Устойчивость солитонов для общего нелинейного уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИ» ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Переяьмяа Галаяа Сергеевна

УСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНОВ ДЛЯ ОБЩЕГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

специальность 01.01.03 — математическая фшкса

АВТОРЕФЕРАТ диссертаиш на соискание ученой степени кандидата фитко-математических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена а Саикт-Петербургском государственном университете

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

профессор В.С. БУСЛАЕВ

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук.

Н.М. И В ОЧ КИЛА

кандидат физико-математических яау«. СА. ВАКУЛЕНКО

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Петербургское отделение

Математическою касте тута км. В.А. Сгеклова РАН

Защнта состоится И С^А 1993 г в /.3 часов

ва заседании спецнализнроваииого совета К 063.S7.17 в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке СШГУ.

о А о в

Автореферат разослан ^_^ 1993 г.

Ученый секретарь

сиецналязиромнного ученого совета: доктор физ.нмаг. наук, профессор

С.Н. Маинда

ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Солитожы как локллизоваиьые решения с конечной екергкей, возцикаюпще в веляпеБтлс волновых системах, активно исследуются в последили десятилетия, что объясняется нх универсальностью и обилием приложений при описании физических явлепш! в нелинейных средах.

Актуальность вопросов устойчивости таких решений связана пе только с их ролью в понимании физических являиР, но определяется и общим интересом к развитию нелинейной теории рассеяния, систематическое построение которой пока отсутствует.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в огшсегстт асимптотики при t-^ оо решений задачи Кошч для общего нелинейного уравнения Шре-дипгера с печальными даншми'блкзккма к солктоау.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ определяется вффектшшо-стыо используемого подхода, позволившего иолучзпь существенно новые результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1) В предположении, что спектр линеаризованного уравнения, ва начальной солитоне устроен простейшим образом, доказано,

3

что асимптотика решена* при ( -» то даетсл оолитовом с мало смещенными иараметршн ■ малым дисперсионным члевой, который описывается свободным уршиевием Шредиягера.

2) Показано, что преды дусрй результат почта сохраняется в рамках более свободных предположений относительно линеаризация.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Подход развиваемый в работе, может быть использован ори гау-чеахк асимптотической устойчивости сос ре доточенных решений других классов нелинейных дисперсионных систем.

Практическая ценность работы определяется разнообразием физических явлений, при оиисащш которых возкиме? нелинейное уравнение Шредингера.

АПРОВАЦКЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались ва семинаре ПОМИ и на коллоквиуме в университете Парне 13.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации оиубликоваао 3 статьи. Оки указаны в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ. Диссертации состоит из введехии и четырех глав. Описок литературы включает 45 лаямеяовавиб.

4

Объем работы 99 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введгвнн кратко излагается содержание работы и приводится обзор литературы.

Глава 1 посвящена ошкаяию предаярлтелышх понятий и точной формулировке результатов.

Объектом расскотревпя является нелинейное уравнение Шре-дингера

^ = 1^1,«) б С, М611,

> котором Р = Г(() 6 Я, £ € Е+ — заданная гладам функция, удовлетворяющая уелезиям:

») точка £ = О достаточно сил1ный корень функция Р, точвее

0)

р> о,

И) при а € >4, А — некоторый интервал Л+, потенциал

неположителен при у> € (0, «в(аг)), и у^(аг) — простой корень функ-шш и{<р,а).

Б вял предположениях уравнение (1) обладает решениями специального вида — солктовшш

и)(г, 1г) - ехр(-1/3 + у(х - {, а), содержащими 4 вещественных параметра а:

с = и=Л(13-а5),

зависимость которых от времени имеет конкретный и элементарный вид:

р = и' = 0, = ь'-й. (2)

Асимптотическое сснедеине при I - -» +оэ решения ^(М) задачи Копти с начальным дапаым вида

= Л. Л(*) = «^(а:, (То) + Хо(г), (3)

где »о — фикафоваяаый набор параметре» солитона, а функция Хо достаточно мал.-., зависит от характера сиектра линеаризации ургввеняя (1) ка начальном солатоне ш(х,г({)), с(0) = <*ц, которая может быть з&пжвда в виде

.Т, = ЯЦ)Г,

6

• s-ДО + у«, у =!-{(«), П(а) = *,(«) + К(а), Я0(в) = (-flj + ¿)<г„ V(«) = (iV) + F(v> Vb -

Ug, irj — стандартные матрицы Паули. В предположениях

1) точка £1 = 0, хоторая всегда является собственным значением, исчерпывает дискретный спектр оператора П(ао) и размерность соответствующего кориеоого подпространства минимальна,

2) концы непрерывного спектра оператора ff{ai>) (т.е. точка fEo, Ег\ = не являются резопансаыи,

3) функция F — полином и р > 4,

4) норма

достаточна мала,

решение задачи Кошн (1,3) при t —» оо. допускает асимптотическое описание

ф = v(;0+(t)) + exp(-¡lt)U + o(l), , (4)

7

в котором I - о(1) подразумевает £гнорму, /+ 6 Xj(R) и достаточно мала, <7+(t) траектория системы (2), причем с+(0) достаточно близко к cq.

