Вариационные методы в задачах про взаимодействие абсолютно твердого тела с нелинейно-упругой оболочкой вращения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

i N

i ü. 9?:

АХДДЕМ1Я HAH УКРА1НИ • 1КСТ1ГГУ? MATE.ÍATÜKH

4 tfo гтп ogor r*lirr.^Qn-.rgу

' - , / " "J /" кгцДШОГЛ Bimnifi CeprlüoEin ( i

■ -УДК 534.539.3

_ ' B Ä P Ii Ц I JJ I !J E Î О Д !I В ЗАДАЧАХ ПРО ВЗА!.'ОДШ^АЕСОШГКО ТПЗРЛОГО ТШ ' 3 НЕЛШЕНО-ПРУГНОЭ ОЗОЛОНШЙ) ОЗЕРТАКШ

01-02.01 - морвтична механИса

Автореферат.

дисертаци на здобуття вчэногз'ступзня к8чдэд9т9 - SÎEIÏKO - МаТёМЗТИЧНИХ HajTÎ

K.KÏR - 1992

> / •

*

Роботу никонано е 1нстптут1 математики АН Укра1кп

Науковий кер1ЕНИк: доктор ф1звдэ-математичнюс наук

Троценко В. А.

0<51цМн1 спонэнтк : член-коресповдент АН Укра!1ш, ' . 4 * • доктор ф1Епко-натематичних наук,

професор Шульга Ы. 0.,

—• кандидат ф1зико-математичних наук,

—* - ^ Доцент МукоГд А. П.

»

^ ПрсЕ1дна ■ орГЕн1зэц1я : Ки1еськйЗГ ун1версятет

+»»ар* Фопопо Шотэттоит^а а ли^иии шии 1и1ики

Захист Шдбудаться 17 листопада 1992 р. о 15 годир1 ка ззсйдакя! сп8ц1зл1зоезно! ради ЧД 016.50.02 при4. 1нститут1 математики АК Укра1ни за адресов:

252601, МСП, Ки!в 4, вул. Рейна, 3

Е С1бЛ10Т8Ц1 ИНСТИТУТУ / *

, . Автореферат роз!сдвно 16 хозтня 1992 р.■

V '

• ' ' / Вчений секрэтар

спеи1ад1зоЕака1 ради * ч ЛУЧКА А. Ю.:

3 досэртаи'ею мржна ознаиомитясь

•г г-.

£Ук&;ШчТе>Уг* ЗАГДЛЫЙ ХАРАКТЕРИСТИКА РСБОТИ

Актуальн1сть тени. Розсирецня сфзри зветосуЕзкня е рхзиих галу-зях теглпкл та 6уд1ешщтеэ надувши: конструидй, цо яеляють собою поеднання тонких висскоелэстичких оболонск з твердая! тьчауд, еикли-кае необхвдиоть еиечэння !х р1зксмзн1тних фхзино-мехзнхчиих елзсти-Еостей.

В цюму зв'язку одами з нзЗбШш взжлиеих е так! дв1 проблема:

1) розробкз ефективнкх методхв впз.чзчення гесмэтркчних та фхзичних характеристик Ер1ькоЕаженого стану подхбних конструкцхя, в яксму бонн можуть пэреОуЕати пхд вгглиеом р1знсггзн1т;кх силсеих Фзктоохе;

2) досл1даэяня власяпх колиезнь рсзглядувзнях систем вгдносно дэяко-

ГО ПОЛОЖЭНКЯ рХЕНОЕЗГИ.

Основ:: ззгзльно! тесрП сболснок 1з елзстсы!р1в виклздзн! е прзцях С.А.Алексеева, ЛД.Езлабуха I ВЛ.Усюкшз, З.Л.Ехдзрмзкз,

A.С.Григср'ева, А.Гр1нз 1 Дж. Адкхнсз, О.М.Гузя, К.Ф.Чернкх. Езгзто ЕЭЮТЕИХ рбЗуЛЬТЗТ 1Е, ЩО стссувться ЕИЕЧ5ННЯ Е9ЛПКИХ дафор.мзц1й таких сОолонск, сдержано нз оснсе! Еикористьння наближеких метсд1Е чи-сельного знадхзу. До них, е перну чергу, сл!д в!днестк метода чисе-ЛЬКОГО 1КТ9ГРУ22КНЛ НЗД1Н!ЙНИХ НрЗЙСЕИХ ЗЭДЗ'1 (А.С.ГрИГОр' £Е, А.Гр1Н, С.А.КзбрЩ, А'ГВ.КсрсЕзэдэв, А.М.Лснощзкко, В.Е.Нагула, ВЛ.Солсдкдсе, З.Ф.ГерзктьеЕ, ВД.Усвкхн, Сен, К.Ф.Черних, С.А.Шэстеркков, Якг тз 1ш1), метода з Ежористэняям скхнчеккселементна! апрсксимацП непе-рервних пол1в (В.Н.ХислсскиЗ, Дк. Оден ). Ширс-ке застссування при рсзЕ'язуванн! пракгкчних задач одержав нзближений метод, запрспс незнаний ЛЛ.Еалабухсм 1 В.1.Усюк1ним.Бхльш докладной огляд роб!т, при-свячених розв'язанню задач статики м'яких оболснок 1з ззстссувзнням згадзних мэтод1в, метиться в працях К.Г.Бромштейна, А.О.Григор'ева,

B.Н.КороОанова.

Розв'язанню налШйних задач динам1ки м'яких оболонок на основ1 диифэтЕзацИ вих!дних р!внянь присвячен! прац! А.Н.Гхльмэновэ, Б.В.Гул1на, Ж.М.СахабутдпюЕа, В.В.Р1дэля.

В перевала б!льшост1 роб!т згадаша автор!в розглядавться ОбСЛОНКЯ, ЦО не МХСТЯТЬ 1НЕСр!Д1КХ ЕКЛЮЧЗНЬ. ЙЕН"} дек!лькз ройхт присвячэн! еизчэннв СС8СИМ8ТрИЧНЙХ ДефЗрМЗЦШ ПЛОСКИХ К1ДЬЦ?ейджх мембрзн з коротким кснцэнтричним вклгчэнням п!д д!ей приклад?но! я центр! вставки поперечно! сиди за в1дсутжзст1 будь-якого таску не оболоику ( J.Р.Ty.lt.cn, ¿Г.0.31ют.сгДэ та Т.Е.ТегДиуаг, Ь.Згзиг).

С.А.Алексеев та Е.Шзерш розглянули под!5яу задачу в фхзично л1н!й-н!й постанови! при суттеЕих сбмекеннях ка еэличиш дэформац!й.

