Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области

Островская, Ирина Владимировна

Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Островская, Ирина Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области»

Автореферат диссертации на тему "Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области"

На правах рукописи

ОСТРОВСКАЯ Ирина Владимировна

УСТОЙЧИВОСТЬ ТОМСОНОВСКИХ ВИХРЕВЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ВНЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005541576

Ростов-на-Дону - 2013

005541576

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону.

Научный руководитель:

КУРАКИН Леонид Геннадиевич,

доктор физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты:

СУМБАТЯН Межлум Альбертович,

доктор физико-математических наук, профессор

ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет»

ДЕМЕХИН Евгений Афанасьевич,

доктор физико-математических наук, профессор

ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Ведущая организация:

ФГБУН «Институт водных проблем РАН»

Защита состоится и октября 2013 г. в и часов минут на заседании диссертационного совета Д.212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, д. 8а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « сентября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.208.29, кандидат физико-математических наук

№

В. Д. Кряквин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Модель системы точечных вихрей интенсивно исследуется, начиная со второй половины XIX века. Лорд Кельвин (У. Том-сон) на её основе построил свою вихревую теорию атома. Несмотря на то, что эта теория была отвергнута, математическая модель выжила и приобрела новую актуальность в последнее время в связи с экспериментальными исследованиями вихрей в жидком гелии и электронных колонн в физике плазмы.

Движение системы точечных вихрей описывается гамильтоновой системой. Эта простейшая модель вихревой динамики кажется наиболее доступной для полного и глубокого исследования. Она изучалась многими авторами (лорд Кельвин, В. Гребли, Т. X. Хавелок, X. Ареф и др.) с разных точек зрения. Значительный прогресс в этой области достигнут в последние годы благодаря применению методов современной теории динамических систем. Здесь имеются в виду прежде всего вопросы качественной теории: интегрируемость, неинтегрируемость, устойчивость, бифуркации, возникновение и развитие хаотических движений и др.

Вместе с тем, многие классические конфигурации долгое время оставались и остаются недостаточно исследованными. Примером такой задачи является проблема Кельвина об устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсоновский вихревой многоугольник). На протяжении долгого времени она исследовалась многими авторами (Дж. Дж. Томсон, Т. X. Хавелок, У. Мортон, Л. Г. Хазин, Г. Т. Мерц, X. Е. Кэбрал, Д. С. Шмидт и др.), а решена в точной нелинейной постановке лишь сравнительно недавно в работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича.

Имеются обобщения проблемы Кельвина на случаи вихрей внутри и вне круговой области. В линейной постановке они были решены Т. X. Ха-велоком (1931 г.). Случай внутри круга был исследован в нелинейной постановке методами КАМ-теории в недавних работах Л. Г. Куракина. Что касается случая вне круга, такой анализ проведен только для случая том-соновского вихревого треугольника (2011 г.).

Таким образом, в настоящее время актуален нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области.

Цели работы. Получить математически строгие результаты в задаче

устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области в точной нелинейной постановке.

Провести анализ устойчивости или формальной устойчивости по Раусу такого вихревого многоугольника в нерезонансных случаях с привлечением методов как линейного, так и нелинейного анализа устойчивости равновесий гамильтоновых систем. Найти все резонансы до четвертого порядка включительно и исследовать их в точной нелинейной постановке методами КАМ-теории.

Основные положения, выносимые на защиту. Анализ устойчивости томсоновского вихревого п-угольника вне круга:

1. Доказательство утверждения Т. X. Хавелока об экспоненциальной неустойчивости томсоновского вихревого п-угольника вне круга для нечетного п = 2к + 1 ^ 7.

2. Доказательство необходимого и достаточного условия устойчивости по Раусу в случае четного числа вихрей п = 2, 4, 6.

3. Формулировка и доказательство условий устойчивости для всех критических случаев устойчивости двукратного нулевого корня, встречающихся в задаче при п = 2, 4, 5, 6.

4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника в нерезонансных случаях: условия устойчивости по Раусу или формальной устойчивости по Раусу в зависимости от параметра задачи.

5. Исследование устойчивости правильного вихревого пятиугольника во всех резонансных случаях, встречающихся в задаче: резонансы 1:1, 1:2, 1:3, 1:1:2.

Научная новизна и практическая значимость. Все результаты диссертации являются новыми.

Вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока и результатами Л. Г. Куракина об устойчивости вихревого треугольника проведен нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого гг-уголышка вне круговой области для всех возможных значений параметров задачи.

Полученные в диссертации результаты об устойчивости конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным, но ранее не решенным,

проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций для случая вихрей вне круга и для других моделей точечных вихрей: внутри кольцевой области, на сфере, в стратифицированной жидкости и др. Результаты диссертации также могут быть востребованы в физике плазмы, при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости, в задачах геофизической гидродинамики.

Методы исследований. При исследовании устойчивости томсонов-ского вихревого многоугольника применялись следующие методы теории устойчивости равновесий систем обыкновенных дифференциальных уравнений: прямой метод Ляпунова, теория нормальных форм гамильтоновых систем, теория Рауса об устойчивости равновесий гамильтоновых систем с циклической переменной, теоремы А. Д. Брюно о формальной устойчивости равновесий гамильтоновых систем, результаты А. Г. Сокольского и А. П. Маркеева об устойчивости равновесий гамильтоновых систем в резонансных случаях.

Научная достоверность результатов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в случаях, когда таковые имеются в литературе.

Апробация. Результаты, полученные в диссертации представлялись на научном семинаре «Математические вопросы гидродинамики» кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009), международных конференциях «Современные проблемы Механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010, 2011); «Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам», (Севастополь 2009); International Workshop on Partial Differential Equations and Application (Morelia, Mich. Mexico, 2010).

