Устойчивость элементов из сплавов с памятью формы при термоупругих фазовых превращениях

Сильченко, Леонид Георгиевич

Устойчивость элементов из сплавов с памятью формы при термоупругих фазовых превращениях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Сильченко, Леонид Георгиевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Устойчивость элементов из сплавов с памятью формы при термоупругих фазовых превращениях»

Автореферат диссертации на тему "Устойчивость элементов из сплавов с памятью формы при термоупругих фазовых превращениях"

На правах рукописи

СИЛЬЧЕНКО ЛЕОНИД ГЕОРГИЕВИЧ

УДК 539.4

устойчивость элементов из сплавов с памятью формы при термоупругих фазовых превращениях

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого

твёрдого тела

автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005 г.

Работа выполнена в Институте прикладной механики Российской академии наук и Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Строительная механика и прочность»

Научный консультант: доктор физико-математических

наук, профессор Мовчан Андрей Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, зав. лаб.

Волков Александр Евгеньевич;

доктор физико-математических наук, в.н.с.

Коваленко Михаил Денисович;

доктор технических наук, профессор

Крахин Олег Иванович.

Ведущая организация: Московский Государственный Университет (МГУ).

Защита состоится « 22 » марта 2006 г. в 15-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при Московском авиационном институте по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шассе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шассе, д. 4.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу.

Автореферат разослан «_2£_» А<Ш)ц)|Д 2005 г.

Á2

5~6 ¿Г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время во всём мире ощущается интерес к использованию так называемых умных материалов (smart materials) или адаптивных материалов, которые могут менять нужным образом свои свойства. Об этом свидетельствует большое количество публикаций на эту тему, число которых постоянно растёт. К числу таких материалов относится большое количество различных сплавов, композиционных материалов, даже некоторых жидкостей и т.п. К этому же разряду, несомненно, относятся сплавы с памятью формы (СПФ), обладающие уникальными механическими свойствами.

Уникальные свойства СПФ объясняются происходящими в них термоупругими фазовыми превращениями. Для сплавов типа никелида титана это, прежде всего, открытые Г.В. Курдюмовым и Л.Г. Хандросом термоупругие мартенситные превращения, т.е. переход из высокотемпературной аустенитной фазы с объемно-центрированной кубической кристаллической решеткой в моноклинную с искажениями низкотемпературную мартенситную фазу и обратно. Механические свойства СПФ, связанные с мартенситными превращениями достаточно подробно изучены экспериментально и описаны в работах В.А. Лихачева, А.Е. Волкова, В.Г. Малинина, А.А. Мовчана, О.И. Крахина, С.А. Абдрахманова, И.Н. Андронова, С.А. Лурье, С.А. Rogers, К. Tanaka, D. Lagoudas, и др.

Изделия из СПФ находят всё более широкое применение в авиации, ракетостроении, атомной промышленности, промышленном и гражданском строительстве, других областях техники, а также медицине. На основе материалов с эффектом памяти формы предложено большое количество схем различного вида силовозбудителей или активаторов. Изделия, выполненные из СПФ, часто испытывают сжимающие напряжения достаточно большой величины. Известно, что жёсткость конструктивных элементов из СПФ существенно меняется при термоупругих фазовых превращениях, как за счет изменения упругих модулей, так и за счет развития фазовых деформаций. В результате этого возникает опасность потери устойчивости исходной формы равновесия элемента из СПФ в процессе развития фазового перехода. Действительно, экспериментальные исследования показывают, что элемент из СПФ не теряющий устойчивости ни в низкотемпературном (мартенситном) ни в высокотемпературном (ау-стенитном) состояниях может, тем не менее, потерять устойчивость в процессе самого фазового превращения. Более того, полученные в экспериментах значения критических нагрузок потери устойчивости, вызванной мартенситными превращениями раза меньшие,

чем изотермические критические нагрузки в мартенситном состоянии при наименьшем значении упругого модуля. Следовательно, правильная оценка устойчивости элемента из СПФ может иметь решающее значение, что позволяет считать тему диссертационной работы весьма актуальной.

В целом, несмотря на большое количество публикаций, посвящён-ных СПФ, число работ, анализирующих потерю устойчивости элементов, изготовленных из СПФ, значительно меньше. Представленная работа посвящена именно этому направлению исследований.

Цель работы состоит в изучении явления потери устойчивости сжатых элементов из СПФ, вызванной термоупругими фазовыми превращениями.

Научную новизну представленной работы определяют следующие результаты:

1. Предложенная для анализа устойчивости элементов из СПФ концепция «продолжающегося фазового превращения», сводящаяся к тому, что при выпучивании следует учитывать дополнительный фазовый переход, вызванный изменением напряжённо-деформированного состояния. Эта концепция противоположна гипотезе «фиксированного фазового состава», предполагающей, что при выпучивании не следует учитывать дополнительное превращение, которое просто не успевает развиться.

2. Применённые в рамках концепции «продолжающегося фазового превращения» к исследованию устойчивости элементов из СПФ подходы на основе гипотез «упругой разгрузки» (в случае обратного превращения её уместнее назвать гипотезой «неполного фазового превращения»), «продолжающегося нагружения», а также предположений, занимающих промежуточное положение. Установлено, что наиболее опасные критические характеристики всегда получаются исходя из гипотезы «продолжающегося нагружения».

3. Полученные точные аналитические решения ряда краевых задач об устойчивости стержней и пластин из СПФ, претерпевающих прямое или обратное превращение на основе подходов, указанных в двух первых пунктах. В более сложных случаях удалось получить результаты при помощи численных методов. Особый интерес представляют решения на основе концепции «упругой разгрузки» с переменной вдоль элемента из СПФ границей зоны дополнительного фазового превращения и отсутствием каких-либо вариаций нагрузки.

того, имеет место качественное соответствие с экспериментальными данными. Следует отметить, что некоторые из используемых подходов, ранее были с успехом применены к исследованию устойчивости упруго-пластических тел, что косвенно подтверждает надёжность результатов.

Практическая ценность работы. Представленные в работе подходы к анализу устойчивости элементов из СПФ могут быть без каких-либо существенных изменений применены к изучению любых элементов конструкций из СПФ. На их основе могут быть построены процедуры численного анализа устойчивости, а в некоторых случаях и точные аналитические решения конкретных задач не нашедших отражение в работе.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

— Международном семинаре «Современные проблемы прочности» им. В.А. Лихачева. (1999, 2003 гг.);

— Юбилейном школе-семинаре «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова (Москва, 2000 г.);

— Международном семинаре «Актуальные проблемы прочности» (Витебск, 2000, 2004 гг.);

— Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2000,2002,2003, 2004, 2005 гг.);

— Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

— Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (США, В1асЬЪиг§, 2002 г.);

— Международной конференции «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (Тамбов, 2003);

— Международной конференции «Физика прочности и пластичности материалов» (Тольятти, 2003 г.);

— Семинаре кафедры «Теория пластичности» МГУ (Москва, 2004 г.).

— Семинаре «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (Москва, 2005г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 работ. В автореферате приведен список основных публикаций из 22 наименований.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх частей, содержащих 12 глав, заключения и списка литературных источников из 229 наименований. Общий объём диссертации изложен на 312 страницах формата А4, включая 80 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении кратко отражены особенности поведения СПФ, связанные с происходящими в них термоупругими фазовыми превращениями, обоснована необходимость учёта оценки устойчивости элементов из СПФ и, тем самым отмечена актуальность темы. Кроме того, представлено краткое содержание диссертационной работы.

Первая часть, несмотря на свой небольшой размер, является основополагающей и состоит из двух глав. В ней изложен ряд положений, которые в последующих частях работы применяются к исследованию потери устойчивости вызванной фазовыми превращениями.

В первой главе кратко изложены различные варианты определяющих соотношений, которые могут использоваться для описания прямого и обратного мартенситных переходов в СПФ. Работа базируется на предложенной А.А. Мовчаном микромеханической модели поведения СПФ при мартенситных превращениях. Наиболее часто используются соотношения, в которых для внутренней переменной состояния применяются конечные соотношения

=<>-<>+<•>, (1) <тя=М94>+2вб™, £{р = а(Т -Т0)д0, ¿в? (2)

а' а е(1Т

(ф>0), В =л0в;+(1-я0)—-^Ч—, №<0),

сг(1) ехр(а0д)-1

д = д(Т,М° Ж2), М°2<Т<М°, <%> 0, (3)

9 = А?<Т<А%, с!д < 0. (4)

Здесь — упругая, температурная и фазовая составляю-

щие деформаций, сгц— компоненты тензора напряжений (штрих сверху обозначает, что рассматривается соответствующий девиатор), Т,Т0— текущая температура, а также её значение, соответствующее нулевой величине температурной деформации, и ( , )— температуры начала и конца прямого (обратного) мартенситного перехода, а0,сг(1),Р,\— физико-механические параметры сплава, Х(д),С{д),а{д)— параметры Ламе и коэффициент температурного расширения, зависящие, вообще говоря, от параметра фазового состава # — объёмной доли мартенситной фазы. Последняя величина зависит от вида термоупругого превращения и является функцией температуры Т, а также, в общем случае, инвариантов неких тензоров, характеризующих напряженно-деформированное состоя-

ние. Величина </ = 0 отвечает чисто аустенитному состоянию СПФ, # = 1 — чисто мартенситному. Символами , ц обозначены для этапа

обратного мартенситного превращения величины фазовых деформаций и параметра фазового состава в начале этого этапа (или, что то же самое, соответствующие величины, достигнутые в конце предшествующего этапа прямого перехода). Что касается величин В'у, используемых в формулах моделирующих обратный переход, то они равны соответствующим значениям Вц, имевшим место на предшествующем этапе прямого мартенситного превращения, при таком же, как текущее, значении объёмной доли мартенситной фазы <7. В случае прямого превращения, в первом приближении для температур начала и конца прямого превращения могут быть использованы зависимости

М" = М, + ка„ Ма2 = М2 + ка„ (5)

в которых к— параметр материала, МХ,М2— температуры начала и конца прямого мартенситного перехода в СПФ, свободном от напряжений.

Аналогичные зависимости часто применяются и для обратного превращения

А° = А, +кст1, =А2+ка,. (6)

При анализе устойчивости элементов из СПФ при обратном превращении на основе соотношений (6) в случае, когда напряжённые состояния на этапе предшествующего прямого и обратного превращений сильно отличаются друг от друга, получаются неадекватные здравому смыслу результаты. Поэтому, наряду с зависимостями (5), (6) в работе был рассмотрен ряд альтернативных выражений.

Наиболее адекватные результаты получаются, если вместо конечных зависимостей для q (см. (3), (4)) применяются дифференциальные. В особенности это справедливо применительно к обратному превращению. Для прямого перехода применяется зависимость

(¡д Мх-М2 в которой введён новый тензор и используется его интенсивность

\2 у

(7)

(2) 13

5тя = ^пп + а<Р(У)£тп ' . Л) 2

причём температура начала прямого перехода вычисляется по формуле М" = М1 + . Температура конца превращения определяется по резуль-

татам решения задачи, когда q = 1. Заметим, что если в процессе прямого превращения напряжённое состояние элемента из СГТФ не меняется, то в отношении критических характеристик оба вида указанных зависимостей для <7 приводят к одинаковым результатам.

В случае обратного превращения

-Л—

д рАБ0

. * А А . (8)

Здесь А50— разница удельных энтропий аустенитного и мартенсит-ного состояний СПФ при некой температуре термодинамического равновесия Т., при которой СПФ может существовать как в чисто мартенсит-ном, так и в чисто аустенитном состояниях (для материалов с широкой петлёй гистерезиса это всегда возможно), причём в отсутствии фазовых деформации, р— плотность сплава, которая считается неизменной в процессе мартенситных превращений, что в достаточной мере согласуется с экспериментом.

Кроме того, для обратного превращения вместо третьего соотношения (2) предлагается использовать другую зависимость

для фазовой деформации и ввиду малости не учитывать объёмный эффект реакции ¡5 = 0.

Для течения обратного фазового перехода должны быть выполнены условия ф< 0,(0<<?<1). Температурой начала обратного перехода А° в

рамках рассматриваемого подхода предлагается считать величину

(2)*

£ V

(9)

Я р№0

Точнее, это та температура, при превышении которой возможно течение обратного перехода.

Из анализа формулы для (Лц (8) ясно, что в рассматриваемом случае обратный фазовый переход в изотермических условиях может быть вызван изменением напряжённого состояния, причём как в зоне разгрузки, так и в зоне догрузки в зависимости от знака свёртки г^'г/ег^.

Функция г(^) в (7), (8) является обратной для некой функции <у(г), в качестве которой могут рассматриваться, например, зависимости (3), (4), если формально считать в них в качестве аргумента величины

г = -Т)/(М? Т = соответственно.

Следует отметить, что моделирование СПФ с использованием определяющих соотношений на основе дифференциальных зависимостей (7), (8) лучше описывает имеющиеся экспериментальные данные (в особенности касательно обратного перехода) и удовлетворяет ограничениям, налагаемым термодинамикой.