Таким чином, задача про Еизначвння положения р1ЕКоваги системк "т!ло-оболонка" е ф!зично та геомвтрично келшхйнхй постанови! п!д д!ею слхдкуючсго навантакення типу г!дростатнчного тиску е новой 1 практично не ЕИЕченою. Кр!м того, серед досл1давнь, ¡цо стосуються статики м'яких високоеластичних оболонок, як зх Естввками, так I без них, спостер!гаеться широко застосуЕання чиселышх мэтод1в математи-чно! фхзшш, хврактерними рисами яких е, з одного боку, велика ун!-Еерсальн1сть, а з шшого - необхадпсть залучення ЕОМ з високош шв!1дкод1вю та великою оперативною пам'яттю. Тому винккае потреба в розробц! б!льп просткх i економ!чних метод!в розЕ'язання е!дпое!дних крайових задач. До таких, зокрама, належить Еар!ац1йний метод, що грунтуеться на принцип! стац!онарност1 потенщально! енергИ шха-н!чно! систем»!, застосований В.А.Троценком до цилхндричних та замк-нвних в полис! куполоподЮних оболонок обертання. Цей метод в!дносно просто рвалхзуеться на обчислюЕалъних машинах 1 дозеоляс отримувати розв'язкя з еисокою то^нхстю. Окр!м цього, вхн дае моалив1сть 8ЕТ0-матично задоЕольняти досить оклада! натуральнх граничн! умоеи. В зв'язку з цим важливим завданпям в подальший розвиток цього методу стосовно нвзамкнених в полюс! оболонок обертання, що маютъ вбсолшно корстк! ест8вкк.

3 числа нздрунованих роб!т, що стосуються власних коливань по-передньо деформоЕаних оболонок при скшченних початкових деформациях, 1снують лише поодинок! прац!, в яких деформована оболонка зна-ходиться в' неоднор!дному нвпрукеному стан!. В пареЕвхн!й б1льшост1 роб!т розглянуто Еипадок одЕгархдно напрукено! оболонки ( Е.С.бркакоЕ 1 Н.К.Егоров, Б.АЛеоеич, 1,®.Ккричок, В.К.Стицинэ, А.Я.Ционський ). Таке припущвння значко. спрощуе визначввня диначйчних характеристик оболонки 1 е ряд! Еипадк!в дозЕоляе отримувати розЕ'язки е замкне-ному екгляд!. Розв'язанню деяхих динем!чних задач нэодаор!дао дефор-моевних м'яких оболонок присвячена робота дк.Леонарда. При цьому для розв'язення нел!н!йних задач статики застосовуються метода збурень, а розв'язки л!неаризоваш1х р!внянь длнам!ки зяаходяться чисельними методами. В працях В.А.Троценка розроблено вар!ац!йниа метод для до-сл!дання в!льних колиевнь нел!н!йно-прухних оболонок обертання, що перэоув^ють в неоднор!даому напруженому стан!, як з урахуванням вза-

емодП з рхдиною, так 1 без НЬОГО, /штору нэвщоШ публиацП, в яких розглядаються вхжц! яолзвдш цеодаор!дно дефорновзнкх оболо-нок, що е?.8£мод$ють з збсолзтяа твердим т!лом.

3 зв'язку з вздтаадздек?.!. задач! про дааьйчку цоведхоту г.'еха-цхчзо! система "абсолютно тверда т1ло - попэредньо дефоркавана еисо-коэлаотачча Оболонка" ввдгасятьсц до числа не дослхдетвих а точки зору вшцщу геометрзчних та шэрцИШих парамэтр!в т!ла, а такок пру-'зся. властивостэа матерхалу оболошш ка динам!чн1 характеристики енотами, а отаэ стаковлять шеккЗ науксЕкй тз практичнкй тнтерес.

Мата робота полягае а розробц! ефэкткЕних мэтод!в досл!дяення статично! та дкнам!чно! взвемод!! абсолютно твердого дкскоеидного т!ла з приеднаною до його б1Чно! поверхн! високоеластичною оболошоы обзртання, еклвчвечи :

- постановку нел!н!йно! задач! статики систем " т!ло - н'яка оболонка обертання" та розробку ЕарХацхйнаго методу I! розв'язвяня;

- цобудову математично! модэл! статично! взаемодИ т!ла з попэредньо иапрукэЕов осэсжэтричким чином оболонкою при малих збурэышх систека;

- досл!джэння сшлызих коливань поперэдньо двформовано! обо-локси з горсткою Еставкои;

- програмну рэал!зац!н розроблзних алгоритма та чкеэльнэ роз-в'язашя конкретних задач 1 встаяовлення на ц!й ооновх мен застосу-ванпя йжих паближзних спасоб!в !х розя'язашш, а такоа виявлэкня ОСЛОЕ5ШХ закоком!рноотей ишву гетаэтрэтгагс та ф!зич:пи параметра ггапотрукц!! на !I статячн! та дшем!чн! характеристики. •

Нпуксдэ новизна дасертацШга! робота полягае в тому, що в н!й шэрзз стриман! так! результата:

1. Розроблено нвблиганий мэтод розв'язаннл налйЛЗно! задач! отзтики для тонко! високоеластячно! оболонки обертання та концент-рзчно прнеднаного до нэ! абсолютно твердого десксвздного т!ла, цо зпаходяться п!д вшивом сл!дкуючаго освсимвтричнаго навантажзння.

2. Побудовано матемастшу модель статично! та данам1чно! взае-модН т!ла з прпкрймеЕов до нього поперэдньо напрукеноа осесимэт-ричнгал чином Свзмоментнов оболонкси при малих збуреннях систем.

3. Нэ основ! енэргэтнчпого л!дхаду ззпропоновано алгоритм для Еизначення власних частот 1 форм сп!льяих колкеёнь абсолютно твердого т!ла з неоднор!дяо дефорлованов р!шом!рним тиском оболанком.

Л ТТопл raun рттп<тпоит »T>-f отгииг\ nfTjf-iiuf тголиотшвипт т\гло"р пстttvpotjttv

Т » 11UU V^UUU Ul. UW Ilklltlllill IluOlUtlULllll ^/WUl «i'i^j Du^uiA

задач для полого деформовашх кллыюеиднкх мембран та разробдено катода ix досл1дження.

Розрахунков! формулы шЕаден! е загалыгаму влгляд! для ecIx нв-стислиеих матвр1ал1Е сболонки бвзвгдносно до фэрми дружного потенциалу та почахковох конфпурэцы меридхана серединно! поверхн!. Чи-сельн! результата одержан! для початково плоских кьльцеЕидних мембран, виготовлених з неогукйського матертзлу та матвр1алу Муш. Ви-вчена залвшйсть певних статичних та динашчних характеристик система В1д деяких Ii параметр1в. Встановлен! Mesi застосування спрощених моделей та набликевих мэтод!в Ix дослгдкення.