На разных этапах данная работа поддерживалась грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований (№№ 07-01-92213-НЦНИЛ_а, 08-01-00895-а, 09-01-92504-ИК_а, 11-05-01138-а), аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1/554, федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (соглашения № 14.А18.21.0873, № 8832).

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 статей [1-10]. Основные результаты отражены в 3 публикациях в журналах списка ВАК [1-3]. В совместных статьях с Л. Г. Куракиным постановки задач и окончательная редактура текста принадлежат Л. Г. Куракину, а автору диссертации, Островской И. В. — основные результаты и их доказательства.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 108 страниц, включая 13 рисунков, 5 таблиц. Список литературы содержит 125 наименований.

Во введении дана общая характеристика диссертации, изложена ее структура и основные положения, выносимые на защиту. Приведена история решения задачи устойчивости томсоновского вихревого многоугольника. Изложены основные методы и результаты теории устойчивости равновесий гамильтоновых систем, используемые в диссертации.

В первой главе выписаны уравнения движения п точечных вихрей вне круговой области, указаны их интегралы и группы симметрии. Напоминается определение стационарного движения. Группе вращений уравнений движения отвечает стационарное вращение правильного вихревого многоугольника вне круговой области в случае вихрей одинаковой интенсивности. Отмечается, что в данной задаче имеет место неустойчивость по Ляпунову при любом п ^ 7. Разъясняется, что устойчивость перманентного вращения правильного вихревого многоугольника трактуется как устойчивость по Раусу. Формулируются полученные в диссертации условия устойчивости и неустойчивости вращения томсоновского вихревого гг-угольника.

Движение системы п точечных вихрей с одинаковой интенсивностью х на плоскости вне круга радиуса Я при условии бесциркулянтности обтекания круга описывается гамильтоновыми уравнениями:

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1

к = 1,..., п

(1)

\jjik

с гамильтонианом Н

я= - £ Е Ч^Г + ^ЕЕЧ*2-^!2-

2 " - ^пЕ1пЫ2-

Ь= 1

Здесь .г*, = хи + гук, = Хк — 1Ук (к = 1,... ,п) — комплексные переменные,

^й! № — декартовы координаты к-го вихря, = —--отражение к-то

вихря границей круга.

Рисунок 1. Стационарное вращение правильного вихревого многоугольника вне круга. Угловая скорость вращения ш = ш(д) зависит от параметра д = 0 ^ д < 1.

Система (1) имеет точное решение

гк = е™ик, ик = Дое2"^"1^, к = 1,...,п, (2)

X (п л 2п \ & п/

ш = -—г; Зп-1--- , 9 = 0 ^ д < 1.

4тг 1-?"/ до

Таким образом, конфигурация п одинаковых вихрей, расположенных вне круговой области радиуса Я на окружности радиуса До в вершинах правильного тг-угольника, вращается с постоянной угловой скоростью и = ш(д) (см. рисунок 1).

Глава 2

Во второй главе, в разделе 2.1 проведен линейный анализ устойчивости стационарного вращения правильного вихревого многоугольника (2) вне круговой области. Система (1) заменой переменных

гк{1) = ег'шЧ(*)

приводится к гамильтоновой системе

(п л п л \

1 1 п \ • - ,

>--> -— + —)+шук, к = 1,... ,п (3)

^к - Vj ^к ~ V} ук)

З^к

с гамильтонианом

Е(у) = Н(у) + |М(у), М = Ы2, (4)

ш М(у), М = х

к=1

где V = (их,..., уп) е С".

На каждой плоскости переменных ук вводятся новые координаты и ук записывается в виде

Ук = + (5)

Замена переменных (5) и масштабирование времени £ —¿/Дд сохраняют гамильтонову структуру системы (3). В переменных г = (п,..., гп), в = (01,... ,вп) уравнение (3) принимает вид

дЕ

Гк = дг(у(г,в)), к=1,...,п,

. дЕ (6)

6к = --Мг,6)).

Разложение функции Е(у(р)), р={г, в) в ряд Тейлора в окрестности нулевого равновесия имеет вид

ЕШ) = + Е2(у(р)) + Ез(у(р)) + Е4(у(р)) + •••)• (7)

Здесь Ет однородные полиномы по переменной р степени ш. Точками обозначены слагаемые выше четвертой степени. Квадратичная форма Е2

представима в виде

Е2 = (3р,р), 5= * (8)

Матрица линеаризации системы (6) на нулевом равновесии имеет вид:

Матрицы Со выписаны в работе Т. X. Хавелока (1931) вместе со

своими собственными значениями А^, Х^ и гАоь к = 1,... ,п.

Согласно теории нормальных форм квадратичных гамильтонианов существует матрица Л нормализующего преобразования квадратичной части гамильтониана Е2 такая, что замена переменных

(б)=,А(с)' С = (Съ---,Сп)Т, (10)

приводит Е2 к нормальной форме:

с), о) = • • •, г„- ь о, • • • с«-:) + (и)

В следующих главах диссертации в каждом рассматриваемом случае матрица Л выписана явно.

Вид квадратичной формы И^ и матрицы Л зависит от свойств собственных значений матрицы линеаризации Ь (от того являются ли они вещественными или комплексными, лежат ли на мнимой оси, являются ли кратными и какая им отвечает жорданова форма).

В диссертации доказано, что переменная (п является циклической для полной нелинейной системы с гамильтонианом ,Е(г(£, С); О); то есть гамильтониан пе зависит от (п.

