Периодические аналоги выпуклых функций и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Опорные линии и экстремальные задачи для тригонометрически выпуклых функций.

1.1 Опорные линии.

1.2 Некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций.

1.3 Интегральные неравенства типа Адамара для тригонометрически выпуклых функций.

1.4 Распространение теоремы Б. Дж. Андерсона на случай тригонометрически выпуклых функций.

2 Новые классы периодических обобщенно выпуклых функций.

2.1 Определение периодических суб-М функций и их элементарные характеристики.

2.2 Дифференциальные свойства суб-М функций.

2.3 Обобщение теоремы Пфлюгера на случай суб-М функций.

2.4 Неравенство Адамара и одна экстремальная задача для суб

М функций.

3 Некоторые приложения периодических обобщенных выпуклых функций и открытые проблемы.

3.1 Индикатриса роста для целых решений уравнения Бельтрами.

3.2 Интегральные оценки для кавитационных диаграмм гидропрофилей.

3.3 Некоторые открытые проблемы.

В диссертации изучаются функции, которые являются периодическими и имеют свойства, аналогичные свойствам выпуклых функций.

Начало систематического изучения выпуклых множеств и выпуклых функций связано с работами Гельдера, Иенсена, Минковского и ряда других математиков. Благодаря трудам Фенхеля, Моро, Рокафеллера и других, выпуклый анализ стал одной из самых красивых и наиболее развитых ветвей математики. Выпуклому анализу посвящено много книг. При работе над диссертацией мы пользовались монографиями [15],[17],[26],[55], учебными пособиями [7], [12],[68] и обзором [29].

Выпуклый анализ имеет обширные приложения. Между тем, многие практические модели приводят к функциям, которые не являются в точности выпуклыми, но обладают рядом свойств выпуклых функций. Эти функции можно рассматривать как модифицированные или обобщенные выпуклые функции. Обобщения выпуклых функций использовались в таких областях математики, как оптимизация, теория операторов, исследование экономических вопросов, численная математика, статистика и ряд прикладных областей.

Выпуклые функции обобщались в двух следующих направлениях. I. Субгармонические функции (Ф. Рисс и другие) двух или более независимых переменных получаются заменой мажорирующего семейства {F(x)} линейных функций, т. е. решений дифференциального уравнения d2F семейством гармонических функций {F(a;,y)}, т. е. решениями уравнения Лапласа

AF=d^F d2F Q дх2 ду2

Тотз (см., например, [38]) рассмотрел более общую ситуацию. Но он ограничивается мажорирующим семейством в виде линейных функций, не имеющим положительного максимума и отрицательного минимума во внутренней точке области определения. Бонсалл [41] рассмотрел некоторые свойства субфункций двух переменных по отношению к решениям более общего дифференциального уравнения в частных производных второго порядка dF 8F

AF + а(х, у)— + Ь(х, + с(х, V)F =

В 1953 году Беккенбах и Джексон [38] определили субфункции для двух или более независимых переменных относительно более общего семейства функций для двух (или более) независимых переменных. II. Обобщенные или модифицированные выпуклые функции одной независимой переменной. i) Сначала кратко опишем направление, связанное с обобщенными выпуклыми функциями.

Систематически естественный путь обобщения выпуклой функции был указан Беккенбахом в [35] в 1937 году. Эта работа развивалась затем Беккенбахом и Бингом [36], Пайксото [64], Бонсаллом [40], Грином [53], Райдом [67] и другими (см., например, Л. Турним (L. Tornheim [70]), Слеминт (Р.А. Clement [44]), Хартман (P. Hartman [54]), Кимперман (J.H.B. Kemperman [58]), Вейл (С.Е. Weil [72]), Янг (D.F. Young [73]). Они изучали дифференциальные и геометрические характеристики обобщенно выпуклых функций. Кратко, эти функции можно описать так. Пусть Т = {F(x)} - множество непрерывных функций, определенных в интервале (а, Ь) со свойством: если а < х\ < £2 < Ь, то существует единственный элемент F £ Т, принимающий произвольно заданные значения у\ и у2 в точках х\ и х2. Введенные Беккенбахом суб-F(x) функции есть такие функции /(ж), что если а < х\ < х2 < b и F\2(x) - элемент множества Т, совпадающий с f(x) в точках х\ и х2, то f{x)<Fn(x) внутри (хих2).