Достов1рк1сть одеркзних в робот! результат1в забезпечуеться:

- винористанням нвзалекних шдход1в для еиеодэння основнкх еи-значалышх сп1вв1даошень;

- введениям розглядуваних задач до б!лыз проспи, да допуска-ють ефективнв чисельна досл1давння з допомогою добре опробованих ал-горитшЕ та програм;

а такой п1дтвердауеться:

- практичною з<31кн1стю запропонованих алгоритм1в та контрольо-ваною точнхстю ecix викснаних на ЕОМ обчислень;

- перев1ркою точност! задоЕолення побудованих розв'язк!в ви-Х1дним р1внянням i граничим умоебм;

- пор!внянням одержаних результайв з даними шлих роб!т;

- к1льк!сним зб1гом розв*язк1в ряду задач в маках точно! та опрощено! постановок;

- узгодасенхстю результат!в м!ж собою та несулеречливхстю Еста-новлештх законом1риостей як!сного характеру ф!зкчним м!ркуванням 1 теоретично сбгрунтованим фактам.

Практична. ц1нв1сть роботи поляга?! в побудов! математичних моделей i розробц! вфектиших метод!в досл!джвння Езаемод1ючих м!ж собою тв soERiEHlM серадовшцвм абсолютно жорстких t високоеластичних вле-v.eiiTiB tchkoctIkhhx кокотрукцШ, що набули широкого Еикористання в lHi?!i?pntn практиц!. При цьому бегпосоредяе практична значения ма-яп : еязкзчзння форм рЗЕноваги та клггрухено-деформОЕзного стану еи-coKOi «астичшп оСолокок обертання з короткими включениями п!д д!ев сл'дадлого невзнтзи'щшя г}дростатичного типу для розрахунку м!цнос-т1 pj-.fffJtHriB конотрукцП; сбчислення власних частот 1 форм коливань

ЕОВЯрЭДЦУ! ЦЗЦРУЖЭНИХ ОбОЛОНОК 3 БСТ2ЕК0Ю ДЛЯ Д0СЛ1ДЖЗННЯ ггезщ

зйщшряих SQEiiiEEiis факторхв, запоб!ганню разонвнснпм явшцам та дда OJiiinai OT-iSxQOTi полокень piEHOEarn. Значив частина проведение в робот! цракладних досл1даень виконанз в мэжах госядоговХрнпх тем.

ЛпрсОвц!я робота. Осноенх результата дасвртвцИ. допов!двлись i обговорювались на семхнарах ввдцлу динамши та стхйкост! бвгатоЕи-Mipinix систем 1ястигуту математики АН Укра1ни ( 1990 - 1992 pp. ) ; XVII нуков!й канферэнцы молодих вчених 1нституту мехашки АН Укра!-ни ( с.Кийл!в, 1992 р.); аильному сем!нар! з проблем мэхан1ки Kiiib-ськсго унхЕерсктету хм. Тараса Шввченха тз 1кстктуту г1дромвханн:к АН Укра1нл (1992 р.); м!жнародн!й науков1й конфвренц!х, присвяченМ пам'яг! акадвмйса М.П. Кравчука ( m.Kiiie, 1992 р.); свмгнар! в1дц1лу електропрухност! 1нституту механйси АН Укра1ни ( 1992 р.).

Публ1кяц11. 2а основними результатами досл!даань, викладених в дисертацН, надруковано BiciM наукоЕих po6iT [1-8].

Обсяг та структура робота. Дисертац!Яна робота складаеться зХ Еступу, чотирьох глав, ehchoekIb та списку Еикористано! л!тературл. Бона Еикладена на 168 стор1нках, вкличаючи 14 рисунк!в i 16 таблиць. Б!бл!ограф!чния сшсок нараховуе 116 назв роб!т.

3MICT ДИСЕРМЦП

У вступ1 подано характеристику актуальной! проблема, що склала предмет досл1дхень, зроЗлено огляд po6iT, а такок анзл!з сучасного стану проблем! та нвяених досягнень.На ц!Й основ! визначвно мету ди-сертаЩйно! робота,сформульовано осноен! наукоЕ! по ложа пня, що вияо-сяться на захист, а такок дано стислу анотац!ю вс!х глав дисертацН.

Глава I присвячэна побудов! математичних моделей статично! вза-емодН абсолютно твердого т!ла з гЫерпружною оболонков обертання.

Розглядаеться М9хан!чна система, що складаеться з абсолютно твердого круглого диска рад!уса а та пршф!ш1ено1 до його б!чно! по-верхн! тонко! оболонки обертання, еиготоелэео! з rteepnpysHoro нэ-стислиеого матер!алу. Зоен!шн!й контур оболонки з рад!усом нп ввака-еться нэрухсмо закр1плэним. В умовах гесметрично! Та фЬично! нвл!~ н!йност! наведано постановку край0Е0! задач! статики М9хан1чна! систем, цо перэбувае п!д д!ев Пдростатичного тиску Q та прикладе по! в центр! мзо диска поперечно! сили Р (рис Л ,б).Вгпзчення повел1нкя конструкцН п!д вшивом такого типу сл!дкутого осесимэтргтого т-

вантаяення псЕ'язане, е першу чергу, з Еизначенням форми 1 деое!сно-го напрукеного стану високоеластично! оболонки. Для цього необх!дно розв'язати даа р1Еняння статики безмоментно! тонко! оболонки

д (2т»

— ( гТ<) = Т, — , к, Т. + К, Т, = 0, 0=0+132, (1)

йз ■-(13 ' "" с

з такими граничними умоввш:

Я2=1, 2=0 при 3=3,; Я2=1, 27ИТ1Б1п(^=?+71ага при з=з0. (2) „

Тут а - кут нормаллзз до деформовано! серединно! поверхн! 1 втссю симетрН системи; а, г - егддэль е!д деяко! точки М серединно! по-верхн1 оболонки у напруженому станх в!дпов:1Дно до площшш закршле-ного контура та ос! обертання ( рис. 1,6 ); а - довкина дуги мерщца-на недеформовано! серединно! поверий, э0 та з,- значения з е!дпо-в!дао на Енутр1иньому та зовнЬпньому контурах (рисЛ,а). Зусклля т,, тг в ЕапруК9Н1Й оболонц! пое'язвн! 3 голоеними ступвнями ЕИДОЕЕеНЬ

А.,, Хг, через пружний-потенц1ал Я матер1алу мембрана формулой

В свои чергу, кратное?! Еидовхень та нршкши 1ц, У^ вирзхаються через функцН г(з) 1 2(э), а такок 1х серя! та друг! пох!дн!. Остзнне сп1ее1дношэння в (2) еишшеве з умов р!вноваги диска п!д д1еа осьо-во! сили, г!дростатичного тиску та сил прухно! деформацИ оболонки.

