Нелинейное деформирование, потеря устойчивости и контактные взаимодействия твердых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

г А ' #

4 На правах рукописи

г

КОРОБЕЙНИКОВ СЕРГЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ,

ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ И КОНТАКТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1997 г.

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.C. Кравчук доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Кукуджанов доктор физико-математических наук, профессор A.M. Проценко

Ведущая организация:

Новосибирский государственный университет

Защита диссертации состоится "^ V " Н&Л^/Р-Я" 1997г. в 16 часов на заседании специализированного совета Д 053.05.03 в Московском государственном уйиверситете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, диссертационный совет по механике №3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м. н., профессор

С.В. Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Запросы практики требуют постановки и решения задач, отображающих поведение реальных конструкций. Особенно важным, с этой точки зрения, является решение геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). Крайней степенью проявления геометрической нелинейности является свойство потери устойчивости конструкций. Потерю устойчивости конструкций за пределом упругости нельзя отнести к разработанной до конца проблеме. Нелинейность разрешающих уравнений в контактных задач является следствием определения неизвестной заранее границы контакта взаимодействующих тел. Развитие вычислительной техники сделало возможным решение сложных нелинейных задач, важных для практических приложений. Использование метода конечных разностей (МКР) и метода конечных элементов (МКЭ) позволяет проводить математическое моделирование поведения конструкций с максимальным приближением к реальности. Поэтому важным является как разработка вычислительных программ, так и решение с помощью этих программ задач в нелинейной постановке.

Цель работы:

• методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач деформирования и потери устойчивости твердых тел;

• исследование некоторых критериев и закономерностей потери устойчивости неупругих конструкций;

• применение МКР и МКЭ к решению нелинейных задач МДТТ, включая задачи о потере устойчивости конструкций и задачи о контактных взаимодействиях тел.

Научная новизна:

• сформулирован общий вариационный принцип в теории конечных упруго-пластических деформаций;

• показано, что при действии консервативных внешних сил критические нагрузки потери устойчивости квазистатических движений упруго-пластических тел не превышают критических нагрузок потери устойчивости равновесных состояний;

• доказана теорема о сравнении бифуркационных нагрузок для тел из упруго-пластических материалов;

• получены новые решения задач по деформированию и потере устойчивости упруго-пластических оболочек вращения;

• уточнены имеющиеся в литературе и получены новые выражения касательных матриц жесткости двумерных, трехмерных, оболо-чечных и контактных элементов;

• на базе МКЭ разработан вычислительный комплекс, с помощью которого решены новые нелинейные квазистатические и динамические задачи по деформированию, потере устойчивости, контактным взаимодействиям и разрушению упругих, упруго-пластических и термо-упругих, с учетом деформаций ползучести, тел.

Практическая значимость. Теоретические исследования, проведенные в работе, позволяют правильно поставить и решать задачи по определению критических нагрузок и форм выпучивания упруго-пластических тел. Созданные автором и внедренные в НИИ и КБ комплексы программ позволяют проводить численное моделирование нелинейного деформирования конструкций. Полученные в работе новые решения задач уточняют существующие методики расчета напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости сплошных тел и тонкостенных конструкций.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов обеспечивается применением в исследованиях общих уравнений нелинейной механики деформируемого твердого тела и подтверждается хорошим соответствием получаемых решений с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: 3-й Всесоюзной конференции по механике полимеров (Рига, 1976); Всесоюзных конференциях по численному решению задач теории упругости и пластичности (5-я, Караганда, 1977; 10-я, Красноярск, 1987; 11-я, Волгоград, 1989; 12-я, Тверь, 1991; 13-я, Новосибирск, 1993); 7-й Региональной конференции по математике и механике (Томск, 1981); Всесоюзном симпозиуме по устойчивости в механике деформируемого твердого тела (Калинин, 1981); 8-й Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (Пермь, 1983); Школе-семинаре по комплексам программ математической физики (Шушенское, 1986); 4th International Symposium on Innovative Numerical Methods in Engineering (Atlanta, USA, 1986); Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 1988); International Conference on Numerical Methods and Applications (Sofia, Bulgaria, 1988); 2-й Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Якутск, 1990); International Conference on Free-boundary Problems in Continuum Mechanics (Novosibirsk,

1991); 13-й Всесоюзной конференции по аэроупругости турбомашин (Севастополь, 1991); Республиканской научно-технической конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту для совершенствования энергетических и транспортных турбо-установок в процессе исследования, проектирования, диагностирования и безопасного функционирования (Харьков, 1991); 2nd International Conference on Computational Structures Technology (Athens, Greece, 1994); 3-й Всероссийской конференции "Ползучесть в конструкциях" (Новосибирск, 1995); 4-й Международной конференции "Лаврентьев-ские чтения по математике,механике, физике" (Казань, 1995); 2-м Си-эирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996); Международной конференции по математическим моделям и численным методам механики сплошной среды (Новоси-эирск, 1996); 2nd ECCOMAS Conference on Numerical Methods in Engineering (Paris, France, 1996); International Conference on Progress in Advances Material and Mechanics (Beijing-Peking, China, 1996); семинаре Института теоретической и прикладной механики СО РАН (Новосибирск, рук. чл.-корр. В.М.Фомин); семинаре Института проблем прочности (Киев, рук. академик А.А.Лебедев); семинаре'Рижского политехнического института (Рига, рук. проф. P.E. Рикардс).

В целом диссертационная работа обсуждалась на семинарах: Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, рук. проф. О.В. Соснин); кафедры волновой и газовой динамики МГУ [Москва, рук. академик Е.И.Шемякин); кафедры теории пластичности МГУ (Москва, рук. проф. В.Д. Клюшников); Института проблем механики РАН (Москва, рук. проф. В.Н. Кукуджанов); кафедры твердого тела НГУ (Новосибирск, рук. проф. Б.Д.Аннин).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 39 научных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содер-кит 312 страниц, включая 69 рисунков и 14 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации \ формулируется цель работы. Приводится обзор литературы, относя-дейся к теме диссертации. Представлено современное состояние исследований по постановке и решению нелинейных задач МДТТ, включая

задачи по потере устойчивости конструкций и контактные задачи. Дается краткое содержание диссертационной работы и сс место в современных исследованиях по постановке и численному решению нелинейных задач МДТТ.

Рассматривается постановка и решение нелинейных задач, учитывающих геометрическую и физическую нелинейности, а также контактные взаимодействия твердых тел. Формулировка общих нелинейных уравнений МДТТ приведена в работах Б.Д. Аннина, В.В. Болотина, В.Д.Бондаря, Н.Г. Бураго, К. Васидзу, Г.В.Иванова, A.A. Ильюшина, Л.М. Качанова, В.Д. Клюшникова, М.А. Колтунова, В.И. Кондауро-ва, А.С.Кравчука, В.Н. Кукуджанова, В.И. Левитаса, А.И.Лурье, В.П. Майбороды, В.В. Новожилова, Ю.И. Няшина, Дж. Одена, Б.Е. Победри, A.A. Поздеева, В. Прагера, A.M. Проценко, Ю.Н. Работнова, Л.И. Седова, К. Трусделла, П.В. Трусова, Р. Хилла, Г.П. Черепанова, Е.И. Шемякина, Y.C. Fung, А.Е. Green, J.W. Hutchinson, М. Kleiber, W. Zerna и др. Общие уравнения формулируются как относительно перемещений, напряжений и деформаций, так и относительно их скоростей. В диссертационной работе используется формулировка уравнений в скоростях (приращениях) этих переменных, так как при этом: автоматически выделяются критические нагрузки (максимальные и бифуркационные); стандартным образом формулируются уравнения при решении задач с упругими, пластическими, температурными и ползучими деформациями; сравнительно просто реализуются численные процедуры пошагового решения задач с итерационным уточнением решения.