Полагая £„ = 0, получаем приведенный гамильтониан:

и/(^ = ^(г(ео,со),0(е°,со)), Р = (12)

г0*?6,-1,0), с° = (Сь...,Сп-1,0). Его разложение в ряд Тейлора в окрестности нулевого равновесия имеет вид:

\¥(р) = + И/2(р) + \У3(р) + + •••)• (13)

47Г

Устойчивость по Раусу стационарного вращения (2) понимается как устойчивость по Ляпунову нулевого решения приведенной системы с гамильтонианом IV (Е. ,1. ЛоиШ, 1877). Соответственно, неустойчивость понимается как неустойчивость этого решения.

Теорема 2.1. Режим стационарного вращения (2) правильного вихревого п-уголъника вне круговой области радиуса Я устойчив по Раусу в случаях:

1° 0 ^ q < qm при четном п = 2,4,6; 2° 0 < ^ < д0п для п = 3, 5 а также при п = 1, и неустойчив, когда < q < 1 при любом п = 2,..., 6. В случае п > 7 имеет место неустойчивость.

Значения доп н Я*п приведены в таблице 1.

Рч = -9?3 + 13д2 + 5д - 1 д,2 « 0.148536

Р3 = —14<?6 + Зд5 + 6д4 + ЗАд3 + 6д2 + Зд - 2 <2з = 7д6 + 9д5 - 18?4 - 17д3 - 9д2 + 1 д,з и 0.273695 д03 ~ 0.262542

Р4 = -9д6 + 17д1 + дд2 _ 1 д.4 и 0.308125

Ръ = —22д10 + 10д8 - 15д7 + 74д5 + 15д3 + 10д2 - 2 д5 = —ЗЗд12 - ЭЭд11 - 128д10 - 15д9 + 240д8 + 356д7 + ЗЗЗ96 + 256д5 + 165д4 + 60д3 + 2д2 - 9д - 3 д,5 ~ 0.334596 905 « 0.330399

Р6 = -25д9 + 61д6 + З7д3 - 1 9,6 и 0.295985

Таблица 1. Критические значения дт и до„ — корни полиномов Рп и <2п

Доказательство этой теоремы состоит в исследовании собственных значений матриц 5 и Ь.

Установлено, что квадратичная форма Е2 = (Бр, р) знакоположительна при 0 ^ <7 < (п = 2,4,6) и при 0 ^ д < 905 (п = 5), а квадратичная часть приведенного гамильтониана (13) в этих условиях является положительно определенной. Также показано, что при любых нечетных п = 2т +1^9 матрица линеаризации Ь имеет собственные значения правой полуплоскости при всех значениях параметра д £ [0,1). Таким образом, доказаны утверждения об устойчивости по Раусу при п = 2, 4, 5, 6 и неустойчивости при п = 2т + 1^9.

Утверждение этой теоремы о неустойчивости было сформулировано в работе Т.X. Хавелока (1931 г.), там же приведено его доказательство для п = 2,..., 7 и для четных п = 2т ^ 8. Случай п = 3 полностью исследован

в работе Л. Г. Куракина (2011 г.)

Результаты теоремы 2.1 схематично изображены на рисунке 2. Собственные значения матрицы линеаризации Ь в случае д = дт при п = 2,4,6 и д0п < Ч < Ч*п при п = 3, 5 лежат на мнимой оси, а квадратичная форма И-2 не является знакоопределенной. Поэтому вопрос об устойчивости стационарного вращения правильного вихревого п-угольника остался открытым. Его решение требует привлечения нелинейных слагаемых. Такой нелинейный анализ для п = 2, 4, 6 проведен в главе 3. Случай п = 3 разобран в работе Л. Г. Куракина, а случаю п = 5 посвящена глава 4.

Рисунок 2. Условия устойчивости стационарного вращения правильного вихревого п-угольника, полученные в теореме 2.1 методом линеаризации (при д = <?,„, п = 2,4,6 и Яоп < <7 < 9*п, " = 3,5 необходим нелинейный анализ).

В разделе 2.2 построено разложение (7)-(8) гамильтониана (4) в окрестности стационарного режима до второго порядка включительно.

Глава 3

В третьей главе проведен нелинейный анализ устойчивости томсонов-ского вихревого п-угольника с четным числом вершин (п = 2, 4, 6) при критическом значении параметра д = дт, разделяющим области устойчивости и неустойчивости (см. рисунок 2). Решение задачи устойчивости при граничном значении параметра важно для того, чтобы выяснить, какой является эта граница: «опасной» или «безопасной» по терминологии Н. Н. Баутина. Другими словами, жестко или мягко происходит потеря устойчивости томсоновского многоугольника, когда параметр д, возрастая, проходит через критическое значение дт1

Критический случай устойчивости двукратного нулевого корня (жор-данова клетка) при д = дт рассмотрен в точной нелинейной постановке.

Его анализ удалось провести в рамках единого подхода при п = 2, 4, 6. Для этого потребовалось учесть слагаемые разложения в ряд Тейлора (13) приведенного гамильтониана Ш до четвертого порядка включительно. При этом использовались результаты А. Г. Сокольского об устойчивости равновесия гамильтоновой системы в критическом случае двукратного нулевого корня (случай непростых делителей). Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Стационарное вращение (2) правильного вихревого п-угольника (п = 2,4,6) вне круговой области неустойчиво при критическом значении параметра д =

Доказательство теоремы разбивается на три этапа. На первом этапе проводится нормализация квадратичных слагаемых гамильтониана (7). Для этого строятся симплектические матрицы А=Ап канонической замены переменных (10). В случае п = 2 матрица Л2 имеет вид

