Вариационные методы в теории трещин с ограничениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии Наук

На правах рукописи

Ковтуненко Виктор Анатольевич

Вариационные методы в теории трещин с ограничениями

01 02 04 "Механика деформируемого твердого тела"

Автореферат диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

003064883

Новосибирск - 2007

003064883

Работа выполнена в Институте гидродинамики имени М А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской Академии Наук

Научный консультант - д ф.-м.н , проф. А М. Хлуднев

Официальные оппоненты

чл -корр РАН, д ф -м н , проф Ю.В Петров д.ф -м н , проф Ю.М Волчков д ф.-м н., проф А Г Колпаков

Ведущая организация -

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Защита состоится " 2 ^ "октября 2007 г в " "часов на заседании диссертационного совета Д 003 054 02 при Институте гидродинамики имени М А. Лаврентьева СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 15

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики имени М А Лаврентьева СО РАН

Автореферат разослан "августа 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

М.А Леган

Аннотация. Диссертационная работа посвящена моделированию, математическому обоснованию и численному анализу нсклассиче-ских задач о трещине с учетом взаимодействия между ее берегами и росте трещин на основе современных методов анализа чувствительности и оптимизации формы, оптимизации с ограничением и вариационных методов

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность проблемы. Возникновение и рост трещин проявляются в процессе разрушения материалов, промышленных конструкций, машин и механизмов, разломов земной коры и т д Трещины являются предметом изучения в инженерных, физических и математических науках Учет нелинейных эффектов взаимодействия между берегами трещины является актуальной проблемой в рамках современной механики и трибологии. Исследование нелинейных моделей трещин связано с рядом принципиальных математических трудностей, обусловленных отсутствием свойств гладкости Развитию классической теории трещин носвящены работы авторов И И Аргатов, В И Астафьев, H В. Ваничук, Г И Баренблатт, Р В. Гольд-штейн, А H Гузь, Р. Дудучава, В.М Ентов, В В Зозуля, JI M Кача-нов, В А Козлов, В А Кондратьев, В М. Корнев, А С Кравчук, M Леонов, В Г. Мазья, А.Б Мовчан, Е М. Морозов, H Ф Морозов, С А Назаров, В В Новожилов, В В Панасюк, В.З. Партон, Ю В Петров, В А Пламеневский, Ю.Н Работнов, JI И Слепян, J1 М. Труш-киновский, Г П Черепанов, G A Francfort, Р Grisvard, J.-J Marigo, J Sokolowski, J R Rice и других Теория трещин с ограничениями получила свое развитие в последнее десятилетие в работах A M Хлуд-нева с соавторами

1 2 Цель диссертационной работы. Целью работы является построение, строгое математическое обоснование и численный анализ неклассических задач о равновесии и росте трещин с ограничениями, учитывающими нелинейные эффекты взаимодействия между берегами трещины.

1 3 Направление исследований, а) моделирование трещин с учетом взаимодействия берегов, б) анализ корректности нелинейных задач о трещине, в) построение алгоритмов численной оптимизации

для задачи о трещине с ограничением, г) анализ чувствительности формы при возмущении трещин; д) оптимизация геометрических и топологических параметров формы трещины, е) предсказание зарождения, роста трещин и разрушения на основе энергетических характеристик

1 4 Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. В диссертационной работе используются теоретические методы исследований Достоверность результатов обосновывается строгими математическими доказательствами, апостериорным анализом результатов численных экспериментов и сравнением с другими результатами, известными автору в литературе по математическим и техническим наукам.

1 5 На защиту выносятся, а) математические модели упругих тел и композитов с трещиной с учетом непроникания, трения Треска и Кулона, сцепления (когезии) и зон пластичности на ее берегах,

б) результаты о корректности вариационной постановки нелинейных задач в области с трещиной (разрезом) и гладкости их решений,

в) численные алгоритмы для решения задачи о трещине с ограничением и результаты исследований свойств их сходимости, г) результаты глобального асимптотического анализа задачи возмущения формы трещины криволинейной и пространственной структуры, д) локальные и глобальные методы оптимизации геометрических и топологических параметров формы трещины; е) численные результаты о росте трещин в однородных и составных телах и расслоении композитов при различных типах заданной нагрузки

1 6 Научная новизна. В диссертационной работе изучен новый класс нелинейных математических моделей, описывающих диссипа-тивные процессы на трещине. На основе современных подходов разработаны оптимизационные методы для описания изменений геометрии и топологии трещин Используя результаты негладкого анализа, построены эффективные методы численного решения нелинейных задач о трещине и их росте.

1 7 Практическая полезность работы. Полученные результаты применимы в наномеханике, теории разрушения и структурной оптимизации, могут быть использованы для приложений в технических

науках, для организации вычислительных процессов, а также в других областях, использующих методы оптимизации с ограничением, таких как математическое программирование, геофизика, математическая экономика и т д

1 8 Реализация результатов. Результаты использовались при чтении специальных и основных курсов для студентов и аспирантов механико-математического факультета Новосибирского государственного университета, там же изданы 2 методических пособия по теме диссертации Вычислительные алгоритмы реализованы в средах FORTRAN и MATLAB и могут быть использованы для научных и методических целей

1 9 Апробация работы. Результаты но теме диссертации получены в ходе выполнения исследовательских проектов Российского фонда фундаментальных исследований (96-01-01645, рук проф И Ю Цвелодуб, 97-01-00896, 00-01-00842, 03-01-00124, 06-01-00209, рук проф А М. Хлуднев), Министерства образования РФ (2000 4 19, рук проф А М Хлуднев), Сибирского отделения РАН "Задачи механики с трением на трещине", Международного научного фонда INTAS (YSF-01/33, рук академик В.М Титов, prof WL Wendland, 03-51-6046, рук проф А Ф Никитенко, prof Н -J Christ), Научного фонда Alexander-von-Humboldt "Umlateral constrained problems with boundary singularities" (рук prof. W.L Wendland), Австрийского научного фонда FWF (М622/ М737, рук. prof К Kunisch, SFB F003 "Optimierung und Kontrolle", рук prof F Kappel, P18267-N12 "Primal-dual copstramod optimization and txibology of cracks")

Результаты исследований докладывались на следующих научных форумах 13 межрегиональная конференция "Численные методы решения задач упругости и пластичности" (Новосибирск, 22-24 июня 1993 г), Сибирская школа-семинар по механике (Новосибирск, декабрь 1997 г), Ц1 Сибирский конгресс "Индустриальная и прикладная математика"(Новосибирск, 22-27 июня 1998 г.), International Conference on "Multifield Problems" (Штуттгарт, Германия, 6-8 октября 1999 г), Workshop on "Models of Fracture"(Кэмбридж, Великобритания, 1-12 ноября 1999 г), 6 GAMM/GACM Seminar on "Bruch-

und Sdmdiguiigsm(4-hanik"(Epjianreii-Hiopii6ci)r, Германия, 9-10 марта 2000 г.), Conference on "Shape Optimization"(Нанси, Франция, 1314 апреля 2000 г.), International Workshop on "3D-Smgulanties m Elasticity- Theory, Numerics, Applications"(Карлсруе, Германия, 22-24 ноября 2000 г), Workshop on "The Treatment of Corners m Layered Structures, Plates and Composites" (Карлсруе, Германия, 18 декабря 2001 г), International Conference on "Multifield Problems"(Штуттгарт, Германия, 8-10 апреля 2002 г); 277 -WE Heraeus Seminar on "Contact and Fracture Problems"(Бад Хоннеф, Германия, 27-29 мая 2002 г), IV Brazilian Workshop on "Continuous Optimization"(Рио де Жанейро, Бразилия, 15-20 июля 2002 г), International Conference on "Scientific Computation and Differential Equations"(Трондхайм, Норвегия, 29 июня-4 июля 2003 г), 3rd Annual "McMaster Optimization Conference Theory and Applications"(Хамильтон, Онтарио, Канада, 30 июля-1 августа 2003 г.); SIAM Conference on "Analysis of Partial Differential Equations" (Хьюстон, Техас, США, 6-8 декабря 2004 г); Annual meeting of JSIAM (Цукуба, Япония, 16-18 сентября 2006 г), международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (Векуа-100, Новосибирск, 28 мая-2 июня 2007 г), конференция по вычислительной математике (Новосибирск, 18-20 июня 2007 г )

По теме диссертации делались сообщения и доклады на семинарах в Институте проблем механики РАН (семинар им JI А Галина, рук проф В М Александров, А.В. Манжиров, В Н Кукуд-жанов, 12 марта 2007 г.), на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета им М В Ломоносова (семинар кафедры механики композитов, рук. проф Б Е По-бедря, 16 марта 2007 г), на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского Государственного Университета (сомина}) кафедры теории упругости, рук академик РАН Н Ф Морозов, 14 июня 2007 г), в Институте проблем машиноведения РАН (рук чл -корр РАН Ю В Петров) и в институтах новосибирского научного центра СО РАН

