Устойчивость разветвляющихся решений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од 5 / ИЮЛ 1993

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имени Б.И.РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

КИМ-ТЯН Луиза Ревмировна

УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗВЕТВЛЯЮЩИХСЯ РЕШЕНИЙ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1993

Работа выполнена на кафедре "Высшей и прикладной математики" инженерно-строительного факультета Ташкентского Архитектурно-строительного института.

Научный руководитель - доктср физико-математических

наук, профессор ЛОГИНОВ Б.В.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор ХАПАЕВ М.М., кандидат физико-математических наук, доцент ШАРОВА Л.В.

Ведущая организация - Владимирский государственный

педагогический институт

Защита диссертации состоится " 4 " 1993г.

9 часов на заседании Специализированного совета

Д 015.17.21 в Институте математики им. В.И.Романовского АН Узбекистана по адресу: 700143, г.Ташкент, 143, ул. Ф.Ход-жаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В.И.Романовского АН Узбекистана.

Автореферат разослан M&JL 1993 г.

УченыР секретарь Специализированного совета

доктор физ.мат.наук (Д ■ РО^Л ХАШЮЖ Ш.А.

в

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория ветвления нелинейных функциональных уравнений возникла в начале XX века в работах

A.М.Ляпунова, Э.Шмидта и А.Пуанкаре .

Они показали, что задача о ветвлении решений нелиней -ных интегральных уравнений с аналитическими нелинейностя-ш эквивалентна исследованию уравнения разветвления (УР)-конечномерной системы неявных функций. Предложенный юли метод построения УР получил название метода Ляпунова-Шмидта. Дальнейшее развитие теории ветвления содержится в работах А.К.Некрасова, Л.Лихтенштейна, Н.Н.Назарова, Дж. Кронин, Ц.М.Еайнберга, В.А.Треногина, 1.1.А.Красносельского,

B.И.Юдовича, Н.А.Сидорова, Б.Е.Логинова и других авторов.

Основополагающие результаты в теории устойчивости били получены АЛЛ.Ляпуновым.

Ветвление решений Происходит, когда тривиальное (известное) решение теряет устойчивость при переходе определяющего ветвление параметра через критическое значение. Поэтому" исследование прикладной задачи естественно считать завершенным, когда кроме'построения асимптотики разветвляющихся решений рассмотрен вопрос об их устойчивости (неустойчивости) .

Гопросы устойчивости разветвляющихся решении рассматривались В.И.ЮдоЕичем ("¡¿от од линеа1изации в гидродинамической теории устойчивости". Изд. Ростовского ун-та. 1984 г.) и его учениками о гидродинамических .. приложениях, П.А.&до^оепм, Е.В.Логиновым, Х.КильхёИ'цхм, Р.ЛаутерСахом,

А. Вандербауведе и другими авторами.

Глубокие исследования обобщенной жордановой структуры, выполненные Ю.Б.Р/саком, позволили определить проекторы на корневые подпространства, сыгравшие ключевую роль в исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с вырожденным оператором при производной. Эти проекторы позволили также дать модификацию метода Ляпунова-Шмидта для изучения разветвляющихся решений, полезную также и в других задачах.

. Цель работы. I) Исследование на устойчивость решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной.

2) Исследование устойчивости разветвляющихся периодических и стационарных решений нелинейных уравнений.

Методика исследования. В работе используются общая теория дифференциальных уравнений, методы нелинейного анализа, а также теория устойчивости.

Научная новизна и практическая ценность. Основные теоретические результаты диссертации развивают или обобщают известные случаи. Полученные результаты применяются к задаче о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном.

Апробагия работы. Основные результаты работы доклад; вались на У1 Всесоюзно;"; конференции по качественной теории ди.;>-ерснгяалыц-х уравнений (г. Иркутск, ЕЦ СОЛИ, июль I9G6 г.), на У1 Псесегэном коллоквиуме по методам группою:о анализа (г.Епку, сентябрь I?3í' г.), на кок'е-.-

ренииях "Моделирование сложных механических систем (г.Ташкент, ТашГУ, сентябрь 1991г.), "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (г.Киев, КГУ, май 1992г.), на научных семинарах: Института математики им. Романовского АН РУз (ноябрь 1992г.), профессора М.М.Хапаева (г.Москва, ВМК МГУ, январь 1993г.), а также на конференциях молодых ученых Института математики им. Романовского АН Узбекистана.