Ь0

:Ьх Ь0

\/2Аг1

В случае п = 4 матрица Л4 имеет вид

Ь2

Ь0

В4

-щ Ь3 VI

Ь0

иг\1ъ

Ч/2Л22 VI

у/2\и

Ь0

VIЬ1 VI

\/2А^Ь2 Ь0

-щЪх Ь0

-1ь, -

V 2Л14Ь4

В случае п = 6 матрица Лв имеет вид _1

•Лв =

Вв =

—-111 ——Ь2 -

. VI ь>2

Ь0

-1/2Ь4 5

\/2Л23 V2 щ

Ь0

6--Ь5--Ь4 Ьо--Ь4--Ь5 \/2А1бЬ6

VI VI

Здесь Ь() е 1" - нулевой вектор, — собственные векторы матриц -Р!, Р2 = \mkhk, к = 1,..., п) и введено обозначение

1/4

т= 1,2. (14)

Каноническая замена переменных (10) приводит квадратичные слагаемые Е2 разложения (7) к нормальному виду

п = 2,

п = 4, Е2 =^(£22 + б,2) + "41 + С2) + "4з(&2 + Сз), П = 6, Е2 + £62) + + С?) + "62^ + С22)

+^64(е42+с!)+"«¡(й + с!)

и делает переменную циклической для полной нелинейной системы с гамильтонианом £(г(£,С),0(£, С))- Значения шд- > 0 указаны в диссертации. На втором этапе строим приведенный гамильтониан, полагая £п = 0. На третьем этапе с помощью алгоритма Биркгофа проводится нормализация слагаемых приведенного гамильтониана (12) до четвертой степени:

71 = 2, Ж + йС? + ...,

я = 4, И7 =^22 + Ь>41 + С?) + "4з(Й + Сз2) + ¿4 й + • • ■ ,

П = 6, Ж =^32 + 0*1 (Й + С') + + С22) + + С1) + + "65^5 + С|) + <*бСз + • • • ■

Многоточием здесь обозначены слагаемые четвертой степени и выше кроме выписанных.

Показано, что коэффициенты с?„ < 0, п = 2, 4, 6, поэтому согласно результатам А. Г. Сокольского об устойчивости равновесия гамильтоновой системы в критическом случае двукратного нулевого корня имеет место неустойчивость нулевого равновесия приведенной гамильтоновой системы.

На рисунке 3 приведены результаты анализа устойчивости томсонов-ского вихревого п-угольника п = 2, 4, 6 при всех значениях параметра задачи. Условия неустойчивости при д > дш получены Т.Х. Хавелоком, случаи д ^ дт разобраны в главах 2 и 3 диссертации.

неуст.

Рисунок 3. Критерий устойчивости правильного вихревого п-угольника, п = 2,4,6.

Глава 4

В четвертой главе рассмотрен случай п = 5. Проведен нелинейный анализ устойчивости стационарного вращения (2) томсоновского вихревого пятиугольника на отрезке 705 ^ 7 ^ <7*5- Доказано, что оно неустойчиво при д = д* п формально устойчиво по Раусу, когда д е [до5, <7*5]\{<7*}-

Формальная устойчивость по Раусу есть формальная устойчивость по Ляпунову приведенной системы. Формальная устойчивость по Ляпунову означает, как известно, что существует степенной ряд, возможно расходящийся, который формально является интегралом системы, и существует к € такое, что любая сумма первых т слагаемых этого ряда (т ^ к) является положительно-определенной в окрестности нулевого равновесия. В случае формальной устойчивости неустойчивость по Ляпунову (если она существует) не обнаруживается при учете в разложении гамильтониана слагаемых до сколь угодно большого, но конечного порядка.

В разделе 4-1 при доъ ^ д < <7*5 вводится замена переменных (10) с

симплектической матрицей Аъ = где — матрицы:

V 5

й, =

-щ Ь3 -щЬ3 -VIЬ4 _Ь5 V¿Мб

Ч Ч Ч Ч ъ

--П1--Ь2 —п2 —П! Ь0

. VI V2 V2 VI

с5 =

VlЪl ^2Ь2 —V2h2 —VlЬl Ьо --Ь4--Ь3--Ь3--Ь4 \/2А15 Ь5

VI V2 V2 VI

Эта замена приводит систему (6) к гамильтоновой системе с циклической переменной (5.

Полагая £5 = 0 и вводя комплексные переменные = ^ + г С/с, к = 1,..., 4, получаем приведенную гамильтонову система с гамильтонианом IV, разложение которого в ряд Тейлора в окрестности нуля имеет вид:

я1

= --(\¥0 + -№2 + 1У3 + \¥4 + ...), (15) 4гг

= и^2 + со2Ы2 ~ ^Ы2 + (16)

Здесь IV = IV(г, г), Игк = г = (гь г2, гз, Квадратичная часть

И-2 имеет нормальную форму. Функции со,- = ] = 1,... ,4 положи-

тельны на интервале <705 < <7 < Ч*п- (см. рисунок 4).

Рисунок 4. Зависимость частот их,... ,ш4 от д на отрезке [дов — Ю

Далее в диссертации найдены все резонансы рассматриваемой задачи до четвертого порядка включительно (см. таблицу 2).

Показано, что специального рассмотрения требуют только три резонанса, анализ которых проводится далее: случай двукратного нуля (а>з = 0), резонанс 1:2 (Ш4 = 2о;з) и резонанс 1:1 (и>2 = и>з). Остальные резонансы не играют роли, поскольку в разложении гамильтониана отсутствуют отвечающие им специфические резонансные слагаемые.

