Устойчивость двухфазных течений в плоском канале тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

од

'} г, ар шгь

На правах рукописи

Исаков Евгений Борисович

Устойчивость двухфазных течений в плоском канале

<>1.02.05 — кеханика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Новосибирск 1996

Работа эыцолвева в Новосибирской государственной академии строительства.

Научный руководитель:

шьгор физико-цатематических наук, профессор

В.Я. Рудяк

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

В.Я. Левченко

доктор физико-математическИх наук, профессор

А.М. Сагалаков

Ведущая организация — Институт теплофизики СО РАН.

Защита состоится "....".................1996г. в .... часов на заседании диссертационного совета К.003.22.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Институте теоретической и прикладной механики по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская 4/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТПМ СО РАН-Автореферат разослан "....".................1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета' доктор физико-математических наук

В.И. Корнилов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема ламинарно-турбулентного перехода вот уже в течение целого столетия остается одной из актуальнейших проблем механики и фишки сплопшых сред. Существенного продвижения и понимании этого явления удалось достичь на пути изучения устойчивости стационарного ламинарного течения относительно некоторых внешних возмущений. К настоящему времени удовлетворительно развита линейная и слабо нелинейная теории гидродинамической устойчивости. Имеется богатый экспериментальный материал. Однако практически все достижений и теории, и эксперимента связапы с изучением однородной (чистой) жидкости (газа). Вместе с тем на практике мы нередко имеем дело с течением гетерогенной среды. Более того, скорее "чистые" жидкость или газ являются исключением. В окружающей атмосфере содержатся твердые частицы самых разных размеров или частицы жидкости, в водоемах —гвердые частицы или пузырьки газа. Даже достаточно чистый газ при не слишком высоких температурах не является строго молекулярным, поскольку содержит кластеры, которые могут состоять и из нескольких молекул газа, и пэ многих тыся ч. Еще шире спектр возможных гетерогенных сред, использующихся в технологических процессах.

Многочисленные экспериментальные данные но изучению развитого турбулентного течения свидетельствуют о том, что добавление частиц в поток в ряде случаев радикально меняет его свойства. Например, существенно меняется закон нарастания толщипь- пограничного слоя в пристенном течении. Подобные изменения приводят к значительным поправкам к коэффициенту сопротивления, поэтому добавление твердых частиц в течение является эффективным средством управления турбулентным потоком. В то же время на практике часто приходится имегь дело с ламинарными течениями и течениями в состоянии ламинарно-турбулептного перехода. В связи с этим возникают очень важные с практической точки зрения вопросы о влиянии твердых часиш на процесс перехода к турбулентности. Тем не менее, для гетерогенной среды даже линейная теория гидродинамической усгончивопч те еще отсутствует. По-видимому, впервые внимание к этой проблеме привлек II. Саффмен (1962). Он поставил линейную задачу устойчивости для сильно разреженной гаэовзвеси и показал, что в случае однородного рлепредглеиия плотности частиц задача сводится, как и для

чистой жидкости, к решению уравнения Орра-Зоммерфельда, правда, для некоторого эффективного комплексного профиля скорости. Проведенный П. Саффменом при предельных предположениях качественный анализ показал, что добавление в газ очень мелких частиц дестабилизирует течение, а очень крупных — оказывает стабилизирующее действие. Эти выводы хорошо согласуются с физическими соображениями, однако результаты работы Д. Микаэля (1964), рассчитавшего кривые нейтральной устойчивости дисперсного течения Пуазейля, противоречат им. Это побудило Д. Микаэля высказать предположение о ненадежности использованых в расчетах асимптотик. Сегодня ясно, что такое предположение справедливо.

Впоследствии устойчивость дисперсного течения в плоском канале изучали Ч. Нармуратов и А. Соловьев (1985, 1986), которые рассматривали, в частности, и модель П. Саффмена. К сожалению, их результаты в отношении этой модели также оказались неудовлетворительными.

Следует упомянуть также работы Е. Курочкиной и М. Стронгина (1985, 1988), в которых рассматривались вопросы устойчивости изотермических и неизотермических струй двухфазной жидкости и серию работ Д. Дрю (1975, 1976, 1979), где исследовалась устойчивость гетерогенных течений Куэтта и Стокса. Для описания среды Д. Дрю использовал собственную модель, которая существенно отличается от модели, изучавшейся П. Саффменом, и обобщает ее. Наиболее интересным результатом, полученным Д. Дрю, является установленная им дестабилизация в определенных условиях течения Куэтта дисперсной среды.

Таким образом, к настоящему времени отсутствуют систематические надежные данные относительно устойчивости течений двухфазной среды.

Цель работы состоит в изучении линейного этапа развития возмущений в плоскопараллельном течении двухфазной среды. С этой целью исследуется течение Пуазейля разреженной дисперсной среды. Предполагается, что дисперсный компонент представляет собой твердые частицы, а несущая среда — несжимаемую жидкость или газ.

Научная новизна результатов настоящей работы состоит в следующем

* Разработан комплекс программ, позволяющий рассчитывать характеристики устойчивости плоскопараллельных дисперсных течений.

• Проведено систематическое исследование устойчивости дисперсного течения в плоском канале в зависимости от массовой концентрации частиц, их иремени релаксации, характера распределения частиц в потоке, числа Рейнольдса течения.

• Показано, что при одпородном распределении дисперсной фазы устойчивость течения может уменьшаться и увеличиваться в зависимости от времени релаксации среды и скорости потока. Так, мелкие частицы при небольших числах Рейнольдса дестабилизируют течение, и, напротив, крупные частицы при достаточно высоких скоростях течения повышают его устойчивость. Получены количественные результаты, характеризующие влияние частиц дисперсной фазы на устойчивость течения.