3 позиц!й теорИ малих прукних деформац!й, накладених на велик!, будуеться математична модель малих, в загальному випадку неосв-симетричних, в!дхилень системи в!д ооесимэтричного положения р!вно-езги; зд!йснюеться постановка е!дпов1дяих крайових задач в Штегро-дкферешЦйному тэ вар!ац!йному формулюваннях та доводиться !х екз1-вал9нтн1ать. В умовэх взаемод!! з важною р!даною виводяться л!нвари- . зован! р!вняння статики високоеластичних оболонок обертання, як! у випадку неввгомо! р!дини та газу зб1гаються з л!неаризованими р!в-няннями р!вноваги сболонок, попередньо деформованих р!вном!рним тис-ком. Отриман! р!вняння являють собою систему трьох лйШйих дифорен-цШшх рхвнянь 'в частинних пох!дних другого порядку з! зм1нними кое-

Рис.1

ф!ц!ентами, то е функцией розв'язк!в нелШйно! осесиметрично! задач! статики (1 )-(2) та !х пох!дних по з до третьего порядку еключно. Грунтуючись на основних положениях статики абсолютно твердого т!ла, Еиведено ш!сть р!внянь р!ЕНовага естзвки при малих збуреннях системи

§1 (ДГ,созсМ:, 6, з1гЛ)созТ1-(¿3-1-1,(1), )г1п1)Ш1-КГа0ф2= -ДР,, £[ (ДТ1созй-Т1е1з1т^)г1л-П+(АЗ+Г1Ш1 )созТ)](11-Ш2аоф1= -ДР1 , ^(ДТ1г1гЛ+Т181согй)(31-1)1Еагиоз= ДР3> (4)

аЯДТ1з1лсг+Т1е1соас4)а1пТ)(Ц1+'Шгф1 (Т10согс^- 1 Ба2) = ДМ, , а*! ДТ,з1пй+Т,б,соей)созт)йЬ-1[агф2(Т,0СОЕСС0- 1 Еаг) = ДМ2, а^ДБ+Т^, )13Ь-2и:гф;3Т,0ссгсг0 = -ДМ, .

Тут ДТ1, ДТг, ДБ; и,, а,- е!дпсе!дно мал! додатков! зусилля та параметр:! деформаций серединно! поЕврхн! оболонкп-; ДРк I ДМ^ (к=1,2,3) -компонента додзткоеих саля та момента в1дпов!дно, пракладаних е центр! мае диска; и01с> фк (к=1,2,3) - складов! Еектор1в поступзльяо-го пзрем!и;зння диска та кута його малого повороту; - полярний кут; Ь- ЕнутрЬшМ контур оболонки; через Т,0, С^ та о^ позначено в!дпо-в!дн! величина на Ь.

Кр!м, того компонента перемЬцень точок серэданно! поверхк! оболонки и, V, п пов'язан! на Енутр!шньому I! контур! з и!стьмз уза-гажьненима координатами диска такими сп12в1днсезннямк:

и=(и0,соЕ0(+аср2г1г-Л)созТ)+(и0геззс£-СХр, а1пг£)81пТ?-1102з1пс4 , Т^и^зШТ} + и02гог1? + Оф3 , " (5)

»а(иО181п0{-афгсв80«)ее8'Г)+(иог811М(+£Кр1 гогсОгШТ^^юга .

РстаяньсЕ лэнкся в постзноец! крзйово! задач! статики прп маг.-*

зоурокнях £ траккчнx у моей нз зовкхшньоглу ( 38кр1пл8н0му )

контур! й'ОйЖййсй

и = У = 71 = О при 3 = 3.,. (6)

ЬиХодячи з принципу моклнеих перемЬцень, одержано Еархац1йне форМ'улвЕання ц1еХ задач! у еигляд! р!вняння

ОМ - Ш = О , (7)

де ОМ - в!ртуальна роботз додаткових зоен1шн!х сил, а П - потенц!-зльна енерг1я махашчно! системи, цо визначаеться енерг!ею прунних деформаций оболонки та роботою г1дростатичного тиску. П е квадратичнам функц!оналсм е!д узагальнених координат диска та параметрхЕ до-дэткоеого напружено-деформовзного стану, ян!, в свою чэргу, залежать в1д розв'язк!в Н8л1шйно! задач! статики (1)-(2) та !х перших двох пох!дних. 3 р!вняння (7), врахоЕуючи умови (5) та (6), традицгйними методами вар!ац!йшго числення отримано р!вняння р!вноваги -оболонки та вставки при малих в!дхиленнях системи в!д осесиметричного стану р1Еноваги. Цйм показано екв!Еэлентн!сть сформульовано! краЯоЕо! задач! вар!ац!йлому р!внянню (7) при виконанн! умов (5)1 (6). Однзк взр!ац!йний п!дх!д мае низку !стотних пареиаг. По-горше, р1вняння (7) ВЖ8 на М1стить трэт!х ПОХ1ДНИХ В1д роЗЕ'ЗК1В зздзчх (1 )-(2), ензсл1док чого суттево шслаблшються вимоги до якост! цих розв'язк!в. По-друге, при розв'язуванн! задач: вар1ац!йним методом, натуральн! граиичн! уыоеи, а сама такими для вар!ац!йного сп1вв1дноше1шя (7) е р!вняння р1Еноваги диска, виконуюються автоматично; головн! ж Гра-

НИЧН! УМОВИ (6) та УМОВИ СПрЯКвННЯ (5) ДОСИТЬ ПрОСТО ЗаДОБОЛЬЮШТЬСЯ

спец1альним Еибором базисних функцШ тв форм представления шуканих величин у вигляд! розклад!в по цих функц!ях.

У глав1 II розробляеться ввр!ац!йний метод наолиженого розв'я-зання нэл1н1йна! задач! статики (1 )-(2). Використовуючи пришил стационарном! потенц!ально1 енергИ мэхвн!чно1 системи, П зведено до вкв!валентно1 вар!ац!йно1 задач! для функц!онвлу

Г«='!г}(??5 + аг2^) (13 - Г а(Эд) . (8) 8о

на клас! ФункЩй, що задовольняють у:,.они

Г<30) = а, Г(1) = й0. 2(1) - О . (9)

Вс! ввлгчини в (8) та (9) представлен! в обезрозм!реному еигляд!,

причому л1н!йн! розм!ри в!днесен! до з1.