1 10 Публикации. Основное содержание диссертации отражено в цитируемых 26 научных работах, опубликованных в том числе в журналах, включенных ВАК в список для обязательной публикации результатов докторских диссертаций (5 статей в ПМТФ, 1 статья в ПММ, 1 статья в МТТ, 1 статья в ЖВМиМФ, 2 статьи в СМЖ), в

1 монографии в соавторство с нроф А М. Хл уд новым и 2 методичо-ских работах, а также в сборниках и трудах конференций

1 11 Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из 3 глав, введений и заключений к каждой главе, библиографического списка из 159 наименований Работа изложена на 371 листе машинописного текста, содержит 92 рисунка и 4 таблицы

2 Краткое содержание работы

21 В первой главе исследована вариационная постановка нелинейных задач о трещине, учитывающих феномен взаимодействия между противоположными берегами трещины, и изучены свойства корректности задач

Пусть О с (где N = 2 или N = 3) ограниченная область с границей дП = Г^иГуу класса Ск>г (к > О целое) и содержит внутри себя трещину Гс как не замкнутое многообразие коразмерности Ха-усдорффа 1 Обозначим область с трещиной — О \ Гс- Пусть Е продолжение Гс до замкнутой кривой (при N = 2) или поверхности (при N = 3), разделяющее П на две подобласти и П- Определим берега трещины Г^ С как соответствующие части границы ¿Ю^ Скажем, что граница д0.с — и Г^ и Г^, принадлежит классу Ск,1г если дО.^ принадлежат классу Ск,х Определим единичные векторы внешней нормали п = (щ,... к дС1 и и = (г/1, к Гс,

так что и совпадает с внешней нормалью к а —и с внешней

нормалью к ди+

Для вектора перемещений и ~ («х,.. , идт)т(ж) в области где х = (хь . ,хдг)т € М^, определим линейные симметричные тензоры упругих напряжений и деформаций

агу{и) = счЫеи(и), егз{и) - 0 Ь(иг,3 + и^), г,] = 1,. , ./V,

где по повторяющимся индексам г,],к,1 = проводится сум-

мирование Положительно определенный тензор коэффициентов упругости сг]ы описывает неоднородный анизотропный материал Здесь также допустимы разрывные коэффициенты сг]м = с*]к1 в и сг]и = с~]к1 в О- для составного тела со стыком Е При сделанных предположениях считаем выполненным неравенство Корна в Пс-

Определим- пространство Соболева в области с трещиной Н(Пс) = {иеН1{Пс)" ' « = 0 наГд}, на трещине пространство нЩ2(Гс) функций из Н^2{Гс), которые

допускают продолжение нулем на Е, его двойственное пространство

Яого/2(Гс)* и

ЯЛу(«с) ={« € Я (Sic) : ctJJ(u) € L2(Oc),

1<т,5(г1)1/5] = 0 наЕ, t = l,...,N}

Здесь и далее [£] обозначает скачок функции [£J = £|s+ — в частности, на трещине [£fl = — £|г- Если граница Шс класса

С0'1, то доказана суръективность линейно! о непрерывного оператора следа между элементами пространств

и € Н(ПС) € rNf, и\т± € Hl'2{Tc)N, [«] € нЦ2(Гс)"-,

и € Hdlv(üc) <&atJ(u)n3 € Я^2(Г^)*, <Ttj{v)vj € нЦ2{Гс)*, i,j = 1, . ,N

Определим нормальную и касательные составляющие векторов на трещине Гс

& = £r = £ - Для

Если граница сЮс* класса С1-1, то справедлива обобщенная формула Грина в области с трещиной (разрезом) для и € Hdivfäc), v € Я(ПС),

J аг]{и)е13{у) dx = - alJt3(u)vzdx + (al3(u)nJ,vl)rN

Sic Пс

- (M«)i Ы)гс - (<Гтг(и), К,1)гс,

с обозначением ( , ^ и { , }i'c двойственности между элементами пространств, определенных на Т^ и Гсг.

Для заданных / = (/ь • -, /jv)T € L2(fic)w и д = ,gjv)T €

L2(Fn)n определим функционалы, потенциальной энергии

П(гг; iic) = \ J агЛи)егЛи) ~ J ^х' ~ J 9lU%

пс «с гдт

поверхностной энергии на трещине

£(К1,гс) = 17 (Ы)«Ь, гё

полной энергии

Т(и,Пс) = П(и;Пс) + 5(К1;ГС)

Гипотеза Гриффитса предполагает постоянную плотность поверхностной энергии 7( ) = 7о, в этом случае задачи минимизации функционала Т или П относи тельно допустимого и будут эквивалентны между собой

Для конуса допустимых перемещений

К(ПС) = {«€ Я(ПС) • Ы >0 на Гс},

который учитывает условие непроникания берегов трещины, введенное ранее проф А М. Хлудневым, рассмотрим задачу минимизации (выпуклого квадратичного функционала энергии) с ограничением Найти и € К{£1с), такое что

П(и, Г2с) < П(г;, 0.с) для всех V € К(Г1с)-

Если граница сШс класса С1'1, то доказано существование единственного решения и € Я^у (^с) и, следовательно,

и € М 6 нЦ^Гс), *»(и) € Н^2(ГС)*,

о13{и^3 е нЦ?{Г„)\ атг{и) € НЦ2{ТС)\ г,у = .

Это решение нелинейной (на трещине) задачи упругого равновесия тела с трещиной в условиях непроникания'

-<г*«(и) = /и г = 1> 1*1, вПс,

и = 0 наГ£>, аг](и)п3 = дг, ъ = 1, на Гдг,

стт{и) = 0 на Гр, Ыи)]=0, Ы>0, а„(и)< 0, <г„(«Ж1 = 0 наГс.

При этом краевые условия на трещине выполнены в обобщенном смысле Для полубесконечной прямолинейной трещины Г с с нормалью V = (0,1)т в изотропном материале найдено частное сингулярное решение однородной задачи вида гаФ(ф), 0 < а < 1, в полярных координатах в окрестности вершины трещины (г, ф)г

U = -^Щ-Г^ЦК^^Ф) + Кпф"{ф)), К, > О,

ф1<ф) = ( (2«-l)cos|-cos| \

Ф W V (2«+l)sinf-sinf

ф"(Ф) = (

\ — (2« — 3) eos î| — eos -f ) A + ¿t

где Ли fi параметры Ламе

1/2

Для заданной по закону Треска силы трения 0 < F € H0¿ (Гс)* между берегами трещины Г^, задача равновесия тела с трещиной описывается минимизацией недифференцируемого выпуклого функционала с ограничением' Найти и € К (île), такое что

ЩщПс) + (F, |КЦ)гс < Щу,йс) + (F, |КЦ)гс

для всех V € К (tic)-

Доказано существование единственного решения и G H¿lv(Qc), которое дополнительно к условиям непроникапия характеризует условия трения на трещине в виде (вместо ат(и) = О)-

Mu)]=0, |<rT(u)|<F, а„(и)[«т,] = FUttrll на Гс.

Для прямолинейной трещины Гс в М2 доказана #2-гладкость решения в области вплоть до берегов трещины, за исключением окрестности ее вершин Для гладкой функции F найдена скорость притока энергии в вершине прямолинейной трещины с учетом диссипации за счет заданной силы трения

Пусть F = -Таи(и) но закону трения Кулона, где 0 < Т € С1 (Гс) заданный коэффициент трения (неоднородный) с компактным носителем Г^ С Гс на трещине. Применяя аргументы о неподвижной точке и снойстно слабой непрерывности отображения F > —аи(и) на ограниченном множестве в

{0 < F € нЦ2{ТсУ п Н-^2+а(Тг)}, О < а < 1/2,

доказано существование решения и е К (О, с) П (^с) соответствующего квазивариационного неравенства (здесь Гдг = 0)

j агз{и)ег]{у -и) ¿х- (Т<т„{и), |[«,.]| - |[«гЦ>гс

> £ /г(-и — к)г ¿х для всех V € К(0.с)-Ос

Учитывая необратимую работу сил сцепления (когезии) на трещине, принята гипотеза Христиановича-Баренблатта о зависимости функции нлотности поверхностной энергии 7 (5) от нормального раскрытия трещины 5 — > 0 Принципиальным является поведение функции в нуле 7(0) = 0, 7'(0) < оо, позволяющее описать феномен зарастания трещины, недопустимый но гипотезе Гриффитеа При этом функция 5 > 7(5) М+ > является невыпуклой (возможно вогнутой) Для построения математической модели задачи равновесия тела с трещиной в условиях сцепления рассматривается минимизация невыпукдого функционала (полной энергии) с ограничением. Найти и € К(Пс)> такое что

Т(и, Пс) < Т(у, Пс) для всех V € К(ПС). Используя свойство Липшиц-непрерывности 7 €

С0-1®, доказана

разрешимость задачи невыпуклой минимизации Если 7 € С1(Е), то необходимое условие оптимальности представляется вариационным неравенством (Г^ = Щ

J а%] {и)е1]{у ~ и) <1х +2 ! 7'(1'М)1ч;1'~ иЛ ^ Пг Г(7

> J — «). йх для всех у € К(р.с)-

Если 7 € С1Д(Е) и константа с в оценке Ь^1) - 7'(<52)1 < Ф1 - <52| достаточно мала, то вариационное неравенство является также и достаточным условием однозначной разрешимости задачи невыпуклой минимизации В этом случае определены краевые условия на трещине в виде

ат(и) = 0 на Гр,

М«)1 = 0, (KJ > 0, au(u) < 27'(K1),

на Гс.

