Динамика твердых тел и вихревых структур в идеальной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 531.01

Рамоданов Сергей Михайлович

ДИНАМИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ И ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

003471396

Работа, выполнена в лаборатории "Динамического хаоса и нелннейно-сти" Института компьютерных исследований Удмуртского государственного университета

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Борисов Алексей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бардин Борис Сабировнч

доктор физико-математических наук, профессор Косенко Иван Иванович

доктор физико-математических наук доцент Резник Григорий Михайлович

Ведущая организация - Институт проблем механики нм. А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 18 сентября 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.14 при Московском авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

Автореферат разослан " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф-м. н., доцент В.Ю. Гидаспов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации выведены уравнения, описывающие движение в идеал ь-ой жидкости а) твердого тела и точечных вихрей, б) нескольких твердых ел, в) деформируемого твердого тела. Проведено исследование получен-ых уравнений, представляющих собой конечномерные системы обыкно-енных дифференциальных уравнений, с использованием теории групп и лгебр Ли, нелинейных нуассоновых структур, а также современных ком-ъютерных методов.

Актуальность темы. Исследования, связанные с изучением движе-шя в жидкости нескольких твердых тел, а также твердых тел, взаимодействующих с точечными вихрями, представляются исключительно важны-ш с практической точки зрения, но вместе с тем достаточно сложными и весьма далекими от завершения. Помимо широко известных феноменологических теорий (дорожка Кармана) на сегодняшний день известно лишь очень незначительное число точных аналитических решений в этих задачах. В связи с этим становится актуальным получение точных уравнений движения (наподобие знаменитых уравнений Кирхгофа), описывающих поведение тел, взаимодействующих с вихрями, а также системы нескольких тел. Подобные системы исключительно важны не только для непосредственного вычисления гидродинамического сопротивления, испытываемого телом, движущемся в завихренном потоке, но и для исследования задач турбулентности и перемешивания. Родственная задача о самоиро-движении тела в жидкости имеет важное значение для моделирования и проектирования подводных аппаратов. Интерес к ней связан с изучением механизма плавания рыб, а также явления кавитации. Дальнейшие исследования в этих областях без применения теории групп и алгебр Ли, а также компьютерных методов уже немыслимы из-за необычайной сложности и объемности аналитических выкладок. При этом применение компьютерных методов, частично основанных на системе символьных вычислений

МАРЬЕ, не должно ограничиваться простым моделированием, а должно прежде всего базироваться на глубоком аналитическом изучении задачи.

Таким образом, вывод и исследование уравнений, описывающих взаимодействие тел и вихрей в жидкости, изучение механизмов самопродвижения тела, а также развитие новых методов анализа и редукции получающихся динамических систем, является одной из актуальных проблем в современной гидродинамике и теоретической механике.

Цель работы. Целью работы является вывод уравнений, описывающих взаимодействие одного или нескольких тел и вихревых структур в идеальной жидкости; развитие новых методов исследования и редукции получившихся уравнений; применение полученных результатов к исследованию конкретных механических систем.

Научная новизна. В диссертации впервые математически строго получены уравнения, описывающие движение твердого тела, взаимодействующего с точечными вихрями, а также уравнения описывающие движение нескольких твердых тел (двух цилиндров или двух сфер). Полученные уравнения, в сочетании с развитым в работе ли-алгебраическим подходом к исследованию подобных уравнений, позволили провести качественное исследование движения в задаче о взаимодействии тела с точечными вихрями как на плоскости, так и в простейшем случае искривленного пространства (на поверхности двумерной сферы). Предельным переходом в задаче о движении двух цилиндров получены совершенно новые гидродинамические объекты, массовые вихри, и подробно изучена задача о движении двух таких вихрей. В классической задаче о движении в идеальной жидкости двух сфер выполнена редукция к системе с двумя степенями свободы и указан новый вид частных движений. Выведены общие уравнения движения в жидкости тела с изменяющейся границей. Доказана теорема о полной управляемости тела, обеспечиваемой за счет внутреннего перераспределения масс при сохранении формы'оболочки.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1) Получены уравнения движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с п точечными вихрями в идеальной жидкости. Доказана интегрируемость данной системы при п = 1, и выполнено качественное исследование движения в этом случае.

2) Уравнения движения обобщены на случай произвольного тела, взаимодействующего с точечными вихрями. Указана неинтегрируемость задачи о взаимодействии эллиптического цилиндра и вихря.

3) Выведены уравнения движения для кругового тела на поверхности двумерной сферы, взаимодействующего с одним точечными вихрем. Доказана интегрируемость этой системы, и для нее выполнен качественный анализ движения.

4) Получены уравнения движения двух круговых цилиндров в идеальной жидкости. Предельным переходом получены новые гидродинамические объекты (массовые вихри). Для системы, состоящей из двух массовых вихрей, указана неинтегрируемость в общем случае, а также найден и исследован ряд интегрируемых случаев.

5) Используя метод цепочек подалгебр, выполнена редукция задачи о движении двух сфер в идеальной жидкости к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. С помощью редуцированных уравнений удалось обнаружить новое частное движение в ограниченной задаче.

6) Указанный алгоритм редукции распространен на случай, когда алгебра редуцированных переменных не является алгеброй Ли, и применен к задаче о движении двух сфер в идеальной жидкости на поверхности трехмерной сферы и классической задаче о движении на сфере трех точечных вихрей.

7) Исследована задача о самопродвижении твердого тела в идеальной жидкости. Выведены общие уравнения движения тела с изменяющейся границей. В отличие от традиционных подходов, связывающих са-моиродвижение с изменением формы тела и сходом вихрей с острых

кромок, доказано, что при достаточно общих предположениях, полная управляемость тела (возможность перевести тело в любое наперед заданное положение) может быть обеспечена лишь за счет перераспределения масс внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации уравнения, описывающие взаимодействие твердых тел и точечных вихрей, а также уравнения движения деформируемого тела могут быть использованы для строгого исследования движения механических систем достаточно широкого класса.

Разработаны эффективные алгоритмы понижения порядка и качественного исследования, позволяющие выполнять аналитическое построение и изучать свойства новых классов движений в задачах классической механики и гидродинамики.

В диссертации впервые выполнено строгое исследование ряда гидродинамических задач. Полученные результаты имеют как теоретическое значение для развития классической механики, гидродинамики и алгебраических методов исследования гамильтоновых систем, так и практическую важность для описания крупномасштабной динамики атмосферы и океана, анализа движений различных вихревых образований, таких как циклоны, торнадо, океанические вихри, анализа динамики примесей, а также конкретных задач по расчету гидродинамических реакций, вызванного сходом вихрей с острых кромок тела.

Часть результатов диссертации может быть включена в качестве дополнительных глав к общему курсу теоретической механики и гидродинамики, а также в спецкурсы по кафедре теоретической механики.

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Удмуртского государственного университета, Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, Института Математики

Механики УрО РАН, а также докладывались на российских и между-ародных конференциях:

. IX Международной конференции "Устойчивость, управление и динами-:а твёрдого тела", Донецк, Украина, 5-10 сентября 2005 г. !. Второй международной конференции "Устойчивость и управление для [елинейных трансформируемых систем", Москва, 25-28 сентября 2000 г. I. International workshop Dynamical System Methods in Fluid Mechanics. )berwolfach, Germany, 31 июля - 6 августа 2005 г.

1. IUTAM 200б, IUTAM Simposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, August 25th-30th 2006, Moscow, Russia

5. Конференция "Классические задачи динамики твердого тела", посвященная 300-летию Эйлера (ИПММ НАНУ), Донецк, Украина, 9-13 июня 2007

6. VI международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, Россия, 1-6 августа 2007 года

7. Симпозиум Международного союза теоретической и прикладной механики (IUTAM), 150 лет вихревой динамике, Датский Технический Университет, Копенгаген, 12-16 октября 2008 г.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 20 работах. В том числе 18 в научных печатных изданиях и статьях [1-18], рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, основного текста, разбитого на три главы и приложение, заключения и списка литературы из 158 наименований. Работа содержит 56 рисунков. Общий объем диссертации составляет 215 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава посвящена классической задаче о взаимодействии в жидкости твердых тел и точечных вихрей. Дается строгий аналитический вы-

вод основных уравнений, описывающих взаимодействие в идеальной жидкости кругового цилиндра и точечных вихрей.

Известно, что при движении твердого тела в бесконечном объеме идеальной жидкости, совершающей безвихревое движение и покоящейся на бесконечности, действие жидкости на тело проявляется в эффекте присоединенных 1 масс, а если циркуляция скорости жидкости вокруг тела отлична от нуля, то на тело еще действует подъемная сила Жуковского, приложенная в конформном центре тела. В диссертации доказано, что при наличие точечного вихря на тело действует дополнительная сила. Выражение для нее может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, первое из которых пропорционально скорости самого вихря а второе (в случае кругового цилиндра) скорости его инверсного образа г*. Уравнения движения цилиндра и п точечных вихрей (рис. 1) имеют

Рис. 1

ВИД

Гг = -«+Егас1^|г=п , Гс = V п п

т 1 = Аг>2-^Аай2 = -Аих+ ^ Х^щ-Хг),

г=1

^ = Г/2я-! = Г'/2тг!

Д2

¿=1

«г) = (г, ,) - Лагс.8§ - агс,е(^|)).

г=1

(1)

Доказано что эта система гамильтонова, а именно имеет место Теорема Уравнение движения (1) представимы в виде

дН

дСк

С — {ХС1 Ус1 УЬ и2> х1> Ух ■ ■ ■ хт Уп)> 4.(С) = {Сг> С;} удовлетворяет тождеству Якоби.