• При неоднородном профиле распределения частиц решающее значение имеет вид этого распределения в окрестности критического слоя. При этом частицы могут значительно дестабилизировать или стабилизировать течение в зависимости от взаимного расположения пылевого и критического слоев.

• Показана возможность существования новых механизмов возникновения неустойчивости в течениях дисперсных сред. Обнаружено возникновение новых нарастающих мод возмущений в гетерогенном течении.

• Получен новый критерий неустойчивости дисперсного течения, обобщающий теорему Рэлея о роли точки перегиба в профиле скорости.

Научная и практическая ценность.

г впервые проптаено систематическое исследование устойчивости разреженного дисперсного течения Пуазейля в широком диапазоне изменения параметров течения и характеристик дисперсной среды.

• Результаты работы могут быть ттспользованы при разработке методов управления ламинарно-турбулентным переходом в течениях дисперсных сред.

Достоверность полученных результатов подтверждается многочисленными тестами и сравнением с результатами анализа.

Апробация работы. Основные результаты настоящей работы докладывались и обсуждались в рамках Международной научной школы "Нелинейные задачи гидродинамической устойчивости" (Москва, 1994), на I (Новосибирск, 1994) и II (Новосибирск, 1995) Новосибирских семинарах "Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей", на Межреспубликанской школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости "Вычислительные технологии" (Новосибирск, 1994), на "IX European Drag Reduction Meeting" (Италия, 1995), на I Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Москва, 1995), на "European Aerosol Conference — 94" (Франция, 1994), "European Aerosol Conference — 95я (Финляндия, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

I

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех, глав, заключения и списка цитируемой литературы. Полный объем —1106 страниц. Диссертация включает 31 рисунок и 3 таблицы. Библиография —112 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой в диссертации тематики, представлено современное состояние проблемы, описана структура работы, сформулированы цели и задачи диссертации и перечислены положения, выносимые на защиту.

ТТирвад глава посвящена разработке метода изучения устойчивости плоскопараллельных течений гетерогенных сред. Раздел 1 содержит обзор современных результатов и методов исследования устойчивости однофазного течения Пуазейля. Рассматриваются как аналитические (асимптотический анализ, метод Рэлея), так и численные методы (конечных разностей, мриацвошшй, ортогонализащга, дифференциальной ырогопки).

В разделе 2 обсуждается используемая модель дисперсной среды. Многообразие возможных гетерогенных сред и фпзпко-хпшпескпх процессов, проходящих в ядх, пе позволяет надеяться на универсальность соответствующих законов переноса. В настоящей работе ограничимся вполне определенным классом дисперсных сред, предполагая, что

• Среда является молодисперсной п состоит от несущего газа или жидкости и частиц.

• Частицы являются сферическими н имеют радиус а.

в Среда является слабо неравновесной в том смысле, что характерный линейный масштаб изменения градиентов гидродинамических величин много больше кинетических масштабов (_ дзмеров молекул и частиц, расстояний между молекулами, длины свободного пробега и т.д.).

• Дисперсная фаза является разреженной

V = vp/v < 1, (1)

где <р — объемна* концентрация частиц, V полный объем, Vp — объем, занимаемый частицами.

в Межфазное взаимодействие описывается силами

Ff = -Fp=;K(up-uf), (2)

В общем случае коэффициент К может отличаться от стоксовского ь' с 9 ^ Рр

Здесь пр — -лотность числа частиц, ир и и/ — соответственно скорости континуума частиц и несущей жидкости, ц — коэффициент вязкости несущей еррцы, рр — Мпр — массовая плотность континуума частиц, р* — плотность материала частиц; М — |гга'р* — масса частицы.

» Частицы едполагаются достаточь.) крупным; , чтобы можно было пренебречь их броуновским движением.

^ + У.(РриР) = 0, • (3)

• Степень разреженности континуума частиц столь велика, что можно пренебречь их непосредственным взаимодействием и связанными с ним процессами переноса.

• Несущая среда является несжимаемой.

В этих предположениях уравнения неразрывное ги и переноса импульса для частиц и несущей жидкости принимают вид

Уи/ = О,

- 4- .

01

Р/ + и/ ' VII/) + VР + V • (/хе) = К К - и/), Рр {1к + Пр' цр) '

Здесь и везде ниже индексы / и р соответственно относятся ь. несущей жидкости и к частицам, Р — давление, е — тензор скоростей деформации

„ _ диП . диИ е,) - дп + дг} ■

Исследование модели (3) показывает, что в плоскопараллельном стационарном потоке обе фазы имеют единый профиль скорости и (у), причем течение характеризуется числом Рейнольдса II, а среда — профилем массовой плотности частиц /(у) и временем релаксации т = М/К. Последнее представляет собой характерное время, за которое скорости фаз выравниваются при отсутствии возмущающей силы

В третьем разделе выводятся уравнения малых возмущений и для класса плоскопараллелыщх течений обосновывается теорема, аналогичная теореме Сквайра для Однофазных течений. Таким образом, характеристики трехмерных возмущений в гетерогенном течении могут быть восстановлены по результатам работы относительно двумерных возмущений. Далее в этом же разделе содержится вывод уравнения линейной устойчивости дисперсного течения

(IV - с)Аф - + ± {ГЗф) = ^ д v. (4)

\\г = и + /.7, Цу)-. и~С

1 + ¿аБЩг/ - с)'

Здесь ф охр [г'(«£ — ujt)] — функция тока возмущений газовой фязы; а, ш и с w/а — соответственно волновое число, частота и фазовая скорость возмущений; S = Tfi/L2 — время релаксации среды в безразмерном представлении; оператор Д = d2/dy2 — а2; штрих обозначает дифференцирование по у.

