Устойчивость и нелинейные режимы адвективных течений в слоях и каналах с адиабатическими границами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

005019394

Никитин Дмитрий Алексеевич

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ АДВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В СЛОЯХ И КАНАЛАХ С АДИАБАТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 6 ДПР ¿0^

Пермь-2012

005019394

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки ^Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Любимова Татьяна Петровна

Защита состоится «17» мая 2012 г. в 14— часов на заседании диссертационного совета Д004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378461; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан > апреля 2012 г.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, доцент Лобов Николай Иванович (ФГБОУВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», г. Пермь)

кандидат физ.-мат. наук Сухановский Андрей Николаевич (ФГБУН «Институт механики сплошных сред УрО РАН», г. Пермь)

Ведущая организация:

ГОУВПО «Челябинский государственный университет», г. Челябинск

Ученый секретарь диссертационного совета

И.К. Березин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию адвективных течений (течений, возникающих при наличии горизонтального градиента температуры) одно- и двухкомпонентных жидкостей в горизонтальных слоях и каналах с адиабатическими границами. Актуальность исследования таких течений связана с многочисленными геофизическими и техническими приложениями. К ним относятся, в частности, атмосферная циркуляция Хэдли, некоторые типы движений в океане, коре и мантии Земли, процессы переноса в мелких водоемах, движение расплавов в установках для получения кристаллов в горизонтальном варианте метода направленной кристаллизации.

Развитие современных технологий предъявляет все более высокие требования к качеству монокристаллов. Управляя течениями в расплаве в ходе выращивания кристалла, можно существенно влиять на качество получаемого монокристаллического материала. Одним из наиболее перспективных методов получения высококачественных монокристаллов полупроводников является их выращивание из расплава методом Бриджмена. Течения в расплаве способны как повышать, так и понижать однородность распределения примеси в выращиваемом кристалле. С одной стороны, течения, способствуя перемешиванию примеси в расплаве, повышают однородность ее распределения. С другой стороны, течения в расплаве переносят примесь и способны нарушить однородность ее распределения в выращиваемых кристаллах, создавая участки, в которых имеется локальный избыток либо недостаток примеси. С этой точки зрения течения вредны, и их нужно подавлять.

Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились в рамках грантов РФФИ 04-01-00893, Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития (РЕ-009-0/В2М409), Научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах» (07-11н-14с, 08-13 н-12с, 09-15н-06с, 10-17н-12и).

Цели диссертационной работы:

■ Установление условий возникновения неустойчивости и характеристик нелинейных режимов адвективных течений одно* и двухкомпонентных жидкостей в плоском горизонтальном слое и горизонтальном канале прямоугольного поперечного сечения с теплоизолированными границами.

■ Определение оптимальных параметров акустического воздействия для управления устойчивостью течения однокомпонентной жидкости в плоском слое и канале прямоугольного сечения.

Научная новизна результатов:

■ С учетом эффекта термодиффузии исследовано стационарное адвективное течение бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами. Выявлен диапазон значений параметра термодиффузии, в котором стационарное решение неоднозначно.

■ Получены карты устойчивости стационарного течения на плоскости параметров число Релея — параметр Соре для ряда типичных жидких и газовых смесей. Найдено, что при отрицательных значениях параметра Соре, меньших некоторого значения, для всех смесей наиболее опасными являются длинноволновые возмущения. Обнаружено значительное влияние термодиффузии на газовые смеси. Выполнено численное моделирование двумерных нелинейных режимов течения.

■ Исследовано стационарное адвективное течение однокомпонентной жидкости в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами. Определены границы устойчивости этого течения по отношению к плоским и спиральным возмущениям для различных отношений сторон поперечного сечения канала. Показано стабилизирующее влияние стенок канала на течение.

■ Численно исследованы трехмерные адвективные течения в горизонтальном канале квадратного сечения с теплоизолированными боковыми границами. Показано, что в зависимости от значений чисел Грасгофа и Прандтля и длины канала течение может обладать различными типами симметрии и поведением во времени. Установлено, что возможны разные варианты перехода к колебательным режимам течения: либо с предварительным нарушением симметрии течения (вилочная бифуркация), либо без смены типа симметрии.

■ Изучено влияние акустической волны на стационарное адвективное течение в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами. Рассмотрены возмущения типа плоских и спиральных валов. Определены границы устойчивости этого течения по отношению к плоским и спиральным возмущениям для различных значений пульсационного числа Рейнольдса и числа Прандтля. Найдено, что акустическая волна оказывает значительное стабили-

зирующее влияние на гидродинамическую и спиральную колебательную моды неустойчивости и дестабилизирующее влияние на спиральную монотонную моду. При малых числах Прандтля, характерных для жидких металлов, акустическое воздействие может применяться в качестве фактора, стабилизирующего адвективное течение.

Автор защищает:

■ Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами, с учетом эффекта термодиффузии.

■ Результаты численного моделирования нелинейных режимов адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами, с учетом эффекта термодиффузии.

■ Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами.

■ Результаты численного моделирования трехмерных адвективных течений в горизонтальном канале квадратного сечения и конечной длины в случае теплоизолированных боковых границ.