Исторически, некоторые обобщенно выпуклые функции появлялись в математике и ранее. Так, Беккенбах отмечает в своей работе [35], что одним из примеров служат тригонометрически выпуклые функции. А именно, в 1908 году Фрагмен и Линделёф показали, что если f(z) является целой функцией конечного порядка р, то функция

Ш) = lErlog|/(re,g)l (в1 < в < в2), г—too гР называемая индикаторной функцией для j{z), имеет следующее свойство: если 0 < в2 — 9\ < 7г/р и Н(в) является функцией вида

A cos рб + В sin /9$, совпадающей с h(Q) в точках 6\ и в2, то для в\ < в < в2 имеет место неравенство

Цв) < Н{в).

Это свойство ими было названо тригонометрической выпуклостью.

В 1929 году Пойа показал, что субтригонометрические функции обладают некоторыми дифференциальными свойствами, аналогичными свойствам выпуклых функций.

В 1932 году Валирон [71] попутно отметил, что этот анализ можно распространить на функции f(x), мажорируемые функциями вида если функции Ф(ж) и Ф(х) обладают некоторыми желательными свойствами.

Кратко требования Валирона можно описать следующим образом.

Функции Ф(х) и Ф(ж) считаются непрерывно дифференцируемыми, причем Ф'(ж) и Ф'(ж) являются функциями ограниченной вариации. Кроме того, нули Ф(ж) и Ф(ж) разделяют друг друга. ii) Теперь рассмотрим направление, связанное с модификациями. По-видимому, одна из первых модификаций принадлежит Финет-ти (1949), который ввел понятие квазивыпуклости. В дальнейшем было предложено множество типов модификаций согласно возникшим потребностям и, в частности, исходя из приложений. Такого типа модификации (обобщения) развивались в работах Тью (Тиу), Хансона (Hanson), Мангасариана (Mangasarian), Понстейна (Ponstein), Карамар-диана (Karamardian), Ортега и Райнволда (Ortega-Rheinbold), Авриела, Дайверта, Шейбла, Зангда (Avriel-Diewert-Schaible-Zang) и других.

Вкратце некоторые типы этих обобщений можно описать следующим образом.

Пусть f{x) является отображением из вещественного топологического векторного пространства X в расширенную вещественную ось К. U {+оо}. Для любых х,у G dom/, для любого вещественного числа Л обозначим d(x, у, А) := тах{/(ж), f(y)} - /(Ах + (1 - Х)у).

Функция / называется i) квазивыпуклой, если

0.1) d(x,y, А) > 0 для любых x,y£domf, Л G (0,1); ii) строго квазивыпуклой, если в (0.1) для х ф у выполняется строгое неравенство; iii) полустрого квазивыпуклой, если строгое неравенство в (0.1) выполняется, когда f(x) ф f(y); iv) псевдовыпуклой, если для любых х,у £ dom/ с условием f(y) > /(ж), существуют /3(х,у) > 0 и у) Е (0,1) такие, что

0.2) d(x,y,\) > \(3{х,у) для любого Л Е (0, <5(ж, у))] v) строго псев до выпуклой, если (0.2) выполняется как только

Ы >/М,

Эти и некоторые другие обобщения выпуклых функций исследовались в большом числе работ (см. [42], [45], [57], [59] [60] и библиографию в этих работах).

Настоящая диссертация посвящена изучению первой ветви из второго направления в описанных выше обобщениях выпуклых функций.

Основная цель данной работы - распространение ряда результатов, известных для обычных выпуклых функций, на случай тригонометрически выпуклых функций, а также распространение этих исследований на более общие классы периодических аналогов выпуклых функций.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Нумерация теорем, лемм, предложений, определений и формул ведется по главам.

1. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. - Казань: Математика, 1996. - 216 с.

2. Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Критерий разрешимости задачи построения профилей по кавитационной диаграмме // Изв. вузов, математика. 1994. - No 7. - С. 3-12.

3. Авхадиев Ф.Г., Маклаков Д.В. Аналитический метод построения гидропрофилей по заданной кавитационной диаграмме // Докл. РАН. -1995. Т. 343, No 2. - С. 195-197.

4. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир,1969. 132 с.

5. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука,1970. 303 с.

6. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Методы двойственности в прикладных задачах: учеб. пособие. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. -148 с.

7. Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новосибирск: Наука, 1974. - 100 с.

8. Беляков В.А. Дифракционная оптика периодических сред сложной структуры. Москва: Наука, гл. ред. физ. -мат. лит., 1988. - 254 с.