Если твердые частицы равномерно распределены по пространству / = const, уравнение (4) превращается в уравнение Орра-Зоммерфельда с эффективным комплексным профилем скорости W(y), которое получил П. Саф-фмен. Он же показал, что если частицы дисперсной фязы достаточно Мелкие, а скорость течения невысока, так что SR. С 1, то

<w ~С)={и+ - с) «<* + /<*- с) - с) - <1 + f)(U - с).

Подставив это выражение в (-t), видим, что последнее сводится к обычному уравнению Орра-Зоммерфельда с профилем скорости U(y) и числом Рейнольдса R(1 + /). Физически это означает, что мелкодисперсная среда { ведет себя как однородная с большей эффективной плотностью р(1 + /). Следует отметить, что увеличение числа Рейнольдса обычно приводит к уменьшению устойчивости.

Напротив, если размеры Частиц или скорости течения велики настолько, что SR ^>1

то есть задача о возмущениях в двухфазной жидкости сводится к задаче о возмущениях с большей скоростью нарастания в однофазной среде. Это означает, что течгштр крупнодисперсной гетерогенной среды более устойчиво и объясняется тем, что инертные частицы, двигаясь со средней скоростью течения, демпфируют возмущения. В пределе SR —+ со межфазная сила исчезает и частицы перестают влиять на устойчивость течения.

В третьем разделе выводится критерий устойчивости дисперсных течений. Здесь показано, что в крупномасшабном течении двухфазной среды нарастающие возмущения могут возникать только в случае, есля функция

обращается в 0 при некотором значении координаты у. Легко видеть, что это условие является обобщением теоремы Рэлея о точке перегиба в профиле скорости. Следует также отметить, что подобный критерий имеет место в невязких течениях сжимаемого газа, если принять величину (1 +'/) за плотность среды.

Раздел 4 посвящен адаптации методов линейной теории для гете\ эген-ных сред. В данной работе проводилось численное решение задачи устойчивости дисперсного течения с использованием методов ортогонализации и дифференциальной прогонки. Для пошагового интегрирования уравнений применялись хорошо известные процедуры Руше-Кутта. Поиск собственных значений спектральной задачи осуществлялся с помощью итерационного алгоритма, сводящего к нулю значение характеристической функции. Отладка и тестирование схемы производилось на задаче о линейной устойчивости течения Пуазсйля чистого газа. Некоторые результаты тестирования приведены в таблице 1. Как это видно из таблицы, с уменьшенном шага интегрирования к результаты расчетов сходятся к собственному значению, полученному С. Орзагом (1971).

_Таблица 1. Результаты тестирования_

I Данные С. Орза1 а

И =10000, о --=1.0, и = 0.23752649 +¿0.00373967

Л Метод ортогонализации

0.002 0.2375251703 + ¿0.0037390609

0.001 0.2375261819 + ¿0.0037396625

0.0005 0.2375264136 + ¿0.0037396683

0.00025 0.2375264937 + ¿0.0037396684

0.00010 0.2375264858 + ¿0.0037396705

0.0000625 0.2375264877 + ¿0.0037393706

Дифференциальная прогонка 0.2375256074 + ¿0.0037432749 0.2375262335 + ¿0.0037398985 0.2375264176 + ¿0.0037396833 0.2375264704 + ¿0.0037396710 0.2375264858 + ¿0.0037396706 0.2375264877 + ¿0.0037396706

Кроме того, отдельные результаты цля дисперсного течение Пуазейля с однородным и неоднородным распределением частиц была проверены с помощью программы, независимо разработанной Е. Бордом п реализующей метод Гадсркт;а. Сравнение показало совпадение результатов с точностыс до 7 знаков.

Глава II посвящена изучению устойчивости плоского течения Пуазейля двухфазной среды с однородным распределением дисперсной фазы. Результаты расчетов покплысают, что характер устойчивости течения решаю-

щим образом зависит от массовой концентрации дисперсной фазы. Можно выделить следующие три типичные ситуации.

Среды с низкой концентрацией частиц (/ < 0.05/ Устойчивость тече йия изменяется слабо в сравнении с течением однофазной жидкости, кри вые нейтральной устойчивости сохраняют форму. На рис, 1 показаны кривые нейтральной устойчивости дисперсного течения'Пуазейля с однородным распределением частиц при массовой концентрации дисперсной фазы / = 0.01. Для сравнения приводится нейтральная кривая течения Пуазейля однофазной жидкости (линия 1). При малых временах релаксации в, как и предсказывалось, наблюдается уменьшение критического числа Рейнольд-са дисперсного течения в сравнении с течением чистого газа. Однако в данном случае относительное уменьшение критического числа Рейнольдса составляет величину всего лишь порядка 1% и нейтральные кривые дисперсного течения при временах релаксации Б < 10~б практически сливаются с кривой нейтральной устойчивости чистого газа 1. При увеличении Б происходит заметная стабилизация течения (кривая 2, Э = 10-4) и максимальная устойчивость достигается при Б = 2.5 • Ю-4 (кривая 3). При дальнейшем увеличении времени релаксации кривые нейтральной устойчивости дисперсного течения приближаются к нейтральной кривой однофазного течения (линия 4, Б = 3 • Ю-3), что также хорошо согласуется с результатами качественного анализа П. Саффмена.

Рис. 1 Рис. 2

Зависимость критического числа Рейнольдса течения от размеров частиц (а ~ y/S) при массовой концентрации частйц / = 0.01 показана на рис. 2 кривой 2. Линия 1 отмечает критическое число Рейнольдса течения чистого газа R^ = 5772.2 и дана для сравнения.