\ - ( т д3]к , , д3г] , д

= о

V«, к.

Наличие пуассоновой структуры {■,•}, (обнаруженной в ходе численных экспериментов; явные выражения для компонент тензора здесь не I приводится ввиду их громоздкости), позволило найти, помимо гамильтониана Н, дополнительный первый интеграл и тем самым доказать что

1. Задача о движении цилиндра и одного вихря интегрируема по Лиувил-лю.

2. Если А = 0 и суммарный импульс системы равен нулю, то задача о цилиндре и двух вихрях интегрируема по Лиувиллю.

В диссертации дан полный качественный анализ задачи о движении ци-

Рис. 2. Сечение Пуанкаре в задаче о движении эллиптического цилиндра и вихри

линдра и одного вихря. Для структуры (2) выполнена редукция Дирака, что позволило записать уравнения движения цилиндра и точечных вихрей (1) в виде, практически аналогичном классическим уравнениям Кирхгофа, описывающим движения точечных вихрей. Показано, что задача о движении цилиндра и двух вихрей не является интегрируемой.

Полученные уравнения затем обобщаются на случай цилиндра произвольной формы и указывается на неинтегрируемость задачи о движении эллиптического цилиндра и одного вихря; этот факт иллюстрируется зонами хаотического поведения на сечении Пуанкаре (рис. 2).

В частности, доказана Теорема Уравнения движения твердого тела и вихрей могут быть записаны в форме Кирхгофа в следующем виде

¿о = и сов в — v эт в, уо = и эт в + v сое в, в = а/,

V = («,«, 0), к = (0,0,1), П = ки>,

где хо, уо — координаты конформного центра контура в неподвижной системе координат, в — угол, задающий положение подвижной системы координат относительно неподвижной, Т — кинетическая энергия системы «тело+жидкость» в отсутствие циркуляции (Г* = Га = 0) (которая, как известно, представляет собой квадратичную форму с постоянными коэффициентами трех переменных и, у,со, где и и V - компоненты скорости конформного центра).

В заключении, развивая идеи Э. Цермело, И.С. Громеки, В.А. Богомолова, заложивших основы гидродинамики на двумерных поверхностях, исследуется задача о движении на поверхности двумерной сферы кругового твердого тела (сферического сектора), взаимодействующего с точечными вихрями. Доказано, что в случае одного вихря система является интегрируемой и проведен качественный анализ ее движения. Получившиеся уравнения движения обобщают уравнения (1) и в пределе неискривленно-

го пространства (радиус сферы стремится к бесконечности) совпадают с ними.

Во второй главе рассматривается задача о движении в жидкости нескольких тел в безграничном объеме идеальной жидкости. В отличие от классической задачи о движении одного тела, получившей глубокое развитие в классических трудах Томсона, Тэта и Кирхгофа и на сегодняшний день представляющейся достаточно хорошо изученной, строгих аналитических результатов в задаче о движении нескольких тел известно очень немного. Хотя общие уравнения движения нескольких тел в форме уравнений Лагранжа и указывались еще в трактатах Бассета и Ламба, эти уравнения носят весьма общий характер и для каждой конкретной задачи нуждаются в значительных и нетривиальных уточнениях. В имеющихся обширных классических исследованиях, восходящих к Стоксу, проанализирована в основном задача о движении двух сфер, причем лишь в одномерном случае (вдоль линии центров). В первом параграфе исследуется движение двух круговых цилиндров при наличии циркуляции вокруг каждого из них. Доказано, что уравнения движения имеют вид уравнений Пуанкаре на группе E(2)®R1 (прямое произведение группы двнженпй плоскости и одномерной абелевой группы)

= о d дп | jjd7Z = о dtdu\ ди2 ' dtduo ди\ '

<L&K + _ = о = 0

dt duo ди2 дщ ' dt ds ds где щ, щ- компоненты абсолютной скорости центра первого цилиндра, со - угловая скорость, связанной с цилиндрами системы координат, Г и —Г -величины циркуляции вокруг первого и второго цилиндров соответственно, а функция Рауса Л представима в виде

71 = ± (ai(s)u? + a2{s)u22 + a:i{s)uj2 + a4(s)s2) +

+bi(s)u2uj + b2(s)uis - Г2x{s) - T(3{s)u2 - Г7(s)w. Коэффициенты щ, bi, я, /3, 7 - известные функции от расстояния между центрами цилиндров s. Выполнено сведение к системе с двумя степенями

свободы и указана неннтегрнруемость в общем случае. Подробно проанализирована задача о движении цилиндров вдоль линии центров в различных постановках. В частности, дано аналитическое обоснование сформулированному Бьеркнесом принципу "кинетической плавучести". Суть его в следующем. Предположим, что один из цилиндров совершает гармонические колебания вдоль линии центров, а второй цилиндр вдоль линии центров движется свободно. Бьеркнес установил экспериментально, что если плотность свободного цилиндра больше плотности жидкости, то он будет притягиваться к осциллирующему, если же плотность меньше плотности жидкости, то если расстояние между центрами мало - по-прежнему имеет место притяжение, если же расстояние больше некоторого критического, то имеет место отталкивание.

Устремляя затем радиусы цилиндров к нулю, считая при этом их массы неизменными, получены новые гидродинамические объекты, так называемые массовые вихри. Подробно исследовано движение двух массовых вихрей с интенсивностями Г* и массами т,, динамика которых описывается уравнениями

Показано, что в общем случае эта система неинтегрируема. Указана лагранжева (и гамильтонова) форма этих уравнений, проведена редукция, найдены случаи интегрируемости и выполнен качественный анализ. В частности, исследована устойчивость для решения типа вихревой нары (массовые вихри противоположных интенсивностей движутся по параллельным прямым).

Рассмотренная далее задача о движении в жидкости двух сфер оказывается менее тривиальной с точки зрения приведения. Это система с ше-

ГП'УГ) = Г 9 7

туг

3 =

П = {Х1,Ух), Г2 = (х2,у2)-

стью степенями свободы (в силу идеальности жидкости и, следовательно, отсутствия трения, вращение сфер происходит независимо от движения их центров и потому не изучается). Для выполнения редукции к системе с двумя степенями свободы применен метод цепочек подалгебр. Выберем в качестве новых переменных

,ч

1) квадрат расстояния между центрами fi = s2 = ~~ Яг)2\

! = 1

3 3

2) квадраты импульсов /2 = £ у;, fa = £ pj;

« = 1 ¿ = 1

3) скалярные произведения

з з и

h = Е(х' ~ <li)yii h = - 4i)Vu h = £ ViVu i=l ¿=1 ¿=1

Поскольку переменные x, у, а также q, p коммутируют каноническим образом, можно показать, что {/¡, fj} = cfj = const, то есть

функции {/i,...,/g} образуют некоторую алгебру Ли lfi. Вычислив собственные вектора формы Килинга, введем в алгебре 1(] новые образующие 5*1,5*2,5з, N\, N2, N3 по формулам

h = 2a2(S2 - S3), h = + S2) - a3N2 +

Q- о

h = ~(s2 + S3) + aAN2 + /4 = S^Ni + 25b

а о 2\/2

/5 = -25i + -2pNu /с, = + 5;0 + ir> « = 3*.

2\/2 a2 8

Исходная алгебра оказывается представленной в виде полупрямой суммы алгебры so{2,1) с образующими 5, и идеала {N\, N2, Лу. На ее орбите построены симплектические координаты (/, д, L, G), аналогичные пере-

менным Андуайе в динамике твердого тела:

Si = лД2 - С2 sin/, S2 = v^'2 - G2 cosl, Sj = L,

ai t?(t n\ (^l2-g2-l . g l 9 . l

Nx = F(L, G) • I ---sin 2 cos 2 _ cos 2 sin 2

at t?(т n\ l-vl2-g2 . g . l g i

N2 = F(L, G) • I ---sin ^ sin ^ - cos ^ cos -

J(L + VZ^G2) • (V2 - 4P2G2) где F(L, G) = ---.

Суть примененного метода цепочек подалгебр состоит в том, что сначала симплектические координаты строятся на подалгебре {Si, S2, S3}, а затем распространяются на всю алгебру. Переменные L, G, I, g являются каноническими, через них может быть выражен гамильтониан, правда, весьма громоздким способом. Таким образом, получена приведенная га-мильтонова систему с двумя степенями свободы. Запись уравнений в сим-плектических переменных позволила обнаружить нетривиальное винтовое стационарное решение в ограниченной задаче о движении двух сфер.

Указанный алгоритм редукции затем распространен на случай, когда редуцированные переменные образуют уже, вообще говоря, нелинейную структуру. С его помощью выполнена редукция 1) в задаче о движении двух тел на поверхности трехмерной сферы S3 (частным случаем которой является задача о движении двух сфер на Sпокрытой идеальной жидкостью), а также 2) в классической задаче о движении на двумерной сфере трех точечных вихрей. В современных работах задача 1 решена для случая двумерной сферы S2, однако применяемый там метод, основанный на алгоритме Бура, не обобщается на SХотя для второй задачи и существует общая (для любого числа вихрей) схема понижения порядка, предложенная Борисовым A.B. и Мамаевым И.С. и обобщающая классический метод Якоби исключения узла, в диссертации, основываясь на алгебраическом подходе, получена другая система канонических переменных приведенной системы.