■ Результаты исследования устойчивости стационарного адвективного течения в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения, при наличии бегущей акустической волны, в случае теплоизолированных боковых границ.

Достоверность результатов подтверждается:

■ анализом сходимости и устойчивости решений при различной степени дискретизации расчетной области и варьировании расчетных параметров;

■ соответствием известным решениям в предельных случаях;

■ согласием данных, полученных с использованием различных численных методов.

Практическая значимость работы: полученные в работе численные данные об условиях возникновения неустойчивости адвектив-

ных течений могут быть использованы для оптимизации технологии получения кристаллов полупроводников горизонтальным методом Бриджмена. Полученные данные о влиянии акустического воздействия на устойчивость адвективных течений могут быть использованы при разработке технологий управления течениями и тепломассообменом при выращивании кристаллов. Разработанные при выполнении работы численные алгоритмы могут быть использованы при решении других задач гидродинамической неустойчивости.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

- Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2005, 2006);

- IX Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Новосибирск, 2006;

- XV Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2007;

- Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2007;

- Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края», Пермь, 2008;

- Молодежная конференция «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск, 2008;

- «8th International Meeting on Thermodiffusion», Bonn, Germany, 2008;

- Конференция Pan-REC, Нижний Новгород, 2008;

- Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, (2008, 2009, 2010, 2011);

- XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий», Пермь, 2009;

- XVII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 2011;

- Теоретический семинар Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель - академик В.П. Матвеенко, Пермь, 2012;

— Семинар кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета, руководитель - д.ф.-м.н., профессор П.В. Трусов, Пермь, 2012.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ [1-18], в том числе 4 в изданиях из перечня ВАК [12, 15, 16, 18].

Содержание и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 108 наименований. Работа изложена на 117 листах машинописного текста, содержит 52 рисунка.

Во введении представлены обзор литературы и общая характеристика работы: обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели и научная новизна работы, перечислены основные защищаемые результаты, обоснованы достоверность полученных результатов и практическая значимость работы, приведены сведения об апробации работы, представлена структура диссертации.

В первой главе с учетом эффекта Соре исследованы устойчивость и нелинейные режимы адвективных течений бинарных жидкостей в плоском горизонтальном слое с адиабатическими границами

Решались уравнения свободной конвекции смеси в приближении Буссинеска с учетом эффекта Соре (эффектом диффузионной теплопроводности пренебрегалось), в безразмерной форме имеющие вид1:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

сііу V = О

— + уУГ = АГ ді

(2)

(3)

^ + = — (АС-£АТ)

ді

Ье

(4)

Здесь V - скорость жидкости; Т и С - отклонения температуры и концентрации легкой компоненты от некоторых значений, принятых за начало отсчета; р — конвективная добавка к гидростатическому

давлению; £■ = —аД/Д — параметр Соре, характеризующий отношение вкладов эффектов термодиффузии и теплового расширения в изменение плотности с изменением температуры в равновесном состоянии; Яа = ^ДЛЛ4 /ух - число Релея; Рг = у/% - число Прандтля; Ье = х/О - число Льюиса; Д - коэффициент теплового расширения

смеси; Д2 =- - концентрационный коэффициент плотно-

сти (Д2>0); g — ускорение силы тяжести; А — величина продольного градиента температуры; А - полутолщина слоя; у и х ~ коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности смеси; О -коэффициент диффузии; а = кт/Та , где кт - термодиффузионное отношение, Та — абсолютная температура; у - единичный вектор, направленный вертикально вверх. Зависимостью параметра а и остальных кинетических коэффициентов от температуры и концентрации пренебрегалось.

На границах слоя задавались условия прилипания и отсутствия потока тепла и массы. Кроме того, считались выполненными условия замкнутости течения и замкнутости потока вещества. Величина горизонтального градиента температуры считалась заданной.

Стационарное решение задачи искалось в виде:

у = (0,0,у0(х)), С0=Вг + с0(х), Т0=г + &0(х), р = р0(х,г) (5)

Здесь В - величина формирующегося в слое горизонтального градиента концентрации, подлежащая определению.

Уравнения и граничные условия, определяющие основное состояние (5), после исключения давления принимают вид

53у„

—£ = Ка(1 + 20 (6)

дх

д\% т „ д2с, д2Эп

го

я а Л/'

х = ±1: у0 =0,^ = 0,^ = 0 (8)

дх дх

Условия замкнутости течения и замкнутости потока вещества, обусловленного диффузионным и термодиффузионным потоками и конвективным переносом, имеют вид

1 1

|у0<6с = 0, |(Ьеу0с0-5 + £)Л:=0 (9)

-1 -1

В общем случае, для произвольных 11а , решая задачу (6)-(9), получаем профили скорости, температуры и концентрации в основном состоянии в виде

У0 =Г0х(х2-1), &0 = — У0х(3х4 -Юх2 +15), с0 = (Ье5 + г).90 (10) 60

Величина горизонтального градиента концентрации находится из

(9)

8У0 Ье +315

а связь амплитуды скорости У0 и числа Релея определяется соотношением

Кд= 6У9 = 6У0 (8Г02 Ье2 + 315) 1+ В 8Г02 Ье2+315 - 8еУ02 Ье+ 31

Устойчивость основного состояния (10)-(12) исследовалась численно, методом коллокаций. В качестве базисных функций использовались полиномы Чебышева. Число базисных функций выбиралось из требования сходимости результатов и варьировалось в пределах от 15 до 30 для различных мод неустойчивости.

