Вероятностные неравенства на выпуклых классах функций распределения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ yHHBEFCMT-КГ Специализированной совет К 055.01.12

На прав-' МОВСИСЯН ГЕВОРГ СУРЕНСВМЧ

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НА "ВЫПУКЛЫХ КЛАССАХ • ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕРЕВАН - 1992

»1- птгм

«и

сс^гациЙ'

Работа выполнена нп кофэдгре теории вероятностей и математикой статистки Ереванского государственного университета.

Научный руководитель:

Официальные опоненти:

доктор фязгко-уатевпIичс-сшк наук, профессор Э. Л. ДАНЯЕЛЯН

доктор физико-математических наук, профессор В.И.ВЛАГОДАТСКИХ

кандидат физико-математических наук, в.н.с. Г.Л.ПОПОВ

Ведущая организация:

Московский институт электронного машиностроения.

Загдита состоится "_" _ 1992 г. в _12 час. на заседании

Специализированного Совета К055.01.12 при Ереванском государственном университете по адресу: 3750-19 Ереван, ул.Мравяна 1.Ереванский гссудзрствешшй университет,Факу.^тет матемэтясь

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке егу. Авторсфзрот разослан "_" _ 1992г.

Ученая секретарь Специализисовакюго Совета, кандидат физико-математических ( /

наук, доцент ¿^р В.К.ОГАНЯК

/xtví.J:;;;:-,': v-г:. 4¡-joícj:;Hr.? кон^чпал irooúj:.-:--.-: мгл^чю;-: y-.Z c.:- ¡íyüKL:,!/ л о от гг.'от П./:.Чебурек--. :: .'../, ..'.lau-v:-:;.;

т-л, Онглг.ч.гпльного анализа, тсорл;: прибли:;:?:--;;;:. тюри;: поролгностей и математической етаткйпы-: ¿ ь:;югсос

5йв.м задмч, формализуемых в вероятностных моделях с "шгошюй к формацией". Ь моделях. теории массового обслукиванкя и иадвшост управления аапасами, теории порядковых статистик и т.д. о случа них величина/:, характеризующих модель, часто известны принадлеж кость их к определенным классам и границы ряда моментов.

Современная теория (и её премэнения к экстремальным задача; изложена в монографиях М.Г.Крейна, А.А.Нудельмана "Проблема ком; тов Маркова и экстремальные задачи", С.Карлина, В.Стаддена "Чей шевские системы и их пременение в анализе и статистике" и Э.А.Де ниеляна, К.Р.Таталяна "Альтернация в экстремальных задачах".

Однако в литературе внимание, в основном, уделяется чебышев ской теории конечной проблемы моментов. 3 общем случае известна лишь теорема Каратеодори-Рисса, решающая проблему на классе всех

функций распределения (ФР) на [а,Ы1] -а> < a < bct®. Для теории применений актуально решение подобных задач на различных классах ФР. Предложенный в диссертации метод k-крайних точек частично во< полняет этот пробел конечной обобщённой проблемы моментов. В раб< боте иллюстрируются возможности метода k-крайних точек в применении к выпуклому анализу и к экстремальным задачам.

Цель работы и научная новизна.

1. Изучить конечную обобщённую проблему моментов на выпуклых клас сах ФР.

2. Решить чебышевскую экстремальную задачу, получить нераренства типа Чебышева и Маркова на разных выпуклых классах ФР.

Результаты, реализующие поставленную цель, являются новыми.

1) Непрерывная слева, неубывающая функция о есть ФР на ta,b], еслз о(а)=0, о(Ь+ )=1.-

P; ллллллсклл ,- -ность,. Iлзультал; рвРолл ллгл: "-л p У:.'УУ л. л ллдъянх ладзч г слсл-лл л.л■ -, -.<-.

у - 'лл; •• " ' л;;;?п1;:и, над^ьос?;;, лорлдколи:-: л.'.:.л' ллл у

'. л.пп-:а лс'л'-лояатя. Б работе прл;у;слон j;oг.-;."* " :"Л

но ллллт::я крайней тлчкл лллгукдсл о ;-;.■>. л, л v. .

л-крайжта to4'?-.í.

АггооЗапия^ Po'-.v.MC'iT-! д^ллллтллли длклсднылл'ел лл г г-— ¡:•

yr~:v ЛГ; Л, ДЛ ЛОП'ПП :M УУ :-'-yi-y-y У1УУ

урл л fiï--it :углл Ь.лчс'лл . л.:р-лллл. .; -•-■-•уууьу-'у/, ■ : ■■¡"M, поснл::^ "'та Г.):.'';:;:-, .-.,:. -, ■■••.

ульлл: лл:л л i-, j\J:nïoc:"i (Р.лл~лл;, ' -"Ol.

Ïi-Л-Л.

