Устойчивость движения в некторых задачах динамики систем в неудерживающими связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи МАРКЕЕВ Алексей Анатольевич

531.38

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С НЕУДЕРЖИВАКЩИМИ СВЯЗЯМИ.

01.02.01. - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995 год

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Козлов. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А. П.Иванов, кандидат технических наук, доцент В.А.Синицин. Ведущая организация - Вычислительный центр РАН.

Защита состоится "_____"_____________________ 1995 г.

в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 053.05.01 по механике при Московском государственном университете по адресу : 119899, Москва, Воробьевы горы. Главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "_______"_____________ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ, доктор физико-математических наук

Д. В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В последние десятилетия механики все чаще обращаются к исследованию движения систем с соударениями. Это вызвано как необходимостью развития теоретических методов динамики систем с неудерживающими связями, так и потребностями решения прикладных задач механики, в частности, динамики виброударных систем. Кроме того к подобным задачам приводят некоторые вопросы геометрической оптики.

Одним из важнейших вопросов механики систем с соударениями, как и при исследовании любого другого вида динамических систем, является вопрос об устойчивости движения. Проблема исследования устойчивости, будучи сама по себе весьма непростой, в данном случае осложняется естественной импульсивностью движения, приводящей к появлению разрывов в динамических функциях, часто не допускающих непосредственное применение классических методов теории устойчивости. Поэтому представляется весьма актуальной необходимость поиска возможности примирения физической разрывной сущности подобных систем с регулярными методами классической механики.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена решению ряда задач об устойчивости периодических движений систем с идеальными неудерживающими связями при помощи адаптации известных методов теории устойчивости непрерывных систем

- г -

к система« с соударениями.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

1) Получены условия устойчивости неподвижной точки сохраняющего площадь отображения при всех возможных резо-нансах до четвертого порядка включительно. Условия устойчивости выражены через коэффициенты разложения отображения. Полученные результаты применены для решения двух задач, описанных ниже в пп. 2, 3.

2) Найдены условия устойчивости двузвенных траекторий биллиарда Биркгофа в строгой нелинейной постановке задачи для частного случая, когда одна из границ биллиарда прямолинейна или сводящегося к нему случая осесиммет-ричных биллиардов с осью симметрии ортогональной к дву-звенной траектории. Приведены примеры.

3) Исследовано плоское периодическое движение твердого тела между параллельными стенками, для которого в предположениях абсолютной упругости удара без трения и отсутствия активных внешних сил получены условия устойчивости в первом приближении . Рассмотрены примеры.

4) Решена задача об устойчивости перманентного вращения тела, движущегося в однородном поле сил тяготения над горизонтальной неподвижной плоскостью и периодически с ней упруго соударяющегося. Проведено полное нелинейное исследование для одного частного класса тел вращения. Условия устойчивости и неустойчивости представлены аналитически в виде выражений, зависящих от параметров задачи.

5) Исследовано периодическое движение тяжелой материальной точки над гладкой кривой при резонансе третьего порядка и показано, что несмотря на неустойчивость, траектории изначально достаточно близкие к невозмущенной периодической, соответствующей вертикальным подскокам точки. остаются на конечном расстоянии от нее, дана оценка этого расстояния.

Практическая ценность. Полученные в диссертации условия устойчивости и неустойчивости неподвижных точек сохраняющего площадь отображения могут быть эффективно применены при исследовании устойчивости периодических движений широкого класса динамических систем. Практическая ценность работы состоит в реальной возможности использования полученных новых результатов в динамике систем с соударениями и в задачах о дифракции волн.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.

Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 87 страницах и состоит из введения, двух глав, разбитых на 5 параграфов, заключения и списка литературы ( 38 наименований ).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации и изложены основные результаты.

В первой главе диссертации решены две задачи об ус-

тойчивости периодических движений систем с неудержив&ющей связью при отсутствии внешних активных сил. Первая из них - это задача об устойчивости периодического движения материальной точки, движущейся по инерции в области евклидовой плоскости, ограниченной гладкой кривой. В процессе движения точка соударяется с граничной кривой, удар при этом считается абсолютно упругим, то есть происходит по закону "угол падения равен углу отражения". Впервые подобные динамические системы, получившие название биллиардов, были рассмотрены Дж.Д.Биркгофом и с тех пор являются объектом пристального внимания исследователей. Интересным является вопрос об устойчивости периодических движений таких систем. Для двузвенных траекторий условия устойчивости в первом приближении были впервые получены В.М.Бабичем и В. С.Булдыревым в связи с задачами дифракции коротких волн. Различные способы решения этой задачи в первом приближении описаны В.В.Козловым и Д.В.Трещевым. A.M. Абдрахмановым получены условия устойчивости двузвенных траекторий для биллиардов на двумерных поверхностях постоянной кривизны. В диссертации решен вопрос об устойчивости двузвенной траектории в строгой нелинейной постановке задачи для частного случая биллиарда, когда одна из его границ прямолинейна, или сводящегося к нему случая осесимметричных биллиардов с осью симметрии ортогональной к периодической траектории.

