Устойчивость и стабилизация движения на конечном отрезке времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

РГ6 од

„ ...лслзахскии государственный национальный

¡' ' • ' УНИВЕРСИТЕТ ИМАЛЬ-фАРАЕИ

На права.:-: рукописи

СИХОВА САРА БАХИТЗЗСАНОВНА

УДК 62-50

устойчивость н стабилизация

ДВПЯЕНПЯ НА КОНЕЧНОЙ ОТРЕЗКЕ ВРЕНЕЯЛ

Специальность 01. 01. 11 - Системный анализ и автк>матачес:<ое управление

Автореферат

диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-натематанеазсс наук

Алмато - 1993

Работа выполнена на кафедре кибернетики Казахског государственного Национального университета им.Аль-фара би

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент Т. Н. ЕИЯРОВ

Официальные оппоненты: - член-корреспондент АН РК,

доктор физико-математических наук, профессор А, Т. ЛУКЬЯНОВ

- кандидат Сизико-математиче ских наук, СНС С. С. КУМАГОВ

Ведущая организация - Казахский ордена Трудового

Красного Знамени полигехническ институт им. К И. Ленина.

Защита диссертации состоится " ЗЛ " МЖЛ- 1993 в Л 0° часов на заседании специализированного Совета К 05в. 01. 19 по защите диссертаций на соискание ученс степени кандидата физико-математических наук в Казахскс государственном Национальном университете им. Алъ-фараби по адресу: 460012, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47.

С'диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " " 1993 г.

Ученый секретарь социализированного Совета, доцент

Ш. А АИПАНС

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуаяьность^аЗоты. Понятие об устойчивости движения является одним из наиболее важных понятий,с которнш приходится сталкиваться прл изучении различных процессов,происходящих в реальной, действительности«Основы теории устойчивости движения были созданы эддащимся ученым-академиком А.М.Лялу-ношы.Так называемый второй (прямой) метод А.М.Ляпунова является мопдаы строгим аналитическим методом исследования нелинейных систем автоматического управления.Он был достаточно полно освещен в известной монографии А.М.Ляпунова, а также в работах Н.Г.Четаева, И.Г.Малкина, К.П.Персидского, Н.Н.Красов-ского .В.И.Зубова, Е.А.Барбашгка, А.М.Летова и других.

3 представление!!: диссертационно!! работе поставлены и реше-Ш1: задача устойчивости и стабилизации движения на конечном отрезке времени динамических систсм, опясываемых обыкновенными дифференциальны.:!! уравкенияш; задача устойчивости по выходу; оптимальной стабилизации н устойчивости по отношении к части переменных на конечном отрезке времени. Как известно, метод фикции Ляпунова предполагает бесконечность рассматриваемого временного интервала, тогда как почти нее реальные системы функционируют на конечном интервале временя,то предлагаемый новый подход к решению проблемы устойчивости на конечном отрезке времени представляется весьма актуальной.

Цель_работн. Исследование вопросов устойчивости я о£аЗялл-зациц двиненая на конечном отрезке времени,обеспечивающее точное попадания к началу координат за конечный прсмезуток времени ;а также оптимальная стабилизация и обеспечение ^ -устойчивости двиг-ения на конечном отразке временя. Пргмеиенке

полученных результатов к исследованию нелинейных систем автоматического управления, определенные на конечном промежутке времени.

йето£ы_яссле£омл;!Я. В основе исследований лежат методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории матриц, теории устойчивости движения и теории управляемости.

Научная новизна. Введено новое понятие устойчивости на конечном отрезке времени, в отличии от известных работ Н.Г.Че-таева» В.Г.Каменкова, К.Л.Абгаряна и других, и впервые показаны возможности решения задачи устойчивости и стабилизации движения на конечном отрезке времени, а также задачи управляемости нелинейных систем на основе дальнейшего развития метода функции Ляпунова,применительно к конечному интервалу времени. Эта задача решена также при наличии ограничения на управление ' и для различных классических постановок задач : об устойчивости по выходу системы, когда не все координаты физически измеримы; об абсолютной устойчивости на конечном отрезке времени нелинейной системы Лурье-Постникова; об оптимальной стабилизации двекения а об у -устойчивости, движения, применительно к конечному промежутку!'временя.

Практическая денность. Основные теоретические работы сформулированы в виде теорем, которые сопровождаются строгими математическими доказательствами. Практическая ценность полученных результатов подтверждается решениями прикладных задач, рассматриваемых на конечном отрезке времени,таких как стабилизация двпкания управляемых осцилляторов и синхронного генератора , а такке многочисленными приложениями к регулируемым системам в технике, экономике и т.д.