{а„(и)-21'(1ии}))Ы = 0

Для прямолинейной трещины Г с в R2 с касательным вектором г = const,, итт = 0, получена формула для вычисления производной функционала полной энергии при росте трещины в виде

Т'{и,Пс) = J - X,iUj,r) dx - J(xfi),rUidx+

nc S1C

+ 2 J X,r7(Kl)^

г С

Здесь х произвольная гладкая срезающая функция с носителем в П и х = 1 в окрестности В вершины трещины Интегрированием по частям скорость притока полной энергии представлена посредством суммы

-Т'{и,Пс) = Аи,дВ) - 27(Ы)|авпгг, с ин тегралом Черенанова-Райса

1{щдВ) = J - ¿8

дв

по замкнутому контуру дВ с нормалью q — (<?1,<72 )Т в окрестнос ти В вершины трещины Это представление дает локальный критерий квазихрупкого разрушения J{щдB) = 27(|«1/]])|э0пг(7, в сравнение с критерием Гриффитса для хрупкого разрушения J(u, дВ) = 27о

Учитывая необратимую работу пластической деформации на трещине согласно схемам Леонова-Панасюка и Дагдейла, плотность поверхностной энергии на трещине принимает частный вид 7(<5) = 27о/<5о тт(<5о, где 27о/£о означает предел текучести В этом случае функция 7 и, следовательно, функционалы 5 и Т являются невыпуклыми и недифференцируемыми По последней причине удается

помучить только необходимые краевые условия на трещине Г с?

ат(и) = О, Ы«)1 = О, KJ > О, 270

сг„(и) < —-, если ¡«„J = О, ào

270

= —, если 0 < JitJ < ¿о, <>о

rrv{u) = 0, если |м„| > <5о

Доказана дополнительная //2-гладкость решения статической .задачи равновесия в плоской области île С К2 вплоть до берегов трещины Гс, исключая окрестности ее вершины В случае растущей трещины, решение квазистатической задачи равновесия оказывается Я2-гладким также в окрестности вершины трещины, те берега трещины плавно смыкаются в ее вершине, а напряжения конечные Для описания хрупкого или квазихрупкого разрушения, построена оптимизационная модель для эволюционной задачи о росте трещины Найти Tc(i) € S (fi) при t > 0, такое что

u(t) е K(i2c(t)),

T(u(t), iîc(t)) < T(v; iîc(i)) дия все* v ç K{ttc{t)),

Тс{Ь)о1)тс{з),

Ж?

Т(и(1), Í2C(¿)) < Т(и; Пс) для всех Гс 3 У Гс(а),

где и € К(ПС), Т(и; Пс) < Т(ь, Юс) Для всех V € К(ПС)

В случае заданного криволинейного пути Е С О С й2 трещины, т е. Гс(£) С £ при всех £ > 0, доказана разрешимость задачи оптимизации относительно параметра длины трещины £(£) Для прямолинейного пути Е развития трещины получен критерий квазихрупкого разрушения с учетом необратимой работы пластической деформации на трещине в виде J(щдB) = 270/^0пнп(50,|ЭВпГс

Основной результат первой главы состоит в построении и исследовании свойств корректности математических моделей для нелинейных задач в области с трещиной (разрезом), которые описывают диссипативные процессы взаимодействия между берегами трещины, включая феномены контакта, трения, сцепления и пластической деформации Построенные математические модели представлены в виде вариационных, квазивариационных и хемивариационных неравенств, задач минимизации с ограничением для невыпуклых и недифференцируемых функционалов

2 2 Во второй главе на основе регулярных методов анализа чувствительности формы исследована задача возмущения трещины как в линеаризованной постановке, так и с нелинейными краевыми условиями непроникания на трещине

Пусть задано иоле кинематических скоростей

V = (Vi,. .,VN)T €C({0,L},Wl>°°mN, L> О,

относительно кинематического параметра I € [О, L], с компактным носителем в области Г2 Классическое решение

Ф = (Фь.. ,Ф^)Т е СЧМ; W1'00^))"

задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения

|ф(/, ) = У(1,Ф(1, )) при 0 < I < L, Ф(0,-) = х,

описывает характеристики р(1, Ф(I, ж)) = ро(х) транспортного уравнения

^ + Vх Vp = 0 п в (0, L) х П. al

Существует обобщенное решение

ф-1 = (ф-1,.. ,ф-х)т е W1,oo((0,L) х Çl)N задачи Коши для системы транспортных уравнений

^ + УтУФ71 = 0 п в (0, L) х п, ФГ^О) = У*, г = 1,. ., N, которое является обратной функцией отображения у = Ф (1,х) у = ф{1,ф-1(1,у)) дляг€ [0,L], yen

Таким образом, имеем кинематическое описание трещины Г; и области с трещиной Çli — fi \ Г i относительно параметра I € [О, L] с помощью взаимно-однозначного отображения координат

у = Ф(I, х) . Г0 Гь Q0

х = Ф~1(1,у) Гг i-» Г0, П4 П0,

или с помощью явных поверхностей

Г0 = {х G Ü р0(х) = 0}, й0 = {х G П . ро{х) > 0},

r, = {y€íí р(1,у) = 0}, iî, = {yGÎÎ р(1, у) > 0}

При этом у = Ф(/, х) задает взаимно-однозначное отображение между допустимыми множествами-

а) и О Ф(I) е Н(По) и е H(üi),

б)« О Ф(1) е К(По) и G К(П,) если и1 о Ф(I) = и0, где и1 обозначает нормаль на трещине Гг, v° нормаль на Го,

Я(П() = {«е Hl{Üt)N ■ и = 0 наГ0},

К(П|) = {и G H{(lt) • Kil >0 наГг}. Условие б) справедливо при постоянных vl — и0 = const для прямолинейных и плоских трещин

Рассмотрим задачу упругого равновесия тела в области с трещиной

-crl3,3(ul) = ft, г = 1,.. ,N, в fib

и1 = 0 на Г/?, аг](и1)пу =дг, г = 1,. .,JV, на Г^у, с линеаризованным условием свободных от напряжений берегов трещины

atj(ul)vj =0, г — 1,..., N, на Гf, или с нелинейными условиями непроникания на трещине Г{ (здесь и1 = и — const)

егт(«') = 0 на Г^,

¡Mu')] = 0, {иЦ > 0, uv(ul) < 0, a^lull = 0 наГг

Обобщенные решения и1 G H(Q.i) линеаризованной задачи равновесия или и1 € К(íli) нелинейной задачи определяются единственным

образом из решения задачи минимизации функционала потенциальной энергии Il(u; О;) но всем допустимым и € Я (О/) или и £ K{£li) Определим сведенную на решении и1 функцию потенциальной энергии в зависимости от трещины Гг

Р{Г,) := П(«г,Юг) = av(ul)el3{ul)dx - J ftu[dx - J glU\ds

sit ii( гдг

При выполнении свойства взаимной однозначности мен:ду допустимыми множествами доказано существование производной по направлению V

P^Tt) — lim ^(Р(Г(+е) — Р(Г/))

е—>0 £

в общем виде

^к(Гг) = J^{ul){\^v{Vcl3kl)ekl{ul) - Ekl(V;u1)) dx- I diУ(У/г)и[ dx ht

линейного непрерывного функционала от поля скоростей V Здесь обобщенные деформации

Eij {V, и) = 0+ и3,тУт,г), г,3 = 1, • , N.

Впервые формула была получена в работе А М.Хлуднева с соавторами в предположении повышенной гладкости V(i) € W2,00(Q)N, здесь же требуется всего V(l) € l/V1,00(fi)7V. В однородном теле при <hjkl = const и / = 0 на носителе V, соответствующие коэффициенты при производных вектора V в подынтегральном выражении Ру(Г/) образуют (N х JV)-TeH3op моментов энергии Эшелби Для линеаризованной задачи о трещине получены также старшие производные функции I I—> P(Ti), в то время как свойство дифферерцируемости в нелинейной задаче ограничено первой производной

Если существует подобласть В в П, такая что решение и1 € Я2(П!\ В), V = О или / = 0, Vctjfcj = 0 в В, справедливо тождество

- Zi,mVmyJ) =0 для £ € RN х RN и в В,

•го Р(/(Г() = —1(У) с инвариантным интегралом общего вида

дВ

но границе дБ с внешней нормалью ц — (дх, .., Построены

инвариантные интегралы в частных случаях возмущения трещины сдвигом всей плоской трещины в при N = 2 или N = 3, каса-Т0ИЫ1ЫМ сдвигом края плоской трещины в К3, касательным сдвигом вершины или растяжением прямолинейной трещины в К2

Для антиплоской задачи о прямолинейной трещине Г; в М2 в линеаризованной постановке, при линейном возмущении общего вида Ф(1 + е, х) — х + еУ{1, х) получены.