Среды с умеренной концентрацией частиц (} — 0.05-f0.2j. Значительно изменяются характеристики устойчивости течения и форма нейтральных кривых, но качественный вид области неустойчивости остается тем же. На рис. 3 и 4 показаны кривые нейтральной устойчивости дисперсного течения при массовой концентрации частиц / = 0.1. Кривая 1 по-прежнему соответствует течению чистого газа. Хорошо видно, что мелкодисперсное течение теряет устойчивость при меньшем числе Рейнольдса, чем течение однофазной жидкости (кривая 2, S = Ю-7). Следует также обратить внимание на то, что кривые 3 и 4 имеют заметный прогиб при R и 105, показывающий локальное более сильное подавление возмущений. Устойчивость газовзвеси с концентрацией частиц / = 0.1 максимальна при S = Ю-4 и уменьшается при дальнейшем увеличении времени релаксации.

Рис. 3 Рис. 4

Изменение критического числа Рейнольдса в зависимости от размеров чгд тча показано на рис. 2, кривые 3 и 4 соответствуют течениям с массовыми концен грациями / = 0.05 и / = 0.1.

' 15 таблице 2 приведепы рассчитанные'критичоские значения числа Рей-!Н1.п. ка Г?с для некоторых характерных / и Б, а также волновые числа ас

и частоты ис соответствующих возмущений.

Таблица 2. Критические числа Рейнольдса

3 / = 0.05 / = 0.1

С*с 11с ас и>с

10" -8 5497.6 1.0205 0.26942 5247.9 1.0205 0.26942

10" -7 5499.7 1.0205 0.26938 5251.5 1.0203 0.26932

ю- -6 5520.9 1.0197 0.26891 5288.7 1.0190 0.26849

10" -5 5747.2 1.0119 0.26427 5709.4 1.0041 0.25967

2 10" -5 6032.9 1.0025 0.25868 6321.2 0.9852 0.24844

10" -4 10202.8 0.9216 0.20853 33340.5 0.7830 0.12898

2 10" -4 12857.8 0.9012 0.19270 30186.3 0.8019 0.13687

2 10" -3 7986.5 0.9797 0.23952 10308.2 0.9487 0.21829

ю- -2 6271.0 1.0105 0.26174 6768.3 1.0012 0.25480

Среды с высокой концентрацией частиц (} > 0.2^. В этом случае устойчивость течения так сильно отличается от устойчивости однофазных жидкостей, что меняются топология области неустойчивости и качественное поведение потока при изменении его скорости.

Чтобы понять, как это происходит, рассмотрим, как меняется скорость роста возмущений при изменении концентрации твердых частиц в потоке. Для каждого фиксированного II можно указать волновое число а* и частоту и>* наиболее неустойчивой моды возмущений: = шахи;; (или наименее устойчивой, если ц>/ < 0). Здесь и = шг +• «о^, где и, — частота возмущения, & иц — скорость его нарастания. Совокупность точек а* (И) образует на плоскости (а, II) линию наиболее быстрорастущих возмущений. На рисунке 5 показано, как изменяется скорость роста этих возмущений и>- при добавлении в течение твердых частиц определенного размера (8 = 1.5 • 10~5). Кривая 1 построена для чистого газа, кривые 2, 3 и 4 -для газовзвесей при / = 0.1, 0.2 и 0.3 соответственно. Заметный прогиб кривой 2 при И « 105 указывает на существование области наибольшего подавления возмущений. При увеличении концентрации частиц величина прогиба растет и, начиная, с некоторого значения / ■» 0.18, возмущения в этой области становятся затухающими: ш- < 0.

Расчеты показали, что положение области наибольшего подавления возмущений определяется соотношением Б П. ~ 1. При достаточно большой концентрации дисперсной фазы двумерные возмущения при числах Рейнольдса И ~ Б-1 оказываются полностью демпфированными, и область

неустойчивости течения разделяется на две подобласти, как это показывают кривые 2 и 3 на рис. 6 (массовая концентрация частиц / = 0.3).' Если же время релаксации составляет величину порядка Я ~ 1/11со> то наибольшее стабилизирующее влияние достигается ¿при околокритических скоро-сгях течения. Тогда течение имеет одиную область неустойчивости, но критическое число Рейнольдса может увеличиваться до значений порядка Яр ~ 106 (крива* 4 на рис. 6).

-1».010

ЧИС1ЫИ гаэ

Б = 1.56 ■ КГ6 5 = 2- 10 е Б = 8 • 10~5

п

Рис. 5

Рис. 6

Последовательное описание результатов, касающихся устойчивости течений с низкой, умеренной и высокой концентрацией дисперсной фазы содержится в разделах 1, 2 и 3 второй главы диссертации.

В разделе 4 на основе модельных уравнений обсуждается влияние частиц на устойчивость течений. Рассматриваются модель осциллятора с силой трения, типа силы Стокса, и модель волны возмущения, распространяющейся в одномерном течении дисперсной среды. Результаты исследования этих моделей находятся в хорошем качественном и удовлетворительном количественном согласии с результатами исследования модели (3).

В разделе 5 описывается пространственная структура поля возмущений. Приведены линии тока для возмущений несущей и дисперсной фаз за вычетом среднего движения в зависимости от времени релаксации среды.

Шестой раздел посвящен исследованию устойчивости полилиспергных течений. Показано, что качественно доведение разреженной полидисг',рс-

пой среды с однородным распределением компонент дисперсной фазы может быть предсказано из анализа поведения монодисперсных сред. Другими словами это означает, что в газовзвесях и супензиях с неоднородными по размеру пастилами действуют те же механизмы, что и в моподисперспых.