В процессе квазистатического деформирования тело может потерять устойчивость. Общие вопросы теории устойчивости деформируемых тел разрабатывались В.В. Болотиным, A.C. Вольмиром, Э.И. Григолю-ком, В.Г.Зубчаниновым, Г.В.Ивановым, В.В.Кабановым, В.Д. Клюш-никовым, В.Т. Койтером, В.М. Корневым, Л.М. Куршиным, Ю.В.Ли-повцевым, В.В. Новожиловым, В. Прагером, Ю.Н. Работновым, Р. Хил-лом, С.А. Шестериковым, В. Budianski, C.L.Dym, J.W.Hutchinson, А. Needleman, M.J.Sewell, B.Storäkers, V. Tvergaard и др. Из основных положений развитой этими авторами теории устойчивости следует, что при квазистатическом нагружении постоянными по направлению силами для определения их критических значений, соответствующих потере устойчивости упругих и упруго-пластических тел, достаточно определить особые точки решения нелинейных уравнений: бифуркации (неединственность решения нелинейных уравнений в скоростях) и собственного состояния (нетривиальное решение однородной системы

уравнений в скоростях). При решении задач устойчивости с учетом деформаций ползучести кроме того требуется провести исследование по развитию во времени начальных неправильностей разной амплитуды.

Численные алгоритмы и решения задач по определению критических нагрузок выпучивания и закритическому поведению конструкций приведены в работах C.B. Астрахарчика, Н.Г. Бураго, Ю.М. Волчкова, Э.И. Григолюка, B.C. Гудрамовича, Л.П. Железнова, В.В. Кабанова, В. Н. Кукуджанова, Ю.В. Немировского, Е. Рикса, В.И. Шалашилина, Л. И. Шкутина, К.-Л. Bathe, J.L. Batoz, P.G. Bergan, D. Bushnell, M.A. Cris-field, G.Dhatt, E.N.Dvorkin, W.B. Krätzig, E.Ramm, K.H. Schweizerhof, R.Seidel, T. Sokol, G.A.Wempner, M. Witkowski, P. Wriggers и др. В диссертационной работе задачи о выпучивании оболочек вращения из упруго-пластического материала при осесимметричном деформировании решаются с помощью МКР. Максимальные нагрузки и закритиче-ское деформирование оболочек находятся с помощью алгоритма, предложенного Н.Г. Бураго и В.Н. Кукуджановьш. Кроме этого, проверяется возможность неосесимметричной бифуркации решений. При бифуркации решений находятся критические нагрузки и чисдо волн по окружности для собственной формы с учетом моментности докритиче-ского состояния.

Наиболее распространенным методом решения двумерных и трехмерных задач является МКЭ. Основы применения MIO к решению геометрически и физически нелинейных задач МДТТ представлены в работах Н.Г. Бураго, В.Н. Кукуджанова, Б.Е. Победри, A.C. Цыбенко, К-J. Bathe, M. Kleiber, R.M. McMeeking, J.R. Rice, R.L.Taylor, O.C. Zienki-ewicz и др. В диссертационной работе представлены некоторые новые формулировки конечных элементов, включая контактные элементы.

При решении контактных задач в уравнения вводится сильная нелинейность. Алгоритмы решения контактных задач представлены в работах Н.Г.Бураго, A.M.Быковских, А.Г.Горшкова, А.И. Гулидова, В.Н. Кукуджанова, В.Д.Кошура, А.С.Кравчука, В.Н.Солодовникова, A.M. Хлуднева, И.И. Шабалина и др. Предложенные в диссертационной работе алгоритмы решения контактных задач основаны на исследованиях К.-Л. Bathe, DJ.Benson, R.V.Browning, A.B. Chaudhary, F.M. Guerra, Л.О. Hallquist, TJ.R. Hughes, Л.-\У.Ли, B.Nour-Oinid, R.L. Taylor, Л.С. Simo, P. Wriggers.

В первой главе рассматриваются постановки нелинейных задач МДТТ.

В §1 сформулирован общий вариационный принцип для уравнений, описывающих квазистатическое деформирование упруго-пластических тел при больших деформациях. Уравнения равновесия и граничные условия записываются в виде

V • (бЯ + в • - "в - <3) + р^ = 0 в V ,

У = У* на 5Ц, (1.1)

Т = п • (бя + в • - (1 • я - в • а) = Т* на Бг,

Здесь: э — тензор напряжений Коши; v — вектор скорости; f — массовая сила; — оператор Гамильтона; точка между величинами обозначает операцию скалярного произведения; звездочка обозначает заданную величину; р — массовая плотность; V — текущий объем тела; 5Ц, З'р — части поверхности тела 5, на которых заданы, соответственно, скорости перемещений и скорости напряжений (5 = 5„ + 5^); п — вектор единичной нормали к поверхности 5т; — тензор скорости напряжений Коши по Хиллу; тензор скоростей деформаций (1 представляется через градиент вектора скорости следующим образом:

d=^(vv + vvт); (1.2)

верхний индекс V обозначает операцию транспонирования; точка над величиной обозначает материальную производную по параметру деформирования (внешняя сила, характерная деформация, естественное время и т. д.), который для краткости называется временем. Используются следующие определяющие соотношения:

■"-тг- (и>

где Н — однородная потенциальная функция второй степени от своих аргументов, имеющая непрерывные первые и (по крайней мере) кусочно-непрерывные вторые производные. Потенциальная запись (1.3) определяющих соотношений упруго-пластического деформирования предложена Р.Хиллом. Обоснование такого вида записи определяющих соотношений с точки зрения макродетерменизма опыта дано В. Д. Клюшниковым.

Тензор скорости напряжений Коши по Хиллу определяется как

бн = в - ЛУ • Б-1- в • + 4г(с1) э. (1.4)

Здесь: £г(с!) — первый инвариант тензора скоростей деформаций; — тензор вихря

™ = -У*). (1.5)

Можно показать, что система уравнений (1.1)—(1.3) является системой уравнений Эйлера и естественных граничных условий вариационного уравнения

6J = 0, (1.6)

где

/(а,у,зя) = [ [Я(с1) - в: (сЬсЦ + ^в: (Vv • Vvr) - р{ • V] йV-Jv 2

- [ 8я : [(1-1(^4^*)] М- [ Т*^ ¿Б- [ Т-(у-У') ¿в .(1.7) иу * 75г

Наоборот, решение уравнений (1.1)-(1.3) поставляет стационарное значение функционалу (1.7). Говорим, что система (1.1)-(1.3) соответствует вариационному уравнению (1.6). Две точки между тензорами обозначают операцию двойного скалярного произведения (двойной свертки). Предложенный вариационный принцип является аналогом вариационного принципа Ху - Васидзу в нелинейной теории упругости.

Уравнения (1.1)—(1.3) сформулированы в актуальной конфигурации тела. В начальной конфигурации уравнения равновесия записываются в виде:

+ + = 0 в°К,

й = й* на °5и, (1.8)

0Т = N ■ [Б ■ (С + V11) + 3 ' VI1] = оТ* на°5г.