Были рассмотрены три типичные бинарные смеси: 1 - жидкоме-таллический расплав с Рг = 0.01, Ье = 1000; 2 - газовая смесь с

Рг = 0.7, Ье = 13/7, 3-раствор соли в воде Рг = 6.7, Ье = 101.

Расчеты показали, что в случае нормального термодиффузионного эффекта (г>0) стационарное решение однозначно. Влияние термодиффузии на устойчивость стационарного течения при малых числах Прандтля и больших числах Льюиса, характерных для жидкометалли-ческих бинарных расплавов, слабо; поведение смеси близко к поведению однокомпонентной жидкости, в которой неустойчивость стационарного течения определяют гидродинамическая, спиральные колебательная и монотонная моды2. При числах Прандтля и Льюиса порядка единицы, термодиффузия оказывает заметное стабилизирующее действие. Аномальная термодиффузия при е<е, =-8Ье/(9Ье+1) приводит к неоднозначности стационарного решения. Для верхней ветви стационарных решений имеются те же моды неустойчивости, что и в случае однокомпонентной жидкости, однако наиболее опасной является длинноволновая монотонная спиральная мода, происхождение которой связано с термодиффузией. Средняя ветвь стационарных решений неустойчива всегда, а нижняя ветвь неустойчива при е < — 1 и числах Релея, превышающих некоторое значение. Численное решение полной нелинейной задачи в двумерной постановке, проведенное методом конечных разностей, показало, что при числах Релея, меньших критического значения К.аст зависимость максимального значения функции тока от числа Релея близка к линейной, а при Иа »11аст от этой прямой по корневому закону ответвляется новое решение.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости стационарного адвективного течения однокомпонентной жидкости в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами. Для описания движения жидкости использовались уравнения свободной тепловой конвекции в приближении Буссинеска. Однородное вдоль оси канала решение удовлетворяет следующей системе уравнений и граничных условий:

2

Kuo H.P., Korpela S.A. Stability and finite amplitude natural convection in a shallow cavity with insulated top and bottom and heated from a side // Phys. Fluids. 1988. Vol. 31. N. 1. P. 33-42.

^- + (г<У)м=-У2/ + Лм + Сг ву (13)

д\\>

-+ 114™ = —От у-а+Ам (14)

д1

д9 \

— + иЧЗ + м> = — АЗ (15)

д( Рг

&уй=0 (16)

3 9 г

у|г=(Й,^)|г=0,— (17)

сп г 5

Здесь и = (, У у ) и XV - поперечные и продольная компоненты скорости, 9 — отклонение температуры от теплопроводного распределения, / - не зависящая от продольной координаты часть давления, у -вертикальная координата, У2 - дифференциальный оператор, действующий в плоскости {х,у), От = gjЗAHA/у2 - число Грасгофа, Рг = X ~ число Прандтля. Использованы следующие единицы измерения: для скорости V/Н, для температуры АН, для времени Нг/у, для расстояния Н, Н - высота канала. Безразмерным параметром задачи является также и 1 = Ь/Н - отношение ширины поперечного сечения канала к его высоте. Для отличных от нуля значений числа Прандтля сформулированная задача не допускает решений, соответствующих плоскопараллельному течению3.

Для анализа устойчивости стационарных адвективных течений вводились малые возмущения скорости, температуры и давления, периодические вдоль оси канала. Их эволюция определяется следующей системой уравнений:

ди тт ди ди„ ди ди„ „, др . ,г

— + £/„— + и-- + К0-+ у-+ =--— + Аи-к2и (18)

¿К дх дх ду ду дх

д1 дх дх ду ду ду

Lyubimova T.P., Lyubimov D.V., Morozov V.A., Scuridin R.V., Ben Hadid H., Henry D. Stability of convection in a horizontal channel subjected to a longitudinal temperature gradient. Part 1. Effect of aspect ratio and Prandtl number II J. Fluid Mech. 2009. Vol. 635. P. 275-295.

-+ v-- + ikWaw = -ikp + Aw-k2w

ây ây

¿3d Ч

Va — + v—■'- + ikWß+w = —AS

ây ây 0 Pr

J_ Pr

(21)

(22)

dx ây

Здесь и0,¥а,Щ),Т0 - компоненты скорости и температура основного решения; г*, v, iv - горизонтальная, вертикальная и продольная компоненты возмущений скорости; 9 — возмущение температуры; р - возмущение давления. Специального рассмотрения требует случай равенства нулю волнового числа: к = 0 (спиральные возмущения).