Публикации. По теме диссертации опубликовано десять печатных работ (включая тезисы докладов).

Структура и объём работы. Диссертация изложена на 126 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 109 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В приводимом ниже обзоре нумерация определений, формул, теорем не зависит от нумерати, принятой в диссертат^и.

Во введении обосновывается актуальность темы исследовэг* ния, даётся краткий обзор работ, относящихся к диссертаттии, излагается краткое содержание работы, а также приводятся необходимые предварительные сведения.

Всюду используются терминология и обозначения книги Вайнберга М.М. и Треногина В.А. "Теория ветвления решений нелинейных уравнений". М.Наука. 1969г.

В первой главе предлагается вариант модификации метода Ляпунова-Шмидта.

Пусть Е^ и Ег, ~ банаховы пространства. Рассмотрим уравнение

, ГС0,0) = 0. (I)

где Р(ЗС,Е)- нелинейной оператор, определенный и непрерывный в окрестности СО (0,Е^ + ^ со значениями в окрестности нуля пространства Ед, , причем выполнены усло-

еия

Р(1.£)-(В-К4(ф-Я(х.е); Я(0,0)-0, сг) ^е шд^хьони , шсх,е)\\=о(ах«),

а В - оператор конечного индекса, т.е. с плотной в областью определения

. Тогда уравнение (I) можно записать в виде

, той. (3)

Пусть существует линейны;1 оператор Д

в областью определения 1)(А.) ^ Е^"* Е^ > что оператор непрерывно обратим в проколотой

окрестности нуля

с плотной такой

Обозначим [Ч'с}^ ~ базис подпространства нуле" оператора В , ~ бизис подпространства дефектных функционалов М*(В) ; [ , I = 1,..., IX- ,

соответствующие биортогоналыше системы. Вводится У с л о в и е I. Если R(b)jí R (Ь) > то предполагается,

D(A)-E4 „ R(A)cD(b+) . ЖШЪ") .

где - псеЕдссбратныг оператор к ( Hashed U.Z.

Generalised Inverses end Applications. A.P. 1976. ), В случае замкнутой области значений оператора 6) эти услогия выполнены.

Пусть существуют элементы

Ф<5), s-i,...,piФ^-Ф^ , i.i.....л,

1 ' и

.и.....

такие что

ВФ'"-АФГ", i'i. Л.14.....а.(Ф®Гг)-0,(Г.1,.-.а.

BV'A^1"' .....Fi ,¡ ■i.....■». (К, ,f'">-0,4 ,n.

'«■ГН кмТп.

(*tnill(nt,n). Ого егкитет, что суцестгует полни": обоб:.;г-:!-ннй Ж0{.дпнср 1'лбор CCirJI> О!!р; ::то; а В .

С попепьп г-.'Отнсыгнин Скп. тогоиальности (Логккев Б.Г., Гусок D.D. < '.hüí;-.л v.ipvniiovi ct¡.,-«:t.v¡ а г теории ретг-лс:п:я.- Р гн.**Л- <•• -о ;; '>тг.:-'- для дкр^вш и»;:ь-

к с •■■:><:•■ " >;;;;<■":; ¡: ir: !]: ;:ло-:ения".

¡,j.), Л . ... pi. f.-.Pj

определяются проекторы:

Р-|1<-,А'4'1(""!))Ф;В).

а< а"-I £ <• ,^(Р","9Мф")* !<-.+,)

1.1 5.1 о О

в случае Ц, £ Щ > и

1 14 5=1 |=>га«1 < 4

»»I ».) 1

в случае И- > Ж. > которые поровдают соответствующие разложения пространств и Е^ в прямые суммы:

при П4 \Ъ

Еа = Еш] + Ещ] , Ел'.

и при П > Щ.

/v

• Е1Ш + ЕШ1 + Е1М , Е,,а Ехиз + ,

где Ещ} - корневое подпространство.

Результатом § I является вывод УР в корневом подпространстве. УР, соответствующее нелинейному уравнению (3) в случае НАШ, имеет еид

> П.

В случае IV >Ш- УР, соответствующее уравнению (3) также приводится.