глобальное асимптотическое разложение возмущенного решения

оо п . ..

и1+е о Ф(г + е) = «' + 2 « (V) В Н(Щ

п= 1

(п)

с материальными производными й(У),и(У), ., и (V),. ^являющимися решениями задачи равновесия с фиктивными нагрузками, определяемыми итерационным образом;

летальное асимптотическое разложение возмущенного решения

оо п

= в ни*)"

71=1

с производными по форме и'(У),и"(У), .., и^(V),. , асимптотическое разложение функции потенциальной энергии

оо п

Р(Г1+Е) = Р(Г,) + £ В Е;

п—1

асимптотическое разложение возмущенного коэффициента интенсивности напряжений (КИН) при касательном сдвиге вершины трещины на длину е

00 п

Кш(1 + е) = Кп1(1) + ^^КУ1]{1) вМ

П=1

Получены инвариантные интегралы энергии (ИИЭ) при локальном сдвш с (в окрестности вершины трещины) вдоль трещины посредством поля скоростей V — тх или эквивалентном растяжении с

V = Xх/I, где X срезающая функция в окрестности вершины трещины длиной I и касательным вектором г На основе асимптотических представлений построены модели локальной оптимизации для описания роста ветвящейся трещины с использованием критерия разрушения Гриффитса; оптимального расположения трещины в теле с помощью базисных возмущений сдвигом, линеаризованным поворотом и компенсирующим растяжением прямолинейной трещины

Для плоской задачи равновесия в линеаризованной постановке с прямолинейной трещиной

Гг = {0 < xi < I, х2 = 0} С R2,

при линейном возмущении сдвигом Ф(1 + е, х) = х + eV(l,x), где

V = (х,0)т и х срезающая функция в окрестности вершины трещины (/, 0)т, получены полные асимптотические разложения по е возмущенного решения

00 и / \

«!+£оФ(1 + е) = иЧУУ«(Ю вЯ(П,);

' ni

n=l

функции потенциальной энергии

°° п

Р(Гг+е) = Р(Гг) + Х:^4П)(Гг) вМ;

£—* Т1' 71=1

коэффициентов интенсивности напряжений

°° £П

Km(l + e) = Krn(l) + Y,-^K%Xl)1 m = 1,11, вК.

71=1

Для криволинейной трещины

Гг = {0 < xi < Z, ж2 - ф(хi)} С R2, при нелинейном возмущении сдвигом вдоль трещины

Ф(I + e,x) = x + V{l + е,яг), V = (ех,ФЫ + ex) - V>(®i))Ti построены асимптотические разложения второго порядка

F2

и1+е О Ф(I + е) = и1 + eti(V) 4- Tu(V) + о(е2) в Н(П{),

ли

Р(Г1+е) = Р(Гг) + eP^Fi) + ^Р£(Гг) + о(е2) в R,

которые могут быть продолжены до произвольного порядка по е При этом найдена скорость притока энергии в вершине трещины в виде суммы

-Р^(Гг) = J{iil, дВ)+ J ф"ог](ul)u[ 25ji dx

B\rt

с J интегралом Черепанова-Райса Здесь J(ul,dB) зависит от пути интегрирования дВ, в отличие от случая прямолинейной трещины при ф" = 0, когда J{ul,дВ) = —P'v{Ti) = const для любого дВ При распрямлении пологой трещины Г{ в R2 посредством Ф = (х\,х2 4- iJ)(xi)r})J со срезающей функцией г] вокруг всей трещины, получены полные асимптотические разложения возмущенного решения и сведенной функции потенциальной энергии относительно распределенного параметра (функции) возмущения ф € С1(Е), такого что ф(х\) = 0 вне х\ € (0,1)

Для линеаризованной задачи равновесия в объемном теле с плоской трещиной, заданной в полярных координатах х\ = гсоъф, x<i — гятф на плоскости жз = 0 с помощью функции полярного угла О < R € С0,1 ([0,2тг]), Я(0) = Д(2тг), в виде

Гк = {» = Щф), ф € [0,2тг], х3 = 0} С R3,

изучено возмущение касательным сдвигом замкнутого фронта трещины

Ф (R+h,x) = х + 1г{ф{х))У(х), V = ^(х)(совф{х),втф(х),0)Т,

с гладкой функцией возмущения h € О1 ([0,27т]), h(0) = h(2ir), h'(0) = h'(2n) Здесь т/ срезающая функция в окрестности (торе) вокруг фронта трещины ЭГц Построены асимптотические разложения второго порядка по h возмущенного решения задачи и сведенной функции (оператора) энергии

uR+h о Ф(Д + h) = uR + u{h) + h) + о(ЦЦ2) в Я(П \ Гя),

а

Р(ГН+Л) = Р(ГЯ) + Py{h) + h) + o(\\h\\2) в R,

которые могут быть так же продолжены. На их основе предложена задача параметрической оптимизации для описания локального роста фронта плоской трещины с использованием критерия разрушения Гриффитса. Для конечного базиса возмущений {/11 (</>), . , км(Ф)} фронта трещины доказана теорема о локальной разрешимости задачи оптимизации В случае неплоской трещины вида

Гя = {г = Я(ф), ф е [0,2тг], хА = ф(г созф,г эшф)} С

лежащей на поверхности, которая описывается гладкой функцией ■ф К2 Е, построены соответствующие асимптотические разложения второго порядка относительно функции возмущения /г сдвигом замкнутого фронта трещины в касательном к поверхности направлении

Для нелинейной задачи о равновесии трещины Г( с условиями непроникания между ее берегами доказано, что если выполнено условие взаимно-однозначного соответствия между допустимыми множествами К(П/), то для нелинейной задачи остаются справедливыми представления первой производной сведенной функции энергии полученные в линеаризованной задаче о трещине Г{ При этом также будет определен обобщенный КИН из первой производной функции энергии, который в случае отсутствия контакта между берегами трещины совпадает с модулем вектора классического КИН но формуле Ирвина В то же самое время, первая глобальная производная решения и, соответственно, вторая производная функции энергии могут быть определены многозначными отображениями

Основной результат второй главы заключается в построении в общем и частном видах кинематических характеристик решения упругой задачи равновесия тела с трещиной, описываемой криволинейными и поверхностными структурами Полученные кинематические характеристики являются необходимым ингредиентом для описания роста трещин согласно физическим критериям разрушения, как это представлено в третьей главе

1г(ф{х)) сое ф(х)г}(х) Ь,(ф(х)) эт ф(х)т](х) ф(х 1 + ксо8фт],х\ + /г вт 077) — ф(х\,х2)

2 3 В третьей главе, ж пользуя теоретические результаты из предыдущих глав, представлены численные решения задачи о равновесии трещины с учетом возможного контакта ее берегов и эволюционной задачи о росте трещины при разрушении упругих тел с использованием энергетического критерия

После дискретизации в М^, N € М, задача равновесия упругого тела с трещиной в условиях непроникания между ее берегами принимает вид задачи квадратичного программирования с ограничением Найти и* € такое что .1и* > 0 и

П(и*) < П(и) = \итЬи - Гч для всех и € М^ > О, £

где Ь € М^ х К^ положительно определенная матрица (Р-матрица), / € М^ задано, <7 € К'-6' х М^ прямоугольная матрица полного ранга по колонкам Условие непроникания представлено здесь дискретным условием Зи > 0 на множестве индексов В с {1, ., -/V}, ассоциированных с трещиной, и матрицей 3 следующей блочной структуры

3 = (0,1,-1),

где 1 единичная матрица размерности \В\ х \В\ и О нулевая матрица рашерпости |£?| х ^ — 2\В\) Определяя множитель Лагранжа О < А* € где условия знакоопределенности везде понимают-

ся покомпонентно, задача минимизации в прямой-двойственной постановке выражается системой линейного (первого) и нелинейного (второго) уравнений в

п-М *\ -( Ьи*~ /Тл* - / * - (

и - * {У ) - ^ сА* _ шах(0,бА* - Зи*) У - V А* ) '

с произвольной константой с > 0, или эквивалентной системой

Ьи* - 3ТХ* = /, (Зи*)г = 0 для всех г € А* = {г € В • сА* - (Зи*)г > 0}, А* = 0 для всех г € I* = {г 6 В * сА* - {Зи*)г < 0},

записанной с помощью разбиения множества индексов на трещине В = А* и на активное А* (где есть контакт) и неактивное 7* (где нет контакта) Используется концепция полугладкой (обобщенной)

производной G : ■-> такой что

INrAt+ibi-'O ||Л||КАГ+|В|

оператора F • i-> R^+'^l Для недифференцируемого (в клас-

сическом смысле) оператора max(0,£) . > М^' существует обобщенная производная

{1 при £ > 0, const при £ = 0, 0 при k < 0.

Соответствующий полугладкий метод Ньютона

уо € rn+\b\ э yn+i =уп_ G(yn)-lF{yn) для п = 0,1,.

