Ветвление решений задач на собственные значения со смешениями для оператора кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

^ *! л 'АГК №е М И Я Н А У К* Р Е С П У в л и к и УЗБЕКИСТАН

Ш!(ТП!ТУТ МЛЯЖАТШ! имени В Л).ГОШОВС1ШГО

Нй правах рукописи

ФАЙЗИЕЛЕВ Алимгоя '&лчяевич -

ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ- ЗАДАЧ НА' СОБСШНШЙ ЗНАЧЕНИЯ СО СМЕЦЕШЯМЙ ДЛЯ ОПЕРАТОРА-КРИШЗШ •

01.01.02 - Дифференциальный’ уравнения'

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации но соискание ученой степени кандидата физиксм/птемитипгских наук

Ташкент * 19е. 3

Работа выполнена в отделе закладной математики Ииотв* ірутр математика им,В,».Романовского All Узбекистана,

Научней руководитель: доктор физико-матецатических

наук, профессор Е.В.ЛОЭДНОВ

Официальное одлоцакти; член-корресповдант НАН fecny6-' лики Казахоїан КАЛЬШОВ Т.Ш.

кандидат фпзико-штематычооких наук IiAPn4.UK В,Б.

Ведущая организация - Иркутские государственный университет '

Защита диссертации состоится " 4$ " Я .

1§У4 г, а. І.І \javQb вд' заседании специализированного оовзта Д OI^,I7,2J в Института математики им.В.И.Романовского АН Узбекиотана по адресу; V00I43, Ташкент, 143, ул. ФДодааеаа, 29.

' С даосарїацйе.і ¡доено ознакомиться в библиотеке Кнсиї-ту^ра математики им,В. 11.Романовского АН Узбекистана.

Автореферат разослан ” " р ^ хЬ93 г

Учзны„; секретарь специализированного ооьэта

доктор физ.-мат,наук ¿¿¿. jfOlL <j Ш.А.ХАІІШОВ

А к ! j з л Ы1 о о 1 ь t о и в, Раов*те теорпп KS-игасспчооквх кра<звих задач началось п послэвсешшв года О :яг1от.1х сойртскяХ ü ?apjßos:nx математиков: Трпкомп* ‘Т'ралк-ш, Геллорстчдта, М.Л.Лрврвктьввз, Л.В.Вацадзз. В- Со ¡та о бн-[О предстаплоно несколько школ, в которих продолжались ра-¡ота этого направления: Новосибирск (,.1.АЛаврентьев, 1.В.Бпиэцэв), Москва (А.Л.Сэиэрокпа, Л.В.БяцаДза. Ш.А.Адп-юе, Е.И.Моисеев), Нальчик (А.М.Пахуигав), Тэмкаат (i.f.C.Ca-:ахптдаиоа, Т.ДЛ^уряг-й)* '

В частности, интенсивному рэзвптпп твортд нелокальных рпов’и задач полоаалл работы А.В.Бпцадзз а А.А.Самарского ISS9 г.), Онл биля отац?дзровэ:?ы псследошиглмя в теория лаз-.о. Хотя пврв:;о результат» в гвцроданампчесгах л плаз-екных прялохаипях бил:т получены тяга«? М.А.Лаврентьевым ГОСЗ г»), И,1КДпгалк*оя (1970 г.), в монографии Фрядмапз Е^рАациопягга яршщппн и ¡задача со свободными границами.

Наука. IOCO Г.) П статьях Геивт R. (1972), Fraenkel Ь., »erger м. (1974), ntunrt с., Tolnna OS80) в др., отаут-гвуит ссылки йа работы М.А.Лаврентьева п ИЛ1.Дчяалк;ш. Тэплюнтско.! школа диМорокцяадьш?* уравнения многоморио-> 'обобщении задачи IU И .Дан я лыка {1570 г.) лосвящэпа пор- ’ ■я глава диссертации (и книги) А.С»Маликулова (1992 г.).

В работах J.SJjbrand (1979), Bereetjrckl И.< Brezis И. i976), Alüstr.säev U.K., ?lel««tann S.A. (1S01) В 60Л09 )ЗДНИХ Cuett*>r A.A. (1985), st'iart А.Ы. (19ß9), НогЪи-sr J., 3tuurt A.n. ОЭВ6) ддя решения обобсопш! задачи

Датшжа И.И, применяются методы теории ветвления решений налииеііїшх уравпеші-І и, в часткооти, вариациоыше методы, Существенно связано о этимц метода:«! нолше/шая задача на соботвешшо вначеїшя для оператора кривизны. Она представляє? собой промежуточны;! этап в бифуркационном подходе к решению такого рода аадач со свободной границей.