Вторая глава посвящена изложению основных подходов, которые могут применяться при анализе поведения элементов из СПФ, к числу которых относятся так называемые несвязная и связная постановки, а также различные концепции, применяемые при изучении потери устойчивости элементов из СПФ. К числу последних относятся две противоположные концепции: 1) «фиксированного фазового состава», 2) «продолжающегося фазового превращения». В рамках второй концепции рассматриваются гипотезы «продолжающегося нагружения», «упругой разгрузки» («неполного фазового превращения»), а также подходы, занимающие промежуточное положение.

Независимо от того решается ли задача о напряжённо-деформированном состоянии элемента из СПФ или об его устойчивости и т.д., можно выделить несколько подходов к анализу таких проблем. Первый из них, существенно более простой, основывается на предположении, что параметр фазового состава <7 зависит только от температуры. В итоге, задача о напряжённо-деформированном состоянии элемента из СПФ и соответствующая задача определения фазового состава никак не связаны между собой. Точнее сначала необходимо решить задачу теплопроводности, чтобы поле температур, и, следовательно, пространственное распределение <7, стало известным, и лишь затем, с учетом этой информации может быть найдено напряжённо-деформированное состояние элемента из СПФ при заданной системе нагрузок. Поэтому указанную постановку можно условно назвать «несвязной». Заметим, что свойства некоторых СПФ, таких как СиМп, отвечают только что описанному положению дел.

Значительно более сложным является решение задачи о деформировании конструктивного элемента из СПФ в так называемой «связной» постановке. В этом случае необходимо использовать полноценные определяющие соотношения из главы 1. Понятно, что распределение д в этом случае зависит как от поля температур, так и от распределения подлежащих определению характеристик напряжённо-деформированного состояния. Поэтому обе указанные задачи должны решаться одновременно, что оправдывает введённый термин.

Для анализа потери устойчивости элементов из СПФ по бифуркационной схеме можно также предложить несколько подходов, допускающих условную классификацию по тем ограничениям и предположениям, которым подчиняется рассматриваемый элемент из СПФ в процессе своего выпучивания. Поскольку процесс выпучивания может считаться достаточно быстрым по сравнению с докритическим деформированием, то возникает вопрос: «Имеет ли место в процессе выпучивания дополнительное фазовое превращение, обусловленное изменением напряжённо-деформированного состояния, или нет?» Если предположить, что в процессе выпучивания дополнительного превращения нет, то мы приходим к концепции «фиксированного фазового состава». Указанный подход, без каких либо пояснений применим для СПФ типа СиМп, поскольку для него дополнительный переход, связанный с изменением напряжённо-деформированного состояния, невозможен по определению. Если же полагать, что при выпучивании дополнительное превращение просто не успевает развиться, то концепция «фиксированного фазового состава» применима и к элементам из СПФ в связной постановке.

В противовес концепции «фиксированного фазового состава», для случая, когда полагается, что в процессе потери устойчивости элемента из СПФ, дополнительное превращение обязательно разовьётся, используется концепция «продолжающегося фазового превращения». Понятно, что последняя концепция применима к СПФ у которых параметр состояния # зависит как от температуры, так и от величин, характеризующих напряжённо-деформированное состояние.

В рамках гипотезы «продолжающегося фазового превращения», можно выделить ряд подходов. В соответствии с первым из них предполагается, что при выпучивании элемента не происходит никаких изменений (в отношении внешних воздействий, условий закрепления и т.д.) по сравнению с докритическим деформированием. Применительно к потере устойчивости элементов из СПФ при прямом мартенситном превращении указанный подход назван концепцией «упругой разгрузки», поскольку, на основании (3), (5) или (7) ясно, что при выпучивании материал с памятью формы упруго деформируется именно в зоне разгрузки, а дополнительный фазовый переход имеет место в догружаемой области. Используемое название имеет также историческое обоснование. Действительно, применительно к анализу потери устойчивости при упруго-пластических деформациях этот термин используется в сходной ситуации, когда соответствующий элемент пластически деформируется в догружаемой области, и упруго — в разгружаемой. Это соответствует решениям на основе так на-

зываемого приведённого модуля. В случае же обратного мартенситного превращения рассматриваемый подход естественно назвать концепцией «неполного фазового превращения». Смысл этого названия по существу соответствует концепции «упругой разгрузки» и состоит в том, что указывает на то обстоятельство, что при выпучивании элемента, часть его испытывает дополнительное фазовое превращение, а часть — нет. Другое дело, что если в случае прямого перехода ясно, что дополнительный фазовый переход всегда имеет место в догружаемой области, то применительно к обратному превращению ситуация оказывается несколько сложнее. Она существенным образом зависит от используемого варианта определяющих соотношений, например, в случае традиционных определяющих соотношений (4), (6) дополнительное превращение, очевидно, всегда развивается в зоне разгрузки. Для других определяющих соотношений (8), как показывает анализ указанных формул, дополнительное фазовое превращение может иметь место и в зоне разгрузки, и в зоне догрузки (точнее зависит от знака свёртки е^'с/сг^).

Следующий подход, названный концепцией «продолжающегося на-гружения» впервые также был применён при анализе устойчивости упруго-пластических тел и использовался в решениях на основе так называемого «касательного модуля». Он сводится к тому, что в противовес гипотезе «упругой разгрузки», при выпучивании допускаются различные малые вариации величин, характеризующих нагрузку, условия закрепления и т.д. Естественно, наибольший интерес представляют такие малые изменения, которые приводят к наиболее опасным значениям искомых критических величин. Последние получаются в том случае, когда весь объем исследуемого элемента переходит в наиболее склонное к деформированию состояние. Для СПФ это имеет место в случае, когда весь элемент находится в условиях дополнительного фазового превращения. В работе под гипотезой «продолжающегося нагружения», если не оговорено другое, понимается подход, при котором весь изучаемый элемент из СПФ находится в условиях дополнительного фазового превращения.

В диссертационной работе показано, что концепция «фиксированного фазового состава» всегда приводит к наименее опасным значениям искомых критических величин, концепция «продолжающегося нагружения» — к наиболее опасным. В рамках гипотезы «упругой разгрузки» («неполного фазового превращения») реализуются промежуточные значения.

Следует иметь ввиду, что не следует полностью противопоставлять друг другу концепции «упругой разгрузки» («неполного фазового превращения») и «продолжающегося нагружения». Действительно, совер-

шенно очевидно могут иметь место случаи, когда реализуется «продолжающееся нагружение» (присутствуют некоторые малые вариации нагрузки), но, тем не менее, не все сечения, скажем, стержня из СПФ испытывают дополнительное фазовое превращение. Более того, оказывается возможным так подобрать малые вариации нагрузки на этапе выпучивания, чтобы ни одна точка указанного стержня не находилась в условиях дополнительного перехода. В последнем случае, очевидно, будут получены критические значения, отвечающие концепции «фиксированного фазового состава».

Вторая часть самая объёмная и содержит главы 3-8. В ней на примере различных элементов из СПФ изучается устойчивость при прямом мартенситном термоупругом фазовом превращении.

Третья глава посвящена изучению устойчивости простейшей механической системы — так называемой стойки Шенли, представляющей собой абсолютно твёрдое тело на двух опорных стержнях из СПФ, работающих на растяжение-сжатие. Простота этой системы позволяет установить то место, которое занимают решения линеаризованной задачи устойчивости на основе различных концепций из главы 2. С этой целью они сравниваются с точными нелинейными решениями, полученными для соответствующих неидеальных систем, реализующими нелинейную версию метода начальных несовершенств.

В случае несвязной постановки или в рамках концепции «фиксированного фазового состава» линеаризованная задача устойчивости для стойки Шенли приводит к формуле

b2E(q)F 2al

для критической силы. В ней а— расстояние между опорными стержнями из СПФ, F— площадь поперечного сечения стержней, Ъ— расстояние между ними, /— высота стойки Шенли за минусом длины опорных стержней, наконец, Е(д)— зависящий от параметра фазового состава q модуль упругости СПФ, для которого могут использоваться зависимости

= E(q) = qEl+(l-q)E2. (11)

E(q) Ех Ег

Как видно из (10) единственное отличие от упругой эйлеровой критической силы для стойки Шенли состоит в зависимости модуля упругости от q. Однако значение критической силы, даже для наименее жёсткого мартенситного состояния материала опорных стержней, оказывается на основании (10) существенно более высоким, чем экспериментальное.

(Ю)

SU +

'Е. 4

1 \q + Ctfr{q)k* ßE2S

В случае использования концепции «продолжающегося фазового перехода» линеаризованная задача устойчивости сводится к анализу трансцендентного уравнения

^ехр(а0«7) + §-1 [ = 1, (12)

решаемого совместно с некоторой зависимостью для q (3), причём константа С- 0.5, фигурирующая в (12), соответствует гипотезе «упругой разгрузки», а С = 1 — концепции «продолжающегося нагружения». Кроме того S-PIPE{0)— отнесённая к эйлеровой критической силе в аусте-нитном состоянии искомая критическая нагрузка, у/— зависящая от вида конечного соотношения (3) функция, ß = PE(G)l(2E2F)~b2 /(4а/), к* =k/(Mi -М2).

Анализ (12) показывает, что минимальные значения критической силы (по q), независимо от вида используемой гипотезы, получаются в некоторой промежуточной точке фазового перехода, ближе к его концу, причём значения, получаемые в рамках концепции «продолжающегося нагружения» всегда оказываются наименьшими и могут в 3-4 раза отличаться от подсчитываемых при помощи (10).

Чтобы правильно оценить критические характеристики, получаемые на основании линеаризованного подхода, в первой главе был использован критерий начальных несовершенств, причем, в том числе в нелинейной его версии. Была рассмотрена стойка Шенли у которой один из опорных стержней из СПФ в начальном аустенитном состоянии был несколько короче другого. За счёт этого стойка в аустенитном состоянии оказывалось наклонена на угол <р0. Далее неидеальная стойка Шенли переводилась за счёт охлаждения в мартенситное состояние. При этом стойка могла потерять устойчивость. В качестве момента наступления неустойчивости в случае использования связной постановки рассматривалась ситуация, когда график ф (угол наклона стойки от вертикали) от t (безразмерная температура) обладал вертикальной касательной. В случае же использования несвязной постановки естественно рассматривался график ф от q. Для получения зависимостей (p{q) или <p(t) численно решалась соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений моделирующих поведение стойки Шенли.

На рис. 1 приведён итоговый график, на котором воедино сведены результаты по оценке устойчивости стойки Шенли на основе различных

0.75

0.50

0.25

0.00

1 2

А 3

Рис. 1

9 ~1ё%

подходов. Верхняя 1 и средняя 2 кривые на рис. 1 отвечают несвязной постановке при модуле упругости Е(д), подсчитываемом соответственно по первой и второй формулам (11), нижняя 3 — связной постановке и

модулю упругости, вычисляемому по первой формуле (11). В случае несвязной постановки на графике приведен параметр критической силы 5 = Р*(1)/Р£(1). Он соответствует обращению в бесконечность производной с1ф1 х, то есть как раз в

момент завершения мартенситного превращения в опорных стержнях стойки. В случае связной постановки использован параметр критической силы 8 = Р,/РВ(\), причем

критическая сила Р' в этом случае — суть та максимальная нагрузка, при любом сколь угодно малом превышении которой на графике (р от / будет иметь место вертикальная касательная — то есть стойка потеряет устойчивость, а при чуть меньшем её значении оба стержня стойки Шен-ли могут быть переведены в мартенситное состояние без того, чтобы стойка потеряла устойчивость вообще.

Как видно из рис. 1 вид функции Е(д) мало сказывается на исследуемые значения критических нагрузок, а вот учет связности задачи приводит к качественному их снижению. На рис. 1 помимо кривых 1-3, отвечающих неидеальной системе, штрихованными линиями показаны критические нагрузки идеальной стойки Шенли, подсчитанной для связной постановки задачи с учетом «догрузки» — нижняя штрихованная линия, и без таковой — верхняя штрихованная линия.

Итак, для связной постановки задачи по разысканию критических нагрузок стойки Шенли при прямом мартенситном фазовом переходе, в случае наличия малых неправильностей, а именно таковые наиболее распространены в практике, точное нелинейное решение попадает в интервал критических нагрузок, подсчитанных исходя из более простых представлений, основывающихся на методике «продолжающегося фазового перехода» в сочетании с концепциями «продолжающегося нагружения» и «упругой разгрузки» и сводящихся к соответствующим линеаризованным

уравнениям устойчивости идеальной стойки. Из рис. 1 заметно, что нелинейное решение оказывается ближе к линеаризованному решению, полученному исходя из концепции «продолжающегося нагружения».

Выводы этой главы позволяют обоснованно применять решения задачи устойчивости в линеаризованной постановке для таких элементов из СПФ, для которых невозможно или весьма затруднительно получение решений исходя из нелинейных моделей.

В четвёртой главе на примере всё той же стойки Шенли с использованием нелинейной версии метода начальных несовершенств изучается устойчивость при так называемой мартенситной неупругости, когда прямой мартенситный переход реализуется в изотермических условиях за счёт возрастания уровня действующих напряжений. Анализ полученных в главе 4 решений для неидеальной стойки Шенли убеждает в том, что минимальное значение критической нагрузки, полученное для мартенситной неупругости сопоставимо по величине с критическими нагрузками прямого перехода, полученными на основе анализа неидеальной стойки Шенли в связной постановки по методу начальных несовершенств, или с привлечением к изучению устойчивости различных подходов на основе концепции «продолжающегося фазового превращения» из третьей главы.