В 5 2 с помощью модификации метода Ляпунова-Шмидта

рассматриваются некоторые линейные задачи теории ветвления, а именно задача о возмущении малым линейным слагаемым и задача о ветвлении собственных значений и собственных элементов фредгольмовых операторов и операторов конечного индекса.

В § 3 первой главы на основе результатов В.А.Треноги-наО'Нериодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии". В кн."Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений" Паука.1988.С.134-140) и модификации метода ЛяпуноЕа-Шмидта предлагается способ построения УР для дифференциального уравнения Еида

А^ Мо,е)=о ( йг(о,о)=0 <6>

для бифуркамии рождения никла.

Е § 4 ¡рассматривается модифицировании'"; метод Ляпунова-Шмидта в условиях групповой симметрии для уравнения

[?(х,еЬо(ЦхЮ , К(о,о)=0, Кх(0,0)=0 (7)

Осномым результатом 5 4 является теорома о наследовании групповой симметрии у{ арнением ра:>ьоа иления.

Во второй главе на основе метода Ляпунова-Шмидта и его модификации исследуется устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения в банаховом пространстве вида

Ш*>Ш=о(Ы),№0,(8)

гДе А и - линейные замкнутые операторы, действующие из в Е.^ , А - оператор конечного индекса

= «rW-spM-Vjlf ■

• 1А) , И...Д .<*гД>-Г« • l^j-i.....

(^•j/Kl^'^jK - соответствующие биортогональные системы.

Определение], Решение ХдН) уравнения (8) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого £>0 существует £>0 , такое что для каждого значения ,

ЦЯ)'- IciOjtt^S' , для которого существует решение уравнения (8) Х(1)> 0С(0) « X0 • выполняется неравенство

, и асимптотически устойчивым, если , кроме того, |il(-t)-X#(-ty|-*Q ПРИ "t-*00 Доказаны следующие теоремы.

Теорема1. Пусть в уравнении (8) _

1) DMcDifc) , где Т)(Ю- tL , еслиЩ),Щ;

2) R(b)cD(A+) , R(b")cB(A+>) ;

3) если R(A) - R(A) > то предполагается, что подчинен оператору Д в том смысле,что -ограничен; , <

- II -

" /v .

4) п* Щ и оператор конечного индекса Д имеет полный обобщенный -ЖН;

5) спектр (ГА(Ь) обобщенной задачи на собственные значения лежит в левой полуплоскости;

6) выполнено условие

ТОГДА тривиальное решение линейного однородного уравнения (8) асимптотически устойчиво. Если хотя бы одна точка спектра бд(Ь) принадлежит правой полуплоскости, то тривиальное решение (8) неустойчиво.

Т е о р е м а 2. Пусть выполнены условия теоремы I и

, 1*0 , леЛС0)сЕ4 , г-

максимальная длина В -жордановых цепочек базисных элементов

Л и 19г{(*ДЛ-о(|х1) при 1®1*0

равномерно по -¿>0 , | •!,..., 2 . Пусть далее Д-спектр обобщенной задачи на собственные значения

лежит в левой полуплоскости ( хотя бы одна точка спектра (Гд(Ь) принадлежит правой полуплоскости ), тогда нулевое решение уравнения (8) асимптотически устойчиво (неустойчиво).

(v л/

Т е о р е м а 3. Пусть И > ГИ- и пусть в уравнении (8) оператор конечного индекса Д имеет полный обобщенный Ь и оператор А+& ограничен. Тогда нулевое решение однородного уравнения (8) неустойчиво.

Следствием этих теорем является признак линеаризованной устойчивости, представляющий собой критерий определения устойчивости разветвляющихся стационарных решений уравнения (8).

Следствие I. (Признак линеаризованной устойчивости). Стационарное решение уравнения

Ьх-- 0, К(0,бЬО, К*(0.0)-О» (9)

устойчиво, если спектр (В"!^!®^)^,)) производной

Фреше Ь" на решении лежит в ле-

вой полуплоскости, и неустойчиво, если существует хотя бы одна точка £ (Гд ((?) ~ (^('яДб),О)1 в правой полуплос-

кости.