В третьей главе изучается устойчивость течения Пуазейля неоднородной гетерогенной среды. В начале главы приведено обсуждение возможных видов распределения дисперсной фазы. По сути, вид профиля плотности частил /(у) столь же важен, как и профиля скорости и (у), и параду с ним определяет класс течения. Многообразие возможных видов распределения дисперсной фазы не позволяет получить в рамках одной работы достаточно полную картипу устойчивости двухфазных течений в плоском канале. Для целей настоящего исследования использовались профили распределения дисперсной фазы, соответствующие наличию в точеппн одного или двух пылевых слоев. Пылевой слой образуется в потоке жидкости или газа, в который частицы впосятся при помощи локального источника. Таким источником, в частности, можно считать дымящую проволоку — расе

прострапенный ипструмент, применяемый для визуализации газовых точений. Выбор распределения диспе|к-поя фазы в виде относительно топкого пылевого слоя позволяет исследовать зависимость характеристик устойчивости не только от времени релаксации и массовой концентрации частиц, но также и от того, в какой области течения частицы находятся. Кроме того, любое иное распределение дисперсной фазы можно качественно предоставить в виде совокупности пылевых слоев и по результатам настоящего исследования судить о его влиянии на устойчивость течения.

Раздел I содержит исследование устойчивости течения Пуазейля с частицами, локализованными в приосепой области. В качестве функции распределения плотпости выбрана гауссовская функция с максимумом при V = 0 и характерной тирипой а

/(.у) = /,-Иехр(-У/**) (-1 < у < 1), (5)

где нормирующий множитель выбирается таким образом, чтобы при изменении т сохранялось общее количество частип в канпле

1

-1

Изменение ширины распределения при постоянном количестве частиц п

области течения позволяет рассмотреть переход от равномерного распределения а —» оо к пределу тонкого пылевого слоя а С 1. Если пылевой слой достаточно тонок, то /5 представляет собой массу частиц, приходящуюся на единиц)- поверхности пылевого слоя — поверхностную концентрацию частиц. Результаты исследования показали, что при уменьшении а до значений < 0.5 характеристики устойчивости течения сходятся к предельным значениям, и, таким образом, перераспределение частиц в средней области течения у < 0.5 не оказывает влияния на его устойчивость.

В разделе 2 изучается поведение возмущений при смещении пылевого слоя относительно оса течения. Профиль распределения дисперсной фазы определен в следующей форме

Ну) = М*. О • \ [ехр (-(У - О*/"3) + ехр {-(У + О2/*2)] • (7)

При £ = 0 мы имеем симметричный относительно оси пылевой слой (5), прн а С £ < 1 — два слоя с поверхностной концентрацией частиц в каждом из них.

Рис. 7 Рис. 8

Да рис. 7 приведена зависимость критического числа Рейнольдса 11с от положения пылевых слоев £ для различных значений времени релаксации среди Здесь а = 0.05, /з — 0.01. Кривые 1, 2, 3, 4, 5 соответствуют временам релаксации 8 = 4-10~3, 10~3, 2.5 • Ю-4, Ю-4 и 10~6. Снова видно, что устойчивость течения практически не меняется при перерас-

пределении частил в средней области течения £ < 0.5, Для большинства кривых на рис. 7 существует два четко выраженных экстремума характеристик устойчивости — минимум при £ ~ 0.78 и максимум при £ ~ 0.95. Таким образом, воздействие частиц на устойчивость течения меняется с дестабилизирующего на стабилизирующее при переходе пылевого слоя через некоторую границу. Положение этой границы несложно отождествить с положением критического слоя ус ~ 0.86. Описанная зависимость критического числа Рейнольдса от £ связана с резким изменением фазовой скорости возмущения, которое имеет место при близком расположении пылевого слоя к критическому. На рис. 8 представлена зависимость фазовой скорости возмущения с от параметра £ для разных значений сг, кривая 1 соответствует а = 0.1, 2 — 0.05, 3 — 0.02 (/s = 0.01, S = 2.5 • ИГ4).

Кроме того, на рис. 7 моз::но видеть, что наибольшее влияние на устойчивость течения оказывают мелкие частицы. Так как при SR <С 1 среда ведет себя как однофазная с повышенной плотностью, можно конста-

с

тировать, что основное влияние пылевого слоя на устойчивость течения осуществляется через локальное изменение эффективной плотности среды в окрестности критического слоя. При увеличении времени релаксации S происходит "развязка" фаз, в результате чего понижается эффективная плотность среды в пылевом слое, и, как следствие, уменьшается его влияние на устойчивость течения.

При достаточно высокой концентрации частиц в пылевых слоях вновь наблюдалось изменение топологии области неустойчивости. Но если в однородных двухфазных течениях это объяснялось максимальным стабилизирующим действием частиц при определенных скоростях потока R > R«, в неоднородных возникает обратный эффект, когда добавление частиц дестабилизирует низкоскоростное течение R < Rc. Критическое число Рейнольдса при этом может значительно понияаться и достигать значений < 103.

В разделе 3 приведены результаты, описывающие неустойчивость двухфазного течения Пуазейля по отношению ко второй (антисимметричной) моде возмущений. Все результаты, которые были приведены выше, касаются устойчивости дисперсного течения Пуазейля по отношению к симметричной моде возмущений,^ которая является единственной неустойчивой модой в гомогенно;,! течении. Однако, как показывают эти результаты, добавление частиц может приводить к существенной дестабилизации по-

тока. Поэтому правомерен вопрос о существовании других нарастающих мод возмущений в гетерогенном течении. Предварительно можно сделать два замечания.