J^-'i_:Иг. ; "'-' *'■'■ :ЛЛ ГЛ;,'1£ЛЛ;,

iiy.-:: P 1 лнтгол ко.\'::гчГ-л;:'л УУУСУ--"-у ■■ : ::

■ У. ''УУ Л:'Лг :i л. ■ - "с-: ЛЛНЛТЛ- У ■ 'У'У •.'.::■.■

■ "?.г Р-1 рлллл

л. ovív'C b'/rir . лл":;о-л-л:л;лл:т" л - л'лкл .....л,.

p-.v.'Hl;-- 'л:слл л. ,... ^ ллкл.', л':л

"л -лл':1 1:лрла »/, ',-лл::лл:ел . •тллллх у-уу-'у ". " : 'г ! ллаУллл " ч:л; ; .

-•■■-у 'У-уу-уу '.УУ- У: 'У:У,УУУУ\ л: '

í : ' * " ' .....^........ ' '

.:-,:<- лл'/oi: у. Тогдл л.л; "л • •'

V

rP л У - ...

лллл у.ул у-лу, глрого •:>•; \-нсллст?о у -, р 7 л л,',,

. Л

Г'уд'.н! У. ¿утмлсхисыЛ ала<:;з.Ч'сскга: Р:гр,

- 4 -

Е работе дзказакэ теорема о представлении. Терема 1 . Для любой точки >:с-Е,_у, к>1 и jaoöux гь^О,... где

...найдутся попарно различные точки ?

и неотрицательные числа А,,....A^ такие, что А.1 г.. .+/.^=1 и-х^Л-х.,-

-...+?, х .

с г.

Это утверждение в Ru обооэает классическую теорему Каратеодорл. п>срома Кзрзтеодори. Пусть S-замкнутое ограниченное выпуклое мно-

Kt-стБО в Еп. Любая точка x<rS (x-^aS) продставила в виде выпуклой

ксмбшгацки не более чем rul (не более чем п) крайних точек S. Действительно, в этом случае е работе показано = EnS, Int S = En+1S \ EnS .

Практическая ценность понятия k-крайней точки раскрывается в доказанной в работе теореме об отображении.

Пусть if линейное непрерывное отображение X в локально-выпук-

ло.е пространство Y и J = т(У).

Теорема 2. Для любой точки У*=Ек? , , найдётся точка хеЕ^Д такая, что у=г(х). .

В выпуклом анализе исключительное место занимает Теорема Крейна-Мильмака.

У = ÜDJ . № к

Понятие k-крайней точки позволяет на основе теоремы 2 для

локально-выпуклых пространств'х со счётным базисом1^ уточнить теорему Крейна-Мильмана.

Теорема 3.

J = UEJ . k>1 К

Теоремы 1-3 - основа нашего подхода к изучению конечной проблемы моментов на выпуклых классах ФР.

Пусть 7-выпуклый замкнутый относительно слабой сходимости класс 4P на ta,b], -со < а <, b < +со ; jf (а)=(Рп (о),. v. ,F (а)) ,

1) Скажем, что X -пространство со счётным базисом, если существует линейно-независимая система 'точек из X такая .что каждая

точка xsX единственным образом представляется в виде х=а'1у1+а2у2+-

+____ где а^с^,___действительные числа.

- 5 -

о=г -заданная система непрерывных линейных функционалов;с,,... ,с действительные константы, для которых существует решение систем

?1(о)=с1.....^п^0-=сп

в классе 7.

Теорема 4. Существует ФР +17, удошгэтзорящая (1). Таким образом, моментное пространство '

Мп7 = С?=(с1.....сп):с1= 1\(о), 1=ТТп

совпадает с ксментным пространством что. существенно с^

¡кзет область, в которой ищется решение система (1).

Б работе приведены примеры вшгуклых классов Ф? на Га.ЬЗ: у всех фушсций распределений; вогнутых; выпуклых; с вогнутыки плотностями; с выпуклы?® гозотностякя; симметричных; уккмодальшх с фиксированной модсй; СР о такта, что

а(Х2)-а(11)

тр

^ ь

гдо а < Ь, 1>(Ь-а)~1- положительная константа (класс Вь);

молодеющих; ,'.голоде ютдс в среднем. Для этих классов в работе описа-ш множества Е^, Ю1. В частности, в ?0 выполнено Е^ = Таким образом, ЕкУ есть класс ступенчатых ФР на Са,Ы с не более чем к скачкам?. Для класса У0 теорема 4. совпадает с доказанным ранее И ] уточнением теоремы Каратеодори-Рисса.

Рассмотрим другой пример - класс ФР В^. Очевидно, что ФР из Вт абсолютно непрерывны. Пусть Р^- класс плотностей класса ФР Вь-Тогда: „

1) реР^, тогда и только тогда, когда Оср^Ь и С1:)<1^= 1.

• а

2) с-:Е,Вь тогда и только т гда, когда соответствующая плотность р

имеет вед т{а,Ъ]: р(1)=Ь}=Ь-1, где т-иера Лебега в Н1.

Теорема 5. Е,)ВЬ=Е2В1 =

Из теоремы 4 вытекает Следствие. Существует ФР о^е^, удовлетворяющая (1).

Пусть ь+

?1(о) = / и.(Шо(1;), 1=ТТтТ.

а

гдо и1 (I),... ,,11п(1)-копрершз1ше функции, определение на [а,Ы; 11п.и(1) опРэЛвлено на [а,Ы; сеКп. Обозначил

- 6 -