Здесь: Э — второй тензор напряжений Пиола - Кирхгоффа; и — вектор перемещений; С — метрический тензор; N — вектор единичной нормали к начальной поверхности тела °5т; точка над величиной обозначает материальную производную этой величины по параметру деформирования. Остальные обозначения имеют тот же смысл, что и

выше. Индекс '0' у некоторой величины обозначает, что эта величина рассматривается в начальной конфигурации. Тензор скорости деформаций Грина - Лагранжа Е связан с тензором скорости градиента

О

перемещений VI1

Ё = + + V"- VII7'+ V«' V"1-)- (1.9)

Рассмотрим класс тел, материалы которых описываются определяющими соотношениями вида

где (Е) — однородная функция второй степени от своих аргументов, имеющая непрерывные первые и (по крайней мере) кусочно-непрерывные вторые производные. Можно показать, что система (1.8)—(1.10) соответствует вариационному уравнению (1.6) с

- [ ё:[Е- 1( VII + + ^и • + V" •

J^>V I

-[ 0Т ■ (й — и*) . (1.11)

J^>Sт J0SU

Уравнения (1.1)—(1.3) используются для формулировки задачи по деформированию упруго-пластических тел при больших деформациях, а уравнения (1.8)—(1.10) — для описания деформирования упругих тел при больших деформациях или упруго-пластических тел при малых деформациях, но (возможно) больших перемещениях и поворотах.

В предложенных выше вариационных принципах варьируются скорости перемещений, скорости деформаций и скорости напряжений. После наложения некоторых ограничений на варьируемые величины в функционалах (1.7), (1.11) из этих общих вариационных принципов получаются вариационные принципы Р. Хилла, в которых единственными варьируемыми величинами являются скорости перемещений. Функционалы, используемые в этих вариационных принципах, применяются в формулировке достаточных критериев Р. Хилла по единственности решений задач и устойчивости равновесных состояний упругих и упруго-пластических тел.

В §2, следуя Р.Хиллу, вводятся определения критических значений параметра деформирования при решении систем (1.1)—(1.3) или (1.8)-(1.10): собственному состоянию соответствуют такие значения параметра, при котором система однородных уравнений имеет нетривиальное решение, а бифуркационному значению параметра соответствует неединственное решение систем (1.1)—(1.3) или (1.8)—(1.10).

Следуя В.Д. Клюшникову, требуется проводить два типа исследований устойчивости при квазистатическом деформировании твердых тел: определять устойчивость равновесных состояний и исследовать устойчивость квазистатических движений. В первом случае требуется исследовать по Ляпунову устойчивость равновесных состояний относительно возмущенных динамических движений при фиксированном значении параметра деформирования. Во втором случае надо исследовать устойчивость решений уравнений (1.1)-(1.3) или (1.8)—(1.10) относительно возмущенных квазистатических движений на конечном интервале изменения параметра деформирования.

В предположении о неизменности направления действия внешних сил в процессе деформирования между критическими состояниями, связанными с потерей единственности решений краевой задачи и с потерей устойчивости тел, существует взаимосвязь. Установление этой связи составляет суть теории устойчивости, развитой Р. Хиллом и В.Д. Клюшниковым. Р. Хилл рассматривает только устойчивость равновесных состояний, более полное исследование должно, следуя В.Д. Клюшникову, включать определение критических значений параметра деформирования, при которых нарушается устойчивость квазистатических движений.

В §3 показывается, что бифуркация решений задачи (1.1)—(1.3) или (1.8)- (1.10) является достаточным условием потери устойчивости квазистатических движений упругих и упруго-пластических тел. Основываясь на этом утверждении и на общих положениях теории устойчивости упругих и упруго-пластических тел Р. Хилла и В.Д. Клюшникова показывается, что критическая нагрузка потери устойчивости квазистатического движения упруго-пластического тела не превышает критической нагрузки потери устойчивости равновесного состояния. При этом предполагается, что на границе 5Ц или °,?„ тело жестко задела-то, внешние силы изменяются пропорционально параметру А, который изменяется от нуля в сторону возрастания.

В §4 доказывается теорема о сравнении бифуркационных нагрузок по теории пластического течения и по деформационной

теории пластичности.

При последовательном нагружении упруго-пластического тела внешними силами пропорционально параметру Л из ненапряженного состояния (Л = 0) в сторону возрастания параметра Л > 0 справедливо неравенство А^ ^ Х(, где А^, Х( — наименьшие бифуркационные нагрузки, полученные на основном пути деформирования для тел с помощью деформационной теории пластичности и теории течения с изотропным упрочнением (разгрузка не учитывается).

Предполагается, что поля перемещений и напряжений некоторого тела из упруго-пластического материала определены для основного (гладкого) пути, соответствующего решению задачи (1.1)—(1.3) или (1.8)—(1.10). Это решение может быть получено, например, с помощью теории течения или, при пропорциональном нагружении, как по теории течения, так и по деформационной теории (в последнем случае решения для основного пути деформирования совпадают).

Из решений частных задач по определению бифуркационных нагрузок упруго-пластических тел с однородным докритическим состоянием известно, что критические значения нагрузок, полученные по деформационной теории пластичности, оказываются ниже соответствующих нагрузок, полученных по теории течения. Из доказанной теоремы следует, что такое соответствие бифуркационных нагрузок должно всегда выполняться для задач по определению критических нагрузок для тел с однородным докритическим состоянием.

Во второй главе дается постановка задач по потере устойчивости оболочек вращения, основанная на общих формулировках нелинейных уравнений и теории устойчивости упруго-пластических тел, представленных в главе 1. Приводятся новые решения задач по потере устойчивости упруго-пластических оболочек вращения.

В §5 получены уравнения потери устойчивости круговой шарнирно опертой цилиндрической оболочки произвольной длины при действии осевого сжатия и внутреннего давления в предположении о безмомент-ном докритическом деформировании. Дифференциальные уравнения устойчивости и однородные естественные условия получаются из вариационного уравнения Р.Хилла

¿1 = 0, (2.1)

где

Г(vt) = 2 f E(i4)dV+ f vi

щькм — iij"1 ,j)i>! dS .

(2.2)

Jv Js

V

s

Здесь iii — компоненты единичного сектора внешней нормали к срединной поверхности оболочки 5; гидростатическое давление р прикладывается ко всей срединной поверхности; V — объем оболочки; г/, с, — контравариантные и ковариантные компоненты вектора скорости в цилиндрической системе координат, принимающие заданные значения шарнирного опирания на торцах оболочки; запятая обозначает ковари-антное дифференцирование по соответствующей координате; индексы пробегают значения 1,2,3; по повторяющимся индексам проводится суммирование; переменные в функционале (2.2) определены в актуальной конфигурации оболочки. Используются два выражения для квадратичной формы E(vi) в зависимости от выбранного вида определяющих соотношений: в первом случае используются соотношения вида (1.3), связывающие тензор скорости напряжения Коши по Хиллу с тензором скоростей деформаций, а во втором случае применяются аналогичные соотношения с заменой производной Хилла sH на производную Трусделла sTr

Для определения компонент тензора С используются деформационная теория пластичности и теория пластического течения с изотропным упрочнением без учета разгрузки.