Для численного исследования устойчивости стационарного течения применялись два разных метода. В соответствии с первым методом осуществлялось прямое численное решение уравнений для возмущений от некоторого начального состояния методом конечных разностей с использованием явной схемы дискретизации по времени; анализ временной эволюции возмущений позволял определять инкремент возмущения и строить нейтральные кривые. В соответствии со вторым методом, предполагалась экспоненциальная зависимость возмущений от времени: ем. Дискретизация уравнений методом ко-

нечных разностей приводила к обобщенной алгебраической проблеме собственных значений. Для решения алгебраической проблемы использовался разработанный Д.В. Любимовым, Т.П. Любимовой и В.А. Морозовым программный пакет4. Расчеты проводились для прямоугольных областей с разными отношениями ширины поперечного сечения канала к его высоте: 1, 2 и 4. Основные вычисления проводились на равномерной сетке с шагом 1/80.

Получены нейтральные кривые, карты устойчивости (рис. 1) и структура критических возмущений для плоской гидродинамической, монотонной и колебательной спиральных мод неустойчивости.

Как видно из рис. 1, при малых числах Прандтля, неустойчивость, как и в случае плоского бесконечного горизонтального слоя, связана с развитием гидродинамических возмущений, развивающихся на грани-

4

Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Morozov V.A. Software package for numerical investigation of linear stability of multi-dimensional flows // Bull. Perm Univ. Information Systems and Technologies. 2001. N. 5. P. 74-81.

це встречных потоков. С увеличением числа Прандтля за неустойчивость становятся ответственными сначала колебательные, а затем монотонные спиральные возмущения. Уменьшение ширины поперечного сечения канала приводит к стабилизации всех трех названных мод неустойчивости и понижению как числа Прандтля, при котором наблюдается стабилизация гидродинамической моды, связанная с формированием устойчивой температурной стратификации в области образования вихрей, так и числа Прандтля, при котором стабилизируется спиральная колебательная мода неустойчивости. Как и в случае идеально теплопроводных границ3, наблюдается также резкая стабилизация гидродинамической моды, связанная с выносом энергии возмущений из центральной части канала к боковым стенкам — эффект, не имеющий места в случае плоского горизонтального слоя.

Рис. 1. Карта устойчивости на плоскости / Рг-вг: сплошные линии - гидродинамическая мода неустойчивости, штриховые - спиральная колебательная мода, штрихпунктирные -спиральная монотонная мода; 1 — / = 1, 2 - / = 2,3- / = 4, 4 -плоский горизонтальный слой

-]—I I 111 м 0.0001 0.001

В третьей главе выполнено численное исследование трехмерных адвективных течений в горизонтальном канале квадратного поперечного сечения и конечной длины в случае теплоизолированных боковых границ.

Задача решалась в терминах «скорость-давление» численно с помощью коммерческого пакета прикладных программ FLUENT 6.3.26, входящего в состав программного комплекса ANSYS и предназначенного для моделирования течений жидкости и газа. Использовалась

нестационарная постановка; проводилось наблюдение за выходом на стационарные значения ряда характеристик течения. Для дискретизации по времени использовалась неявная схема второго порядка, для дискретизации по пространству - схема третьего порядка MUSCL5 (Monotone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws), представляющая собой объединение схемы центральных разностей и схемы второго порядка «назад». Расчеты проводились на равномерной сетке с кубическими ячейками. Величина шага сетки выбиралась на основании серии тестов, которые заключались в решении той же задачи с использованием сеток разного размера и анализе сходимости результатов вычислений при измельчении шага сетки.

GrxlO 1210

Рис. 2. Влияние длины канала Ь на числа Грасгофа, при которых происходит изменение вида симметрии течения (кривая 1) и возникает колебательный режим (кривая 2); Рг = 0.01

2 4 6 Ь

Расчеты показали, что на структуру течения существенно влияют число Грасгофа, число Прандтля и длина канала; при различных значениях этих параметров течение может по-разному вести себя во времени и обладать различными видами симметрии. Определены зависимости критических значений числа Грасгофа, при которых происходят смены режимов течения, от числа Прандтля и длины канала (рис. 2). Найдено, что возможны различные варианты перехода к колебательным режимам течений (бифуркация Хопфа): либо с предварительным нарушением симметрии течения (вилочная бифуркация), либо без смены симметрии. Обнаружена область параметров, в которой имеет место лишь вилочная бифуркация, а колебательные режимы течения не возникают.

5 Kurganov A., Levy D. A third-order semidiscrete central scheme for conservation laws and convection-diffusion equations II SIAM J. Sci. Comput. 2000. V. 22. P. 1461-1488.

В четвертой главе рассмотрено влияние акустического воздействия на стационарное адвективное течение в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами и его устойчивость.

Использовалось осредненное описание движения жидкости. Уравнения для осредненных полей имеют тот же вид, что и обычные уравнения свободной тепловой конвекции в приближении Буссинеска. Акустическая волна генерирует осредненную завихренность в пограничных слоях вблизи твердых стенок канала. Этот эффект описывается с помощью эффективных граничных условий6. При использовании тех же, что и в главе 2, единиц измерения получается та же самая система уравнений и граничных условий, что и в отсутствие волны; отличие состоит лишь в условии для продольной компоненты скорости на границах: и>=Яе, где Ке = За2а>2Н/4су - пульсационное число Рей-нольдса, а и со — амплитуда и частота акустического воздействия, с — скорость звука, V - кинематическая вязкость жидкости, Н — высота поперечного сечения канала. (-¡г ^ ^ . Рис. 3. Границы ус-

тойчивости стационарного течения на плоскости Рг - Ог в случае 1 = 4: сплошные линии - гидродинамическая мода, штриховые линии -спиральная колебательная мода, штрих-пунктирные линии -спиральная монотонная мода; 1 - Ие = 0 , 2 - Яе = 200, 3 -Яе = 500

0.0001

Для исследования стационарного адвективно-акустического течения и его устойчивости применялись те же методы, что и в главе 2. По-

Любимов Д.В., Шкляев С В. Об устойчивости адвективного термоакустического течения // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000.№З.С. 10-21.