В главе 3 изучается классическая задача о самопродвижении тела в [деальной жидкости, то есть обсуждается следующий вопрос, может ли 'ело, пребывая изначально в состоянии покоя, переместиться в наперед заданное положение лишь под действием внутренних сил? Ответ на этот юпрос положительный, в то время как при отсутствии жидкости этого, >чевидно, добиться невозможно. В диссертации доказывается обобщение 'еоремы Лиувилля о вращении деформируемого тела (вне жидкости) во-:руг неподвижной точки, и на основании этого обобщения, выводятся об-цие уравнения движения для деформируемого тела, погруженного в жид-:ость. В публикациях, носвященных этой задаче, самопродвижение связа-ю с изменением формы тела, а также сходом вихрей с острых кромок. Ос-ювным результатом третьей главы является утверждение о том, что для гидродинамически несимметричного тела самоиродвпжение возможно за :чет изменения распределения массы внутри тела, тогда как форма обо-ючки остается неизменной. Так для тела с тремя ортогональными плоско-:тями симметрии при условии, что не все его присоединенные массы равны между собой, доказано, что за счет изменения геометрии масс его можно перевести в любое наперед заданное положение. Более того, используя теорему Рашевского, показано, что эффект полной управляемости проявляется уже в простейшем случае, когда внутри материальной оболочки перемещается всего одна материальная точка. В качестве иллюстрации рассмотрим двумерную задачу. Пусть внутри центрально-симметричного тела движется массивная точка. Ее траектория, задаваемая известными функциями (управлениями) £(£) и т](Ь), в осях, жестко связанных с телом, изображена на рисунке 3. В этом случае тело смещается в среднем широкой стороной вперед; траектория центра тела в абсолютном пространстве приведена на рисунке 4.

В Приложении дано описание использованного при исследованиях программного комплекса. Данный комплекс построен на модульной основе, что позволяет успешно применять его для исследования практически любой динамической системы, описываемой конечномерной систе-

л

У

X

Рис. 3

Рис. 4

мой дифференциальных уравнений. При этом не требуется переделывать весь комплекс в целом, необходимо лишь написать дополнительные модуль описывающий конкретную задачу, а все методы исследования ранее включенные в комплекс, будут доступны для исследования новой задачи. Модульность программного пакета также приводит к естественному накоплению базы данных исследуемых задач: в процессе работы с пакетом в него было добавлено уже более ста задач из различных областей теории динамических систем.

Особое внимание в программном комплексе уделено системам с двумя или двумя с половиной степенями свободы. В этих случаях задачи можно исследовать с помощью построения отображения Пуанкаре, и пакет программ содержит наибольшее количество инструментов для исследования именно такого тина задач.

Хотя с увеличением размерности число возможностей для исследования конкретной задачи надает, пакет предоставляет ряд инструментов и для исследования многомерных динамических систем. Сюда следует отнести поиск периодических решений, исследование их устойчивости, частотный анализ колебаний, расчет показателей Ляпунова. Все эти инструменты совместно с аналитическими вычислениями позволяют всесторонне исследовать практически любую динамическую систему.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1) Борисов A.B., Газизуллина Л.А., Рамоданов С.М. Диссертация Э.Цермело о вихревой гидродинамике на сфере // Нелинейная динамика, 2008, т.

4, №4, стр. 497-513.

2) Борисов A.B., Мамаев И.С. , Рамоданов С.М. Движение двух сфер в идеальной жидкости. I. Уравнения движения в евклидовом пространстве. Первые интегралы и редукция // Нелинейная Динамика, 2007, т. 3, вып.З, с. 411-422.

3) Борисов A.B., Мамаев И.С., Рамоданов С.М. Алгебраическая редукция систем на двумерной и трехмерной сферах // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №4, стр. 407-416.

4) Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении изменяемого тела в идеальной жидкости // Изв. РАН, ПММ, Том 65, 2001.

5) Козлов В.В., Рамоданов С.М. О движении в идеальной жидкости тела с твердой оболочкой и меняющейся геометрией масс // ДАН РФ, 2002, №2.

6) Рамоданов С.М. К задаче о движении твердого тела в жидкости иод действием следящей силы // М.:Веетник МГУ, сер.матем.мех. 1992, №1.

7) Рамоданов С.М. К пространственной задаче о движении твердого тела в жидкости под действием следящей силы // Изв. АН СССР МТТ, 1995г, №5.

8) Рамоданов С.М. О влиянии циркуляции на падение тяжелого твердого тела в жидкости // Изв. АН СССР МТТ, 1996, №5, стр. 19-24.

9) Рамоданов С.М. Асимптотика решений уравнения Чаплыгина // М.: Вестник МГУ, сер.матем.мех. 1995г, Сер. 1, №3.

10) Рамоданов С.М. К задаче о движении двух массовых вихрей в идеальной жидкости // Нелинейная Динамика, 2006, Т.2, Л»4,стр.435-443.

И) Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices // Discrete and Contin. Dyn. Syst. В., 2005, v. 5, №1, p. 35-50.

12) Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Dynamics of two interacting circular cylinders in perfect fluid // Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2007, vol.19, no. 2, pp.235-253.

13) Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid // Regular and chaotic dynamics, V.8, №4, 2003.

14) Borisov A.V., Mamaev I.S., Ramodanov S.M. The dynamic interaction of point vortices and a 2-D cylinder // J. Math. Phys. 48, 1, 2007.

15) Ramodanov S.M. Dynamical interaction of a rigid body and point vortices on a two-dimensional sphere // Regular and chaotic dynamics., 2008. v.7, №3, p. 181-198.

1G) Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and a vortex in an ideal fluid. // Regular and chaotic dynamics. 2001, v.6, №1, p.33-38.

17) Ramodanov S.M. Motion of a circular cylinder and N point vortices in a perfect fluid. // Regular and chaotic dynamics., 2002, v.7, №3, p.291-298.

18) Ramodanov S.M. Motion of two circular cylinders in a perfect fluid, // Regular and chaotic dynamics., 2003, v. 8, №3, p.313-318.

Введение

Глава 1. Взаимодействие вихрей и твердых тел в идеальной жидкости

1.1. Вывод уравнений движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с точечными вихрями.

1.2. Интегрируемость и качественное исследование в случае одного вихря.

1.3. Случай двух вихрей.

1.4. Случай тела произвольной формы

1.5. Движение твердого тела и точечных вихрей на поверхности двумерной сферы

1.5.1. Гидродинамика на двумерных поверхностях.

1.5.2. Движение кругового твердого тела на 52.

1.5.3. Движение твердого тела на S2, взаимодействующего с точечными вихрями

1.5.4. Явное интегрирование уравнений движения. Диаграмма Смейла и геометрическая интерпретация.

Исследование вихревых структур имеет важное значение в силу очень большого спектра приложений применяемых здесь моделей: с одной стороны эти модели, наиболее хорошо описывают движение подводных аппаратов, крупномасштабную динамику атмосферы н океана (и на сегодняшний день наиболее часто используются для анализа движении различных вихревых образований, таких как, циклоны, торнадо, океанические ринги; анализа динамики примеси, загрязнений, некоторых аспектов прогноза погоды, позволяют объяснить различные явления астрофизики, связанные с возникновением и эволюцией звезд), с другой стороны эти модели активно используются для описания движения вихрей в сверхтекучих жидкостях и находят применение в квантовой механике. Не случайно этой тематике посвящено и посвящается огромное, порой трудно обозримое, число работ во всем мире. Рассмотрим прежде основные этапы возникновения вихревой теории и охарактеризуем ее современное состояние. В основном тексте при обсуждении конкретных результатов будут приводиться более полные комментарии, которые, возможно, иногда будут пересекаться с изложенными во введении.

Ранние исследования по теории вихревого движения восходят к Декарту, Гюйгенсу, Иоганну и Даниилу Бернуллн. В этот период были установлены некоторые закономерности вихревого взаимодействия, но вихревая теория Декарта в этот период претендовала на описание движения небесных тел и конкурировала с ньютоновской теорией гравитации. Несмотря на ожесточенную полемику картезианцев и пыотонианцев, теория Декарта вскоре была вытеснена ньютоновской картиной мира и почти совсем забыта. Интересное описание этого периода развития вихревой теории можно найти в книге В. В. Козлова «Общая теория вихрей» Ч

33]. Отметим, что исторически первые труды Эйлера и Лагранжа, создававших ньютоновскую гидродинамику (а также теорию сплошных сред), ограничивались описанием потенциальных (безвихревых) течений идеальной жидкости.

Возрождение интереса к вихревой динамике относится к середине XIX столетия. Это труды Гельмгольца, Кельвина и Кирхгофа, приведшие не только к открытию существенно новых гидродинамических результатов, но и к созданию наиболее общей вихревой теории материи (которая в основном пропагандировалась Кельвином). Остановимся здесь более подробно на достижениях этих ученых и их современников, а затем перейдем к более поздним исследованиям.

Гельмгольц, Герман Фердинанд фон (1821—1894). Возникновение современной вихревой теории следует связывать с замечательной работой Г. Гельмгольца «Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям» (1858 г.) [101], в которой он доказал основные теоремы о движениях идеальной жидкости, при отсутствии однозначного потенциала скоростей. Эти движения жидкости он и назвал вихревыми. Там же он указал аналогию между движением жидкости и магнитным действием электрических токов, а также привел ряд примеров, относящихся к движению прямолинейных и кольцеобразных вихрей (имеющих форму тора, в предельном случае «бесконечно-малого сечения»).

Особое значение в вихревой теории имеет теорема Гельмгольца, которую А. Пуанкаре считал наиболее значительным вкладом в гидродинамику [50]. Ее сутью является закон вморо-женности вихревых линий, позволяющий рассматривать вихревые образования как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике.

В движении кольцеобразных вихрей Гельмгольц описал два частных случая, в одном из которых вихри (с противоположно направленными вращениями) движутся навстречу друг к другу, а радиус их колец возрастает. Движение колец во втором случае, в котором вращения уже сонаправленны, еще более интересно: оба кольца будут передвигаться в одну и ту же сторону, причем первое из них расширяется и замедляет свое движение, пока через него проходит второе, сужающееся, кольцо. Этот процесс повторяется периодически во времени и называется чехардой.