Екстремал! функц!онзлу (8) розшукуються у ЕИГЛЯД!

И - ^ -7-11 — С ГсП а.

Д9 1 \(3) - базисн! функцП, П1ДПСрЯДК0Е2Н! умсвам

Ук(а0) = Тк(1) = 1^(1), . (11)

В (8) 1 (10) через ^ позначено в!ддаль в!д деяко! точки М середишкл поЕерхн! оболонки в початковому станх до ос! обертання ( рис.1, а ). Для Еизнэчеккя ксеф!ц!ент!в х,. з умови стацганарност! функцхонвлу (8) маемо алгебра!чну систему нэлйпйних р!внянь -

2(х)=0, х^х,,*.,,...,^, 2=1 ^ ,../, ^ |. (12)

II набликэний розв'язок знаходяться методом Ньютона за схемою

х(п*1)= у(п) # Н(1(п), у(л)в 8(х(п)} . (13)

Тут п - номер !терац!1, Н(х) - матрица Якоб! вектора-функц!! § в!д-носно змгнних х1г х2, ... х2с, .

Таким чином, задача Еизначення скйгеенних осесиметричних дефор-мац!й високоеластичноГ оболонки обертання з коротким 'концентричним включениям зеодиться, в основному, до обчислання квадратур з наступ-ним розв'язанням систем лшгйних р1внянь на кожному кроц! !терэц1й-ного процесу Ньютона. Таккй алгоритм може виявитися ефэктиЕним лише за умоее вдалого вибору коордпнзтних функц!й, як! дзезли б можли-в!сть отримуЕати еисокоточнх розв'язхи при но велик 1К к!лькост! на-блияэнь. Рац1ональниз Еиб!р координатных систем т!сно пэреплхтзеться ' з назначениям ЕластиЕостей шуканих розв'язк1в, що, е своп чергу, го-в'язано з наявн!стю особливих точок у розв'язуванях р!внянь.Для р!в-нянь статики оболонки (1) особливою е точка в=о. Одовк безпосередн!» анал!з цих р!внянь е досить складним завданням. Тому для визначення швидкост! росту розв'язк!в нел1н!йно1 задач! при з—>о досл1джуеться структура фундаментальних розв'язк!в .Инеаризованих р!ЕНякь статики в!дносно деякого Ер!вноЕ8женого стану для замкнено! в полюс! куполо-под!бно! оболонки. Якщо при цьому обмэкитись оболонками, тв!рн! яких задашься формулой ~

5(а) = з + Е,а3+ 5гз5+ ... , (Н)

( плоска мембрана; сферичзшй сегмент; ел!псо!д, Пперболс 1д та парэ-

бало!д обертання i т.!.), можнз одзркати так! представления для ФУКЮДЙ ¿Г ТЗ ¿2, [ДО ЕХДПСЕВДаВТЬ малим в!дхилэнням 'поперэдыьо д8-формовано! оболонки в рад!алъному та вертикальному напрягжах:

4г = sl,(3) + si0(3) ins + 3i,(3) ln23 + c/3 ,

*" " о (15)

AS = f4(s) + is(S) Ins + i6(3) In S .

Через f,.(s) позначен! ряди по парких степенях а з выьними членами . Оск!льки лЬгеаризсванз задача породаенз нел!н!йета, то власти-Еост! II розв'язктв максимально наближен! до вих1дно! нелЬпйнох задач!, що дозволяв Еикористовувати асимптотичн! представления фундаментальна розв'язк!в для побудови раЩональних систем базисних функц!й. ШдосрядкоЕуючи розклади (15) граничили умовам (9), моана одаржати такай коордашатний базис:

uk(s)=(s3-1)s2k-2 C-c=T7q7). uqi+K(s)=32k-2 ln2s (k=T7qT),

1-a;

ua ,K(3)=32k"2ln3 (k=1,q„), v_(s)=3 - 1 + -т-я- з bs q,+q2+il S StllllS

1-3' _!

0 0 2 (16)

(3)= S In 3 In |- , V fs)=s(s2-1+ —2- Ins)

yk(3)=3(s2-s2)ulc(s) ( k=1,qr1, .q^qg-1, q,+q2+1,q).

Тут q,, q,, q2- ц!л! кевэд'еш! числа так!, щз qt+q2+q3=q.

3 практичних розрахунк!в можна зробити висновок, що врахування сингуляряостей в розкладах (15) та поЕ'язаний з ним виб!р базисних функц!й у еигляд! (16) е суттеьим лише при досить малих значеннях рзд!уса коротко! вставки. При середн!х роз'м!рах диска особлиЕост! pcsa'saxls в щгл! практично hs проявляться, ! кукан! розЕ'язки добре апрсксимужться регулярная! чвстинами прздставлень (15), попое-неними парнями степенями s в розклад!' г i непарними - в розклад! z. Оток за бззисн! можна взяти так! функцН:

u^s^s*-!, Tk(s)=(3-s0)uk(3) (k=T7q) (17)

3 допомогою побудозаного алгоритма проведено розрахунки геомэт-ричнкх тз ф!зкчних характеристик дефсрмованих г!дростатичним тиском 1 гссзрздаенов силов сболонок з вклвчвнням, як! е кздефзр-'овзксму стан! мзоть форму к1льцевидно! мембрвни. Bei обчислення проводились

г

для матвр!ал!в оболонок, що описуються моделям!* Трелоара та Мун! з пружним пот8нц1алом V?=01 (I1-3)+C2(I2-3), да С,, С2 - ф!з1гш± константа. Для обчислення !нтэгвал!в Еикористовуввлксь кЕадратурн! форму ли Гауса. в результат! е!дпое!дного анал!зу зроблено вяснсеок, що для того, аби запоб!гти вшшву похибок чисельного !нтегрувзння на загальну точн!сть обчислювального процесу, сл!д езяти 20 вузл!в прп вияористанн! регулярного базиса (17) i 32 вузли - для сингулярного базиса (16). На основ! язкопиченого досв!ду розв'язання коккреткнх задач сформульоЕзно осковн! принципа вибору початкового наблиЕзння в 1терац1Янсму процес! Ньютона. ПабудаЕано розпод!л Енутрйпн!х зусиль ! кратностей ввдовзюнь Ездовг; мерид!ана дзформоЕзно! мамбрзнн для дек!лькох зкачень рзд!уса вставки. Зззязчэно, що щлгмзлих в!днос-них posMlpax вставки в скол! внутрхЕнього контура спостер!гаеться

QiftOVT» rmrniO^n'Dnr^ ПТОПТГ vn ТГГЯ nnUADUT ТТОПОИИО ФТТГТ гтотттгч/а ГГ|П_ТТС1Г?УТП»*ПО ■»«Ч^-Л^ЛЬД \J Ш U £JJ f UUiiUUUil UU^UtllU ^u^uwuuuuU

го стану зазнають стр!мких зм!н. В той г;е час при однакових наванта-генаях posMlp вставки маяке не впливае на значения Енутр1шн1х зусиль i ступен!в видовжвнь поблизу закршленого контура. Встановлено, що при Еизначенн! фор;,га деформовано! оболояки вс! вставил, рэд!уси яких не горевищують IS в!д зоек!екього рад!уса ггэмбрани, мокуть ввагатись точковими вклвч8ннями.0трамувзна при цьоиу пахкбка не парэвищуе 0,1%.