Нелинейная задача на собственные значения со смещениями • / для оператора кривизни находит также приложения в теории капиллярных явленні! дб^слоіішіх и многослойных жидкостей.

При решении бифуркационных задач начальним этапом сду-дит соответствующая спектральная теория линеаризованных в точках бифуркации цолинешшх операторов (гл. УШ, § 29 книги М.М.Вшінберг, В. А. Треноги и "Теория ветвления решений нелинейных уравнении”! !4.: Наука, 1969). Поэтоад первая глава диссертации' поовяцена вычислению собственных и присоединенных функции задач со смещением (пли типа Бицадзе-Самар-ского) для оператора Лапласа, лвлявдогося линейно*! частью оператора кривизны. Эти результати представляют и самостоятельный интерес. Однако, они находят прилояеюю, кроме ’ задач теории ветвления (Б.В.Логинов, А.ЬІ.Нагорішіі, 1987), таюш при решении.дифференциальных уравнении с малым параметром при старше производной и в теории разложений в ряды по собственный и присоединенным функциям (В.А.Ильин, £.И.і,1оисеев, й.С.^омов). В диссертации теория і/ногоілерного ветвления в условиях групповой симметрии применяется к решению нелинейных задач на собственные значеная со смещениями для оператора кривизны.

і1, оль работы заключается в построении асимптотики малых раэвотЭлякщпхся рашений нелинейных задач на собственные значения для оператора криваэны оо смещениями, з таїш» в исследовании спектральних вопросов соответствующих линеаризованных задач.

Методика исследования* В работе используются методы спектральной теории линейных дифферон-циалышх операторов, функционального анализа, теории ветвления решения нелинейных уравнений и методы группового анализа дилере нциалышх уравиешііі.

Научная новизна и практической значимость. В работа даны различные обобщения постановок задач типа Бицадзе-Самзрского для оператори Лапласа с последующим исследованием жорданово»! отрук-тур'ї (определение собственных и присоединенных элементов)I Основным моментом в постановке плоских и пространственных задач такого гипа является установление факта* что для возможности их решения методом Фурье разделения переменных /-./.-по, чтобы смещение происходило по траекториям, ор* тогоналышм к поверхностям, на которых задаются нелокальные условия смзщенв.'і. Ляя соответствующих налинеЛных задач на собственные значения для оператора кривизны построена асимптотика малых разветвляющихся решений в окрестности точек бифуркации. Представляет несомненный самостоятельный интерес построение общего вида непрерывных и , аналитических уравнении разветвленкл, аопускнгиих снимет-' риЬ'групп враортна.!, являвшееся осново.! тстрое'няя асимптотики малых рачввтнлявдвхоя рэиеты. Результати работы могут и'і.іти прлмеяоипй о теория задач со свободно:! грани- '

цей И 8 теории капиллярных явлениЛ,

Апробация работы. Оаношше результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по краевым задачам 'и их спектральным вопросам для дифференциальных уравнений (х*. Алма-ата, маИ 1991 г.), на втором международном коллоквиуме по дифреронциалышм уравнениям (г. Пловдив, Болгария, август 1991 г.), на международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям, /математической физике и специальным функциям (г, Самара, иаи 1992 г,),’на УШ конференции СНГ но качественное теории дифференциальных уравнений (г. Самарканд, сенгябрь 1992 г.), на конференции по моделированию и исследованию устойчивости цроцвссов (г. Клев, ;да11 1933 г.), па городском научном семинара Института математики АН РУз, (в октябре 1993 г., рук. акад. М.С.Салахитдинов, акад." Т.Д. Джу раек), на конференциях ыолодих учеши: Института математики АН РУз.

Публикации. .По теме диссертации опубликовано семь работ, в которых отракено её основное содержание.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, и изломена на 114 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 56 наименований.

. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность теш исследования. ¿ормулируштсд цели и задачи диссертации. Даются необходимые предварит-злыше сведений и иояольэуемыэ обозначения *

Л § 1 главы I длится nodxaHtwwi йлдзч тппа Бпцадзв-С;!\!ЯГС1г.ОГО, ШГЗОЧЯХ, НрОСТраПОТБЭНЙЫ* Я мкогомзрти, для

ч

O’IüptiTOt'.’ ./.ЛП.ТЭСЛ . . 1

Слзиуя B.A.VLnsn^s л Й.И.Мопсойву (ДУ4 198*7» Т.23. .’5 -уі

б.) .у ;• pï'üH'-î!-Ия

(A+J)u*Ö Q*{(±,y)\ 0¿xty¿l} (і)

рігісчо'грєш задачи с условиям) яидз:

U(X,oyÖ, U(±,l)^0, (2)

и со, у)=& и (хг,р о11)

///О, у)~ IL ('£¿,Ц), ~ »3^)

u'x.(°>¡/)zux(%t>yh и.(Ъф * и (і,у), мйі)

и.ус,р= u!r (xify), u!jz¿,y) - ¿4 и,у). (Заи)

’де ОТ;

Æ < 9C.¿ й ¿ і , ¡три’іом г;луча:і рлвеиетвз

%і s нзуч-отгя и;.".олыю. D регі'гмх Чадо/оноиа Т.ІИ»

¡і Врочгенчолі Р.Л. \IS03 г.), iôrimona B.D. n ífer орного Л.М. (Ш36 г.) раэсмотряио урлшюіпів (і) « у-Л'кжшяз

и(о,у)± о , и(х0,у) = U(í,y) (3°). ■

И ІГ’ТЬ.’І'ППЮ рРІЛОНг! І СОСТГОТСТІ-Г/Па^л "í, ¡ Ü’I.Wt Л.СЯ TJ-Vt-

ІІЗгІГіОГО У1Г.і!ЗН’;Н;'Л h и +№ г: /í7V./ = #,'// ílj и J і -

l[p wrwm nt?f!p“>5 '-"f1'ly?»;; > .v.üor'1 jj :гк* о^'. ■'-■■•пт!-?

цщцамщ ааадч,

11уот|. ^адавм офтяш

1~1 ^ Г ' X * ■■ Ч ^Г” ^Тт" ^ ^ т ф ^ I. ♦ ^ р V ♦ Л У* ♦«

рад поверздсютай <Ю. . ь СЛ/(0) - ¿''(О)

■ Ортогональности траектории 4<^Ь я<,еЮ , ча-

Ч?ей Я03110ЛЯ6Т применить ДЛЯ определение ДИСКра1'Н0Г0 СП31С-тр$ и оооздетсщуюцеЛ жордацово^ структуру оператора ме-'тод ¿;урье разделения перомзцних. В [Моро ¿., -^оигоах Г. Лег они теоретической физшш. Т, I, 1950. - УЗО с,] проведено «ас: яедованье координат, в которых лзрамошше разделл-. ькол, длл клаоаичаок«!.; краевых вадач, вдл уравнении Лапласа. Око основано на теории так иазмваамих оиредолитело^ Штокиеля. В наше;.! о^чгчр задач со с м е щ е н и -а 1.1 нозиожйооть раздельная поремоанух ь лриьедецно:.;

и

(1,2)

МЭ1)ОХВу ПОВарХНООТО.! ¿7ь2 1фН (1=4, Я ДЛЯ ряда Р0ЛБО-

сшиокё систем координат обуелбвле$га ор^огбйалъкооТЕй трз-* «¡•терял, но которым происходит смэгпёт5Э, и оеие^стщ перхасотей щ , учзствуггайЯ :» нэлоЙйль*ЙХ у о лови.«

С1'Э£!Ч!ШЯ. .. .

Нопримср, при И* 4 , ко1*дз 0С продотзвляё* о<КШ овл ?:(отоо оофокусних э.глииоол, а ортгЬйэлышш) трйзкторйя-* ми служат сэме^ство софокуснык Ьшйрбол* мзТод ФурЬо Прйпо** дит к собственным Ь присоёдйношшм функциям, вырййзадёМсЛ черей $ункцэи. Мотыь .

3 выполненной работе гла огрэии*н»ваомоя. случаем обляо-* •гей со О '{> (3 р и ч 9 о к э ¡1 с и м м ч т р й о ¡1» ^90-с«о?рав наиболее простые из задач вида

ди 1Ш * о 0, и = и(%), 0-[хе^ |

“к-"|„ м<>.