Отметим, что Гельмгольц также описал движения двух точечных вихрей (параллельных вихревых нитей). Более подробные обсуждения результатов Гельмгольца, электродинамической аналогии и метеорологических приложений теории вихрей, содержатся в лекциях Пуанкаре 1893 г. [50].

Кирхгоф, Густав Роберт (1824—1887). В своих лекциях по математической физике (первое издание относится к 1876 году) Кирхгоф [30] вывел общие уравнения движения N точечных вихрей (называемые иногда уравнениями Кирхгофа), указал их гамильтонову форму, а также получил для них все возможные первые интегралы. По сравнению с небесномеханиче-ской задачей N тел эти уравнения имеют первый порядок относительно координат вихрей, роль масс в них играют некоторые параметры, называемые циркуляциями. Он также более подробно (по сравнению с Гельмгольцем) рассмотрел случай двух вихрей, включая случаи вихревой пары. В последующих изданиях он рассмотрел также указанный Грёбли интегрируемый случай трех вихрей.

Кирхгоф рассмотрел особый случай вихревого движения, когда параллельные вихревые нити заполняют внутренность эллиптического цилиндра. Оказывается, что эллиптическая форма цилиндра сохраняется во время движения, хотя сам цилиндр при движении деформируется. Модель вихря Кирхгофа, или эллиптического вихря, и используется для изучения движений пятен завихренности. В лекциях Кирхгофа также дан более подробный анализ движения вихревого кольца.

Грёбли, Вальтер (1852-1903), Горячев Д.Н. (1867-1949). Вальтер Грёбли в своей диссертации 1877 года «Spezielle Probleme über die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden» [97] подробно проанализировал интегрируемую задачу о движении трех вихрей на плоскости. Отметим, что ссылка на эту работу Грёбли уже имеется в лекциях Кирхгофа (1883 года) [30]. С другой стороны, Л.Пуанкаре в своих лекциях 1893 года и вышедшей по ним книге «Théorie des Tourbillions» не только не ссылается на Грёбли, а дает достаточно запутанное доказательство интегрируемости (возможно, просто допуская типичную для него неточность в выражениях).

Для анализа движения Грёбли получает (приведенную) систему трех нелинейных уравнений, обладающую двумя интегралами движения и позволяющую получить явную квадратуру. Далее он рассматривает вопрос восстановления по полученной квадратуре абсолютного движения. Более подробно он анализирует частные случаи равных шп епеивпостей и взаимодействия вихревой пары с единичным вихрем (случай, интересный с точки зрения теории рассеяния). Грёбли также вводит геометрическую интерпретацию, полезную при исследовании движения трех вихрей на сфере (последние исследования этой системы относятся уже к 1998 году).

Отметим, что в своей диссертации Грёбли также рассматривает частный случай задачи четырех вихрей (при наличии оси симметрии) и более общий случай движения 2N вихрей, обладающих N осями симметрии.

Анализ частных движений системы N вихрей, характеризующихся наличием различных дискретных симметрий, которые обеспечивают сведение к квадратурам, содержится в небольшой книге Д. Н. Горячева [23], вышедшей в 1898 году к 40-летию написания Г. Гельмгольцем его основной работы по теории вихрей (в [23] особенно подробно разбираются случаи п = 4, 5). Укажем, что частные решения, найденные и изученные Д. Н. Горячевым, оказались очень важными для понимания общей динамики в неинтегрируемой ситуации. При дополнительных ограничениях они приводят к семейству замечательных периодических и квазипериодических решений4, называемых аналитическими хореографиями.

Исследования Гребли задачи трех вихрей были продолжены Дж. Сингом1 [149], который сформулировал и доказал ряд теорем об абсолютном движении и получил простое условие ограниченности траекторий.

Исследования Грёбли и Синга были частично забыты, и в исследованиях Е. А. Новикова [17], X. Арефа [64], их многие результаты были повторены. Анализ устойчивости стационарных коллинеарных конфигураций задачи трех вихрей содержится в работе [150].

Лорд Кельвин (В. Томсон), Дж. Дж. Томсон, Т. X. Хавелок. Следуя общей идее XIX века, согласно которой объяснения различных физических феноменов следует искать в подходящих механических интерпретациях, лорд Кельвин предложил теорию вихревых атомов (On vortex atoms. Phil. Mag. 1867). В этой теории мир понимается как некоторый эфир (аналог идеальной жидкости), в котором взаимодействуют вихри Гельмгольца, подобные атомам, образующим молекулы. При этом сами атомы имели форму вихревых колец. Микроскопические вихри (по терминологии Кельвина) в этой теории объясняли гравитацию, которая понималась как результат их усредненного воздействия (толчков) с достаточно большой скоростью. Эти идеи Кельвина вскоре были полностью вытеснены атомной и квантовой механикой.

Кельвин также поставил вопрос об устойчивости стационарного вращения системы N точечных вихрей, помещенных в вершинах правильного iV-угольника. Он обратил внимание на аналогию этой проблемы с проблемой устойчивости равновесия системы одинаковых плавающих магнитов во внешнем магнитном поле. Эксперименты с плавающими магнитами, проведенные первоначально A.M. Майером [127], привели Кельвина к мысли, что при числе вихрей (магнитов), большем 5, вращающийся многоугольник является неустойчивым (на самом деле случай п = 6 является устойчивым). Эксперименты Майера далее совершепсхвовались во многих работах, в том числе современных, подробные ссылки имеются в [40].

Линейную устойчивость правильного iV-угольника исследовал

Дж. Дж. Томсон (открывший электрон). Он установил, что при п ^ 6 имеет месю линейная устойчивость. Допустив арифметическую ошибку, для п = 7 он нашел экспоненциально расту

41а русский язык были переведены четыре работы Дж Спша (по другой транскрипции — Дж Синджа): Тензорные методы в динамике, ИЛ, 1947; Классическая динамика, ГИФМЛ, 1963; Общая теория относительности, НЛ, 1963; Релятивистский газ, Атомпздат, 1960. щие решения. Томсон также предположил, что при /? ^ 8 линейная неустойчивость сохраняется. За свои исследования устойчивости Дж. Дж. Томсон был удостоен в 1883 году премии Адамса.

Полный линейный анализ устойчивости полигональной конфигурации провел Т. X. Хаве-лок [100], который установил линейную неустойчивость при п ^ 8 и указал на выделенность случая п = 7, для которого линейный анализ не позволяет сделать выводы об устойчивости, и на необходимость рассматривать нелинейные слагаемые. Устойчивость случая п — 7 была недавно доказана в работе [40] после различных, не совсем удачных, попыток нескольких авторов [75, 129].

Отметим, что в работе [100] (1931 г.) Хавелок исследовал также устойчивость системы вложенных друг в друга вихревых многоугольников и устойчивость томсоновских многоугольников, помещенных в круговую область.

Современные исследования. 1) В работах Е. А. Новикова (1975) н X. Арефа (1979) были еще раз независимо воспроизведены исследования Грёбли и Синга по анализу интегрируемой задачи трех вихрей, причем были указаны некоторые новые интересные факты.

2) В работах В. А. Богомолова были получены уравнения движения точечных вихрей на сфере. Первоначальный и не совсем полный анализ этой задачи был выполнен еще И. С. Громекой. (На самом деле Богомолов переоткрыл результаты Е.Цермело, который еще в XIX веке получил, а в случае малого 4) числа вихрей очень подробно исследовал эти уравнения. Здесь мы, тем не менее, упоминаем Богомолова поскольку авторство в данном вопросе (ошибочно) приписывается ему. Справедливости ради следует отметить, что работы и Богомолова и Цермело замечательны и идейно абсолютно различны; подробнее это обсуждается в последнем параграфе первой главы). В.А.Богомолов также указал все необходимые дополнительные интегралы и подробно исследовал интегрируемый случай трех вихрей с одинаковым значением интенсивностей. В случае различных интен-сивностей анализ движения был выполнен одновременно и независимо в работах А.В.Борисова, В.Г.Лебедева [79], П.Ньютона и Р. Кидамби [116, 115] (1998 г).

3) В. А. Богомоловым были получены условия линейной устойчивости аналогов томсоновских конфигураций на сфере, которые далее неоднократно переоткрывались [8]. Условия устойчивости по Ляпунову были получены в [75]. Нелинейный анализ устойчивости этих конфигураций в критических случаях был недавно выполнен Л. Г. Куракиным [39]. В нескольких работах были указаны статические конфигурации, составляющие Платоновы тела (см., например, [13]). В связи с проблемами современной химии полимеров в последнее время изучаются также близкие периодические движения или составные конфигурации, образующие так называемые вихревые кристаллы [67].

4) Неинтегрируемость задачи четырех вихрей на плоскости (в ограниченной постановке) была первоначально доказана С.Л.Зиглиным [29]. Этот результат подтверждает хаотизацию движения четырех вихрей, отмеченную Е. А. Новиковым и Ю. Б. Седовым [48]. Неинтегрируемость движения четырех вихрей на сфере и движения трех соосных вихревых колец была исследована А. А. и Д. А. Багре-цами [5, 68]. Применение КАМ-теории и явное понижение порядка для четырех вихрей (интенсивностей одного знака) на плоскости было выполнено К. М.Хани-ным [114] и позднее Лимом [124] (см. также работу [87]).

5) Статистические аспекты вихревой теории, непосредственно связанные с моделями регулярной турбулентности, подробно описываются в книге П. Ньютона [133]; аэрогидродинамические вопросы, связанные, например, с проблемой вихревого обтекания, представлены в книге Ф. Дж. Сэффмэна [59].