У глав! III зд!йснеко постановку та розв'язання задач! про сп!льн! коливвння абсолютно твердого . т!лз е форм! круглого диска та прикрЬмеяо! до його 61чео1 поверхн! високоеластично! оболонки обер-тання, попередньо дефордовано! р!вном!ршм тиском довольно! йиенси-еност!. Спираючись на принцип Даламбера та результат пэршо! глав::, ЕППйсано р!вняння мвлих кслиезнь система "тЬко-сболонка" в!дносно даякого осэсиметричного полояення р1вноЕзги, а з них одврзано крзйо-в! задач! на власн! значения для кокного класу колиезеь (чисто-зсувн!, осеспмвтричн!, нзосеимзтричн!). Проанал!зоЕано ускладнення, з пкими доводиться стикатись при дослтдаенн! власних коливань отстают, безпосередяьо користувчлсь р!вняянями Ii руху, та обгрунтовано дсц!льн!сть застосуЕзння енергетячного п1дходу. При цьому компонента

п от*титеит +

ii "О н О

U=kll Wkll Ън+А+к' 7=k§1 Яу+к71с+к1м ^ЗМ+Л+к'

N Но

Я

(») _ узагальнен! координата иеханхчно! системы; т„, я,. - спэц1зльно вябрзн! бззпсн! функц!!, цо залеяать лише в!д просторових координат; N - деяке зааделег1дь в!доме ц!ле нев!д'емнэ число, цо визначаеться к!дьк!ста накладених на систему геомвтричних е'язвй, як! нэ вдаеться задовольнити з дспомогою одних т!лыш базисных функц!й; Ы - дов!льне натуральна число. Воно визначаеться в прочее! розв'язання задач!, еиходячи з деох суперечливих умов: необХ1д-ност! максимально точно! апронсимацН иу каких величин, для чого сд!д нарощуватк к!льк!сть базкених функц!й, з одного боку, а з !шого -потреби пост1йзо обмекувати 1х число, еиходячи з обчислювальних особлиЕостей ЕОМ.

Оскхльки розклади (18) задовольняють головн! граничн! умови (6) та умиви спряжения (5) - як1 з точки зору аналхтично! механши е гэометричними (голонамнлми) в'язями, накладэними на систему, то 11 р!ЕНяннямк динаШки е р!вшшня Лаграназ другого роду. П!дстзноекш в них ^(1;)=х ехр ({рх) (тут { - уявна одиющя, р - частота власних ко-ливань, х - власний вектор) задача зводиться до алгебра!чно! прооле-ми власних значень з симэтричними матрицями

' ( А - р2 В ) X = 0 , (19)

а2п » I а2т

п ■ в - -7—г < к,м.зк+н0) .

ад, I I ад, I

Для кожного !з згадуввних тип!в коливань спрощуються умоеи спряжения, Еирази для потенц!ально! та к!нетично! енерг!й, виписуеться конкретней еигляд рсзклад!в (18) та елемэнт!в матридь А 1 В, а таков Ед!йснметься программ реал!зад!я роароблених алгоритм!в для оболо-нок, я?! в надеформованому стан! мають вигляд плоских к!льцзеидних мембран. При Еизначенн! необх!дних характеристик попереднього напру-кено-дефермованого стану засгосовуегься вар!ац!йний метод, описаний" в глав! II. Досл!даено вшив р!зних даерел похибок обчислювального характеру на еевдк!сть гб1жксст! ебчаелвйвльного процесу i точн1сть сдержуваак регультатЗв, а такой зроблеко як!сний 8нал1з поведЬт РЛ2СНИ1 частот' 1 Сорм коливань при зм!з1 деякшс параметра конструк-

Ц11 E»ÍHSí5J10Cbt 1ДО Í3 ЗО^ЛЬПЭНдЗЯ?« Í,Í2CI! ЗСТПЫ21 BJIuCIIÍ ЧЗСТСТЛ t 3n*SH"~ ШуЮ'-П'СЬ ШЕИДКО прямуюТЬ ДО ДЭЯК11Х C20ÍX SCIm-iITTCTIÍ'ÍHIIX 3H2T-rSHb. Ос-

lamí 1BÜH8 зкайти, розЕ'язуючи задачу про елнсн! коливакня Tiei ::: систем! з нерухомою естзекою. Зв!дси теоретично еиводяться нерхЕКос-tí, що пов'язують власн! частота з !х аскмптотичнима значениями, i слугують одним 13 можливих способíb контролю floctoeíphoctt чисельних рэзультат!в.

Р Tinno-f TV aq ríOVTmnif urmíncti тэгтг fíirатгттцлт тта nfu+ítrjnn'nT ( тзtiirm_

LJ louul j. 1 uO AJ "-JJJI- (¿'.l.UJ* 1JÍU J. lluvial IMllU W X \ LJÍ.ÍJ X

píEHí зусилля в сболокцх пркймзються л!н!йно залвжними в!д дзформа-ц!й ) при зберегвкн! геомэтрично! нел!н!йност! (повороти нормалей до середккно! поверхн! при ствтичнкх дефор:«ац!ях езвжвютъся нзмвлимк ) зд!йснюеться спрощеняя визначвльких спхЕБ!дношень на татадок, коли оболонка обертання мае вигляд плоско! кЬльцвЕидно! мембрани.

Для Еизначенкя герметркчних та фхзичних характеристик полого деформовано! сболонки отримака нел!н1Яна крзйоЕз задача е rspiiinax фуккцх! напруженъ т прогнн!Е. jt.itя !х розЕ'^тзачкч застосовуеться ме— тод степенеЕих рядхЕ. Кз е!дм1ну ехд опубл!коЕаних результат!в роз-в'язання подЮних задач в деяких часткнних вкладках осесимэтричного нзЕанталюння знэйдено рекурентн! сп!вЕ1днолвння, цо дозволяють об-чясллти будь-який К03ф1ц1ент розеинзнь иуканях величин в ряди, якщо в!дом! перл! два коеф!ц!ента. Останн! знаходяться методом посл!дов-них наближень !з розв'язку деох трансцендентних ргЕнянь.