(1). Мелкие частицы при однородном распределении дисперсной фазы понижают устойчивость течения. Но такая дестабилизация приводит только к смещению кривых нейтральной устойчивости по плоскости (а, II) в область меньших чисел Рейнольдса и не может вызвать возникновения новых нарастающих мод. Поэтому можно предполагать, что симметричная мода возмущений остается единственной неустойчивой модой в гетерогенном течении Пуазейля с однородным распределением дисперсной фазы.

(и). При уменьшении концентрации частиц / -+ 0 (/у —» 0, /б —» 0) характеристики устойчивости гетерогенного течения должны непрерывно сходится к характеристикам гомогенного. Поскольку в течении Пуазейля чистого газа все высшие моды возмущений обладают конечной скоростью затухания, очевидно, что для их дестабилизации в дисперсном течении, если это вообще возможно, необходимо, чтобы концентрация частиц (/(/, /б) превышала некоторое критическое значение.

а

1 — (Г = 0.115

2 — а = 0.112

3 — а =0.1

4 — <т = 0.09

На 80000п

1 — Б = 2.5 Ю-4

2 — Б = Ю-4

3 — Б = 10"5

4 — симметр. мода

5 — симметр. мода

V

1

ю-1

I 1 1 I1 1ТМГ1

ю5

■р 0 1-1-1->-1-1-Т--■-1 £

" 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0*

Рис. 9

Рис. 10

Проведенные расчеты подтверждают эту точку зрения. Действительно, при достаточно высокой концентрации дисперсной фазы с распределением (7) течение теряет устойчивость к антисимметричным -озмущениям. Кривые нейтральной устойчивости дисперсного течения Пуазейля по ot-ношению к возмущениям с антисимметричной функцией тока изображены на рис. 9. Кривые 1-4 отвечают различным толщинам пылевых слоев: а = 0.115, 0.112, 0.1, 0.09. Остальные параметры течения для этих кривых совладают — S = 2.5 • Ю-4, /s/2 = 0.05, £ = 0.75. Легко видеть, что с уменьшением толщины пылевых слоев область неустойчивости быстро растет; в данном случае получить предел тонкого пылевого слоя не удалось. Для сравнения показана кривая нейтральной устойчивости течения по отношению к симметричной люде возмущений (линия 5, а = 0.1, S = 2.5 ■ Ю-4, /s/2 = 0.05, f- 0.75).

Как показывают наши расчеты, при больших числах Рейнольдса значение произведения aR = const вдоль каждой из ветвей нейтральных кривых 1-4 на рис. 9. Поз этом, естественно, а-»0п яотому можно считать, что в уравнении (4) оператор

л * 2 # А = — ц ~ a' w -г-т.

«у «г/

Тогда параметры а и R участвуют в этом уравнении только в виде комбинации aR и потому решение ip и собственное число с могут зависеть только от значения aR. С одной стороны, это облегчает задачу, поскольку для нарастающих возмущений достаточно получить решения c(aR) и ф(аЩ лишь при одном значении числа Рейнольдса R 2> 1. Но, с другой стороны, сокращается выбор методов для исследования устойчивости. Во-первых, хотя влияние вязкости для нарастающих возмущений и мало (в правой части (4) aR 2.103 для кривых 1-4), однако это влияние не уменьшается с увеличением скорости течения. Поэтому невязкое уравнение Рэлея непригодно для анализа устойчивости течения Пуазейля к антисимметричным возмущениям. Во-вторых, по той же причине использование ассимптоти-ческих методов для решения (4) затруднительно.

Рис. 10 показывает, как зашснт неустойчивость течения к антисимметричным возмущениям от положения пылевых слоев Здесь R« — критическое число Рейнольдса для этих возмущений, толщина пылевых слоев а = 0.1, поверхностная концентрация частиц /s/2 — 0.01. Кривые 1-3

построены для в = 2.5 • Ю-4, 10"*4 и Ю-5 соответственно. Видно, что неустойчивость течения к .возмущениям с антисимметричной функцией тока сохраняется в некотором (довольно широком) интервале но при выходе за границы-этого интервала 11с быстро растет. При этом наибольшее влияние на устойчивость по-прежнему оказывают мелкие частицы. Также легко видеть, что для все рассматриваемые течения теряют устойчивость к симметричным возмущениям при меньших скоростях потока (кривая 4, Я = Ю""5, /з/2 = 0.01, а = 0.1), чем к антисимметричным.

В четвертом разделе выводятся энергетические соотношения для возмущений в дисперсном течении. Скорость роста энергии возмущений двухфазной среды определяется соотношением

где П обозначает область течения, и — возмущения скоростей несущей и дисперсной фаз. -

Несложно показать, что <1Е/<Н представляет собой сумму четырех слагаемых

. ~ = - ¡¿у тг1/' - I/Лу (УУ„) : (УУ„). (8)

«I п пп

- ¡¿у /три' - ¿у /(V,, - Ур1)2,

П = (Ии-У«,), (« = /,р).

Здесь ту, Тр — напряжения Рейнольдса несущей и дисперсной фаз соответственно.

В однофазной жидкости рост энергии возмущений связан с двумя первыми слагаемыми (8). Первое из них соответствует переходу энергии среднего течения в энергию возмущений и наиболее существенно в окрестности критического слоя. Второй член квадратичен и описывает вязкую диссипацию энергии возмущений вблизи границы течения. Третье и четвер тое слагаемые (8) связаны с работой межфазной силы, причем третье показывает, что частицы включаются в механизм взаимодействия возмущений с основным потоком, а четвертое снова имеет квадратичный вид и обусловлено вязкой диссипацией энергии при взаимном движении фаз.