В разделе 4-2 доказана формальная устойчивость по Ляпунову приведенной системы с гамильтонианом (15) в нерезонансном случае при

я е (до5, д*б)\{д*}-

Двукратный нуль, диаго-нализируемый случай = 0 д = ?05 = 0.330399

Резонанс 1:2 и>2 = 2о>з и>4 = 2ш3 д = 0.3341202 д = д* = 0.333377

Резонанс 1:3 и>4 = 3^3 и> 2 = Зо;з ? = 0.332613 д = 0.333529

Резонанс 1:1 и4 = и2 = д = 0.334553 д = д,ъ = 0.334596

Резонанс 1:1:2 и>2 + ш4 = 2ш3 д = 0.334591

Таблица 2. Перечень резонансов порядка < 4, встречающиеся в задаче устойчивости стационарного вращения вихревого пятиугольника.

Для этого в пункте 4-2.1 с помощью алгоритма Биркгофа канонической заменой переменных

гг) -» {ги г = 1,..., 4

проведена нормализация приведенного гамильтониана до четвертого порядка включительно:

IV = ^(и}1\г1\2 + ю2\г2\2-Шз\г3\2 + иН\г^2+

Е сдаПг/+ ■••)■ (")

1<&<7<4 '

Здесь точками обозначены слагаемые четвертой степени и выше, кроме выписанных. Формулы для коэффициентов Сщ приведены в диссертации. В пункте 4-2.2 показано, что квадратичная форма

кф 3

= Опр\ + 022р1 + Оир\ + 2£>12Р1/Э2 + 2£»14Р1 р4 + 2024р2р4, (18)

где

1<к<]<4

является знакоопределенной в конусе р^ 0, з = 1,..., 4.

Это следует из знакоопределенности коэффициентов Djk^■ на интервале д € (<й5,7*) все коэффициенты отрицательны, а на интервале д е (<?*, 9*5) — положительны.

Таким образом, в рассматриваемой задаче выполняется достаточное условие формальной устойчивости, являющееся частным случаем теоремы А.Д. Брюно, и нулевое положение равновесия гамильтоновой системы с гамильтонианом (17) формально устойчиво по Ляпунову.

В разделе 4-3 исследованы резонансные случаи в задаче устойчивости вихревого пятиугольника.

В пункте 4-3.1 рассмотрен критический случай двукратного нулевого собственного значения при д = г?05- Показано, что в окрестности нуля имеет место следующая асимптотика приведенного гамильтониана

IV = ^(сдар + ш2°|£2|2 + ш4°|£4|2 + Сз°з|^з|4) + 47Г

+ 0(\г1\2 + \г2\2 + \г^ + \г4\2). (19)

Здесь и] > 0, з = 1,2,4, а С3°3 < 0.

Отсюда на основании результатов А. Г. Сокольского делается вывод о формальной устойчивости по Раусу стационарного вращения (2) в рассмотренном случае.

В пункте 4-3.2 исследован критический случай двукратной пары чисто мнимых собственных значений: резонанс 1 : 1 (жорданова клетка) при Я = д*5-

Для этого построен приведенный гамильтониан УУ х2

УУ = —0^0 + >У2 + >У3 + УУ4 + ...) (20)

47Г

с нормализованной квадратичной частью УУ2.

>у2 = им + Сх2) + \ {Ь2 + Ь2)+

+ СО. (6 <2 - 6 Сз) + + С42). (21)

Затем с помощью алгоритма Биркгофа была проведена нормализация гамильтониана УУ до четвертого порядка включительно:

к2 1

Щф, = ^ {Ео + (VI2 + Ф2) + 2 (^22 + ^з2)+

+ и, № 02 - ф2 Фз) + {Ф2 + Ф2) + МФ1 + Ф1? + ■••)• (22)

Здесь ujti > О, > О, ш* > О, А* > О.

Отсюда на основании результатов А. Г. Сокольского следует формальная устойчивость по Раусу стационарного вращения вихревого пятиугольника.

В пункте 4.3.3 рассмотрен критический случай резонанса 1:2 (и>4 = при q = q*. Доказана неустойчивость нулевого равновесия приведенной гамильтоновой системы. Это следует из теоремы А. П. Маркеева, поскольку среди слагаемых третьей степени W3 разложения гамильтониана (15) есть резонансное слагаемое — (Z6Z3Z4, ав ф 0.

На рисунке 5 приведены результаты анализа устойчивости томсонов-ского вихревого пятиугольника при всех значениях параметра задачи. Условия неустойчивости при q > q*5 получены Т. X. Хавелоком, случаи q ^ qt5 разобраны в главах 2 и 4 диссертации.

0 ?05 9* <7*5 1 q

Рисунок 5. Критерий устойчивости вихревого пятиугольника вне круга: д € (0,905) -устойчивость по Раусу (++); д 6 [цо5, д*) и (д*, 9,5] - формальная устойчивость по Раусу (сплошная дуга); д = д* и д 6 (<7,5,1) - неустойчивость (--). Критические значения параметра д приведены в таблице 2.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доценту Л. Г. Куракину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Куракин Л. Г., Островская И. В. Об устойчивости томсонов-ского вихревого многоугольника с четным числом вихрей вне круговой области // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 3. — С. 584-598.

2. Куракин Л. Г., Островская И. В. Критерий устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга / / Нелинейная динамика. — 2012. — Т. 8, № 2. — С. 355-368.

3. Kurakin L. G., Ostrovskaya I. V. Nonlinear Stability Analysis of a Regular Vortex Pentagon Outside a Circle // Regular and Chaotic Dynamics. — 2012. — Vol. 17, No. 5. — P. 385-396.

4. Куракин JI. Г., Островская И. В. Об устойчивости правильного вихревого многоугольника с четным числом вихрей вне круговой области. — М., 2009. 20 с. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.2009, № 477-В09.

5. Куракин Л. Г., Островская И. В. Об устойчивости системы п точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника вне круговой области // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XIII международной конференции. Т. 1. — Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2009. - С. 121-125.

6. Островская И. В. Резонанс 1:1 в задаче устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XV международной конференции. Т. 2. — Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2011. - С. 194-198.