6) В ряде работ, принадлежащих Ткаченко [60], О'Нейлу [132], Арефу и Стрем-леру [66, 148], рассматриваются задачи, связанные с взаимодействием вихревых цепочек и вихревых решеток. Здесь речь идет о бесконечных в обе стороны наборах одинаковых вихрей, образующих цепочку (когда вихри лежат на прямой через одинаковый интервал) или решетку (т. е. совокупность цепочек, также лежащих на одинаковом расстоянии друг от друга). В первом случае система является од-нопериодической и определена на цилиндре, во втором случае — она двоякопери-одична и определена на торе. В такой постановке вопрос о взаимодействии вихревых цепочек, по существу, рассматривался Г. Ламбом, Т. фон Карманом, Н. Е. Кочиным [38, 45, 113] в связи с анализом устойчивости вихревых дорожек (дорожек Бенара-Кармаиа), образующихся при вихревом обтекании цилиндра. В этом случае мы имеем две вихревые цепочки с равными, но противоположными по знаку циркуляциями.

Здесь следует также отметить замечательную работу А. А. Фридмана и П. Я. Полубариновоп (Кочиной) (1928 г.) [61], в которой впервые были получены общие уравнения взаимодействия произвольного числа вихревых цепочек, а также уравнения движения вихреисточников.

Интегрируемость трех вихрей на цилиндре и торе с нулевой суммарной циркуляцией была впервые отмечена X. Арефом в 1984 году [65]. В работе [132] О'Нейл произвел суммирование бесконечных рядов, приведших к р-функциям Вейерштрасса, и указал явное сведение этих задач к одной степени свободы. В работе [155] используются не эллиптические формулы, а явные выражения в виде быстросходящихся рядов, которые упрощают вычисления. Более подробно эти задачи изучались в [66, 148], где приведены несколько фазовых портретов приведенной системы па двумерной плоскости. Однако качественный анализ интегрируемых и неинтегрируемых задач в этой области еще далек от завершения.

7) Взаимодействие точечных вихрен с неподвижными гладкими стенками рассматривалось на раннем этапе развития теории вихревых структур. Еще Гельм-гольц рассмотрел движение одного точечного вихря в идеальной жидкости, ограниченной плоскостью. Теория движения вихрей в произвольной области была заложена Э. Дж. Раусом [142] (решение для случая круговой области уравнения движения получил еще раньше А. Гринхилл [96]). Наиболее детально исследовались простейшие области — круг, прямоугольник, прямолинейный канал, многоугольники. Следует, однако, отметить, что эти задачи, хотя в большинстве случаев и имеют важное аэрогидродинамическое значение (и рассматривались еще Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным в связи с вихревым обтеканием тел идеальной жидкостью и общей теорией подъемной силы), до сих пор далеки от полного решения.

8) Ограниченные задачи вихревой динамики связаны с динамикой «бесконечно-малого» вихря (частицы жидкости или примеси) в потоке жидкости, создаваемом вихревыми структурами (например, взаимодействующими точечными вихрями). При этом предполагается, что рассматриваемый малый вихрь никак не влияет на движение этих структур. Такого рода исследования лежат в основе теории адвекции. Очевидно, что общее движение примеси является хаотическим уже для двумерного случая. Интерес к этой тематике в основном был стимулирован работами X. Арефа (который ввел широко используемое понятие хаотической адвекции). Изучение хаотизации в таких задачах, как иногда считают, имеет важное значение для объяснения турбулентности. Рассмотренная в диссертации модель массовых вихрей [139] позволяет изучать более реалистичное и важное, например для изучения процессов волнового перемешивания [21], явление динамической адвекции, когда массы перемешиваемых частиц отличны от нуля.

9) Задача о движении твердого тела в жидкости по праву относится к числу наиболее трудных проблем гидродинамики. Первые задачи о движении твердого тела, взаимодействующего с жидкой средой, восходят к Максвел- лу, Кирхгофу, Ламбу, Жуковскому и Чаплыгину. Существует два основных подхода к ее решению, первый, так называемый феноменологический, имеет в своей основе данные экспериментов и построение упрощенных моделей движения тела. Этот подход восходит своими истоками к работам классиков механики [27, 28]. В современных работах он широко применяется при исследовании движения тела в сопротивляющейся среде (см., например, [46]). Второй подход представляет собой попытку точного определения сил и моментов, действующих на тело со стороны жидкости. Для этого в случае вязкой жидкости необходимо использовать полные уравнения Навье-Стокса с граничными условиями на подвижной поверхности. Аналитически такая задача представляется неразрешимой. Однако в случае, когда жидкость идеальная и несжимаемая, а течение безвихревое, ее удается свести к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для исследования которых применимы методы классической механики. Различные частные случаи этой задачи рассматривали Пуассон, Стоке, Дирихле, Клебш и др. В 1870 г. Г.Кирхгоф свел задачу о движении твердого тела в неограниченном объеме идеальной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, к интегрированию замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Влияние идеальной жидкости на тело, как известно, проявляется в эффекте присоединенных масс. Затем В.Томпсон и Р.Тэт дали свой вывод этих уравнений([45],§134) с использованием принципа Гамильтона, обобщив при этом задачу па случай неод-носвязного тела. При выполнении определенных условий, помимо эффекта присоединенных масс, действие жидкости на тело может проявляться в виде дополнительных гироскопических сил, обусловленных циркуляцией. Так Н.Е. Жуковским [27] получена формула для подъемной силы, действующей на тела цилиндрической формы. Применяя свою формулу, Жуковский рассмотрел ряд задач о падении тяжелых твердых тел в безграничном объеме идеальной жидкости [27, 28]. В этих работах действие жидкости на твердое тело сводилось лишь к одной подъемной силе, что приводило, в частности, к нереалистичному предположению о несвязности поступательного и вращательного движений. С.А. Чаплыгин в 1926 г. [62] решил более общую задачу о силах и моментах, действующих на твердое тело, двигающееся произвольным образом в бесконечном объеме идеальной жидкости. Предполагается, что жидкость совершает безвихревое движение и покоится на бесконечности. В частности, циркуляция жидкости вокруг тела постоянна. Формулы Чаплыгина позволяют записать дифференциальные уравнения движения тяжелого цилиндрического тела в идеальной жидкости с учетом ненулевой циркуляции. В отсутствии циркуляции эта задача была рассмотрена Чаплыгиным в своей более раипей работе [63]. Качественный анализ задачи Чаплыгина без учета циркуляции дан в [34], с учетом циркуляции в [35, 54, 55]. Результаты этих работ были существенно доработаны и обобщены в обзорной статье [78], в которой также содержится большое число ссылок на недавние работы (в основном численные и натурные эксперименты) по данной тематике. Движение твердых тел в жидкости под действием следящей силы (направление и величина силы фиксированы в некоторой жестко связанной с телом системе координат) выполнено в [56, 53].

10) Задача о движении в идеальной жидкости двух твердых тел изучалась еще Стоксом, а с экспериментальной точки зрения Бьёркнесом [73]. В несколько более общей постановке задача исследовалась Н. Е. Жуковским в его «Лекциях по гидродинамике» [26]. Не менее интересной и представляющей практический интерес для современной гидроаэромеханики является задача взаимодействия в идеальной жидкости твердого тела (имеющего циркуляционное обтекание) и вихрей [137]. (Здесь подразумевается «плоская» постановка задачи.) В [83] показано, что такая система для случая круглого цилиндра является гамильтоновой с некоторой нелинейной скобкой Пуассона. При этом всегда существуют два первых интеграла движения, и задача об инерциальном взаимодействии кругового цилиндрического тела и точечного вихря является интегрируемой. Взаимодействие кругового цилиндра с двумя точечными вихрями уже не является интегрируемым и сводится к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. Указанные интегрируемые и неинтегрируемые системы пока почти совсем не изучены. Отметим, что несколько позже исследований автора [137, 138], аналогичная задача исследовалась в [145]. Полученные в [145] уравнения являются частным случаем [137]. Укажем также работы [110, 131], в которых изучается взаимодействие поступательно и равномерно движущегося или колеблющегося кругового цилиндра с одним и двумя точечными вихрями. В основном в этих работах анализируется возможность интегрируемости (и вычисляется интеграл Пуанкаре-Мельникова), а также определяются условия коллапса. В [145] анализируется устойчивость в задаче Фёппля, состоящей в изучении пары вихрей (два вихря с равными по величине, но отличающимися по знаку циркуляциями), взаимодействующей с круговым цилиндром в набегающем потоке. Как известно, эта задача является хорошей моделью вихревого обтекания цилиндра при небольших числах Рейнольд-са Ле = 13 ~ 41. Конфигурации Феппля для случая эллиптического цилиндра исследованы в недавней работе [111].

Итак, мы подробно показали, что многочисленные различные постановки как задачи о движении точечных вихрей в жидкости, так и задачи о движении в жидкости одного твердого тела изучались долго и изучены уже достаточно основательно. Исследования в этом направлении давно перешагнули границы традиционной гидромеханики и "стали достоянием" механиков и математиков, использующих уравнения в этих задачах как полигон для испытания новых и новых качественных методов анализа динамических систем. Но вместе с тем исследования совместного движения твердых тел и вихрей (именно аналитические, а не экспериментальные исследования), а также опять-таки аналитические исследования задачи о движении нескольких тел практически не проводились. Имеющиеся работы (частично уже упомянутые) можно пересчитать по пальцам. Настоящая диссертация призвана хотя бы частично восполнить этот пробел. Представляется актуальным получение точных уравнений движения (наподобие знаменитых уравнений Кирхгофа), описывающих поведение тел, взаимодействующих с вихрями, а также системы нескольких тел. Подобные системы исключительно важны не только для непосредственного вычисления гидродинамического сопротивления, испытываемого телом, движущемся в завихренном потоке, но и для исследования задач турбулентности и перемешивания. Родственная задача о самопродвижении тела в жидкости имеет важное значение для моделирования и проектирования подводных аппаратов. Интерес к ней связан с изучением механизма плавания рыб, а также явления кавитации.