лучены численные данные об устойчивости термоакустического течения при разных числах Прандтля и Рейнольдса для значений относительной ширины канала, равных 1, 2 и 4. Найдено, что акустическая волна оказывает стабилизирующее влияние на гидродинамическую и спиральную колебательную моды неустойчивости и дестабилизирующее влияние на спиральную монотонную моду (рис. 3).

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты

1. С учетом эффекта Соре исследовано стационарное адвективное течение бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с адиабатическими границами. Выявлен диапазон значений параметра термодиффузии, в котором стационарное решение неоднозначно.

2. Определены границы линейной устойчивости стационарного течения по отношению к различным модам неустойчивости для ряда типичных жидких и газовых смесей. Найдено, что в случае аномальной термодиффузии при значениях параметра Соре, меньших некоторого значения, для всех смесей наиболее опасными являются длинноволновые возмущения. Обнаружено значительное влияние термодиффузии на газовые смеси. Выполнено численное моделирование двумерных нелинейных режимов течения.

3. Исследовано стационарное адвективное течение однокомпонент-ной жидкости в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами. Определены границы устойчивости этого течения по отношению к плоским и спиральным возмущениям для различных отношений сторон поперечного сечения канала. Показано стабилизирующее влияние стенок канала на течение.

4. Исследованы трехмерные адвективные течения в горизонтальном канале конечной длины. Показано, что при увеличении числа Грасгофа наблюдаются вилочная бифуркация, сопровождающаяся изменением типа симметрии течения, и бифуркация Хопфа. В зависимости от числа Прандтля и длины канала возможны разные варианты перехода к колебательным режимам течения: либо с предварительным нарушением симметрии течения, либо без смены типа симметрии.

5. Рассмотрено влияние акустического воздействия на адвективное течение в длинном горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами и его устойчивость. Найдено, что акустическая волна оказывает значительное стабилизирующее влияние на гидродинамическую и спиральную колебательную моды неустойчивости и дестабилизирующее влияние на спиральную монотонную моду. При малых числах Прандтля, характерных для жидких металлов, акустическое воздействие может применяться в качестве фактора, стабилизирующего адвективное течение.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Численное исследование устойчивости течений в горизонтальном канале // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2005. С. 67-68.

2. Никитин Д.А. Численное исследование устойчивости адвективных течений в горизонтальном слое // IX Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики». Тез. докладов. Новосибирск. 2006. С. 83-84.

3.Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективных течений двухкомпонентной смеси в горизонтальном слое // Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Тез. докладов. Пермь. 2006. С. 48-49.

4. Любимова Т.П., Никитин Д.А., Перминов A.B. Устойчивость адвективных течений бинарной смеси в плоском горизонтальном слое // XV Зимняя школа по механике сплошных сред. Сборник статей. Пермь. 2007. Ч. 2. С. 340-343.

5. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Численное исследование устойчивости адвективных течений в горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами // Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2007. С. 290-293.

6. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения однокомпонентной жидкости в горизонтальном канале прямоугольного сечения с теплоизолированными границами // Межвузовская науч-

но-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». Тез. докладов. Пермь. 2008. С. 2122.

7. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами // Молодежная конференция «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Сборник докладов. Новосибирск. 2008. Вып. XI. С. 217-220.

8. Lyubimova Т.Р., Nikitin D.A., Perminov A.V. Stability of a binary fluid convective flow in a horizontal layer subjected to a longitudinal temperature gradient // «8th International Meeting on Thermodiffusion». Abstracts. Bonn, Germany. 2008. P. 162-163.

9. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения с адиабатическими границами // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2008. С. 215-218.

10. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость и нелинейные режимы адвективного течения двухкомпонентной смеси в плоском горизонтальном слое с теплоизолированными границами // XVI Зимняя школа по механике сплошных сред «Механика сплошных сред как основа современных технологий». Тез. докладов. Пермь. 2009. С. 245.

11. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Численное исследование трехмерных адвективных течений в горизонтальном канале прямоугольного сечения // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2009. С. 165-168.

12. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Никитин Д.А., Перминов A.B. Устойчивость адвективного течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое с идеально теплопроводными границами // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2010. № 3. С. 129-139.

13. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном цилиндре квадратного сечения с адиабатическими боковыми границами // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. Пермь. 2010. С. 158-161.

14. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном канале квадратного сечения с теплоизолированными

боковыми границами // XVII Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. докладов. Пермь. 2011. С. 208.

15. Любимова Т.П., Никитин Д.А. Устойчивость адвективного течения в горизонтальном канале прямоугольного сечения с адиабатическими границами II Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 2. С. 82-91.