7. Куракин Л. Г., Островская И. В. Устойчивость томсоновских многоугольников вне круговой области // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов V Всероссийской школы-меминара. — Ростов-на-Дону: издательство «Терра Принт», 2009. — С. 59.

8. Kurakin L. G., Ostrovskaya I. V. Stability of the regular vortex polygon with evenly raany vortices outside a circular domain // International Conférence "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres". — Vladivostok, 2011.

9. Куракин Л. Г., Островская И. В. Об устойчивости системы п точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника , вне круговой области // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XIII международной конференции. — Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2009. - С. 49.

10. Островская И. В. Резонанс 1:1 в задаче устойчивости правильного вихревого пятиугольника вне круга // Современные проблемы механики сплошной среды. Тезисы докладов XV международной конференции. — Ростов-на-Дону: изд-во ЮФУ, 2011. — С. 39.

Подписано в печать 9.09.13. Формат 60 * 84 if)£. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-юд. л. 1,0 Тираж 120 экз. Заказ №3147.

Отпечатано в типографии Ю ФУ. 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1.Тел. (863) 247-80-51.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Островская, Ирина Владимировна, Ростов-на-Дону

ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

со

На правах рукописи

ОСТРОВСКАЯ ИРИНА ВЛАДИМИРОВНА

устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата

О)

о физико-математических наук

см

со о

СО см Научный руководитель:

^ доктор физ.-мат. наук, доцент

СМ 2

Куракин Леонид Геннадиевич

Ростов-на-Дону - 2013

Оглавление

Введение 4

I Общая характеристика работы..................................4

II История решения задачи устойчивости томсоновских вихревых многоугольников ............................................8

III Методы исследования и результаты теории устойчивости равновесий гамильтоновых систем, используемые в диссертации 16

[у Краткое содержание работы......................................26

Глава 1. Постановка задачи и формулировка результатов 30

Глава 2. Линейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области 37

2.1 Метод линеаризации..............................................37

2.2 Разложение относительного гамильтониана в ряд Тейлора . 49

2.2.1 Члены первой степени....................................52

2.2.2 Члены второй степени....................................54

Глава 3. Критический случай двукратного нулевого корня (жор-

данова клетка) при q = для п = 2, 4, 6 58

Глава 4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника 70

4.1 Нормализация квадратичной части гамильтониана. Построение приведенной системы ......................................70

4.2 Устойчивость в нерезонансных случаях при д £ (<?05,9*5)\{<3'*} 76

4.2.1 Нормализация приведенного гамильтониана..........76

4.2.2 Применение теоремы Брюно в случае д £ (доб, д*5)\{д*} 80

4.2.3 Коэффициенты формы третьей степени приведенного гамильтониана............................................84

4.2.4 Коэффициенты формы четвертой степени приведенного гамильтониана......................................85

4.3 Резонансные случаи устойчивости вихревого пятиугольника 87

4.3.1 Критический случай двукратного нулевого собственного значения: д = доб....................................87

4.3.2 Критический случай двукратной пары чисто мнимых собственных значений: резонанс 1 : 1, д = ............88

4.3.3 Критический случай резонанса 1:2........................94

Заключение 95

Список литературы 96

Введение

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации. Модель системы точечных вихрей интенсивно исследуется со второй половины XIX века. Лорд Кельвин (У. Том-сон) [116] на её основе строил свою вихревую теорию атома. В последнее время эта математическая модель оказалась востребованной в физике плазмы [81,83] и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости [124,125].

Эта простейшая модель вихревой динамики кажется наиболее доступной для полного и глубокого исследования. Она изучалась многими авторами (лорд Кельвин, В. Грёбли, Т. X. Хавелок, X. Ареф и др.) с разных точек зрения (см. обзоры [5,16,18,47,61,70]). Значительный прогресс в этой области достигнут в последние годы благодаря применению методов современной теории динамических систем [65]. Здесь имеются в виду прежде всего вопросы качественной теории: интегрируемость, неинтегрируемость, устойчивость, бифуркации, возникновение и развитие хаотических движений и др. В результате количество работ по теории точечных вихрей поистине необозримо и постоянно растёт.

Вместе с тем, многие классические конфигурации долгое время оставались и остаются недостаточно исследованными.

Задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсонов-ского вихревого п-угольника), поставил Кельвин (У. Томсон). Имеются ее обобщения на случаи вихрей внутри или вне круговой области. Все эти

проблемы решены Т. X. Хавелоком [85] в линейной постановке. Оказалось, что соответствующие линеаризованные системы имеют экспоненциально растущие решения при п > 8 в задаче Кельвина, а в её обобщениях, когда п > 7. Экспоненциальная неустойчивость имеет место и при 2 < п < 6 (вихри внутри или вне круга), но при определенных значениях параметра задачи. В остальных случаях все собственные значения матрицы линеаризации лежат на мнимой оси, так что для решения задачи устойчивости требуется нелинейный анализ.

Проблема Кельвина [116] в случае плоскости изучалась Дж. Дж. Том-соном [112,115] , Т. X. Хавелоком [85], У. Мортоном [102], Л. Г. Хазиным [66,67], Г. Т. Мерцем [101], X. Е. Кэбралом, Д. С. Шмидтом [77] и др. Ее решение при завершено в точной нелинейной постановке в работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [21,35,93]. Результаты нелинейного анализа в случае вихрей внутри круга были анонсированы в заметке [24], подробно изложены для четного числа вихрей п = 2,4, 6 в работе [89], и отдельно для треугольника [26,90] и пятиугольника [28].

Критерий устойчивости стационарного вращения трех равноудаленных вихрей вне круговой области получен Л. Г. Куракиным [27] применением теории Колмогорова-Арнольда-Мозера [2,17,107].