Таким образом, вопрос об устойчивости разветвляющихся решений сводится к исследованию точки (Гц(2))1 ПРК

возцущении (ЗС0(£),£.)* в предположении, что (Гд(

В § 2 главы II исследуется-устойчивость стационарных разветвляющихся решений ео фредгольмовом случае. Получена следующая

Теорема 4. Пусть « 4' , I « 1,..., П. и системе

{Ч'Л ' - • отвечает полный ОЖН

относительно оператор-функции с цепоч-

icaj.ni длин 1 п. . Тогда стационарное решение

усто' чг.ю, есл;: для ссоггетстгумщегэ ?(б) X -УГ

к Л.

главные члень; асимптотики собственных значений ,

I! * ... , ГС , определяемые ненулевой главной частью матрицы Якоби ^^ |

имеют отрицательные действительные части, и: неустойчиво, если хотя бы одна из них положительна.

В § 3 второй главы исследуется устойчивость разветвляющихся1 решени" в случае оператора конечного' иццекса. Получен аналог теоремы 4.

В § 4 исследуется устойчивость разветвляющихся' периодических решении. Доказывается следующая'

Т е о р е м а 5. Пусть выполнены условия

(А^.^ЫА^.^Ы , ).1.....п.,

и существует базис М ($) = ), % V * с

канонически!,; Ой! относительно сператор-^'нкши

$ - У (*■)>£) .Тогда ¿г/(1*р) -периодическое }ч>ис!шо х(ь) угэгнсния (6) устойчиво, если гласные

члены асимптотики собственных значений, определяемые ненулевой главной частью матрицы Якоби

вительные части (за исключением одного нулевого собственного значения), и неустойчиво, если хотя бы одна из них положительна.

Устойчивость разветвляющихся решений в условиях групповой симметрии рассматривается в § 5 второй главы.

В условиях & - инвариантности решение ЗС(й,б) ( соответствующее траекториям старшей размерности) уравнения (9) называется устойчивым, если Д - спектр производной Фреше имеет М кратный нуль, где ДО = = ( - число существенных пара-

метров непрерывной группы), а все остальные его точки лежат в левой полуплоскости. Следовательно, устойчивость ответвляющихся решений определяется признаком линеаризо- . ванной устойчивости для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в правой части которой стоит соответствующее выражение уравнения разветвления.

В заключении работы рассматриваются примеры. Как приложение полученных результатов исследуется вопрос об устойчивости разветвляющихся решений в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в слое жадности над ровным дном.

на решении

имеют отрицательные дейст-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложен вариант модификации метода Ляпунова-Шмцдта, позволивший эффективно исследовать устойчивость разветвляющихся решений в общем случае.

2. Исследована устойчивость разветвляющихся решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при производной.

3. Получены критерии устойчивости разветвляющихся стационарных и периодических решений.

4. Даны приложения прлученных результатов к задаче о капиллярно-гравитационных- волнах в слое жидкости над ровным дном.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Борису Владимировичу Логинову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также доценту Юрию Борисовичу Гусаку за полезные советы и консультации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Л о г и н о в Б.В., К и м-Т я н Л.Р. Об устойчивости разветвляющихся решений.// Тезисы докладов Есесоюз -ней конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений". Иркутск. 1386. С. П7-Н8.

2. Л о г и н о в Б.В., Ким-Тян Л.Р. ' Об устойчивости разветвляющихся решений.// Дифференциальные уравнения. Минск. 1988. Т. 24. № 4. С. 695-6Э8.

3. К и м-Т я н Л.Р., Логинов Б.В. Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о точке бифуркации с линейным оператором нулевого ицдекса.//' В кн.: Неклас-

си сические уравнения математической физики и задачи теории ветвления. Ташкент, аан. 1988. С. II7-I23.

4. Логинов Б.В., Р у с а к Ю.Б., К и м-Т я н Л.Р. Устойчивость разветвляющихся решений в условиях групповой симметрии.// В кн.: Современный групповой анализ: методы и приложения. Баку. 1989. с. I46-I5I.

5. Л о г и л о в Б.В., К л м-Т я н Л.Р. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений с оператором нулевого индекса при производной.// В кн.: Краевые задачи для дифференциальных уравнений смешанных типов. Ташкент. Фан. 1991. С. 27-34.