9. Бриллюэн Д., Пароби М. Распространение волн в периодических структурах. Москва: ИЛ, 1959. - 457 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва: Гостехиздат, 1962. - 1100 с.

11. Заботин Я.И. Выпуклые функции и выпуклые множества: учеб. -метод, пособие. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1968. - 40 с.

12. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974. - 687 с.

13. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва : Наука, 1989. - 624 с.

14. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. Москва: ГИФМЛ, 1958. - 272 с.

15. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения новые методы и приложения. - Новосибирск: Наука, 1984. - 216 с.

16. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. Москва: Гостехиздат, 1956. - 632 с.

17. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. Москва: Янус-К, 1997. - 280 с.

18. Мохамед Сабри Салем. Опорные кривые для тригонометрически выпуклых функций // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Материалы всероссийской школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань, 1999. - С. 155-156.

19. Мохамед Сабри Салем. Некоторые свойства тригонометрически выпуклых функций / Казан, ун-т. НИИММ им. Н.Г. Чеботарева. Казань, 2000. - Юс. - Деп. в ВИНИТИ 28.06.2000, N1810-B00.

20. Мохамед Сабри Салем. Точные оценки для интегральных средних тригонометрически выпуклых функций / Казан, ун-т. НИИММ им. Н.Г. Чеботарева. Казань, 2000. - 20с. - Деп. в ВИНИТИ 29.06.2000, N1842-B00.

21. Мохамед Сабри Салем. Распространнение выпуклости в смысле Ва-лирона и Беккенбаха на случай периодических функций / Казан, унт. им. Н.Г. Чеботарева. Казань, 2000. - 21с. - Деп. в ВИНИТИ 07.07.2000, N1891-B00.

22. Мохамед Сабри Салем. О периодических обобщенно выпуклых функциях // Актуальные проблемы математики и механики: Материалы международной конференции, посвященной 40-летию механико-математического факультета КГУ. Казань, 2000. - С. 111-112.

23. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. Москва: Госиздат, 1950. - 399 с.

24. Привалов И.И. Субгармонические функции. М-Д.: Нктп СССР, 1937. - 200 с.

25. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Москва: Мир, 1973. - 471 с.

26. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Том 1. -Москва: ИЛ, 1953. 346 с.

27. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва: Госиздат, 1953. - 468 с.

28. Тихомиров В.М. Выпуклый анализ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 14 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). Москва: 1987. - 5-101 с.

29. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Москва: Мир, 1980. - 304 с.

30. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы. Москва: Мир, 1980. - 344 с.

31. Чибрикова Л.И. Избранные главы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Казань: Казанский фонд Математика, 1996. - 312 с.

32. Andersson B.J. An inequality for convex functions // Nord. Mat. Tidsskr.- 1968. Vol. 6. - P. 25-26. '

33. Avhadiev F.G., Maklakov D.V. A Theory of Pressure envelopes for hydrofoils // J. Ship Research. 1995. - Vol. 42. - P. 81-102.

34. Beckenbach E.F. Generalized convex functions // Bull. Amer. Math. Soc.- 1937. Vol. 43. - P. 363-371.

35. Beckenbach E.F., Bing R.H. On generalized convex functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1945. - Vol. 58. - P. 220-230.

36. Beckenbach E.F. Convex functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1948. -Vol. 54. - P. 439-460.

37. Beckenbach E.F., Jackson L.K. Subfunctions of several variables // Pacific J. Math. 1953. - Vol. 3. - P. 291-313.

38. Besicovitch A.S., Davies R.O. Two problems on convex functions // Math. Gaz. 1965. - Vol. 49. - P. 66-69.

39. Bonsall F.F. The characterization of generalized convex functions // Quart J. Math. Oxford ser. 1. 1950. - P. 100-111.

40. Bonsall F.F. On generalized subharmonic functions // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1950. - Vol. 46. - P. 387-395.

41. Breckner W.W., Kassay G. A systematization of convexity concepts for sets and functions // J. Convex Analysis. 1997. - Vol.4. - P. 109-127.

42. Bruckner A.M., Ostrow E. Some functions classes related to the class of convex functions // Рас. J. Math. 1962. - Vol. 12. - P. 1203-1215.

43. Clement P.A. Generalized convexity and surfaces of negative curvature // Pacific J. Math. 1953. - Vol. 3. - P. 333-368.