Проанализировать это выражение в общем случае для произвольных Б и / не просто. Мы ограничимся ан.:Лиэо. г (8) для частного случая, тогда

3R < 1. Тогда с точностью до членов, линейных по SR, г/ = тр, Vpi = V/1. Учитывая это, находим

11 = -. jdy(l + f)TjV' - У dy (VV„) : (VV/i). (a)

ai а Лп

Последний член в этом выражении всегда отрицателен и рассматриваемое течение может быть неустойчиво, когда

f >0 или -¡dy(l+f)rfU'>^]dy(VVn):(VVfl). (10)

Если частицы в потоке распределены однородно, то / = const, а т/ прак тически совпадает с соответствующим выражением для гомогенной жит,-кости г/о. Напряжения Рейнольдса ту о в течении Пуазейля заметно отличаются от нуля лишь в окрестности критического слоя. Поскольку в гомогенной жидкости существует диапазон чисел Рейнольдса, где течение Пуазейля устойчиво, то ясно, что течение двухфазной жидкости с однородным распределением частиц в потоке и SR 1 также будет устойчивым в некоторой области значений чисел Рейнольдса. Причем, так как первый член в выражении (9) в двухфазной жидкости будет в 1 + / раз больше, чем в гомогенной, то двухфазное течение дестабилизируется при меньших числах Рейнольдса, чем течение гомогенной жидкости. Из (10) следует грубая оценка критических чисел Рейнольдса течений гомогенной Rcq и двухфазной жидкостей Rc

R- = Rco/(l'+ /)•

При неоднородном распределении частиц в потоке характер поведения напряжений Рейнольдса несущей жидкости г/ может существенно отличаться от поведения г/о• Это видно уже из анализа уравнения для функции тока (4), которое в рассматриваемой ситуации принимает вид

p[(U - с)Аф - U"tp] + ft \{U - с)ф' - U'tp] = ~AV, (П)

tail

где /э = 1 + /. Это уравнение от обычного уравнения Орра-Зоммерфельда отличается множителем (1 + /) при первом члене в левой части и наличием второго члена. Для распределения (7) функция /' (как и ft) меняет знак вблизи точки у = Абсолютное значение этой функции почти везде

мало и вторым членом в (11) можно пренебречь, если только £ не лежит' вблизи критического слоя. В критическом слое функция тока резко изме--ляется и учет этого члена необходим. Знакопеременность превращает его вблизи критического слоя при у > ( сначала в дополнительную (к вязкой) диссипативную силу, что приводит к стабилизации течения по сравнению с однородной жидк -ггью. а затем — в активную силу, приводящую к росту напряжений Рейнольдса и как следствие — развитию неустойчивости на докритических для гомогенной жидкости режимах течения. Именно та-к(>е поведение и наблюдалось в численных расчетах, результаты которых описаны в предыдущем разделе.

Проверенный качественный анализ справедлив при 311 -С 1, тем не менее описанные механизмы развития неустойчивости течения и его стабилизации сохраняются и при других значениях параметра БИ. Однако при БЛ > 1 важное значение приобретает и сила межфазного взаимодействия. Покажем это для случая достаточно тонких пылевых слоев, поверхностная концентрация частиц в которых сравнительно невелика. В этом случае распределение (7) можно заменить таким

/(у)-о+%+«)=/з-ад, л<1,

И считать, что параметры возмущенного течения близки к параметрам гомогенной жидкости шо, У/1?, туо> Ео

и> = Ц, + /8"ъ V/, =-.У^) + /8УУ1), г, = т-уо + Дгл (12) ¿Е _ <Щ, ЛЕх _ <Щ Ш ~ Я +/|5 А ~ Л '

где мы использовали то обстоятельство, что в гомогенной жидкости для нейтральных возмущений V/1?

§ /¿у т^и' - (УУ<?): (УУ<?) = о!

ПодС1-лвляя функции (12) в уравнение (8), получаем

- ^ ^¿у гл(у)1%) " | ¡¿у (УУ//): (У^) (13)

- М№(О - ) т Ур^О)2-

Знак dEj/dt и определяет, повышается или понижается устойчивость течения при добавлении частиц. Два первых слагаемых в (13) связаны, с изменепием собственной функции возмущений, вызванным тем, что меняется эффективная плотность среды. Два последних члена описывают работу межфазной силы. Они могут быть определены по известной функции возмущений для однородной жидкости Vfi- Объединим слагаемые попарно в соответствии с их смыслом: dE\/dt — С/>(£) + c/(Ç). На рисунке 11 показаны зависимости dEi/dt{£) и еД{) для мелко- и крупнодисперсных сред. Видно, что для мелкодисперсной среды (S = 10~б) основной вклад в dE\/dt (кривая 1) дает не е/ (кривая 2), а ер, то'есть изменение профиля плотности среды а окрестности критического слоя имеет определяющее значение для устойчивости течения. Для крупнодисперсной среды слагаемые ер и е/ сравнимы по порядку величины (кривые 3 и 4 — соответственно dEi/dt и е/для S = Ю-2).

dEi/dt,ef 6

■ I I I 1 1 « I I I I ' • I ■ > ■ I *

0.2 0.4 0.6 0.8 1.05

- dEi/dt, S = 10"*

- cf, 5 = 10"®

- dEt/dt, S = ПГ2 е/, S =s 10"»

Рас. 11

В заключении диссертации пречислеяы основные результаты работы, намечены путп дальнейшего развития исследований.

Заключение

По содержанп» данной работы моэтпн> сформулировать слад} ;пгас осз<т> ш.:с результата п выводы:

1. На основе модели, описанной в первой главе диссертации, получено уравнение линейной устойчивости гетерогенного течения с произвольным распределением дисперсной фазы. Разработан комплекс программ, позволяющий рассчитывать характеристики устойчивости плоскопараллельных дисперсных течений.