Формула (4) с некотором модификацией сохраняет силу и в случае, когда условие 1) заменяется более слабым: оператор tf(ar0) помимо точки Е = 0 может иметь вещественные собственные значения.

Точнее, предполагая, что

¿) наряду л точк>М £ = О, которой отвечает четырехмерное (минимальное) корневое подпространство, оператор 27(ад) имеет простые собственны« значения ±А(во), 0 < А < Ео, ЗЛ > £д,

it) некоторые цостоюшые, характеризующие взаимодействие высших гармоник дискретного спектра с непрерывным спектром оператора 2Г(<*о) отличны от нудя,

ii'i) выполнены условия 3), 3) с р > 4, 4), мы доказываем, что для четных относительна х начальных даввыз вид» (3) (»тот класс инвариантен относительно динамит) асимптотика при ( -* со решения задачи Ковш оо-врежвему описывается формулой (4) где, одвако, ff+(t) удовлетворяет ураввеияям (2) лишь асимптотически:

&=U4-t-0(rl), J+»0. (5)

Кратко говоря, причина вослрояждевня старого результата со»

с'1'оит а том, что вклады в решение, отвечающие точкам дополнительного дискрегвого спектра, асимптотически исчезают благодаря взаимодействию кратных гармоник с вкладом непрерывного спектра, убывающего в силу дисперсионных явлений. Именно совтоиу существенно предположение о нетривиальное» »того взаимодействия.

Глава 2 поевпцгва доказательству формулы (4) в случае минимального спектра оператора Н(ао). В основе доказательства лежит представление решения задачи Коти в виде суммы двух слагаемых, которые, «волюциодеруя совместно, все вренл остаются в окрестности соответственно траектории, описываемой соля-тоном ш{х,а(1)) и в окрестности нуля. Эти построения являются типичными для задач теория устойчивости. Для доказательства того, что новые переменные действительно мало отклоняются от начальных значений, мы используем метод мажорант. Метод мажорант в близком круге вопросов применялся в связи с изучением асимптотических режимов для нелявейвых параболических уравнений. Близкие идея используются и при исследовании орбитальной устойчивости солятонов [2]. В случае параболических уравнений можно было ограничатся прямым» оценками в терминах дифференциальных уравнений. В нашем случае приходится использовать ни формацию об эволюции, описываемой лияеаряза-

9

цией уравнения (1) на солктопе, и сводить уравнение к интегральному. Так«. Ливия исследования была предложена о работе Соффера и Вайястейз» [1]. Полученные на втом пути результаты оказываются достаточно аффективными и нозаоляют перейти к асиматоткчесхэй формуле (4).

Гядзе 3 содержит доказательство результата (4, S) в случае более богатей структуры спектра. Довторяя в суцествепном идею гл. 1, технически оео значительно отклоняется от предыдущих конструкций. Осиовао« отличие заключается s необходимости более детального исследования уравнений движения, вознкяиодих после перехода к вовым переменным, и получения еффектизиих соотнозвешЛ, ссглйсов&Етл с асимптотическим поведением при i -»со разлячаш компонент решения.

Глаза 4 имеет технический характер; ее целью является дока-jaremcrao оценок для шшеаризов&шгай вволюцни, которые играют ключевую роль в конструкциях глав 2, 3.

Основные результаты диссертации опубликовали в следующих .. работах:

1. Буслаев B.C., Перельмаз Г.С., ffutnti нее уши нас еоспм-жни, fame х с«лшмоку, Звп, науч. сем. ПОМИ, 200 (1992), 33-50.

16

2. Буслаев B.C., Перельквя Г.С., Раесинше дл* Ht*tHtt*<ise доынсжшг Ulftduittf«: ееетммы, ¡лжяпе ■ смигаамр, Алгебра и анализ, 4 (1092), 63-102.

3. Btulaev V.S., Perdmui O.S., On nonlinear icattenng of itatet uikid are chse to a iliion, Pro«, of Naolo conference J. Aeterique,208 (1992), 49-63.

Цитируемая литература

[1] Sofleer A., Weuutein M.I., Multichannel nonlinear icattering for nonm-tegraile equation«, Comm. Math. Phy»., 133 (1990).

[2] Weuutein M.I., Lyapunov liability of ¡round itatei of iiiperiive evolution equation/, Comm. Par« Appl. Math. 39 (1986), 5168.

Подписано it печати 23.07.93. Заказ 230 ТиракЮО Обьем 0,5о.д. ПНЛ СПГУ. 199034, Санкт-Петербург, наб. Макарова.б.

11