Особенностью диссертации является широкое использование численных экспериментов и методов компьютерной визуализации в сочетании с аналитическими методами. Специально для этих целей был создан программный комплекс, описанный в Приложении. При проверке полученных результатов (и особенно случаев интегрируемости) использовалась система аналитических вычислений МАРЬЕ. Помимо широкого приложения компьютерных методов, в работе используются и развиваются идеи и методы Ли-алгебраический редукции уравнений движения, основанные на анализе соответствующих пуассоновых структур. Без подобных методов анализа, развивающих и обобщающих идеи Рауса, решение ряда задач представленных в диссертации традиционными классическими методами (например, движение тела в жидкости на 52, движение в жидкости двух сфер) представляется весьма проблематичным.

Остановимся теперь подробнее на структуре диссертации.

Первая глава посвящена классической задаче о взаимодействии в жидкости твердых тел и точечных вихрей. Дается строгий аналитический вывод основных уравнений, описывающих взаимодействие в идеальной жидкости кругового цилиндра и точечных вихрей. Доказано, что эта система гамильтонова, в явном виде указана достаточно нетривиальная пуассопова структура, существование которой было обнаружено в ходе численных экспериментов. Для дан 11011 структуры выполнена редукция Дирака, что позволило записать уравнения движения цилиндра и точечных вихрей в виде, практически аналогичном классическим уравнениям Кирхгофа, описывающим движения точечных вихрей. Показано, что задача о движении цилиндра и двух вихрей не является интегрируемой. Полученные уравнения затем обобщаются на случай цилиндра произвольной формы и указывается на неинтегрируемость задачи о движении эллиптического цилиндра и одного вихря. В заключении, развивая идеи Э. Цермело, И.С. Громеки, В.А. Богомолова, заложивших основы гидродинамики на двумерных поверхностях, исследуется задача о движении на поверхности двумерной сферы кругового твердого тела, взаимодействующего с точечными вихрями.

Во второй главе рассматриваются простейшие постановки задачи о движении в жидкости нескольких тел. Исследуется движение двух круговых цилиндров при наличии циркуляции вокруг каждого из них. Выполнено сведение к системе с двумя степенями свободы и указана неинтегрируемость в общем случае. Устремляя затем радиусы цилиндров к нулю, считая при этом их массы неизменными, получены новые гидродинамические объекты, так называемые массовые вихри. Подробно исследовано движение двух массовых вихрей. Показано, что в общем случае эта система неинтегрируем а. Найдены случаи интегрируемости и выполнен качественный анализ. В частности, найдено условие устойчивости для решения типа вихревой пары (массовые вихри противоположных интенсивностей движутся по параллельным прямым). Рассмотренная далее задача о движении в жидкости двух сфер оказывается менее тривиальной с точки зрения приведения. Для выполнения редукции к системе с двумя степенями свободы применен, разработанный в [13], метод цепочек подалгебр. Запись уравнений в редуцированных переменных позволила обнаружить нетривиальное винтовое стационарное решение в ограниченной задаче о движении двух сфер. Указанный алгоритм редукции затем распространен на случай, когда редуцированные переменные образуют уже, вообще говоря, нелинейную структуру.

В главе 3 изучается классическая задача о самопродвижении тела в идеальной жидкости, то есть обсуждается следующий вопрос: может ли тело, пребывая изначально в состоянии покоя, переместиться в наперед заданное положение лишь под действием внутренних сил? Ответ на этот вопрос положительный, в то время как при отсутствии жидкости этого, очевидно, добиться невозможно. В диссертации доказывается обобщение теоремы Лиувилля о вращении деформируемого тела (вне жидкости) вокруг неподвижной точки, и на основании этого обобщения, выводятся общие уравнения движения для деформируемого тела, погруженного в жидкость. В публикациях, посвященных этой задаче, самопродвижение связано с изменением формы тела, а также сходом вихрей с острых кромок. Основным результатом третьей главы является утверждение о том, что для гидродинамически несимметричного тела самопродвижение возможно за счет изменения распределения массы внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной. Так для тела с тремя ортогональными плоскостями симметрии при условии, что не все его присоединенные массы равны между собой, доказано, что за счет изменения геометрии масс его можно перевести в любое наперед заданное положение. Более того, используя теорему Рашевского, показано, что эффект полной управляемости проявляется уже в простейшем случае, когда внутри материальной оболочки перемещается всего одна материальная точка.

В Приложении приведено описание использованного при исследованиях программного комплекса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36, 37, 136, 137, 138, 139, 54, 140, 56, 10, 15, 16, 82, 83, 84, 85].

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

1) Получены уравнения движения для кругового цилиндра, взаимодействующего с п точечными вихрями в идеальной жидкости. Доказана интегрируемость данной системы при 77 = 1 и выполнено качественное исследование движения в этом случае.

2) Уравнения движения обобщены на случай произвольного тела, взаимодействующего с точечными вихрями. Указана неинтегрируемость задачи о взаимодействии эллиптического цилиндра и вихря.

3) Выведены уравнения движения для кругового тела на поверхности двумерной сферы, взаимодействующего с одним точечными вихрем. Доказана интегрируемость этой системы и для нее выполнен качественный анализ движения.

4) Получены уравнения движения двух круговых цилиндров в идеальной жидкости. Предельным переходом получены новые гидродинамические объекты (массовые вихри). Для системы, состоящей из двух массовых вихрей, указана неинтегрируемость в общем случае, а также найден и исследован ряд интегрируемых случаев.

5) Используя метод цепочек подалгебр, выполнена редукция задачи о движении двух сфер в идеальной жидкости к гамильтоновой системе с двумя степенями свободы. С помощью редуцированных уравнений удалось обнаружить новое частное движение в ограниченной задаче.

6) Указанный алгоритм редукции распространен на случай, когда алгебра редуцированных переменных не является алгеброй Ли, и применен к задачам о движении двух сфер в идеальной жидкости на поверхности трехмерной сферы и классической задачи о движении на сфере трех точечных вихрей.

7) Исследована задача о самопродвижении твердого тела в идеальной жидкости. Выведены общие уравнения движения тела с изменяющейся границей. В отличие от традиционных подходов, связывающих самопродвижение с изменением формы тела и сходом вихрей с острых кромок, доказано, что при достаточно общих предположениях, полная управляемость тела (возможность перевести тело в любое наперед заданное положение) может быть обеспечена лишь за счет перераспределения масс внутри тела, тогда как форма оболочки остается неизменной.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1991.

2. Арнольд В. И., Гивснталь А. Б. Симплектическая геометрия. Ижевск: Изд-во «РХД», 2000.

3. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И., Математические аспекты классичекой и небесной механики, в кн. Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1985, т. 3.

4. Арнольд В.И., Хесин Б.А, Топологические методы в гидродинамике, М.: МЦНМО, 2007, 392 с.

5. Багрец A.A., Багрец Д. А. Неинтегрируемость гамильтоновых систем вихревой динамики // Per. и хаот. дин. 1997. Т. 2. №1; 2. С. 36-43; 58-65.

6. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1, Том 2, М.: Мир, 1980.

7. Богомолов В.А., Динамика завихренности на сфере, Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1977, № 6, с. 57-65.

8. Богомолов В. А. Модель колебаний центров действия атмосферы // Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15. №3. С. 243-249.

9. Богомолов В. А. О двумерной гидродинамике на сфере // Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15. №1. С. 29-35.

10. Борисов А. В., Газизуллина JI. А., Рамоданов С. М. Диссертация Э. Цермело о вихревой гидродинамике tia сфере, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №4, стр. 497-513.

11. Борисов А. В., Мамаев И. С. Странные аттракторы в динамике кельтских камней, УФЫ, т. 173, № 4, с. 407-418.

12. Борисов A.B., Мамаев И.С., Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируе- мость, хаос, М.-Ижевск: Изд-во «РХД», ИКИ, 2005, 576 с.

13. Борисов A.B., Мамаев, И.С., Пуассоновы структуры и алгебры Ли в га-мильтоновой механике. Ижевск: Изд-во "РХД", 1999.

14. Борисов A.B., Мамаев И. С., Математические методы динамики вихревых структур. Москва-Ижевск: Институт Компьютерных исследований, 2005.

15. Борисов А. В., Мамаев И. С. и Рамоданов С. М., Движение двух сфер в идеальной жидкости. I. Уравнения движения в евклидовом пространстве. Первые интегралы и редукция. Нелинейная Динамика, 2007, т. 3, вып. 3, с. 411-422.

16. Борисов А. В., Мамаев И. С., Рамоданов С. М. Алгебраическая редукция систем на двумерной и трехмерной сферах, Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №4, стр. 407-416.

17. Билля А. Теория вихрей. ОНТИ, М.-Л. 1936, пер. с фр. Villat H. Leçons sur la theorie des tourbillions. Gauthier-Villars. 1930.

18. Воинов O.B., Петров А.Г. // ДАН, 1973, Т.215, N5.

19. Воронец П. В., Преобразования уравнений динамики с помощью линейных интегралов (с приложением к задаче о трех телах), Киев: Изв. ун-та Св. Владимира, 1907.

20. Воронец П. В., К вопросу об интегрировании уравнений Лагранжа, Записки мат. кабинета Крымского (б. Таврического) Университета им. Фрунзе, 1921, т. 3, С. 39-60.