Пользуясь гипотезами Кирхгоффа - Лява, из (2.1) получаются однородные уравнения устойчивости и естественные граничные условия относительно скоростей перемещений срединной поверхности оболочки. Полученные уравнения называются эталонными. С помощью эталонных уравнений можно оценить пределы применимости известных теорий оболочек: Сандерса и Доннелла - Муштари - Власова (ДМВ).

Представляя скорости перемещений срединной поверхности оболочки в виде произведения тригонометрических функций, точно удовлетворяющих условиям шарнирного опирания, с числом полуволн по образующей т и числом волн по окружности п, получаем для заданной диаграммы одноосного деформирования нелинейное алгебраическое уравнение

А(ахх,адд,п,т) — 0 (2.4)

(2.3)

для определения критических значений физических компонент тензора напряжений Коши сгхх, а а о в осевом и окружном направлениях.

Проведены расчеты для осевого сжатия оболочки (р = адд = 0). Получено, что для относительно коротких оболочек осевые критические напряжения, полученные по всем уравнениям, близки. Оболочки при этом выпучиваются преимущественно по осесимметричной форме (п = 0). При фиксированном значении отношения Я/к (П. — радиус срединной поверхности оболочки, Л — толщина) критические нагрузки, вычисленные по уравнениям ДМВ, с увеличением отношения £//? (то есть при увеличении длины оболочки Ь) мало изменяются. Форма выпучивания сохраняется осесимметричной с увеличением числа полуволн по образующей т. Критические нагрузки, вычисленные по эталонным уравнениям и по уравнениям Сандерса, начиная с некоторых значений отношения Ь/Я, уменьшаются с увеличением этого параметра. Оболочка выпучивается по форме, соответствующей п = 1, что отвечает переходу кругового сечения при выпучивании в круговое сечение как жесткого целого (стержневая форма выпучивания). Критические осевые напряжения, полученные по эталонным уравнениям с определяющими соотношениями (2.3), близки между собой и с критическими напряжениями, полученными по уравнениям Сандерса. Для сравнительно длинных оболочек уравнения ДМВ дают большую погрешность для критических осевых напряжений по сравнению с эталонными уравнениями и показывают осесимметричную форму выпучивания, в то время, как уравнения Сандерса дают приемлемые значения критических напряжений для всех значений параметра Ь/Я и стержневую форму выпучивания.

Во всех расчетах осевые критические напряжения, полученные по деформационной теории пластичности, оказываются ниже соответствующих напряжений, вычисленных по теории пластического течения, что находится в соответствии с доказанной в §4 теоремой.

Получено качественное соответствие зависимости форм выпучивания от геометрических параметров оболочки в теоретических и экспериментальных исследованиях. Эксперименты по осевому сжатию проводились на круговых цилиндрических оболочках из оргстекла марки СО-120. Количественное сопоставление проводить не имеет смысла, так как эксперименты проводились на толстостенных оболочках с граничными условиями, близкими к защемлению, а в теоретических расчетах оболочки предполагаются тонкостенными и используются краевые условия шарнирного опирания.

В §6 приводится алгоритм численного решения задач по нелинейному осесимметричному квазистатическому деформированию оболочек вращения из упруго-пластического материала с кусочно-гладким меридианом срединной поверхности.

Уравнения Сандерса II граничные условия в скоростях для такого класса оболочек записываются в безразмерном виде

В точках разрыва нормали к срединной поверхности оболочки добавляются условия сопряжения векторов скоростей сил и смещений

Здесь: гт = [хг,ут] — вектор неизвестных, хт = <71, гп^ — вектор обобщенных сил (гс] — продольное усилие, </1 — перерезывающая сила, т\ — изгибающий момент), ут = [ы, ш,ф\] — вектор обобщенных перемещений (и — продольное перемещение, ш — нормальное перемещение, О] — поворот нормали); е — известный вектор правой'части; Н — матрица размерностью б х б, элементы которой зависят от г и г (зависимость от г получается вследствие использования условий нагрузки или разгрузки материала оболочки при упруго-пластическом деформировании); Г2о, Ло, Г2ь Л1 — матрицы размерностью 3 х 3, а £о, £.\ — векторы размерностью 3, вид которых зависит от заданных краевых условий; Ф], Ф2 — матрицы размерностью 3x3, элементы которых зависят от угла разрыва между нормалями к срединной поверхности оболочки; точка над переменной обозначает дифференцирование по параметру деформирования; правый индекс "штрих" обозначает дифференцирование по безразмерной координате меридиана £ £ [0, 1]. При определении элементов матрицы Н используется теория течения с изотропным упрочнением материала оболочки с поверхностью текучести Мизеса.

После аппроксимации системы (2.5)-(2.7) конечно-разностным аналогом со вторым порядком точности получается нелинейная система алгебраических уравнений вида

¿' + Нг = ё,

П0х +- Л0у = ¿о при £ = 0, Л^х +- Л1У = £1 при £ = 1

(2.5)

(2.6)

х+ = Ф,х , у+ = Ф2у •

(2.7)

А{Х, Х)Х = С

(2.8)

где

ХТ — [х;, у[, у2, •••, х/у, удг].

(2.9)

Здесь X,-, уг- — значения векторов х, у в узловой точке г (1 ^ г ^ Аг, N — число узловых точек в конечно-разностном разбиении меридиана оболочки). Каждый элемент пятидиагональной матрицы А размерностью 2УУ х 2N является, в свою очередь, матрицей размерностью 3x3, С — вектор правой части.

По отношению к параметру деформирования получается задача Ко-ши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается пошаговым интегрированием методом "предиктор - корректор" с итерационным уточнением решения. На каждой итерации линейная система уравнений, получающаяся из (2.8), решается методом матричной прогонки.

Обычно при решении системы (2.8) в качестве параметра деформирования используется внешняя сила. Однако с помощью такого параметра нельзя определить максимальную нагрузку и закритическое поведение оболочки при ниспадающей внешней силе. Для определения максимальной нагрузки, соответствующей достижению оболочкой собственного состояния, используется метод Н.Г. Бураго и В.Н. Кукуджа-нова. Суть метода состоит в том, что в качестве параметра деформирования используется некоторая компонента вектора X (или функция компонент), так что не нарушается диагональная структура матрицы А. В диссертационной работе используется меридиональная или нормальная компонента вектора перемещений в некоторой узловой точке.

По разработанной вычислительной программе решены новые задачи по нелинейному деформированию, с определением максимальных нагрузок, оболочек вращения, составленных из цилиндрического и конического участков, под действием гидростатического давления. Материал оболочки предполагается идеальным упруго-пластическим. Определен угол сопряжения конического и цилиндрического участков, при котором несущая способность оболочки является наибольшей.

В §7 решается задача по нелинейному осесимметричному деформированию шарнирно опертой круговой цилиндрической оболочки, сжатой по оси.

При упругом деформировании оболочки получено аналитическое решение для нормального прогиба. Показано, что могут достигаться два типа собственных состояний оболочки в зависимости от сочетания геометрических параметров Я/Я, Ь/Я: в одном случае критическая нагрузка собственного состояния является предельной с обращением симметричного относитедьно середины образующей оболочки прогиба в бесконечность (известное решение); во втором случае критическая

нагрузка собственного состояния имеет характер бифуркации, когда от решения, соответствующего симметричному относительно середины образующей оболочки прогиба (основное решение), ответвляется боковое решение с несимметричным прогибом (новое решение).

Численное решение этой задачи, полученное по алгоритму, приведенному в §6, находится в хорошем соответствии с аналитическим решением. Решение для боковой ветви при бифуркации получается при расчете с малыми начальными неправильностями, несимметричными относительно середины образующей.