п'-по, что длл рассматриваемого оьмэЛства оАяасто')» О!1*

рОДШеШШХ С^ряи» £' , СОМ9ЙСТРО ортогональных ^Р&ОИТО“-

. риЯ образуют рпдлус.-, ярглю донные- из Кпчйла коЬрдчйаТ о .табу о точку с^ори 1 . ■

Приводам токяа одно п& вдзчояншх обобщения ЗаДвчй (3°), В полуггроотранствэ 1Й-+ рассмотрим облэотт. О » 01'рпш1-чешгую шшпдром й&* [%£&*** \ ^ %и)**С.}

Кпд (П‘-4) -МорноЛ нопзрхйостьп «Ь(1 . 2лт, ¿О., <•/,?, состоят зоотоэястзяггио яч частвд цг.тна.'ц;:) с?С? , плоо-ксотп &П4.£ ~ & й пой9рх/шст?1| ^ :

” ^№4 * '"> г 2п.Н //(&{!<<•> %п)і

Причем ГЦІ4 ¡х\ ^(%)¿{¿(%)\>0 . і-ункцня ЦєС^^Оі) ррдчидена условиям

■і'* і " А ■ (^т)

¿2,,,.,, ^ ;^о 1

щ

*/

(с2>

V І ^ ди

Ш' ’ $2 ~ П?Й"

■ I) § 2 давально исследованы задачи на собственные значения тина (з/^. ), Вычислены собственные значеная и сой-сгозшша функции пряуоіі и „сопряженной задач, даны условия рлсутутвия присоединенных- элементов. •

, В § 3 рассмотрев линейные задачи со смешениями в областях со сферичеокоіі симметрией, Здесь семейство ортогональных; траекторий к концентрическим сферам (окружностям) образуют радиусы, проведенные из начала координат. Поэтому вполне очевидно, что при разделении переменных в качества У<у> возникнут сферические функции. (П^З) , а в качестве %(Х)~ функции Беооеля. Перечислим рассмотренные задачи:

1°. Задача со смещениями в значениях искомой функции в

единичном шара О с центром в начала координат 5 -

' т-. (* '

мерного пространства 2а , $$■ 4 ,

2°. 8адача со сыещешмин в значениях производной $--I ,

3°. Задача со спв.цэнияды в значениях производной при 3>2,

вычислены собственные значения. Проведено исследование со-ответстзушеіі вы иор да новой структуры.

Глава П посвящена задача о точках бифуркация дліі чпд-раюра кривизны, В § І рассмотрены нелице^ныв задачи (3^) на собственные значения для оператора кривадна

Цосхроона асимптотика шш решзниіі в усдоваях отсутстві^ жордзнових цепочек, невырожденных случаях простих соботвеїь них значений,

Теорема І , В условиях отсутствие кордановых цепочек в невырожденных случаях простых собственных значенні! уравнение (кіі-Л)и = О с условиями (3^ ) имеет следующие малые решения -

и.= ± и/$ (х,у)+о ого, ¿м-Л,

- '

ЗИ^УІ ~ А В> | где - одно из собственных

значеная задачи (3^£ ), а и.^(х,^) -* соответствующая собственная функция.

В § 2 методами группового анализа дифференциальных уравнении строятся общва вид уравнения разветвления, допускающего группы вра^зіШії.

Ї е о р е и а 2. ііри 11-2 непрерывное уравнение разветвления в вещественных переменных, допускащее группу

$0( 2) , имеет слевуюиаи! ВИД

?(№>£)* о*

(Г,г)^Ігґ НІШ)і- Ъ2ігҐиОгі,¿>о,

где ithfífTtf t функций u(st¿) t v-(s;¿)

Н9ПрорыВ1Ш BM8CT9 о производными ¿¿j ($ t é) , (S, ¿)

В ОІфЗОТНООТЙ ТОЧІШ (Oi О) И L¿ * \У ЛЬЛЯЮТСЯ 08CK0HÔ4HÔ

КЧЛИМІІ при S —О І J —*■ 0 •

Ü їиіолйгв'юскбм олучаа

Uttjí* £ ûkU) ,

A>0 'L

frfci)*» £ с«(£Пьі j^-4 ,

ГД0 - HOhpGpUnnilQ фунКЦІНЬ

TeopóMS 2 » - ВаНоотпзнной двумерйоэ нопрарывное Уравнение Іразьаївлйікі.ч о оимметрной SO(l) о комплексных Парамонах ПрэдстзалябтоЛ и лИдв :