Апробш^я_раЗоты. Основные результаты диссертации докладывались и обсувдались на межвузовских конференциях-вонкурсах молодых учешх и специалистов Казахского государственного Национального университета ш. Аль-Сараба ( 12-15 июня 1990 года ; 24-26 марта 1993 года),на научной конференции " Бедель-баевские научные чтения" (10 декабря 1990 года,Алматы9КазПТИ им. В. Меняна), на Украинской научной конференции ЧЛоделиро-вшше и исследование устойчивости процессов" (26-28 г,зя 1992 года.Киев). .

_Пуй1ли1каа2и>а. По теме диссертации опубликованы 4 печатных работ, список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структхра работа^ Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и изложена на 90 страницах.Список использованной литературы содержит 69 наименований.

ООДЕШНИЕ РАБОТЫ.

Во_ввеаеняи обосновывается актуальность направления исследования,приводится краткий обзор литература по устойчивости двигая на конечном интервале времени,а тшшэ изложено новое определение устойчивости на конечном отрезке времени и приведет основные результаты.

В пе_£Вой_главе _(§ I.I) рассьйтривается уравнение возмущенного движения:

г (1)

0Cl%)= ; WojTJ з

где X* } 1 = Цъц+Н>о1,

ТС^уХ) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности Каратеодори.

Вводится следующее

Определение I. Положение равновесия ее = о систеш (I) называется устойчивым на конечном отрезке времени (ЮВ), если дая всякого конечного £> О можно подобрать другое число

$(£.} О .такое,что для всех возмущенных движений Х{£) , дая которых ^ , будет выполняться неравенство

\1Х(6)П*£ , УбеС^Т) и

= (2)

Ь->Т

Достаточное условие устойчивости движения на КОВ для систеш (I) устанавливает следующая .

Теорегла I. Если дня уравнения возмущенного движения {I), существует Т - определенно-положительная функция

.допускающая бесконечно большой низший предел при -¿-»Т и с зкакоотрицательной полной производной по времени в силу системы (1),то положение равновесия устойчиво на КОВ.

В $ 1.2 главы I рассматривается уравнение движения с управлением:

= ).Ш)о)о)вО

¿ь ■> > > }

х(и)=-х0 7и С-ЬоТЛ ,

где й. ; вектор управляющих воздейстий:

I/£ С.

Рассматривается следующая задача:

За£ача_1.. (задача о стабилизации на КОВ). Требуется найти такие управляющие воздействия X) 1/ , которые обеспечивают устойчивость на КОВ положения равновесия Х= О системы (3).

Определенный ответ на .поставленную задачу дает следующая

Теорема 2. Если для уравнения возмущенного движения (3) при ъСа)х)с 1/ существует Т- определенно-положительная функция 1/?£} х) £ С ^' ^ ^ ) .допускающая бесконечно большой низший предел при Ь.~*Т и с знакоотрицательной полной производной по времена ~Ь в силу системы (3),то управление г£&,Т)<£~1/' осуществляет стабилизацию движения системы (3) на ИЗВ.

Здесь рассматривается также линейная нестационарная система:

±£С-Ь0>Т) ; (4) где -матрицу размерности Ь-К Уи, % соот-

О

ственна? X - и^ - мерный векторнфункция; и - 1 -мерный вектор управления.Здесь ограничения ва управления не наложено.

Пусть = в№) & (О ,где &(■€) - фундаменталь-

ная матрица решений' линейной однородной системы

Достаточное условие стабилизации движения на КОВ для системы (4) устанавливает следующая Георема 3. Управление вида

где

(6)

■6

-положительно-определенная матрица осуществляет стабилизацию движения система (4) на ИОВ. Здесь же рассмотрен случай,когда на управление наложено ограничений вида:

Ц и.(-Ь>Х.)\\ <х ) > О } ' (7)

и рассмотрена стабилизация двиаения управляемых осцилляторов.

В § 1.3 главы I рассматривается линейная нестационарная система: . 4

ц = 3 ЬеС±0}Т) ;

где

-матрицы размерности И,х , Рхк» -соответственно; X , 1с , ^ -векторы порядка

Справедлива следующая теорема

Теорема 4. Пусть выполняются следующие условия :

1) <иаси)с*/ь)31о} ¿еС10)т}}

2) матрица

у(-ь, Г) = 1<з?(1Х) ъсг) "р ^ гиг дая

нолоеи талыго-определе нная. Тогда удрааление вида

где

осуществляет стабилизации движения системы (.8) на КОВ по шхо-ДУ ^ .

Вторая_глава_ диссертационной работы посвящена вопросам стаоилизации нелинейных систем автоматического управления на КОВ.