Цель работы. Получить математически строгие результаты об устойчивости томсоновского вихревого многоугольника вне круговой области в точной нелинейной постановке.

Методы исследования. Прямой метод Ляпунова, теория нормальных форм гамильтоновых систем, теория Рауса об устойчивости равновесий гамиль-тоновых систем с циклической переменной. Теоремы А. Д. Брюно о формальной устойчивости равновесий гамильтоновых систем, результаты А. Г. Сокольского и А. П. Маркеева об устойчивости равновесий в критических случаях.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные положения выносимые на защиту — анализ устойчивости том-соновского вихревого п-угольника вне круга:

Таким образом, вместе с результатами линейного анализа Т. X. Хавелока [85] и результатами Л. Г. Куракина [27] об устойчивости вихревого треугольника в данной диссертации проведен нелинейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области для всех возможных значений параметров задачи.

Достоверность полученных выводов обусловлена последовательным применением математически обоснованных методов, совпадением результатов с известными в тех случаях, когда таковые имеются в литературе.

Практическая значимость диссертационной работы следует из отмеченной выше актуальности темы исследования.

Полученные в диссертации результаты об устойчивости конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций, как для случая вихрей вне круга, так и для других моделей точечных вихрей: внутри кольцевой области [82], на сфере [88], в стратифицированной жидкости [56] и др. Результаты диссертации также могут быть востребованы в физике плазмы и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались на научном семинаре «Математические вопросы гидродинамики» кафедры вычислительной математики и математической физики ЮФУ, Всероссийской школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (Дивноморское, 2009), международных конференциях «Современные проблемы Механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010, 2011); «Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам», (Севастополь 2009), International Workshop on Partial Differential Equations and Application (Morelia, Mich. Mexico, 2010), International Conference «Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres» (Владивосток, 2011).

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 10 статей [29-34,52,53,91,92]. Основные результаты отражены в 3 публикациях

в журналах списка ВАК [30,31,92]. В совместных статьях с Л. Г. Куракиным постановка задач и окончательная редактура текста принадлежат Л. Г. Куракину, а автору диссертации, Островской И. В. — основные результаты и их доказательства.

11 История решения задачи устойчивости томсоновских вихревых многоугольников

Исследования, представленные в диссертационной работе, являются естественным продолжением цикла работ по исследованию устойчивости томсоновских вихревых многоугольников на плоскости [21,22,35,36,85,93], а также внутри [24,26,28,85,89,90] и вне [27,85] круговой области.

Вихри на плоскости. Как уже отмечалось выше, задачу устойчивости перманентного вращения системы п точечных вихрей (см. рисунок 1), расположенных в вершинах правильного п-угольника на плоскости поставил У. Кельвин (1878г.). Он отметил связь этой проблемы с экспериментами А. М. Майера [97-100], изучавшим движение системы п плавающих намагниченных иголок под действием внешнего магнитного поля.

---

«ч

у» "Ч

У N

/ Ч

✓ N

/ ' \ / ' *

' я

і ^

СО

I I

•

Рисунок 1. Стационарное вращение томсоновского вихревого п-угольника радиуса на плоскости с угловой скоростью ш — ^ д2 [п — 1), где ж — интенсивность вихря.

Известны различные модификации экспериментов А. М. Майера, поставленные Р. Вудом [123], Дж. Дж. Томсононом [115], Л. Дерром [80] в конце XIX начале XX века. Во второй половине XX века Е. Ярмчук и др. [124,125] исследовали экспериментально в свехтекучем гелии устойчивость п прямолинейных вихрей, расположенных в вершинах правильного многоугольника, а К. Файн, А. Касс [83] и Д. Даркин, Дж. Фейдженс [81] ставили эксперименты по устойчивости томсонских вихревых конфигураций, исследуя с электронные колонны в ловушке Малмберга-Пенинга.

Кельвин особо подчеркивал важность определения наибольшего значения п, для которого данный стационарный режим устойчив.

В дальнейшем задача была исследована многими авторами (см. введение работы [36] (и ее англоязычной версии [93]) и, особенно, приложение В этой же работы, в котором обсуждаются многочисленные недоразумения, сопровождавшие решение этой проблемы). После результатов Дж. Дж. Томсо-на и Т. X. Хавелока стало ясно, что при п > 8 режим экспоненциально неустойчив, а при п < 6 имеет место устойчивость по линейному приближению. При этом случай п = 7 оставался сомнительным, поскольку в линейной задаче нулевое собственное число имеет повышенную кратность, равную шести (нормой является кратность два).

В работах Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [35,93] устанавливается, что правильный вихревой семиугольник устойчив. Доказательство потребовало специального исследования роли нелинейности; при п < 6, как показано в работах Л. Г. Куракина [21,22], достаточно линейного приближения.

Вихри внутри круговой области. Рассмотрим задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей интенсивности х, расположенных равномерно на окружности Яо внутри круговой области радиуса Я (см. рисунок 2).

После работы Т. X. Хавелока [85], открытые вопросы в этой проблеме остались лишь в случаях п = 2,. .., б, когда собственные значения матри-

Рисунок 2. Стационарное вращение томсоновского вихревого и-угольника радиуса i?o внутри

- « г? * ( Ъг \ Rq

круговой области радиуса К с угловой скоростью ш =-^--п — 1 , р = —^.