16. Любимова Т.П., Ишситпп Д.А. Трехмерные адвективные течения в горизонтальном цнлнндрс квадратного сечения с теплоизолированными боковыми границами II Вычисл. мех. сплош. сред. 2011. Т. 4. №2. С. 72-81.

17. Любимова Т.П., Никитин Д.А., Скуридин Р.В. О влиянии акустической волны на устойчивость адвективного течения в плоском слое // Вестник Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 5 (9). С. 143-147.

18. Lyubimova Т.Р., Nikilin D.A. Three-dimensional advective flows in a horizontal cylinder of square scction with thermally insulated lateral boundaries // Fluid Dynamics. 2011. Vol. 46. N. 6. P. 975-983.

Подписано в печать 11.04.2012 г. Формат 60x90/16 Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 021 от 11 апреля 2012 года Отпечатано в Типографии ИП Корман Г.Н. 614000, г. Пермь, ул. М. Горького, 49

61 12-1/1056

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД УрО РАН

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ АДВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В СЛОЯХ И КАНАЛАХ С АДИАБАТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Щ правах рукописи

/

Никитин Дмитрий Алексеевич

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Т.П. Любимова

Пермь-2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................4

1. Обзор литературы........................................................................................4

1.1 Адвективные течения однокомпонентных жидкостей......................5

1.2 Адвективные течения бинарных смесей.........................................................................17

1.3 Влияние акустической волны на адвективные течения...................21

2. Общая характеристика работы..................................................................24

ГЛАВА 1

УСТОЙЧИВОСТЬ И НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЖИМЫ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ С

АДИАБАТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ.........................................................31

Введение.........................................................................................................31

1.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения................................... 33

1.2. Основное решение..................................................................................35

1.3. Задача устойчивости основного состояния.........................................37

1.4. Численные результаты...........................................................................39

1.5. Нелинейные режимы..............................................................................47

Заключение.......................................... ............................................................50

ГЛАВА 2

УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С АДИАБАТИЧЕСКИМИ

ГРАНИЦАМИ...................................................................................................51

Введение.........................................................................................................51

2.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения...................................51

2.2. Исследование устойчивости стационарных решений........................55

2.3. Численные результаты...........................................................................58

2.3.1. Стационарное течение.....................................................................58

2.3.2. Устойчивость основного течения...................................................61

Заключение.....................................................................................................77

ГЛАВА 3

ТРЕХМЕРНЫЕ АДВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ КВАДРАТНОГО СЕЧЕНИЯ С ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМИ

БОКОВЫМИ ГРАНИЦАМИ...........................................................................79

Введение.........................................................................................................79

3.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения...................................80

3.2. Метод решения.......................................................................................81

3.3. Численные результаты...........................................................................83

Заключение.....................................................................................................91

ГЛАВА 4

УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ДЛИННОМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С АДИАБАТИЧЕСКИМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ НАЛИЧИИ

АКУСТИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ............................................................92

Введение.........................................................................................................92

4.1. Постановка задачи. Определяющие уравнения...................................93

4.2. Численные результаты...........................................................................95

4.2.1. Стационарное течение при наличии акустической волны..........95

4.2.2. Влияние акустической волны на устойчивость стационарного течения.........................................................................................................96

Заключение...................................................................................................101

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................104

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..............................................................................106

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор литературы

Конвективные течения возникают в жидкостях и газах в поле тяжести при наличии пространственной неоднородности плотности, создаваемой неоднородностью температуры или какой-либо другой причиной. С увеличением разности температур интенсивность конвективного течения возрастает, и оно становится неустойчивым. При этом возникает конвективное течение другой структуры. Оно тоже может потерять устойчивость при дальнейшем увеличении разности температур. Вопрос устойчивости конвективных течений подробно рассмотрен в монографиях [1,2].

Конвективные течения проявляют различные виды механизмов неустойчивости, поскольку имеют более разнообразный спектр характеристических возмущений по сравнению с изотермическими течениями.

Имеют место три механизма конвективной неустойчивости. Первый из них связан с передачей энергии основного течения возмущениям. В конвективных течениях, образуемых встречными потоками, этот механизм имеет свои особенности. Вязкие вихри формируются на границе потоков при сравнительно небольших скоростях. В отсутствие встречных потоков гидродинамическая мода неустойчивости в конвективных течениях имеет вязкую природу и развивается при больших скоростях, как и в чисто гидродинамических задачах.

Второй механизм - неустойчивость релеевского типа. Данный механизм действует при наличии вертикальной разности температур в слоях с потенциально неустойчивой вертикальной стратификацией, возникающей в результате подогрева или создающейся структурой течения, например при адвективном течении в горизонтальном слое или в наклонных слоях.

Третий механизм неустойчивости, присущий именно конвекции, обусловлен тепловыми волнами, которые являются результатом взаимодействия нестационарных тепловых и гидродинамических возмущений.