Пятая глава изучает выпучивание сжатого консольного стержня из СПФ, вызванное прямым переходом. К исследованию задачи в несвязной постановке применён метод начальных несовершенств в линейной версии. В связной постановке решена задача устойчивости на основе различных концепций предложенных в главе 2.

Рассматривается модель стержня, подчиняющаяся кинематической гипотезе плоских сечений в отношении суммарных деформаций, причём учитывается сжимаемость оси.

Из анализа устойчивости идеального стержня в несвязной постановке следует формула для критической силы

' ' 2;2

Ч'-Т

(13)

ШФ ^ " " /

где / = \fjT~F — радиус инерции сечения, /0— длина стержня в аустенит-ном состоянии, и введено обозначение

3 а0сг(1)

Заметим, что в случае относительно длинных стержней, когда влияние сжимаемости оси мало формула (13) переходит в соотношение

ГЕ(Я) =

ЕШ

(14)

Последняя формула, как и (10) для стойки Шенли фактически повторяет соответствующую формулу Эйлера для упругой критической силы консольного стержня, с той лишь разницей, что модуль упругости зависит от параметра д. Отметим, что здесь и везде далее в работе для модуля упругости применяется первая зависимость (11).

К формулам (13), (14) приводит также анализ устойчивости стержня в несвязной постановке на основе метода начальных несовершенств, причём, как и в случае стойки Шенли, даже при нагрузке, существенно меньшей критической наблюдаются недопустимо большие прогибы.

Анализ решений на основе концепции «продолжающегося фазового перехода» для случая постоянного поперечного размера зоны дополнительного фазового превращения связанного с выпучиванием позволяет записать общую формулу для критической длины изучаемого стержня прямоугольного сечения из СПФ

2 р\1 1-р'гС

В ней у— безразмерная (отнесённая к половинной высоте сечения) координата зоны дополнительного фазового перехода, и введены обозначения

р2 = р2(Р,д) = Р/(ЕШ), <о = о>(а,д) =

4 1 + £

%(а,д) = -Е(д)

112 1 . .

тг-тг + г-ехр (а0д)

Е, Е, 3 сг,.

к'щ/{д\

<7 =--.

Л 2 "(1)

Заметим, что при записи формулы (15) предполагалось, что верхняя часть сечения стержня испытывает дополнительное фазовое превращение. Таким образом значение у-1 соответствует случаю, когда ни одна точка стержня не испытывает дополнительного превращения, что приводит к критической длине стержня в рамках концепции «фиксированного фазового состава». Значение у = -1 отвечает концепции «продолжающегося нагружения», когда все точки сечения испытывают в ходе выпучивания дополнительное превращение. Наконец концепции «упругой разгрузки» отвечает значение

2 е.. *

1.5

1.0

0.5

0.0 0.00

0.25 0.50 0.75

Рис.2

На рис. 2 представлены зависимости безразмерной критической длины стержня Z,* (отнесена к критической длине аналогичного стержня в мартенситном состоянии) от объёмной доли мартенситной фазы, полученные на основании различных подходов, причём для величины q использовалась зависимость предложенная С.А. Rogers. Кривая 1 на этом рисунке соответствует концепции «продолжающегося нагружения», 2— «упругой разгрузки», 3— «фиксированного фазового состава». Как видно наименьшие значения критических длин достигаются в рамках гипотезы «продолжающегося нагружения». Отметим что для стержня, решение на основе концепции «упругой разгрузки» (кривая 2) при постоянной координате у не предполагает в процессе выпучивания каких бы то ни было вариаций нагрузки. Что касается других постоянных значений уе[-1,1], то соответствующие кривые, полученные при использовании (15), располагаются между кривыми 1, 3 с этого рисунка, причем, как и в случае кривых 1, 3 при этом в процессе выпучивания обязательно должна присутствовать вариация осевой погонной нагрузки.

В главе также получены численные решения задачи устойчивости стержня из СПФ не предполагающие постоянства у по длине стержня. Эти решения предполагают отсутствие погонной нагрузки, но при этом должна присутствовать вариация концевой нагрузки SP. Заметим, что и в этом случае зависимость критической длины от q располагается между кривыми 1,3 с рис. 2.

В шестой главе на основе различных концепций решена задача устойчивости двусторонне сжатой прямоугольной пластины из СПФ. Уда-лость построить ряд аналитических решений с постоянным распределением зоны дополнительного фазового превращения.

На основе концепции «продолжающегося фазового перехода», поиск критических характеристик изучаемой пластины (при выполнении соответствующих краевых условий) может быть сведён к анализу уравнения

А 1<Ч> .11+ 2AlSw,l .22 + ^22^,2222 ~ Л 1 + ^22^,22 ) = 0, (17)

D(q)

где 5м>— вариация прогиба, £>— зависящая от ^ цилиндрическая жесткость пластины, И— её толщина и введены обозначения (т,п = 1,2; т п)

тп

4 1+4

8ттЕ(ФУ(Ф

(2-г)(1 + г)\ =

ит 4

(2-7)(1 + г)2,

сг„--

(18)

е = сг

отт т

Г1 г — (Т / А \ /к

и.- X ипп и е2)

+ -

2с — <г

Зет,

ехр (а0д),

причём величины слева в каждой из этих формул зависят от ц,сгаа (а = 1,2). Конечно, поскольку безразмерная координата г = 2х° /Л зоны дополнительного фазового перехода, который по (18) распространяется в нижней части пластины, полагается постоянной, то при выпучивание должны присутствовать соответствующие малые вариации тангенциальных нагрузок. Если в обозначениях (18) положить г = -1, то решение (17) приводит к искомым критическим характеристикам пластины в рамкам концепции «фиксированного фазового состава», если г = 1 — «продолжающегося нагружения». Наконец, можно особым образом выделить случай, когда для безразмерной координаты оказывается верным формула

(19)

фактически только знаком отличающаяся от аналогичной, найденной для стержня из СПФ в рамках гипотезы «упругой разгрузки». К сожалению, в отличие от стержня применительно к пластине из СПФ решение с постоянным значением координаты зоны дополнительного фазового превращения (19) все же предполагает присутствие неких вариаций касательной нагрузки в процессе выпучивания. Это решение условно названо простейшим решением в рамках гипотезы «упругой разгрузки», чтобы подчеркнуть, что оно наиболее близко к некоторому решению в отсутствии любых вариаций нагрузки при выпучивании и которое не может быть получено при постоянном значении координаты г. Конечно, указанное решение занимает промежуточное значение между достигнутыми в рамках концепций «фиксированного фазового состава» и «продолжающегося нагружения». Понятно, что придавая значение ге[-1,1] в (18) могут быть

Рг

-1

ч уч. \

-1

Р\

Рис.3

найдены другие решения, также занимающие промежуточное положение.

В качестве примера для квадратной двусторонне сжатой пластины из СПФ на рис. 3 на плоскости сжимающих безразмерных нагрузок (образованы отнесением к критической нагрузке одноосного сжатия такой же пластины, но в мартенситном состоянии) построены области устойчивости, отвечающие различным концепциям. Сплошная кривая, расположенная ближе к началу координат, соответствует концепции «продолжающегося нагружения», пунктирная — простейшему решению в рамках гипотезы «упругой разгрузки», когда для безразмерной координаты г верна зависимость (19). Ломаная сплошная линия отвечает гипотезе «фиксированного фазового состава». Следует отметить, что все области устойчивости, представленные на рис. 3, за исключением последней, не являются выпуклыми.

Седьмая глава содержит решение осесимметричной задачи устойчивости сплошной круглой равномерно сжатой пластины из СПФ. Как и в предыдущей главе на основе различных гипотез получены критические характеристики, отвечающие предположению о постоянном поперечном размере зоны дополнительного фазового перехода. При этом для защемлённой пластины в рамках концепции «упругой разгрузки» удалось построить точное аналитическое решение, в рамках которого отсутствуют какие-либо вариации нагрузки. Для свободно опёртой пластинки такого решения не существует.

В главе также удалось получить численное решение задачи об устойчивости круглой пластины из СПФ без дополнительного упрощающего допущения о неизменности координаты г. При этом полагалось, что при выпучивании пластины отсутствуют вариации нагрузок, действующих в её плоскости (конечно, нагрузки направленные не в плоскости пластины также отсутствуют), за исключением вариации поверхностной торцевой нагрузки 8р, включая и наиболее интересный случай её отсутствия др = О, соответствующий концепции «упругой разгрузки». В итоге изучаемая задача устойчивости сводится к численному решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

8(р

(О

в которой г— текущий радиус, штрих указывает на дифференцирование по г, 5<р— вариация угла поворота, р— торцевая сжимающая поверхностная нагрузка, критическое значение которой разыскивается. Кроме того, в (20) используются обозначения

V У.

2Г

1-® 2

' 3 1 ,

1 + — 2--Г

2 2

й) =

1+М<?) £

2 1 + 1-//(<7)'

(

8 = ~Р

1-Я

Зсг,,

-ехр(а0д)

"1 ^(1)

Процедура решения системы (20) сводится к следующему. Для заданного значения объёмной доли мартенситной фазы ц выбирается некоторое пробное значение нагрузки р.. Далее осуществляется численное решение (20), с учетом указанных краевых условий. Заметим, что если в результате численного решения координата г выходит за границы пластины по толщине (| г |> 1), что соответствует либо случаю когда всё сечение пластины в соответствующем месте испытывает дополнительный переход, либо наоборот случаю полного отсутствия такового, то система (20) должна быть подвергнута необходимой корректировке. Для этого достаточно обнулить правую часть второго уравнения этой системы.

В результате ряда практических расчетов выявлена следующая закономерность. Оказывается, что для изучаемой свободно опёртой пластинки для каждого значения # соответствующая критическая нагрузка принадлежит некоторому интервалу р.{д) ^[р^я), Р2(я)]^> причем /?,(<?)— критическая нагрузка, подсчитываемая в соответствии с концепцией «продолжающегося нагружения» для случая, когда вся пластина испытывает дополнительный фазовый переход. Величина р2(я) соответствует критической нагрузке подсчитываемой на основе концепции «фиксированного фазового состава». В зависимости от конкретного значения р.(д)

дополнительное превращение распространяется на разные области изучаемой пластины. На рис. 4 для конкретной свободно опёртой пластины

А =0.491^(0)

р. = 0.2883р£(0)

-1

0.00 0.25 0.50 0.75

г 0 -1

0.00 0.25 0.50 0.75

р. = 0.450/?£(0) р. = 0.2901/^(0)

2 0 -1 0. 2 0 -1 0. -

... ™2

30 0.25 0.50 0.75 г 00 0.25 0.50 0.75 г

р. =0.360^(0)

... Р1

0.00 0.25 0.50 0.75 г

р. =0.255^(0)

«р рирчрр

0.00 0.25 0.50 0.75 г

2 о

р, = 0.320р£(0)

-1

0.00 0.25 0.50 0.75

р. = 0.230рЕ(0)

2 о -1

0.00 0.25 0.50 0.75

р. =0.304р£(0)

2 о -1

■■

0.00 0.25 0.50 0.75

р, = 0.222р£(0)

-1 — 0.00 0.25 0.50 0.75

Рис.4

для значения ц = 0.7446 представлен ряд графиков, иллюстрирующих зависимость распространения дополнительного фазового перехода по толщине пластины (область, закрашенная серым цветом) от конкретного значения критической нагрузки р.(д). При значении <7 = 0.7446 реализуется минимум критической нагрузки (<?) = 0.2215рк(0). Здесь рЕ{0)— эйлерова критическая нагрузка пластины в аустенитном состоянии. Величина />2(д) = 0.4920рЕ(0) при этом не соответствует своему минимальному значению. Критическая нагрузка р.(д) = 0.3040/?£(0) соответствует постоянному значению координаты К сожалению, при этом в процессе выпучивания свободно опёртой пластины присутствует вариация торцевой нагрузки 8р. Интересен также случай критической нагрузки р,{д) = 0.2883/^(0). Это значение отвечает простейшему решению в рамках гипотезы «упругой разгрузки», когда для постоянного значения безразмерной координаты 1 справедлива зависимость типа (19). На рис. 4 на соответствующем графике эта прямая показана точками. На этом же графике представлена область дополнительного фазового превращения, полученная при переменной координате 2. Пожалуй, самым интересным среди представленных на рис. 4 графиков является график, отвечающий критической нагрузке рт(д) = 0.2901рЕ(0). Он выделяется среди всех остальных тем, что без каких либо оговорок отвечает концепции «упругой разгрузки», поскольку именно при р,(д) = 0.2901/>£(0) имеет место потеря устойчивости рассматриваемой свободно опёртой пластинки без вариации погонной торцевой нагрузки — 8р- 0. Интересно отметить, что весьма близкое к указанному значению критической силы даёт решение на основе простейшего варианта «упругой разгрузки» — /?,(д) = 0.2883/?й(0). Заметим также, что при р.(д)<0.290\рЕ(0) потеря устойчивости пластинки происходит при наличии положительной (сжимающей) вариации торцевой нагрузки 6р>0, а при р.(ц) > 0.2901/?£(0) — отрицательной (растягивающей).