Як i у Еипадку довхльних поперэдн!х деформацтй та перемщэнь систэми побудовано математичну модель статично! взаемод!! абсолютно твердого диска з полого деформоЕаною оболонкош пхд епливом малого додзткоеого навзнтзхення. Нзеодяться штегро-дифереиЩйне та взрХа-ц1йнэ формулпеэння задач! в терм!нах функцП напруггань i нормального перемИцення. Даеться геометричнв тз механ!чкэ тлумачення гранкчних умов змхшано! задач! теорН пологих- оболонок у випздку абсолютно коротких границь. Отриманэ еар!ац!йне р!внязня за формою поен!стю зб!гаеться" з (7), проте як незалекн! тут виступають вар!ац!1 функц!! нзпружень та прогину. На п!дстаз1 принципу Даламбера Езр!эц!йне plE-

TTcmTTq гтотттшгг ortirríemt. ©т/птлттп'плптгеп'г.пв ттот ттпт» рпп п + irwami f

L4 ц tll.l U1U1II UUUV J tilj 11U Á i- ■ ' ¿ kíyaí fÚ.OLlML w mi. i.

сп!льких колизань полого деформовано! оболонкз з горсткою ест8еков в!дносно осесикетрячного положения р1вновзги. В тзиий спос!б визна-чення власних частот í форм коливань вводиться до е!даукаккя стзц!о-нзрних значекь деякого функционалу J(Q,n) в!д додзткоеого поперетоо-

го зм£цзнна к точек середакно! поверяй! та функцП напрухзнь Ф. Для розз'язання сстанкьо! задач! використовуегься метод Р!тца. В результат! отрицаю так! система лШйннх р!вняаь:

А Г - Е у а р2 С I , Втж + Н у - О . (20)

?Л А,В,С,К - матриц!, то функционально задевать В1Д базисних функций та дзяких параметров полого деформованох обопонки; х та у - вак-тори ксеф!ц!ент!в розклад!Е Р!тца нормального пвремгцення та функцы навруаекь ешсоехдо; р - частота власних колиезнь. Задача (20) можэ бути введена до послвдовного розв'язанЕя матричного р!шяяня ХН^В в!дносно матриц! 2, цо на практиц! означав розв'язання систем л!-нйыих р!внянь з к!лькол!а правами частиками, та алгебра !чно! пробда-кл власних зкачень (А + ХВт)х = р2Сх з сиыетричними матриця-ки. ОстанЕЯ задача под1бна до (19), однак мае мешу розм!рн1сть.

3|ективн!сть аапрспонованих п!даод!в та розроблених на !х сско-е! фориульиих схем !лвструеться численники прикладами комп'втерних розрахунк!в. Шляхом з!ставлення результат!в, одерханих на основ! точно! та спрошено! моделей, ЕстаноЕлеко мвая застосування теорп нз-великих осесиметричнзх деформацй плоских високоеластичних мембран, що мають корстк! вклшення, як при розрахунках статичного стану, так ! при визначенн! Д1шам!чних характеристик система при II налмх коли-

ВЕШ1ЯХ ЕХДНОСНО ДВНОГО полок8ння р!ВНОЕЗГИ.

1з характеру зб!жност1 набдижзних значень частотного параметра зроблено вионоеок, що влаона частота е максимйом для фушацоналу 3(Ф,и). Цей факт узгоджуеться з загальними результатами зм!шаних ва-р!ац!йпих задач для пруншх систем, якщо виххднв задача формулюеться в терм!нах функц!! ИЕпружвнь 1 перемЬдень оболонки.

В меках застосування опрощено! модел! д!стали п!дтЕердкення вс1 факта, ЕСтаноЕлен! ранйпе з Еикористанням загального пхдходу.

В аиюшчлШВ частик! дисертад!! викладено основн! результата, одержан! в робот!, та сформульоввно еисноеки, зроЗлоп! на Шдотав! цих результата.

0СН0Ш1 РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВШЮННИ

В ц!11 робот! на основ! нел!н!йно1 та л!неаризовано! теор!й тонких х'йерпруяклх оболонок Епершз досл1доно задач!, пов'язан! а статичною та динам!чнов взаемод!ее оболонок обертання та концентрично приеднаккх ло них абсолютно твердая дисковидних т!л.

При цьому одеркано tbkï ochobhI результата : t. Для иирокого класу м'яких гол:н!йно-ггружних оболонок оберта-пня з коротким кснцентрячним включениям розЕинуто Еар1зц1Шпй метод вкзначення хх Ерîehobszsho î конфхгурац!! та нзпрукено-дефсрм1ЕНсго стану пхд д!еа г1дроотаткчного таску тз пршиадеяо! в центр! мае вставки поперечно! силя.

2. Проведено як!сне досл!даэння влзстивостей розв'язк!в л!нэз-ризовзних рхЕнянь статики i на ц!й основ! побудоЕано дв! систем: ко-ординатнях функц!й ( регулярну та сингулярну Ьв вар!ац!йному метод!, що дозеолило отрамувати pîEHOMlpHy 3iî2!hictb як для самих роз-b'hskîs, так i для !х перших дасх пох!дних.

3. Дано

статики систем "т!ло - пепередньо капруяена сболонка" при малих в1дхил0ннях в!д осесиметричного положения р!вноваги, включзючи виехд л!нваризованих рхЕнянь статики для оболонки та абсолютно твердо! вставки, умов слряиення для додаткових перем!щень на лхн!1 з'едьаняя оболонки з т!лом, а твкок виразу для тютенцхально! энврг!! системк.

4. На основ! енергетичного пхдходу розроблено алгоритм для ви-знвчення власних частот i форм чисто-зсувних, освсиматричнзх та не-осесшетричних коливань неоднор!дно дефзрмов&ш! р!вном!рншл тисквм оболонки обвртання з короткою ЕстаЕкою. Эаиропоноввний метод дое можлие!сть розрвховувати гпекч! частота та форки власних колквань з еисокою точн!ств при в!деосно невелики к!лькост! наблажат».

5. Запрошновано спрощен! ф!зично лйййн! постановки розгляду-езних задач да полого деформоЕЗВях осесагегречним эдном к!льц8ввд-еих мембран тз розроблено мэтоди ïx досл!дазнвя.