1.1 Адвективные течения однокомпонентных жидкостей

В последние годы проявляется большой интерес к задаче о тепловой гравитационной конвекции при наличии горизонтального градиента температуры, обусловленный ее многочисленными техническими и геофизическими приложениями. К ним, в частности, относятся закономерность процессов термодиффузионного разделения изотопов, кристаллизации (см. работы [3, 4]), тепловые режимы электрической аппаратуры, особенности теплового взрыва в химически реагирующей смеси, поведение плазмы, тепловые режимы хранения нефтепродуктов в емкостях и процессы, происходящие в химической технологии, конвективная неустойчивость Солнца и звезд, конвективные структуры атмосферы и океана. Конвективная устойчивость является частным случаем явления гидродинамической устойчивости, исследованной в работах [5-9].

Адвективным течением называется конвективное течение при наличии горизонтального градиента температуры. Особенностью данного течения является то, что его скорость ортогональна подъемной силе.

В литературе имеется много работ, посвященных исследованию одно-и двумерных адвективных течений однокомпонентных жидкостей в плоском горизонтальном слое или вытянутой по горизонтали прямоугольной области, для различных типов тепловых условий на границах. Устойчивость адвективного течения однокомпонентной жидкости в плоском горизонтальном слое с твердыми границами численно, с применением метода Галеркина исследовалась ранее в работах [10] (относительно плоских нормальных возмущений), [И] (относительно

пространственных нормальных возмущений) для случая идеально теплопроводных границ. Получены серии нейтральных кривых для различных чисел Прандтля. Результаты этих работ приведены также в монографии [2]. Наиболее всестороннее . рассмотрение задачи устойчивости адвективного течения в плоском слое с идеально теплопроводными границами, результаты линейной теории устойчивости и обсуждение механизмов неустойчивости даны в работе [12]. В работе [13] приведен спектр декрементов возмущений, в [14] дана форма критических возмущений. Возмущения функции тока имеют форму неподвижных вихрей, занимающих весь поток. Вторичное течение представлено в виде системы неподвижных валов на границе встречных потоков, периодической вдоль оси. С ростом числа Прандтля критическое волновое число уменьшается.

Стабилизация гидродинамической моды с ростом числа Прандтля обусловлена видом возмущений. В области возникновения вихрей присутствует устойчивая стратификация пс» плотности. Развитие гидродинамических вихрей подавляется подогревом сверху, поскольку формируемый течением вертикальный градиент температуры увеличивается с ростом числа Прандтля.

Наблюдаемая при умеренных и больших числах Прандтля неустойчивость имеет конвективную природу. В обширном диапазоне чисел Прандтля наиболее опасными оказываются коротковолновые возмущения с кт~4, что демонстрируют приводимые нейтральные кривые. При увеличении Рг от 0.6 до 50 фазовая скорость критических возмущений монотонно возрастает от 0.67 до 0.86 и слабо от него зависит.

Структура плоских релеевских мод представляет собой ячейки, локализованные в верхней или нижней области слоя, у твердых границ в регионах неустойчивой стратификации. Наложение этих возмущений на основное течение порождает две встречные волны, распространяющиеся вдоль верхнего и нижнего потоков.

В работе обнаружены четная и нечетная монотонные спиральные моды. Нечетные возмущения - два расположенных друг над другом вихря противоположенного направления, образующиеся у границ слоя в областях, где течение создает условия подогрева снизу. Для четных возмущений основные вихри расположены у верхней и нижней твердых границ слоя и вращаются в одном направлении. Между ними формируется слабый вихрь, вращающийся в противоположном направлении. Центры основных вихрей находятся в областях неустойчивой стратификации. Критические числа Грасгофа четной и нечетной мод близки в широком диапазоне чисел Прандтля, минимальное критическое волновое число к ~4.

тп

Структура вторичных течений исследовалась численно, с использованием метода сеток в работе [15]. На основе решения системы полных нелинейных уравнений изучены конечно-амплитудные вторичные режимы для чисел Прандтля 0.1 и 1, исследованы плоские и спиральные пространственные течения. Выявлено, что в окрестности минимумов нейтральных кривых происходит мягкое ответвление вторичного режима, его амплитуда вблизи порога при этом увеличивается по корневому закону с ростом надкритичности. Конвективная составляющая поперечного теплового потока растет по линейному закону.

В общей сложности обнаружено четыре типа неустойчивости адвективного течения. Точка перегиба в профиле скорости приводит к существованию чисто гидродинамической моды неустойчивости в виде неподвижных вихрей на границе встречных потоков. В слоях жидкости с неустойчивой стратификацией по температуре возникает конвективная релей-бенаровская монотонная и волновая неустойчивость, а в устойчиво стратифицированной средней области формируются внутренние тепловые волны. Волновая неустойчивость проявляется в виде пары волн с равными по модулю и противоположными по направлению фазовыми скоростями.

Согласно полной диаграмме устойчивости [12], плоские монотонные гидродинамические возмущения наиболее опасны при малых числах Прандтля 0<Рг<0.14. В диапазоне 0.14 <Рг< 0.44 неустойчивость вызвана спиральной волновой модой, с последующим ростом числа Прандтля за неустойчивость ответственны монотонные спиральные возмущения. Плоские релеевские моды не являются наиболее опасными при любых числах Прандтля.