47ГЛц у 1 — рп ) R1

цы линеаризации лежат на мнимой оси. Результаты нелинейного анализа в этих случаях были анонсированы в заметке [24] и подробно изложены в работах [26,28,89,90]. Четный случай п = 2, 4, 6 удалось исследовать в рамках единого подхода [89]. Каждый из случаев п = 3, 5 распался на серию задач, потребовавших индивидуального подхода, в частности, применения KAM теории и нелинейного анализа всех резонансов до четвертого порядка включительно, встречающихся в задаче. По поводу результатов общей теории устойчивости положений равновесий гамильтоновых систем, упоминаемых здесь и ниже, сошлемся на книгу [46] и обзор [19]. Обзор результатов, непосредственно используемых в работе, представлен далее во Введении. Устойчивость вихревого треугольника детально исследована в работе [26] и ее англоязычной версии [90], а пятиугольника — в работе [28]. Полученные в итоге критерии устойчивости стационарного вращения

томсоновских конфигураций п вихрей (п = 2,..., 6) внутри круга изоб-

ражены схематично на рисунках 3-5. На них параметр Р = Величины Рот Р*п заданы в таблице 1, а критические значения р, отвечающие резонансам в таблице 2.

Дадим необходимые пояснения:

1. Устойчивость по Раусу, когда 0 < р < рту (п = 2,4, 6) и 0 < р < р0п, (п — 3, 5) следует из положительной определенности гамильтониана линеаризованной приведенной системы [89]. Численно это установил Кэмп-бел [78], который использовал метод энергия — момент. Неустойчивость, когда р*п<р<1,п = 2,...,6 доказана Т. X. Хавелоком [85].

2. При четном п = 2, 4, 6, когда р = рт (см. рисунок 3), в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (недиагонализируемый случай). Доказательство поло-

++++++++

п=2, 4, 6

*п

Рисунок 3. Критерий устойчивости томсоновского вихревого многоугольника с четным числом вихрей внутри круга [89]: р <Е — устойчивость по Раусу (++); р € 1)

— неустойчивость (--). Параметр р—КЦЙ2.

++++++ ++++++++++++++ II II

п = 3

О Д

Р* 3 1 Р

Рисунок 4. Критерий устойчивости томсоновского вихревого треугольника внутри круга [26,90]: р е (0,роз) и {р0з,Р*з} ~ устойчивость по Раусу; р = р03 и р е (р*3,1) — неустойчивость.

+ ^

II ||| У1 Л |'|

0 Р05 а Ь р* рт5 1 р

Рисунок 5. Критерий устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника внутри круга [28]: р Є (0,роб] - устойчивость по Раусу; р є (р05,а) и (Ь,р*) и (р*,р*5) - формальная устойчивость по Раусу (сплошная дуга); р Є [а, 6] — устойчивость по Раусу для большинства начальных условий (пунктирная дуга); р = р* и р Є (р*5,1) — неустойчивость.

р2 = 7р3 - Зр2 + 5р - 1 р*2 ~ 0.213740

Т3 = 10/ + 3р5 + 6р4 + Юр3 + 6р2 + Зр - 2 Q3 = 5рб + 9р5 + 5рз + др2_1 р*з « 0.321281 Роз ~ 0.304064

Г4 = 7р6 +р4 + 9р2-1 р*4 ~ -329840

•р5 = 18р10 + Юр8 + 15р7 + 34р5 + 15р3 + Юр2 - 2 Qъ = 27р12+81рп + 132р10 + 135р9 + 90р8 + 96р7 + 153р6 + 196р5 + 165р4 + 60р3 + 2р2 - 9р - 3 р*5 и 0.346101 Роб ~ 0.341038

Р6 = 23р9 + 13р6 + 37р3 - 1 р*6 и 0.299121

Таблица 1. Критические значения р+п и роп — корни полиномов Тп и О,.

п=2 Р 00 = Р* 2

п=3 Роо = Роз,Р1э ~ 0.316897 Р12 ~ 0.319327, рх 1 = р*з

п=4 Роо = Р*4

п=5 Роо = Р05 Р1 з ~ 0.343499, Р1 3 0.344810 р12=р* ~ 0.344379, Р12 и 0 345525 Рг 1 2 ~ 0.346079, Р11 яз 0.345914, рг г = р*5

п=6 Роо = Р*6

Таблица 2. Критические значения параметра р, отвечающие резонансам: р00 - двукратный диагонализирумый ноль, ркт - резонанс к . т, символ шапочка р - недиагонали-зируемый случай.

жительной определенности приведенного гамильтониана потребовало привлечение слагаемых его ряда Тейлора до четвертого порядка включительно. Отметим, что процедура нормализации при этом не проводилась.

Замечание 0.1. Решение задачи устойчивости при граничных значениях параметра важен для того, чтобы выяснить, какой является эта граница: «опасной» или «безопасной» по терминологии Н. Н. Баутина /3'/? Другими словами, жестко или мягко происходит потеря устойчивости томсоновского многоугольника, когда параметр р возрастая, проходит через критическое значение р*п ?

3. В случае п = 3, изображенном на рисунке 4, доказательство устойчи-

вости по Ляпунову приведенной гамильтоновой системы двух степеней свободы на интервале (роз, Р*з) состояло в проверке условий теоремы Арнольда-Мозера (см., например, [46]). При р = роз5 в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (диагонализируемый случай). Неустойчивость следует из результатов Сокольского. При р = р*з имеет место критический случай двукратной пары чисто мнимых собственный значений (жорданова клетка). Для доказательства устойчивости по Ляпунову равновесия приведенной системы использовались результаты общей теории [19,46,96]

4. В случае п = 5 использовано определение формальной устойчивости по Раусу, которое определяется как формальная устойчивость по Ляпунову приведенной системы (см., например, [46]). В случае формальной устойчивости по Раусу неустойчивость по Ляпунову решения (если она существует) не обнаруживается в приведенной системе при учете в ее разложении слагаемых до сколь угодно большого, но конечного порядка.

Форма