6. К и м-Т я н Л.Р. Об устойчивости разветвляющихся решений в случае операторов конечного индекса.// Деп. в ВИНИТИ 22.04.91 № I7I0-E9I. С. 25 (Fl Мат 8Б993 1991 Деп.) '• •

7. Азизова A.A., К и м-Т ь н Л.Р. Поведение разветвляющихся решений в задаче о колебательных движениях.// Тезисы докл. конф. "Моделирование сложных механических систем. Ташкент. ТашГУ. 1991. С. 23-24.

8. Логинов Б.В., К и м-Т я н Л.Р., Р у с а к Ю.Б. Устойчивость решений дифференциального уравнения с операторами конечного индекса и её применение в теории ветрления.//Тезисы доил. конф. " Моделирование и исследование устойчивости процессов". Киев. 1992. 4.1. С. 95-96. <

- 17 -

9. Л о г и н о в Б.В., К и м-Т я н Л.Р., Русак Е.Б. Кодифицированный метод Ляпунова-Шмвдта и его применение.// Доклады АН РУз, 1993, № 2. С. 5-8. 10. Л о г и н о в Б.В., К и м-Т я н Л.Р. .Русак Ю.Б. Модификация метода Ляпунова-Шмидта и устойчивость решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором конечного индекса при производной.// Доклады РАН. 1993. Т.ЗЗО. № б. С. 2015-2017.

Цисцача мазмун. Ечимларнинг тармоцланиши содца ечими асосий тармо^ланиш параметри критик цийматдан утганда тургунлигини йуцотганда "^осил булади.

Тармо^ланувчи ечимларнинг тургунлиги Р.И.Юдович ва унинг у^увчилари томонидан гидродинамик татбицида; Н.Л.Сидоров, Б.В.Логинов, Х.Кильхёффер, Р.Лаутербах, А.Вандерба.уведе ва бошцалар томонидан урганилган.

Туруунлик назариясининг асосланган натижалари А.М.Ляпунов томонидан олинган.

Ушбу ищда Ляпунов-Шмвдт методининг модификацияси асоси-да тармо^ланувчи ечимларнинг ^оссалари (тургунлик, нотур-гунлик) урганилади.

Диссертациянинг асосий натижалари.

1. Ляпунов-Шмидт методи модификациясининг бири келтирилади ва унинг асосида тармо^ланиш назариясининг бир неча чизи?{-ли масалалари царалади (кичик чнзщлк цушклувчи билан той-иш, хос ^иймат ва хос злементларнинг тармоцлан^ки).

2. Туб фазо остида чизи^сиз тснпламага мое тармо^ланиш тенгламаси ^урилади.

3. Банах фазосида хос операторли дифференциач тенгламалэр содда ечимининг тургунлиги текширилади.

4. Тармоцланувчи даврли ва стационар ечимларнинг тургунлик аломатлари тог.илган. *

5. Топилган ечимларнинг текис тубликдаги с.уюклик цатла-.шда кппилляр-граЕ-итяцион тулцинла; маеаласига татГи^и келтгрил-ган.

THii STABILITY OP BIFURCATING SOLUTIONS. Sumciary

Branching of solutions crises when the trivial (known ) solution looses its stability at the bifurcation parameter passes through critical value.

Stability questions for bifurcating solutions were considered by V.l.Judovich and his students in hydrodynar.-.îcal application;-:, and by li.A.Sidcrov, B.'/.Loginov, Il.Kielhoffer-ana R.lauterbach in general situation.

The Lasic results in stability theory were obtained by A.H.Lyapunov.

In this work on the base of modification of Lyapuncv-Schmidt's method the stability (unstability) of bifurcating solutions io investigated. The nain results:

1. The variant of modification of Lyapunov-Schinidt' s method io supgestc-d and on its base some linear bifurcation problème are studed.

2. The corresponding to nonlinear equation branching equation is constructed in the root-nubspace.

3. The stability of the trivial solution of differential equation in Banoch spaces with degenerate opeiator at the derivative is investigated.

4. The cri te ri or. s oi' stability of bi furcating stationary and periodical solutions are received.

5. J'y the uci r,j of this results the ' l tabi li ty of peric jicf.l bifurcating solutions of tj.o ysculer i ul.i-ut ci.pi 11 i.ry-<:r.v/i ty waves over t;.o flat Lottor. is i >. ve r, t iga t : .