2. Впервые проведено систематическое исследование устойчивости тече-ий* Луазейля разреженной дисперсной жидкости в широком диапазоне'Изменения параметров течения и характеристик дисперсной среды.

3". Показано, что при однородном распределении дисперсной фазы по пространству течения устойчивость потока может уменьшаться и уве. личиваться в зависимости от времени релаксации среды и скорости течения. При этом можно провести следующую классификацию гетерогенных сред по плотности дисперсной фазы:

Среды с низкой концентрацией частиц (/ < 0.05). Устойчивость течения изменяется слабо в сравнении с течением однородной среды, кривые нейтральной устойчивости сохраняют форму.

• Среды с умеренной концентрацией частиц (/ = 0.05 -г 0.2). (Значительно изменяются характеристики устойчивости течения и форма нейтральных кривых, но качественный вид области неустойчивости остается тем же.

• Среды с высокой концентрацией частиц (/ > 0.2). Устойчивость течения так сильно отличается от устойчивости однород' ных жидкостей, что меняются топология области неустойчивости и качественное поведение потока при изменении его скорости.

4. При неоднородном профиле распределения частиц решающее значение имеет вид этого распределения в окрестности критического слоя. При этом частицы могут значительно дестабилизировать или стабилизировать течение. При достаточно высокой концентрации частиц в окрестности критического слоя также происходит изменение топологии кривых нейтральной устойчивости.

5. Показатг тгзйожность существования новых механизмов возникновения неустойчивости в течениях дисперсных сред. Обнаружено чоз-

никновение новых нарастающих мод возмущений в гетерогенном течении.

0. Получен новый критерий неустойчивости дисперсного течения, обобщающий теорему Рэлея о ¡юли точки перегиба в профиле скорости.

Список работ по теме диссертации:

1. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б. Устойчивость плоского течения Пуазейля разреженных газовзвесей и суспензий. // Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей (Тезисы I Новосибирского семинара), — Нов-ск: НГАС, 1994. С. 19-21.

2. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б. Устойчивость гетерогенных сред. I. Устойчивость плоского течения Пуазейля. — Нов-ск, 1994. 44 с. (Препринт НГАС; Л/"2(4)-94).

3. Ruilyak V. Y., Isakov Е. В. Stability of the plane Poiseuille flow of dilute particle-fluid mixture. J. Aemsol Sei. 1994, v. 25, Suppl. 1. P. S421-S422.

1. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б. Устойчивость плоского течения Пуазейля разреженных суспензий и газовзвесей. Изв. вузов. Авиац. техн. 1Ü94, Лг1. С. 21 21.

о. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной среды. // Вычислительные технологии. Сборник научных трудов, Том I МП), Нов-ск: ИВТ СО РАН, 1995. С. 232-240. '

6. Rudyak Y. Y., Isakov E. В., Bord E. G. Heterogeneous media stability. //. Poincuilk jlow with suspended particles. — Novosibirsk, 1995. 28 p. (Preprint NSACE; ЛА(6)-95).

7. Исаков E. Б. Устойчивость течения Пуазейля дисперсной среды с неоднородным распределением частиц. // Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей (Тезисы II Новосибирского семинара), — Нои-ск: ИТПМ СО РАН, 1995. С. 23. <

8. Рудяк В. Я., Борд Е. Г., Исаков Е. Б. Гидродинамическая устойчивость дисперсной струи. // Устойчивость гомогенных и гетерогенных жид-

костей (Тезисы II Новосибирского семинара), — Нов-ск: ИТПМ СО РАН, 1995. С. 32.

9. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б., Борд Е. Г. Неустойчивость двухфазного течения Пуазейля к антисимметричным возмущениям. // Устойчивость гомогенных и гетерогенных жидкостей (Тезисы II Новосибирского семинара), — Нов-ск: ИТПМ СО РАН, 1995. С. 33.

10. RudyaK V. Y., Isakov Е. В., Bord Е. G. Control of laminar-turbulent transition by hard particles in the flows. // bth European Drag Reduction Meeting. Book of Abstracts. Universita di Napoli, 1995.

11. ftudvak V. Y., Bord E. G., Isakov E. B. Hydrodynamic stability of the rarefied dispersed media flows. // 1st International Conference on Nonequi-librium processes in Nozzles and Jets. Collected ' bstmcts., — Moscow: Moscow Aviation Institute, 1995. P. 123-124.

12. Исаков E. Б., Рудяк В. Я. Устойчивость течений разреженных газовзвесей и суспензий в плоском канале. Изв. РАН. МЖГ. 1995, Л/"5. С. 79 85.

13. Rudyak V. Y., Isakov Е. В., Bord Е. G. Stability of the Poiseuille flow oi dispersed fluid with non-homogeneous particles distribution. J. Aerosol Sci. ,1995,' v. 26, Suppl. 1. P. S261-S262.

14. Рудяк В. Я., Исаков Е. Б. Устойчивость течения Пуазейля двухфазной жидкости с неоднородным распределением частиц. ПМТФ. 1996, т. 37,

Ail.

15. Rudyak V. Y., Isakov E. В., Bord E. G. Antisymmetric disturbance instability for the Poiseuille flow of dispersed fluid. Thermophysics and Aeromechanic?. 1996, v. 3, Ail.

Подписано к печати 12.01.96. Формат 60x80 1/16 д.л. Печать офсетная. Бумага типографская. Объен 1,5 п.л.

Тираж 100 экз. Заказ 34__

. Новосибирская государственная академия строительства

Новосибирск, 8, ул. Ленинградская, 113.

Отпечатано мастерской оперативкой полиграфии ЯГАС