рассматривается система Лурье-Постникова : акс

хк.)=Ъу иИ10,т)> ^

где Ъ(Ь)УС&)- раз мерное гя ккп-, г^л! ,

пик к- ~ матрицы, соответственно; , у ) - уг^ - мерные вектор-функций; ) удовлетворяет секторным ограничениям

; - ю -

Нведем следующие ооозначенля:

Для системы (9) достаточное условие стабилизация движе ния дазт следующая

Теорема jj. Пусть выполняются все условия теоремы 3 для систе?лы (4) и

х) к = °, ^ s R > <? /

'¿) М (£) - положительно-определенная матрица ;

3; управление li-tt,^) имеет вид:

ULt,-x.)=lC(t)^)tVíé}oc) , (D

где ^ - мерная вектор- функция

определяется из условия , _ * *

4) O^fCB(£) = 0 только лишь при Х-О .

Тогда управление вида til) разрешает задачу о стабили; ция движения на КО В для сиотеш (9).

В этой главе рассмотрена также задача об устойчивости KDB система (9) при наличии ограничения на управления В качестве примера рассмотрена задача о стабилизации движе! синхронного генератора на KD3.

В третьей главе рассматривается следующая задача:

3a¿a4a_2i(o6 оптимальной стабилизации на KDB). Требует найти управление

.обеспечивающее устойчивое

- II - ■

[важешя на КОВ системы (3), причем каково бы нд было другое 'правление и* ) »яатяэдееся решением задачи I должно заполняться неравенство

."ДО

= -ГЦ )} ) ) ¿Ь -заданный

функционал.

Обозначим через

Я СУ^зХ^+иГи,*., и-) у ¿¿г

Определенный ответ на поставленную задачу 2 дает следующая

Теорема 6. Предположим,что существуют функции \Д,х)£ (2*) и 14* к)гг V, ¿е[-¿0?т) .удонлет-норяющие следующим условия;.!:

положения равновесия системы (3) устойчиво на КОВ

2) , £*и0Т) ;

где 1А? (¿уС.) обеспечивает устойчивость траектории на КОВ.

Тогда функция Я1.=11с(-6рс) осуществляет оптимальную стабилизацию в классе ТГ , прячем

где

Ш)

- оценка сверху для

ш

Ылнлмизация функционала: Г

%) = [ы + иб Ш и, ш ы (12)

А» .

при условии "(4) ,где О(~Ь) - симметрическая неотрицательно-определенная неизвестная матрица С К.ХК- 1, КО.) - симметрическая полоеттельно-определенная непзвестя&ч матрица ( ), составляет содержание § 3.1.

Установлено следующее утверждение: Теорема 7. Управление вида

где

осуществляет оптимальную стабилизацию двикеняя систем« (4) с критерием качества (12) на ЮВ .

В четаертаЗ главе введено понятие ^ - устойчивости движения на КОВ, а такад решена задача об ^ - устойчивости движения на ШВ.

Основные^ез^льтаты ¿иссертшуш, вносигае на_залдат2 : I.Предлагается новнй подход к исследованию устойчивости и стабилизации движения на конечном отрезке времени, являющейся дачьнейпим развитием метода функция Ляпунова.В част-

ностя,получены условия стабилизации движения линейных нестационарных систем на конечном отрезке времени: I) при каличгк ограничения на управления ; 2) по выходу.

2.?ecieHa задача стабилизации движения на конечном огрез-ке времени одного tnacoa нелинейных систем автоматического управления.

3.Прелагается метод ресекия задачи об оптимальной стабилизации на конечном отрезке времени на основе метода функций Ляпунова. В частности, рассмотрена оптимальная стабилизация движения на конечном отрезке времени линейной нестационарной системы с квадратичным критерием качества.

4. Бесена задача устойчивости движения по отношению к части переменных на конечном отрезке времени.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКО ВАШИХ ПО Tií.ffi ДИССЕРТАЩШ

1.Бияров Т.Н., Сихова С.Б. Стабилизация линейной система на конечном отрезке времени по выходу // Тезисы докладов Украинской научной конференции, Киев, 1992 г.- С.21.

2.Сихова С.Б. О стабилизации движения на конечном отрезке времени с ограниченным управлением // Математическая кибернетика и управление движением .Алматы, 1990 г. - С.90-94.

3.Сихова C.E. 'Ч - устойчивость движения на конечном отрез-

ке времени // Библкогр.указ. "Хепонир. в КезНКИЕЫ-1 научные работы ".-Алматы ,1922 г., й 3762 -Ка 92 , вып.2. 4.Сихова С.Б. Оптимальная стабилизация линейных систем на конечном отрезке времени по выходу //Баблиогр. указ. " Де-понир. в КазНИКНКИ научные работы ". -Алматы , 1992 г., 8 5Г?63 -Ка 92, вып.2.