характеризуется локальной суперлинейной скоростью сходимости итераций

llyn+1 - y*llRN+,B, = о(\\уп - у*||RW+,B,)

и представлен в эквивалентном виде как прямой-двойственный метод активных множеств (PDAS-метод) Задать В = А_\ U/_i, для п = 0,1, .

Найти у11 = {ип, Лп) G mN+W, такое что Lun -JrXn = f,

{Jun)x = 0 для всех г € -АЛ_г, А" = 0 для всех г €/„-i,

Определить Ап — {г € В . сА™ - (Jun)t > 0}, In = {г € В сА? - (Ju11), < 0};

Если Ап = Ап-1, то STOP

При Ап — An-i будут найдены точное решение у* = уп нелинейного уравнения F(y*) = 0 и активное множество А* = Ап Матрица жесткости L при дискретизации скалярного уравнения Лапласа (в антиплоской задаче упругости) является М-матрицей существует L-1, Ьгг > 0, Ьг] < 0 при г ф j В этом случае справедлива теорема о глобальной сходимости итераций уп к решению у* при произвольном

начальном выборе A-1 за конечное число шагов 1 < n* + 1 < оо, со свойством монотонной сходимости

ип достижимое (те. Jun > 0) при п > 1;

J и0 < J и1 < <Jun<--< Jun * = Ju*, Ао 2 А\ Э ■ Э Ап Э • Э Лп*_1 = Ап* — Л*.

Для не М-матриц (в плоской или пространственной задачах упругости) получены достаточные условия глобальной монотонной сходимости В результате апостериорного численного анализа тестовых задач сделан вывод о монотонных свойствах сходимости PDAS-метода Типичное число необходимых итераций п* +1 € [3,9] показывает его высокую эффективность для решения задач минимизации с ограничением по сравнению с другими итерационными методами, основанными на штрафе, или на активном множестве без учета двойственной переменной Используя PDAS-метод, получены численные решения задач о равновесии тела с трещиной в условиях непроникания ее берегов

В плоской постановке задачи упругости исследована модель квазистатического роста прямолинейной трещины

Гщ) = {0 < XI < l{t), х2 = 0}, 10 < l(t) < L,

начальной длиной lo > 0 в зависимости от параметра нагружения t > 0 при монотонно возрастающей (линейной) нагрузке /(f) = tf, g(t) = tg Для этой цели построена задача глобальной минимизации функции полной энергии T(Ti)(t) относительно допустимых трещин Г( длиной I Найти l(t) € [Iq, Ц при всех t > 0, такое что

27oi(i) + t2P{Tl{t)) < 270i + t2P{Г,) для всех I € Цо, L]

Доказано, что сведенная функция потенциальной энергии 11—> Р{Т{) • [0, L] М является, абсолютно непрерывной для линеаризованной задачи или полу-непрерывной снизу для нелинейной задачи о трещине с условиями непроникания берегов, в обоих случаях равномерно ограниченной, невозрастающей и дифференцируемой на (0, L). На основе этих свойств показана разрешимость задачи глобальной минимизации полной энергии относительно параметра длины l(t) растущей трещины с необходимыми и достаточными условиями в виде

системы соотношений

ДО > при t > 5,

¿(0) = ¿о,

270i(f) + t2P{Гт) < 270i + ¿2Р(Гг) для всех I > Г (t),

27oi(i) + t2P{Tl{l)) < 27oi(s) + i'2P(ri(s)) для всех s < t

Здесь допустимы разрывные решения l~ (t) = lims_>t,s<i hs) Ф (i) = Hm.s-^/i5>f l{s) с условием на скачке

270/+(i) + t2P{Tl4t)) = 270/-(i) + i2P(r,-(f)).

Если решение l(t) задачи оптимизации абсолютно непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция, то будет выполнен закон разрушения Гриффитса в комплементарной форме.

¿(0) = при t > 0 :

Щ) > 0, 270 + t2P'(Tl{t)) > 0, i(t) (27о + t2P'(Гт) = 0

Показано, что закон разрушения Гриффитса описывает локальный минимум функции полной энергии I ь-> T(Ti)(t) и совпадает с глобальным минимумом ио оптимизации в случае стабильного росса трещины Гг({) В противном случае, критерий разрушения Гриффитса 270 + t2P'(YiQ) = 0 начальной трещины Г;0 дает локальный максимум (') функции полной энергии при нестабильном росте трещины и предсказывает существенно большую допустимую критическую нагрузку, чем при оптимизационном подходе. В этом смысле оптимизационный подход является уточнением критерия разрушения Гриффитса Кроме того, задача глобальной минимизации допускает выбор начального значения ¡о = 0 и тем самым описывает зарождение трещины в сплошном теле, что невозможно сделать исходя из критерия разрушения Гриффитса Для построения конструктивного алгоритма решения задачи глобальной минимизации функции I t—> Г(Г,)(*) на основе метода следования траектории, с помощью неявной функции критического параметра нагружения

G(t,l) = t-^/2l0/(-P>(Г,))

построено множество критических точек (при io ф 0)

Г ь,

Mt= < ¿о, если G(t, 10) < 0 или Р'(Гг0) = 0,

^ I, если G(t, I) = 0 и I > 1(e) при s < i,

которое использует свойство дифференцируемости невозрастающей функции потенциальной энергии 11—> Р(Г{), те неположительность производной Р'(Г{) Преимущество использования в задаче минимизации множества I € Mt вместо всего допустимого интервала I € [/о, L] связано с более точным описанием экстремальных точек и при вычислении реализуется с той же точностью при меньшем числе точек разбиения интервала [lo,L], тем самым уменьшая вычислительные затраты. Используя критерий разрушения Гриффитса и сто уточнение при оптимизационном походе, приведено большое количество численных примеров расчета квазистатического роста трещин в сплошном теле и при расслоении составных тел и композитов, при различных типах нагружения, когда случается контакт между берегами трещины и когда трещина полностью раскрыта При этом, в зависимости от краевых условий и данных задачи, найдены случаи-стабильного роста трещины, мгновенного разрыва тела три достижении критической нагрузки, нестабильного роста трещины с одним и даже двумя скачками l(t)

Построена модель двухслойного композита в плоской деформации при жз = const двух идентичных трехмерных ортотропных материалов, составленных на плоскости Х2 = 0 с углом 20 между осями их упругой симметрии, и с трещиной на стыке При этом на трещине могут реализовываться как условия ее раскрытия, так и контакта За счет взаимного поворота слоев все 3 компонен ты вектора перемещений и 5 компонент симметричных тензоров деформаций и напряжений остаются перевязанными между собой в 2-мерных сечениях хз = const и не разделяются на независимые антиплоскую и плоскую модели Модель композита зависит от параметра ¡3 € 7г/2,7г/2] полу-угла взаимного поворота слоев, в предельных случаях совпав дает при (3 = 0 с антиплоским (плоским) изотропным состоянием, при = ±7г/2 с антиплоским (плоским) орторопным состоянием, а в остальных случаях при /3^0, ±7г/2 описывает промежуточные состояния Корректность построенной (2 5-мерной) математической

задачи обоснована вариационными методами Для вычислений используется частный случай материальных параметров

Ех = Е2 = Е, U21 = и, G21 = О 5Е/(1 + I/),

^31 = ^зг = ^з, G si = G32 = G3,

для двух полу-изотропных слоев, армированных в направлениях ±/3 к Ж1-оси. В результате численного анализа показано, что контакт на берегах трещины случается при нагрузках одной моды-II или моды-III В этом случае необходимо учитывать условия непроникания между берегами трещины в рамках нелинейной постановки задачи равновесия. Другой феномен связан с появлением трещины смешанных моды-/ (1«г1 > 0) и моды-III (|«з! Ф 0) при нагрузке одной моды-/ или моды-/// Отметим, что эти трехмерные эффекты не могут быть описаны в рамках плоской изотропной или плоской ор-тотропной моделей при (3 = 0, ±7г/2 При численном решении нелинейной задачи о композите с условием непроникания |и2] > 0 выявлен феномен возможных осцилляций комплементарных компонент решения {1x2! и ст^(и) на стыке слоев Процесс расслоения в композите вычислен на основе оптимизационного подхода и в сравнении с критерием разрушения Гриффитса при различных нагрузках и значениях параметра (3 При этом найдены значения критических нагрузок, необходимых для зарождения трещины на стыке композита, критические нагрузки для начала деламинации композита с трещиной фиксированной длиной Iq > 0, интервалы значений начальных длин трещины 1о, когда случается стабильный рост трещины, или нестабильный со скачком, как непрерывные, так и разрывные функции длины l(t) растущей трещины, углы состыковки 2¡3 материалов, при которых максимально сопротивление композита к разрушению нагрузками различных мод

Таким образом, в третьей главе построены численные алгоритмы для решения задачи минимизации с ограничением на трещине, применительно к задаче глобальной оптимизации относительно параметра формы (длины) трещины Здесь же представлены результаты вычислений квазистатического роста трещины в сплошном и составном телах, в процессе расслоения композита с трещиной как одной, так и смешанных мод разрушения, также в присутствии контакта и при различных нагрузках