Восьмая глава является во многом уточняющей. В ней изучено, как изменятся результаты предыдущих глав, посвящённых потере устойчивости при прямом мартенситном превращении в случае использования других определяющих соотношений или, например, изменения кинематической модели элементов из СПФ.

С этой целью рассмотрены два других варианта определяющих соотношений из главы 2. Один из этих вариантов, основанный на использовании дифференциальной зависимости (7), для случая постоянных нагру-

зок, которые в основном и рассматривались ранее, приводит к тем же самым значениям искомых критических характеристик. Другой, не учитывающий явление ориентированного превращения — а0 = 0 (см. третью формулу (2)), при сохранении одинаковой деформативности СПФ при переводе в полностью мартенситное состояние, приводит к весьма близким значениям этих характеристик.

Это же относится к изменённой модели стержня из СПФ, дополнительно учитывающей сдвиговые деформации в соответствии с моделью С.П. Тимошенко, приводящей практически к тем же самым значениям искомых величин, по крайней мере, для не слишком коротких стержней.

В третьей части изучена потеря устойчивости стержней и пластин при обратном превращении. В неё входят главы 9-12. В математическом отношении задачи во многом аналогичны соответствующим результатам из второй части, однако полученные численные результаты являются во многом оригинальными.

В девятой главе изучено выпучивание двусторонне сжатой свободно опёртой прямоугольной пластины из СПФ при обратном превращении, которая на этапе предшествующего мартенситного перехода также находилась в условиях двухстороннего растяжения-сжатия. В главе были найдены аналитические решения с постоянным распределением зоны дополнительного фазового превращения на основе различных концепций из главы 2. Было рассмотрено три варианта определяющих соотношений. Установлен вариант определяющих соотношений, приводящий к наилучшим результатам. Он основан на использовании дифференциальной зависимости (8) для с/д. Заметим, что при анализе характеристик устойчивости пластины из СПФ при обратном превращении на основе традиционной конечной зависимости для параметра д получаются явно неадекватные результаты. Результаты же, основанные на дифференциальной зависимости (8), с учётом формулы для подсчета температуры обратного превращения (9), что особенно важно, согласуются с экспериментальными данными и имеют термодинамическое обоснование.

Вообще, полученные в главе зависимости формально во многом напоминают аналогичные выражения из главы 6, где изучалась устойчивость аналогичной прямоугольной пластины при прямом фазовом превращении, с той лишь разницей, что несколько меняется содержание формул (18). Скажем, в случае использования признанных наилучшими определяющих соотношений, вместо (18) оказываются справедливыми аналогичные выражения

а =а[2] ^ а

(1 -<т[2] л с /А \ м2

и Ег) и Ег)

3 ?ст(|)а0

(Л

Остальные зависимости (18) остаются без изменения. Как видно, теперь все указанные величины зависят как от искомых критических напряжений действующих при обратном превращении, так и от напряжений

(Т^1, которые имели место в пластине в ходе предшествующего прямого

превращения. В итоге задача устойчивости прямоугольной пластины сводится к изучению уравнения (17) с учётом (18), (21) и соответствующих краевых условий.

На рис. 5, 6 для двух сочетаний нагрузки на предшествующем этапе прямого превращения представлены соответствующие области устойчивости конкретной квадратной пластины из СПФ при обратном превраще-

Рис. 5 Рис. 6

нии. При проведении расчётов использовался признанный наилучшим вариант определяющих соотношений. Рис. 5 соответствует равнодвухос-ному сжатию при прямом превращении =0.5р*, р™ =0.5р*, рис. 6 — одноосному =1.0р', р[£ =0. Как видно, представленные сочетания

нагрузки на этапе прямого превращения сохраняют неизменным первый инвариант тензора напряжений на этом этапе. В качестве единицы масштаба выбрано критическое значение поверхностной нагрузки одноосного сжатия рассматриваемой квадратной пластины в мартенситном состоянии р'. Расположенные ближе к началу координат на рис. 5,6 сплошные кривые получены в соответствии с концепцией «продолжающегося нагружения», пунктирные линии — простейшего варианта «неполного фазового превращения», внешние сплошные линии получены на основе гипотезы «фиксированного фазового состава».

Очевидно, что наиболее опасным на этапе обратного превращения, с точки зрения потери устойчивости является равнодвухосное сжатие, особенно, когда на предшествующем этапе прямого мартенситного превращения в пластине также было реализовано равнодвухосное сжатие.

На рис. 7 представлены графики зависимостей минимальной по <7 безразмерной критической нагрузки равнодвухосного сжатия прежней квадратной пластины из СПФ при обратном переходе р[2] = шт р[2], р[.2] р[2] = р[2х / р = р\I1 / р', от уровня и направления нагрузки равнодвухос- 0-50 ного же сжатия (растяжения) Рт = Рп I р" = Р221Р* на предшествующем этапе прямого мартенситного превращения (положительной считается сжимающая нагрузка). 025 Внешний вид кривых с рис. 7 соответствует принятым при обсуждении рис. 5, 6 соглашениям. Как видно из рис. 7, представленные кривые почти симметричны относительно верти- о.ОО кальной оси (оси ординат). Следовательно, потеря устойчивости пластины при обратном превращении возможна как в условиях предшествующего сжатия, так и растяжения, причём критические нагрузки в последнем случае оказываются лишь незначительно выше.

В десятой главе изучено осесимметричное выпучивание сплошной круглой пластины при обратном фазовом переходе. Получены решения как на основе постоянного распределения зоны дополнительного превра-

([ // 1 1 ц / / / / / / \\ и \\ и \ \ \ \ \ \

/ / у / \ \ v V

Рис.7

щения, так и переменного. Здесь, как и в двух заключительных главах применялся вариант определяющих соотношений, признанный наилучшим по результатам главы 9.

Одиннадцатая глава изучает потерю устойчивости при обратном превращении сжатого консольного стержня (подвергнутого растяжению или сжатию при предшествующем превращении), выпучивание которого при прямом переходе было изучено в пятой главе.

Формально формулы из глав 10, 11 во многом повторяют соответствующие зависимости из глав 7, 5, посвящённых изучению потери устойчивости при прямом превращении. Единственно, что следует отметить, в главах 5, 7 соответствующие величины зависят как от известных напряжений, имевших место при предшествующем мартенситном переходе, так и от напряжений на этапе обратного превращения, как это более подробно было показано при освещении главы 9.

Интересно также отметить, что в главах 5, 7 подтверждается тенденция, наблюдавшаяся при описании результатов представленных на рис. 7 применительно к квадратной пластине, в соответствии с которой уровень критических сжимающих нагрузок при обратном превращении сильно зависит от величины напряжений на этапе предшествующего прямого превращения и почти не зависит от их направления.

Наконец в заключительной двенадцатой главе на примере стержня из СПФ, предварительно сжатого на этапе предшествующего прямого превращения, изучена потеря устойчивости при обратном переходе, причиной которой являются переменные реактивные сжимающие напряжения, реализующиеся в стержне за счет наложения геометрических связей.

Свободно опёртый стержень из СПФ нагружался сжимающей силой Рт в аустенитном состоянии и далее, за счет охлаждения, переводился в полностью мартенситное состояние. В результате этого в стержне создавались одинаковые фазовые деформации ет*. После этого нагрузка снималась, а опоры стержня фиксировались таким образом, чтобы исключить их осевые смещения. Далее стержень за счёт нагрева переводился в ау-стенитное состояние и в нём, за счёт фиксации опор, развивались сжимающие напряжения, которые и вызывали потерю устойчивости.

Описанная задача устойчивости стержня из СПФ при обратном переходе решалась с привлечением ряда гипотез из главы 2. Наиболее опасные значения критических величин, как и везде раньше были получены на основе концепции «продолжающегося нагружения».

При решении был использован как приближённый подход, в соответствии с которым распределение зоны дополнительного фазового пре-

вращения, связанного с выпучиванием, полагалось неизменным по длине стержня, так и подход, когда такое предположение не использовалось.

В первом случае задача свелась к отысканию критического значения фазовой деформации е<2)', являющегося корнем уравнения

ет'(\ + е{2)')(\-д1д) 12?

пт

] \-со{е^ ,д){2 + у)(\-уУ /0 Здесь п— число полуволн формы потери устойчивости, /0— начальная (аустенитная) длина стержня, д*=1 (см. описание главы 1). Остальные величины введены при описании главы 5, с той лишь разницей, что теперь

(2)*

Е(д)

Е,

1-4

+ — Я

Во втором, задача сводится к численному решению системы обыкновенных уравнений третьего порядка, во многом напоминающую аналогичную систему, приведённую при описании седьмой главы.

На рис. 8 приведены кривые, отражающие зависимость критических значений фазовой деформации от объёмной доли мартенситной фазы, подсчитанные на основании различных подходов. Кривые 1-4 соответствуют постоянному значению координаты у. Линия 1 отвечает концепции ю^2)* «фиксированного фазового состава», 2— решению, когда у - 0, а при выпучивании присутствует вариация погонной осевой нагрузки, но запрещено осевое смещение опор, 3— решению на основе простейшего варианта «неполного фазового превращения», когда для у справедлива формула типа (16), наконец, кривая 4 отвечает гипотезе «продолжающегося нагружения». Что касается кривой 5, то она получена на основе численного решения указанной выше системы дифференциальных уравнений, для случая, когда при выпучивании отсутствуют как вариации осевой погонной нагрузки, так и осевого смещения правой опоры, что полностью соответствует концепции «неполного фазового превращения». Координата у при этом — переменна.

-0.25

-0.50

-0.75

-1.00 0.00

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для анализа устойчивости элементов из СПФ предложена гипотеза «продолжающегося фазового превращения». Она учитывает дополнительное фазовое превращение, вызванное изменением напряжённо-деформированного состояния, связанное выпучиванием. Эта гипотеза противоположна концепции «фиксированного фазового состава», также изученной в работе, предполагающей, что при потере устойчивости не следует учитывать дополнительное превращение, которое, в соответствии с указанной концепцией, при выпучивании просто не успевает развиться.

2. В рамках концепции «продолжающегося фазового превращения» для анализа устойчивости элементов из СПФ в линеаризованной постановке предлагается использовать ряд подходов названных гипотезами «упругой разгрузки» (в случае обратного превращения её уместно назвать гипотезой «неполного фазового превращения»), «продолжающегося на-гружения», а также предположений, занимающих промежуточное положение. Установлено, что наиболее опасные критические характеристики всегда получаются исходя из гипотезы «продолжающегося нагружения».

3. На примере сопоставления критических характеристик, полученных исходя из линеаризованных решений для простейшей идеальной системы типа стойки Шенли с опорными стержнями из СПФ на основе гипотез из предыдущего пункта с нелинейным численным решением для неидеальной стойки, удалось ясно показать то место, которое занимают указанные линеаризованные решения. Это особенно важно для оценки характеристик устойчивости элементов из СПФ, для которых не удаётся получить нелинейные решения или сделать это весьма затруднительно.

4. В работе получен ряд точных аналитических решений краевых задач об устойчивости стержней и пластин из СПФ, претерпевающих прямое или обратное превращение на основе подходов, указанных в двух первых пунктах. Это сделано для случая, когда распределение зоны дополнительного фазового превращения по соответствующему элементу неизменно. Применительно, например, к осесимметричному выпучиванию защемлённой сплошной круглой пластины из СПФ такое решение оказалось точным в отсутствии каких-либо малых вариаций нагрузки.

5. В ряде более сложных случаев удалось получить решения при помощи численных методов. Особый интерес представляют решения на основе концепции «упругой разгрузки» с переменной вдоль элемента из СПФ границей зоны дополнительного фазового превращения и отсутствием каких-либо вариаций нагрузки. Такие решения удалось получить для осесимметричного выпучивания свободно опёртой по контуру

сплошной круглой пластины из СПФ, а также для случая стеснённого стержня из СПФ при обратном мартенситном превращении, когда потеря устойчивости возникает за счёт реактивных напряжений.

6. На основании решений задачи о потере устойчивости прямоугольной пластины из СПФ при прямом мартенситном превращении, находящейся в условиях двухстороннего равномерного сжатия, соответствующих различным концепциям из двух первых пунктов, построены области устойчивости на плоскости внешних нагрузок. Все они, за исключением отвечающей гипотезе «фиксированного фазового состава», не являются выпуклыми. Наиболее опасными для квадратной пластины могут считаться критические характеристики, отвечающие случаю равнодву-хосного сжатия. Последнее относится и к случаю обратного перехода.

7. Показано, что на фоне учёта влияния дополнительного фазового превращения, развивающегося за счёт выпучивания, уточнение модели деформирования элемента из СПФ не вносит существенных поправок.

8. На примере анализа потери устойчивости прямоугольной пластины из СПФ при обратном превращении, находящейся в условиях двухстороннего равномерного сжатия, удалось среди нескольких вариантов определяющих соотношений установить тот, который приводит к наилучшим результатам. Показано, что в случае использования традиционного варианта определяющих соотношений могут быть получены парадоксальные результаты. Это особенно хорошо видно из анализа соответствующих областей устойчивости на плоскости внешних нагрузок.