21. Ганиев Р. Ф., Ревизников Д. Л., Украинский Л Е. Волновое премешиваиие. Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №2, стр. 113-132.

22. Гельмгольц Г. Два исследования по гидродинамике. М., 1902. С. 5-51. // Int. J. Fussion Energy. 1978. 1, №3/4. P. 41-68.

23. Горячев Д. H. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей. Москва: Уиив. тип., 1898.

24. Громека И.С., О вихревых движениях жидкости на сфере, Ученые записки Казанского ун-та, 1885; см. также: Громека И.С., Собрание трудов, Москва: АН СССР, 1952, с. 184-205.

25. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

26. Жуковский Н. Е. О падении в воздухе легких продолговатых теп, вращающихся около своей продольной оси. Статья первая // Поли. собр. соч. М.-Л,: Глав. ред. авиац. лит., 1937. Т.5. с. 72-80.

27. Жуковский Н. Е. О парении птиц // Поли. собр. соч. М.-Л,: Глав. ред. авиац. лит., 1937. Т.5. с. 7-35.

28. Зпглин С. JI. Неинтегрируемость задачи о двиоюении четырех точечных вихрей // ДАН СССР. 1979. Т. 250. №6. С. 1296-1300.

29. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962. Пер. с нем. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematische Physik. Mechanik, Leipzig. 1874.

30. Козлов B.B. Динамика систем с неинтегрируемыми связями // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Матем., механ. 1983. N3. С.102-113.

31. Козлов В.В., Методы качественного анализа в динамике твердого тела, М.: Изд-во Моск. ун-та. 1980. 231 с. (2-е издание, дополненное: Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000. 248 с.)

32. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск: Изд. дом "Удмурт, ун-т", 1998. 238 с.

33. Козлов В.В. О падении тяжелого твердого тела в идеальной жидкости.// Изв. АН СССР, МТТ, 1989, №5, с. 10-17.

34. Козлов В.В. О падении тяжелого цилиндрического твердого тела в жидкости.// Изв. АН СССР, МТТ, 1993, №4, с. 113-117.

35. Козлов В. В. Рамоданов С. М.О движении изменяемого тела в идеальной жидкости, Изв. РАН, ПММ, Том 65, 2001.

36. Козлов В. В. Рамоданов С.М.О движении в идеальной жидкости тела с твердой оболочкой и меняющейся геометрией масс, ДАН РФ, 2002, №2.

37. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: 1955. 394 с.

38. Куракин Л. Г. О нелинейной устойчивости правильных вихревых многоугольников и многогранников на сфере // ДАН. 2003. Т. 388. №4. С. 482-487.

39. Курант P., Гильберт Э. Методы математической физики, т. 2, М.-Л.: ГТ-ТИ, 1945.

40. Лавреньтьев М.А., Лаврентьев М.М. Об одном принципе создания тяговой силы для движения // ПМТФ. 1962. N4. С. 3-9.

41. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука. 1973. 416 с.

42. Ладиков-Роев Ю. П., Сальников H. Н. К вопросу о сложном поведении динамических систем. Динамика движения системы вихрей в идеальной жидкости // Пробл. управл. и информат., 2002, №3, с. 47-60.

43. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат. 1947. Пер. с анг. Lamb H. Hydrodynamics, Eel. 6-th., N. Y. Dover publ. 1945.

44. Локшин Б. Я., Привалов В. А., Самсонов В. А. Введение в задачу о движении тела в српротивляющейся среде//М., 1986.

45. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ. 1975. Т. 68. Вып. 5. С. 1868-1882.

46. Новиков Е. А., Седов Ю.Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. Вып. 3. С. 868-876.

47. ПрандтльЛ. Гидроаэромеханика, 576 стр. Ижевск: НИЦ «РХД», 2000.

48. Пуанкаре А. Теория вихрей. Ижевск: Изд-во РХД, 2001. 160 с. Пер. с фр. Poincaré H. Théorie des tott,rbillions. Paris: Carre, 1893.

49. Рамоданов С. M. Движение двух круговых цилиндров в идеальной жидкости, (см. в сб. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Под. ред. А.В.Борисова, И.С.Мамаева и М.А.Соколовского. М-И: Институт компьютерных исследований, 2003, с. 327-335).

50. Рамоданов С. М.К задаче о движении твердого тела в оюидкости под действием следящей сшш,М.:Вестник МГУ,сер.матем.мех. 1992, №1.

51. Рамоданов С. M .К пространственной задаче о движении твердого тела в жидкости под действием следящей силы, Изв. АН СССР МТТ, 1995г, №5.

52. Рамоданов С. М.0 влиянии гщркуляции на падение тяжелого твердого тела в жидкости, Изв. АН СССР МТТ, 1996, №5.

53. Рамоданов С. M .Асимптотика решений уравнения Чаплыгина, Вестник МГУ,сер.матем.мех. 1995г, Сер. 1, №3.

54. Рамоданов С. М. К задаче о движении двух массовых вихрей в идеальной жидкости, Нелинейная Динамика, 2006, Т.2, № 4, сгр.435-443.

55. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией // Учен. зап. Моск. пед. ин-та им. Либк-нехта. Сер. физ.-мат. наук. 1938. N2. С. 83-94.

56. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Изд. 2, М., Гостехиздат. 1950.

57. Сэффмэн Ф. Дж. Динамика вихрей. М., Научный мир. 2000, пер. с англ. Saffman P. G. Vortex Dynamics. Camb. Univ. Press. 1992.

58. Ткаченко В. M. Устойчивость вихревых решеток // ЖЭТФ. 1966. Т. 50. Вып. 6. С. 1573-1585.

59. Фридман А. А., Полубаринова П. Я. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости. Геофизический сборник. 1928. С. 9-23.

60. Чаплыгин С. А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло, Поли. собр. соч., т. 3, Изв. АН СССР, 1933, с. 3-64.

61. Чаплыгин С. А. О движении тяжелых твердых тел в несжимаемой жидкости, Поли. собр. соч., т. 1, Изв. АН СССР, 1933, с. 133-150.

62. Aref Н. Motion of three vortices // Phys. Fluids. 1988. V. 31. №6. P. 1392-1409.

63. Aref H. Chaos in the dynamics of a few vortices —fundamentals and applications // IUTAM Congress. 1984 (invited lecture).'

64. Aref H., Stremler M. A. On the motion of three point vortices in a periodic strip // J. Fluid. Mech. 1996. 314. P. 1-25.

65. Aref H., Newton P. K, Stremler M. A, Tokieda Т., Vainchtein D. L. Vortex Crystals // Adv. Appl. Mech., 2003. v.29, P. 1-79.

66. Bagrets A. A., Bagrets D. A. Nonintegrability of two problems in vort.ex dynamics // Chaos. 1997. V. 7. №3. P. 368-375.

67. Basset A. B. On the motion of two spheres in a liquid, and allied problems, Proc. London Math. Soc., vol. 18, pp. 369-378.

68. Basset A. B. A Treatise on Hydrodynamics. Deighton, Bell & со., 1888.

69. Benjamín Т.В., Ellis А.Т. The collapse of cavitation bubbles and the pressure thereby produced against solid boundaries. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1966. V.260. P. 221-240.

70. Bjerknes C. Vorläufige Mittheilungen über die Kräfte, die entstehen, wenn kugelförmige Körper, indem sie Ddotations und Contractions — Schwingungen ausführen, in einer incompressible Flüssigkeit sich bewegen // J. Reine und Angew. Math., 1876, p. 264.

71. Bjerknes V.F.K. Fields of force // N. Y., Columbia Univ. Press, 1906, 135 p.

72. Bolsinov A. V., Borisov A. V., and Mamaev I. S., Lie Algebras in Vortex Dynamics and Celestial Mechanics — IV, Reg. & Chaot. Dyn., 1999, vol. 4, no. 1, pp. 23-50.

73. Borisov A.V., Kilin A.A. Stability of Thomson's configurations of uortices on a sphere // Reg. & Ch. Dyn. 2000. V. 5. №2.

74. Borisov A.V., Pavlov A.E., Dynamics and Statics of vortices on a Plane and a Sphere. I, Regul. Chaotc Dyn., 1998, vol. 3, №1, pp. 28-39.

75. Borisov A. V., Mamaev I.S., and Kilin A. A. Two-Body Problem on a Sphere. Reduction, Stocliasticity, Periodic Orbits. Reg. &; Chaot. Dyn., 2004, vol. 9 no. 3, pp. 265-280.

76. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S. M. Dynamics of a circular cylinder interacting with point vortices, Discrete and Contin. Dyn. Syst. B., 2005, v. 5, №1, p. 35-50.

77. A.V. Borisov, I.S. Mamaev, S.M. Ramodanov, Dynamics of two interacting circular cylinders in perfect fluid, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 2007, vol.19, no. 2, pp. 235-253.

78. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S. M. Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid, Regular and chaotic dynamics, ,V.8, N4, 2003.

79. Borisov A. V., Mamaev I. S., Ramodanov S. A4. The dynamic interaction of point vortices and a 2-D cylinder, J. Math. Phys. 48, 1, 2007.

80. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta Processes, Math. Comput. 1964. Vol. 18. P. 50-64.

81. Celletti A., Falconi C. A remark on the KAM theorem applied to a four-vortex system, J. Stat. Phys., 1998, 52, 1-2. P. 471-477.

82. Cetayev N. Sur les équations de Poincaré // C.r. Acad. sci. Paris. 1927. V. 185. P. 1577-1578.

83. Chorin A.J. Vorticity and turbulence, Springer, 1998

84. Crowdy D., Point vortex motion on the surface of a sphere with impenetrable boundaries, Phys. Fluids, 2006, vol. 18, 036602.