Для оболочки из упруго-пластического материала найдены три качественно различные формы осесимметричного выпучивания в зависимости от геометрических параметров. В расчетах используется теория течения.

Рассматриваются оболочки из упруго-пластического материала с изотропным упрочнением со следующей диаграммой одноосного растяжения (сжатия):

£ = / °7Ч при(Т<сгу

£у \ п0~1{(г/(7у)п« + 1 - Гсд1 при а><Ту ' '

где еу = <Ту/Е, Е — модуль Юнга, ау — предел текучести при одноосном растяжении (сжатии), щ — константа материала. Принимаются следующие механические константы: Е/оу = 250, щ = 10, V — 0.3 (^ — коэффициент Пуассона).

Фиксируется параметр тонкостенности В./И =25 и исследуется выпучивание оболочек в зависимости от изменения параметра Ь/Я при ее сжатии безразмерной осевой силой п* — М*/ауН, где ./V* — погонная сжимающая сила. При последующем ниже анализе результатов расчетов фраза "симметричное решение" обозначает решение для ги = IV/к (\У — нормальный прогиб), симметричное относительно плоскости, ортогональной образующей оболочки и проходящей через ее середину.

(а) Ь/Я = 0.5 (кольцо). При выпучивании оболочки достигается максимальное значение нагрузки с дальнейшим ее падением при за-критическом деформировании. Решение симметричное.

(б) Ь/Я = 0.7 (короткая оболочка). До достижения максимальной нагрузки происходит бифуркация решений при возрастающем нагру-жении. Собственная форма (форма потери устойчивости), приведенная на рис. 1, находится из решения линеаризованной задачи на собственные значения

(А* - цВ*) ЗЕ = 0 , (2.11)

где элементы матриц А* и В* не зависят от параметра ц. Задача (2.11) решается в процессе пошагового интегрирования системы (2.8) при выполнении условия с1е! А = 0. Бифуркационная задача сводится к задаче (2.11) на основе критерия равноактивной бифуркации. Симметричное (основное) решение находится из решения задачи по деформированию идеальной оболочки. Антисимметричная форма собственного вектора чге{д (рис. 1), полученного из решения задачи (2.11), указывает на то, что для боковой ветви решения теряется симметрия нормального прогиба. Численное решение для боковой ветви получается пошаговым интегрированием системы (2.8) с малыми несимметричными начальными неправильностями. При выходе решения на боковую ветвь зона разгрузки возникает в точке бифуркации и постепенно распространяется по объему оболочки при возрастании и дальнейшем падении осевой силы (рис. 1). На рис. 1 заштрихованы зоны активных пластических деформаций. В качестве параметра деформирования используется нормальный прогиб и) при £ = 0.26.

Решение этой задачи качественно соответствует решению задачи о потере устойчивости стойки (типа) Шенли при достижении касательно-модульной нагрузки: происходит бифуркация решений при возрастающей осевой силе; зона разгрузки на боковой ветви решения постепенно распространяется от точки бифуркации при дальнейшем деформировании.

(в) Ь/В. = 2 (оболочка средней длины). Максимальная нагрузка достигается одновременно с бифуркацией решений (рис. 2). Из решения задачи (2.11) находится нижнее собственное значение кратности 2 с соответствующими линейно независимыми собственными векторами , (рис. 2). Симметричный собственный вектор соответствует симметричному (основному) продолжению решения, а антисимметричный собственный вектор отвечает продолжению несимметричного решения по боковой ветви. В настоящей задаче потеря устойчивости квазистатического движения совпадает с потерей устойчивости равновесного состояния, так как бифуркационная нагрузка является одновременно нагрузкой собственного состояния.

Послекритическое симметричное (основное) решение получено для идеальной оболочки, а решение для несимметричной (боковой) ветви получается введением малых несимметричных начальных неправильностей. При выходе решения на боковую ветвь область разгрузки распространяется мгновенно. В качестве параметра деформирования используется нормальный прогиб и) при £ = 0.08 (в районе действия

краевого эффекта). Горизонтальная штриховая линия соответствует критической осевой силе, полученной в предположении о безмоментном докритическом состоянии по методике, изложенной в §5.

Симметричное послекритическое деформирование оболочки соответствует образованию двух кольцеобразных складок около обоих торцов, а деформирование, соответствующее решению для боковой ветви, характеризуется образованием одной складки с локальным пластическим деформированием. Обе эти формы осесимметричного выпучивания наблюдались в экспериментах, приведенных в работах A.C. Вольмира, В.Г. Зубчанинова, Г.А.Тетерса, J.W. Geckeier, W.Johnson. Решение этой задачи качественно соответствует решению задачи о потере устойчивости стойки при достижении приведенно-модульной нагрузки: бифуркация решений происходит при постоянной внешней силе; зона разгрузки распространяется мгновенно на боковой ветви решения.

В §8 приводится алгоритм определения критических нагрузок неосе-симметричной бифуркации решений для оболочек вращения при осе-симметричном докритическом моментном упруго-пластическом деформировании.

Уравнения для исследования неосесимметричной бифуркации получаются из общих уравнений теории тонких оболочек Сандерса, продифференцированных по параметру деформирования. Пользуясь критерием равноактивной бифуркации, при вычислении критической нагрузки неосесимметричной бифуркации игнорируются условия разгрузки в тех областях объема оболочки, в которых происходит пластическое течение при осесимметричном деформировании. Требуется найти минимальную нагрузку собственного состояния, при которой существует нетривиальное решение однородных уравнений в скоростях.

Разделяя переменные по меридиональной и окружной координатам, получаем однородные обыкновенные дифференциальные уравнения для определения бифуркации

ПоХ + Л0У = Опри£ = 0, ^Х + Л^ = 0 при£ = 1. (2.13)

В точках разрыва нормали к срединной поверхности оболочки добавляются условия сопряжения

Z' + HZ = о,

(2.12)

Х+ = Ф!Х-, Y+ = 4>2Y~.

(2.14)

Здесь: ZT = [XT,YT] — вектор неизвестных, Хт = [n\,q\,m\,fi\y\

— вектор составляющих скоростей обобщенных сил в меридиональном направлении: щ = тг\(£) sinn^> — скорость продольной силы,

— ?í(£) sin rap — скорость перерезывающей силы, mi = т\(£) sin nip

— скорость изгибающего момента, ñ\2 = ñ\2(£) cos rvp — скорость сдвиговой мембранной силы; YT = [и6, гиь, ф\, и'] — вектор составляющих скоростей обобщенных перемещений в меридиональном направлении: и = sinnp — скорость продольного перемещения, w — wb(£) sin rap — скорость нормального перемещения, ф\ = ф\(£) sinnp

— скорость поворота нормального вектора к срединной поверхности оболочки в меридиональном направлении, v = vb(£) cos nip — скорость перемещения в окружном направлении; Н — матрица размерностью 8x8, элементы которой зависят от z и п; £Iq, Л0, Í2i, Ai, Ф1, Ф2 — матрицы размерностью 4x4; ip — окружная координата; п — число волн по окружности.