9. Применительно к обратному превращению нестеснённых элементов из СПФ установлено, что критические характеристики сильно зависят от уровня нагрузки на этапе предшествующего прямого превращения и слабо зависят от знака этой нагрузки.

Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих научных публикациях:

1. Рыбаков JI.C., Сильченко Л.Г. Статическая упругая устойчивость дискретно подкрепленной прямоугольной панели при различном двухстороннем равномерном сжатии // Изв. РАН. МТТ. 1994. №6. С.128-140.

2. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г. К проблеме устойчивости равновесия при термоупругих мартенситных фазовых превращениях // Тр. 3-го Международного семинара «Современные проблемы прочности» им. В.А. Лихачева. 20-24 сентября 1999 г. Новгород: Издательско-

полиграфический центр Новгородского государственного университета. 1999. Т.1.С.307-311.

3. Сильченко Л.Г. Закритическое деформирование стержня с учетом сжимаемости его оси // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т.5. № 1. С. 24-38.

4. Сильченко Л.Г. К проблеме устойчивости равновесия для сжатых элементов из сплава с памятью формы. Юбилейная школа-семинар «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова. Москва 6-9 июня 2000г. С.22.

5. Сильченко Л.Г. Устойчивость сжатого стержня из сплава с памятью формы при прямом термоупругом фазовом превращении // Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов: Тр. 36-го семинара «Актуальные проблемы прочности». Витебск: 2000. Ч. 1. С. 359-364.

6. Сильченко Л.Г. Устойчивость сжатого стержня из СПФ при прямом термоупругом превращении // Материалы 6-го Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: Изд.-во «Графрос», 2000. С. 45.

7. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г. Устойчивость «стойки Шенли» при ползучести или при прямом термоупругом мартенситном превращении // Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т.6. № 1.С. 89-102.

8. Сильченко Л.Г. Об устойчивости короткого стержня // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т.7. № 2. С. 178-188.

9. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г. Концепция «продолжающегося фазового перехода» для анализа устойчивости при термоупругих фазовых превращениях // Материалы 8-го международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Ярополец, 11-15 февраля 2002 г. М.: 2002. С. 28-29.

10. Сильченко Л.Г. Явление потери устойчивости при мартенситной неупругости // Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т.8. № 2. С. 161-171.

11. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г. Аналитические решения задач устойчивости стержней и пластин из сплавов с памятью формы // Материалы 9 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». — М.:2003. С. 28-30.

12. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г., КазаринаС.А. Явление потери устойчивости, вызванной термоупругими фазовыми превращениями // Тр.

15-й международной конференции «Физика прочности и пластичности материалов» Тольятти, 1-4 октября 2003 г. Секция 2. С. 79.

13. МовчанА.А., Сильченко Л.Г. Устойчивость стержня, претерпевающего прямое или обратное мартенситные превращения под действием сжимающих напряжений // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44. №3. С. 169-178.

14. Сильченко Л.Г. Об устойчивости стержня из сплава с памятью формы при прямом мартенситном термоупругом фазовом превращении // Механика композиционных материалов и конструкций. 2003. Т.9. № 4. С. 457-470.

15. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г. Об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при прямом термоупругом фазовом превращении // ПММ. 2004. Т. 68 № 1. С. 60-72.

16. МовчанА.А., Сильченко Л.Г. Анализ устойчивости при прямом термоупругом превращении под действием сжимающих напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 2. С. 132-144.

17. МовчанА.А., Сильченко Л.Г. Устойчивость элементов из сплавов с памятью формы, при обратных мартенситных превращениях // Материалы 10-го международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Яро-полец, 9-13 февраля 2004 г. Том 1. М.: Изд-во МАИ 2004. С. 91-93.

18. Мовчан A.A., Сильченко Л.Г. Аналитическое решение связной задачи об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при обратном мартенситном превращении // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5. С. 164-178.

19. Сильченко Л.Г. Об устойчивости стержня из сплава с памятью формы при обратном мартенситном фазовом превращении // Тр. 43-го семинара «Актуальные проблемы прочности». Витебск: 2004. Часть 1. С. 31-39.

20. Сильченко Л.Г. О потере устойчивости стержня из сплава с памятью формы вызванной реактивными сжимающими напряжениями при обратном мартенситном фазовом превращении // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10. № 3. С. 393-406.

21. Сильченко Л.Г. Устойчивость стеснённого стержня из сплава с памятью формы при обратном мартенситном фазовом превращении // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10. № 4. С. 566-576.

22. Сильченко Л.Г. Устойчивость круглой пластины из сплава с памятью формы при прямом мартенситном превращении с учётом переменности поперечного размера зоны дополнительного фазового перехода // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т.П. № 3. С. 451-466.

Аос&А

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Сильченко, Леонид Георгиевич

Введение.

ЧАСТЬ 1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Глава 1. Определяющие соотношения для сплавов с памятью формы.

1.1. Конечное соотношение для параметра фазового состава.

1.2. Дифференциальное соотношение для параметра фазового состава.

Глава 2. Различные подходы к анализу устойчивости элементов из сплавов с памятью формы.

2.1. Возможные постановки задач для анализа элементов СПФ.

2.2. Различные подходы к анализу статической устойчивости элементов из СПФ.

ЧАСТЬ

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ПРЯМОМ ТЕРМОУПРУГОМ

ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ

Глава 3. Устойчивость стойки Шенли с опорными стержнями из сплава с памятью формы.

3.1. Система определяющих соотношений.

3.2. Устойчивость идеальной стойки Шенли в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава».

3.3. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости сжатой стойки Шенли в несвязной постановке.

3.4. Устойчивость идеальной стойки Шенли в связной постановке. Концепция «продолжающегося фазового превращения».

3.4.1. Концепция «упругой разгрузки».

3.4.2. Решение, учитывающее вариации внешних воздействий.

Концепция «продолжающегося нагружения».

3.5. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости сжатой стойки Шенли в связной постановке.

Глава 4. Устойчивость стойки Шенли при мартенситной неупругости.

4.1. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости стойки Шенли в связной постановке под действием возрастающей сжимающей нагрузки.

4.2. Анализ результатов.

Глава 5. Устойчивость сжатого стержня.

5.1. Система определяющих соотношений.

5.2. Задача устойчивости идеального стержня в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава».

5.3. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости сжатого стержня в несвязной постановке.

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Решение однородного уравнения.

5.3.3. Решение неоднородного уравнения.

5.3.4. Анализ результатов.

5.4. Задача об устойчивости идеального стержня в связной постановке. Концепция «продолжающегося фазового превращения».

5.4.1. Устойчивость стержня при полном наборе варьируемых параметров.

5.4.2. Решение в рамках гипотезы «фиксированного фазового состава».

5.4.3. Решение в рамках концепции «продолжающегося нагружения», когда дополнительный фазовый переход имеет место в каждой точке стержня.

5.4.4. Решение в рамках концепции «упругой разгрузки».

5.4.5. Анализ результатов.

5.4.6. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения и наличии вариаций нагрузки.

5.4.7. Решение при переменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

Глава 6. Устойчивость равномерно сжатой в двух направлениях прямоугольной пластины.

6.1. Система определяющих соотношений

6.2. Анализ докритического состояния.

6.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров.

6.4. Решения в рамках гипотезы «фиксированного фазового состава».

6.5. Решение в рамках концепции «продолжающегося нагружения», когда дополнительный фазовый переход имеет место в каждой точке пластины.

6.6. Простейшее решение в рамках концепции «упругой разгрузки».

6.7. Анализ результатов.

6.8. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

Глава 7. Устойчивость равномерно сжатой сплошной круглой пластины.

7.1. Система определяющих соотношений.

7.2. Анализ докритического состояния.

7.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров.

7.4. Решения в рамках гипотезы «фиксированного фазового состава».

7.5. Решение в рамках концепции «продолжающегося нагружения», когда дополнительный фазовый переход имеет место в каждой точке пластины.

7.6. Простейшее решение в рамках концепции «упругой разгрузки».

7.7. Сопоставление решения на основе концепции «продолжающегося нагружения» и простейшего решения в рамках «упругой разгрузки».

7.8. Обзор различных вариантов решений при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

7.9. Решение при переменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

Глава 8. Различные замечания относительно потери устойчивости при прямом мартенситном превращении.

8.1. Альтернативные варианты определяющих соотношений.

8.2. Учёт деформации сдвига.

8.2.1. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения и наличии вариаций нагрузки.

8.2.2. Сравнение результатов для разных моделей стержня.

ЧАСТЬ

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ОБРАТНОМ ТЕРМОУПРУГОМ ФАЗОВОМ ПРЕВРАЩЕНИИ

Глава 9. Устойчивость равномерно сжатой в двух направлениях прямоугольной пластины.

9.1. Система определяющих соотношений.

9.2. Анализ докритического состояния.

9.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров.

9.4. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

9.5. Анализ результатов.

Глава 10. Устойчивость равномерно сжатой сплошной круглой пластины.

10.1. Система определяющих соотношений.

10.2. Анализ докритического состояния.

10.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров

10.4. Анализ результатов.

Глава 11. Устойчивость сжатого стержня.

11.1. Система определяющих соотношений.

11.2. Анализ докритического состояния.

11.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров.

11.4. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

11.5. Анализ результатов.

Глава 12. Устойчивость стержня при действии реактивных сжимающих напряжений.

12.1. Анализ докритического состояния.

12.2. Решение при полном наборе варьируемых параметров.

12.3. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

12.4. Анализ результатов.

12.5. Решение при переменной толщине зоны дополнительного фазового превращения.

Введение диссертация по механике, на тему "Устойчивость элементов из сплавов с памятью формы при термоупругих фазовых превращениях"

В последнее время во всём мире ощущается интерес к использованию так называемых умных материалов (smart materials) или адаптивных материалов, которые могут менять нужным образом свои свойства. Об этом свидетельствует большое количество публикаций на эту тему, число которых постоянно растёт. К числу таких материалов относится большое количество различных материалов, включая сплавы, композиционные материалы, даже некоторые жидкости и т.п. [51, 132, 133, 168, 169, 175, 191, 227, 228]. К этому же разряду, несомненно, относятся сплавы с эффектом памяти формы — сплавы с памятью формы (СПФ), обладающие уникальными механическими свойствами. К числу которых относятся:

1) накопление деформации прямого фазового превращения, исчисляемой десятками процентов, при охлаждении под воздействием относительно небольших напряжений;

2) явление ориентированного превращения, состоящее в продолжении деформирования СПФ в сторону ранее действовавшей нагрузки после ее снятия;

3) способность вспоминать свою форму (имевшую место до предшествующего прямого перехода) при нагревании через интервал температур обратного превращения не зависимо от уровня и характера текущей нагрузки;

4) генерация при обратном превращении в СПФ реактивных напряжений во много раз превышающих те, которые имели место на этапе прямого превращения;

5) способность к реверсивному формоизменению в процессе обратного фазового перехода при монотонном нагреве;

6) высокая склонность к поглощению энергии, на чём могут быть основаны различные демпфирующие устройства и т.д.

Все эти свойства находят широкое применение в аэрокосмической промышленности, транспорте, энергетике, медицине и других областях.

Уникальные механические свойства СПФ объясняются происходящими в них термоупругими фазовыми превращениями. Для сплавов типа никелида титана это, прежде всего, открытые Г.В. Курдюмовым и Л.Г. Хандросом мартенситные превращения, т.е. переход из высокотемпературной аустенитной фазы с объемноцентрированной кубической кристаллической решеткой в моноклинную с искажениями низкотемпературную мартенситную фазу и обратно.

Механические свойства СПФ, связанные с мартенситными превращениями достаточно подробно изучены экспериментально и описаны в работах В.А. Лихачева, А.Е. Волкова, В.Г. Малинина, А.А. Мовчана, О.И. Крахина, С.А. Абдрахманова, И.Н. Андронова, С.А. Лурье, С.А. Rogers, К. Tanaka, D. Lagoudas, и др. Однако указанные свойства СПФ с большим трудом поддаются описанию на уровне определяющих соотношений, т.е. уравнений, связывающих напряжения, деформации, температуру и параметры фазового состава. Это привело к тому, что существует большое количество вариантов определяющих соотношений, предложенных разными авторами, отражающих ту или иную особенность отмеченных свойств, но не учитывающих какие то другие явления. Особенно это относится к обратному мартенситному превращению. Значительные трудности вызывает также как постановка, так и решение краевых задач механики деформируемого твердого тела для этих материалов, что необходимо для анализа поведения соответствующих элементов конструкций. Тем не менее, разработаны методы решения ряда подобных краевых задач.

Следует отметить, что кроме мартенситных превращений, сплавы с памятью формы, особенно с повышенным содержанием никеля или добавками железа, могут претерпевать ромбоэдрические фазовые превращения, т.е. переход в ромбоэдрическую фазу и обратно. О возможности таких превращений впервые упомянуто в работе G.R. Purdy.