85. Everhart Е. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits, Cel. Mech. 1974. Vol. 10. P. 35-55

86. Galper A., Miloh T. Self-propulsion of general deformable shapes in a perfect fluid. Proc.Roy.Soc.A. 1993. V.442. P. 273-299.

87. Galper A., Miloh T. Dynamical equations for the motion of a rigid or deformable body in an arbitrary potential nonuniform flow field. J. Fluid. Mech. 1995. V.295. P.91-120.

88. Galper A.R., Miloh T. Hydrodynamics and stability of a deformable body moving in the proximity of interfaces. Physics of Fluids. 1999. V.U. N4. P.795-806.

89. Greenhill A. G. Plane vortex motion. Quart. J. Pure Appl. Math. 1877/78, v. 15, № 58, p. 10-27.

90. Gröbli W. Speziele Probleme über die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfäden // Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch. 1877. V. 22. P. 37-81, 129-165.

91. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. "Solving ordinary differential equations", I. Nonstiff problems , Springer (1987)

92. Hally, D., Stability of streets of vortices on surfaces of revolution with a reflection symmetry, J. Math. Phys. 21:1, 211-217 (1980)

93. Havelock Т. H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation.// Phil. Mc. 1931, Ser. 7, v. 11, № 70, p. 617-633.

94. Herman R. A. On the motion of two spheres in a fluid, and allied Problems. Quarterly Journal, 1887, vol. 22., p. 204-262.

95. Hicks W. M. On the motion of two cylinders in a fluid, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 16 (1879) 113-140, 193-219.

96. Hicks W. M. On the condition of steady motion of two cylinders m a fluid, Jbid., vol. XVII, 1881, p. 194-202.

97. Hicks W. M. On the motion of two spheres in a fluid. Phil. Trans., 1880, pp. 455-493.

98. Hicks W. M. On the problem of two pulsating spheres in a fluid. Part I. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1880, Vol. 3, Pt. 7.

99. Hicks W. M. On the problem of two pulsating spheres in a fluid. Part II. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1880, Vol. 4, Pt. 1.

100. Horn R.A., Johnson Ch.R. Matrix Analysis. Cambridge etc.: Univ. Press, 1986. = Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. M.: Мир. 1989. 655 с.

101. Johnson Е. R., McDonald Robb N. The motion of a uortex near two circular cylinders // Proc. R. Soc. Lond. A., 2004, V. 460, p. 939-954.

102. Kadtke J. В., Novikov E. A. Chaotic capture of vortices by a moving body. I. The single point vortex case. Chaos 3, 543, 1993.

103. Kanso E., Oskouei B.G. Stability of a coupled body-vortex system. J. Fluid Mech. (2008), vol. 600, pp. 77-94.

104. Kanso E., Marsden J. E., Rowley C.W., Mclly-Huber J. B. Locomotion of articulated bodies in a perfect fluid. J. Nonlinear Science, 2005, vol. 15, pp. 255-289.

105. Karman Th. von. Uber den Mechanismus des Widerstands, den ein bewegter Körper in einer Flüssigkeit erfahrt // Güttingen Nach. Math. Phys. Kl. 1911. P. 509-519.

106. Khanin К. M. Quasi-periodic motions of vortex systems // Physica D. 1982. V. 4. P. 261-269.

107. Kidambi R., Newton P. K. Collision of three vortices on a sphere //II Nuovo Cimento. 1999. V. 22. №C(6). P. 779-791.

108. Kidambi R., Newton P. K. Motion of three point vortices on a sphere. Physica D. 1998, v. 116, p. 143-175.

109. Kidambi R., Newton P.K., Point vortex motion on a sphere with solid boundaries, Phys. Fluids, 2000, vol. 12, no. 3, pp. 581-588.

110. Kirchoff G. Vorlesungen über mathematiche Physik. Mechanik. Leipzig: Teubner, 1897. — Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: Изд-во АН СССР.

111. Kirchhoff G.R. Vorlesungen über Mechanik // Teubner, Leipzig, 1883. Пер. на рус.: Кирхгоф Г. Механика // Ижевск: НИЦ «РХД», 2001, 404 с.

112. Boatto S., Koiller J., Vortices on closed surfaces, arXiv:0802.4313.

113. Kuznetsov V.M., Lugovtsov B.A., Sher Y.N. On the motive mechanism of snakes and fish // Arch. Rath. Mech. Analysis. 1967. V. 25. N5. P. 367-387.

114. Landweber L., Miloh T. The Lagally theorem for unsteady multipoles and deformable bodies. J. Fluid. Mech. 1980. V.96. P.33-46.

115. Lighthill J.M. Note on swimming of slender fish. J. Fluid. Mech. 1960. V.9. P. 305-317.

116. Lim C. C. A combinatorical perturbation method and Arnold's wiskered tori in vortex dynamics, Physica D, 1993, v. 64, p. 163-184.

117. Liouville J. Développements sur un chapitre de la "Mechanique"de Poisson // J. Math. Pures et Appl. 1858 V.3. P. 1-25.

118. Marsden J. E. and Weinstein A. Reduction of Symplectic Manifolds With Symmetry, Rep. Math. Phys., 1974, vol. 5, pp. 121-130.

119. Mayer A. M. Floating magnets, Nature. 1877/78. V.17. №442.P.487.

120. Merson R. H., An operational method for the study of integration processes, Proc. Symp. Data Processing , Weapons Res. Establ. Salisbury , Salisbury (1957) pp. 110-125

121. Mertz G.T. Stability of body-centered polygonal configurations of ideal vortices 11 Phys. Fluids. 1978. V. 21. №7. P. 1092-1095.

122. Milne-Thomson L. M. Theoretical Hydrodynamics (4th ed.). London, MacMillan&co., 1962.

123. Novikov E. A. Chaotic vortex-body interaction, Phys. Lett. A. 1991. V.152. №8.P.393-396.

124. O'Neil K. A. On the Hamiltonian dynamics of vortex lattices // J. Math. Phys. 1989. 30(6). P. 1373-1372.

125. Newton P. K. The N-Vortex problem. Analytical Techniques. Springer, 2001.

126. Pearson K. On the motion of spherical and ellipsoidal bodies in fluid media. Quarterly Journal, vol. 20, pp. 60-80.

127. Poincare H. Sur le forme mouvelle des equation de la mecanique // C. R. Acad. Sci. Paris, 1901, V. 132, p. 369-371.

128. Ramodanov S. M. Motion of a circular cylinder and a vortex in an ideal fluid. Reg.& Chaot.Dyn. 2001, v. 6, № 1, p. 33-38.

129. Ramodanov S. M. Motion of a circular cylinder and N point vortices in a perfect fluid. Reg. & Chaot. Dyn. 2002, v. 7, №3, p. 291-298.

130. Ramodanov S. M. Motion of two circular cylinders in a perfect fluid, Reg. & Chaot. Dyn., 2003, v. 8, №3, p. 313-318.

131. Ramodanov S.M.On the motion of two mass vortices in perfect fluid, A.V. Borisov et al. (eds.), IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence, Springer, 2007.

132. Ramodanov S.M. Dynamical interaction of a rigid body and point vortices on a, two-dimensional sphere, Reg. & Chaot. Dyn., 2009 (в печати).

133. Ragazzo С. G. Dynamics of many bodies in a liquid: Added-mass tenzor of compounded bodies and systems with a fast oscillating body. Physics of fluids, 2002, vol. 14, №5, pp. 1590-1600.

134. Routh E. J. Some applications of conjugate functions // Proc. Lond. Math. Soc. 1991. V. 12. №170/171. P. 73-89.

135. Routh E.J. Dynamics of a System of Rigid Bodies. N. Y.; Dover; L.: MacMillan, 1882.= Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т.2. М: Наука. 1983. 544 с.

136. Saffman P.G. The self-propulsion of a deformable body in a perfect fluid. J. Fluid. Mech. 1967. V.28. P.385-389.

137. Shashikanth В. N., Marsden J. E., Burdick J. W., Kelly S. D. The Hamiltonian structure of a 2D rigid circular cylinder interacting dynamically with N point vortices. Phys. Of Fluids. 2002, v. 14, p. 1214-1227.

138. Shashikanth B. N. Poisson brackets for the dynamically interacting system of a 2D rigid cylinder and N point vortices: the case of arbitrary smooth cylinder shapes, Reg. & Chaot. Dyn., 2005, v. 10, №1, p. 1-14.

139. Stremler М. A, Aref Н. Motion of three point vortices in a periodic parallelogram // J. Fluid Mech. 1999. V.392. P.101-128.

140. Synge J.L. On the motion of three vortices. Can. J. Math. 1949, v. 1, p. 257-270.

141. Tavantzis J., Ting L. The dynamics of three vortices revisited // Phys. Fluids. 1988. V. 31. №6. P. 1392-1409.

142. Taylor G.I. Analysis of the swimming of microscopic organisms. Proc. Roy. Soc.A. 1951. V.209. P. 447-461.

143. Taylor G.I. The action of waving cylindrical tails in propelling microscopic organisms. Proc. Roy. Soc.A. 1952. V.211. P. 225-239.

144. Taylor G.I. Analysis of the swimming of long and narrow animals. Proc. Roy. Soc.A. 1952. V.214. P. 158-183.

145. Thompson W., Tait P. G. Treatise on Natural Philosphy. Cambridge University Press, 1887.

146. Weiss С. С, McWilliams J. С. Nonergodicity of point vortices, Phys. Fluids. A. 1991. V.3(5). P. 835-844.

147. Wu T.Y. Swimming of a waving plate. J. Fluid. Mecli. 1961. V.10. P.321-344.