[/(/?/.£) =0,

І (§,£)* fe UОУ,і)*О,

V--U.+ LD- , Iff

ГДО U *• It'S Проривно ДЙ^рЗІЩИрЗПМО В СКрЗСТІЮОТІ» £*<3

чШІ^О(£іі

Пусть урзмгенвэ разветилаїшя /іокуокзог сіімметрїш ЙО.'.Чі ризмврйосіь (pfJ3W9pH00Íb ПОГ.НрС'ОіраНОТІ’Я Н?Л9Й JB1HC-дрмзоианнаго о:іорзїора) potsita Zt » *¿>,2 >

Т о с р й м а 3. Взцчотвонное 2г - мэриоо С.^~ vpanimuits развотвлэнМ о симивтрязЛ. , $

Jw). ^ - Ay ( f 0¡pjJ )

- ІЗ -

ииеа*

^,*(£»£3 = ,$ц (f i 4J s Qi

T э o p a 14 0 4. В непрерывном случае урарнерид р цо-» мэром воль в системо рдзЕагвлешзя о симметрией (H+í) w мерного представления $0(3) углвэ'р вид

Гк »ч гл. ад,-' - (ОД Í >-< £ tf##x

Остальные уравнения систему разветвления прлучавдся о pqr-мощью операторов поднятия и опускание.

Перебором всевозможных произведений инвариантных ыопо-f/.oo как следствие теоремы 4 зотанаютваетсз рледуетэд4 pqi-r эультат, «.

Теорема 5, В аналиткчеокрм одуадв уравнение с номером ноль в системо разветвления, допускающей сикмзтрар (zt+l) *■ мерного представления SO(3) ( ш.юет вад

*“we|

Теоремы 2-5 существенно используются далее при иооуроз-гаи уравнений разветвления, задач со ^¡фаричаскоп си^метрие*!.

В § 3 В еДИНИЧНОМ KPJÍ0 QcR рассматривается не^ шнейная задача на соботвоннне значения

(іСч-Я)Ц^О, U(t¡0J9)z u(¿,9 ), (В)

Теорема 6. Upa S* £ задача (В) имеет еле-JjynsWö Ьемейства олнопараметрпчоокпх ролпішії:

В) вс™

U (v, ß; äh jfM Уп (olï)m п(0*а) + О(ігі), stÿtt £ - - Jtÿn. Ad S ;

в) ссли Ш)* Í’U) - о, /'W * ö,

uMícl)* Y ^f Ул(с/і)ши(0+а)+о(і£1), siÿü As & < о >

с) прп 1(d)* V(oL)~ /"(«/ )~0 > ^"’(c¿) ^ o r

ГЛТ »

и(ї,о;a)* f ІГ %_ &*)M>la' +&(t£i I

sign £ = *- sitffl Aj &.

T 6 о p .о M 8 7 і При S=£ зоазчя

(К+Л)ц*0, u[ (t0,e) * и\(і,в).

D otcjtctjmi* аордановнх цепочек ш*еот семэИство окнолэра-М0ТрКЧ9Г!КВГ ро'летпі илдя ,

, * и( Ъ, 9; а) -■ X i¿ М (ыг ) Ш ft (9+<x)-f от,

/ & ft

Sicjti £ = ~ sLyn. Ai &.

В заключение параграфа рассмотрена нелинейная задача «а собственные значения оо смещениями для оператора кривизны в трехмерном пространство (S*3) . Отдельно рассмотрены случаи симметрии относительно трекерного И ПЛ-тшлерного представлении группы 3 0 (3J , для которых

выписана асимптотика малых разветвляющихся розеина.

Выражаю искреннюю благодарность моему научному руководите га доктору фаз.-маг.наук, профессору Лсгивдбу Борису Владимировичу за внимание к работе іі полезные совоты.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Л о г и її о в Б. В., Ф а ї\ з и б а е в А. Э. О ■

спектре многомерных задач Бицадзе-Оаиарского для оператора Лапласа. Тезисы докладов Всесоюзной научной конференция: "Краевые задачи и их спектраль-ше вопросы для дифференциальных уравнении". 22-25 мая 1991. г, Алма-ата. •

2. Логанов Б. В., Каверина И, Д.,

Ф а й з и б а е в А, Э. Вычисление собственных и присоединенных элементов некоторых операторов составного типа. В сб..*' Краевые задачи для дифференциальных уравнений смешанных типов. Ташкент. Фан. 1991. 0. 34-42. .