Вторая задача первой главы - зто решение вопроса об устойчивости плоского периодического движения твердого тела между параллельными стенками . Рассматривается движение бесконечно тонкой выпуклой пластинки между двумя

параллельными прямыми при отсутствии активных внешних сил. Движение происходит с соударениями пластинки о прямые, удар считается абсолютно упругим, трение отсутствует. Исследуется устойчивость такого движения, при котором пластинка попеременно соударяется с прямыми, а ось, содержащая центр масс и два центра кривизн контура, ограничивающего пластинку, остается параллельной самой себе. Для произвольных значений параметров задачи получены условия устойчивости в первом приближении, рассмотрен ряд примеров.

Для решения обеих вышеописанных задач предложено применить метод неподвижной точки отображения плоскости в себя. Имеется в виду построение для возмущенного движения отображения за период, пользуясь механическим и геометрическим смыслом этого движения. Неподвижной точке полученного отображения будет отвечать исследуемое периодическое движение, и тем самым исследование устойчивости импульсивного периодического движения механической системы сводится к исследованию устойчивости неподвижной точки сохраняющего площадь отображения, задающегося аналитическими функциями.

Вопрос об устойчивости неподвижных точек отображения, сохраняющего площадь, рассматривается автором как отдельная задача, имеющая самостоятельное теоретическое значение. Устойчивость неподвижной точки отображения, сохраняющего фазовый объем,исследовалась ранее Т.Леви-Чи-вита, К.Зигелем, А. П.Маркеевым. В диссертации условия устойчивости и неустойчивости получены для всех возможных резонансов до четвертого порядка включительно и записаны

через коэффициенты разложения отображения в степенной ряд. При решении этой задачи используются известные результаты об устойчивости периодических гамильтоновых систем (В.И.Арнольд, Ю.Мозер. А.П.Маркеев,Г.А.Мерман,А.Г.Сокольский, А.П.Иванов).

Вторая глава диссертации посвящена изучению устойчивости периодических движений систем с неудерживающими связями в однородном поле сил тяготения.

Для исследования движения систем с идеальной неудер-живающей связью В.Ф.Журавлевым была предложена негладкая замена переменных, позволяющая исключить связь и записать уравнения движения в форме уравнений Рауса, справедливых на любом временном интервале. Сочетание негладкой замены переменных со специальным выбором обобщенных координат, осуществляемым при помощи "редуцирующей" замены, позволило А.П.Иванову и А.П.Маркееву записать уравнения движения систем с идеальной неудерживающей связью в гамильтоновой форме и применить методы Пуанкаре и КАМ-теории в анализе движения тела при наличии его соударений с плокостью.Этот способ исследования является основным во второй главе диссертации.

В первом параграфе Главы 2 решается задача об орбитальной устойчивости перманентного вращения тела с неудерживающей связью. Рассматривается движение динамически симметричного твердого тела вращения, ограниченного выпуклой поверхностью. Тело движется в однородном поле тяжести над горизонтальной неподвижной абсолютно гладкой плоскостью. Соударения тела с плоскостью считаются абсолютно упругими. Исследуется стационарное движение тела,

при котором оно вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси и в результате соударений периодически подскакивает над плоскостью. Проведено полное нелинейное исследование устойчивости упомянутого стационарного движения для одного частного класса тел вращения. Условия устойчивости и неустойчивости представлены аналитически в виде выражений, зависящих от параметров задачи.

Второй параграф посвящен анализу периодического движения материальной точки в однородном поле тяжести с неу-держивающей связью при резонансе третьего порядка. Рассматривается движение тяжелой материальной точки в вертикальной плоскости над гладкой кривой. Соударения точки с кривой считаются абсолютно упругими. Исследуется движение точки,при котором она периодически подскакивает вдоль вертикали. Уравнения движения рассматриваемой системы с неудерживающей связью получены в гамильтоновой форме. Изучен характер движения возмущенной системы при резонансе третьего порядка и, опираясь на результаты, полученные А. Г1. Маркеевым, показано, что несмотря на неустойчивость, траектории изначально достаточно близкие к невозмущенной периодической,остаются на конечном расстоянии от нее, дана оценка этого расстояния.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Работы автора по теме диссертации.

1. Маркеев А. А. Об устойчивости перманентного вращения тела с неудерживающей связью. Вестник МГУ. Математика. Механика. 1992. N3. с. 48-54.

2. Маркеев А.А. Об устойчивости плоского периодического движения твердого тела между параллельными стенками. Изв. РАН МП. 1995. N1. с. 22-24.

3. Markeyev А.Л. On the stability of the fixed points of the simplectical mapping. Dynamical systems of classical mechanics. Advanses in Russian Mathematical Sciences. American Mathematical Sosiety. Vol.52. 1995.

4. Маркеев А.А. Об устойчивости периодического движения тяжелой материальной точки с неудерживающей связью при резонансе третьего резонанса. Вестник МГУ. Математика. Механика. Сдана в редакцию.