3 За ключ км и 13

3.1. Построен и изучен новый класс математических моделей упругих тел с трещинами, описывающих структурно нелинейные феномены контакта (непроникания), трения, сдепления (когезии) и зоны пластичности между берегами трещины

3.2. Построена и изучена связанная нелинейная модель двухслойного композита, описывающая плоскую деформацию двух идентичных ортотропных материалов, повернутых на стыке относительно осей их упругой симметрии, с трещиной на стыке в условиях непроникания ее берегов (2 5-мерная модель)

3.3. Доказана корректность вариационных, квазивариационных и хемивариационных неравенств, задач минимизации невыпуклых и недифференцируемых функционалов энергии в области с трещиной (разрезом) и изучены свойства гладкости их решений

3.4. Используя обобщенную дифференцируемость, для задачи о трещине с ограничением построен полугладкий метод Ньютона, который реализован в прямом-двойственном алгоритме активных множеств, и показаны свойства его глобальной монотонной сходимости

3.5. Получены асимптотические представления для решения задачи упругого равновесия тела с трещиной, ее энергетических и силовых характеристик при регулярных возмущениях формы трещины, заданной разнообразными криволинейными и пространственными структурами

3.6. В общем виде получены формулы для нахождения скорости притока энергии (первая производная функции энергии) и инвариантных интегралов энергии при изменении геометрии трещины посредством заданного ноля кинематических скоростей

3.7. На основе оп тимизационного подхода, обобщающего критерий разрушения Гриффитса, разработаны методы нахождения глобального решения эволюционной задачи о квазистатическом росте трещины при хрупком и квазихрупком разрушении, в том числе найдены разрывные по времени решения

3.8. В результате численных экспериментов, при различных типах заданной нагрузки получены новые данные о зарождении, стабильном и нестабильном росте трещин, смешанной моде разрушения, ос-цилляциях, наличии контакта между берегами трещины в однородных и составных телах, а также в процессе расслоения композитов

Список литкглтуры

[Монография:]

|1) Khludnev А М, Kovtunenko V A Analysis of cracks in solids International Scries on Advances m Fracture Mechanics, V 6 Southampton, Boston WIT-Press, 2000 408 p

[Статьи:}

[2] Ковтуненко В А Итерационный метод решения вариационных неравенств в контактной упругопластической задаче с использованием метода штрафа// Журн вычислительной математики и матем физики 1993 Т 33, N 9 С 1409-1415

[3] Ковтуненко В А Итерационный метод штрафа для вариационных неравенств с сильно монотонными операторами// Сибирский матем журн 1994 Т 35, N 4 С 826-829

[4] Ковтуненко В А Метод численного решения упругой задачи о контакте// Прикл механика техн физика 1994 Т 35, N 5 С 142-146

|5| Ковтуненко В А Итерационный метод штрафа для задачи с ограничениями на внутренней границе// Сибирский матем журн 1996 Т 37, N 3 С 587591

|6| Ковтуненко В Л Решение задачи о балке с разрезом// Прикл мехлника техн физика 1996 Т 37, N 4 С 160-166

|7) Ковтуненко В А Численное решение задачи о контакте упругопластической балки для модели Тимошенко// Известия All Механика твердого тола 1996 N5 С 79-84

[8J Ковтуненко В А Методы регулярных возмущений области содержащей трещину//Прикл механика техн физика 2002 Т 43, N 5 С 135-152

[9] Ковтуненко В А Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов// Прикл математика механика 2003 Т 67, Вын 1, С 109-123

[10] Ковтуненко В А , Леонтьев А Н , Хлуднев А М Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом//Прикл механика техн физика 1998 Т 39, N 2 С 162-172

J11] Ковтуненко В А , Сухорукое И В Оптимизационная постановка эволюционной задачи о развитии трещины при квазихрупком разрушении// Прикл механика техн физика 2006 Т 47, N 5 С 107-118

{12] Bach М, Khludnev А М, Kovtunenko V A Derivatives of the energy functional for 2D-problems with a crack under Signonni and friction conditions// Math Meth Appl Sci 2000 V 23, N 6 P 515-534

(13] Hvntermuller M, Kovtunenko V A , Kumsch К The primel-dual active set method for a crack problem with non-penetration// IMA J Appl Math 2004a V 69 P 1-26

[14] Hintermuller M, Kovtunenko V A , Kumsch К Semismooth Newton methods for a class of unilaterally constrained variational problems// Adv Math Sci Appl. 2004b V 14, N 2 P 513-535

(15| Ihnlprmuller М , Kovluneriko V Л , KumschK Generalized Newton methods for crack problems with non-penetration condition// Numer Methods PDE 2005 V 21, N 3 P 586-610

|16| Jhntermuller M, Kovluneriko VA , Kunisch К Ли optimization approach for the delammation of a composite material with non-penetration// In Free and Moving Boundaries Analysis, Simulation and Control Glowinski R , Zolesio J -P (lids ) Leduio Notes in Pure and Applied Mathematics V 252 Chapman & Hall/CRC, 2006

|17] Kovtunenko V A Shape sensitivity of curvilinear cracks// Newton Inst Preprint Sor N199023-SMM Cambridge, 1999 12 p

{18] Kovtunenko V A Crack in a solid under Coulomb friction law// Appl Math 2000 V 45, N 4 P 265-290

|19] Kovtunenko V A Sensitivity of cracks in 2D-Lam£ problem via material derivatives// Z angev Math Phys 2001 V 52, N 6 P 1071-1087

[20] Kovtunenko V A Sensitivity of interfacial cracks to non-linear crack front perturbations// Z angev Math Mech 2002 V 82, N 6 P 387-398

[21] Kovtunenko V A Shape sensitivity of a plane crack front//Math Meth Appl Sci 2003a V 26, N 5 P 359-374

[22] Kovtunenko V A Shape sensitivity of curvilinear cracks on interface to non-linear perturbations// Z angev Math Phys 2003b V 54, N 3 P 410-423

[23] Kovtunenko VA Quasistatic propagation of cracks// In Analysis and Simulation of Multifield Problems Wendland W L , Efendiev M (Eds ) Lecture Notes Appl Comp Mech V 12 P 227-232 Springer, 2003c

[24] Kovtunenko VA Numerical simulation of the non-linear crack problem with non-penetration// Math Meth Appl Sci 2004 V 27, N 2 P 163-179

[25] Kovtunenko VA Nonconvex problem for crack with nonpenetration//Z angev Math Mech 2005 V 85, N 4 P 242-251

[26] Kovtunenko V A Interface cracks m composite orthotropic materials and their delammation via global shape optimization// Optim Eng 2006 V 7 P 173199

[27] Kovtunenko VA Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with non-penetration// IMA J Appl Math 2006 V 71 P 635-657

[Методические пособия:]

[28] Ковтуненко В А Краевые задачи в областях с тонкими включениями Методические разработки Новосибирск НГУ, 1997 24 с

[29] Ковтуненко В А Краевые задачи теории упругости с ограничениями на границе Методическое пособие Новосибирск НГУ, 1997 30 с

Институт Гидродинамики имени М.А. Лаврентьева Сибирского Отделения Российской Академии Наук

На правах рукописи

Ковтуненко Виктор Анатольевич

Вариационные методы в теории трещин с ограничениями

01.02.04 "Механика деформируемого твердого тела"