После конечно-разностной аппроксимации система (2.12)—(2.14) приводится к однородной системе алгебраических уравнений

ÁX = 0, (2.15)

где

Хг = [Х[, Y[, Щ, YJ, ..., XJr, Щ. (2.16)

Алгоритм определения критических нагрузок неосесимметричной бифуркации сводится к следующим шагам. Задается интервал изменения целых волновых чисел: птт ^ п ^ птах. Пошаговым интегрированием решается система (2.8) по осесимметричному деформированию оболочек вращения. На каждом шаге для каждого волнового числа тг из заданного интервала проверяется, произошла ли смена знака определителя det А. Интервал параметра деформирования, соответствующий неосесимметричной бифуркации и соответствующее критическое значение волнового числа псг определяются при первой смене знака det Á.

По предложенному алгоритму разработана вычислительная программа и решены задачи по осесимметричному деформированию и неосесимметричной потере устойчивости оболочек вращения с защемленными краями, состоящих из цилиндрического и конического участков, под действием гидростатического давления. Материал оболочек предполагается упруго-пластическим с упрочнением. Используются те же константы материала, что и в §7. Из проведенных расчетов следует, что оболочки с выбранными геометрическими параметрами в основном

теряют несущую способность по осесимметричной форме с достижением максимальной нагрузки, либо бифуркационная нагрузка близка к максимальной.

В третьей главе предлагаются формулировки некоторых новых конечных элементов для решения нелинейных задач МДТТ. Представлено описание вычислительного комплекса Р1(ЖЕ11 и предложены решения новых задач, полученных с помощью этого вычислительного комплекса.

В §9 слабые и вариационные формулировки нелинейных уравнений приводятся к векторно-матричной записи, требуемой при применении МКЭ.

В §10 приведены матрицы и векторы изопараметрических трехмерных и двумерных (плоских и осесимметричных) элементов континуума, полученных на основе формулировок уравнений в приращениях и в скоростях.

Исходя из принципа возможных перемещений, после дискретизации получаются линеаризованные уравнения движения относительно приращений перемещений

М'+Л'и + <Ки = '+Л(К-(Г. (3.1)

Здесь: М — матрица масс; 'К — касательная матрица жесткости; (+Л'11 — вектор внешних сил; — вектор внутренних сил; г+д'и — вектор узловых ускорений; и — вектор приращений узловых перемещений и = *+Л'и — г11; точка над величиной обозначает производную по времени; верхний левый индекс обозначает момент времени, в который рассматривается величина; предполагается, что напряженно-деформированное состояние в момент времени t известно; Д< — шаг по времени.

При квазистатическом деформировании рассматриваются уравнения, допускающие вариационную формулировку. Исходя из вариационного принципа Хилла, после дискретизации получается система уравнений относительно скоростей перемещений

'ки = в.. (3.2)

Здесь точка над величиной обозначает производную этой величины по параметру деформирования. При квазистатическом деформировании формулы (3.1) представляют собой запись алгебраических уравнений для некоторого шага интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3.2) при использовании схемы Эйлера.

Вариационные формулировки приводят к симметричной матрице 'К и позволяют использовать теорию устойчивости упругих и упруго-пластических тел Р. Хилла и В.Д. Клюшникова. В диссертационной работе для записи определяющих соотношений, описывающих большие деформации упруго-пластических тел, используется производная Хилла (1.4), допускающая вариационную формулировку уравнений (в отличие от использования производной Яуманна). Касательная матрица жесткости 'К в уравнениях (3.1) и (3.2) получается симметричной. При квазистатическом деформировании собственные состояния системы (3.1) достигаются при det'K = 0.

В §11 предлагается формулировка нового изопараметрического конечного элемента оболочки (рис.3,а). Отличие этого элемента от известных состоит в добавлении матрицы больших поворотов 'Кк к стандартной касательной матрице жесткости 'К и в использовании в одном элементе узлов с пятью (рис. 3,6) и шестью (рис. 3,в) степенями свободы. Добавление матрицы больших поворотов позволяет получить более быструю сходимость решения к равновесной конфигурации. Использование узлов с разным числом степеней свободы позволяет гибко моделировать тонкостенные конструкции как с изломом отсчетной поверхности, так и при наличии подкрепляющих элементов. Кроме того, вместо любого узла на отсчетной поверхности элемента, имеющего трансляционные и поворотные степени свободы, можно использовать пару узлов на лицевых поверхностях элемента, имеющих только трансляционные степени свободы (рис.3,г). С помощью таких 'переходных' элементов (K.-J. Bathe, S. Bolourchi, 1980) можно моделировать соединение оболочки со сплошным телом и более правильно определять картину распределения напряжений в окрестности излома срединной поверхности оболочки, чем при моделировании излома соединением 'обо-лочечных' узлов с разрывом нормального вектора к отсчетной поверхности оболочки.

В §12 рассматриваются собственные состояния системы (3.1) или (3.2) при квазистатическом деформировании, которые характеризуются тем, что при некотором значении параметра деформирования г существует нетривиальное решение (собственный вектор) W системы

rKW = 0, (3.3)

полученной из (3.1) или (3.2). Пусть при пошаговом интегрировании т £ [£,t+ А£]. В работе K.-J. Bathe, E.N.Dvorkin (1983) предлагается

вместо задачи (3.3) решать линеаризованную задачу ('К — //AK)W = О,

(3-4)

где

ц = ~АК = 'К — <+ЛгК.

' л * 1

(3.5)

В диссертационной работе проводится анализ того, в каких случаях можно проводить такую линеаризацию. На основе численных экспериментов показывается, что собственный вектор, полученный при решении задачи (3.4) является хорошим приближением собственного вектора задачи (3.3) как при упругом, так и при упруго-пластическом деформировании. Но критическое значение г параметра деформирования можно уточнять на интервале [£, t -f At] по формуле (3.5) через найденные значения // только для упругих задач. При решении упруго-пластических задач для уточнения интервала, в котором содержится критическое значение г, надо уменьшать шаг интегрирования Д£.

В §13 предлагаются алгоритмы решения двумерных (плоских и осе-симметричных) контактных задач методом конечных элементов. Контактная задача решается в два этапа: сначала определяются геометрически взаимные проникновения контактирующих тел (рис. 4); затем из решения уравнений равновесия (движения) определяются либо методом множителей Лагранжа, либо методом штрафных функций контактные силы(рис. 5), препятствующие этим проникновениям. Решаются три типа контактных задач по отношению к законам взаимодействия контактирующих тел: абсолютное проскальзывание (коэффициент трения ßd = 0); проскальзывание с трением (закон трения Кулона, задается коэффициент трения ßd)\ абсолютное прилипание (коэффициент трения ßd = оо). Не накладываются какие-либо ограничения на величину деформаций и на модели материалов контактирующих тел.

Локальные матрицы жесткости и векторы контактных сил контактных элементов строятся только при вхождении тел в контакт.

В случае применения метода множителей Лагранжа используются выражения матриц и'векторов элементов, предложенные в работе K.-J. Bathe, A.B. Chaudhary (1985). Вследствие того, что при вхождении тел в контакт добавляются новые неизвестные — множители Лагранжа (контактные силы), на каждом шаге во времени и на каждой итерации в процедуре Ньютона - Рафсона получается глобальная матрица жесткости ансамбля с переменной размерностью и переменной

структурой. Для избежания перестройки глобальной матрицы жесткости и улучшения ее обусловленности принят подход В. Nour-Oinid, Р. Wriggers (1986): система уравнений для множителей Лагранжа решается отдельно методом сопряженных градиентов, затем, с помощью полученных значений контактных сил, стандартным образом решается система уравнений относительно приращений перемещений контактирующих тел.