На основе материалов с эффектом памяти формы предложено большое количество схем различного вида силовозбудителей или активаторов. В них используются активные элементы из СПФ. Указанные активаторы обладают рядом преимуществ по сравнению с аналогами. К их числу относятся простота, компактность, высокая надёжность, хорошие показатели совершаемой работы, низкая стоимость и т.п. Проектированию таких активаторов и разработке методов их анализа посвящены публикации О.И. Крахина, И.Э. Вяххи, Lagoudas D.C., Brett J. de Blonk, A. Baz, K. Iman и др.

Изделия, выполненные из сплавов с памятью формы, часто испытывают сжимающие напряжения достаточно большой величины. Известно, что жёсткость конструктивных элементов из СПФ существенно меняется при термоупругих фазовых превращениях, как за счет изменения упругих модулей, так и за счет развития фазовых деформаций. В результате этого возникает опасность потери устойчивости исходной формы равновесия элемента из СПФ в процессе развития фазового перехода. Экспериментальные значения критических нагрузок потери устойчивости, вызванной мартенситными превращениями имеют значения в 3-4 раза меньшие, чем изотермические критические нагрузки в мартенситном состоянии при наименьшем значении упругого модуля [112, 114].

В работах [156, 161, 162, 164] анализировалась потеря устойчивости тонкостенных конструктивных элементов из СПФ при обратном термоупругом фазовом превращении, вызванная сжимающими реактивными напряжениями. Однако, неустойчивость равновесия возможна и при прямом мартенситном превращении под действием сжимающих нагрузок [121-126, 149-151, 154]. Это же относится и к обратному превращению элементов из СПФ, даже если они не находятся в стеснённых условиях и в них не возникают реактивные сжимающие напряжения [127, 128,155].

В целом, несмотря на большое количество публикаций, посвящённых СПФ (см. напр. список литературы), число работ, анализирующих потерю устойчивости элементов, изготовленных из СПФ, значительно меньше. Причем, чаще рассматриваются даже не задачи о потере устойчивости элементов из СПФ, а использование таких элементов с целью противодействия наступления выпучивания других элементов или его контролированию [187, 197-199, 226]. Среди работ, посвященных проблеме устойчивости элементов из СПФ, следует отметить публикации [95, 207, 213, 225, 229]. Представленная работа также посвящена именно этому направлению исследований. Она базируется на предложенной А.А. Мовчаном микромеханической модели поведения СПФ при мартенситных превращениях.

Актуальность работы объясняется постоянно растущим интересом к использованию элементов из СПФ в авиации, ракетостроении, атомной промышленности, промышленном и гражданском строительстве, других областях техники, а также медицине, которые могут находиться в условиях, могущих вызвать потерю устойчивости. Это особенно важно, если учесть что тонкостенные сжатые элементы из материалов с эффектом памяти формы оказываются весьма склонными к наступлению неустойчивости именно в процессе фазовых превращений, являющихся рабочими частями соответствующих циклов. Действительно, экспериментальные исследования показывают, что элемент из СПФ не теряющий устойчивости ни в низкотемпературном (мартенситном) состоянии ни в высокотемпературном (аустенитном) состоянии может, тем не менее, потерять устойчивость в процессе самого фазового превращения. Не следует, однако, считать, что потеря устойчивости элемента из СПФ всегда нежелательна, в ряде устройств именно на этом явлении основано их функционирование. Однако правильное j определение критических характеристик необходимо и в этом случае. Всё это указывает на важность работ теоретического плана в обсуждаемом направлении.

Научную новизну представленной работы определяют следующие результаты:

1. Предложенная для анализа устойчивости элементов из СПФ гипотеза «продолжающегося фазового превращения», сводящаяся к тому, что при выпучивании стержня следует учитывать дополнительный фазовый переход, вызванный изменением напряжённо-деформированного состояния. Эта гипотеза противоположна концепции «фиксированного фазового состава», предполагающей, что при выпучивании не следует учитывать дополнительное превращение, которое просто не успевает развиться.

2. Применённые в рамках гипотезы «продолжающегося фазового превращения» к исследованию устойчивости элементов из СПФ подходы на основе концепций «упругой разгрузки» (в случае обратного превращения её уместнее назвать гипотезой «неполного фазового превращения»), «продолжающегося нагружения», а также предположений, занимающих промежуточное положение. Установлено, что наиболее опасные критические характеристики всегда получаются исходя из гипотезы «продолжающегося нагружения».

Достоверность результатов работы подтверждается строгостью и обоснованностью исходных физико-математических подходов, применением различных методов исследования устойчивости элементов из СПФ, приводящих к хорошо согласующимся между собой результатам. Кроме того, имеет место неплохое качественное соответствие с экспериментальными данными. Следует отметить, что некоторые из подходов, используемых в работе, ранее были с успехом применены к исследованию устойчивости упруго-пластических тел, что косвенно подтверждает надёжность результатов.

Диссертационная работа состоит из введения, трёх частей, включающих двенадцать глав, заключения и списка литературы из 229 наименований.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кратко итоги проведённых в работе исследований могут быть представлены в виде перечисленных ниже основных результатов и выводов:

1.Для анализа устойчивости элементов из СПФ предложена гипотеза «продолжающегося фазового превращения». Она учитывает дополнительное фазовое превращение, вызванное изменением напряжённо-деформированного состояния, связанного с потерей устойчивости. Эта гипотеза противоположна концепции «фиксированного фазового состава», также рассмотренной в работе, предполагающей, что при потере устойчивости не следует учитывать дополнительное превращение, которое, в соответствии с указанной концепцией, при выпучивании просто не успевает развиться.

2. В рамках концепции «продолжающегося фазового превращения» для анализа устойчивости элементов из СПФ в линеаризованной постановке предлагается использовать ряд подходов названных гипотезами «упругой разгрузки» (в случае обратного превращения её уместно назвать гипотезой «неполного фазового превращения»), «продолжающегося нагружения», а также предположений, занимающих промежуточное положение. Установлено, что наиболее опасные критические характеристики всегда получаются исходя из гипотезы «продолжающегося нагружения».

3. На примере сопоставления критических характеристик, полученных исходя из линеаризованных решений для простейшей идеальной системы типа стойки Шенли с опорными стержнями из СПФ на основе различных гипотез из второго пункта с нелинейным численным решением для неидеальной стойки Шенли, реализующего по существу нелинейную версию критерия начальных несовершенств, удалось ясно представить то место, которое занимают соответствующие линеаризованные решения на основе указанных гипотез. Это особенно важно для оценки характеристик устойчивости элементов из СПФ, для которых не удаётся получить нелинейные решения или сделать это весьма затруднительно.

5. В ряде более сложных случаев удалось получить решения при помощи численных методов. Особый интерес представляют решения с переменной вдоль элемента из СПФ границей зоны дополнительного фазового превращения и отсутствием каких-либо вариаций нагрузки в широком смысле. Такие решения удалось получить для осесимметричного выпучивания свободно опёртой по контуру сплошной круглой пластины из СПФ, а также для случая стеснённого стержня из СПФ при обратном мартенситном превращении, когда потеря устойчивости возникает за счёт развития реактивных сжимающих напряжений.

6. Исходя из решений задачи о потери устойчивости прямоугольной пластины из СПФ при прямом мартенситном превращении, находящейся в условиях двухстороннего равномерного сжатия, соответствующих различным концепциям из двух первых пунктов, построены области устойчивости на плоскости внешних нагрузок. Все они, за исключением соответствующей гипотезе «фиксированного фазового состава», не являются выпуклыми. Наиболее опасными для квадратной пластины могут считаться критические характеристики, соответствующие случаю равнодвухосного сжатия. Последнее относится также к случаю обратного перехода.

7. Показано, что на фоне учёта влияния дополнительного фазового превращения, развивающегося за счёт выпучивания, уточнение модели деформирования элемента из СПФ вносит незначительные поправки в окончательные результаты.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Сильченко, Леонид Георгиевич, Москва

1. Абдрахманов С.А. Деформация материалов с памятью формы при термосиловом воздействии. Бишкек: «ИЛИМ», 1991. 115 с.

2. Абдрахманов С.А., Дюшкеев К.Д. О закономерностях поведения материалов с памятью формы при термосиловом воздействии. Под. ред. Т.О. Ормонбекова. Бишкек: «Илим», 1992. 51 с.

3. Абдрахманов С.А., Дюшкеев К.Д. Феноменологическая теория эффекта отрицательной ползучести // Проблемы прочности. 1991. №2. С. 44-48.

4. Ал футов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1991. 336 с.

5. Андронов И.Н., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А. Деформирование металлов в условиях проявления пластичности превращения // Проблемы прочности. 1983. №5. С. 96-100.

6. Андронов И.Н., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А. Память формы и пластичность ГЦТ-ГЦК превращения в медно-марганцевых композициях // Изв. вузов. Цветная металлургия. 1984. №5. С. 86-91.

7. БерезинА.В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твёрдых тел. М.: Недра, 1990.135 с.

8. Бречко Т. М., Лихачев В.А. Моделирование эффекта памяти формы // Механика прочности материалов с новыми функциональными свойствами: Тр. 24-го Всесоюзн. семинара «Актуальные проблемы прочности». Рубежное. 1990. С. 57-60.

9. Витайкин Е.З., Литвин Д.Ф., Макушев С.Ю. Удовенко В.А. Структурный механизм эффекта памяти формы в сплавах MnCu // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229. № 3. С. 597-600.

10. Новгород 1991. Т. 1. С. 99-107.

11. Волков А.Е., Лихачев В.А., Щербакова Л.Н. Влияние структурной наследственности на кинетику мартенситного превращения //

12. Прогнозирование механического поведения материалов: 25-й Всесоюзный семинар «Актуальные проблемы прочности» (1-5 апреля 1991, Старая Русса). Новгород. 1991. Т. 1. С. 89-93.

13. Волков А.Е. Микроструктурное моделирование деформации сплавов при повторяющихся мартенситных превращениях // Известия академии наук. Серия физическая. 2002. Т. 66. № 9. С. 1290-1297.

14. Волков А.Е., Сахаров В.Ю. Термомеханическая макромодель сплавов с эффектом памяти формы // Известия академии наук. Серия физическая. 2003. Т. 67. №6. С. 845-851.

15. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

16. Вяххи И.Э., Прядко А.И., Пульнев С.А., Юдин В.И. Силовые элементы на монокристаллах CuAlZn с эффектом памяти формы // Научные труды 2 Международного семинара «Современные проблемы прочности им. В.А. Лихачева». 1997. Старая Русса. Том 1. С. 73-76.

17. Ганиев Н.С. Определение критической нагрузки цилиндрической оболочки за пределом упругости при осевом сжатии и внешнем нормальном давлении // Изв. Казанск. фил. АН СССР. 1955. Т. 7. С. 59-75.

18. Григолюк Э.И. Чисто пластическая потеря устойчивости тонких оболочек // ПММ. 1957. Т. 21. № 6. С. 846-849.

19. Григолюк Э.И. Касательно-модульная нагрузка круговых цилиндрических оболочек при комбинированной нагрузке // Вестник МГУ. 1958. № 1. С. 53-54.

20. Григолюк Э.И. О сжатии цилиндрической трубы за пределом упругости // Изв. Сибирск. отд. АН СССР. 1960. № 8. С. 24-28.

21. Григолюк Э.И. теоретическое и экспериментальное исследование устойчивости тонких оболочек за пределом упругости. В сб. Механика. Упругость и пластичность. 1964. (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР). М., 1966. С. 7-80.

22. Григолюк Э.И. Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.

23. Еремеев В.А. выпучивание нелинейно-упругой плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учётом фазового перехода // ПМТФ. 1991. №3. С. 141-147.

24. Еремеев В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент, и прикл. проблемы деформируемых сред и конструкций. Тр. межвуз. научн. программы. Вып. 1. 1993. Н.-Новгород. С. 187-193.

25. Еремеев В.А. Равновесие и устойчивость микронеоднородных упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Матем. моделирование. 1997. Т. 9. №2. С. 66-69.

26. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Об устойчивости равновесия нелинейно упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. №2. С. 56-65.

27. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел // Докл. АН (Россия). 2003.Т. 391. №2. С. 189-193.

28. Закономерности ползучести и длительной прочности: Справочник. Под ред. С.А. Шестерикова. М.: Машиностроение, 1983. 101 с.

29. Зубчанинов В.Г. Об упруго пластической устойчивости пластин // Изв. АН СССР. МТТ. 1965. №5. С. 299-305.

30. Зубчанинов В.Г. Об устойчивости пластин за пределами упругости (обзор). В кн. Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1971. вып. 2. С. 145-157.

31. Ильюшин А.А. Устойчивость пластинок и оболочек за пределом упругости //ПММ. 1944. Т. 8. № 5. С. 337-360.

32. Ильюшин А.А. Упруго-пластическая устойчивость пластин // ПММ. 1946. Т. 10. С. 623-638.

33. Ильюшин А.А. Пластичность. Гостехиздат. 1948.

34. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута // ПММ. 1943. Т. 7. № 2 С. 109-130.

35. Кашелкин В.В., Сергеев М.В., Шестериков С.А. Устойчивость при ползучести//Изв. РАН. МТТ. №5. 1981.

36. Клюшников В.Д. Устойчивость пластин за пределами упругости // Изв. АН СССР. ОТН. 1957. № 7 С. 41-56.