Задача устойчивости адвективного течения в горизонтальном слое с нижней твердой и верхней свободной (предполагаемой плоской) границами решалась численно, методами Галеркина и Рунге-Кутты с ортогонализацией в работах [16, 17]. В случае, когда преобладает термогравитационная компонента конвекции, кризис течения вызван либо плоской гидродинамической модой (Рг< 0.075), либо спиральной релеевской модой (Рг > 0.075). Как и в слое с обеими твердыми границами, по мере увеличения числа Прандтля гидродинамическая мода стабилизируется. В рассматриваемом случае распределение скорости не имеет определенной четности, и эта мода не является стоячей: система вихрей дрейфует вместе с верхним потоком с фазовой скоростью около 0.3 от максимальной скорости на свободной границе. Гидродинамическая мода имеет длинноволновый характер: при увеличении числа Прандтля от 0.01 до 0.15 минимальное критическое волновое число кт уменьшается от 0.5 до 0.3. При Рг> 0.075 неустойчивость обусловлена спиральной монотонной модой, локализованной в области неустойчивой стратификации вблизи нижней границы. С увеличением числа Марангони наступает стабилизация гидродинамической моды, неустойчивость вызывается спиральной модой. Минимальное критическое волновое число для спиральной неустойчивости слабо зависит от числа Прандтля и равно кт ~ 3.5. Определены также границы устойчивости относительно плоских

релеевских возмущений и спиральных возмущений, генерирующихся в верхней неустойчиво стратифицированной области. Эти возмущения не

являются наиболее опасными при любых числах Прандтля. В работе [18] выполнен расчет конечно-амплитудных спиральных режимов. Система полных нелинейных уравнений решалась методом конечных разностей. Показано, что при критическом значении числа Грасгофа от основного течения мягко ответвляется вторичный режим. По мере достижения второго критического числа, соответствующего появлению неустойчивости в верхнем неустойчиво стратифицированном слое, происходит жесткая перестройка структуры течения и закона теплопереноса, сопровождающаяся гистерезисными явлениями.

Случай больших чисел Марангони соответствует переходу к термокапиллярному течению, которое в чистом виде может быть реализовано в невесомости. В земных условиях существенное преобладание термокапиллярной компоненты конвекции над термогравитационной может иметь место в достаточно тонких слоях. В этом предельном случае течение устойчиво (если на свободной границе при этом поддерживается линейное распределение температуры). Гидродинамическая мода отсутствует, поскольку профиль скорости в этом пределе не имеет точки перегиба, а отсутствие термогравитационной силы не допускает существования релеевской моды. Рассмотрению задачи устойчивости термокапиллярного течения в более общей постановке посвящены работы [19-21]. Влиянию термокапиллярных течений на устойчивость течения в горизонтальном слое посвящена также работа [22].

В работе [23] численно, методом Галеркина исследована устойчивость адвективного течения однокомпонентной жидкости в плоском горизонтальном слое с твердыми адиабатическими границами. Данный тип тепловых граничных условий представляет особый интерес применительно к адвективным течениям жидких металлов с высокой теплопроводностью. Течение в слое с такими граничными условиями характеризуется отсутствием зон потенциально неустойчивой температурной стратификации, исключая тем самым существование мод релеевской

природы. В результате решения линейной задачи устойчивости обнаружены плоская монотонная гидродинамическая и спиральная колебательная моды неустойчивости. Последний из упомянутых режимов развивается на фоне устойчивой стратификации и связан с возбуждением внутренних волн.

Результаты работы [23] были подвергнуты ревизии в [24]. Согласно результатам этой работы, данные относительно гидродинамической и спиральной волновой мод качественно подтверждаются, однако при этом имеют место существенные количественные отличия: границы устойчивости, приведенные в [23], занижены. Гидродинамическая мода резко стабилизируется при Рг « 0.12, а спиральная волновая - при Рг и 0.2. Кроме того, обнаружена еще спиральная монотонная мода. При числах Прандтля Рг < 0.033, неустойчивость приводит к формированию стационарных плоских ячеек. В диапазоне значений числа Прандтля 0.033 < Рг < 0.2 имеет место колебательная неустойчивость, критические возмущения имеют вид валов с осями, параллельными направлению основного течения (спиральные возмущения). По мере дальнейшего роста числа Прандтля наиболее опасными становятся монотонные спиральные возмущения. Результаты линейного анализа устойчивости согласуются с подробными численными расчетами конечнотамплитудных структур, соответствующих разным модам неустойчивости [25-27].

Колебательный режим возмущений при адвективном течении жидкого металла наблюдался в экспериментах [28-30] с жидким галлием и в [23], [31, 32] со ртутью. В последнем случае специально создавалась установка с достаточной протяженностью слоя в горизонтальной плоскости, чтобы сделать возможным распространение внутренних волн.

Для появления спирального колебательного режима неустойчивости необходимо наличие в слое достаточно выраженной области устойчивой стратификации, в которой могли бы генерироваться внутренние волны. При этом факторы подавления (например, влияние вязкости у стенок) не

должны быть слишком выраженными. В таком случае можно ожидать, что развитию рассматриваемой моды способствуют свободные границы слоя. Действительно, в работе [33] на основе асимптотич