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

j ГОО Т/Г 7- ТДТГТ,.;- М Л {У

1т" У l>1 i~>.га.-1 -

/решение от" Щ__ " ^ присудил ученую степень Д

Нач

..V

1лькик упре^адекия (

~~HoiSom6npck -*2(7()7

Научный консультант д.ф.-м.н., проф. A.M. Хлуднев

Оглавление

Глава 1. Вариационные методы в задачах о трещине 7

1.1. Основные понятия и определения 11

1.1.1. Область с трещиной и гладкость ее границы 11

1.1.2. Функциональные пространства следов на трещине 12

1.1.3. Обобщенная формула Грина для оператора линейной теории упругости в

области с трещиной 21

1.1.4. Теоремы существования решений задач минимизации с ограничениями 30

1.2. Задачи о трещине с односторонними ограничениями непроникания и трения 36

1.2.1. Свойства функционала потенциальной энергии в линейной теории

упругости 36

1.2.2. Трещина с условием непроникания 39

1.2.3. Трещина с условиями непроникания и заданного трения 44

1.2.4. Трещина с условиями непроникания и трения Кулона 47

1.3. Асимптотические представления для плоской изотропной модели 56

1.3.1. Локальная гладкость решения задачи о трещине 56

1.3.2. Вариация трещины 60

1.3.3. Сингулярные решения задачи о трещине 70

1.3.4. Критерий разрушения Гриффитса 77

1.4. Невыпуклая задача о трещине с условиями непроникания и сцепления. 79

1.4.1. Задача невыпуклой минимизации с ограничением. 80

1.4.1.1. Формулировка и корректность задачи. 80

1.4.1.2. Условия оптимальности задачи. 82

1.4.2. Задача возмущения трещины. 84

1.4.2.1. Возмущенная задача о трещине. 84

1.4.2.2. Дифференцируемость по форме функции энергии. 86

1.4.3. Развитие прямолинейной трещины при условии сцепления берегов 89

1.5. Оптимизационная постановка эволюционной задачи о квазихрупком

разрушении 93

1.5.1. Эволюционная задача о развитии трещины 93

1.5.2. Статическая задача для фиксированной трещины 96

1.5.2.1. Необходимые краевые условия 97

1.5.2.2. Дополнительная гладкость решения на трещине 99

1.5.2.3. Гладкость решения эволюционной задачи 102

1.5.3. Развитие трещины вдоль заданного криволинейного пути 102

1.5.3.1. Постановка однопараметрической задачи оптимизации и ее разрешимость 102

1.5.3.2. Случай прямолинейного пути 105

1.5.4. К выбору пути развития трещины 107

Глава 2. Методы регулярных возмущений и анализ чувствительности формы

трещин 109

2.1. Метод регулярных возмущений в антиплоской задаче 112

2.1.1. Линейное возмущение области с трещиной 112

2.1.1.1. Глобальное асимптотическое разложение решения 114

2.1.1.2. Локальное асимптотическое разложение решения 119

2.1.1.3. Асимптотическое разложение результирующего функционала 122

2.1.1.4. Общий вид инвариантного интеграла 125

2.1.2. Рост прямолинейной трещины 126

2.1.2.1. Возмущение локального сдвига вдоль трещины 126

2.1.2.2. Асимптотика коэффициента интенсивности напряжений 128

2.1.2.3. Возмущение локального растяжения 132

2.1.2.4. Ветвящаяся трещина 133

2.1.3. Идентификация трещины в теле 135

2.1.3.1. Инвариантные интегралы 136

2.1.3.2. Задача оптимального расположения трещины 137

2.2. Регулярные возмущения трещин в плоской задаче 139 2.2.1. Линейное возмущение сдвига прямолинейной трещины 139

2.2.1.1. Материальные производные решения 139

2.2.1.2. Производные функции энергии 145

2.2.1.3. Коэффициенты интенсивности напряжений 148

2.2.1.4. Локально оптимальные трещины 154

2.2.2. Нелинейное возмущение криволинейной трещины 156

2.2.2.1. Возмущение сдвига для криволинейной трещины 156

2.2.2.2. Скорость притока энергии 167

2.2.3. Анализ чувствительности формы криволинейной трещины 169

2.2.3.1. Вариация формы трещины 169

2.2.3.2. Параметрическая оптимизация формы трещины 178

2.3. Возмущение трещин в пространственной задаче 182

2.3.1. Анализ чувствительности фронта плоской трещины 182

2.3.1.1. Линейная вариация фронта плоской трещины 182

2.3.1.2. Параметрическая оптимизация фронта трещины 193

2.3.2. Нелинейное возмущение фронта трещины на поверхности стыка составного

тела 199

2.4. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов. 216

2.4.1. Общее возмущение области с трещиной 216

2.4.1.1. Постановка нелинейной задачи 216

2.4.1.2. Постановка возмущенной задачи 218

2.4.1.3. Асимптотика решения. 220

2.4.1.4. Асимптотика потенциальной энергии. 225

2.4.2. Инвариантные интегралы энергии. 229

2.4.2.1. Общий вид инвариантного интеграла. 229

2.4.2.2. Возмущение всей трещины 230

2.4.2.3. Возмущение края трещины 232

2.4.2.4. Возмущение вершины трещины 233

Глава 3. Оптимизация формы и рост трещин 235

3.1. Рост трещины по критерию Гриффитса 239

3.1.1. Квазистатический рост трещины в антиплоской задаче 239

3.1.1.1. Формулировка антиплоской задачи с растущей трещиной 239

3.1.1.2. Конечно-элементная аппроксимация в области с трещиной 244

3.1.1.3. Локальный квазистатический рост трещины моды-/// 251

3.1.1.4. Глобальный квазистатический рост трещины моды-III 254

3.1.2. Квазистатический рост трещины в плоской задаче 257

3.1.2.1. Формулировка плоской задачи с растущей трещиной 257

3.1.2.2. Трещины моды-/, растущая к краю при условии Дирихле 261

3.1.2.3. Составное тело при нагрузке моды-/ 268

3.1.2.4. Трещины при нагрузке моды-/, растущая к краю при условиях симметрии270

3.1.2.5. Трещина при нагрузке моды-// 273

3.1.3. Рост трещины в нелинейной задаче с условием непроникания берегов 275

3.1.3.1. Трещина, растущая к краю при условиях симметрии 275

3.1.3.2. Трещина, растущая к краю при условиях Дирихле 284

3.2. Негладкая оптимизация для задачи о трещине с ограничением 286

3.2.1. Полугладкий метод Ньютона для задач с ограничениями 286

3.2.1.1. Концепция полугладкой производной 286

3.2.1.2. Локальная супер-линейная сходимость полугладкого метода Ньютона 288

3.2.1.3. Прямой-двойственный метод активных множеств 289

3.2.2. Прямой-двойственный метод активных множеств для плоской задачи о

трещине с непрониканием 294

3.2.2.1. Прямая-двойственная формулировка задачи о трещине с условием

непроникания 294

3.2.2.2. Дискретная задача и прямой-двойственный метод активных множеств 296

3.2.2.3. Анализ монотонной сходимости PDAS-метода 300

3.2.2.4. Результаты численного анализа PDAS-метода 305

3.3. Деламинация композита на основе оптимизации 313

3.3.1. Моделирование композита с трещиной 314

3.3.2. Оптимизационный подход в линеаризованной задаче о композите 321

3.3.2.1. Линеаризованная задача равновесия композита с трещиной 321

3.3.2.2. Описание деламинация посредством задачи оптимизации 325

3.3.3. Численные результаты о деламинации композита 330

3.3.3.1. Деламинация композита при нагрузке моды-/. 334

3.3.3.2. Деламинация композита при нагрузке моды-II 340

3.3.3.3. Деламинация композита при нагрузке моды-III 342

3.3.4. Оптимизационный подход в нелинейной задаче о композите с условием

непроникания на трещине 344

Глава 1

Вариационные методы в задачах о трещине

1. вариационные методы в задачах о трещине 8

Классическая теория трещин имеет почти вековую историю. К описанию основ механики трещин и их разрушению отметим работы (Леонов, Панасюк 1959, Dugdale 1960, Ба-ренблатт 1964, Rice 1968, Новожилов 1969, Качанов 1974, Партон, Морозов 1974, Черепанов 1974, Морозов 1984, Слепян 1981, Работнов 1988, Корнев, Тихомиров 1994, Морозов, Петров 1997, Астафьев, Радаев, Степанова 2001, Левин, Морозов, Матвиенко 2004). В классическом случае рассматривается математическая модель тела с трещиной, заданная в виде краевой задачи линейной теории упругости с линейными краевыми условиями на трещине типа Неймана (когда берега трещины свободны от напряжений). Основной особенностью этой задачи является постановка в негладкой области с разрезом (трещиной), которая влечет наличие сингулярных решений в отличие от краевых задач в областях с гладкими границами. Асимптотическая теория краевых задач в областях с негладкими границами развита (Кондратьев 1967, Grisvard 1985, Mazja, Nazarow, Plamenewski 1991, Назаров, Пламеневский 1991, Grisvard 1992, Movchan, Movchan 1995, Kozlov, Maz'ya, Rossmann 2001, Аргатов 2004). Теория псевдо-дифференциальных и сингулярных операторов для задачи о трещине применяется в работах (Duduchava, Sandig, Wendland 1999, Costabel, Dauge, Duduchava 2003).

В последние десятилетия, вариационные методы получили развитие в механики (Чер-ноусько, Баничук 1973, Фикера 1974, Дюво, Лионе 1980, Главачек, Гаслингер, Нечас, Ловишек 1986, Панагиотопулос 1989, Кравчук 1997, Khludnev, Sokolowski 1997). Их основы заключаются в применении общих методов выпуклого анализа (Лионе, Мадженес 1971, Лионе 1972, Гловински, Лионе, Тремольер 1979, Экланд, Темам 1979, Киндерлерер, Стампаккья 1983, Байокки, Капело 1988, Обен, Экланд 1988). Тем не менее, полученные результаты ограничиваются в основном применением к задачам в областях с регулярными границами.

В последнее время, вариационные методы получили свое развитие в применение к задачам с трещинами. Во-первых, класс вариационных решений краевых задач включает в себя сингулярные решения, возникающие в связи с наличием сингулярных границ, в частности, трещин. Во-вторых, вариационная постановка задачи о трещине позволяет учитывать также нелинейные краевые условия на трещине, заданные в виде односторонних ограничений. Так, чтобы предотвратить физически недопустимый эффект взаимного проникания берегов трещины друг в друга, который возможен в классической линейной постановке задачи о трещине, условие непроникания типа Синьорини на трещине было

1. вариационные методы в задачах о трещине 9

введено в рассмотрение (Khludnev 1994). Наиболее полный набор задач с геометрическими условиями непроникания в виде неравенств для разных механических моделей объемных тел, оболочек, пластин и балок, содержащих трещины, и их математическое обоснование в виде вариационных неравенств предложены в книге (Khludnev, Kovtunenko 2000).