37. Клюшников В.Д. Устойчивость процесса сжатия идеализированного упруго-пластического стержня // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1964. № 6. С. 59-68.

38. Клюшников В.Д. О некоторых особенностях явления неустойчивости за пределом упругости. В кн. Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 265-268.

39. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. М.: Наука, 1980.

40. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: Изд-во МГУ, 1986. 224 с.

41. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994. 189 с.

42. Корн. Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

43. Корнилов И.И., Белоусов O.K., Качур Е.В. Никелид титана и другие сплавы с эффектом «памяти». М.: Наука, 1977.

44. Кравченко Ю.Д., Лихачев В.А., Разов А.И., Трусов С.Н., Чернявский А.Г. Опыт применения сплавов с эффектом памяти формы при сооружении крупногабаритных конструкций в открытом космосе // ЖТФ. 1996. Т. 66. №11. С. 153-161.

45. Крахин О.И. Основы расчета приводов из материалов с эффектом памяти формы. В сб. «Прочность и жесткость машиностроительных конструкций». М.:1986. С. 150-159.

46. Крахин О.И., Глезерман Е.Г., Белотелов Ю.А. Некоторые вопросы проектирования и расчета приводов одноразового действия // Современные проблемы динамики машин и их синтез. М.: Изд-во МАИ, 1985.

47. Крахин О.И., Новиков Д.К. Термореле на основе сплавов с памятью // Тезисы докладов III Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: «ЛАТМЭС». МГАТУ. 1997. С. 66-67.

48. Крахин О.И., Резников Д.И. Применение МКЭ для пластичных элементов из сплавов с памятью // Тезисы докладов 3 Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: «ЛАТМЭС». МГАТУ. 1997. С. 68-69.

49. Крахин О.И., Хайков П.Г., Аверьянов М.П. Расчет термомеханических двигателей // Вестник МАИ. 1994. Т. 1. № 2. С. 25-29.

50. Кузнецов А.В. Связная задача об упругом носителе для соединительной муфты из сплава с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 3. С. 73-79.

51. Кузнецов А.В. Численное решение связной осесимметричной задачи о прямом превращении для сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. №3-4. С. 71-77.

52. Кузьмин С.А., Лихачев В.А., Шиманский С.Р., Чернышенко А.И. Эффект ориентированного превращения в никелиде титана // ФММ. 1984. Т. 57, вып. 3 С. 612-614.

53. Кунце И.И. Устойчивость пластинок из сжимаемого материала за пределом упругости //ПММ. 1946. Т. 10. С. 671-673.

54. Курдюмов Г.В., Хандрос Л.Г. О термоупругом равновесии при мартенситных превращениях // Докл. АН СССР. 1949. Т. 66. № 2. С. 211-214.

55. ЛепикЮ.Р. Дополнительные замечания о цилиндрической форме потери устойчивости пластинок за пределом упругости // ПММ. 1951. Т. 15. С. 107-110.

56. Лепик Ю.Р. Устойчивость прямоугольной упруго-пластической пластинки, неравномерно сжатой в одном направлении // Инж. сб. 1954. № 18. С. 161-164.

57. Лепик Ю.Р. Одна возможность решения задачи об устойчивости упруго-пластических пластинок в точной постановке // Изв. АН СССР. СТН. 1957. №8. С. 13-19.

58. Лепик Ю.Р. Об устойчивости упруго-пластической прямоугольной пластинки, сжатой в одном направлении // ПММ. 1957. Т. 21. № 5 С.722-724.

59. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.216 с.

60. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. Санкт-Петербург: Наука, 1993. 471 с.

61. Лихачев В.А., Малинин В.Г., Овчаренко С.Я. Деформация ориентированного превращения сплава CuAIMn // Материалы с новыми функциональными свойствами. Материалы семинара. Новгород — Боровичи. 1990. С. 100-101.

62. Лихачев В.А., Мозгунов В.Ф. Исполнительный механизм с рабочим телом из материала с эффектом памяти формы. Инженерный расчет // Сверхупругость, эффект памяти формы и их применение в новой технике. Томск. 1986. С. 216.

63. Лихачев В.А., Патрикеев Ю.И., Щуплецов В.Н. Эффект ориентированного превращения в никелиде титана//ФММ. 1986. Т. 61, вып. 1. С. 121-126.

64. Лихачев В.А., Пущаенко О.В. Расчет термомеханического соединения методами структурно-аналитической теории // ЖТФ. 1996. Т. 66, вып. 11. С. 79-87.

65. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Устойчивость цилиндрической оболочки при чистом изгибе // Изв. РАН. МТТ. №2. 1982.

66. Ломакин Е.В., Работнов Ю.Н. Соотношения теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. РАН. МТТ. №6. 1978.

67. Ломакин Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела // Изв. РАН. МТТ. №2. 1979.

68. Ломакин Е.В. Нелинейная деформация материалов, сопротивление которых зависит от вида напряжённого состояния // Изв. РАН. МТТ. №4. 1980. С. 92-99.

69. Ломакин Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные характеристики которого зависят от вида напряжённого ; состояния//Изв. РАН. МТТ. №3.1983.

70. Лурье С.А. О термодинамических определяющих соотношениях для материалов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. № 5. 1997. С. 110-122.

71. Малинин Н.Н. Прикладная теория упругости и пластичности. М.: Машиностроение, 1975. 339 с.

72. Малинин Н.Н., Романов К.И. Устойчивость двухосного растяжения в условиях ползучести // Изв. РАН. МТТ. №1. 1981.

73. Малыгин Г.А. Эйлерова неустойчивость двунаправленного эффекта памяти формы в ленте из никелида титана // Физика твёрдого тела. 2003. Т. 45. № 12. С. 22-33.

74. Махутов Н.А., Киквидзе О.Г. Об одном подходе к установлению уравнения -. состояния сплавов с эффектом памяти формы // Заводская лаборатория. 1996 г. №3. Т. 62 с. 49-51.

75. Махутов Н.А., Киквидзе О.Г. Об одном принципе при деформировании сплавов с эффектом памяти формы // Заводская лаборатория. 1996г. №6. Т. 62. С. 46-48.

76. Мовчан А.А. Микромеханический подход к проблеме описания накопления анизотропных рассеянных повреждений // Изв. РАН. МТТ. №3. 1990. С. 115-123.

77. Мовчан А.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №6. С. 47-53.

78. Мовчан А.А. Выбор аппроксимации фазовой диаграммы и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1995. Т. 36. № 2. С. 173-181.

79. Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 1.С. 197-205.

80. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для материалов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 136-144.

81. Мовчан А.А. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 6. С. 181-189.

82. Мовчан А.А. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений v на фазовый состав в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 79-90.

83. Мовчан А. А. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 1. С. 164-173.

84. Мовчан А.А. Некоторые положения механики материалов, испытывающих термоупругие фазовые превращения // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 5. № 4. 1999. С. 87-108.

85. Мовчан А.А., Казарина С.А. Механика активных композитов, содержащих волокна или слои из сплава с памятью формы. // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 2. № 2. 1996. С. 29—48.

86. Мовчан А.А., Казарина С.А. Учет влияния фазовой деформации на диаграмму термоупругих мартенситных превращений в сплавах с памятьюформы // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. №4. С. 93-102.

87. Мовчан А.А. КазаринаС.А. Конструктивный двухпутевой эффект памяти формы, основанный на явлении ориентированного превращения // Проблемы машиностроения и надежности машин (Машиноведение). 1998. № 1. С. 55-60.

88. Мовчан А.А., Казарина С.А. Описание конечных фазовых деформаций при термоупругих мартенситных превращениях // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 4. №2. 1998. С. 26-36.

89. Мовчан А.А., КазаринаС.А. Экспериментальное исследование явления потери устойчивости, вызванной термоупругими фазовыми превращениями под действием сжимающих напряжений // Проблемы машиностроения и надёжности машин. 2002. № 6 С. 82-89.

90. Мовчан А.А., Мозафари А. Поведение активатора, содержащего стержень из сплава с памятью формы и упругий элемент смещения // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 2. С. 87-100.

91. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Устойчивость «стойки Шенли» при ползучести или при прямом термоупругом мартенситном превращении // ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 2000. Т.6. № 1. С. 89-102.

92. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Устойчивость стержня, претерпевающего прямое или обратное мартенситные превращения под действием сжимающих напряжений // Прикладная механика и техническая физика.2003. Т. 44. №3. С. 169-178.

93. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Анализ устойчивости при прямом термоупругом превращении под действием сжимающих напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 2. С. 132-144.

94. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при прямом термоупругом фазовом превращении // ПММ.2004. Т. 68 № 1. С. 60-72.

95. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. Аналитическое решение связной задачи об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при обратном мартенситном превращении // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5. С. 164-178.

96. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г., Казарина С.А. Явление потери устойчивости, вызванной термоупругими фазовыми превращениями // Тр. 15-й международной конференции «Физика прочности и пластичности материалов» Тольяти, 1-4 октября 2003 г.

97. Наймарк О.Б., Зильбершмидт В.В., Филимонова J1.B. К описанию деформационных процессов при мартенситных превращениях // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций. Свердловск. 1989. С. 116-122.

98. Образцов И.Ф., Мовчан А.А. Проблемы проектирования, расчета и создания композитов с памятью формы и конструкций из них // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3, № 1. С. 23-39.

99. ОоцукаК., СимидзуК., Судзуки Ю. и др. Сплавы с эффектом памяти формы. М.: Металлургия, 1990. 224 с.

100. Пановко Я.Г. О критической силе сжатого стержня в неупругой области // Инж. сб. 1954. №20.

101. Пановко Я.Г. О продольном упруго-пластическом изгибе стержней в статически неопределимых системах // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 2. С. 160-165.

102. Пановко Я.Г., Губанова И.И. О влиянии докритического обжатия стержня на критическое значение сжимающей силы. Инженерный журнал. Механика твёрдого тела. 1968. № 2.

103. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. *" М.: Наука, 1987. 352 с.

104. Полилов А.Н., РаботновЮ.Н. Развитие расслоений при сжатии композитов //Изв. РАН. МТТ. №4. 1983.

105. Попов С.М. Устойчивость свободно опёртых пластинок за пределами упругости // Инж. сб. 1951. № 9.

106. Попов С.М. О распространении метода смягчения граничных условий на устойчивость за пределом упругости прямоугольных пластинок // ПММ. 1951. Т. 15. №1 С. 103-106.

107. Попов С.М. Устойчивость за пределами упругости пластинок при внецентренном растяжении или сжатии // Инж. сб. 1954. №18 С. 165-173.

108. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции М.: Наука, 1981. 800 с.

109. Работнов Ю.Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности // Инж. сб. 1952. № 11. С. 123-126.

110. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

111. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

112. Рыбаков JT.C., Сильченко Л.Г. Статическая упругая устойчивость прямоугольной ортотропной панели. В кн. «Прикладные методы исследования прочности ЛА». М.: Изд-во МАИ. 1992. С. 64-71.

113. Рыбаков Л.С., Сильченко Л.Г. Статическая упругая устойчивость дискретно подкрепленной прямоугольной панели при различном двухстороннем равномерном сжатии // Изв. РАН. МТТ. 1994. № 6. С. 128-140.

114. Сильченко Л.Г. Закритическое деформирование стержня с учетом сжимаемости его оси // ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т.5. № 1. С. 24-38.

115. Сильченко Л.Г. К проблеме устойчивости равновесия для сжатых элементов из сплава с памятью формы. Юбилейная школа-семинар «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова. Москва 6-9 июня 2000 г. С.22.

116. Сильченко Л.Г. Устойчивость сжатого стержня из СПФ при прямом термоупругом превращении // Материалы 6-го Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». М.: Изд.-во «Графрос», 2000. С. 45.

117. Сильченко JI.Г. Об устойчивости короткого стержня // ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т.7. №2. С. 178-188.

118. Сильченко Л.Г. Явление потери устойчивости при мартенситной неупругости // ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 2002. Т.8. № 2. С. 161-171.

119. Сильченко Л.Г. Об устойчивости стержня из сплава с памятью формы при прямом мартенситном термоупругом фазовом превращении // ИПРИМ РАН. Механика композиционных материалов и конструкций. 2003. Т.9. № 4. С. 457-470.

120. Сильченко Л.Г. Об устойчивости стержня из сплава с памятью формы при обратном мартенситном фазовом превращении // Тр. 43-го семинара «Актуальные проблемы прочности». Витебск: 2004.

121. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946. v 532 с.

122. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек Избранные работы. М.: Наука, 1967. 808 с.

123. Толоконников Л.А. О влиянии сжимаемости материи на упруго пластическую устойчивость пластин и оболочек // Вестник МГУ. Вып. 4. 1949. №6. С. 35-44.

124. Толоконников Л.А. К вопросу об устойчивости круглых пластин, сжатых равномерно распределённым давлением по контуру // Уч. зап. Рост, ун-та. 1953. Т. 18. №3.

125. Хусаинов М.А. Исследование эффекта осесимметричного выпучивания круглых пластин //Журнал технической физики. 1997. Т. 67. № 6. С. 118-120.

126. Хусаинов М. А., Беляков В. Н. Исследование силовых характеристик при прощелкивании арки-полоски из никелида титана // Тр. 1-го Международного семинара «Актуальные проблемы прочности» им.