44. Crouzeix J.P., Ferland J.A. Criteria for differentiable generalized monotone maps // Mathematical Programming. 1996. - Vol. 75. - P. 399-406.

45. Dragomir S.S., Fitzpatrich. S. Hadamard's inequality for s-Convex Functions in the first sense and Applications / / Demonstratio Mathematica. 1998. - Vol. 31. - P. 633-642.

46. Dragomir S.S., Mond M. Integral inequalities of Hadamard type for Log-convex functions // Demonstratio Mathematica. 1998. - Vol. 31. - P. 355-364.

47. Eppler R., Shen Y.T. Wing section for hydrofoils // Part. 1 Symmetrical profiles. J. of ship Research. 1979. - Vol. 23. - P. 209-217.

48. Eppler R., Shen Y.T. Wing section for hydrofoils // Part. 2 Non symmetrical profiles. J. of ship Research. 1981. - Vol. 25. - P. 191-200.

49. Fountain L., Jackson L. A generalized solution of the boundary value problem for y" = f(x,y,y') // Pacific J. Math. 1962. - Vol. 12. - P. 1251-1272.

50. Green J.W. Sets subtending a constant angle on a circle // Duke Math. J. 1950. - Vol. 17. - P. 263-267.

51. Green J.W. Approximately convex functions // Duke Math. J. 1952. -Vol. 19. - P. 499-504.

52. Green J.W. Support, convergence, and differentiability properties of generalized convex functions // Proc. Amer. Math. Soc. 1953. - Vol. 4. - P. 391-396.

53. Hartman P. Interpolating families and generalized convex functions // Duke Math. J. 1967. - Vol. 34. - P. 511-518.

54. Hormander L. Notions of convexity. Berlin: Birkhauser Boston, 1994. -414 p.

55. Jackson L., Schrader K. On second order differential inequalities // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. - Vol. 17. - P. 1023-1027.

56. Jeyakumar V., Luc D.T. Nonsmooth calculus, Minimality, and Monotonicity of convexificators // Journal of optimization theory and applications. 1999. - Vol. 101. - P. 599-621.

57. Kemperman J.H.B. On the regularity of generalized convex functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. - Vol. 135. - P. 69-93.

58. Luc D.T. On generalized convex nonsmooth functions // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. - Vol. 49. - P. 139-149.

59. Luc D.T. Generalized convexity and some applications to vector optimization /'/ Vietnam J. Math. 1998. - Vol. 26. - P. 95-110.

60. Miles M.J. An extremum property of convex functions // Amer. Math. Monthly. 1969. - Vol. 76. - P. 921-922.

61. Mohamed Sabri Salem. Support curves ensuring the trigonometrical convexity // Summer school and 6— international symposium on generalized convexity / Monotonicity. Samos, Greece. 1999. Department of Mathematics, University of the Aegean. 1999. P. 19.

62. Nishiura Т., Schnitzer F. Monotone functions and convex functions // Mich. Math. J. 1965. - Vol. 12. - P. 481-485.

63. Peixoto M.M. Generalized convex functions and second order differential inequalities // Bull. Amer. Math. Soc. 1949. - Vol. 55. - P. 563-572.

64. Pfluger A. Uber ganze Funktionen ganzer Ordnung // Comm. Math. Helv. 1946. - Vol. 18. - S. 177-203.

65. Rado T. On convex functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1935. - Vol. 37. - P. 266-285.

66. Reid W.T. Variational Aspects of generalized convex functions // Pacific J. Math. 1959. - Vol. 9. - P. 571-581.

67. Roberts A.W., Varberg D.E. Convex functions. New York: Academic Press, 1973. - 300 p.

68. Schrader K. A note on second order differential inequalities // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. - Vol. 19. - P. 1007-1012.

69. Tornheim L. On n-parameter families of functions and associated convex functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. - Vol. 69. - P. 457-467.

70. Valiron G. Fonctions convexes et fonctions entieres // Bull. Soc. Math. France. 1932. - Vol. 60. - P. 278-287.

71. Wiel. C.E. Mcmotonicity, convexity and symmetric derivates // Tran. Amer. Math. Soc. 1976. - Vol. 221. - P. 225-237.

72. Young D.F. When does unique local support ensure convexity ?// Trans. Amer. Math. Soc. 1995. - Vol. 347. - P. 1323-1329.РОССИЙСКАЯ J Н>СУПАРС?8Е1Ш$||| jriSP.HOT&jf /ifbH-X-Of