Контактные задачи механики рассматривались в работах (Горячева, Добычин 1988, Kalamkarov, Kolpakov 1997, Александров, Пожарский 1998). Некоторые задачи о трещинах с линеаризованным условием контакта и симметрично нагруженными берегами изучались (Гольдштейн, Спектор 1978, Гольдштейн, Ентов 1989, Гольдштейн, Житников, Морозова 1991). К вопросам о численном решении динамических контактных задач смотри (Аннин, Садовский 1996, Guz, Zozulya 2002).

При рассмотрении контакта упругого тела с жестким препятствием или другим телом, учет трения контактирующих поверхностей приводит также к вариационным и квази-вариационным неравенствам. К вопросам разрешимости контактных задач с трением по закону Кулона отметим работы (Jarusek 1983, Andersson 1999, Eck, Jarusek 2000, Andersson, Klarbring 2001, Stadler 2004). Важно также отметить, что нельзя напрямую применить данные результаты к телам с трещинами в силу отсутствия требуемой гладкости решения в окрестности фронта (вершины) трещины. Вариационная задача для трещины с условием заданного трения (по закону Треска) была поставлена и изучена в (Bach, Khludnev, Kovtunenko 2000). Анализу разрешимости задачи о трещине в условиях трения Кулона посвящена работа (Kovtunenko 2000).

Уточняя гипотезы (Griffith 1920), силы сцепления на трещине рассматриваются в работах (Баренблатт 1964, Marigo, Truskinovsky 2004, Kovtunenko 2005, Ковтуненко, Су-хоруков 2006). Дальнейшее развитие данного направления исследований связано с моделированием взаимодействия поверхностей трещины с учетом адгезии в рамках наноме-ханики (Johnson, Kendall, Roberts 1971, Maugis, Barquins 1978, Кравчук 1998, Галазюк, Сулим 2001).

Опишем структуру Главы 1, которая посвящена вариационным методам для задач о трещине с односторонними ограничениями. В Разделе 1.1 вводятся основные понятия и определения гладкости области с трещиной, функциональных пространств на трещине, и обобщенная формула Грина в областях, содержащих трещину. В Разделе 1.2 доказана разрешимость вариационных задач для трещины в условиях непроникания, заданного

1. вариационные методы в задачах о трещине 10

трения и трения Кулона для общей трехмерной постановки задачи в рамках линейной (анизотропной, неоднородной) теории упругости. Для частного случая плоской изотропной модели и прямолинейной трещины в условиях непроникания и заданного трения, в Разделе 1.3 показана дополнительная локальная гладкость решения на трещине вне окрестности ее вершины, найдено сингулярное решение в окрестности вершины трещины, и представлена асимптотика потенциальной энергии относительно вариации вершины трещины. В Разделе 1.4 исследована вариационная задача невыпуклой минимизации в условиях непроникания и сцепления на трещине. Оптимизационная постановка задачи о квазихрупком разрушении с учетом необратимой работы пластической деформации и ее анализ даны в Разделе 1.5.

Основным результатом Главы 1 является обоснование в рамках вариационной теории задачи линейной теории упругости с трещиной в нелинейных условиях непроникания, трения и сцепления.

1.1. Основные понятия и определения

1.1.1. Область с трещиной и гладкость ее границы. Пусть Q С М^ ограниченная область, лежащая локально по одну сторону от своей границы сЮ.. и Q = Q U ёЮ. Здесь N = 2 или N = 3 обозначает размерность Евклидова пространства векторов х = (Ж1, ... ,xN)T.

Дадим следующее определение гладкости границы (Байокки, Капело 1988).

Определение 1.1.1. Граница дП принадлежит классу (к > О целое), если существует два вещественных числа b>0uh>0;p систем координат

(1.1.1) (yj,yJN)T, f = (y{,...,yJN_l)T, j = l,...,p,

и p функций Qi таких что: определенная в

А^^'е^"1: Ш<Ь, г = 1,..., iV - 1}

функция Qi принадлежит С*'1(Д"'); для множеств Р = у* € Д',

ni = {(yj,y3N)T eRn : yjea\

выполнены следующие условия:

v

дп = (J F, с П, ai cRN\n, 3 = 1, ..,р.

3=1

Здесь Ck,l(A3) обозначает пространство функций, которые имеют к Липшиц-непрерывных производных в AJ.

Пусть внутри области П содержится многообразие Г с размерности Хаусдорфа N — 1 (или коразмерности 1), т.е. кривую при N = 2 или поверхность при N = 3. Считаем что это многообразие не замкнуто. В дальнейшем мы будем отождествлять Гс с трещиной. Обозначим через дГс ее границу размерности Хаусдорфа N — 2 (или коразмерности 2), которая представляет собой вершины трещины при N = 2 или фронт трещины при N = 3. Тогда под Гс понимается многообразие Tq U дТс- Обозначим через п = (тех,... ,пдг)т внешнюю единичную нормаль к dfl. Выберем направление единичной нормали v = (г/i,. ,.,г/дт)т к Гс, которое определит положительный берег Г^ трещины

Ж = 8J(yj)h

ejm <yiv< ej(yj) + h},

Г (с внешней нормалью — и) и отрицательный край Г^ (с внешней нормалью и), как это показано на Рис. 1.1 для N = 2.

Определим область с трещиной как = fi \ Гс- Тогда граница д0.с состоит из внешней границы 0Q. берегов трещины Г^ и Г^, и фронта трещины ОТ с- Очевидно, что

п

граница области с трещиной dilc не является гладкой (Липшиц-непрерывной) в смысле данного Определения 1.1.1, поскольку трещина предполагается незамкнутым (открытым) многообразием коразмерности 1. Предположим, что существует гладкое продолжение Гс до замкнутой кривой (поверхности) Е, разделяющей область £1 на две под-области П1 и fi2 с границами дО,1 и <902. Пусть и также соответствует вектору единичной нормали к Е, так что Г^ являются соответственной частью как это показано на Рис. 1.2. Теперь сформулируем следующее определение гладкости, используя замкнутое продолжение трещины Е.

Определение 1.1.2. Граница д&с принадлежит классу Ск'1, если d£td (d = 1,2) принадлежат классу Ск,х в смысле определения 1.1.1.

1.1.2. Функциональные пространства следов на трещине. В области с трещиной Не можно определить стандартное пространство Соболева (Adams, Hedberg 1996)

Н1(Пс) = {и: U,UiEL2{nc), i = l,...,N}

1.1. основные понятия и определения

13

обобщенно дифференцируемых функций с нормой

n

и\\нцпс) := HIL2(Qc)+J2 1К»1112(Пс)>

i=1

где uti обозначает частную производную по соответствующей пространственной переменной Хг- Аналогично определяются Hk(Qc) Для целых к > 1. Обозначим через Н1(£1с) замыкание пространства гладких финитных в О, функций по норме Н1(р,с)-

Пусть существует продолжение X трещины Гс, которое разделяет Q (следовательно Г2с) на две под-области О, и Q2 с границами ЭГ21 и эп2. На границах dQ,d (d = 1,2) определим функциональные пространства посредством локальных координатах (1-1.1) следующим образом. Для заданной ф(х), х € dfld, функции

могут быть рассмотрены в Д-?. Поэтому определим пространство H1/l2(dfld) с нормой (Лионе, Мадженес 1971)

(1.1.2)

Е - Ф>(?\у1=Ж(-ь,ь) dtdr,

при N> 3, при N = 2.

Сформулируем стандартный результат о следе функции в области с регулярной (Липшиц-непрерывной) границей в виде следующей леммы.

Лемма 1.1.1. Пусть граница d£ld класса С0,1 для d = 1,2. Существует линейный непрерывные оператор Тгасе^ : Нг(Па) ^ Я1/2(dQd), который определяет единственным образом след Trace dud е H1/2(dCld) функции ud £ Н1^**) на границе d£ld. Наоборот, существуют линейный непрерывный оператор Hl/2{dVtd) н-> Hl(Q,d), такой что для любой заданной фй ^ может быть определена функция ud € с Tracedud = фй на dQd.

В последующем под значением и на dQd подразумевается след Tracedit.

Рассмотрим область с трещиной Qc с границей dQc- Предположим, что dilc класса С0'1, т.е. с помощью замкнутого продолжения трещины Е область О может быть разделена на две под-области О и

ft2 с границами 9П1и an2 класса С0'1, которые состоят из дО,, Е+ и Е-. Пусть задана функция и £ Н1(fic)- Для каждого из Qd, d = 1,2, имеем и £ Следовательно, можем применить Лемму 1.1.1 и определить следы и на dCld.

Тогда и\эп £ Hl/2(dQ.), u\s+ £ Hl!2(Е), и u|s- G Я1/2(Е). Бе