3. Loginov В. V., Р а і a і b a eV А. В, Вгапч

ching of solutions оі the nonlinear eigenvalue problem for the curvature operator ttith nonlocal boundary conditions. AbBtiaota йі invited lacturea

and short coEnrunicetionu delivered at the eocond international colloquium on differential equationo 19-24 August. 1991»

PLOVDIV, BULGARIA.

4. Логинов Б. В., Ф a tf з и б а ев Л. Э. Неко-

торые краавыэ задачи с двумя смевднижг»:. Тозисы

докладов ¡.1ежцуиоролно1) научной конференции: ференциальнуе и иктэгралыше уравнения". Лггепати-ческая физика и специальные функции. 24-31 мая 1992 г.. г.Самора.

5. Ф a ii з и d о в в Д. Э. Ветвление рэаоний задач типа

Бццвдзе-Самарокого со сферической сшялэтриал. Тезисы докладов УШ конференции СНГ: "Качественная творил дифференциальных уравнений". 5-IO сентября 1992 г.. г. Самарканд.

6* Тл i z i b а о v А.Е. Branching of solutions of so-

me nonlinear boundary value problems Tilth displacements for the curvature operator. Тезисы

докладов конференции:. "Моделирование и исследование усто^ивости процессов". Май 1D93. г.Кпэв.

7. I>oginuv Я. V., F а 1 г И а * v А. £. Eigen-

value problems with displacement«! for the Laplace operator aliening Depuration of variables,

. Тезисы докладов международно.! конференции: "Вы-рокдзгдаеся уравнения и уравнения смешанного типа”. 23-25 ноября 1993. г. Талкзят. •

. АННОТАЦИЯ

йіцадзе-Самарский куринищцаги чегар&виП шарти булгам згри чизиц оператори учун хос цийматларга оид чизицеиз ма-салалар курилган. Еіундай куриниодаги ыасалалар эркли-чега-равий масалалар нагариясида (хусусая плазмалар назарияси-да) ва капиллярлик холатлари назариясида уа аксини топган Узига хос равипща цизицарли булган чизицлаштирилган вцори-даги масаланннг спектрал масалалари урганилгак. Шрлик сфе-радаги Лаплас оператори учун хос цийиатларга оид масалалар . ва сферик симметрияга оид иасалалар курилган.

Чиэицсиз масалаларни куривда, чизицеиа тенгламаларни ечип учун тармсаданиа назарияси ва дифференциал тенгламаларнинг . гуру^лаб га>;лил цилиш усулларидан фойдаланилган симметрии ай-? ланиш группасига йул..^уювчи тармоі(ланж тенглаыалари цурилгая 15/ натикалар сферик сиыметрилли згри чизнц оператори учуй хос. цийматларга оид насалаларнииг ечішини кичин тармоцланиш асиш-тотикаскни топкшда ^уллаиади.

-10-

annotatioi;

ilie nonlinear eigenvalue problems for curvature opei'n-tor With Hitsadee-Beun&rcki type boundary conditions ate • eenflidered. It its indicated that ouch problumo «re applicable iti the theory t>f free boundary value problems I in particular in plaesitv theory) and in the theory of capillary phenomena. .

The first chapter odutains the preliminary renulta on spectral theory of eorreopondiiig linearised problerao, representing independent interest. The eisenvalue problerao foi' Laplace operator in Unique square and the problems with «spherical oyaMetry e,re conaidei’ed.

¥or tha oolving of nonlinear problems the branching theory ot Bi'lutibua of nonlinear equutiono and group analysis- of difiei-eiitiel e^uafcieiiG methoda are applied, l'he general forrte Of UrtvnehlRg SQWiions allowing rotations groupe ayrunotry are coiHiti'uete«!* TUsue reeulto nre applied further for the finding t>f fesymptoties of small bilurceti-ona oolutions of nonlihenr eigenvalue prttiilewa with ayh«-» rical oyimsfttry for the curvature operator.

IloftttWf'ftNo ft neunTb 6,t2,93 r. Copf’ftT fyvnrtt £0*84 I-IG Kyvnir?i Tim. * I 06m»» t n**., Tnpn*i 100 iw*% i’VI '90BOCO, Tn-tmwif* Ftfi, y*vKi>pw-HHflaon». M WmilCX