 1991, №3, С. 76-81.

58. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек. М.,Наука, 1995.

59. Товстик П. Е. Локальная устойчивость пластин и пологих оболочек на упругом основании// Известия РАН, 2005, Вып. 1, С. 147-160.

60. Товстик П.Е. Реакция упругого предварительно напряженного основания// Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. матем., механ., астрон., 2006, №4, С. 98-108.

61. Францев М. Э. Применение многослойных оболочковых конструкций на матрице из легких сплавов на малых судах// Судостроение, 2005, №1.

62. Чамис К. Анализ и проектирование конструкций. Т.7, М., Машиностроение, 1978.

63. Чернов Ю.Г. Опыт применения сотовых конструкций в крыле самолета// Очерки по истории конструкций и систем самолетов ОКБ имени С.В. Ильюшина. Кн. 2. М., Машиностроение, 1983.

64. Ширшов В. П. Локальная устойчивость оболочек// Труды второй всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Киев, 1962, С. 314-317.

65. Щунгский Б.Е. Строительные конструкции с сотовым заполнителем. М., Стройиздат, 1977.

66. Almroth В.О., Brush D.O. Postbuckling behavior of pressure-or core-stabilized cylinders under axial compression// AIAA J., 1963, v.l, №10.

67. Ariman T. Buckling of thin plates on an elastic foundation// Bautechnic, 1969, v. 46, №2.

68. Bert C.W. Budding of axially compressed core-filled cylinders with transverse shear flexibility// J.Space craft and Rockets, 1971, v.8, №5.

69. Brush D.O., Almroth B.O. Buckling of core-stabilized cylinders under axisymmetric external loads// J. Aerospace Sci., 1962, v.29, № 10.

70. Brush D.O., Pittner E.V. Influence of cushion stiffness on the stability of cushion-loaded cylindrical shells// AIAA J., 1965, v.3, №2.

71. Eringer A.C. Buckling of a sandwich cylinder under uniform axialicompressive load// J.of Appl. Mech., 1951, v.18, №12.

72. Federhofer K. Knicklast der axial gedruckten Kreiszylinderschale bei Vorhandensein eines entlang des Zylindermantels veranderlicchen elastishen Widerstandes// Ost. Ingenieur-Archiv, Bd. VIII, H. 2-3, Wien, 1954.

73. Forrestal M.J., Hermann G. Buckling of a long cylindrical shells surrounded by an elastic medium// Internat.J. Solids and Struct., 1965, v.l, №3.

74. Haseganu E.M., Smirnov A.L.,Tovstik P.E. Buckling of thin anisotropic shells.// Trans. CSME. 2000. v.24, No IB, P. 169-178.

75. Kachman D.R. Test report on buckling of propellant cylinders under compressive loads// Space technology labs., Inc., April 25, 1960.

76. Kaplunov Ju.D., Kossovich L. Ju., Nolde E.V. Dynamics of thin walled elastic bodies. London, Academic Press, 1998.

77. Kerr A.D., Myint U.T. The stability of core-filled long cylinders subjected to uniform outside pressure// Internat. J. Mech. Sci., 1965, v.7, №5.

78. Kirchhoff G., Vorlesungen uber mathematische Physik, Bd.l, Mechanik, 1876

79. Love A., On the small free vibrations and deformation of thin elastic shell// Phil. Trans. Roy. Soc., vol. 179(A), 1888.

80. Lu S.V., Nash W.A. Buckling of thin cylindrical shell stiffened by a soft elastic core. University of Florida, Florida Engineering and Industrial Experiment Station. Tech. Paper, №259, 1963.

81. Mah G.V., Almroth B.O., Pittner E.V. Buckling of orthotropic cylinders// AIAA J., 1968, v.6, №4.

82. Myint U.T. Stability of axially compressed core-filled cylindres// AIAA J., 1966, v.4, №3.

83. Myint U.T. Post buckling behaviour of axially compressed core-filled cylindres// Z. angew. Math, and Mech., 1969, v. 49, №7.

84. O'Neal A.P. Preliminary results of compression test-sustainer motor case. DM-15, Memorandum A260 STRE-214, Missiles and Space systems engineering, Douglas Aircraft Company, Santa Monica, Calif., 1959.

85. Reissner E. Memorandum on effect of soft solid core on buckling of axially loaded circular cylindrical shells. Lockheed aircraft corp., Missile systems div., Structures Study, № 64, Aug. 12, 1957.

86. Seide P. The stability under axial compression and lateral pressure of circular-cylindrical shell with a soft elastic core// J. Aerospace Sci., 1962, v, 29, №.

87. Seide P., Weingarten V.L The buckling uniform external pressure of circular rings and long cylinders enclosing an elastic material. Space technology Labs, Inc., EM 9-25, №15, 1959.97.'Seide P., Weingarten V.I. ARS J., 1962, v. 32, №5.

88. Structural Sandwich Composites// MIL-HDRK-23A. 30 Dec. 1968. Super-sending MIL-HDBRK-23 Part I; ANC-23 Part II; MIL-HDBRK-23 Part III

89. P.E.Tovstik and T.P.Tovstik. On the 2D models of plates and shells including the shear// ZAMM, 2007, 87, No 2, 160-171.

90. Weingarten V.L Stability under torsion of circular cylindrical shells with an elastic core// ARS J., 1962, v. 32, №4.

91. Yao J.C. Buckling of axially compressed long cylindrical shell with elastic core// Trans. ASME, ser. E., J. Appl. Mech., 1962, v. 29, №2.

92. Zak A.R., Bollard R.J.H. Buckling of thin short cylindrical shells filled with an elastic core// Developm. Mech., v.l, New York, 1961.

93. Zak A.R., Bollard R.J.H. Elastic buckling of cylindrical thin shells filled with an elastic core// ARS J., 1962, v.32, Ш.

94. Zak A.R., Williams M.L. Structural instability of solid propellant rocket motor. Collected Papers on Instability of shells structures, NASA TN-D 1510, 1962.