При использовании метода штрафных функций матрицы и векторы контактных элементов строятся, следуя J.-W. Ju, R.L.Taylor (1988).

В §14 алгоритмы решения двумерных контактных задач, предложенные в §13, обобщаются на решение трехмерных контактных задач.

В §15 представлено описание вычислительного комплекса PIONER, предназначенного для решения линейных и нелинейных задач МДТТ методом конечных элементов.

Кратко описаны решения новых линейных задач, полученных с помощью комплекса PIONER: определение напряженно-деформированного состояния (НДС) в кубе со сферическим вырезом при действии однородного давления; определение НДС облегченного оптического зеркала; определение НДС подкрепленной оболочки, состоящей из цилиндрического и конического участков, при действии гидростатического давления; статический и динамический анализ прямоугольной пластинки; собственные колебания секториальной пластинки переменной толщины в воздухе и в жидкости; собственные колебания лопасти гидротурбины в воздухе и в жидкости; учет конечной скорости волны детонации при расчете камеры для термоэнергетической обработки материалов.

Приведены решения известных (тестовых) задач, на которых апробировались предложенные алгоритмы, и новых нелинейных задач: влияние температуры на критическое время потери устойчивости сжатого стержня при ползучести; изгиб тонких листов из упруго-пластического материала в условиях плоской деформации; определение НДС резиновой круглой пластинки при действии однородного давления; ползучесть защемленной балки при действии постоянного изгибающего момента; формование панели из подкрепленной пластины; вторичная потеря устойчивости сжатого шарнирно опертого стержня; протягивание резинового листа в сужающемся канале; удар стержня о жесткую стенку; разрушение бампера автомобиля при ударе массивным телом.

Д начало пластического течения х точка максимума на фундаментальном пути -| □ точка бифуркации решений

J- решение с двойной точностью для идеальной оболочки (полная

_ оболочка и половина оболочки с условием симметрии)

^_ решение с простой точностью для идеальной оболочки и с двойной

точностью для неидеальной оболочки с начальными неправильностями вида w0=S sin2it5 и амплитудами 8=10"'*, 10'"

--решение для неидеальнои оболочки с v/^10"4 sin2n§

--решение для неидеапьной оболочки с w„=0.01 s\r\2n£,

Рис. 1. Поведение решения для оболочки из упруго-пластического материала с геометрическими параметрами R/h = 25, L/R = 0.7

А начало пластического течения

в точка максимума с бифуркацией на фундаментальном пути

- решение с двойной точностью для идеальной оболочки (полная

оболочка и половина оболочки с условием симметрии) и для неидеальной оболочки с начальными неправильностями вида « вида у/0=5 и амплитудами 6=10"12, 10"", 10"", 105

- решение с простой точностью для идеальной оболочки и с двойной

точностью для неидеальной оболочки с начальными неправильностями вида *м0=5 и амплитудами 6=10"4, 10"3

--решение для неидеальной оболочки с \|у,,=10"®

--решение для неидеапьной оболочки с \лг„=0.01

Рис. 2. Поведение решения для оболочки из упруго-пластического материала с геометрическими параметрами Д//г = 25, Ь/И = 2

б— один 'оболочечный' узел с пятью степенями свободы в — один 'оболочечный' узел с шестью степенями свободы г — два 'трехмерных' узла с тремя степенями свободы

Рис. 3. Элемент оболочки и возможные модели степеней свободы в

узловой точке к

Рис. 4. Конечно-элементное моделирование контакта двух тел

Рис. 5. Контактные силы

В заключении перечислены основные результаты работы:

1. Сформулирован общий вариационный принцип в теории конечных упруго-пластических деформаций.

2. Показано, что критические нагрузки потери устойчивости квазистатических движений упруго-пластических тел не превышают критических нагрузок потери устойчивости равновесных состояний.

3. Доказана теорема о сравнении бифуркационных нагрузок, полученных по деформационной теории пластичности и по теории пластического течения.

4. Найдены новые формы потери устойчивости упруго-пластических круговых цилиндрических оболочек, сжатых по оси.

5. Найдены критические нагрузки и соответствующие им формы потери устойчивости упруго-пластических оболочек вращения, состоящих из цилиндрического и конического участков, при действии гидростатического давления.

6. Разработан вычислительный комплекс на базе МКЭ по решению квазистатических и динамических двумерных и трехмерных задач МДТТ с учетом геометрической и физической нелинейностей. Уточнены имеющиеся в литературе и получены новые выражения касательных матриц жесткости двумерных, трехмерных, оболо-чечных и контактных элементов.

7. Сделана оценка погрешности сведения нелинейной задачи к линеаризованной задаче по потере устойчивости конструкций при использовании МКЭ.

8. Решены новые динамические и статические задачи по деформированию, потере устойчивости, контактным взаимодействиям и разрушению упругих, упруго-пластических и термо-упругих, с учетом деформаций ползучести, тел.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:

1. Коробейников С.Н. Модификация вариационного принципа Нила в теории конечных упруго-пластических деформаций // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1975. Вып. 22. С. 206-215.

2. Баев Л.В., Коробейников С.Н. Выпучивание круговой цилиндрической оболочки из оргстекла при совместном действии крутящего момента и осевой силы // Механика полимеров. 1977. №6. С. 10511057.

3. Коробейников С.Н. Сравнение бифуркационных нагрузок по теории течения и по деформационной теории для упруго-пластических материалов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1977. Вып. 28. С. 64-71.

4. Коробейников С.Н. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек при упруго-пластических деформациях (тезисы доклада на семинаре МГУ по механике деформируемого твердого тела под рук. Ю. Н. Работнова и др.)// Изв. АН СССР. МТТ. 1978. №4. С. 181.

5. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Численное решение упруго-пластических задач теории оболочек // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы 5-й Все-союз. конф., часть 2, Новосибирск, Ин-т теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1978. С. 40-47.

6. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Численное определение предельных и бифуркационных нагрузок упругопластических оболочек вращения // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1980. Вып. 45. С. 58-78.

7. Волчков Ю.М., Коробейников С.Н. Оценка предельной нагрузки упруго-пластических оболочек вращения // ПМТФ. 1981. №4. С. 146-150.

8. Баев Л.В., Коробейников С.Н. Различные формы выпучивания круговой цилиндрической оболочки при осевом сжатии за пределом упругости // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела: Тезисы докл. Всесоюз. симп., Калинин, Калининский политехнический институт, 1981. С. 13.

9. Баев Л.В., Коробейников С.Н. Выпучивание круговой цилиндрической оболочки за пределом упругости при действии осевой силы и бокового давления // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1982. Вып. 55. С. 9-31.

10. Корнев В.М., Коробейников С.Н. О реализуемости симметрии решения в задаче осесимметричного деформирования цилиндрической оболочки при продольном сжатии // 8-я Всесоюз. конф. по прочности и пластичности: Тезисы докл., Пермь, Институт механики сплошных сред, 1983. С. 93.

11. Алехин В.В., Коробейников С.Н. Линейный расчет трехмерных статических задач теории упругости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1983. Вып. 61. С. 3-11.

12. Коробейников С.Н. Расчет подкрепленных оболочек методом конечных элементов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1985. Вып. 71. С. 55-64.

13. Коробейников С.Н. Многоцелевая вычислительная программа по решению задач линейной теории упругости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1986. Вып. 75. С. 78-89.