127. B. А. Лихачева и 33-го семинара «Актуальные проблемы прочности». Научные труды. Т. 2. 4.2 С. 139-142.

128. Хусаинов М.А., Беляков В.Н. Исследование влияния термотренинга на многократнообратимую память формы в ненагруженном состоянии // В кн. Структура и свойства металлических материалов и композиций. Межвузовский сборник. Новгород.: 1989. С. 51-60.

129. ШариповаЛ.Л. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б. Об устойчивости упругого двухфазного шара // Изв. Вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спец. вып. Матеем. Моделирование. 2001. С. 166-168.

130. Шестериков С.А., Юмашева М.А. К проблеме терморазрушения при' быстром нагреве // Изв. РАН. МТТ. №1. 1983.

131. Шишкин С.В., МахутовН.А. Об экспериментальном определении обобщенной термомеханической диаграммы материалов с памятью формы при радиальном растяжении сжатии // Заводская лаборатория. 1994. Т. 60. №11. С. 43-48.

132. Эффект памяти формы: Справ, изд. // Под. ред. Лихачева В.А. Т. 1-4. СПб.: Изд-во НИИХ СпбГУ 1997-1999 г.

133. Яновский Ю.Г., Згаевский В.Э. КарнетЮ.Н., Образцов И.Ф. Электрореологические жидкости. Теоретические и экспериментальные подходы к их описанию // Физическая мезомеханика. 2003. Т. 6, № 6,1. C. 61-69.

134. Aboudi. Jacob The response of shape memory alloy composites // Smart Mater. And Struct. 1997. V. 6. N. 1 C. 1-9.

135. Baz A., ImanK., McCoy J. The Dynamics of Helical Shape Memory Actuators // Journal of Intelligent Material System and Structure. 1990. V. 1, N. 1. P. 105-133.

136. Baz A., Chen Т., Ro J. Shape control of nitinol reinforced composite beams // Composites Part B: Engineering. 2000. V. 31. N. 8. P. 631-642.

137. BekkerA., BrinsonL.C. Phase diagram based description of the hysteresis behavior of shape memory alloys // Acta mater. 1998. Vol. 46, No. 10. P. 36493665.

138. Birman Victor. Stability of functionally graded shape memory alloy sandwich panels // Smart Materials and Structures. 1997. V. 6 N. 3. P. 278-286.

139. Birman V. Review of mechanics of shape memory alloy structures // Appl. Mech. Rev. 50.1997. P. 629-645.

140. Bhattacharyya A., LagoudasD.C. A stochastic thermodynamic model for the gradual thermal transformation of SMA polycrystals // Smart Materials and Structures. 1997. V. 6 N. 3. P. 235-250.

141. Bhattacharyya A., Lagoudas D.C., WangY., KinraV.K. On the role of thermoelectric heat transfer in the design of SMA actuators: theoretical modeling and experiment// Smart Materials and Structures. 1995. V. 4 N. 4. P. 252-263.

142. BoZ., LagoudasD.C. Thermomechanical modeling of polycrystalline SMAs under cycling loading, Part I: Theoretical derivations // IJES, 1998.

143. BoZ., LagoudasD.C. Thermomechanical modeling of polycrystalline SMAs under cycling loading, Part III: Evolution of plastic strains and two-way shape memory effect//IJES, 1998.

144. BoZ., LagoudasD.C. Thermomechanical modeling of polycrystalline SMAs under cycling loading, Part IV: Modeling of minor hysteresis loop // IJES, 1998.

145. BoydJ.G., LagoudasD.C. Thermomechanical response of shape memory composites // J. Of Intellegent Materials and Structures 1994. V. 5, P. 333-346.

146. BoydJ.G., Lagoudas D.C. A thermomechanical constitutive model for shape memory materials. Part I: The monolithic shape memory alloy // Intern. Journ. Of Plasticity. 1996. Vol. 12. N 6. P. 805-842.

147. BoydJ.G., Lagoudas D.C. A thermomechanical constitutive model for shape memory materials. Part II: The SMA composite material // Intern. Journ. Of Plasticity. 1996. Vol. 12. N 7. P. 843-873.

148. Brett J. de Blonk, Lagoudas D.C. Actuation of elastomeric rods with embedded two-way shape memory alloy actuators // Smart Materials and Structures. 1997. V. 7N. 6. P. 771-783.

149. BroccaM., BrinsonL.C., BazantZ.P. Three-dimensional constitutive model for shape memory alloys based on microplane model // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2002. 50 P. 1051-1077.

150. Choi S, Lee J.J., Seo D.C., Choi S.W. The active buckling control of laminated composite beams with embedded shape memory alloy wires // Compos Struct 1999. V. 47 P. 679-686.

151. Dautovich D.P., Purdy G.R. Phase transition in TiNi // Canad. Met. Quart. 1965. V. 4. P. 120-143.

152. EremeyevV.A. On the stability of nonlinear elastic bodies with phase transformations 11 Proc. 1st Canadian Conference on Nonlinear Solid Mechanics. Victoria, British Columbia, Canada. June, 16-20, 1999. Ed. Elena M. Croitoro. Vol.2. P. 519-528.

153. FalkF., KonopkaP. Three-dimensional Landau theory describing the martensitic phase transformations of shape memory alloys // J. Phys.: Condens. Mater. 1990. V. 2. N 1. P. 61-77.

154. James R.D. New materials from theory: trends in the development of active materials // International Journal of Solids and Structures. 2000 V.37. P. 239250.

155. Lagoudas D.C., Bo Z. The cylindrical bending of composite plates with piezoelectric and SMA layers // Smart Materials and Structures. 1994. V. 3 N. 3. P. 309-317.

156. Lagoudas D.C., Bo Z. Thermomechanical modeling of polycrystalline SMAs under cycling loading, Part II: Material characterization and experimental results for a specific transformation cycle // IJES, 1998. P. 1-55.

157. Lagoudas D.C., BoZ., Qidwai M.A. A unified thermodynamic constitutive model for SMA and finite element analysis of active metal matrix composites // Mechanics of composite materials and structures. 1996. Vol. 3. P. 153-179.

158. Lagoudas D.C., Tadjbakhsh I.G. Active flexible rods with embedded SMA fibers // Smart Materials and Structures. 1992. V. 1 N. 2. P. 162-167.

159. Lagoudas D.C., Tadjbakhsh I.G. Deformations of active flexible rods with embedded line actuators // Smart Materials and Structures. 1993. V. 2 N. 2. P. 71-81.

160. Lee J.J., ChoiS. Thermal buckling and postbuckling analysis of a laminated composite beam with embedded SMA actuators // Compos Struct 1999. V. 47 P. 695-703.

161. LeeH.J., Lee J.J. A numerical analysis of the buckling and postbuckling behavior of laminated composite shells with embedded shape memory alloy wire actuators // Smart Materials and Structures. 2000. V. 9. N 6. P 780-787.

162. Lee H.J., Lee J.J., Huh J.S. A simulation study on the thermal buckling behavior of laminated composite shells with embedded shape memory alloy (SMA) wires // Compos Struct 1999; V. 47 P. 463-469.

163. Lexcellent C., Licht C. Some remarks on modeling of the thermomechanical behavior of shape memory alloys // J. Phys. IV. Col. C4. 1991. P. 35-39.

164. Liang С., Rogers С.A. One dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory materials // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1990. V. 1. N. 2. P. 207-234.

165. Liang C., Rogers C.A. Design of shape memory alloy sprigs with applications in vibration control // J. of Intelligent Material Systems and Structures. 1997. V. 8. N. 4. P. 314-322.

166. Lin P.H., Tobushi H., Ikai A., Tanaka K. Deformation properties associated with the martensitic and R-phase transformation in TiNi shape memory alloy // Shape memory materials 94. Chu Y., Tu H. ed. Int. Academic Pub. 1994. P. 530.

167. Lin P.H., Tobushi H., Tanaka K., Hattori Т., Ikai A. Influence of strain rate on deformation properties of TiNi shape memory alloy // Japan Society Mechanical Engineering. International Journal. Ser. A. 1996. V. 39. N. 1. P. 117-123.

168. Lin P.H., Tobushi H., Tanaka K., Ikai A. Deformation properties of TiNi shape memory alloy // Japan Society Mechanical Engineering. International Journal. Ser. A. 1996. V. 39. N. 1. P. 108-116.

169. Lin P.H., Tobushi H.,Tanaka K., Hattori Т., Makita M. Pseudoelastic behavior of TiNi shape memory alloy subjected to strain variation // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 1994. V. 5. N. 5. P. 695. К

170. Marcelo A. Savi, Pedro M.C.L. Pacheco, Arthur M.B. Braga. Chaos in a shape memory two-bar truss // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2002. N. 37 P. 1387-1395.

171. Nishimura F., Watanabe N., Watanabe Т., Tanaka K. Transformation conditions in an Fe-based shape memory alloy under tension torsion loads: Martensite start surface and austenite start/finish planes // Mater. Sci. Enghg. A. 1999. 264. P. 232-244.

172. Patoor E., EberhardtA., BerveillerM. Micromechanical modeling of superelasticity in shape memory alloys // Journal de Physique IV, Coll. CI. 1996. V. 6. P. 277-292.

173. Psarras G.C., Parthenios J., Galiotis C. Adaptive composites incorporating shape memory alloy wires. Part I Probing the internal stress and temperature distributions with a laser Raman sensor // Journal of materials science. 2001. Vol. 36. P. 535-546.

174. Purohit P. K., Bhattacharya K. On beams made of a phase-transforming material // International Journal of Solids and Structures V. 39. 2002. P. 3907-3929.

175. Rahman M.A, Jinhao Qiu, Junji Tani. Buckling and postbuckling characteristics of superelastic SMA columns // International Journal of Solids and Structures. 2001. V. 38. N 50-51. P. 9253-9265.

176. SehitogluH., JunJ., Zhang X., Karamanl., Chumlyakov Y., Maier H. J., Gall K. Shape memory and pseudoelastic behavior of 51.5%Ni-Ti single crystals in solutionized and overaged state // Acta mater. V. 49. 2001. P. 36093620.

177. Sehitoglu H., Karaman I., Zhang X., Viswanath A., Chumlyakov Y., Maier H.J. Strain-temperature behavior of NiTiCu shape memory single crystals // Acta mater. V. 49. 2001. P. 3621-3634.

178. ShanleyF.R. The column paradox // J. Aeronaut. Sci. 1946. V. 13. N. 12. P. 678.

179. ShanleyF.R. Inelastic column theory // J. Aeronaut. Sci. 1947. V. 14. N. 5. P. 261-267. Русск. пер: Шенли Ф. Теория колонны за пределом упругости // В сб. «Механика». 1961. № 2. С. 88-98.

180. Shu Steven G., Lagoudas D.C., Hughes D.H, Wen John T. Modeling of a flexible beam actuated by shape memory alloy wires // Smart Materials and Structures. 1997. V. 6. N. 3. P 265-277.

181. SittnerP., HaraY., TokudaM. Experimental study on the thermoelastic martensitic transformation in shape memory alloy polycrystal induced by combined external forces // Metall. Mater. Trans. A. 16A. 1995. P. 2923-2935.

182. TanakaK. A thermomechanical sketch of shape memory effect: one-dimensional tensile behavior// Res Mechanica. 1986. Vol. 18. P. 251-263.

183. TanakaK. A phenomenological description on thermomechanical behavior of shape memory alloys // J. Pressure Vessel Technology. Trans. ASME. 1990. V. 112 N. 2. P. 158-163.

184. Tanaka K. Iwasaki R. A phenomenological theory of transformation superplasticity // Engineering Fracture Mechanics. 1985. Vol.21, N. 4. P. 709-720.

185. Tanaka K. Nagaki S. A thermomechanical description of materials with internal variables in the process of phase transition // Ingenieur-Archiv. 1982. Vol. 51. P. 287-299.

186. Tanaka K., Watanabe T. Transformation conditions in an Fe-based shape memory alloy: an experimental study // Arch. Mech. .1999. V. 51. N. 6. P. 805-832.

187. Tawfik Mohammad, Ro Jeng-Jong, Mei Chuh. Thermal post-buckling and aeroelastic behavior of shape memory alloy reinforced plates // Smart Materials and Structures. 2002. V. 11. N. 2. P. 297-307.

188. Thompson D.M., Griffin O.H. Jr. Finite element predictions of active buckling control of stiffened panels // J. of Intelligent Materials Systems and Structurest. 1993. Vol. 4 N. 2. P. 243-247.

189. WelZ.G., Sandstrom M.R. Review Shape-memory materials and hybrid composites for smart systems. Part 1 Shape-memory materials // Journal of materials science V. 33. P. 1998. P. 3743-3762.

190. WelZ.G., Sandstrom M.R. Review Shape-memory materials and hybrid composites for smart systems. Part 2 Shape-memory hybrid composites // Journal of materials science V. 33. P. 1998. P. 3763-3783.

191. Zhong Z.W., Chen R.R., Mei C. Buckling and postbuckling of shape memory alloy fibre reinforced composite plates, Buckling and Postbuckling of Composite Structures // ASME.AD-Vol. 41/PVP-Vol. 233. 1994.