6. ПрсЕедэно чисельн! розрахунки для оболенок, як! в недефорно-ваному стан! мають вигляд плоских к!льцавидних мембран i виготовлэн! з матер!алу Мун!.

Одержан! результата дозволяеть зробяти tskî шсяовки :

1. При розрахунках статичних осесимэтричних деформаЩй та пэре-

»tfwnm. пттттгчо ПТ.ТГТГ»« е ■nQTKrnçmtn-iffl' Ло'этгг» ovmn t)f *таг\гттатт<г ne rî+vo Q

пИциИЫ UUiJullUMUMin С jwJÎ^UUli U L.UÎ.U g lUNl^W ~ J-l I ,1^1 luuinuuil ^Juitl^Vu

onmonvr* rrr\ noTffтглa rjnotr+mTJt.ЛПО vn'j'rrmQ »»ли/Чпотгал-пп vfTTt.ïTrj ira tfatimo uutuuiwt ^U ^JU^^j bu ииыидиии/и! M HWtliJ f irivi'.u^juiuw. U 1IU l'iutmiu

0.2, ! - сингуяярнлЗ базис, якца це в!дношення меше 0.2 .

2. При цьему розм!р вставки суттеЕО впливзе яа напрутаяо-дэ-формсваний стен оболонки в скол! SI Енутр!шнього контура i-маЯже не вшшвае в окол! зовнЬпнього (закрйтлэного) контура.

2. Для косого значения рзд1уса вставки i типу нзвантакення !с-нуе таке в1даошення матерхалькнх констант потенц!алу Мун! (С.,/С )g, цо при ecix С2/С <<Сг/С1)ж 1снуыть нестхйк! положения р!вноваги, а При EGIX C^/C^fC,/^ ECI СТЗНИ рХЕКСЕЗГИ crittKi.

4. Залэиисгь власнпх частот неоднородно напруженol оболонки а ЕстаЕКОЮ вед !нтенсиЕНсст1 прикладеного статичного навантакення, а отав i eiд Ееличини початкових деформаций розтягу, не носить монотонного характеру, що зумоЕлено взаемоЕПлиЕом фактор!в змхни геомет-pil оболонки та х! напру:кеного стану.

5. При зОХльшенн! маси абсолютно ТЕзрдо! вставки вгд 0 до со за умови незмшност! хниих параметров систем:! П власн! частоти пада-ють, наближаючись до дзяких cboix асимптотичних значат., а форми ко-ливань мало В1др!зняються В1Д пвЕНо! гранично! конф1гурацХ!. Перш! два тони антисаметричних коливань ! найн;кгчий тог; чисто-зсувних та осесгметричних осцидяц1Я при цьсму виродхуиться.

£ То ort + m.tniitruai* iTT/ппо г> /"мггигиагт*У VCMTTI. ГГПТ/ ucnr>aomiQTintitrm«v

W« -i w Miuwiu ai w л^лииМ Л • jjuu иц uwiiu i ¿** "ЧЮЛ

колиезннях зростакть 1 в!дпое1днх частоти. У ьипадку, коли п перенище 1, вставка перебувае ■в стан! спокою 1 не коливаеться.

■?. Теар!я пологих оболонак дае пркйяятн! з гакенерно! точки зо-ру результат« при розрахунках параметр!в напружено-дефармованого стану, коли максимвлыжй прогкн статично дэформовано! кольцевидно! мембраны з вставкою не перевищуе 102 е!д ширини мембранного к!льця, а при визначенн! само! форми р!вноЕаги та елзсних частот коливань - 20 - 25 в!дсогн!в. Цэ св!дчить про надзвичайно аироя! меж! застосування закону Гуна при пружнях деформац!ях розтягу еластом!р1Е.

Осноенкй зм!ст дасертац!! вгасладено в таких публШзЩях:

1.Кладинога B.C..Троценко В.А.Конечные перемещения гиперупругой кольцеобразной мембраны с кветким концентрическим включением под осе-симметричной нагрузкой // Устойчивость движения твердых тел и деформируемых систем. - Киев: Ин-т математики АН УССР,198Э.-С.61-69. г.Клэдшгогв B.C. Малые деформации эластичной кольцеобразной мембраны с кесткой концентрической вставкой при гидростатической нагрузке// Моделирование динамических продасов взаимодействия в системах тел с жидкостью.-Киев: йн-т математики АК УССР, 1950.-С.52-59. З.Кладиногз 3.G. Малые крутильно-сдвиговые колебания ссескмматрично ¿е^срмггрсрзшгай кольцеобразной мямбрвнн с ггесткям концентрически?,!

' включением '//. Фильтрация и управление в механических системах. - ■ , Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991.- С.28-34. ^.Кладинога B.C.Собственные колебания-полого деформирований! мембраны с жесткой вставкой //Проблемы динамики и устойчивости многомерных систем. - Шюе: Ин-т математик АН'Украины, 1991.- 0.18-29. Б.Кладанога В.0.,Троцекко В.А. Об уравнениях возмущенного.;состояния ^предварительно . деформированной гибкой оболочки с присоединенным

твердым'телом-,// Докл. АН Украины. - 1992. SS.- С.61-65. б.Кладинога В.С.,Троценко В.A. Собственные колебания предварительно деформированной осэскмметричной нагрузкой гиперупругой кольцеобразной мембраш с яестким диском. - Киев, 1992.- 48 е.- ( Пранр. / АН yiCpQIHIH. IÜI-T "SII2,*STIjnrTI* 19) * •

Т.Кладиногз B.C. Влзся! коливзння Еясокое'ласипно! поперэдньо напру-кено! оболонки з твердим йлом // Тр. XVII науч. конф. кол. ученых Ин-та механики АН Украины, Киев, 19-32 мая, 1992 г. 4.2 /Ин-т механики АН Украины. - Киев, 1992.- С.83-87.- Укр.- Деп. в УкрИКГЭИ 7.07:92, й 1022. " 8.Троцэнко В.А. .Кладинога B.C. Осесийкетричноо деформярованиэ-мягких оболочек вращения из высоковластичных материалов с малой цэнтрэль-■ ной вставкой // Мат. фиика и нелинейн. механика.- 1992.- вып.17.-С.55-61.

Подл.в печ. 7.10.92.womar 60:04/16. Бумага тлпоргро^ска*. UJo.печать.Усл.печ.л. 1,16.Уч.-взд.л.0-,У.Тарак 100 экз. Ьаказ ¿75'.Бесплатно. . ___

Отпечатало- в Институте математики Alf Украины , 2i326Ui Кие в-1, HJ ¿Г, у л. Г ь пи на, 3