14. Kornev V.M., Korobeinikov S.N. On solution symmetry for axisym-metric deformation of axially compressed cylindrical shell // Innovative Numerical Methods in Engineering: Proc. 4th Int. Symp. Eds.: R. P. Shaw et al. Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 579^584.

15. Корнев B.M., Коробейников С.Н. О реализуемости симметрии решения в задаче осесимметричного деформирования цилиндрической оболочки при продольном сжатии // Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязко-упругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 70-77.

16. Коробейников С.Н., Сорокин С.Б., Цуриков Н.В. Расчет напряженно-деформированного состояния облегченных оптических зеркал // Математические проблемы геофизики: прямые и обратные задачи: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр. Новосибирск. 1986. С. 51-66.

17. Коробейников С.Н. Геометрически нелинейный анализ двумерных упругих тел // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск. 1987. Вып. 80. С. 82-89.

18. Коробейников С.Н. Применение МКЭ для статического и динамического анализа прямоугольной пластинки // Динамика и проч-

ность элементов авиационных конструкций: Сб. науч. тр. / Новосибирск: Новосибирский электротехнический институт. 1987. С. 43-49.

19. Коробейников С.Н. Решение двумерных геометрически и физически нелинейных задач методом конечных элементов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Материалы 10-й Всесоюз. конф., Новосибирск, Ин-т теоретической и прикладной механики СО АН СССР, 1988. С. 134-140.

20. Коробейников С.Н., Агапов В.П., Бондаренко М.И., Солдаткин А.Н. Универсальная программа ПИОНЕР для нелинейных расчетов конструкций методом конечных элементов // Междунар. конф. по численным методам и приложениям: Тезисы докл., София, Болгарская академия наук, 1988. С. 69.

21. Korobeinikov S.N., Agapov V.P., Bondarenko M.I., Soldatkin A.N. The general purpose nonlinear finite element structural analysis program PIONER // Proc. Int. Conf. on Numerical Methods and Applications. Eds.: B. Sendov et al. Sofia: Publ. House of the Bulgarian Acad, of Sci., 1989. P. 228-233.

22. Коробейников C.H., Бондаренко М.И., Кузьмин И.А. Применение МКЭ к решению геометрически и физически нелинейных трехмерных задач механики деформируемого твердого тела // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: Тезисы докл., Якутск, Якутский научный центр СО АН СССР, 1990. С. 91-92.

23. Коробейников С.Н. Геометрически нелинейный анализ оболочек с учетом больших приращений поворотов // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, Ин-т теоретической и прикладной механики. Новосибирск. 1990. Т. 4(21), №4. С. 119-126.

24. Korobeinikov S.N., Alyokhin V.V. Solution of two-dimensional contact problems by finite element method // Int. Conf. on Free-boundary Problems in Continuum Mechanics, Abstracts. Novosibirsk: Institute of Hydrodynamics, 1991. P. 69-70.

25. Коваленко B.A., Коробейников C.H., Курзин В.Б., Никифоров А.П., Рябченко В.П., Ткачева JI.A. Теоретическое и экспериментальное исследование собственных частот и форм колебаний лопа-

стей гидротурбин в жидкости // 13-я Всссоюз. конф. по аэроупругости турбомашин: Тезисы докл., М., ЦИАМ, 1991. С. 49.

26. Коробейников С.Н., Курзин В.Б., Рябченко В.П., Ткачева JI.A. Собственные колебания решетки лопастей гидротурбин в жидкости // Республ. научно-техническая конф. по математическому моделированию и вычислительному эксперименту для совершенствования энергетических и транспортных турбоустановок в процессе исследования, проектирования, диагностирования и безопасного функционирования: Тезисы докл., ч. 2, М., Харьков, Институт проблем машиностроения АН УССР, 1991. С. 58.

27. Абидуев П.Л., Коробейников С.Н., Манжалей В.И. Учет конечной скорости волны детонации при расчете камер для термоэнергетической обработки материалов // Физика горения и взрыва. 1992. Т. 28, №1. С. 78-84.

28. Korobeinikov S.N., Alyokhin V.V. Application of a finite element method to two-dimensional contact problems // Int. Ser. in Numer. Math.: Proc. Int. Conf. on Free Boundary Problems in Continuum Mechanics. Eds.: S.N. Antontsev et al. Basel: Birkhauser Verlag, 1992. Vol. 106. P. 167-177.

29. Korobeinikov S.N., Alyokhin V.V., Bondarenko M.I. Application of a finite element method for the solution of three dimensional contact problems // Advances in Simulation and Interaction Techniques: Proc. 2nd Int. Conf. on Computational Structures Technology. Eds.: M. Papadrakakis, B.H.V. Topping. Edinburgh: Civil-Comp Press, 1994. P. 165-175.

30. Алехин В.В., Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Влияние температуры на критическое время потери устойчивости стержня при установившейся ползучести // Ползучесть в конструкциях: Тезисы докл. 3-й Всерос. конф., Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО РАН, 1995. С. 5.

31. Веричев С.Н., Коробейников С.Н. Неупругое формование панелей двойной кривизны при повышенной температуре // Ползучесть в конструкциях: Тезисы докл. 3-й Всерос. конф., Новосибирск, Ин-т гидродинамики СО РАН, 1995. С. И.

32. Коробейников С.Н. Вторичная потеря устойчивости сжатого шар-нирно опертого стержня // Лаврентьевские чтения по математике,

механике и физике: Тезисы докл. 4-й Междунар. конф., Новоси бирск, Ин-т гидродинамики СО РАН, 1995. С. 104.

33. Коробейников С.Н. Применение метода конечных элементов к ре шению трехмерных задач для термо-упруго-пластичности с уче том деформаций ползучести // Ползучесть в конструкциях: Тези сы докл. 3-й Всерос. конф., Новосибирск, Ин-т гидродинамики СС

34. Алехин В.В., Коробейников С.Н. Алгоритм решения трехмерны) контактных задач методом конечных элементов // Численные ме тоды решения задач теории упругости и пластичности: Матери алы 13 Межреспубл. конф., Новосибирск, Ин-т теоретической \ прикладной механики СО РАН, 1995. С. 4-12.

35. Коробейников С.Н. Численное моделирование процесса формования профилей из тонкостенных листов в условиях плоской деформации // Прикладная и индустриальная математика (ИНПРИМ 96): Тезисы докл. 2-го Сибирского конгресса, Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 1996. С. 254.

36. Курзин.В.Б., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачева Л.А. Гидроупругие колебания лопастей решеток гидротурбин // Математические модели и численные методы МСС: Тезисы докл. Междунар. конф., Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 1996. С

37. Annin B.D., KorobeinikovS.N., Alyokhin V.V. The temperature influence on the critical time of creep buckling of the column / / Progress in Advanced Materials and Mechanics. Eds.: W. Tzuchiang, T.-YV Chou. Beijing: Peking Univ. Press, 1996. P. 802-807.

38. Korobeinikov S.N., Bondarenko M.l. A material and geometric nonlinear analysis of shells including large rotation increments // Numerica Methods in Engineering'96: Proc. of the 2-nd ECCOMAS Conf. Eds. J.-A. Desideri et al. Chichester: Wiley, 1996. P. 754-762.

39. Курзин В.Б., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачева Л.А Собственные колебания лопастей однородной решетки гидротур бин в жидкости // ПМТФ. 1997. Т. 38, №2. С. 80-90.

РАН, 1995. С. 30.

371-373.